العلاقة الثنائية وخصائصها أمثلة. العلاقات الثنائية. أمثلة على العلاقات الثنائية. علاقة ثنائية متعدية

يمكن أن تحتوي العلاقة المحددة في مجموعة على عدد من الخصائص، وهي:

2. الانعكاسية

تعريف.سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى انعكاسيا إذا كان كل عنصر Xمجموعات Xفي علاقة رمع نفسي.

وباستخدام الرموز يمكن كتابة هذه العلاقة على النحو التالي:

ربشكل عاكس على X Û(" XÎ X) س ر س

مثال.علاقة المساواة على مجموعة من القطاعات هي علاقة انعكاسية، لأن كل قطعة تساوي نفسها.

يحتوي الرسم البياني للعلاقة الانعكاسية على حلقات في جميع القمم.

2. مضاد للانعكاس

تعريف.سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى مضاد للانعكاس إذا لم يكن هناك عنصر Xمجموعات Xليس فيما يتعلق رمع نفسي.

رالمضادة للانعكاس على X Û(" XÎ X)

مثال.العلاقة المباشرة Xعمودي على خط مستقيم في» على مجموعة خطوط الطائرة هو مضاد للانعكاس، لأن لا يوجد خط مستقيم في المستوى عمودي على نفسه.

لا يحتوي الرسم البياني للموقف المضاد للانعكاس على حلقة واحدة.

لاحظ أن هناك علاقات ليست انعكاسية ولا مضادة للانعكاس. على سبيل المثال، النظر في العلاقة "نقطة Xمتناظرة لهذه النقطة في"على مجموعة من النقاط على المستوى.

نقطة Xمتناظرة لهذه النقطة X- حقيقي؛ نقطة فيمتناظرة لهذه النقطة في– خطأ، لذلك لا يمكننا أن ندعي أن جميع نقاط المستوى متماثلة مع نفسها، كما لا يمكننا أن ندعي أنه لا توجد نقطة واحدة من المستوى متماثلة مع نفسها.

3. تناظر

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى متماثل إذا، من حقيقة أن العنصر Xفي علاقة رمع العنصر فيويترتب على ذلك العنصر فيفي علاقة رمع العنصر X.

رمتماثل X Û(" X, فيÎ X) × ص ص Þ ذ ر س

مثال.العلاقة المباشرة Xيتقاطع مع خط فيعلى مجموعة الخطوط المستقيمة للمستوى" متماثل، لأن إذا كان مستقيما Xيتقاطع مع خط في، ثم السطر فيسوف يعبر الخط بالتأكيد X.

رسم بياني لعلاقة متماثلة مع كل سهم من نقطة ما Xبالضبط فييجب أن يحتوي على سهم يصل بين نفس النقاط، ولكن في الاتجاه المعاكس.

4. عدم التماثل

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xيسمى غير متماثل إذا لم يكن هناك عناصر X, فيمن العديد Xلا يمكن أن يحدث هذا العنصر Xفي علاقة رمع العنصر فيوالعنصر فيفي علاقة رمع العنصر X.

رغير متماثل X Û(" X, فيÎ X) × ص ص Þ

مثال.سلوك " X < في» بشكل غير متماثل، لأن لعدم وجود زوج من العناصر X, فيلا يمكن أن نقول ذلك في نفس الوقت X < فيو في<X.

لا يحتوي الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة على حلقات، وإذا كان رأسان من الرسم البياني متصلين بسهم، فسيكون هناك سهم واحد فقط.

5. عدم التماثل

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى غير متماثل إذا، من حقيقة ذلك Xعلى علاقة مع في، أ فيعلى علاقة مع Xيتبع ذلك X = ش.

رغير متماثل X Û(" X, فيÎ X) × ص ص Ù ذ ر سÞ س = ص

مثال.سلوك " X£ في» بشكل غير متماثل، لأن شروط X£ فيو في£ Xيتم تنفيذها في وقت واحد فقط عندما X = ش.

يحتوي الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة على حلقات، وإذا كان رأسان من الرسم البياني متصلين بسهم، فسيكون هناك سهم واحد فقط.

6. العبورية

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى متعدية إذا لأية عناصر X, في, ضمن العديد Xمن ماذا Xعلى علاقة مع في، أ فيعلى علاقة مع ضيتبع ذلك Xعلى علاقة مع ض.

رمتعدية X Û(" X, في, ضÎ X) × ص ص Ù ذ ر ضÞ س ر ض

مثال.سلوك " Xعديد في» متعدية، لأن إذا كان الرقم الأول من مضاعفات الثاني، والثاني من مضاعفات الثالث، فإن الرقم الأول سيكون من مضاعفات الثالث.

رسم بياني للعلاقة متعدية مع كل زوج من الأسهم من Xل فيو من فيل ضيحتوي على سهم يذهب من Xل ض.

7. الاتصال

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xيسمى متصل إذا كان لأية عناصر X, فيمن العديد × ×على علاقة مع فيأو فيعلى علاقة مع Xأو س = ص.

رمتصل X Û(" X, في, ضÎ X) × ص ص Ú ذ ر ضÚ X= في

وبعبارة أخرى: الموقف رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xيسمى متصلاً إذا كان لأي عناصر مميزة X, فيمن العديد × ×على علاقة مع فيأو فيعلى علاقة مع Xأو س = ص.

مثال.سلوك " X< في» بشكل متماسك، لأن بغض النظر عن الأعداد الحقيقية التي نأخذها، فمن المؤكد أن أحدهما سيكون أكبر من الآخر أو سيكونان متساويين.

في الرسم البياني للعلاقات المتصلة، ترتبط جميع القمم ببعضها البعض بواسطة الأسهم.

مثال.تحقق من الخصائص التي يمتلكها

سلوك " X -مقسم في"، محدد في المجموعة

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) هذه العلاقة انعكاسية، لأن كل رقم من مجموعة معينة هو مقسوم على نفسه؛

2) هذه العلاقة لا تمتلك خاصية مضادة للانعكاس؛

3) خاصية التماثل غير راضية، لأن على سبيل المثال، 2 هو مقسوم على 4، لكن 4 ليس مقسومًا على 2؛

4) هذه العلاقة غير متماثلة: يمكن لعددين أن يكونا مقسومين على بعضهما البعض في وقت واحد فقط إذا كانت هذه الأرقام متساوية؛

5) العلاقة متعدية، لأن إذا كان الرقم الأول هو المقسوم على الثاني، والثاني هو المقسوم على الثالث، فإن الرقم الأول سيكون بالضرورة مقسوما على الثالث؛

6) العلاقة لا تملك خاصية الترابط، لأن على سبيل المثال، الرقمان 2 و 3 على الرسم البياني غير متصلين بواسطة سهم، لأن رقمان مختلفان 2 و 3 ليسا مقسومين على بعضهما البعض.

