الخصائص الاحتمالية للإشارة الغامضة. الخصائص الاحتمالية للإشارات. خصائص الإشارات العشوائية الثابتة

وبما أن جميع إشارات المعلومات والضوضاء عشوائية ولا يمكن التنبؤ بها إلا بدرجة معينة من الاحتمال، يتم استخدام نظرية الاحتمالات لوصف مثل هذه الإشارات. وفي هذه الحالة يتم استخدام الخصائص الإحصائية التي يتم الحصول عليها من خلال إجراء تجارب عديدة تحت نفس الظروف.

يمكن تقسيم جميع الظواهر العشوائية التي تدرسها نظرية الاحتمالات إلى ثلاث مجموعات:
— أحداث عشوائية.
- المتغيرات العشوائية.
- العمليات العشوائية.

حدث عشوائيهي أي حقيقة قد تحدث أو لا تحدث نتيجة للتجربة.
الحدث العشوائي هو ظهور تداخل عند إدخال جهاز الاستقبال أو استقبال رسالة بها خطأ.
يتم تحديد الأحداث العشوائية بالأحرف اللاتينية A، B، C.

الخصائص العددية للحدث العشوائي هي:
1. تكرار حدوث حدث عشوائي:

حيث m هو عدد التجارب التي وقع فيها هذا الحدث؛
N هو العدد الإجمالي للتجارب التي تم إجراؤها.

كما يلي من التعبير (40)، لا يمكن أن يتجاوز تكرار حدوث حدث عشوائي 1، نظرًا لأن عدد التجارب التي وقع فيها هذا الحدث لا يمكن أن يتجاوز إجمالي عدد التجارب التي تم إجراؤها.
2. احتمال وقوع حدث عشوائي:

أي أن احتمال وقوع حدث عشوائي هو تكرار حدوثه مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب التي يتم إجراؤها. لا يمكن أن يتجاوز احتمال وقوع حدث ما 1. الحدث العشوائي الذي له احتمال يساوي واحدًا يمكن الاعتماد عليه، أي أنه سيحدث بالتأكيد، وبالتالي فإن الأحداث التي حدثت بالفعل لها مثل هذا الاحتمال.
متغير عشوائيهي الكمية التي تتغير بشكل عشوائي من تجربة إلى أخرى.
المتغير العشوائي هو سعة التداخل عند مدخل جهاز الاستقبال أو عدد الأخطاء في الرسالة المستلمة. يُشار إلى المتغيرات العشوائية بالأحرف اللاتينية X، Y، Z، وقيمها هي x، y، z.
المتغيرات العشوائية يمكن أن تكون منفصلة أو مستمرة.
المنفصل هو متغير عشوائي يمكن أن يأخذ مجموعة محدودة من القيم (على سبيل المثال، عدد المعدات، عدد البرقيات، وما إلى ذلك، حيث أنها يمكن أن تأخذ فقط العدد الصحيح 1، 2، 3، ...).
المستمر هو متغير عشوائي يمكنه أخذ أي قيم من نطاق معين (على سبيل المثال، يمكن أن يأخذ سعة التداخل عند مدخل جهاز الاستقبال أي قيم، تمامًا كما يمكن لإشارة المعلومات التناظرية أن تأخذ أي قيم).

الخصائص العددية والإحصائية التي تصف المتغيرات العشوائية هي:
1.دالة التوزيع الاحتمالي.

F(x)=P(X ? x) (42)

توضح هذه الدالة احتمالية ألا يتجاوز المتغير العشوائي X القيمة المحددة المحددة x. إذا كان المتغير العشوائي X منفصلاً، فإن F(x) هي أيضًا دالة منفصلة، ​​إذا كان X متغيرًا مستمرًا، إذن F(x) ؟ وظيفة مستمرة.
2. دالة الكثافة الاحتمالية.

P(x)=dF(x)/dx (43)

توضح هذه الخاصية احتمال وقوع قيمة متغير عشوائي في فترة صغيرة dx بالقرب من النقطة x’، أي في المنطقة المظللة (الشكل).

3. توقع.

حيث xi هي قيم المتغير العشوائي؛
P(xi) هو احتمال حدوث هذه القيم؛
n هو عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي.

حيث p(x) هي الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر.

ويوضح التوقع الرياضي في معناه القيمة المتوسطة والأكثر احتمالا للمتغير العشوائي، أي أن هذه القيمة غالبا ما تؤخذ من متغير عشوائي. يطبق التعبير (44) إذا كان المتغير العشوائي منفصلا، والتعبير (45) إذا كان مستمرا. الترميز M[X] خاص بالتوقع الرياضي للمتغير العشوائي المشار إليه بين قوسين معقوفين، ولكن يتم استخدام الترميز mx أو m في بعض الأحيان.

4. تشتت.

يميز التشتت كميًا درجة تشتت نتائج التجارب الفردية بالنسبة إلى القيمة المتوسطة. يتم قبول ترميز تباين المتغير العشوائي D[X] بشكل عام، ولكن يمكن أيضًا استخدام الترميز ??x. يستخدم التعبير (46) لحساب تباين متغير عشوائي منفصل، ويستخدم (47) لحساب تباين متغير عشوائي مستمر. إذا أخذت الجذر التربيعي للتباين، فستحصل على قيمة تسمى الانحراف المعياري (؟x).

يمكن إظهار جميع خصائص المتغير العشوائي باستخدام الشكل 22.

