Делимость в кольцах. Целостное кольцо Смотреть что такое "Целостное кольцо" в других словарях

Пусть – произвольное кольцо. Как было показано ранее, для любого элемента выполняются равенства:

Отсюда следует, что нулевой – 0 и единичный – элементы являются различными элементами кольца.

Если для элемента в кольце существует обратный элемент , то он единственный, для которого выполняется условие .

Единичный элемент кольца является обратным для самого себя: .

Из равенства следует, что элемент также является обратным для самого себя.

Нулевой элемент 0 кольца не имеет обратного элемента, поскольку , для любого элемента .

Определение. Элемент , для которого в кольце существует, и притом только единственный, обратный элемент , называют обратимым или делителем единицы .

Кольцо целых чисел является самым простым примером коммутативного кольца, в котором только 1 и –1 являются делителями единицы .

Теорема. Множество всех делителей единицы кольца является группой по умножению.

Доказательство. Действительно, если , т.е. являются делителями единицы кольца , то

и, следовательно,

А это означает, что и также являются делителями единицы и, следовательно, содержатся в множестве . Поэтому множество является группой по умножению.

Определение. Группа называется группой делителей единичного элемента кольца .

Так как для любого элемента выполняется равенство , то по определению делителей элементов кольца, каждый элемент является делителем нуля. В теории колец для произвольных элементов используют следующее определение делителей нуля.

Определение. Элементы называются делителями нуля, если , а ; при этом называют левым, а – правым делителем нуля.

Пример . 1. В кольце классов вычетов по mod m существуют делители нуля:

2. В кольце квадратных матриц второго порядка также существуют делители нуля:

Определение. Кольцом (областью) целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля.

Пример. 1. – кольцо целых чисел является кольцом целостности.

2. Кольцо является кольцом целостности в том и только в том случае, если – простое число.

Рассмотрим произвольное кольцо . Если , и , т.е. кольцо не содержит делителей нуля, то такое кольцо называется телом. Более строго.

Определение . Кольцо K , в котором для всех отличных от нуля элементов существуют обратные, называется телом.

Тело не содержит делителей нуля, т.е. если и – тело, то, если .

Это означает, что отличные от нуля элементы тела образуют полугруппу по умножению.

Более того, т.к. тело содержит единичный элемент и для каждого отличного от нуля элемента в теле существует обратный элемент, то элементы тела, отличные от нуля образуют группу по умножению.

Примеры . 1. Тело рациональных чисел . Действительно, если , где .

Важно, чтобы обратный элемент .

Для любого целого числа, например , обратный существует и равен , но он не принадлежит .

2. Тело вещественных чисел.

3. Тело комплексных чисел.

Кольцом целостности, с которым наиболее часто приходится встречаться, является кольцо целых чисел .

В теории колец особую роль играют кольца, которые по своим свойствам достаточно близки к кольцу целых чисел. В частности, для этих колец можно развить теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Эти кольца получили название колец главных идеалов. Пусть – кольцо целостности с единицей – коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором понятие правого и левого делителя элемента совпадают. Определение делимости элементов этого кольца можно сформулировать так:

Определение. Если для элементов кольца целостности в существует такой элемент , что , то говорят, что элемент делится на , и пишут или делит – , или .

Из определения делимости двух элементов вытекают следующие свойства делимости в кольце целостности:

Эти свойства являются распространением на кольцо целостности соответствующих свойств делимости в кольце целых чисел.

5. Каждый элемент делится на любой делитель единицы . Действительно, если – делитель единицы, то и – также делитель единицы, а это означает, что , тогда и, следовательно, .

6. Если делится на , то делится и на , где – любой делитель единицы.

Действительно, из равенства следует равенство и, следовательно, .

7. Каждый элемент из делителей и , где – любой делитель единицы, является делителем и другого.

Действительно, из равенства следует равенство , а из равенства – равенство . Следовательно, если , то , и наоборот.

В дальнейшем будем рассматривать элементы кольца целостности , отличные от нуля.

Определение. ассоциированными , если каждый из них является делителем другого:

Из равенства (55) следует, что . Отсюда, сократив обе части полученного равенства на , получаем . Следовательно, и являются делителями единицы. Таким образом, если и – ассоциированные элементы, то , где – некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы , элементы и ассоциированные между собой, поскольку .

Определение. Элементы кольца целостности называются ассоциированными , если , где – некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце целых чисел ассоциированными являются пары чисел .

