Бинарное отношение и его характеристики примеры. Бинарные отношения. Примеры бинарных отношений. Транзитивное бинарное отношение

Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно:

2. Рефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в отношении R с самим собой.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

R рефлексивно на Х Û("х Î Х ) х R х

Пример. Отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, т.к. каждый отрезок равен себе самому.

Граф рефлексивного отношения во всех вершинах имеет петли.

2. Антирефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент х множества Х не находится в отношении R с самим собой.

R антирефлексивно на Х Û("х Î Х )

Пример. Отношение «прямая х перпендикулярна прямой у » на множестве прямых плоскости антирефлексивно, т.к. ни одна прямая плоскости не перпендикулярна самой себе.

Граф антирефлексивного отношения не содержит ни одной петли.

Заметим, что существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Например, рассмотрим отношение «точка х симметрична точке у » на множестве точек плоскости.

Точка х симметрична точке х – истинно; точка у симметрична точке у – ложно, следовательно, мы не можем утверждать, что все точки плоскости симметричны сами себе, также мы не можем и утверждать, что ни одна точка плоскости не симметрична сама себе.

3. Симметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у , следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R симметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ у R х

Пример. Отношение «прямая х пересекает прямую у на множестве прямых плоскости» симметрично, т.к. если прямая х пересекает прямую у , то и прямая у обязательно будет пересекать прямую х .

Граф симметричного отношения вместе с каждой стрелкой из точки х в точку у должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но в обратном направлении.

4. Асимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется асимметричным, если ни для каких элементов х , у из множества Х не может случиться, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R асимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ

Пример. Отношение «х < у » асимметрично, т.к. ни для какой пары элементов х , у нельзя сказать, что одновременно х < у и у < х .

Граф асимметричного отношения не имеет петель и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

5. Антисимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется антисимметричным, если из того что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с х следует, что х = у.

R антисимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Ù у R х Þ х = у

Пример. Отношение «х £ у » антисимметрично, т.к. условия х £ у и у £ х одновременно выполняются только тогда, когда х = у.

Граф антисимметричного отношения имеет петли и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

6. Транзитивность

Определение . Отношение R намножестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х , у , z из множества Х из того, что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с z следует, что х находится в отношении с z.

R транзитивнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ù у R z Þ х R z

Пример. Отношение «х кратно у » транзитивно, т.к. если первое число кратно второму, а второе кратно третьему, то первое число будет кратно третьему.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок от х к у и от у к z содержит стрелку, идущую от х к z.

7. Связность

Определение . Отношение R намножестве Х называется связным, если для любых элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

R связнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ú у R z Ú х = у

Другими словами: отношение R намножестве Х называется связным, если для любых различных элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

Пример. Отношение «х < у » связно, т.к. какие бы мы действительные числа не взяли, обязательно одно из них будет больше другого или они равны.

На графе связного отношения все вершины соединены между собой стрелками.

Пример. Проверить, какими свойствами обладает

отношение «х – делитель у », заданное на множестве

Х = {2; 3; 4; 6; 8}.

1) данное отношение рефлексивно, т.к. каждое число из данного множества является делителем самого себя;

2) свойством антирефлексивности данное отношение не обладает;

3) свойство симметричности не выполняется, т.к. например, 2 является делителем числа 4, но 4 делителем числа 2 не является;

4) данное отношение антисимметрично: два числа могут быть одновременно делителями друг друга только в том случае, если эти числа равны;

5) отношение транзитивно, т.к. если одно число является делителем второго, а второе – делителем третьего, то первое число обязательно будет делителем третьего;

6) отношение свойством связности не обладает, т.к. например, числа 2 и 3 на графе стрелкой не соединены, т.к. два различных числа 2 и 3 делителями друг друга не являются.

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, асимметричности и транзитивности.

§ 3. Отношение эквивалентности.
Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у » на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х у , то и студент у является однокурсником студента х ;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у , а студент у – однокурсник z , то студент х будет однокурсником студента z .

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х , порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Построим граф данного отношения:

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у ».

Определения

1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения RÍA´B, RÍA´А.

2. Если А=В , то R – это бинарное отношение на A .