وبالتالي فإن هذه العلاقة لها خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والعبور.

§ 3. علاقة التكافؤ.
العلاقة بين علاقة التكافؤ وتقسيم المجموعة إلى فئات

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة التكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.

مثال.النظر في العلاقة " Xزميل الصف في"على العديد من طلاب كلية التربية. لديها الخصائص التالية:

1) الانعكاسية، لأن كل طالب هو زميله.

2) التماثل، لأن إذا كان طالبا X في، ثم الطالب فيهو زميل للطالب X;

3) العبور، لأن إذا كان طالبا X- زميل الصف في، والطالب في- زميل الصف ض، ثم الطالب Xسيكون زميل الطالب ض.

وبالتالي فإن هذه العلاقة لها خصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ. وفي الوقت نفسه، يمكن تقسيم العديد من طلاب كلية التربية إلى مجموعات فرعية تتكون من طلاب يدرسون في نفس المقرر الدراسي. نحصل على 5 مجموعات فرعية.

علاقات التكافؤ هي أيضًا، على سبيل المثال، علاقة توازي الخطوط، علاقة تساوي الأرقام. ترتبط كل علاقة من هذا القبيل بتقسيم المجموعة إلى فئات.

نظرية.إذا على مجموعة Xبالنظر إلى علاقة التكافؤ، فإنه يقسم هذه المجموعة إلى مجموعات فرعية منفصلة زوجية (فئات التكافؤ).

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا تم تحديد أي علاقة في المجموعة X، ينشئ قسمًا من هذه المجموعة إلى فئات، فهي علاقة تكافؤ.

مثال.على مجموعة X= (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ 6؛ 7؛ 8) تم تحديد العلاقة "أن يكون لها نفس الباقي عند القسمة على 3". هل هي علاقة تكافؤ؟

لنقم ببناء رسم بياني لهذه العلاقة:

وتتميز هذه العلاقة بخصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ وتقسم المجموعة Xإلى فصول المعادلة. في كل فئة معادلة سيكون هناك أرقام عند قسمتها على 3 تعطي نفس الباقي: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

ويعتقد أن فئة التكافؤ يتم تحديدها من قبل أي من ممثليها، أي. عنصر تعسفي من هذه الفئة. وبالتالي، يمكن تحديد فئة من الكسور المتساوية عن طريق تحديد أي كسر ينتمي إلى هذه الفئة.

في الدورة الأولية للرياضيات، يتم أيضًا مواجهة علاقات التكافؤ، على سبيل المثال، "التعبيرات". Xو فيلها نفس القيم العددية"، "الشكل Xيساوي هذا الرقم في».

تعريفات

1. علاقة ثنائيةبين عناصر المجموعات أو فييتم استدعاء أي مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي رئاب، ريا.

2. إذا أ = ب، الذي - التي ر- هذا علاقة ثنائيةعلى أ.

3. التعيين: (x, y)ÎR Û xRy.

4. اِختِصاصعلاقة ثنائية ر- هذا كثير د ص = (س: موجود ذمثل ذلك (س، ص)ОR}.

5. مدى من القيمعلاقة ثنائية ر- هذا كثير ص ص = (ص: موجود سمثل ذلك (س، ص)ОR}.

6. إضافةعلاقة ثنائية ربين العناصر أو في- هذا كثير -R = (أ'ب)\R.

7. الموقف العكسيلعلاقة ثنائية ر- هذا كثير R -1 = ((y, x) : (x, y)ÎR).

8. نتاج العلاقات ص 1 أ بو ص 2 ÍB´C –إنه موقف ر 1 × ر 2 = {(س، ص): موجود زيبمثل ذلك (خ، ض)ОR 1و (ض، ذ)ОR 2}.

9. سلوك Fمُسَمًّى وظيفةمن أ الخامس في، إذا توفر شرطان:

أ) د و = أ, ص و Н V

ب) للجميع س,ذ 1,ذ 2من ماذا (س، ص 1)فو (س، ص 2)فيجب ص 1 = ص 2.

10. سلوك Fتسمى وظيفة أ على فيإذا تم استيفاؤه في الفقرة الأولى د و = أ, ص و = ب.

11. تعيين: (س، ذ)Îf Û ذ = و(س).

12. تطابقوظيفة أنا ج: أ®أيتم تعريفه على النحو التالي: أنا أ (س) = س.

13. وظيفة F دعا 1-1 -وظيفة، إذا كان لأي × 1, × 2, ذمن ماذا ص = و(س 1)و ص = و(س 2)يجب س 1 = س 2.

14. وظيفة و: أ®بيقوم بتفيذ مراسلة شخص لشخصبين أو في، لو د و = أ, ص و = بو Fهي وظيفة 1-1.

15. خصائص العلاقة الثنائية رعلى مجموعة أ:

- الانعكاسية: (س، س)ОRللجميع xÎA.

- عدم الانعكاس: (س، س)ÏRللجميع xÎA.

- تناظر: (س، ذ)ÎR Þ (ص، س)ÎR.

- عدم التماثل: (x, y)ОR و (y, x)ОR Þ x=y.

- عبورية: (x, y)ОR و (y, z)ОR Þ (x, z)ОR.

- تفرع ثنائي:أو (س، ص)ОR، أو (ص، س)ОRللجميع xÎAو نعم.

16. مجموعات أ 1, أ2, ..., أ صمن ف (أ)استمارة تقسيممجموعات أ، لو

- أ ط ¹ Æ, أنا = 1, ..., ص,

- أ = أ 1 أ 2 د...أ ر,

- أ ط ج = Æ, ط¹ي.

مجموعات فرعية أ, أنا = 1, ..., ص، وتسمى كتل التقسيم.

17. التكافؤعلى مجموعة أهي علاقة انعكاسية، متعدية ومتماثلة أ.

18. فئة المعادلةعنصر سبالتكافؤ ر- هذا كثير [س] ص =(ص: (س، ص)ÎR).

