غالبًا ما تستخدم كلمة "النظام" في مجموعة متنوعة من القضايا. يعطي الضابط الأمر: "حسب ترتيب الأرقام، احسب"، تتم العمليات الحسابية بترتيب معين، ويتم ترتيب الرياضيين حسب الطول، وهناك ترتيب لأداء العمليات عند صنع جزء، وترتيب الكلمات في جملة.
ما هو الشائع في جميع الحالات عند الحديث عن النظام؟ الحقيقة هي أن كلمة "نظام" لها المعنى التالي: تعني أي عنصر من هذه المجموعة أو تلك يتبع أي عنصر (أو أي عنصر يسبق أي عنصر).
سلوك " Xيتبع في"متعدية: إذا" Xيتبع في" و " فييتبع ض"، الذي - التي " سيتبع ض" بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون هذه العلاقة غير متماثلة: لاثنين مختلفين Xو في، لو Xيتبع في، الذي - التي فيلا يتبع X.
تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة أمر صارم، إذا كانت متعدية وغير متماثلة.
دعونا نتعرف على ميزات الرسم البياني والرسم البياني للعلاقات ذات الترتيب الصارم.
لنلقي نظرة على مثال. على مجموعة X= (5، 7، 10، 15، 12) نسبة معينة ر: « X < في" دعونا نحدد هذه العلاقة من خلال سرد الأزواج
ر = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
دعونا نبني الرسم البياني الخاص به. نلاحظ أن الرسم البياني لهذه العلاقة لا يحتوي على حلقات. لا توجد أسهم مزدوجة على الرسم البياني. إذا من Xالسهم يذهب الى في، و من في- الخامس ض، ثم من Xالسهم يذهب الى ض(الشكل 8).
يسمح لك الرسم البياني المبني بترتيب عناصر المجموعة Xفي هذا التسلسل:
{5, 7, 10, 12, 15}.
في الشكل 6 (الفقرة 6 من هذا الفصل)، تمثل الأعمدة VII و VIII رسومًا بيانية للعلاقات ذات الترتيب الصارم.
علاقة غير صارمة
وعكس العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الحقيقية هي العلاقة "ليس أقل". ولم تعد علاقة نظام صارم. النقطة المهمة هي متى X = في، تتحقق العلاقات X ³ فيو في ³ X، أي. إن موقف "لا أقل" هو موقف انعكاسي.
تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة غير صارمة، إذا كانت انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية.
مثل هذه العلاقات هي اتحادات علاقة نظام صارمة مع علاقة الهوية.
خذ بعين الاعتبار العلاقة "لا أكثر" (جنيه إسترليني) للمجموعة
X= (5، 7، 10، 15، 12). دعونا نبني الرسم البياني الخاص به (الشكل 9).
الرسم البياني لعلاقة الترتيب غير الصارم، على عكس الرسم البياني لعلاقة الترتيب الصارم، يحتوي على حلقات في كل قمة.
في التين. 6 (§ 6 من هذا الفصل) الأعمدة V، VI عبارة عن رسوم بيانية للعلاقات ذات الترتيب غير الصارم.
مجموعات مرتبة
قد يتبين أن مجموعة ما مرتبة (ويقولون أيضًا أنها مرتبة تمامًا) من خلال علاقة ترتيبية ما، في حين أن مجموعة أخرى قد تكون غير مرتبة أو مرتبة جزئيًا من خلال مثل هذه العلاقة.
تعريف.مجموعة من Xمُسَمًّى أمربعض علاقة النظام ر، إذا كان لأي عنصرين س، صمن X:
(X, في) Î رأو ( ذ، س) Î ر.
لو رهي علاقة نظام صارم، ثم المجموعة Xأمرت بهذه العلاقة المقدمة: إذا X, فيأي عنصرين غير متساويين في المجموعة X، الذي - التي ( X, في) Î رأو ( ذ، س) Î رأو أي عنصرين س، صمجموعات Xمتساوون.