3. Обозначение: (x, y)ÎR Û xRy.

4. Область определения бинарного отношения R – это множество d R = {x : существует y такое, что (x, y)ÎR }.

5. Область значений бинарного отношения R – это множество r R = {y : существует x такое, что (x, y)ÎR }.

6. Дополнение бинарного отношения R между элементами А и В – это множество -R = (A´B) \ R .

7. Обратное отношение для бинарного отношенияR – это множество R -1 = {(y, x) : (x, y)ÎR} .

8. Произведение отношений R 1 ÍA´B и R 2 ÍB´C – это отношение R 1 × R 2 = {(x, y) : существует zÎB такое, что (x, z)ÎR 1 и (z, y)ÎR 2 }.

9. Отношение f называется функцией из А в В , если выполняется два условия:

а) d f = А , r f Í В

б) для всех x ,y 1 ,y 2 из того, что (x, y 1)Îf и (x, y 2)Îf следует y 1 =y 2 .

10. Отношение f называется функцией из А на В , если в первом пункте будет выполняться d f = А , r f = В .

11. Обозначение: (x, y)Îf Û y = f(x) .

12. Тождественная функция i A: A®A определяется так: i A (x) = x .

13. Функция f называется 1-1-функцией , если для любых x 1 , x 2 , y из того, что y = f(x 1) и y = f(x 2) следует x 1 =x 2 .

14. Функция f: A®B осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и В , если d f = А , r f = В и f является 1-1-функцией.

15. Свойства бинарного отношения R на множестве А :

- рефлексивность: (x, x)ÎR для всех xÎA .

- иррефлексивность: (x, x)ÏR для всех xÎA .

- симметричность: (x, y)ÎR Þ (y, x)ÎR .

- антисимметричность: (x, y)ÎR и (y, x)ÎR Þ x=y .

- транзитивность: (x, y)ÎR и (y, z)ÎR Þ (x, z)ÎR .

- дихотомия: либо (x, y)ÎR , либо(y, x)ÎR для всехxÎA иyÎA .

16. Множества А 1 , A 2 , ..., А r из Р(А) образуют разбиение множества А , если

- А i ¹ Æ , i = 1 , ..., r ,

- A = A 1 ÈA 2 È...ÈA r ,

- A i ÇA j = Æ , i ¹ j .

ПодмножестваА i , i = 1 , ..., r , называются блоками разбиения .

17. Эквивалентность на множестве А – это рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на А .

18. Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R – это множество [x] R ={y: (x, y)ÎR} .

19. Фактор множество A поR – это множество классов эквивалентности элементов множества А . Обозначение: A/R .

20. Классы эквивалентности (элементы фактор множества А/R ) образуют разбиение множества А. Обратно. Любому разбиению множества А соответствует отношение эквивалентности R , классы эквивалентности которого совпадают с блоками указанного разбиения. По-другому. Каждый элемент множества А попадает в некоторый класс эквивалентности из A/R . Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

21. Предпорядок на множестве A – это рефлексивное и транзитивное отношение на А .

22. Частичный порядок на множестве A – это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А .

23. Линейный порядок на множестве A – это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А, удовлетворяющее свойству дихотомии.

Пример 1.

Пусть A={1 , 2 , 3} , B={a , b} . Выпишем декартово произведение: A´B = { (1 , a) , (1 , b) , (2 , a) , (2 , b) , (3 , a) , (3 , b) } . Возьмём любое подмножество этого декартова произведения: R = { (1 , a) , (1 , b) , (2 , b) } . Тогда R – это бинарное отношение на множествах A и B .

Будет ли это отношение являться функцией? Проверим выполнение двух условий 9a) и 9б). Область определения отношения R – это множество d R = {1, 2} ¹ {1, 2, 3} , то есть первое условие не выполняется, поэтому в R нужно добавить одну из пар: (3 , a) или (3 , b) . Если добавить обе пары, то не будет выполняться второе условие, так как a¹b . По этой же причине из R нужно выбросить одну из пар: (1 , a) или (1 , b) . Таким образом, отношение R¢ = { (1 , a) , (2 , b) , (3 , b) } является функцией. Заметим, что R¢ не является 1-1 функцией.

