أنواع وأنواع العمليات العشوائية. خصائص العمليات العشوائية. مفهوم الدالة العشوائية العمليات العشوائية الثابتة

الفصل 1. المفاهيم الأساسية لنظرية العمليات العشوائية

تعريف العملية العشوائية. النهج الأساسية لهذه المهمة

عمليات عشوائية مفهوم التحقيق والقسم.

العمليات العشوائية الأولية.

العملية العشوائية (العشوائية، الاحتمالية) هي دالة لمتغير حقيقي t، وقيمه هي المتغيرات العشوائية المقابلة X(t).

في نظرية العمليات العشوائية، يتم تفسير t على أنه قيم تستغرق وقتًا من مجموعة فرعية T من المجموعة أرقام حقيقية(ر ت، ر ر).

في إطار التحليل الرياضي الكلاسيكي، تُفهم الدالة y=f(t) على أنها نوع من اعتماد المتغيرات t وy، عندما تتوافق قيمة عددية محددة للوسيطة t مع قيمة عددية واحدة للدالة y . بالنسبة للعمليات العشوائية، يختلف الوضع بشكل أساسي: تحديد وسيطة محددة t يؤدي إلى ظهور متغير عشوائي X(t) مع قانون توزيع معروف (إذا كان متغير عشوائي منفصل) أو مع كثافة توزيع معينة (إذا كان متغير عشوائي مستمر). وبعبارة أخرى، فإن الخاصية قيد الدراسة في كل نقطة زمنية تكون عشوائية بطبيعتها وذات توزيع غير عشوائي.

القيم التي تأخذها الدالة العادية y=f(t) في كل لحظة من الزمن تحدد بشكل كامل بنية وخصائص هذه الدالة. بالنسبة للعمليات العشوائية، الوضع مختلف تمامًا: هنا لا يكفي معرفة توزيع المتغير العشوائي X(t) عند كل قيمة t؛ هناك حاجة إلى معلومات حول التغييرات المتوقعة واحتمالاتها، أي معلومات حول درجة اعتماد القيمة القادمة للعملية العشوائية على خلفيتها.

إن النهج الأكثر عمومية لوصف العمليات العشوائية هو تحديد جميع توزيعاتها متعددة الأبعاد، عندما يتم تحديد احتمال حدوث الأحداث التالية في وقت واحد:

ر 1 ، ر 2 ،…،ر ن تي، ن ن: X(تي أنا)≤ س ط ; ط=1,2,…,ن;

و(ر 1 ;ر 2 ;…;ر ن ;س 1 ;س 2 ;…;س ن)= P(X(t 1)≥x 1; X(t 2)≤x 2;…; X(t n) ≥x n).

تعتبر هذه الطريقة لوصف العمليات العشوائية عالمية، ولكنها مرهقة للغاية. وللحصول على نتائج هامة تم تحديد أهم الحالات الخاصة التي تسمح باستخدام جهاز تحليلي أكثر تقدما. على وجه الخصوص، أنها مريحة للنظر فيها عملية عشوائيةX(t, ω) كدالة لمتغيرين: t T, ω Ω ، والتي لأي قيمة ثابتة t T تصبح متغيرًا عشوائيًا محددًا في مساحة الاحتمال (Ω، AA، P)، حيث Ω هي مجموعة غير فارغة من الأحداث الأولية ω؛ AA هو جبر σ للمجموعات الفرعية للمجموعة Ω، أي مجموعة الأحداث؛ P هو مقياس الاحتمال المحدد في AA.

تسمى الوظيفة العددية غير العشوائية x(t)=X(t, ω 0) بتحقيق (مسار) العملية العشوائية X(t, ω).

المقطع العرضي لعملية عشوائية X(t, ω) هو متغير عشوائي يتوافق مع القيمة t=t 0 .

إذا كانت الوسيطة t تأخذ جميع القيم الحقيقية أو جميع القيم من فترة ما T للمحور الحقيقي، فإننا نتحدث عن عملية عشوائية مع الوقت المستمر. إذا كانت t تأخذ قيمًا ثابتة فقط، فإننا نتحدث عن عملية عشوائية مع وقت منفصل.

إذا كان المقطع العرضي لعملية عشوائية متغير عشوائي منفصل، تسمى هذه العملية عملية مع حالات منفصلة. إذا كان أي قسم متغير عشوائي مستمر، فسيتم استدعاء العملية العشوائية عملية مع الدول المستمرة.

في الحالة العامة، من المستحيل من الناحية التحليلية تحديد عملية عشوائية. الاستثناء هو ما يسمى العمليات العشوائية الأولية، وشكلها معروف، ويتم تضمين المتغيرات العشوائية كمعلمات:

X(t)=Х(t,A 1,…,A n)، حيث A i, i=1,…,n هي متغيرات عشوائية عشوائية ذات توزيع محدد.

مثال 1 . نحن نعتبر عملية عشوائية X(t)=A·e - t، حيث A هو متغير عشوائي منفصل موزع بشكل موحد ويأخذ القيم (-1;0;1); ر≥0. ارسم جميع تطبيقاتها للعملية العشوائية X(t) وأظهر المقاطع في اللحظات الزمنية t 0 =0; ر 1 =1؛ ر 2 =2.

حل.

هذه العملية العشوائية هي عملية ذات وقت مستمر وحالات منفصلة. عند t=0، يكون المقطع العرضي للعملية العشوائية X(t) متغيرًا عشوائيًا منفصلاً A(-1;0;1)، موزعًا بشكل موحد.

عند t=0، يكون المقطع العرضي للعملية العشوائية X(t) متغيرًا عشوائيًا منفصلاً A(-1;0;1)، موزعًا بشكل موحد.

عند t=1، يكون المقطع العرضي للعملية العشوائية X(t) متغيرًا عشوائيًا منفصلاً (-1/е;0;1/е)، موزعًا بشكل موحد.