Если и ассоциированные элементы кольца целостности, то . Отсюда следует, что – главный идеал, порожденный элементом является подмножеством – главного идеала, порожденного элементом и наоборот:

Это означает, что два ассоциированных элемента , кольца целостности порождают один и тот же главный идеал.

Пусть – произвольные элементы кольца целостности .

Определение. Элемент называется общим делителем элементов и , если каждый из этих элементов делится на .

По свойству 5 все делители единицы кольца целостности являются общими делителями элементов и . Но у элементов и могут быть и другие общие делители. Введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) этих элементов. Определение НОД двух целых чисел, по которому НОД называют наибольший из общих делителей, распространить на кольцо целостности нельзя, т.к. в произвольном кольце целостности нет отношения порядка. Однако можно ввести и другое определение НОД двух чисел и , а именно: НОД двух чисел и называется такой общий делитель этих чисел, который делится на любой другой их общий делитель. Именно это определение НОД и распространяется на элементы кольца целостности .

Определение. Наибольшим общим делителем двух элементов кольца целостности называется такой элемент , обозначаемый символом и обладающий двумя свойствами:

Замечание. Ясно, что вместе с свойствами 1., 2. Обладает любой ассоциированный с ним элемент. Действительно, если – НОД элементов , то формально это записывается в виде или . Если также и , то элементы и делятся друг на друга и, следовательно, являются ассоциированными. С другой стороны, если , то, очевидно, , где – любой делитель единицы. Таким образом НОД элементов определяется с точностью до сомножителя , который является делителем единицы.

С учетом этого замечания к свойствам 1., 2. Наибольшего общего делителя добавляются следующие:

Свойство 6. позволяет распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов кольца целостности .

По аналогии с вводится дуальное понятие наименьшего общего кратного элементов кольца целостности определенного с точностью до ассоциированности и обладающее также двумя свойствами:

В частности, полагая , получаем, что .

Теорема. Если для элементов кольца целостности существуют и . Тогда

Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредственно из определения . Для доказательства б) необходимо убедиться, что элемент , определенный равенством , обладает свойствами 1., 2. НОД. Действительно, из , следовательно , откуда после сокращения на , допустимого в любом кольце целостности , имеем , т.е. . Аналогично , т.е. . Этим доказано свойство 1. Для доказательства свойства 2. Представим . Положим . Тогда – общее кратное элементов и . Согласно свойству для некоторого , откуда , т.е. и , что и требовалось доказать.

Определение. Элементы кольца целостности называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от делителей единицы, т.е. если НОД.

Пусть – произвольный делитель единицы, и – произвольный элемент кольца целостности . Тогда из условия следует, что . Это означает, что все элементы ассоциированные с элементом , и все делители единицы являются делителями элемента . Их называют тривиальными или несобственными делителями элемента . Все делители отличные от и , если такие существуют в , называются нетривиальными , или собственными делителями элемента .

Пример. В кольце целых чисел тривиальными делителями числа 10 являются числа и , а нетривиальными – числа и .

Определение. Элемент кольца целостности называется неразложимым, или простым, если он не является делителем единицы и не имеет нетривиальных делителей; элемент называется разложимым, или составным, если он имеет нетривиальные делители.

Другими словами, элемент называется разложимым, если его можно представить в виде произведения двух нетривиальных делителей ; элемент – называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения двух нетривиальных делителей.

Пример. В кольце целых чисел неразложимыми являются числа т.е. простые числа и противоположные простым. Все остальные числа отличные от , – разложимы.

Неразложимые элементы обладают следующими свойствами:

· если элемент кольца целостности неразложимый, то и любой ассоциированный с ним элемент также неразложимый;

· если – произвольный элемент кольца целостности , а – неразложимый элемент из , то или делится на , или и – взаимно простые элементы из .

Действительно, первое свойство следует непосредственно из свойства 7 делимости элементов кольца целостности. Второе свойство докажем следующим образом. Если НОД, то как делитель неразложимого элемента , является либо некоторым делителем единицы , либо элементом вида . В первом случае элементы и взаимно простые, во втором – делится на .