На заданных множествах A и В функциями также будут являться следующие отношения: { (1 , a) , (2 , a) , (3 , a) } , { (1 , a) , (2 , a) , (3 , b) } , { (1 , b) , (2 , b) , (3 , b) } и т.д.

Пример 2.

Пусть A={1 , 2 , 3} . Примером отношения на множестве A является R = { (1, 1), (2, 1), (2, 3) } . Примером функции на множестве A является f = { (1, 1), (2, 1), (3, 3) } .

Примеры решения задач

1. Найти d R ,r R ,R -1 ,R×R ,R×R -1 ,R -1 ×R для R = {(x, y) | x, y Î D и x+y£0} .

Если (x, y)ÎR , то x и y пробегают все действительные числа. Поэтому d R = r R = D.

Если(x, y)ÎR , тоx+y£0 , значит y+x£0 и(y, x)ÎR . Поэтому R -1 =R .

Для любых xÎD , yÎD возьмём z=-|max(x, y)|-1 , тогда x+z£0 и z+y£0 , т.е.(x, z)ÎR и(z, y)ÎR .ПоэтомуR×R = R×R -1 = R -1 ×R = D 2 .

2. Для каких бинарных отношений R справедливо R -1 = -R ?

Пусть RÍA´B . Возможны два случая:

(1) AÇB¹Æ . Возьмём xÎAÇB . Тогда (x, x)ÎR Û (x, x)ÎR -1 Û (x, x)Î-R Û (x, x)Î(A´B) \ R Û (x, x)ÏR . Противоречие.

(2) AÇB=Æ . Так как R -1 ÍB´A , а-RÍA´B , то R -1 = -R= Æ . Из R -1 = Æ следует, что R = Æ . Из -R = Æ следует, что R=A´B . Противоречие.

Поэтому если A¹Æ иB¹Æ , то таких отношений R не существует.

3. На множестве D действительных чисел определим отношение R следующим образом: (x, y)ÎR Û (x–y) – рациональное число. Доказать, что R есть эквивалентность.

Рефлексивность:

Для любого xÎD x-x=0 – рациональное число. Потому (x, x)ÎR .

Симметричность:

Если (x, y)ÎR , то x-y = . Тогдаy-x=-(x-y)=- – рациональное число. Поэтому (y, x)ÎR .

Транзитивность:

Если (x, y)ÎR , (y, z)ÎR , то x-y = и y-z = . Складывая эти два уравнения, получаем, что x-z = + – рациональное число. Поэтому (x, z)ÎR .

Следовательно, R – это эквивалентность.

4. Разбиение плоскости D 2 состоит из блоков, изображённых на рисунке а). Выписать отношение эквивалентности R , соответствующее этому разбиению, и классы эквивалентности.

Аналогичная задача для b) и c).

а) две точки эквивалентны, если лежат на прямой вида y=2x+b , где b – любое действительное число.

b) две точки (x 1 ,y 1) и (x 2 ,y 2) эквивалентны, если (целая часть x 1 равна целой части x 2 ) и (целая часть y 1 равна целой части y 2 ).

с) решить самостоятельно.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Доказать, что если f есть функция из A в B и g есть функция из B в C , то f×g есть функция из A в C .

2. Пусть A и B – конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно.

a) Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств A и B ?

b) Сколько имеется функций из A в B ?

c) Сколько имеется 1-1 функций из A в B ?

d) При каких m и n существует взаимно-однозначное соответствие между A и B ?

3. Доказать, что f удовлетворяет условию f(AÇB)=f(A)Çf(B) для любых A и B тогда и только тогда, когда f есть 1-1 функция.

КОМБИНАТОРИКА

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается:

n! = 1·2·3·…·(n-1)·n, 0! = 1

Пусть X={x 1 , x 2 , ..., x n } – это множество из n элементов, k £ n .

Размещение элементов из X объёма k – это упорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих X .

Количество размещений объёма k из n

= n k (знач мест)

Если на каждую i -ю из k позиций можно поставить один из q i элементов множества X, то количество таких размещений равно:

(q 1 , q 2 , ..., q n) = q 1 × q 2 × ... × q n

Количество размещений объёма k из n

= n (n - 1 )(n - 2 ) … (n - k + 1 )=

Перестановка элементов из X – это размещение элементов из X объёма n .