19. مجموعة العواملأبواسطة رهي مجموعة فئات التكافؤ لعناصر المجموعة أ. تعيين: أ/ر.

20. فئات التكافؤ (عناصر مجموعة العوامل أ/ر) تشكيل قسم من المجموعة أ.خلف. أي قسم من المجموعة أيتوافق مع علاقة التكافؤ ر، والتي تتطابق فئات تكافؤها مع كتل القسم المحدد. بشكل مختلف. كل عنصر من عناصر المجموعة أيقع في بعض فئة التكافؤ من أ/ر. فئات التكافؤ إما لا تتقاطع أو تتزامن.

21. النظام السابقعلى مجموعة أهي علاقة انعكاسية ومتعدية أ.

22. طلب جزئىعلى مجموعة أهي علاقة انعكاسية، متعدية وغير متماثلة أ.

23. الترتيب الخطيعلى مجموعة أهي علاقة انعكاسية، متعدية وغير متماثلة على A، تحقق خاصية الانقسام.

مثال 1.

يترك أ=(1, 2 , 3} , ب=(أ, ب). لنكتب المنتج الديكارتي: أ ب = ((1, أ), (1 , ب), (2 , أ), (2 , ب), (3 , أ), (3 , ب) ). لنأخذ أي مجموعة فرعية من هذا المنتج الديكارتي: ص = ((1, أ), (1 , ب), (2 , ب) ). ثم رهي علاقة ثنائية على مجموعات أو ب.

هل ستكون هذه العلاقة دالة؟ دعونا نتحقق من استيفاء الشرطين 9أ) و9ب). مجال تعريف العلاقة ر- هذا كثير د ص = (1، 2) ¹ (1، 2، 3)أي أن الشرط الأول لم يتحقق، وبالتالي رتحتاج إلى إضافة أحد الأزواج: (3 , أ)أو (3 , ب). إذا قمت بإضافة كلا الزوجين، فلن يتم استيفاء الشرط الثاني، منذ ذلك الحين أ¹ب. لنفس السبب من رتحتاج إلى التخلص من أحد الأزواج: (1 , أ)أو (1 , ب). وبالتالي فإن الموقف ر ™ = ((1, أ), (2 , ب), (3 , ب) )هي وظيفة. لاحظ أن ص ™ليست وظيفة 1-1.

على مجموعات معينة أو فيالعلاقات التالية ستكون أيضًا وظائف: { (1 , أ), (2 , أ), (3 , أ) ), { (1 , أ), (2 , أ), (3 , ب) ), { (1 , ب), (2 , ب), (3 , ب) )إلخ.

مثال 2.

يترك أ=(1, 2 , 3} . مثال على العلاقة على مجموعة أيكون ص = ( (1، 1)، (2، 1)، (2، 3)). مثال على وظيفة على مجموعة أيكون و = ( (1، 1)، (2، 1)، (3، 3)).

أمثلة على حل المشكلات

1. ابحث عن دكتور,ص ر,ص-1,ص × ص,ص × ص -1,ص -1×رل R = ((x، y) | x، y О D و x+y £0).

لو (س، ص)ОR، الذي - التي سو ذيمر عبر جميع الأعداد الحقيقية. لهذا دكتور= ص ر = د.

لو (س، ص)ОR، الذي - التي س+ص £0، وسائل ص + س £0و (ص، س)ОR. لهذا ص -1 = ر.

لأي xÎD, نعملنأخذ ض=-|الحد الأقصى(x, y)|-1، ثم x + z £ 0 و z + y £ 0، أي. (س، ض)ОRو (ض، ذ)ОR.لهذا ص × ص = ص × ص -1= ص -1 × ص = د 2.

2. لماذا العلاقات الثنائية رعدل ص -1 = -ر?

يترك راب. هناك نوعان من الحالات الممكنة:

(1) أب¹Æ. لنأخذ xÎAAB. ثم (x, x)ÎR Û (x, x)ÎR -1 Û (x, x)Î-R Û (x, x)Î(A´B) \ R Û (x, x)ÏR. تناقض.

(2) AB=Æ. لأن R -1 ÍB'A، أ - راب، الذي - التي ص -1 = -ر= Æ. من ص -1 = Æيتبع ذلك ص = Æ. من -R = Æيتبع ذلك ص = أ'ب. تناقض.

ولذلك إذا أ¹Æو ب¹Æثم مثل هذه العلاقات رغير موجود.

3. على المجموعة دالأعداد الحقيقية نحدد النسبة ربالطريقة الآتية: (x, y)ОR Û (x–y)- رقم منطقي. اثبت ذلك رهناك التكافؤ.

الانعكاسية:

لأي احد xÎD س-س=0- رقم منطقي. لأن (س، س)ОR.

تناظر:

لو (س، ص)ОR، الذي - التي س-ص =. ثم ص-س=-(س-ص)=- –رقم منطقي. لهذا (ص، س)ОR.

عبورية:

لو (س، ص)ОR, (ص، ض)ОR، الذي - التي س-ص = و ص-ض =. وبجمع هاتين المعادلتين، نحصل على ذلك xz = + - رقم منطقي. لهذا (س، ض)ОR.

لذلك، رهو التكافؤ.

4. تقسيم الطائرة د 2يتكون من الكتل الموضحة في الشكل أ). اكتب علاقة التكافؤ ر، المقابلة لهذا القسم، وفئات التكافؤ.

مهمة مماثلة ل ب) و ج).

أ) النقطتان متساويتان إذا كانتا تقعان على خط من النموذج ص=2س+ب، أين ب- أي عدد حقيقي.

ب) نقطتان (× 1، ص 1)و (س 2، ص 2)مكافئة إذا (جزء صحيح × 1يساوي الجزء كله × 2) و (جزء صحيح ذ 1يساوي الجزء كله ذ 2).

ج) تقرر بنفسك.

مهام الحل المستقل:

1. أثبت أنه إذا Fهناك وظيفة من أالخامس بو زهناك وظيفة من بالخامس ج، الذي - التي و × زهناك وظيفة من أالخامس ج.

2. دع أو ب- مجموعات محدودة تتكون من عناصر m وn، على التوالي.

أ) ما عدد العلاقات الثنائية الموجودة بين عناصر المجموعات؟ أو ب?

ب) كم عدد الوظائف الموجودة منها أالخامس ب?

