Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость
Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши . Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.
Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.
Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:
А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.
Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях , эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».
В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:
Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов .
Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.
Признак Лейбница : Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.
Или в два пункта:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.
Если выполнены эти условия, то ряд сходится .
Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики , но для удобства ещё раз:
Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа . Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше , чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:
– Члены ряда без учёта знака
убывают.
– Члены ряда убывают по модулю
.
– Члены ряда убывают по
абсолютной величине
.
– Модуль
общего члена ряда стремится к нулю:
// Конец справки
Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.
Члены ряда строго монотонно
убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю
МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:
А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю
меньше, чем предыдущий: .
Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .
В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.
Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:
Пример 1
В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:
1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.
– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда .
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость
После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам , которые не менее монотонны и однообразны интересны.
Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, где u 1 , u 2 , …, u n , … положительны.
Теорема Лейбница.
Если члены
знакочередующегося ряда, взятые по
абсолютной величине, монотонно убывают
и модуль общего члена ряда стремится к
нулю при
,
т.е.
,
то ряд сходится.
Пример 1.
Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:
.
Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:
Ряд сходится.
1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда
Ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.
Теорема. Дан знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Составим ряд | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.
Определение. Знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
Пример 1.
Исследовать
на сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.
Знакочередующийся
ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
.
Члены ряда монотонно убывают и
.
Теперь исследуем данный ряд на абсолютную
сходимость. Рассмотрим ряд, составленный
из абсолютных величин членов данного
ряда:.
Исследуем сходимость этого ряда с
помощью признака Даламбера:
.
Ряд сходится. Значит, заданный
знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Пример 2.
Исследовать на
сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.
По теореме Лейбница
.
Ряд сходится. Ряд, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда,
имеет вид
.
По признаку Даламбера получим
.
Ряд сходится, значит, заданный
знакопеременный ряд сходится абсолютно.
2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда
Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [ a , b ] :
f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….
Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:
f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)
который называется функциональным рядом .
Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …
В частном случае функциональным рядом является ряд:
который называется
степенным
рядом
, где
постоянные числа, называемыекоэффициентами
членов степенного ряда
.
Степенной ряд может быть записан и в такой форме:
где
некоторое постоянное число.
При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.
Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Пример 1.
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение (1 способ) .
Применим признак Даламбера.
Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.
По признаку
Даламбера ряд сходится, если
и
.
Т.е. ряд сходится,
если
< 1, откуда
или-3<
x
<3.
Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).
В крайних точках
интервала x
=
,
будем иметь
.
В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:
x = -3 ,
Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной
величине, монотонно убывают.
2.
Следовательно, ряд в точкеx
= -3 сходится.
x = 3,
Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.
члены ряда монотонно убывают.
Функция
на промежутке
:
.
Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.
Ответ:
Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:
,
где
и
коэффициентыи
членов ряда.
Для данного ряда
имеем:
. R =3.
ряд сходится
Интервал сходимости ряда: -3< x <3.
Далее, как и в
предыдущем случае, надо исследовать в
граничных точках: x
=
.
Ответ: область сходимости ряда [-3;3).
Отметим,
что второй
способ определения области сходимости
степенного ряда с использованием формулы
радиуса сходимости ряда
более рационален.
Пример 2.
Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Найдем R – радиус сходимости ряда.
,
,
.
.
.
Интервал сходимости ряда (-;).
Исследуем ряд на сходимость в точках x = -иx = .
x = - ,
Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине,
монотонно убывают.
2.
,
следовательно, ряд в точкеx
= -сходится.
x
=
,
.
Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.
Здесь
:
,
члены ряда
монотонно убывают.
Функция
на промежутке
:
.
Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.
Ответ: [-;) – область сходимости ряда.
Ряд называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные , так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременного ряда.
Теорема 1.
Если знакопеременный ряд (1)
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов
(2)
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Данная теорема позволяет судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование в данном случае сводится к исследованию ряда с положительными членами.
Данная теоремаявляется достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
Определение:
Знакопеременный ряд (1)
называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: (2)
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный знакопеременный ряд(1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
Теорема 2:
Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Теорема 3:
Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А , можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.
Пример:
Исследовать числовой ряд
Решение:
Исследуем данный числовой знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость, для чего составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:
Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом . Так как , то ряд сходится.
Следовательно, оба ряда вместе сходятся.
Так как числовой ряд из абсолютных величин членов нашего знакочередующегося ряда сходится, то знакочередующийся числовой ряд сходится абсолютно.
Ответ: Ряд сходится абсолютно.
Пример .
Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость.
Решение:
Знакочередующийся числовой ряд.
Воспользуемся признаком Лейбница:
То есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.
Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Составим ряд из модулей членов нашего знакочередующегося ряда:
Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Следовательно, оба ряда вместе расходятся.
Таким образом, сам знакочередующийся ряд сходится, а ряд из его модулей расходится. Следовательно, наш знакочередующийся числовой ряд сходится условно.
Ответ: Ряд сходится условно.
Ряд называется знакопеременным , если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные члены.
Составим ряд из модулей членов этого ряда:
Получился положительный ряд.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда: если сходится ряд, образованный из модулей членов данного знакопеременного ряда, то сходится и данный ряд.
В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся .
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся .
Пример .Исследовать ряд на сходимость.
Решение . Данный ряд знакопеременный, т.к. sinn может быть как положительным, так и отрицательным при различных n .
Составим ряд из модулей его членов:
Этот ряд положительный, поэтому его можно исследовать с помощью признака сравнения. Так как ≤ , а ряд сходится по признаку Даламбера (см. п. 4.2.3.3. ). Значит, ряд с меньшими членами также сходится, а данный ряд сходится абсолютно.
Все привыкли думать, что сумма не зависит от порядка слагаемых. И это действительно так, когда речь идёт о конечном числе слагаемых. С бесконечными суммами, т.е. с рядами, нужно быть осторожнее. Оказывается, сумма ряда может меняться при изменении порядка его членов, еслиряд сходится условно . Покажем это на примере знакочередующегося гармонического ряда.
Пример . Известна сумма такого ряда:
В данном ряде переставим местами слагаемые, воспользовавшись тем, что их бесконечно много:
Получилось, что число равно его половине, т.е. абсурд. Так произошло потому, что исходный ряд был условно сходящимся (действительно, ряд, составленный из модулей его членов, является гармоническим и расходится), а для такого ряда сумма может зависеть от порядка слагаемых. И, безусловно, для конечной суммы подобная перестановка была бы невозможна, потому что мы брали в скобках одно положительное слагаемое и два отрицательных, и тогда отрицательные члены закончились бы быстрее.
Кстати, при другой какой-то перестановке можно было получить и иной результат. Например, если в скобках поставить два положительных слагаемых и одно следующее отрицательное, то сумма будет такой:
Для условно сходящихся рядов справедлива теорема Римана : посредством надлежащего изменения порядка членов не абсолютно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий наперёд заданную сумму, или даже расходящийся ряд.
4.3.1. Знакочередующиеся ряды
Рассмотрим ряд
Где все > 0. Такой ряд называется знакочередующимся , и он является частным случаем знакопеременного ряда.
Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница ): если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда.
Следствие . Остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого члена остатка. Это свойство используется в приближённых вычислениях функций, интегралов и т.д.
Доказательство. Запишем, к примеру, частичную сумму ряда, состоящую из чётного числа слагаемых:
Так как по условию члены ряда убывают, то все скобки здесь положительны. И получается, что, с одной стороны, возрастает с ростом k , а с другой, не превышает первого члена а 1 . По теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предел.
При исследовании сходимости знакопеременного ряда следует сначала использовать признак Лейбница, а затем проверить, сходится ли ряд, составленный из модулей членов этого ряда. После этого сделать вывод, сходится ряд абсолютно или условно.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Этот ряд знакочередующийся. Члены ряда обладают следующими свойствами:
1) модули членов ряда монотонно убывают: > > > … ;тоже расходится.
Получилось, что исходный ряд сходится, а ряд из модулей расходится. Следовательно, исходный ряд является условно сходящимся.
Ряд (1) называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ). Пусть задан знакопеременный ряд
a 1 + a 2 + … +a n + …. (13)
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
|a 1 | + |a 2 | + … + |a n | +… , (14)
сходится, то сходится и данный ряд (13).
Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно или неабсолютно сходящимся .
a 1 – a 2 + a 3 – a 4 +… + a n + …., (15)
где , называется знакочередующимся.
Теорема (признак Лейбница ). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:
Замечание 1 . При решении задач на исследование сходимости ряда полезно знать особенности поведения следующих рядов:
1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : сходится при и расходится при , q – знаменатель прогрессии;
2. Обобщенный гармонический ряд : сходится при и расходится при . В частном случае () получаем гармонический ряд , который расходится.
Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то ошибка, совершаемая при замене S на S n , не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений.
Задание 1
Решение. Так как (второй замечательный предел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.
Задание 2 .
Решение . Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом (это – обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как ). Имеем:
и, следовательно, из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость и данного ряда.
Задание 3 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем:
и, следовательно, ряды и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.
Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:
Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:
и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.
Задание 6 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:
Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:
1) и очевидно, что
Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.