من المعروف من دورة الرياضيات المدرسية أن مجموعات الأرقام ن , ز , س , ر مرتبة حسب العلاقة "أقل من" (<).
لا يتم ترتيب مجموعة المجموعات الفرعية لمجموعة معينة عن طريق إدخال علاقة التضمين (I)، أو التضمين الصارم (S) بالمعنى أعلاه، لأن هناك مجموعات فرعية، لا يتم تضمين أي منها في الآخر. في هذه الحالة، نقول أن المجموعة المعطاة مرتبة جزئيًا بالعلاقة Í (أو Ì).
النظر في المجموعة X= (1، 2، 3، 4، 5، 6) وتحتوي على علاقتين "أصغر من" و"مقسمة على". من السهل التحقق من أن هاتين العلاقتين هما علاقات ترتيب. يمكن تصوير الرسم البياني للعلاقة "أقل من" على شكل شعاع.
لا يمكن تمثيل الرسم البياني للعلاقة "مقسمة على" إلا على مستوى.
بالإضافة إلى ذلك، فإن الرسم البياني للعلاقة الثانية يحتوي على رؤوس غير متصلة بواسطة سهم. على سبيل المثال، لا يوجد سهم يربط بين الرقمين 4 و5 (الشكل 10).
العلاقة الأولى " X < في"يسمى الخطية. بشكل عام، إذا كانت العلاقة نظامية ر(صارم وغير صارم) على المجموعة Xله خاصية : لأي X, فيÎ Xأو xRy، أو yRx، ثم يطلق عليه علاقة ترتيب خطية، والمجموعة X- مجموعة مرتبة خطيا.
إذا مجموعة Xبالطبع، ويتكون من نالعناصر، ثم الترتيب الخطي Xويتلخص في ترقيم عناصره بالأرقام 1،2،3، ...، ن.
تحتوي المجموعات المرتبة خطيًا على عدد من الخصائص:
1°. يترك أ، ب، ج– عناصر المجموعة X، مرتبة حسب العلاقة ر. إذا علم ذلك aRвو في جمهورية صربسكا، ثم يقولون أن العنصر الخامستقع بين العناصر أو مع.
2°. مجموعة من X، مرتبة خطيا حسب العلاقة ريسمى منفصلاً إذا كان بين أي عنصرين من عناصره يوجد فقط مجموعة محدودة من عناصر هذه المجموعة.
3°. تسمى المجموعة المرتبة خطيًا كثيفة إذا كان هناك عنصر من المجموعة يقع بينهما لأي عنصرين مختلفين من هذه المجموعة.
دع R تكون علاقة ثنائية في المجموعة A.
تعريف. تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة A علاقة ترتيبية على A أو علاقة ترتيبية على A إذا كانت متعدية وغير متماثلة.
تعريف. تسمى العلاقة من الرتبة R على المجموعة A غير صارمة إذا كانت انعكاسية على A، أي بالنسبة لكل من A.
تسمى علاقة الترتيب R صارمة (على A) إذا كانت مضادة للانعكاس على A، أي لأي من A. ومع ذلك، من مقاومة الانعكاس للعلاقة المتعدية R، يترتب على ذلك أنها غير متماثلة. ولذلك، يمكن إعطاء التعريف المعادل التالي.
تعريف. تسمى العلاقة الثنائية R في المجموعة A ترتيبًا صارمًا على A إذا كانت متعدية ومضادة للانعكاس في A.
أمثلة. 1. Letbe مجموعة من جميع المجموعات الفرعية للمجموعة M. علاقة التضمين في المجموعة هي علاقة ذات ترتيب غير صارم.
2. العلاقات على مجموعة الأعداد الحقيقية هي، على التوالي، علاقات ذات ترتيب صارم وغير صارم.
3. علاقة قابلية القسمة في مجموعة الأعداد الطبيعية هي علاقة ذات ترتيب غير صارم.
تعريف. تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة A علاقة الطلب المسبق أو العلاقة المسبقة على A إذا كانت انعكاسية ومتعدية.