ج) كم عدد الوظائف 1-1 الموجودة منها أالخامس ب?

د) في ماذا مو نهناك مراسلات فردية بين أو ب?

3. أثبت ذلك Fيفي بالشرط f(AAB)=f(A)Cf(B)لأي أو بثم وفقط عندما Fهناك 1-1 وظائف.

التوافقيات

منتج جميع الأعداد الطبيعية من 1 قبل نيُشار إليه بـ:

ن! = 1·2·3·…·(ن-1)·ن، 0! = 1

يترك X=(x 1 , x 2 , ..., x n )- وهذا كثير نعناصر، ك جنيه ن.

إقامةعناصر من Xمقدار كهي مجموعة فرعية مرتبة من كالعناصر التي تنتمي إليها X.

عدد مواضع الحجم كمن ن

= نك(يعني الأماكن)

إذا لكل أنا-عشر من كالمواقف التي يمكنك وضع واحدة منها تشيعناصر المجموعة X، فإن عدد هذه المواضع يساوي:

(ف 1 , ف 2 , ..., ف ن) = ف 1 × ف 2 × ... × ف ن

عدد مواضع الحجم كمن ن

= ن(ن - 1)(ن - 2) … (ن - ك + 1)=

إعادة الترتيبعناصر من X- هذا هو موضع العناصر من Xمقدار ن.

عدد التباديل من نعناصر مختلفة:

=Pn= ن!

لو نتحتوي العناصر تشيعناصر أنا-الصف العاشر، ف 1 + ف 2 + ... + ف م = نوإذا كانت العناصر من نفس النوع متطابقة، فإن عدد التباديل يساوي:

ف ن (ف 1 , س 2 , ..., ف م) =

مزيجعناصر من Xمقدار كهي مجموعة فرعية غير مرتبة من كالعناصر التي تنتمي إليها X.

يمكن أيضًا أن تكون المجموعات والمواضع والتباديل مع تكرار عناصر المجموعة X(غير محدودة ومحدودة).

عدد مجموعات الحجم كمن نعناصر مختلفة دون تكرار:

عدد مجموعات الحجم كمن نعناصر مختلفة مع تكرار غير محدود:

نظرية ثنائية:

ملكيات:

(2)

(4)

(5)

عند حل المسائل التوافقية، غالبًا ما تُستخدم القواعد التوافقية التالية:

1. حكم المجموع.إذا كان من الممكن اختيار الكائن A بطرق n، والكائن B بطرق m أخرى، فيمكن إجراء الاختيار "إما A أو B" بطرق n+m.
2. سيادة المنتج.إذا كان من الممكن اختيار الكائن A بطرق n، وبعد كل من هذه الاختيارات، يمكن اختيار الكائن B بدوره بطرق m، ثم اختيار "A و B" بهذا الترتيب يمكن أن يتم بطرق n×m.

مهمة المثال. من 12 فتاة و10 فتيان، يتم اختيار فريق من خمسة. بكم طريقة يمكن اختيار هذا الفريق بحيث لا يضم أكثر من ثلاثة شباب؟

حل. الشرط "لا يزيد عن ثلاثة" يعني أنه يمكن للفريق أن يضم أو 3 شباب، أو 2 شباب، أو 1 شاب, أوليس شابا واحدا. وهكذا فإن المشكلة تميز بين أربع حالات مختلفة. وفقا لقاعدة الإضافة، تحتاج إلى حساب عدد الخيارات في كل من هذه الحالات و يطوىهُم.

دعونا ننظر في الحالة الأولى. تحتاج إلى حساب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها الاختيار من بين 12 فتاة و10 فتيان لفريق يتكون من 3 فتيان وفتاتين. من بين 10 أولاد، يمكنك اختيار 3 أولاد بطرق مختلفة. لكل ثلاثة فتيان مختارين، يمكنك أيضًا اختيار فتاتين من أصل 12. ولذلك تعمل قاعدة الضرب وفي الحالة الأولى يكون عدد خيارات الأمر يساوي ×.

وكذلك في الحالة الثانية: ×.

وفي الحالة الثالثة : × .

وفي الحالة الرابعة: .

الإجابة النهائية: × + × + × + .

أمثلة على حل المشكلات

№1.17. n (n>2) يجلس الأشخاص على طاولة مستديرة. سنعتبر الموضعين متطابقين إذا كان لكل شخص نفس الجيران في كلتا الحالتين. كم عدد الطرق المتاحة للجلوس على الطاولة؟

حل.

العدد الإجمالي لترتيبات الجلوس الممكنة يساوي عدد التباديل للعناصر n P n = n! ومع ذلك، يجب استبعاد تلك المتطابقة من ترتيبات الجلوس هذه. يتم الحفاظ على علاقة الجوار في ظل التباديل الدوري (يوجد منها n) وأثناء الانعكاس المتماثل (يوجد أيضًا n منها):

لذلك بطرق المجموع (القسمة لأن قاعدة الضرب)

№1.19. يتم سحب 10 بطاقات من مجموعة تحتوي على 52 بطاقة. في كم حالة سيكون هناك آس واحد على الأقل بين هذه البطاقات؟

حل.

هناك 10 طرق فقط لإزالة 10 بطاقات من المجموعة. ومن بين هذه الحالات، لن يكون هناك آيس واحد في العينة. لذلك الجواب هو .

№1.20. بكم طريقة يمكن تكوين ثلاثة أزواج من لاعبي الشطرنج؟

حل.

أولاً، سوف نختار 6 أشخاص من لاعبي الشطرنج. هناك طرق للقيام بذلك. الآن سوف نقوم بتقسيم كل ستة إلى أزواج. للقيام بذلك، دعونا نضع 6 لاعبين شطرنج على التوالي، على افتراض أن لديهم أسماء: أ، ب، ج، د، ه، و. يمكن القيام بذلك 6! طرق. ومع ذلك، فإن الترتيب داخل كل زوج وترتيب الأزواج نفسها ليس مهمًا بالنسبة لنا. التباديل التي يقوم فيها لاعبو الشطرنج بتغيير أماكنهم في أزواج 2 3. التباديل التي يتم فيها تبديل الأزواج 3!. لذلك، هناك طرق لتقسيم 6 لاعبي الشطرنج إلى أزواج. إجابة .