عند t=2، المقطع العرضي للعملية العشوائية X(t) هو متغير عشوائي منفصل (-1/е 2 ;0;1/е 2 )، موزع بشكل موحد.

مثال 2 . نحن نعتبر عملية عشوائية X(t)=sin At، حيث A متغير عشوائي منفصل يأخذ القيم (0;1;2); تأخذ الوسيطة t قيمًا منفصلة (0; π/4; π/2; π ). قم بتصوير جميع إنجازات وأقسام هذه العملية العشوائية بيانياً.

حل.

هذه العملية العشوائية هي عملية ذات وقت منفصل وحالات منفصلة.

العمليات

وظيفة النموذج

وظيفة النموذج

حل.

التوقع الرياضي: m Y (t)=M(Xe - t)=e - t m X =me - t .

التشتت: D Y (t)=D(Xe - t)=e -2 t DX=σ 2 e -2 t .

الانحراف المعياري:

دالة الارتباط: K Y (t 1 ; t 2)=M((X e - t 1 -m e - t 1)×(X e - t 2 -m e - t 2))=

ه -(ر 1+ ر 2) M(X-m) 2 =σ 2 ه -(ر 1+ ر 2) .

وظيفة الارتباط الطبيعية:

وفقا لشروط المشكلة، يتم توزيع المتغير العشوائي X توزيعا طبيعيا؛ بالنسبة لقيمة ثابتة لـ t، يعتمد المقطع العرضي Y(t) خطيًا على المتغير العشوائي X، وبواسطة خاصية التوزيع الطبيعي، يتم أيضًا توزيع المقطع العرضي Y(t) بشكل طبيعي بكثافة توزيع أحادية البعد:

مثال 4. أوجد الخصائص الرئيسية للعملية العشوائية Y(t)=W×e - Ut (t>0)، حيث W وU متغيران عشوائيان مستقلان؛ يتم توزيع U بشكل موحد على القطعة؛ W لديه توقع رياضي m W وانحراف معياري σ W .

حل.

التوقع الرياضي: m Y (t)=M(We - Ut)=MW×M(e - Ut)=m w ×*M(e - Ut);

، (ر>0).

وظيفة الارتباط:

لأن

تشتت:

مثال 5. أوجد قانون التوزيع أحادي البعد للعملية العشوائية: Y(t)=Vcos(Ψt-U)، حيث V وU متغيران عشوائيان مستقلان؛ يتم توزيع V عادةً باستخدام المعلمات (m V ; σ V); Ψ-const؛ U- يتم توزيعه بشكل موحد على الجزء.

حل.

التوقع الرياضي للعملية العشوائية Y(t):

تشتت:

الانحراف المعياري:

ننتقل إلى اشتقاق قانون التوزيع أحادي البعد. دع لحظة t ثابتة من الزمن، والمتغير العشوائي U يأخذ قيمة ثابتة U=u - const؛ u ، ثم نحصل على الخصائص الشرطية التالية للعملية العشوائية Y(t):

M(Y(t)| U=u)=m V ×cos(Ψt-u);

D(Y(t)| U=u)= ×cos 2 (Ψt-u);

σ(Y(t)| U=u)= ×|cos(Ψt-u)|.

نظرًا لأن المتغير العشوائي V يتم توزيعه بشكل طبيعي ولقيمة معينة للمتغير العشوائي U=u فإن جميع الأقسام تعتمد خطيًا، فإن التوزيع الشرطي في كل قسم يكون طبيعيًا وله الكثافة التالية:

الكثافة غير المشروطة أحادية البعد للعملية العشوائية Y(t):

ومن الواضح أن هذا التوزيع لم يعد طبيعيا.

التقارب والاستمرارية

التقارب في الاحتمال.

يقولون أن سلسلة من المتغيرات العشوائية (X n) تتقارب الاحتمالات إلى المتغير العشوائي X لـ n®¥، if

تعيين:

يرجى ملاحظة أنه بالنسبة لـ n®¥ هناك تقارب كلاسيكي للاحتمالات مع 1، أي أنه مع زيادة الرقم n، يمكن ضمان قيم الاحتمالية التي تكون قريبة بشكل تعسفي من 1. لكن في نفس الوقت من المستحيل ضمان أن تكون قيم المتغيرات العشوائية Xn قريبة من قيم المتغير العشوائي X لأي قيم كبيرة اعتباطية لـ n، لأننا نتعامل مع متغيرات عشوائية .

مستمر عشوائيا V نقطة ر 0 ت، إذا

3. التقارب في المتوسط ​​لقوة p³1.

ويقال أن تسلسل المتغيرات العشوائية (X n) هو يتقارب في في المتوسط ​​بدرجة ص³ 1 إلى متغير عشوائي X إذا

التسمية: X ن X.

على وجه الخصوص، (X n ) يتقارب في التربيعي إلى متغير عشوائي X إذا

تعيين:

تسمى العملية العشوائية X(t), t T مستمرة في متوسط ​​المربع عند النقطة t 0 T، إذا

4. التقارب شبه مؤكد (التقارب مع الاحتمال الأول).

يقولون أن سلسلة من المتغيرات العشوائية (X n) يكاد يكون من المؤكد أن يتقارب إلى متغير عشوائي X إذا

حيث ωÎW هو حدث أولي في فضاء الاحتمال (W، AA، P).

تعيين: .

التقارب ضعيف .

يقولون أن التسلسل ( F Xn (x)) لدوال التوزيع للمتغيرات العشوائية X n يتقارب بشكل ضعيف إلى دالة التوزيع F X (x) للمتغير العشوائي X، إذا كان هناك تقارب نقطي عند كل نقطة استمرارية للدالة F X (x).

تدوين: F Xn (x)Þ F X (x).

حل.

1) التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري ووظيفة الارتباط ووظيفة الارتباط الطبيعية للعملية العشوائية X(t) لها الشكل (انظر. مثال 3):

2) لننتقل إلى حساب خصائص العملية العشوائية X ’ (t). وفق النظريات 1-3نحصل على:

باستثناء التوقع الرياضي (الذي تغير الإشارة)، تم الحفاظ على جميع الخصائص الأخرى بالكامل. وظائف الارتباط المتبادل للعملية العشوائية X(t) ومشتقتها X ’ (t) لها الشكل:

3) حسب النظريات 41-64الخصائص الرئيسية لتكامل العملية العشوائية X(t) لها القيم التالية:

د(t1;t2)=؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

وظائف الارتباط المتبادل للعملية العشوائية X(t) وتكاملها Y(t):

التعبير عن النموذج

,

حيث φ ik (t), k=1;2;... هي دوال غير عشوائية؛ Vi , k=1;2;...- تسمى المتغيرات العشوائية المركزية غير المرتبطة بالتوسع الكنسي للعملية العشوائية X(t)، بينما المتغيرات العشوائية Vi تسمى معاملات التمدد الكنسي؛ والوظائف غير العشوائية φ ki (t) - تنسيق وظائف التوسعة القانونية.

دعونا ننظر في خصائص العملية العشوائية

منذ بشرط الذي - التي

ومن الواضح أن نفس العملية العشوائية لديها أنواع مختلفةالتوسع الكنسي اعتمادا على اختيار وظائف الإحداثيات. علاوة على ذلك، حتى مع اختيار وظائف الإحداثيات، هناك تعسف في توزيع المتغيرات العشوائية V k. في الممارسة العملية، بناءً على نتائج التجارب، يتم الحصول على تقديرات للتوقع الرياضي ووظيفة الارتباط: . بعد التوسيع إلى سلسلة فورييه مزدوجة في وظائف الإحداثيات من φ إلى (t):

الحصول على قيم التباينات D Vk للمتغيرات العشوائية V k .

مثال 7. تحتوي العملية العشوائية X(t) على التوسعة الأساسية التالية: ، حيث يتم توزيع V k بشكل طبيعي على متغيرات عشوائية غير مرتبطة مع المعلمات (0؛ σ k)؛ m 0 (t) هي دالة غير عشوائية. أوجد الخصائص الرئيسية للعملية العشوائية X(t)، بما في ذلك كثافات التوزيع.

حل.

من الصيغ العامة التي حصلنا عليها سابقًا لدينا:

في كل قسم، العملية العشوائية X(t) لها توزيع طبيعي، لأنها مزيج خطي من المتغيرات العشوائية غير المرتبطة والموزعة بشكل طبيعي V k، وكثافة التوزيع أحادية البعد لها الشكل:

قانون التوزيع ثنائي الأبعاد طبيعي أيضًا وله كثافة التوزيع ثنائية الأبعاد التالية:

مثال 8. التوقع الرياضي m X (t) ووظيفة الارتباط K X (t 1 ;t 2)=t 1 t 2 للعملية العشوائية X(t) معروفة، حيث . أوجد التوسيع القانوني لـ X(t) في الدوال الإحداثية، بشرط أن تكون معاملات التمدد V k هي متغيرات عشوائية موزعة بشكل طبيعي.

حل.

وظيفة الارتباط لها التوسع التالي

لذلك،

;

;

لأن ،

الذي - التي ; .

كثافة توزيع المتغيرات العشوائية V k :

التوسعة الأساسية للعملية العشوائية X(t) لها الشكل:

.

الحواس الضيقة والواسعة.

هناك عدد كبير من الأحداث التي تحدث في الطبيعة، ولا سيما تلك المرتبطة بتشغيل الأجهزة التقنية، ذات طبيعة مستقرة "تقريبًا"، أي أن نمط هذه الأحداث يخضع لتقلبات عشوائية طفيفة، ومع ذلك، بشكل عام ، يتم الحفاظ عليها مع مرور الوقت. في هذه الحالات، من المعتاد الحديث عن العمليات العشوائية الثابتة.

على سبيل المثال، يحافظ الطيار على ارتفاع طيران معين، ولكن مختلف العوامل الخارجية(هبوب الرياح، والتيارات الصاعدة، والتغيرات في دفع المحرك، وما إلى ذلك) تؤدي إلى حقيقة أن ارتفاع الرحلة يتقلب حول قيمة معينة. مثال آخر سيكون مسار البندول. إذا تُرك الأمر لأجهزته الخاصة، فإنه، بشرط عدم وجود عوامل منتظمة تؤدي إلى تخميد التذبذبات، سيكون البندول في وضع التذبذبات الثابتة. لكن العوامل الخارجية المختلفة (هبوب الرياح، والتقلبات العشوائية لنقطة التعليق، وما إلى ذلك)، دون تغيير معلمات الوضع التذبذب بشكل عام، لا تزال تجعل خصائص الحركة غير حتمية، ولكنها عشوائية.

تسمى العملية العشوائية بالثابتة (المنتظمة في الزمن)، الخصائص الإحصائيةوالتي لا تتغير مع مرور الوقت، وهذا هو. ثابتة تحت الزمن والتحولات.

هناك عمليات عشوائية وعمليات ثابتة بالمعنى الواسع والضيق.