أمثلة. 1. علاقة قابلية القسمة في مجموعة الأعداد الصحيحة ليست أمرًا. ومع ذلك، فهو انعكاسي ومتعد، مما يعني أنه أمر مسبق.
2. علاقة النتيجة المنطقية هي ترتيب مسبق على مجموعة الصيغ المنطقية الافتراضية.
الترتيب الخطي. حالة خاصة مهمة من النظام هي الترتيب الخطي.
تعريف. تسمى علاقة الترتيب على مجموعة علاقة ترتيب خطية أو ترتيب خطي إذا كانت متصلة على ، أي لأي x، y من A
عادةً ما تسمى علاقة الترتيب غير الخطية بعلاقة ترتيب جزئية أو ترتيب جزئي.
أمثلة. 1. العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الحقيقية هي علاقة ذات ترتيب خطي.
2. العلاقة الترتيبية المعتمدة في قواميس اللغة الروسية تسمى المعجمية. الترتيب المعجمي لمجموعة الكلمات في اللغة الروسية هو ترتيب خطي.
غالبًا ما تُستخدم كلمة "النظام" في مجموعة واسعة من القضايا. يعطي الضابط الأمر: “احسب بالترتيب العددي”، يتم إجراء العمليات الحسابية بترتيب معين، ويتم ترتيب الرياضيين حسب الطول، ويتم ترتيب جميع لاعبي الشطرنج الرائدين بترتيب معين وفقًا لما يسمى بمعاملات إيلو (البروفيسور الأمريكي الذي طور معاملات النظام، مما يسمح لك بمراعاة جميع نجاحات وإخفاقات اللاعبين)، بعد البطولة، تقع جميع فرق كرة القدم في ترتيب معين، وما إلى ذلك. هناك ترتيب للعمليات عند تصنيع جزء ما، ترتيب الكلمات في الجملة (حاول أن تفهم ماذا تعني جملة "على شيخ" لم أزرع الحمار!"
ومن خلال ترتيب عناصر مجموعة معينة واحدًا تلو الآخر، فإننا بذلك نرتبها أو نقيم علاقة ما بينها مرتب.أبسط مثال هو الترتيب الطبيعي للأعداد الطبيعية. وطبيعتها تكمن في أنه بالنسبة لأي عددين طبيعيين نعرف أيهما يتبع الآخر أو أيهما أكبر من الآخر، فيمكننا ترتيب الأعداد الطبيعية في تسلسل بحيث يقع الرقم الأكبر، على سبيل المثال، على حق الأصغر: 1، 2، 3، ... . بالطبع، يمكن كتابة تسلسل العناصر في أي اتجاه، وليس فقط من اليسار إلى اليمين. إن مفهوم الأعداد الطبيعية يحتوي بالفعل على فكرة النظام. من خلال إنشاء بعض الترتيب النسبي لعناصر أي مجموعة، فإننا نحدد عليها بعض علاقات الترتيب الثنائي، والتي في كل حالة محددة قد يكون لها اسمها الخاص، على سبيل المثال، "أن تكون أقل"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أقل"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أقل" يمكن تضمينها في "،" متابعة "، وما إلى ذلك. يمكن أيضًا تغيير التسميات الرمزية للترتيب، على سبيل المثال، Í، إلخ.
السمة المميزة الرئيسية لعلاقة النظام هي أنها تمتلك خاصية العبور. لذا، إذا كنا نتعامل مع تسلسل لبعض الأشياء × 1، × 2، ...، × ن،...، مرتبة، على سبيل المثال، بالعلاقة، ثم بما يتم تنفيذه × 1× 2... س ن...، وينبغي أن يتبع ذلك لأي زوج س ط، س ييتم أيضًا استيفاء عناصر هذا التسلسل × طس ي:
لزوج من العناصر × طيفي الرسم البياني للعلاقة نرسم سهمًا من الرأس × طإلى الأعلى س يأي: من العنصر الأصغر إلى العنصر الأكبر.