№1.24. ما عدد الأعداد من 0 إلى 10 n التي لا تحتوي على رقمين متطابقين متتاليين؟

حل.

دعونا نفكر في جميع الأرقام المكونة من رقم n. يمكننا اختيار الرقم الأول بتسع طرق. لكي يكون الرقم الثاني مختلفًا عن الأول، يمكن أيضًا تحديده بـ 9 طرق. عدد هذه الأرقام المكونة من أرقام n يساوي عدد مواضع المجلد n المكون من 9 عناصر مع تكرارات غير محدودة، أي. يساوي 9 n لـ n>1 و10 لـ n=1.

وبالتالي فإن الجواب هو 10+9 2 +9 3 +...+9 ن. الرقم 10 ن غير مناسب

نظرية الخوارزميات

· لتكن N مجموعة الأعداد الطبيعية بما فيها الصفر.

· في هذا القسم من الدورة، سيتم النظر في دوال العديد من المتغيرات f n (x 1, ..., x n) المحددة على مجموعة معينة MÍN n ذات القيم الطبيعية، أي. f n (x 1 , ..., x n)ÎN, x i ÎN لـ i=1, ..., n, أو f n Í N n +1 .

· يتم استدعاء الدالة f n (x 1, ..., x n) في كل مكان إذا كان مجال تعريفها هو N n، أي. لأي مجموعة من الأعداد الطبيعية n، يوجد عدد طبيعي يمثل قيمة الدالة f n.

· أبسط الوظائف المحددة في كل مكان:

1.s(x)=x+1 لأي ​​x;

2.o(x)=0 لأي x;

3. أنا ن م (س 1، ...، س م، ...، س ن) = س م.

يتم تعريف هذه الوظائف الأبسط في كل مكان، ومن خلالها، باستخدام عدد محدود من تطبيقات العوامل الموضحة أدناه، يمكن إنشاء وظائف أكثر تعقيدًا.

· عامل التراكب:

يتم الحصول على الدالة h n (x 1 , ..., x n) من الوظائف g m , f n 1 , ..., f n m باستخدام عامل التراكب إذا h n (x 1 , ..., x n) = g m (f n 1 ( x 1 , ..., x n), ..., f n m (x 1, ..., x n)).

· عامل العودية البدائية:

يتم الحصول على الدالة f n +1 (x 1, ..., x n, y) من الوظائف g n (x 1, ..., x n) و h n +2 (x 1, ..., x n, y, z ) باستخدام مشغل العودية البدائي، إذا كان من الممكن تحديده من خلال نظام العودية البدائي:

æf n+1 (x 1 , ..., x n , 0) = g n (x 1 , ..., x n),

èf n+1 (x 1 , ..., x n , y+1) = h n+2 (x 1 , ..., x n , y, f n+1 (x 1 , ..., x n , y )).

· عامل التصغير:

يتم الحصول على الدالة f n (x 1 , ..., x n) من الدالة g n +1 (x 1 , ..., x n , y) باستخدام عامل التصغير ويشار إليها بـ f n (x 1 , ..., x n )=بلدي، إذا:

يتم تعريف f n (x 1 , ..., x n) ويساوي y Û g n +1 (x 1 , ..., x n , 0), ..., g n +1 (x 1 , ..., x n ، y -1) محددة ولا تساوي الصفر، و g n +1 (x 1, ..., x n, y)=0.

(يمكنك أيضًا أن تقول: "إن الدالة f n (x 1, ..., x n) تساوي الحد الأدنى لقيمة y التي تصبح عندها الدالة g n +1 صفرًا")

· دالة العودية البدائية (prf)

تسمى الدالة f n +1 (x 1 , ..., x n , y) عودية بدائية إذا كان من الممكن الحصول عليها من دوال بسيطة باستخدام عدد محدود من تطبيقات التراكب وعوامل التكرار البدائية.

تجدر الإشارة إلى أن جميع الوظائف العودية البدائية محددة في كل مكان.

· دالة عودية جزئيًا (prf)

يقال إن الدالة f n +1 (x 1 , ..., x n , y) متكررة جزئيًا إذا كان من الممكن الحصول عليها من دوال بسيطة باستخدام عدد محدود من تطبيقات عوامل التراكب والتكرار البدائي والتصغير.

· من خلال التعريفات من السهل أن نرى أن الوظائف العودية البدائية هي أيضًا وظائف متكررة جزئيًا. ومع ذلك، هناك وظائف عودية جزئيًا ليست عودية بدائية.

أمثلة على حل المشكلات

1. أثبت أن الوظائف التالية عودية بدائية.

حل. يمكن الحصول على الدالة f(x) بتطبيق عامل التراكب n مرات على أبسط دالة s(x).

حل. يمكن تحديد الدالة f(x) من خلال نظام العودية البدائي التالي:

æf(x, 0) = x = أنا 1 1 (x),

èf(x, y+1) = x+y+1=f(x,y)+1=s(f(x,y))=s(I 3 3 (x,y,f(x,y) )).

هنا الدالة g(x) لها الصيغة g(x)= I 1 1 (x) وهي، كما هو متوقع، دالة لمتغير واحد. والدالة h(x,y,z) لها الشكل h(x,y,z)=s(I 3 3 (x,y,z)) وهي دالة مكونة من ثلاثة متغيرات.

لاحظ أن الدالتين g(x) وh(x,y,z) هما prf، منذ ذلك الحين g(x) هي ثالث أبسط دالة، ويمكن الحصول على h(x,y,z) من أبسط الدوال s(x) وI 3 3 (x,y,z) عن طريق تطبيق عامل التراكب.

بما أن الدالة f(x,y) يمكن الحصول عليها باستخدام عامل العودية البدائي من الدوال العودية البدائية g(x) وh(x,y,z)، فإن f(x,y) هي prf.

حل.يمكن تحديد الدالة f(x) من خلال نظام العودية البدائي التالي:

æf(س، 0) = 0 = س(س)،

èf(x, y+1) = x(y+1)=xy+x=f(x,y)+x= I 3 3 (x,y,f(x,y))))+ I 3 1 ( س، ص، و (س، ص))).

بما أنه يمكن الحصول على الدالة f(x,y) باستخدام عامل العودية البدائي من الدوال العودية البدائية g(x)=o(x) و h(x,y,z) = I 3 3 (x,y,z )) + I 3 1 (x,y,z)))، ثم f(x,y) – prf.