Количество перестановок из n различных элементов:

= P n = n!

Если n элементов содержат q i элементов i -го сорта, q 1 + q 2 + ... + q m = n и элементы одного сорта идентичны, то число перестановок равно:

P n (q 1 , q 2 , ..., q m) =

Сочетание элементов из X объёма k – это неупорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих X .

Сочетания, размещения и перестановки могут быть также с повторениями элементов множества X (неограниченными и ограниченными).

Количество сочетаний объёма k из n различных элементов без повторений:

Количество сочетаний объёма k из n различных элементов с неограниченными повторениями:

Бином Ньютона:

Свойства:

(2)

(4)

(5)

При решении комбинаторных задач часто используются следующие правила комбинаторики:

1. Правило суммы. Если объект А может быть выбран n способами, а объект B другими m способами, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен n+m способами.
2. Правило произведения. Если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект B в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «A и B» в указанном порядке может быть осуществлен n×m способами.

Задача-пример . Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?

Решение . Условие «не более трех» означает, что в команду может входить либо 3 юноши, либо 2 юноши, либо 1 юноша, либо ни одного юноши. Таким образом, в задаче выделяются четыре различных случая. В соответствии с правилом сложения нужно подсчитать количества вариантов в каждом из этих случаев и сложить их.

Рассмотрим первый случай. Нужно подсчитать, сколькими способами можно выбрать из 12 девушек и 10 юношей команду, состоящую из 3х юношей и 2х девушек. Из 10 юношей можно выбрать 3х юношей способами. Для каждых трех выбранных юношей можно выбрать также способами 2х девушек из 12ти. Поэтому работает правило умножения и в первом случае число вариантов команд равно × .

Аналогично, во втором случае: × .

В третьем случае: × .

В четвертом случае: .

Окончательный ответ: × + × + × + .

Примеры решения задач

№1.17. n (n>2) человек садятся за круглый стол. Два размещения по местам будем считать совпадающим, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколько существует способов сесть за стол?

Решение.

Общее количество всевозможных рассадок равно числу перестановок из n элементов P n = n! Однако из этих рассадок нужно исключить совпадающие. Отношение соседства сохраняется при циклических перестановках (их n штук) и при симметрическом отражении (их также n штук):

Поэтому всего способов (делить, т.к. правило умножения)

№1.19. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз?

Решение.

Всего способов вынуть 10 карт из колоды . Из них в случаях в выборке не окажется ни одного туза. Поэтому ответ – .

№1.20. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов?

Решение .

Сначала выберем из n шахматистов 6 человек. Это можно сделать способами. Теперь каждую шестёрку будем разбивать на пары. Для этого поставим 6 шахматистов в ряд, считая, что они имеют имена: a, b, c, d, e, f. Это можно сделать 6! способами. Однако нам не важен порядок внутри каждой пары и порядок самих пар. Перестановок, в которых шахматисты меняются местами в парах 2 3 . Перестановок, в которых меняются местами пары 3!. Поэтому разбить на пары 6 шахматистов можно способами. Ответ .

№1.24. Сколько существует чисел от 0 до 10 n , в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры?

Решение.

Рассмотрим все n-значные числа. Первую цифру мы можем выбрать 9-ю способами. Чтобы вторая цифра была отлична от первой, то её также можно выбрать 9-ю способами. Количество таких n-значных чисел равно количеству размещений объёма n из 9 элементов с неограниченными повторениями, т.е. равна 9 n для n>1 и 10 для n=1.

Поэтому ответ 10+9 2 +9 3 +...+9 n . Число 10 n не подходит.

ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

· Пусть N – это множество натуральных чисел, включая нуль.

· В данном разделе курса будут рассматриваться функции многих переменных f n (x 1 , ..., x n), определенные на некотором множестве MÍN n c натуральными значениями, т.е. f n (x 1 , ..., x n)ÎN, x i ÎN для i=1, ..., n, или f n Í N n +1 .