يمكن تبسيط الرسم البياني لعلاقة الترتيب باستخدام الطريقة المزعومة مخططات هاس.يتم إنشاء مخطط هاس على النحو التالي. يتم وضع العناصر الأصغر في الأسفل، ويتم وضع العناصر الأكبر في الأعلى. وبما أن هذه القاعدة وحدها لا تكفي للتصوير، فقد تم رسم خطوط توضح أي العنصرين أكبر وأيهما أصغر من الآخر. في هذه الحالة، يكفي رسم خطوط فقط للعناصر التي تتبع بعضها البعض مباشرة. تظهر أمثلة مخططات هاس في الشكل:
ليس من الضروري تضمين أسهم في مخطط Hasse. يمكن تدوير مخطط هاس في مستوى، ولكن ليس بشكل تعسفي. عند الدوران، من الضروري الحفاظ على الموضع النسبي (أعلى - أسفل) لرؤوس المخطط:
سلوك ربوفرة Xمُسَمًّى موقف النظام الصارم ،إذا كانت متعدية وغير متماثلة.
تسمى المجموعة التي يتم فيها تعريف علاقة ترتيب صارمة أمر.على سبيل المثال، يتم ترتيب مجموعة الأعداد الطبيعية حسب العلاقة "أقل من". لكن هذه المجموعة نفسها مرتبة أيضًا بعلاقة أخرى - "مقسمة إلى" و"أكثر".
يمكن تمثيل الرسم البياني للعلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الطبيعية على شكل شعاع:
سلوك رالخامس Xتسمى العلاقة أمر غير صارم (جزئي).، إذا كانت متعدية وغير متماثلة. أي علاقة ذات نظام غير صارم هي علاقة انعكاسية.
يعبر اللقب "جزئي" عن حقيقة أنه ربما لا تكون جميع عناصر المجموعة قابلة للمقارنة في مجال معين.
الأمثلة النموذجية لعلاقات الترتيب الجزئي هي العلاقات "ليس أكبر من" و"ليس أقل من" و"ليس أكبر من". إن حرف "لا" في أسماء العلاقات يعمل على التعبير عن انعكاسيتها. العلاقة "ليس أكثر من" تتطابق مع العلاقة "أقل من أو يساوي"، والعلاقة "ليس أقل" هي نفس العلاقة "أكبر من أو يساوي". في هذا الصدد، ويسمى أيضا النظام الجزئي ليست صارمةمرتب. غالبًا ما يُشار إلى علاقة الترتيب الجزئية (غير الصارمة) بالرمز "".
علاقة التضمين Í بين مجموعات فرعية من مجموعة معينة هي أيضًا ترتيب جزئي. ومن الواضح أنه ليست كل مجموعتين فرعيتين قابلة للمقارنة في هذا الصدد. يوضح الشكل أدناه ترتيب الدمج الجزئي على مجموعة جميع المجموعات الفرعية للمجموعة (1،2،3). لا يتم عرض الأسهم الموجودة على الرسم البياني والتي ينبغي أن تشير إلى الأعلى.
تسمى المجموعات التي يتم إعطاء الترتيب الجزئي لها أمرت جزئياأو ببساطة أمرمجموعات.
عناصر Xو فييتم استدعاء المجموعة المطلوبة جزئيًا مقارنة معنالو Xفيأو فيX.وإلا فهي غير قابلة للمقارنة.
تسمى المجموعة المرتبة التي يكون فيها أي عنصرين قابلين للمقارنة أمر خطيا، والترتيب هو ترتيب خطي. ويسمى الترتيب الخطي أيضًا بالترتيب المثالي.
على سبيل المثال، مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ذات الترتيب الطبيعي، وكذلك جميع مجموعاتها الفرعية، مرتبة خطيًا.
يمكن طلب الكائنات ذات الطبيعة الأكثر تنوعًا هرمية.وهنا بعض الأمثلة.
مثال رقم 1: تم ترتيب أجزاء الكتاب بحيث يحتوي الكتاب على فصول، والفصول تحتوي على أقسام، والأقسام تحتوي على أقسام فرعية.
مثال 2. المجلدات الموجودة في نظام ملفات الكمبيوتر متداخلة داخل بعضها البعض، لتشكل بنية متفرعة.