مثل هذا

تم استيفاء الشرط

F(t 1 ; t 2 ;… ;t n ; x 1 ; x 2 ;…; x n)=F(t 1 +τ; t 2 +τ;… ;t n +τ; x 1 ; x 2 ;…; x n )،

وبالتالي، فإن جميع التوزيعات ذات الأبعاد n لا تعتمد على لحظات الزمن t 1؛ t 2 ;… ;t n ، ومن n-1 مدة الفترات الزمنية τ i ;:

على وجه الخصوص، لا تعتمد كثافة التوزيع أحادية البعد على الوقت t على الإطلاق:

كثافة المقاطع ثنائية الأبعاد في الأوقات t 1 و t 2

كثافة الأبعاد n للأقسام في الأوقات t 1 ؛ ر 2 ... ؛ تينيسي:

تسمى العملية العشوائية SP Xx(t) ثابتة بالمعنى الواسع إذا كانت لحظاتها من الرتبة الأولى والثانية ثابتة بالنسبة إلى التحول الزمني، أي أن توقعها الرياضي لا يعتمد على الوقت t وهو ثابت، وتعتمد دالة الارتباط فقط على طول الفاصل الزمني بين الأقسام:

ومن الواضح أن العملية العشوائية الثابتة BSC بالمعنى الضيق هي عملية عشوائية ثابتة BSC بالمعنى الواسع؛ فعبارة العكس غير صحيحة.

عمليةBSC

2. 3. وظيفة الارتباط للعملية العشوائية الثابتة SSP هي:

لأنه يحتوي على التماثل التالي

4. إن تباين العملية العشوائية الثابتة SSP يساوي ثابتًا

قيمة دالة الارتباط عند النقطة :

6. وظيفة الارتباط للعملية العشوائية الثابتة SSP هي

إيجابية محددة، وهذا هو

دالة الارتباط الطبيعية لعملية عشوائية ثابتة SSP بل هو أيضا حتى، إيجابية محددة وفي نفس الوقت

مثال 11. ابحث عن الخصائص واستخلص استنتاجًا حول نوع العملية العشوائية SP Xx(t):

rحيث أن U 1 وb U 2 متغيران عشوائيان غير مرتبطين؛

حل.

وبالتالي، فإن العملية العشوائية X(t) ثابتة بالمعنى الواسع. على النحو التالي من مثال 10...، إذا كان U 1 و U 2 مستقلين ومتغيرين عشوائيين متمركزين وموزعين بشكل طبيعي SV، فإن العملية العشوائية SP كما أنها ثابتة بالمعنى الواسع.

مثال 12. … إثبات الثبات بالمعنى الواسع أن العملية العشوائية SP Xx(t) ثابتة بالمعنى الواسع:

حيث V والمتغيرات العشوائية المستقلة SV؛ MV=m vV - const; - المتغير العشوائي SV الموزع بشكل طبيعي على القطعة؛

حل.

لنكتب Xx(t) كما يلي:

وبما أن المتغير العشوائي موزع بشكل موحد على القطعة، فإن كثافة التوزيع لها الشكل:

لذلك،

نحصل على

نظرًا لأن العملية العشوائية SP Xx(t) لها توقع وتباين رياضي ثابت، ودالة الارتباط هي دالة، فبغض النظر عن قانون توزيع المتغير العشوائي SV V M، تكون العملية العشوائية SP X x(t) ثابتة في المعنى الواسع.

المشاريع المشتركة الثابتة المتصلة

تُسمى العمليات العشوائية X(t)X(t) وY(t)Y(t) بالاقتران الثابت إذا كانت وظيفة الارتباط المتبادل بينهما تعتمد فقط على الاختلاف في الوسيطات τ =t 2 -t 1:

ص × XY ذ (ر 1؛ ر 2)= ص س XY ذ (τ).

ثبات العمليات العشوائية SP X(t) X(ر)و ص (ر) ص (ر)لا يعني اتصالهم ثابتة.

دعونا نلاحظ الخصائص الرئيسية للعمليات العشوائية الثابتة المرتبطة SP، المشتق والتكامل للعمليات العشوائية الثابتة SP،

1) 1) rR x XYy (τ)=rR y YXx (-τ).

2) 2)

3) 3)

أين

5) 5) أين

6) 6) ;

مثال 13. دالة الارتباط لعملية عشوائية ثابتة SSP X(t) X(ر)يبدو

ابحث عن وظائف الارتباط، والفروق، ووظائف الارتباط المتبادل للعمليات العشوائية SP X(t)، X'(t)، .

حل.

دعونا نقتصر تحليلنا للحالة على القيم د × × (ر) = 1.

لنستخدم العلاقة التالية:

نحصل على:

يرجى ملاحظة أنه نتيجة لذلك، عند التمايز، تتحول العملية العشوائية الثابتة BRP X(t) إلى عملية عشوائية ثابتة BRP X'(t)، في حين أن X(t) وX'(t) مرتبطتان بثبات. عند دمج عملية عشوائية ثابتة SP X(t)، تنشأ عملية عشوائية غير ثابتة SP Y(t)، وفي نفس الوقت X(t) وY(t) ليستا مرتبطتين بثبات.

وخصائصهم

من بين العمليات العشوائية الثابتة لـ SSP هناك فئة خاصة من العمليات تسمى مريح ، والتي لها الخصائص التالية: الخاصة بهم تتطابق الخصائص التي تم الحصول عليها عن طريق حساب متوسط ​​مجموعة جميع التطبيقات مع الخصائص المقابلة التي تم الحصول عليها عن طريق حساب المتوسط ​​بمرور الوقت لتطبيق واحد تمت ملاحظته على الفاصل الزمني (0، T) لمدة طويلة بما فيه الكفاية. أي على مدى فترة زمنية كبيرة بما فيه الكفاية أييمر التنفيذ أيالحالة بغض النظر عن الحالة الأولية للنظام عند t=0؛ وبهذا المعنى، فإن أي إدراك يمثل بشكل كامل مجمل الإنجازات.