· Функция f n (x 1 , ..., x n) называется всюду определенной, если её областью определения является N n ­ , т.е. для любого набора из n натуральных чисел существует натуральное число, являющееся значением функции f n .

· Простейшие всюду определенные функции:

1. s(x)=x+1 для любого x;

2. o(x)=0 для любого x;

3. I n m (x 1 , ..., x m , ..., x n)=x m .

Эти простейшие функции всюду определены и из них с помощью конечного числа применений операторов, введенных ниже, можно конструировать более сложные функции.

· Оператор суперпозиции:

Функция h n (x 1 , ..., x n) получается из функций g m , f n 1 , ..., f n m с помощью оператора суперпозиции, если h n (x 1 , ..., x n) = g m (f n 1 (x 1 , ..., x n), ..., f n m (x 1 , ..., x n)).

· Оператор примитивной рекурсии:

Функция f n +1 (x 1 , ..., x n , y) получается из функций g n (x 1 , ..., x n) и h n +2 (x 1 , ..., x n , y, z) с помощью оператора примитивной рекурсии, если она может быть задана схемой примитивной рекурсии:

æf n+1 (x 1 , ..., x n , 0) = g n (x 1 , ..., x n),

èf n+1 (x 1 , ..., x n , y+1) = h n+2 (x 1 , ..., x n , y, f n+1 (x 1 , ..., x n , y)).

· Оператор минимизации:

Функция f n (x 1 , ..., x n) получается из функции g n +1 (x 1 , ..., x n , y) с помощью оператора минимизации и обозначается f n (x 1 , ..., x n)=my, если:

f n (x 1 , ..., x n) определено и равно y Û g n +1 (x 1 , ..., x n , 0), ..., g n +1 (x 1 , ..., x n , y-1) определены и не равны нулю, а g n +1 (x 1 , ..., x n , y)=0.

(Можно говорить также: «Функция f n (x 1 , ..., x n) равна минимальному значению y, при котором функция g n +1 обращается в нуль»)

· Примитивно рекурсивная функция (прф)

Функция f n +1 (x 1 , ..., x n , y) называется примитивно рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

Следует отметить, что все примитивно рекурсивные функции всюду определены.

· Частично рекурсивная функция (прф)

Функция f n +1 (x 1 , ..., x n , y) называется частично рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

· Из определений легко заметить, что примитивно рекурсивные функции являются также частично рекурсивными. Однако существуют частично рекурсивные функции, не являющиеся примитивно рекурсивными.

Примеры решения задач

1. Доказать, что следующие функции являются примитивно рекурсивными.

Решение . Функция f(x) может быть получена с помощью n-кратного применения оператора суперпозиции к простейшей функции s(x).

Решение . Функция f(x) может быть задана следующей схемой примитивной рекурсии:

æf(x, 0) = x = I 1 1 (x),

èf(x, y+1) = x+y+1=f(x,y)+1=s(f(x,y))=s(I 3 3 (x,y,f(x,y))).

Здесь функция g(x) имеет вид g(x)= I 1 1 (x) и является, как и полагается, функцией одной переменной. А функция h(x,y,z) имеет вид h(x,y,z)=s(I 3 3 (x,y,z)) и является функцией трех переменных.

Заметим, что функции g(x) и h(x,y,z) являются прф, т.к. g(x) – третья простейшая функция, а h(x,y,z) может быть получена из простейших функций s(x) и I 3 3 (x,y,z) с помощью применения оператора суперпозиции.

Так как функцию f(x,y) можно получить с помощью оператора примитивной рекурсии из примитивно рекурсивных функций g(x) и h(x,y,z), то f(x,y) – прф.

Решение. Функция f(x) может быть задана следующей схемой примитивной рекурсии:

æf(x, 0) = 0 = o(x),

èf(x, y+1) = x(y+1)=xy+x=f(x,y)+x= I 3 3 (x,y,f(x,y)))+ I 3 1 (x,y,f(x,y))).

Так как функцию f(x,y) можно получить с помощью оператора примитивной рекурсии из примитивно рекурсивных функций g(x)=o(x) и h(x,y,z) = I 3 3 (x,y,z)) + I 3 1 (x,y,z)), то f(x,y) – прф.