Определение. Кольцо целостности называется кольцом с однозначным разложением на простые множители (или факториальным кольцом), если любой элемент из можно представить в виде:

где обратный элемент, а – простые элементы (не обязательно попарно различные), причем из существования другого такого разложения

следует, что и при надлежащей нумерации элементов и будети, получаем из (41) равенство возможно. Вместе с тем число 9 (да и не только оно) допускает два существенно различных разложения на простые множители:

Неассоциированность элементов 3 и очевидна. Далее, . Поэтому из разложения для или с необратимыми следовало бы , т.е. , что невозможно, поскольку уравнение с неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 и .

Алгебраические структуры: кольцо.

Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.

Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:

1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;

5. Закон ассоциативности умножения:

6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

Определение. Если в кольце А выполняется:

7. Закон коммутативности умножения

то кольцо А называется коммутативным кольцом.

Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:

8. Закон существования единичного элемента

то кольцо А называется кольцом с единицей.

Пусть А – произвольное кольцо. Тогда

2. Если кольцо А обладает единицей, то

Доказательство один к одному повторяет доказательство аналогичных свойств поля.

п.15. Область целостности.

Определение. Пусть А – произвольное кольцо, .

Если , но , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то а и b называются делителями нуля.

Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример 1. Кольцо целых Z является областью целостности.

Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. кольца многочленов.)

Пример 3. Кольцо функций определенных на отрезке является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим

, .

Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке , т.е. являются элементами кольца , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:

где по определению полагают , и, очевидно, является нулем кольца.

Аналогично можно показать, что кольцо функций также имеет делители нуля и поэтому не является областью целостности., то , т.е. выполняется закон сокращения справа. Аналогично доказывается закон сокращения слева. доказана.

Заметим, что в любом кольце выполняется закон сокращения относительно сложения, т.к. кольцо относительно является группой, а в любой группе, как мы видели, справедлив закон сокращения.

Область целостности (или целостное кольцо , или область цельности ) -- понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0?1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0?1 исключает из рассмотрения тривиальное кольцо {0}.

Эквивалентное определение: область целостности -- это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

· Простейший пример области целостности -- кольцо целых чисел.

· Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.

· Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.

· Множество действительных чисел вида есть подкольцо поля, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a + bi , где a и b целые (множество Гауссовых целых).

· Пусть U -- связное открытое подмножество комплексной плоскости. Тогда кольцо H (U ) всех голоморфных функций будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.

· Если K -- коммутативное кольцо, а I -- идеал в K , то факторкольцо K / I целостное тогда и только тогда, когда I -- простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b -- элементы целостного кольца K . Говорят, что «a делит b » или «a -- делитель b » (и пишут), если и только если существует элемент такой, что ax = b .

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c , то a делит c . Если a делит b и c , то a делит также их сумму b + c и разность b - c .

Для кольца K с единицей элементы, которые делят 1, называются делителями единицы , а иногда и просто единицами . Они и только они, обратимы в K . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными , если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b * e , где e -- обратимый элемент.

Необратимый элемент q целостного кольца называется неприводимым , если его нельзя разложить в произведение двух необратимых элементов.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым , если из того, что, следует или. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p -- простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p ) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

· Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.

Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.

· Если A Ї область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.

· Если A Ї коммутативное кольцо с единицей и I Ї некоторый идеал в A , то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост.

· Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.

· Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.

· Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Примеры

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b - элементы целостного кольца K . Говорят, что «a делит b » или «a - делитель b » (и пишут ), если и только если существует элемент такой, что a x = b .

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c , то a делит c . Если a делит b и c , то a делит также их сумму b + c и разность b - c .

Для кольца K с единицей элементы , которые делят 1, называются единицами или делителями единицы . Они и только они, обратимы в K . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными , если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b * e , где e - обратимый элемент.

Ненулевой элемент q , не являющийся единицей называется неприводимым , если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым , если из того, что , следует или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p - простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p ) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
• Если A ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.
• Если A ― коммутативное кольцо с единицей и I ― некоторый идеал в A , то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост .
• Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела , а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы . Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Смотреть что такое "Целостное кольцо" в других словарях:

Кольцо - получить на Академике актуальный промокод на скидку Спортмаркет или выгодно кольцо купить с дисконтом на распродаже в Спортмаркет

То же, что область целостности … Математическая энциклопедия

- (названное по имени французского математика Этьена Безу) это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что колецо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно… … Википедия

В коммутативной алгебре кольцом частных S 1R кольца R (коммутативного с единицей) по мультипликативной системе называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… … Википедия

Коммутативное локальное кольцо, для к рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом последнее означает, что для любого унитарного… … Математическая энциклопедия