2. اجعل g(x 1 , ..., x n ,y) دالة عودية بدائية. أثبت أن الوظيفة التالية عودية بدائية:

حل.خصوصية هذه الوظيفة هي أن الجمع يتم على عدد متغير من المصطلحات. ومع ذلك، يمكن تحديد الدالة f n +1 من خلال نظام العودية البدائي التالي:

æf(x 1 , ..., x n , 0) = g(x 1 , ..., x n ,0) - prf,

èf(x 1 , ..., x n , y+1) = = f(x 1 , ..., x n , y) + g(x 1 , ..., x n ,y+1) - مجموع prf g والدالة f نفسها.

3. أثبت أن الوظيفة التالية متكررة جزئيًا.

حل.دعونا نبين أنه يمكن الحصول على الدالة f(x,y) باستخدام عامل التصغير.

دع x³y، ثم يتم تعريف f(x,y) ويأخذ قيمة معينة: f(x,y) = x-y = z. كيفية حساب ض؟ يمكننا اقتراح الطريقة التالية: بدءًا من الصفر، قم بالتكرار عبر جميع قيم z بالترتيب حتى يتم استيفاء الشرط x-y=z، أو x-y-z=0. سيكون هناك بالتأكيد مثل هذا Z، لأنه س-ص³0. إذا س-ص<0, то ни какое натуральное z не подойдет.

سيكتبها المبرمج على النحو التالي:

كثافة العمليات غير الموقعة f(x,y)

while((x-y-z)!=0) z++;

يمكن كتابة الشيء نفسه من حيث عامل التصغير:

f(x, y)=mz[|x–y–z|=0]

الوحدة ضرورية حتى تكون الدالة g(x,y,z)=|x–y–z| تم تحديده حتى لو كان x-y<0. Заметим, что g(x,y,z)=|x–y–z| является примитивно рекурсивной, т.к. может быть получена с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции к простейшим функциям.

أ) دالة لم يتم تعريفها في أي مكان (أي دالة ذات مجال تعريف فارغ)؛

ب)

ج)

يترك رهي بعض العلاقات الثنائية في المجموعة X، وx، y، z هي أي من عناصرها. إذا كان العنصر x في علاقة R مع العنصر y، فاكتب xRy.

1. تسمى العلاقة R على المجموعة X انعكاسية إذا كان كل عنصر في المجموعة في هذه العلاقة مع نفسه.

R -انعكاس على X<=>xRx لأي x€ X

إذا كانت العلاقة R انعكاسية، فهناك حلقة عند كل قمة من الرسم البياني. على سبيل المثال، علاقات المساواة والتوازي للقطاعات هي علاقات انعكاسية، لكن علاقات التعامد و"الأطول" ليست انعكاسية. وينعكس هذا في الرسوم البيانية في الشكل 42.

2. تسمى العلاقة R في المجموعة X متماثلة إذا كان العنصر x في علاقة معينة مع العنصر y، يتبع ذلك العنصر y في نفس العلاقة مع العنصر x.

R - متماثل على (xYay =>y Rx)

يحتوي الرسم البياني للعلاقة المتماثلة على أسهم مقترنة تسير في اتجاهين متعاكسين. علاقات التوازي والتعامد والمساواة للقطاعات تكون متناظرة، ولكن العلاقة "الأطول" ليست متناظرة (الشكل 42).

3. تسمى العلاقة R في مجموعة X غير متماثلة إذا، بالنسبة للعناصر المختلفة x و y من المجموعة X، من حقيقة أن العنصر x في علاقة معينة مع العنصر y، يترتب على ذلك أن العنصر y ليس كذلك في هذه العلاقة مع العنصر x.

R - غير متماثل على X « (xRy و xy ≠ yRx)

ملاحظة: يشير الشريط العلوي إلى نفي العبارة.

في الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة، لا يمكن ربط نقطتين إلا بسهم واحد. مثال على هذه العلاقة هو العلاقة "الأطول" للقطاعات (الشكل 42). علاقات التوازي والتعامد والمساواة ليست غير متماثلة. هناك علاقات ليست متماثلة ولا غير متماثلة، على سبيل المثال علاقة “أن تكون أخًا” (الشكل 40).

4. تسمى العلاقة R في مجموعة X متعدية إذا كان العنصر x في علاقة معينة مع العنصر y والعنصر y في هذه العلاقة مع العنصر z، فإنه يترتب على ذلك أن العنصر x موجود في علاقة معينة مع العنصر Z

R - متعدية على A≠ (xRy و yRz=> xRz)

في الرسوم البيانية لعلاقات التوازي والمساواة "الأطول" في الشكل 42، يمكنك ملاحظة أنه إذا انتقل السهم من العنصر الأول إلى العنصر الثاني ومن الثاني إلى الثالث، فمن المؤكد أن هناك سهمًا ينتقل من العنصر الأول العنصر إلى الثالث. هذه العلاقات متعدية. عمودي القطاعات ليس له خاصية العبور.

هناك خصائص أخرى للعلاقات بين عناصر من نفس المجموعة لا نأخذها في الاعتبار.

يمكن أن يكون للعلاقة نفسها عدة خصائص. لذلك، على سبيل المثال، في مجموعة من الأجزاء، تكون العلاقة "المتساوية" انعكاسية، ومتماثلة، ومتعدية؛ العلاقة "المزيد" غير متماثلة ومتعدية.

إذا كانت العلاقة على المجموعة X انعكاسية ومتماثلة ومتعدية، فهي علاقة تكافؤ في هذه المجموعة. مثل هذه العلاقات تقسم المجموعة X إلى فئات.

تتجلى هذه العلاقات، على سبيل المثال، عند إكمال المهام: "التقط شرائح متساوية الطول ورتبها في مجموعات"، "رتب الكرات بحيث يحتوي كل صندوق على كرات من نفس اللون". تحدد علاقات التكافؤ ("أن تكون متساوية في الطول"، "أن تكون من نفس اللون") في هذه الحالة تقسيم مجموعات الخطوط والكرات إلى فئات.

إذا كانت العلاقة في المجموعة 1 متعدية وغير متماثلة، فإنها تسمى علاقة ترتيبية في هذه المجموعة.

تسمى المجموعة التي لها علاقة ترتيبية معينة بالمجموعة المرتبة.