في الممارسة العملية، هناك متغيرات عشوائية تتغير باستمرار خلال تجربة واحدة اعتمادًا على الوقت أو بعض الحجج الأخرى. على سبيل المثال، الخطأ في تتبع الطائرة بواسطة الرادار لا يبقى ثابتا، بل يتغير باستمرار مع مرور الوقت. في كل لحظة يكون الأمر عشوائيًا، ولكن معناه يختلف في لحظات مختلفة من الزمن عند مرافقة طائرة واحدة. ومن الأمثلة الأخرى: زاوية الرصاص عند التصويب المستمر على هدف متحرك؛ خطأ في جهاز تحديد نطاق الراديو عند القياس المستمر لنطاق متغير؛ انحراف مسار المقذوف الموجه عن المقذوف النظري أثناء التحكم أو التوجيه؛ تقلب الضوضاء (الطلقة والحرارية) في أجهزة الراديو وما إلى ذلك. تسمى هذه المتغيرات العشوائية بالوظائف العشوائية. ومن السمات المميزة لهذه الوظائف أنه من غير الممكن الإشارة بدقة إلى نوعها قبل التجربة. ترتبط الدالة العشوائية والمتغير العشوائي ببعضهما البعض بنفس الطريقة التي ترتبط بها الدالة والمتغير الثابت في التحليل الرياضي.

تعريف 1. الدالة العشوائية هي دالة، لكل نتيجة للتجربة، يرتبط بوظيفة عددية معينة، وهي رسم خرائط للفضاء Ω في مجموعة معينة من الوظائف (الشكل 1).

تعريف 2. الوظيفة العشوائية هي وظيفة يمكن أن تتخذ، نتيجة للتجربة، شكلاً محددًا أو آخر، ولا يُعرف مسبقًا أي منها.

يسمى الشكل المحدد الذي تتخذه دالة عشوائية نتيجة للتجربة تطبيق وظيفة عشوائية.

نظرًا لعدم القدرة على التنبؤ بالسلوك، قم بتصوير الوظيفة العشوائية في منظر عامعلى الرسم البياني غير ممكن. يمكنك فقط تدوين شكله المحدد - أي تنفيذه الذي تم الحصول عليه نتيجة للتجربة. عادة ما يتم الإشارة إلى الوظائف العشوائية، مثل المتغيرات العشوائية، بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية X(ر), ي(ر), ز(ر), وتطبيقاتها المحتملة - على التوالي س(ر), ذ(ر), ض(ر). وسيطة وظيفة عشوائية رفي الحالة العامة، يمكن أن يكون متغيرًا مستقلاً عشوائيًا (وليس عشوائيًا) أو مجموعة من المتغيرات المستقلة.

يتم استدعاء الدالة العشوائية عملية عشوائية ، إذا كانت وسيطة الدالة العشوائية هي الوقت. إذا كانت وسيطة الدالة العشوائية منفصلة، ​​فسيتم استدعاؤها تسلسل عشوائي. على سبيل المثال، تسلسل المتغيرات العشوائية هو دالة عشوائية لوسيطة عدد صحيح. ويبين الشكل 2 تطبيقات دالة عشوائية كمثال X(ر): ×1(ر), ×2(ر), … , xn(ر), وهي وظائف مستمرة للوقت. تُستخدم مثل هذه الوظائف، على سبيل المثال، للوصف المجهري لضوضاء التقلب.

تحدث الوظائف العشوائية في كل الأحوال عندما نتعامل مع نظام يعمل بشكل مستمر (نظام القياس، التحكم، التوجيه، التنظيم)، وعند تحليل دقة النظام، علينا أن نأخذ في الاعتبار وجود مؤثرات (حقول) عشوائية؛ تعتبر درجة حرارة الهواء في طبقات الغلاف الجوي المختلفة بمثابة دالة عشوائية للارتفاع H؛ موضع مركز كتلة الصاروخ (الإحداثي الرأسي ضفي مستوى الرماية) هي دالة عشوائية لإحداثياتها الأفقية س. دائمًا ما يكون هذا الموضع في كل تجربة (بدء التشغيل) بنفس بيانات الالتقاط مختلفًا بعض الشيء ويختلف عن الموضع المحسوب نظريًا.

النظر في بعض الوظائف العشوائية X(ر). لنفترض أنه تم إجراء تجارب مستقلة عليه n، ونتيجة لذلك تم الحصول على n من الإنجازات (الشكل 3) ×1(ر), ×2(ر), … , xn(ر). من الواضح أن كل تطبيق هو وظيفة عادية (غير عشوائية). وبالتالي، نتيجة لكل تجربة، الوظيفة العشوائية X(ر) يتحول إلى وضعها الطبيعي غير عشوائي وظيفة.

دعونا نصلح بعض قيمة الحجة ر. دعونا ننفقها على مسافة

ر = ر0خط مستقيم موازي للمحور الإحداثي (الشكل 3). وهذا الخط المستقيم سوف يتقاطع مع الإنجازات في بعض النقاط.

تعريف. مجموعة نقاط تقاطع إنجازات دالة عشوائية بخط مستقيم ر = ر0يسمى المقطع العرضي لوظيفة عشوائية.

بوضوح، قسم يمثل بعض متغير عشوائي ، والقيم المحتملة لها هي إحداثيات نقاط تقاطع الخط ر = ر0مع التنفيذ الحادي عشر(ر) (أنا= ).

هكذا، تجمع الدالة العشوائية بين ميزات المتغير العشوائي والدالة. إذا قمت بتثبيت قيمة الوسيطة، فإنها تتحول إلى متغير عشوائي عادي؛ ونتيجة لكل تجربة تتحول إلى دالة عادية (غير عشوائية).

على سبيل المثال، إذا قمت برسم قسمين ر = t1و ر = t2, ثم نحصل على متغيرين عشوائيين X(t1) و X(t2), والتي تشكل معًا نظامًا من متغيرين عشوائيين.