مثال 3. يمكن تصوير العلاقة بين الوالدين والأطفال على أنها ما يسمى ب شجرة العائلة،مما يوضح من هو سلفه (أو نسله).
دعونا على المجموعة أيتم إعطاء النظام الجزئي. عنصر Xمُسَمًّى ما في وسعنا)عنصر المجموعة أ، إذا كان من حقيقة ذلك Xفي(فيX)،يلي ذلك المساواة X= ش.وبعبارة أخرى، العنصر Xهو الحد الأقصى (الحد الأدنى) إذا كان لأي عنصر فيأم أنه ليس صحيحا ذلك Xفي(فيX)، أو يتم تنفيذه X=ش.وعلى هذا فإن العنصر الأقصى (الأدنى) أكبر (أصغر) من جميع العناصر المتميزة عنه التي يرتبط بها.
عنصر Xمُسَمًّى الأكبر (الأصغر) ،إذا لأي شخص فيÎ أإجراء في< х (х< у).
يمكن أن تحتوي المجموعة المرتبة جزئيًا على عدة عناصر الحد الأدنى و/أو الحد الأقصى، ولكن لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عنصر الحد الأدنى والحد الأقصى. أصغر (أكبر) عنصر هو أيضًا الحد الأدنى (الحد الأقصى)، لكن العكس غير صحيح. يوضح الشكل الموجود على اليسار ترتيبًا جزئيًا بعنصرين من العناصر الدنيا وعنصرين من العناصر القصوى، وعلى اليمين ترتيبًا جزئيًا مع العناصر الأصغر والأكبر:
في المجموعة المحدودة المرتبة جزئيًا، يوجد دائمًا الحد الأدنى والحد الأقصى من العناصر.
تسمى المجموعة المرتبة التي تحتوي على العناصر الأكبر والأصغر محدود.يوضح الشكل مثالاً لمجموعة لا نهائية محدودة. بالطبع، من المستحيل تصوير مجموعة لا حصر لها على صفحة محدودة، ولكن يمكنك إظهار مبدأ بنائها. هنا لا تظهر الحلقات القريبة من القمم لتبسيط الرسم. لنفس السبب، لا يتم عرض الأقواس التي توفر عرض خاصية العبور. بمعنى آخر، يوضح الشكل مخطط هاس لعلاقة الترتيب.
قد لا تحتوي المجموعات اللانهائية على الحد الأقصى أو الحد الأدنى من العناصر، أو كليهما. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية (1،2، 3، ...) تحتوي على أصغر عنصر وهو 1، ولكن لا يوجد حد أقصى. مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ذات الترتيب الطبيعي لا تحتوي على عنصر أصغر أو أكبر. ومع ذلك، فإن مجموعتها الفرعية تتكون من جميع الأرقام X< 5، يحتوي على العنصر الأكبر (الرقم 5)، لكنه لا يحتوي على العنصر الأصغر.
خطة المحاضرة رقم 14 تصنيف العلاقات الثنائية
1. تصنيف العلاقات غير المتماثلة
2. تصنيف العلاقات الانعكاسية
2.1. العلاقات شبه النظامية
2.2. علاقات النظام الجزئي غير الصارمة
2.3. علاقات غير منظمة بشكل صارم
2.4. التراخي في ترتيب الجودة
2.5. التراخي أمر ضعيف
2.6. أمر فضفاض
3. ازدواجية العلاقات ذات النظام الصارم وغير الصارم
4. مراجعة خصائص مختلف أنواع العلاقات
تصنيف العلاقات غير المتماثلة
هيكل الرسوم البيانية العلاقة الحلقية
هيكل الرسوم البيانية علاقة النظام النوعي
هيكل الرسوم البيانية علاقة النظام الضعيف
علاقات صارمة
الترتيب الصارم (تفضيل صارم، ترتيب قوي، ترتيب خطي صارم) هو علاقة ثنائية مضادة للانعكاس، متعدية، ضعيفة الارتباط (12).