على سبيل المثال، عند إكمال المهام: "مقارنة الشرائط في العرض وترتيبها من الأضيق إلى الأوسع"، "مقارنة الأرقام وترتيب بطاقات الأرقام بالترتيب"، يقوم الأطفال بترتيب عناصر مجموعات الشرائط وبطاقات الأرقام استخدام العلاقات النظامية؛ "ليكون أوسع"، "ليتبع".

بشكل عام، تلعب علاقات التكافؤ والنظام دورًا كبيرًا في تكوين الأفكار الصحيحة لدى الأطفال حول تصنيف المجموعات وترتيبها. بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من العلاقات الأخرى التي ليست علاقات تكافؤ ولا علاقات ترتيب.

6. ما هي الخاصية المميزة للمجموعة؟

7. في أي علاقات يمكن أن توجد المجموعات؟ أعط تفسيراً لكل حالة وصوّرها باستخدام دوائر أويلر.

8. تحديد مجموعة فرعية. أعط مثالاً على مجموعات، إحداها هي مجموعة فرعية من الأخرى. اكتب علاقتهما باستخدام الرموز.

9. تحديد مجموعات متساوية. أعط أمثلة على مجموعتين متساويتين. اكتب علاقتهما باستخدام الرموز.

10. تحديد تقاطع مجموعتين وتصويره باستخدام دوائر أويلر لكل حالة على حدة.

11. تعريف اتحاد مجموعتين وتصويره باستخدام دوائر أويلر لكل حالة على حدة.

12. حدد الفرق بين مجموعتين ورسمه باستخدام دوائر أويلر لكل حالة على حدة.

13. تعريف المكمل وتصويره باستخدام دوائر أويلر.

14. ما يسمى تقسيم مجموعة إلى فئات؟ اذكر شروط التصنيف الصحيح.

15. ما يسمى المراسلات بين مجموعتين؟ تسمية طرق تحديد المراسلات.

16. ما هو نوع المراسلات التي تسمى "واحد لواحد"؟

17. ما هي المجموعات التي تسمى متساوية؟

18. ما هي المجموعات التي تسمى متكافئة؟

19. قم بتسمية طرق تحديد العلاقات في المجموعة.

20. ما العلاقة على مجموعة تسمى انعكاسية؟

21. ما هي العلاقة على مجموعة تسمى متماثل؟

22. ما هي العلاقة على المجموعة التي تسمى غير متماثلة؟

23. ما هي العلاقة على مجموعة تسمى متعدية؟

24. تحديد علاقة التكافؤ.

25. تحديد علاقة الطلب.

26. ما هي المجموعة التي تسمى مرتبة؟

أساسيات الرياضيات المنفصلة.

مفهوم المجموعة. العلاقة بين المجموعات.

المجموعة عبارة عن مجموعة من الكائنات التي لها خاصية معينة، مدمجة في كل واحد.

تسمى الكائنات التي تشكل مجموعة عناصرالجموع. لكي يطلق على مجموعة معينة من الكائنات اسم مجموعة، يجب استيفاء الشروط التالية:

· يجب أن تكون هناك قاعدة يمكن من خلالها تحديد ما إذا كان العنصر ينتمي إلى مجموعة سكانية معينة.

· لا بد من وجود قاعدة يمكن من خلالها تمييز العناصر عن بعضها البعض.

يتم الإشارة إلى المجموعات بأحرف كبيرة وعناصرها بأحرف صغيرة. طرق تحديد المجموعات:

· سرد عناصر المجموعة. - للمجموعات المحدودة.

· بيان الخاصية المميزة .

مجموعة فارغة- تسمى المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد (Ø).

يقال أن مجموعتين متساويتين إذا كانتا تتكونان من نفس العناصر. , أ = ب

مجموعة من بتسمى مجموعة فرعية من المجموعة أ(، إذا وفقط إذا كانت جميع عناصر المجموعة بتنتمي إلى الكثير أ.

على سبيل المثال: ، ب =>

ملكية:

ملحوظة: عادة ما يتم أخذ مجموعة فرعية من نفس المجموعة بعين الاعتبار، والتي تسمى عالمي(ش). المجموعة العالمية تحتوي على جميع العناصر.

العمليات على المجموعات

أ

ب

1. منظمةمجموعتان A وB هي مجموعة تحتوي على عناصر المجموعة A أو المجموعة B (عناصر مجموعة واحدة على الأقل من المجموعات).

2.بالعبورالمجموعتان عبارة عن مجموعة جديدة تتكون من عناصر تنتمي في نفس الوقت إلى المجموعتين الأولى والثانية.

لا.: ، ،

الخاصية: عمليات الاتحاد والتقاطع.

· التبادلية.

· الترابط. ;

· التوزيع. ;

ش

4.إضافة. لو أ- مجموعة فرعية من المجموعة العالمية ش، ثم تكملة المجموعة أكثير جدا ش(يُشار إليه بـ ) عبارة عن مجموعة تتكون من عناصر المجموعة تلك ش، والتي لا تنتمي إلى المجموعة أ.

العلاقات الثنائية وخصائصها.

يترك أو فيهذه مجموعات ذات طبيعة مشتقة، فكر في زوج مرتب من العناصر (أ، ب) أ ϵ أ، ج ϵ بيمكن للمرء أن يفكر في "إنكي" المطلوبة.

(أ1، أ2، أ3،...أ ن)، أين أ 1 ϵ أ 1؛ أ 2 ϵ أ 2؛ ...; أن ϵ ا ن ؛

المنتج الديكارتي (المباشر) للمجموعات أ 1، أ 2، …، أ ن، تسمى مجموعة، والتي تتكون من أمر n k من النموذج.

لا.: م= {1,2,3}

م × م = م 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

مجموعات فرعية من المنتج الديكارتي تسمى نسبة الطاقة نأو علاقة إنارية. لو ن=2 ثم تأمل الثنائيةعلاقة. ماذا يقولون ذلك أ 1، أ 2هم في علاقة ثنائية ر، متى أ1 ر2.

العلاقة الثنائية على مجموعة مهي مجموعة فرعية من المنتج المباشر للمجموعة نعلى نفسك.

م × م = م 2= {(أ، ب)| أ، ب ϵ م) في المثال السابق كانت النسبة أصغر في المجموعة مينشئ المجموعة التالية: ((1,2);(1,3); (2,3))

العلاقات الثنائية لها خصائص مختلفة منها:

الانعكاسية: .