2. Пусть g(x 1 , ..., x n ,y) примитивно рекурсивная функция. Доказать, что следующая функция примитивно рекурсивна:

Решение. Особенность этой функции заключается в том, что суммирование ведется по переменному числу слагаемых. Однако функция f n +1 может быть задана следующей схемой примитивной рекурсии:

æf(x 1 , ..., x n , 0) = g(x 1 , ..., x n ,0) – прф,

èf(x 1 , ..., x n , y+1) = = f(x 1 , ..., x n , y) + g(x 1 , ..., x n ,y+1) – сумма прф g и самой функции f.

3. Доказать, что следующая функция частично рекурсивна.

Решение. Покажем, что функция f(x,y) может быть получена с помощью оператора минимизации.

Пусть x³y, тогда f(x,y) определена и принимает некоторое значение: f(x,y) = x-y = z. Как вычислить z? Можно предложить следующий способ: начиная с нуля перебирать по порядку все значения z, пока не выполнится условие x-y=z, или x-y-z=0. Такое z обязательно найдется, т.к. x-y³0. Если же x-y<0, то ни какое натуральное z не подойдет.

Программист записал бы это так:

unsigned int f(x,y)

while((x-y-z)!=0) z++;

То же самое можно записать и в терминах оператора минимизации:

f(x, y)=mz[|x–y–z|=0]

Модуль необходим для того, чтобы функция g(x,y,z)=|x–y–z| была определена, даже если x–y<0. Заметим, что g(x,y,z)=|x–y–z| является примитивно рекурсивной, т.к. может быть получена с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции к простейшим функциям.

a) нигде не определённая функция (т.е. функция с пустой областью определения) ;

b)

c)

Пусть R - некоторое бинарное отношение на множестве X, а х, у, z любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.

1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой.

R -рефлексивно на X <=> xRx для любого x€ X

Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Например, отношения равенства и параллельности для отрезков являются рефлексивными, а отношение перпендику­лярности и «длиннее» не являются рефлексивными. Это отражают графы на рисунке 42.

2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом же отношении с элементом х.

R - симметрично на (хЯу =>у Rx)

Граф симметричного отношения содержит парные стрелки, идущие в противоположных направлениях. Отношения параллельнос­ти, перпендикулярности и равенства для отрезков обладают симмет­ричностью, а отношение «длиннее» - не является симметричным (рис. 42).

3. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у в этом отношении с элементом х не находится.

R - антисимметрично на Х« (xRy и xy ≠ yRx)

Замечание: черта сверху обозначает отрицание высказывания.

На графе антисимметричного отношения две точки может сое­динять только одна стрелка. Примером такого отношения является отношение «длиннее» для отрезков (рис. 42). Отношения параллель­ности, перпендикулярности и равенства не являются антисиммет­ричными. Существуют отношения, не являющиеся ни симметрич­ными, ни антисимметричными, например отношение «быть братом» (рис. 40).

4. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у и элемент у находится в этом лее отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом Z

R - транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)

На графах отношений «длиннее», параллельности и равенства на рисунке 42 можно заметить, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эти отношения яв­ляются транзитивными. Перпендикулярность отрезков не обладает свойством транзитивности.

Существуют и другие свойства отношений между элементами одного множества, которые мы не рассматриваем.

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойст­вами. Так, например, на множестве отрезков отношение «равно» - рефлексивно, симметрично, транзитивно; отношение «больше» - антисимметрично и транзитивно.

Если отношение на множестве X рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности на этом множестве. Такие отношения разбивают множество X на классы.

Данные отношения проявляются, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по груп­пам», «Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одно­го цвета». Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение мно­жеств полосок и мячей на классы.

Если отношение на множестве 1 транзитивно и антисимметрич­но, то оно называется отношением порядка на этом множестве.

Множество с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задания: «Сравни полоски по ширине и разложи их от самой узкой до самой широкой», «Сравни числа и разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают эле­менты множеств полосок и числовых карточек при помощи отно­шений порядка; «быть шире», «следовать за».

Вообще отношения эквивалентности и порядка играют боль­шую роль в формировании у детей правильных представлений о классификации и упорядочении множеств. Кроме того, встречается много других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

6. Что такое характеристическое свойство множества?

7. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснения каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.

8. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их от­ношение при помощи символов.

9. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры двух равных множеств. Запишите их отношение при помощи символов.

10. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

11. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

12. Дайте определение разности двух множеств и изобразите ее при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

13. Дайте определение дополнения и изобразите его при помощи кругов Эйлера.

14. Что называется разбиением множества на классы? Назовите усло­вия правильной классификации.

15. Что называется соответствием между двумя множествами? Назо­вите способы задания соответствий.

16. Какое соответствие называется взаимно однозначным?

17. Какие множества называют равномощными?

18. Какие множества называют равночисленными?

19. Назовите способы задания отношений на множестве.

20. Какое отношение на множестве называют рефлексивным?

21. Какое отношение на множестве называют симметричным?

22. Какое отношение на множестве называют антисимметричным?

23. Какое отношение на множестве называют транзитивным?

24. Дайте определение отношения эквивалентности.

25. Дайте определение отношения порядка.

26. Какое множество называют упорядоченным?

Основы дискретной математики.

Понятие множества. Отношение между множествами.

Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Объекты, составляющие множество называются элементами множества. Для того чтобы некоторую совокупность объектов можно было называть множеством должны выполняться следующие условия:

· Должно существовать правило, по которому моно определить принадлежит ли элемент к данной совокупности.

· Должно существовать правило, по которому элементы можно отличить друг от друга.

Множества обозначаются заглавными буквами, а его элементы маленькими. Способы задания множеств:

· Перечисление элементов множества. - для конечных множеств.

· Указание характеристического свойства .

Пустым множеством – называется множество, не содержащее ни одного элемента (Ø).

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. , A=B

Множество B называется подмножеством множества А ( , тогда и только тогда когда все элементы множества B принадлежат множеству A .

Например: , B =>

Свойство:

Примечание: обычно рассматривают подмножество одного и того е множества, которое называется универсальным (u). Универсальное множество содержит все элементы.

Операции над множествами.

A

B

1. Объединением 2-х множеств А и В называется такое множество, которому принадлежат элементы множества А или множества В (элементы хотя бы одного из множеств).

2.Пересечением 2-х множеств называется новое множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежат и первому и второму множеству.

Н-р: , ,

Свойство: операции объединения и пересечения.

· Коммутативность.

· Ассоциативность. ;

· Дистрибутивный. ;

U

4.Дополнение . Если А – подмножество универсального множества U , то дополнением множества А до множества U (обозначается ) называется множество состоящее из тех элементов множества U , которые не принадлежат множеству А .

Бинарные отношения и их свойства.

Пусть А и В это множества производной природы, рассмотрим упорядоченную пару элементов (а, в) а ϵ А, в ϵ В можно рассматривать упорядоченные «энки».

(а 1 , а 2 , а 3 ,…а n) , где а 1 ϵ А 1 ; а 2 ϵ А 2 ; …; а n ϵ А n ;

Декартовым (прямым) произведением множеств А 1 , А 2 , …, А n , называется мн-во, которое состоит из упорядоченных n k вида .

Н-р: М = {1,2,3}

М× М= М 2 = {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Подмножества декартова произведения называется отношением степени n или энарным отношением. Если n =2, то рассматривают бинарные отношения. При чем говорят, что а 1 , а 2 находятся в бинарном отношении R , когда а 1 R а 2.

Бинарным отношением на множестве M называется подмножество прямого произведения множества n самого на себя.

М× М= М 2 = {(a, b )| a, b ϵ M } в предыдущем примере отношение меньше на множестве М порождает следующее множество: {(1,2);(1,3); (2,3)}

Бинарные отношения обладают различными свойствами в том числе:

· Рефлексивность: .

· Антирефлексивность (иррефлексивность): .

· Симметричность: .

· Антисимметричность: .

· Транзитивность: .

· Асимметричность: .

Виды отношений.

· Отношение эквивалентности;

· Отношение порядка.

v Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.

v Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

v Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.

v Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

Бинарные отношения.