الترتيب الصارم هو حالة خاصة من الترتيب الضعيف (التفضيل الجزئي الصارم) مع الشرط الإضافي وهو الاقتران الضعيف.
مثال: العلاقة "أقل من" على مجموعة من الأعداد الصحيحة.
تصنيف العلاقات الانعكاسية
العلاقات شبه النظامية
هذه العلاقات الثنائية تجعل من الممكن مقارنة عناصر مجموعة معينة، ولكن ليس عن طريق التشابه، ولكن عن طريق ترتيب عناصر المجموعات في ترتيب معين، أي. عن طريق الطلب الجزئي.
شبه الترتيب (التفضيل الجزئي المتراخي) هو علاقة ثنائية انعكاسية ومتعدية (3).
مثال: "أن تكون أخًا" (إيفان بيتر، أندريه آنا)
خصائص شبه الأوامر
1. يظل تقاطع أشباه الأوامر شبه نظام.
2. الجزء المتماثل من شبه النظام له خصائص الانعكاسية والتناظر والعبور وبالتالي فهو علاقة تكافؤ. ص ج = ص / ر الجرد
3. باستخدام هذا التقاطع يمكن تحديد مجموعات من الخيارات المتكافئة مع بعضها البعض، ومن ثم يمكن إنشاء علاقة ترتيب جزئية غير صارمة تولدها العلاقة الأصلية بين المجموعات المحددة.
4. الجزء غير المتماثل من شبه النظام هو علاقة متعدية ومضادة للانعكاس = ترتيب نوعي.
علاقات النظام الجزئي غير الصارمة
علاقة الترتيب الجزئي غير الصارمة (4) هي علاقة لها خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والعبور.
النظام الجزئي الضعيف هو نظام شبه غير متماثل
مثال: علاقة "كن جزءًا" المحددة للمجموعات (ومجموعاتها الفرعية)
خصائص الأوامر الجزئية غير الصارمة
1. يبقى تقاطع الأوامر الجزئية غير الصارمة أمراً جزئياً غير صارم.
2. الجزء المتماثل من الترتيب الجزئي غير الصارم هو قطري.
3. الجزء غير المتماثل من النظام الجزئي غير الصارم هو ترتيب نوعي (صارم).
4. في نظرية الأنظمة الذكية، تلعب المجموعات المرتبة جزئيًا - المجالات، دورًا مهمًا، جنبًا إلى جنب مع علاقات النظام الجزئي غير الصارم المحددة عليها.
5. تسمى المجموعات المرتبة جزئيًا مع الخاصية الإضافية لوجود الحدود العلوية والسفلية لكل زوج من العناصر بالشبكات. حالة خاصة من الشبكات هي الجبر البوليني.
علاقات ترتيب فضفاضة
والترتيب الفضفاض هو علاقة انعكاسية لها خاصية الارتباط الضعيف (5).
يمكن أيضًا تعريف الترتيب الفضفاض على أنه علاقة متصلة بالكامل.
يمكن تمثيل علاقة ترتيب فضفاضة كنتيجة للجمع بين علاقات معينة من التسامح والهيمنة.
خصائص العلاقات ذات الترتيب الجزئي غير الصارم
1. يظل تقاطع واتحاد العلاقات المترابطة بالكامل علاقة متصلة بالكامل.
2. الجزء المتماثل من الترتيب الجزئي غير الصارم هو التسامح.
3. الجزء غير المتماثل من النظام الجزئي غير الصارم هو الهيمنة.
4. بالنسبة للعلاقات المترابطة بشكل كامل، فإن الشرط الضروري للتعدية هو سلبية العلاقة.
5. بالنسبة للعلاقات المترابطة بشكل كامل، تعتبر خاصية العبور شرطًا كافيًا لسلبية العلاقة.
العلاقات ذات الترتيب النوعي غير الصارم
تسمى العلاقة الثنائية R بترتيب نوعي غير صارم إذا كانت سالبة متعدية ومتصلة بالكامل (6).
الترتيب النوعي غير الصارم هو ترتيب سلبي غير صارم.