Коммутативное целостное кольцо А, для к poro существует семейство дискретных нормировании поля частных Ккольца А, удовлетворяющее следующим условиям: а) для любого н для всех i, исключая, быть может, конечное число, б) для условие эквивалентно… … Математическая энциклопедия

Кольцо ростков аналитич. функций в точке аналитического пространства. Более точно: пусть kесть поле с нетривиальным абсолютным значением (обычно предполагаемое полным) и есть fc алгебра степенных рядов от с коэффициентами в k, сходящихся в нек… … Математическая энциклопедия

Коммутативное кольцо с единицей, любой простой идеал к рого является пересечением максимальных идеалов, его содержащих, т. е. кольцо, любое целостное факторкольцо к рого имеет нулевой Джекобсона радикал. Напр., любое артиново кольцо, кольцо целых … Математическая энциклопедия

Целостное кольцо, коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в нек ром поле, является О. ц. Обратно, любая О. ц. может быть вложена в нек рое поле. Такое вложение дает… … Математическая энциклопедия

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0≠1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0≠1… … Википедия

Область целостности (или целостное кольцо , или область цельности или просто область ) - понятие коммутативной алгебры : коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности - это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым . Любая область целостности является подкольцом своего поля частных .

Примеры

• Простейший пример области целостности - кольцо целых чисел $\backslash mathbb\; Z$.
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо $\backslash mathbb\{Z\}[x]$ многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо $\backslash mathbb\{R\}$ многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
• Множество действительных чисел вида $a+b\backslash sqrt\{2\}$ есть подкольцо поля $\backslash mathbb\{R\}$, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида $a+bi$, где $a$ и $b$ целые (множество гауссовых целых чисел).
• Пусть $U$ - связное открытое подмножество комплексной плоскости $\backslash mathbb\{C\}$. Тогда кольцо $H(U)$ всех голоморфных функций $f:U\backslash rightarrow\backslash mathbb\{C\}$ будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия .
• Если $K$ - коммутативное кольцо, а $I$ - идеал в $K$, то факторкольцо $K/I$ целостное тогда и только тогда, когда $I$ - простой идеал .

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть $a$ и $b$ - элементы целостного кольца $K$. Говорят, что «$a$ делит $b$» или «$a$ - делитель $b$» (и пишут $a\backslash mid\; b$), тогда и только тогда, когда существует элемент $x\backslash in\; K$ такой, что $ax=b$.

Делимость транзитивна: если $a$ делит $b$ и $b$ делит $c$, то $a$ делит $c$. Если $a$ делит $b$ и $c$, то $a$ делит также их сумму $b+c$ и разность $b-c$.

Для кольца $K$ с единицей делители единицы , то есть элементы $a\backslash in\; K$, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами . Они и только они в $K$ имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами . Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы $a$ и $b$ называются ассоциированными , если a делит $b$ и $b$ делит $a$. $a$ и $b$ ассоциированны тогда и только тогда, когда $a\; =\; be$, где $e$ - обратимый элемент.

Ненулевой элемент $q$, не являющийся единицей называется неприводимым , если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент $p$ называется простым , если из того, что $p\backslash mid\; ab$, следует $p\backslash mid\; a$ или $p\backslash mid\; b$. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце $\backslash mathbb\{Z\}$, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если $p$ - простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал $(p)$ будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом .

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела , а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы . Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Напишите отзыв о статье "Область целостности"

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. - 3-е изд. - М .: Факториал Пресс, 2002. - 544 с. - 3000 экз. - ISBN 5-88688-060-7 .