2 قوانين التوزيع

إن الوظيفة العشوائية للوسيطة المتغيرة باستمرار على أي فاصل زمني صغير تعسفي من تغييرها تعادل مجموعة لا حصر لها من المتغيرات العشوائية التي لا يمكن حتى إعادة ترقيمها. لذلك، بالنسبة للدالة العشوائية، من المستحيل تحديد قانون التوزيع بالطريقة المعتادة، كما هو الحال بالنسبة للمتغيرات العشوائية العادية والمتجهات العشوائية. لدراسة الوظائف العشوائية، يتم استخدام نهج يعتمد على تحديد قيمة وسيطة واحدة أو أكثر رودراسة المتغيرات العشوائية الناتجة أي أن الدوال العشوائية تتم دراستها في أقسام منفصلة تتوافق مع قيم مختلفة للوسيطة ر.

تحديد قيمة واحدة t1دعوى ر، النظر في المتغير العشوائي X1= X(t1). بالنسبة لهذا المتغير العشوائي يمكن تحديد قانون التوزيع بالطريقة المعتادة، على سبيل المثال، دالة التوزيع F1(×1, t1), كثافة الاحتمالية f1(×1, t1). تسمى هذه القوانين قوانين توزيع دالة عشوائية أحادية البعد X ( ر ). خصوصيتها هي أنها لا تعتمد فقط على القيمة المحتملة س1 وظيفة عشوائية X(ر) في ر = t1, ولكن أيضًا على كيفية اختيار القيمة t1دعوى ر, أي قوانين توزيع المتغير العشوائي X1= X(t1) تعتمد على الحجة t1اعتبارا من المعلمة.

تعريف. وظيفة F1(×1, t1) = ف(X(t1)< ×1) تسمى دالة التوزيع الاحتمالي أحادية البعد لدالة عشوائية، أو

F1(س, ر) = ف(X(ر)< س) . (1)

تعريف. إذا كانت وظيفة التوزيع F1(×1, t1) = ف(X(t1)< ×1) قابلة للتمييز فيما يتعلق ×1 ثم يسمى هذا المشتق كثافة التوزيع الاحتمالي أحادية البعد (الشكل 4)، أو

. (2)

كثافة التوزيع أحادية البعد للدالة العشوائية لها نفس خصائص كثافة التوزيع للمتغير العشوائي. على وجه الخصوص: 1) و1 (س, ر) 0 ;

2) https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_73.gif" width="449" height="242">

لا تصف قوانين التوزيع أحادية البعد الدالة العشوائية بشكل كامل، لأنها لا تأخذ في الاعتبار التبعيات بين قيم الدالة العشوائية في أوقات مختلفة.

منذ لقيمة وسيطة ثابتة رتتحول الدالة العشوائية إلى متغير عشوائي عادي عند الإصلاح نقيم الوسيطة التي نحصل عليها مجموعة نالمتغيرات العشوائية X(t1), X(t2), …, X(تينيسي), أي نظام من المتغيرات العشوائية. ولذلك، تحديد كثافة التوزيع أحادية البعد f1(س, ر) وظيفة عشوائية X(ر) لقيمة وسيطة تعسفية ريشبه تحديد كثافات الكميات الفردية المدرجة في النظام. الوصف الكاملأنظمة المتغيرات العشوائية هو القانون المشترك لتوزيعها. ولذلك، توصيف أكثر اكتمالا للوظيفة العشوائية X(ر) هي كثافة التوزيع ذات الأبعاد n للنظام، أي الوظيفة fn(×1, ×2, … , xn, t1, t2, … , تينيسي).

في الممارسة العملية، العثور على ن- عادة ما يسبب قانون التوزيع البعدي للدالة العشوائية صعوبات كبيرة، لذلك تقتصر عادة على قانون التوزيع ثنائي الأبعاد، والذي يميز العلاقة الاحتمالية بين أزواج من القيم X ( t1 ) و X ( t2 ).

تعريف. كثافة التوزيع ثنائية الأبعاد لوظيفة عشوائية X(ر) تسمى كثافة التوزيع المشتركة لقيمها X(t1) و X(t2) لقيمتين تعسفيتين ر1 و t2دعوى ر.

f2(×1, ×2, t1, t2)= (3)

https://pandia.ru/text/78/405/images/image012_54.gif" width="227" height="49">. (5)

حالة التطبيع لكثافة التوزيع ثنائية الأبعاد لها الشكل

. (6)

3 خصائص العملية العشوائية:

التوقع الرياضي والتباين

عند حل المشكلات العملية، في معظم الحالات، يتضمن الحصول على كثافات متعددة الأبعاد واستخدامها لوصف دالة عشوائية تحويلات رياضية مرهقة. في هذا الصدد، عند دراسة دالة عشوائية، يتم استخدام أبسط الخصائص الاحتمالية، المشابهة للخصائص العددية للمتغيرات العشوائية (التوقع الرياضي، التشتت) في أغلب الأحيان ويتم وضع قواعد للعمل مع هذه الخصائص.

وعلى النقيض من الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية وهي أرقام ثابتة ، خصائص الدالة العشوائية هي وظائف غير عشوائية حججه.

النظر في وظيفة عشوائية X(ر) في ثابت ر. في المقطع العرضي لدينا متغير عشوائي عادي. من الواضح أنه في الحالة العامة يعتمد التوقع الرياضي على ذلك ر, أي أنه يمثل بعض الوظائف ر:

. (7)

تعريف. التوقع الرياضي لدالة عشوائية X(ر) تسمى دالة غير عشوائية https://pandia.ru/text/78/405/images/image016_47.gif" width="383" height="219">

لحساب التوقع الرياضي لدالة عشوائية، يكفي معرفة كثافة توزيعها أحادية البعد

ويسمى أيضا التوقع الرياضي مكون غير عشوائي وظيفة عشوائية X(ر), بينما الفرق

(9)

مُسَمًّى جزء التقلب دالة عشوائية أو تركزت وظيفة عشوائية.

تعريف. تباين دالة عشوائية X(ر) تسمى دالة غير عشوائية قيمتها لكل منها ريساوي تشتت القسم المقابل من الوظيفة العشوائية.