ويمكن تمثيل علاقة النظام النوعي غير الصارم نتيجة الجمع بين بعض علاقات التسامح والنظام النوعي.
خصائص العلاقات ذات الترتيب النوعي غير الصارم
1. الجزء المتماثل من النظام النوعي غير الصارم هو التسامح. NT؟
2. الجزء غير المتماثل من النظام النوعي غير الصارم هو جزء متعدٍ، وبالتالي فهو علاقة ذات نظام نوعي.
3. وهكذا يمكن تمثيل علاقة ذات نظام نوعي غير صارم كنتيجة للجمع بين علاقات التسامح والنظام النوعي الناتج عن العلاقة الأصلية.
4. العلاقة المزدوجة لها خصائص عدم التماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة ذات نظام نوعي.
علاقات النظام الضعيف غير الصارمة
النظام الضعيف غير الصارم هو علاقة متعدية وسالبة مترابطة بالكامل (7).
تسمى العلاقة المتعدية المتصلة بالكامل بالنظام الضعيف غير الصارم.
الأمر الضعيف غير الصارم هو أمر متعدٍ غير صارم.
خصائص العلاقات ذات الترتيب الضعيف غير الصارم
1. الجزء المتماثل من الترتيب الضعيف غير الصارم هو التكافؤ.
2. الجزء غير المتماثل Rac ذو الترتيب الضعيف غير الصارم هو متعد، وبالتالي فهو علاقة ذات ترتيب نوعي.
3. وبالتالي، يمكن تمثيل علاقة النظام الضعيف غير الصارمة كنتيجة للجمع بين علاقات التكافؤ والنظام الضعيف الناتجة عن العلاقة الأصلية.
4. يمكن تمثيل الترتيب الضعيف غير الصارم كمجموعة من الطبقات المرتبة جزئيًا، كل منها عبارة عن فئة تكافؤ.
علاقات النظام غير الصارم (الخطي).
الترتيب غير الصارم (الترتيب الخطي غير الصارم) هو علاقة ثنائية غير متماثلة، متعدية، متصلة بالكامل (8).
الأمر غير الصارم هو أمر ضعيف غير متماثل وغير صارم.
الأمر غير الصارم هو أمر غير متماثل وغير صارم.
خصائص العلاقات ذات الترتيب الخطي غير الصارم
1. الجزء المتماثل من الترتيب غير الصارم هو قطري.
2. الجزء غير المتماثل R ac ذو الترتيب غير الصارم هو علاقة متعدية وضعيفة الارتباط، وبالتالي فهي علاقة ذات نظام صارم.
3. العلاقة الثنائية لها خصائص عدم التماثل والسلبية والارتباط الضعيف، ولذلك فهي علاقة ذات نظام صارم. بالإضافة إلى ذلك، فهو يتزامن مع R ac.
4. وبالتالي، يمكن تمثيل علاقة ترتيب غير صارمة كنتيجة للجمع بين النظام القطري والنظام الصارم الناتج عن العلاقة الأصلية.
ازدواجية العلاقات ذات النظام الصارم وغير الصارم
نظرة عامة على خصائص أنواع مختلفة من العلاقات
علاقة التكافؤ. العلاقة بين علاقة التكافؤ وتقسيم المجموعة إلى فئات
تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة التكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.
مثال.النظر في العلاقة " Xزميل الصف في"على العديد من طلاب كلية التربية. لديها الخصائص التالية:
1) الانعكاسية، لأن كل طالب هو زميله.
2) التماثل، لأن إذا كان طالبا X في، ثم الطالب فيهو زميل للطالب X;
3) العبور، لأن إذا كان طالبا X- زميل الصف في، والطالب في- زميل الصف ض، ثم الطالب Xسيكون زميل الطالب ض.
وبالتالي فإن هذه العلاقة لها خصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ. وفي الوقت نفسه، يمكن تقسيم العديد من طلاب كلية التربية إلى مجموعات فرعية تتكون من طلاب يدرسون في نفس المقرر الدراسي. نحصل على 5 مجموعات فرعية.