Отрывок, характеризующий Область целостности

– II n"est plus… [Его не стало…]
Пьер смотрел на нее через очки.
– Allons, je vous reconduirai. Tachez de pleurer. Rien ne soulage, comme les larmes. [Пойдемте, я вас провожу. Старайтесь плакать: ничто так не облегчает, как слезы.]
Она провела его в темную гостиную и Пьер рад был, что никто там не видел его лица. Анна Михайловна ушла от него, и когда она вернулась, он, подложив под голову руку, спал крепким сном.
На другое утро Анна Михайловна говорила Пьеру:
– Oui, mon cher, c"est une grande perte pour nous tous. Je ne parle pas de vous. Mais Dieu vous soutndra, vous etes jeune et vous voila a la tete d"une immense fortune, je l"espere. Le testament n"a pas ete encore ouvert. Je vous connais assez pour savoir que cela ne vous tourienera pas la tete, mais cela vous impose des devoirs, et il faut etre homme. [Да, мой друг, это великая потеря для всех нас, не говоря о вас. Но Бог вас поддержит, вы молоды, и вот вы теперь, надеюсь, обладатель огромного богатства. Завещание еще не вскрыто. Я довольно вас знаю и уверена, что это не вскружит вам голову; но это налагает на вас обязанности; и надо быть мужчиной.]
Пьер молчал.
– Peut etre plus tard je vous dirai, mon cher, que si je n"avais pas ete la, Dieu sait ce qui serait arrive. Vous savez, mon oncle avant hier encore me promettait de ne pas oublier Boris. Mais il n"a pas eu le temps. J"espere, mon cher ami, que vous remplirez le desir de votre pere. [После я, может быть, расскажу вам, что если б я не была там, то Бог знает, что бы случилось. Вы знаете, что дядюшка третьего дня обещал мне не забыть Бориса, но не успел. Надеюсь, мой друг, вы исполните желание отца.]
Пьер, ничего не понимая и молча, застенчиво краснея, смотрел на княгиню Анну Михайловну. Переговорив с Пьером, Анна Михайловна уехала к Ростовым и легла спать. Проснувшись утром, она рассказывала Ростовым и всем знакомым подробности смерти графа Безухого. Она говорила, что граф умер так, как и она желала бы умереть, что конец его был не только трогателен, но и назидателен; последнее же свидание отца с сыном было до того трогательно, что она не могла вспомнить его без слез, и что она не знает, – кто лучше вел себя в эти страшные минуты: отец ли, который так всё и всех вспомнил в последние минуты и такие трогательные слова сказал сыну, или Пьер, на которого жалко было смотреть, как он был убит и как, несмотря на это, старался скрыть свою печаль, чтобы не огорчить умирающего отца. «C"est penible, mais cela fait du bien; ca eleve l"ame de voir des hommes, comme le vieux comte et son digne fils», [Это тяжело, но это спасительно; душа возвышается, когда видишь таких людей, как старый граф и его достойный сын,] говорила она. О поступках княжны и князя Василья она, не одобряя их, тоже рассказывала, но под большим секретом и шопотом.

В Лысых Горах, имении князя Николая Андреевича Болконского, ожидали с каждым днем приезда молодого князя Андрея с княгиней; но ожидание не нарушало стройного порядка, по которому шла жизнь в доме старого князя. Генерал аншеф князь Николай Андреевич, по прозванию в обществе le roi de Prusse, [король прусский,] с того времени, как при Павле был сослан в деревню, жил безвыездно в своих Лысых Горах с дочерью, княжною Марьей, и при ней компаньонкой, m lle Bourienne. [мадмуазель Бурьен.] И в новое царствование, хотя ему и был разрешен въезд в столицы, он также продолжал безвыездно жить в деревне, говоря, что ежели кому его нужно, то тот и от Москвы полтораста верст доедет до Лысых Гор, а что ему никого и ничего не нужно. Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развивать в ней обе главные добродетели, до двадцати лет давал ей уроки алгебры и геометрии и распределял всю ее жизнь в беспрерывных занятиях. Сам он постоянно был занят то писанием своих мемуаров, то выкладками из высшей математики, то точением табакерок на станке, то работой в саду и наблюдением над постройками, которые не прекращались в его имении. Так как главное условие для деятельности есть порядок, то и порядок в его образе жизни был доведен до последней степени точности. Его выходы к столу совершались при одних и тех же неизменных условиях, и не только в один и тот же час, но и минуту. С людьми, окружавшими его, от дочери до слуг, князь был резок и неизменно требователен, и потому, не быв жестоким, он возбуждал к себе страх и почтительность, каких не легко мог бы добиться самый жестокий человек. Несмотря на то, что он был в отставке и не имел теперь никакого значения в государственных делах, каждый начальник той губернии, где было имение князя, считал своим долгом являться к нему и точно так же, как архитектор, садовник или княжна Марья, дожидался назначенного часа выхода князя в высокой официантской. И каждый в этой официантской испытывал то же чувство почтительности и даже страха, в то время как отворялась громадно высокая дверь кабинета и показывалась в напудренном парике невысокая фигурка старика, с маленькими сухими ручками и серыми висячими бровями, иногда, как он насупливался, застилавшими блеск умных и точно молодых блестящих глаз.