ويترتب على ذلك من التعريف

تباين دالة عشوائية لكل منها يميز انتشار الإنجازات المحتملة للدالة العشوائية بالنسبة إلى المتوسط، وبعبارة أخرى، "درجة العشوائية" للدالة العشوائية (الشكل 6).

إحداثيات الهدف، مقاسة بالرادار؛ زاوية هجوم الطائرة؛ الحمل في الدائرة الكهربائية .

5. أنواع العمليات العشوائية.

في الرياضيات هناك مفهوم الدالة العشوائية.

وظيفة عشوائية- الوظيفة التي، نتيجة للخبرة، تأخذ شكلا محددا أو آخر، وهو غير معروف مقدما. حجة مثل هذه الوظيفة ليست عرضية. إذا كانت الوسيطة هي الوقت، فسيتم استدعاء هذه الوظيفة عملية عشوائية. أمثلة على العمليات العشوائية:

خصوصية الوظيفة العشوائية (العملية) هي أنه بالنسبة لقيمة ثابتة للوسيطة (t)، تكون الوظيفة العشوائية متغيرًا عشوائيًا، أي. في t = t i Х (t) = X (t i) – متغير عشوائي.

أرز. 2.1. تمثيل رسومي لوظيفة عشوائية

تسمى قيم الدالة العشوائية للوسيطة الثابتة المقطع العرضي لها. لأن يمكن أن تحتوي الدالة العشوائية على عدد لا نهائي من الأقسام، وفي كل قسم تمثل متغيرا عشوائيا، فيمكن اعتبار الدالة العشوائية ناقل عشوائي لانهائي الأبعاد.

غالبًا ما تسمى نظرية الوظائف العشوائية نظرية العشوائية (العشوائية)

العمليات.

لكل قسم من العملية العشوائية، يمكنك تحديد m x (t i)، D x (t i)، x (t i)، وفي الحالة العامة، x (t i).

بالإضافة إلى الوظائف العشوائية للوقت، يتم في بعض الأحيان استخدام وظائف عشوائية لإحداثيات نقطة ما في الفضاء. تربط هذه الوظائف كل نقطة في الفضاء بمتغير عشوائي معين.

تسمى نظرية الدوال العشوائية لإحداثيات نقطة ما في الفضاء نظرية المجال العشوائي. مثال: متجه سرعة الرياح في جو مضطرب.

اعتمادا على نوع الوظيفة ونوع الوسيطة، يتم تمييز 4 أنواع من العمليات العشوائية.

الجدول 2.1 أنواع العمليات العشوائية

حجم البركة (القيمة المستمرة)

بالإضافة إلى ذلك، هناك:

1. عملية عشوائية ثابتة– الخصائص الاحتماليةوالتي لا تعتمد على الوقت، أي. x (x 1, t 1) = x (x 2, t 2) = ... x (x n, t n) = const.

2. عملية عشوائية عادية (غاوسية)- الكثافة الاحتمالية المشتركة للأقسامر 1 … ر ن – عادي.

3. عملية ماركوف العشوائية(عملية بلا عواقب) الحالة في كل لحظة زمنية تعتمد فقط على الحالة في اللحظة السابقة ولا تعتمد على الحالات السابقة. هدف ماركوف هو سلسلة من أقسام عملية ماركوف العشوائية.

4. نوع العملية العشوائيةالضوضاء البيضاء - في كل لحظة لا تعتمد الحالة على سابقتها.

هناك عمليات عشوائية أخرى

قبل تعريف العملية العشوائية، دعونا نتذكر المفاهيم الأساسية من نظرية المتغيرات العشوائية. كما هو معروف، المتغير العشوائي هو الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى غير معروفة مقدما. هناك متغيرات عشوائية منفصلة ومستمرة. السمة الرئيسية للمتغير العشوائي هو قانون التوزيع، والذي يمكن تحديده على شكل رسم بياني أو في شكل تحليلي. في قانون التوزيع التكاملي تكون دالة التوزيع حيث احتمال أن تكون القيمة الحالية للمتغير العشوائي أقل من قيمة معينة. مع قانون التوزيع التفاضلي، يتم استخدام الكثافة الاحتمالية. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية هي ما يسمى باللحظات، وأكثرها شيوعًا هي لحظة الترتيب الأول - القيمة المتوسطة (التوقع الرياضي) للمتغير العشوائي والعزم المركزي من الترتيب الثاني - التشتت. إذا كان هناك العديد من المتغيرات العشوائية (نظام المتغيرات العشوائية)، يتم تقديم مفهوم لحظة الارتباط.

تعميم مفهوم المتغير العشوائي هو المفهوم وظيفة عشوائية، أي. وظيفة يمكن أن تتخذ، نتيجة للتجربة، شكلاً أو آخر غير معروف مسبقًا. إذا كانت وسيطة الوظيفة هي الوقت ر،ثم يسمونها عشوائيأو عملية عشوائية.

يسمى نوع معين من العمليات العشوائية التي يتم الحصول عليها نتيجة للتجربة تطبيقعملية عشوائية وهي وظيفة عادية غير عشوائية (حتمية). ومن ناحية أخرى، في لحظة زمنية محددة لدينا ما يسمى بالمقطع العرضي لعملية عشوائية على شكل متغير عشوائي.

لوصف العمليات العشوائية، يتم تعميم مفاهيم نظرية المتغيرات العشوائية بشكل طبيعي. لبعض الوقت المحدد، تتحول العملية العشوائية إلى متغير عشوائي، حيث يمكننا تقديم وظيفة تسمى قانون التوزيع أحادي البعدعملية عشوائية. قانون التوزيع أحادي البعد ليس خاصية شاملة للعملية العشوائية. على سبيل المثال، لا يصف الارتباط (الاتصال) بين الأقسام الفردية لعملية عشوائية. إذا أخذنا لحظتين مختلفتين من الزمن، فيمكننا تقديم قانون توزيع ثنائي الأبعاد، وما إلى ذلك. وفي حدود بحثنا الإضافي، سنقتصر بشكل أساسي على القوانين أحادية البعد وثنائية الأبعاد.