علاقات التكافؤ هي أيضًا، على سبيل المثال، علاقة توازي الخطوط، علاقة تساوي الأرقام. ترتبط كل علاقة من هذا القبيل بتقسيم المجموعة إلى فئات.
نظرية.إذا على مجموعة Xبالنظر إلى علاقة التكافؤ، فإنه يقسم هذه المجموعة إلى مجموعات فرعية منفصلة زوجية (فئات التكافؤ).
العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا تم تحديد أي علاقة في المجموعة X، ينشئ قسمًا من هذه المجموعة إلى فئات، فهي علاقة تكافؤ.
مثال.على مجموعة X= (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ 6؛ 7؛ 8) تم تحديد العلاقة "أن يكون لها نفس الباقي عند القسمة على 3". هل هي علاقة تكافؤ؟
لنقم ببناء رسم بياني لهذه العلاقة: (بشكل مستقل)
وتتميز هذه العلاقة بخصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ وتقسم المجموعة Xإلى فصول المعادلة. في كل فئة معادلة سيكون هناك أرقام عند قسمتها على 3 تعطي نفس الباقي: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.
ويعتقد أن فئة التكافؤ يتم تحديدها من قبل أي من ممثليها، أي. عنصر تعسفي من هذه الفئة. وبالتالي، يمكن تحديد فئة من الكسور المتساوية عن طريق تحديد أي كسر ينتمي إلى هذه الفئة.
في الدورة الأولية للرياضيات، يتم أيضًا مواجهة علاقات التكافؤ، على سبيل المثال، "التعبيرات". Xو فيلها نفس القيم العددية"، "الشكل Xيساوي هذا الرقم في».
تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة ترتيبية إذا كانت متعدية وغير متماثلة أو غير متماثلة.
تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة ترتيب صارمة إذا كانت متعدية وغير متماثلة.
أمثلةعلاقات ذات ترتيب صارم: "أكثر" في مجموعة الأعداد الطبيعية، "أعلى" في مجموعة الأشخاص، وما إلى ذلك.
تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة أمرية غير صارمة إذا كانت متعدية وغير متماثلة.
أمثلةعلاقات ذات ترتيب غير صارم: "لا أكثر" في مجموعة الأعداد الحقيقية، "كن مقسومًا" على مجموعة الأعداد الطبيعية، وما إلى ذلك.
تعريف.مجموعة من Xيسمى أمرا إذا تم تحديد علاقة أمر عليه.
مثال. على مجموعة X= (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5) يتم إعطاء علاقتين: " X £ في" و " X- مقسم في».
كل من هذه العلاقات لها خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والعبور (قم بإنشاء الرسوم البيانية وتحقق من الخصائص بنفسك)، أي. هي علاقات ذات نظام غير صارم. لكن العلاقة الأولى لها خاصية الترابط، أما الثانية فلا.
تعريف.علاقة النظام رعلى مجموعة Xتسمى علاقة ترتيبية خطية إذا كانت تتمتع بخاصية الترابط.
في المدرسة الابتدائية، تتم دراسة العديد من العلاقات النظامية. بالفعل في الصف الأول توجد علاقات "أقل"، و"أكثر" في مجموعة الأعداد الطبيعية، و"أقصر"، و"أطول" في مجموعة الأجزاء، وما إلى ذلك.
أسئلة التحكم
1. تحديد علاقة ثنائية على مجموعة X.
2. كيفية كتابة بيان العناصر Xو فيهم في علاقة ر?
3. ضع قائمة بطرق تعريف العلاقات.
4. صياغة الخصائص التي يمكن أن تمتلكها العلاقات. كيف تنعكس هذه الخصائص في الرسم البياني؟
5. ما هي الخصائص التي يجب أن تتمتع بها العلاقة حتى تكون علاقة تكافؤ؟
6. كيف ترتبط علاقة التكافؤ بتقسيم المجموعة إلى فئات؟
7. ما هي الخصائص التي يجب أن تتمتع بها العلاقة حتى تكون علاقة نظام؟