Пусть A и B – произвольные множества. Возьмем по одному элементу из каждого множества, a из A, b из B и запишем их так: (сначала элемент первого множества, затем элемент второго множества – т.е. нам важен порядок, в котором берутся элементы). Такой объект будем называть упорядоченной парой . Равными будем считать только те пары, у которых элементы с одинаковыми номерами равны. = , если a = c и b = d. Очевидно, что если a ≠ b, то ≠ .

Декартовым произведением произвольных множеств A и B (обозначается: AB) называется множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит A, а второй принадлежит B. По определению: AB = { | aA и bB}. Очевидно, что если A≠B, то AB ≠ BA. Декартово произведение множества A само на себя n раз называется декартовой степенью A (обозначается: A n).

Пример 5. Пусть A = {x, y} и B = {1, 2, 3}.

AB = {, , , , , }.

BA = {<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = {, , , }.

BB = B 2 = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Бинарным отношением на множестве M называется множество некоторых упорядоченных пар элементов множества M. Если r – бинарное отношение и пара принадлежит этому отношению, то пишут: r или x r y. Очевидно, r Í M 2 .

Пример 6. Множество {<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>} является бинарным отношением на множестве {1, 2, 3, 4, 5}.

Пример 7. Отношение ³ на множестве целых чисел является бинарным отношением. Это бесконечное множество упорядоченных пар вида , где x ³ y, x и y – целые числа. Этому отношению принадлежат, например, пары <5, 3>, <2, 2>, <324, -23> и не принадлежат пары <5, 7>, <-3, 2>.

Пример 8. Отношение равенства на множестве A является бинарным отношением: I A = { | x Î A}. I A называется диагональю множества A.

Поскольку бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы операции объединения, пересечения, дополнения и разности.

Областью определения бинарного отношения r называется множество D(r) = { x | существует такое y, что xry }. Областью значений бинарного отношения r называется множество R(r) = { y | существует такое x, что xry }.

Отношением, обратным к бинарному отношению r Í M 2 , называется бинарное отношение r -1 = { | Î r}. Очевидно, что D(r ‑1) = R(r), R(r ‑1) = D(r), r ‑ 1 Í M 2 .

Композицией бинарных отношений r 1 и r 2 , заданных на множестве M, называется бинарное отношение r 2 o r 1 = { | существует y такое, что Î r 1 и Í r 2 }. Очевидно, что r 2 o r 1 Í M 2 .

Пример 9. Пусть бинарное отношение r задано на множестве M = {a, b, c, d}, r = {, , , }. Тогда D(r) = {a, c}, R(r) = {b, c, d}, r ‑1 = {, , , }, r o r = {, , , }, r ‑1 o r = {, , , }, r o r ‑1 = {, , , , , , }.

Пусть r – бинарное отношение на множестве M. Отношение r называется рефлексивным , если x r x для любого x Î M. Отношение r называется симметричным , если вместе с каждой парой оно содержит и пару . Отношение r называется транзитивным , если из того, что x r y и y r z следует, что x r z. Отношение r называется антисимметричным , если оно не содержит одновременно пары и различных элементов x ¹ y множества M.

Укажем критерии выполнения этих свойств.

Бинарное отношение r на множестве M рефлексивно тогда и только тогда, когда I M Í r.

Бинарное отношение r симметрично тогда и только тогда, когда r = r ‑1 .

Бинарное отношение r на множестве M антисимметрично тогда и только тогда, когда r Ç r ‑1 = I M .

Бинарное отношение r транзитивно тогда и только тогда, когда r o r Í r.

Пример 10. Отношение из примера 6 является антисимметричным, но не является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Отношение из примера 7 является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, но не является симметричным. Отношение I A обладает всеми четырьмя рассматриваемыми свойствами. Отношения r ‑1 o r и r o r ‑1 являются симметричными, транзитивными, но не являются антисимметричными и рефлексивными.

Отношением эквивалентности на множестве M называется транзитивное, симметричное и рефлексивное на М бинарное отношение.

Отношением частичного порядка на множестве М называется транзитивное, антисимметричное и рефлексивное на М бинарное отношение r.

Пример 11. Отношение из примера 7 является отношением частичного порядка. Отношение I A является отношением эквивалентности и частичного порядка. Отношение параллельности на множестве прямых является отношением эквивалентности.