· مضادات الانعكاس (اللاانعكاسية): .

· تناظر: .

· عدم التماثل : .

· عبورية: .

· عدم التماثل : .

أنواع العلاقات.

· علاقة التكافؤ.

· علاقة النظام.

v تسمى العلاقة الانعكاسية المتعدية علاقة شبه مرتبة.

v تسمى العلاقة المتعدية المتماثلة الانعكاسية بعلاقة التكافؤ.

v تسمى العلاقة المتعدية الانعكاسية غير المتماثلة بعلاقة ترتيبية (جزئية).

v تسمى العلاقة المتعدية المضادة للانعكاس وغير المتماثلة بعلاقة ترتيب صارمة.

العلاقات الثنائية.

دع A و B يكونان مجموعتين عشوائيتين. لنأخذ عنصرًا واحدًا من كل مجموعة، a من A، وb من B، ونكتبها هكذا: (أولاً عنصر من المجموعة الأولى، ثم عنصر من المجموعة الثانية - أي أن الترتيب الذي يتم به أخذ العناصر مهم بالنسبة لنا). سوف نسمي مثل هذا الكائن زوج مرتب. متساويسنحسب فقط تلك الأزواج التي تكون عناصرها متساوية في الأرقام. = إذا كان أ = ج و ب = د. من الواضح، إذا كان أ ≠ ب، إذن ≠ .

المنتج الديكارتيالمجموعتان التعسفيتان A وB (يشار إليهما بـ AB) هي مجموعة تتكون من جميع الأزواج المرتبة الممكنة، العنصر الأول منها ينتمي إلى A، والثاني ينتمي إلى B. حسب التعريف: AB = ( | أأ و ب). من الواضح أنه إذا كان A≠B، فإن AB ≠ BA. يسمى المنتج الديكارتي للمجموعة A مع نفسها n مرات القوة الديكارتيةا (يُشار إليه بـ: أ ن).

مثال 5. افترض أن A = (x، y) وB = (1، 2، 3).

أب = ( , , , , , }.

بكالوريوس = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

أأ = أ 2 = ( , , , }.

بب = ب 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

علاقة ثنائيةعلى مجموعة M هي مجموعة من بعض الأزواج المرتبة من عناصر المجموعة M. إذا r هي علاقة ثنائية وزوج ينتمي إلى هذه العلاقة، فيكتبون: ص أو س ص ص. ومن الواضح، ص Í م 2 .

مثال 6. تعيين (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) هي علاقة ثنائية في المجموعة (1، 2، 3، 4، 5).

مثال 7. العلاقة ³ في مجموعة الأعداد الصحيحة هي علاقة ثنائية. هذه مجموعة لا حصر لها من الأزواج المرتبة من النموذج ، حيث x ³ y و x و y أعداد صحيحة. وتشمل هذه العلاقة، على سبيل المثال، الأزواج<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>ولا تنتمي إلى الأزواج<5, 7>, <-3, 2>.

مثال 8. علاقة المساواة في المجموعة A هي علاقة ثنائية: I A = ( | × أو أ). أنا أ يسمى انحرافيمجموعات أ.

بما أن العلاقات الثنائية عبارة عن مجموعات، فإن عمليات الاتحاد والتقاطع والإضافة والفرق تنطبق عليها.

مجال التعريفالعلاقة الثنائية r هي المجموعة D(r) = ( x | يوجد y مثل xry ). مدى من القيمالعلاقة الثنائية r هي المجموعة R(r) = ( y | يوجد x بحيث xry ).

سلوك، يعكسإلى العلاقة الثنائية r Í M 2، العلاقة الثنائية r -1 = ( | يا ص). من الواضح أن D(r ‑1) = R(r)، R(r ‑1) = D(r)، r ‑ 1 Í M 2.

تعبيرالعلاقات الثنائية r 1 و r 2 محددة في المجموعة M، العلاقة الثنائية r 2 أو r 1 = ( | هناك ذ مثل هذا يا ص 1 و ص 2). ومن الواضح أن r 2 o r 1 Í M 2 .

مثال 9. دع العلاقة الثنائية r يتم تعريفها على المجموعة M = (a، b، c، d)، r = ( , , , ). ثم D(r) = (a, c)، R(r) = (b، c، d)، r ‑1 = ( , , , )، ص أو ص = ( , , , )، ص -1 أو ص = ( , , , )، ص أو ص -1 = ( , , , , , , }.

اجعل r علاقة ثنائية في المجموعة M. تسمى العلاقة r عاكس، إذا كان x r x لأي x О M. يتم استدعاء العلاقة r متماثل، إذا كان مع كل زوج كما أنه يحتوي على زوجين . تسمى العلاقة r متعد، إذا كان من حقيقة أن x r y و y r z يتبع ذلك x r z. تسمى العلاقة r غير متماثل، إذا لم يكن يحتوي على زوج في نفس الوقت و عناصر مختلفة x ¹ y من المجموعة M.

دعونا نشير إلى معايير تحقيق هذه الخصائص.

العلاقة الثنائية r على المجموعة M تكون انعكاسية إذا وفقط إذا I M Í r.

العلاقة الثنائية r تكون متماثلة إذا وفقط إذا كانت r = r‑1.

العلاقة الثنائية r في المجموعة M تكون غير متماثلة إذا وفقط إذا r ç r ‑1 = I M .

العلاقة الثنائية r تكون متعدية إذا وفقط إذا r o r Í r.

مثال 10. العلاقة في المثال 6 غير متماثلة، ولكنها ليست متماثلة، أو انعكاسية، أو متعدية. العلاقة في المثال 7 هي علاقة انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية، ولكنها ليست متماثلة. العلاقة I A تحتوي على جميع الخصائص الأربع قيد النظر. العلاقات r -1 o r و r o r -1 متماثلة، متعدية، ولكنها ليست غير متماثلة وانعكاسية.

سلوك التكافؤعلى المجموعة M هي علاقة ثنائية متعدية ومتماثلة وانعكاسية على M.

سلوك طلب جزئىعلى المجموعة M هي علاقة ثنائية متعدية وغير متماثلة وانعكاسية r على M.

مثال 11: العلاقة في المثال 7 هي علاقة ترتيب جزئية. العلاقة I A هي علاقة تكافؤ وترتيب جزئي. علاقة التوازي على مجموعة من الخطوط هي علاقة تكافؤ.