دعونا نفكر في أبسط خصائص العملية العشوائية، المشابهة للخصائص العددية للمتغير العشوائي. توقعأو متوسط ​​المجموعة

والتباين

التوقع الرياضي هو منحنى متوسط ​​معين يتم حوله تجميع الإنجازات الفردية لعملية عشوائية، ويميز التشتت انتشار الإنجازات المحتملة في كل لحظة من الزمن. في بعض الأحيان، يتم استخدام الانحراف المعياري.

للخصائص الهيكل الداخليتم تقديم مفهوم العملية العشوائية علاقة (الارتباط التلقائي) وظائف

جنبا إلى جنب مع التوقع الرياضي (المتوسط ​​فوق المجموعة) (3.1)، تم تقديم خاصية أخرى للعملية العشوائية - متوسط ​​القيمةعملية عشوائية للتنفيذ الفردي (متوسط ​​الوقت)

بالنسبة لعمليتين عشوائيتين، يمكننا أيضًا تقديم مفهوم دالة الارتباط المتبادل عن طريق القياس مع (3.3).

إحدى الحالات الخاصة للعملية العشوائية المستخدمة على نطاق واسع في الممارسة هي عملية عشوائية ثابتةهي عملية عشوائية ذات خصائص احتمالية لا تعتمد على الزمن. لذلك، بالنسبة للعملية العشوائية الثابتة، تعتمد وظيفة الارتباط على الفرق، أي. هي وظيفة وسيطة واحدة.

تشبه العملية العشوائية الثابتة إلى حد ما العمليات العادية أو الثابتة في أنظمة التحكم.

العمليات العشوائية الثابتة لها خاصية مثيرة للاهتمامالذي يسمى فرضية إرجودية. بالنسبة لعملية عشوائية ثابتة، فإن أي متوسط ​​على المجموعة يساوي المتوسط ​​على مدار الوقت. على وجه الخصوص، على سبيل المثال، غالبًا ما تجعل هذه الخاصية من الممكن تبسيط النمذجة الفيزيائية والرياضية للأنظمة تحت التأثيرات العشوائية.

كما هو معروف، عند تحليل الإشارات الحتمية، يتم استخدام خصائصها الطيفية المستندة إلى سلسلة فورييه أو التكامل على نطاق واسع. يمكن تقديم مفهوم مماثل للعمليات الثابتة العشوائية. سيكون الفرق هو أنه بالنسبة لعملية عشوائية، ستكون سعة المكونات التوافقية عشوائية، وسيصف طيف العملية العشوائية الساكنة توزيع التباينات على ترددات مختلفة.

الكثافة الطيفيةترتبط العملية العشوائية الثابتة بوظيفة الارتباط الخاصة بها عن طريق تحويلات فورييه:

حيث سيتم التعامل مع وظيفة الارتباط على أنها الأصل، و- كالصورة.

هناك جداول تربط بين النسخ الأصلية والصور. على سبيل المثال، إذا، ثم.

دعونا نلاحظ العلاقة بين الكثافة الطيفية ووظيفة الارتباط مع التشتت د

1.1.1. العمليات العشوائية الغوسية

غاوسي ، إذا كانت جميع توزيعاتها محدودة الأبعاد طبيعية، فهذا يعني

ر 1 ,ر 2 ,…,ر ن ت

ناقلات عشوائية

(X(ر 1);X(ر 2);…;X(ر ن))

لديها كثافة التوزيع التالية:

,

حيث أ =MX(t i); =M(X(t i)-a i) 2 ; مع ij =M((X(t i)-a i)(X(t j)-a j));
;

-المكمل الجبري للعنصر مع ij.

1.1.2. عمليات عشوائية بزيادات مستقلة

بزيادات مستقلة ، إذا كانت زياداتها على فترات زمنية غير متداخلة لا تعتمد على بعضها البعض:

ر 1 ,ر 2 ,…,ر ن تي:ر 1 ≥t 2 ≥… ≥t n ,

المتغيرات العشوائية

X(ر 2)-X(ر 1); X(ر 3)-X(ر 2); ...; X(ر ن)-X(ر ن-1)

مستقل.

1.1.3. عمليات عشوائية بزيادات غير مترابطة

تسمى العملية العشوائية X(t) بالعملية مع غير مترابطة الزيادات, إذا تم استيفاء الشروط التالية:

1) ر تي: مكس 2 (ر)< ∞;

2) ر 1 ,ر 2 ,ر 3 ,ر 4 T:t 1 ≥t 2 ≥t 3 ≥t 4: M((X(t 2)-X(t 1))(X(t 4)-X(t 3)))=0.

1.1.4. العمليات العشوائية الثابتة (انظر الفصل الخامس)

1.1.5. عمليات ماركوف العشوائية

دعونا نقتصر على التعريف ماركوفسكي عملية عشوائية ذات حالات منفصلة وزمن منفصل (سلسلة ماركوف).

دع النظام A يكون في إحدى الحالات غير المتوافقة A 1 ; أ 2 ؛…؛أ ن ، وفي نفس الوقت احتمال P أنا ( ق ) ما في ق -ال اختبار، النظام يذهب من الدولة لدولة أ ي لا يعتمد على حالة النظام في الاختبارات السابقة ق -1. عملية عشوائية من هذا النوعتسمى سلسلة ماركوف.

1.1.6. عمليات بواسون العشوائية

تسمى العملية العشوائية X(t). بواسون العملية باستخدام المعلمة a (a>0)، إذا كانت تحتوي على الخصائص التالية:

1) ر تي؛ ت =)