الشكل 22 - خصائص المتغير العشوائي

عملية عشوائيةهي دالة للوقت t، وقيمتها لأي قيمة ثابتة للوقت هي متغير عشوائي. على سبيل المثال، يوضح الشكل 23 رسمًا تخطيطيًا لبعض العمليات العشوائية التي تمت ملاحظتها نتيجة لثلاث تجارب. إذا حددنا قيمة الدوال في وقت ثابت t1، فإن القيم الناتجة سوف تتحول إلى متغيرات عشوائية.

الشكل 23 - مجموعة تطبيقات العملية العشوائية

وبالتالي فإن ملاحظة أي متغير عشوائي (X) في الزمن هي عملية عشوائية X(t). على سبيل المثال، تعتبر إشارات المعلومات (الهاتف، التلغراف، نقل البيانات، التلفزيون) والضوضاء (النطاق الضيق والنطاق العريض) بمثابة عمليات عشوائية.
تسمى ملاحظة واحدة لعملية عشوائية تطبيقس ك (ر). تسمى مجموعة جميع الإنجازات الممكنة لعملية عشوائية واحدة بمجموعة من الإنجازات. على سبيل المثال، يوضح الشكل 23 مجموعة من إنجازات عملية عشوائية، تتكون من ثلاثة إنجازات.

لتوصيف العمليات العشوائية، يتم استخدام نفس الخصائص المستخدمة للمتغيرات العشوائية: دالة التوزيع الاحتمالي، دالة كثافة الاحتمال، التوقع الرياضي والتشتت. يتم حساب هذه الخصائص بنفس طريقة حساب المتغيرات العشوائية. هناك عمليات عشوائية أنواع مختلفة. ومع ذلك، في الاتصالات السلكية واللاسلكية، فإن معظم الإشارات والضوضاء العشوائية هي عمليات عشوائية إرجودية ثابتة.

العملية الثابتة هي عملية عشوائية لا تعتمد خصائصها F(x) وP(x) وM[X] وD[X] على الوقت.
مريحهي عملية يؤدي فيها متوسط ​​الوقت لأحد التطبيقات إلى نفس النتائج مثل المتوسط ​​الثابت لجميع عمليات التنفيذ. ماديًا، هذا يعني أن جميع تطبيقات العملية الإرغودية متشابهة مع بعضها البعض، لذلك يمكن إجراء قياسات وحسابات لخصائص هذه العملية باستخدام أحد (أي) من التطبيقات.
بالإضافة إلى الخصائص الأربع المذكورة أعلاه، يتم وصف العمليات العشوائية أيضاً بواسطة دالة الارتباط والكثافة الطيفية للقدرة.

تصف دالة الارتباط درجة العلاقة بين قيم العملية العشوائية لحظات مختلفةالوقت ر و ر+؟. أين؟ التحول الزمني.

حيث tн هو وقت مراقبة التنفيذ xk(t).

الكثافة الطيفية للطاقة- يظهر توزيع الطاقة لعملية عشوائية حسب التردد.

أين؟ P هي قوة العملية العشوائية لكل نطاق تردد؟ f.

لذلك الملاحظة ظاهرة عشوائية في الوقت المناسبهي عملية عشوائية، ووقوعها حدث عشوائي، وقيمتها متغير عشوائي.

على سبيل المثال، تعتبر مراقبة إشارة التلغراف عند مخرج خط اتصال لبعض الوقت عملية عشوائية، وظهور عنصرها المنفصل "1" أو "0" عند الاستقبال هو حدث عشوائي، وسعة هذا العنصر هي متغير عشوائي.

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

ولاية نوفوسيبيرسك الفنية
جامعة

كلية الأتمتة وهندسة الحاسبات

قسم نظم جمع البيانات ومعالجتها

العمل المختبري رقم 12

الإشارات العشوائية وخصائصها

المجموعة: AT-73 المعلم: مساعد. شيتينين يو.

الطالب: فيتينكوفا إس.إي.

نوفوسيبيرسك

الغرض من العمل:دراسة الخصائص الأساسية للإشارات العشوائية الثابتة (القيمة المتوسطة، دالة الارتباط الذاتي، الكثافة الطيفية للطاقة) واكتساب المهارات العملية في حسابها وتحليلها في بيئة الماتلاب.

1. توليد 500 عينة إشارة عشوائيةX مع توقع رياضي صفري وتباين الوحدة وحساب تقديرات المتوسط ​​والتباين لـX .

دعونا نستخدم ملف البرنامج النصي التالي لإنشاء 500 عينة من إشارة عشوائية Xمع توقع رياضي صفري وتباين الوحدة والتآمر X.

يظهر الرسم البياني الناتج في الشكل. 1.

أرز. 1. الرسم البياني إشارة عشوائية X.

يمكن أن تتميز العمليات العشوائية بالتوقع الرياضي والتشتت. التوقع الرياضي هو القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي، ويميز التشتت تشتت الإشارة بالنسبة إلى قيمتها المتوسطة.

يمكن تحديد هذه الخصائص تقريبًا من خلال المعرفة نعينات الإشارة باستخدام التعبيرات (1) و (2).

(1)

(2)

دعونا نستخدم الوظائف المخصصة تشتت() و أوزيداني()لتحديد تقديرات التوقع الرياضي والتشتت من التعبيرات (1) و (2).

الدالة D = التشتت (ص)

% التباين

م = أوزيداني(ص);

D = مجموع((ص - م).^2)/(الطول(ص)-1);

الدالة م = أوزيداني (ص)

% التوقع الرياضي

م = مجموع(ص)/الطول(ص);

نحصل على قيم التصنيف:

أثناء عملية الإنشاء، تم تحديد صفر توقع رياضي وتباين الوحدة. نرى أن قيم التقييم التي تم الحصول عليها قريبة من القيم المحددة. سبب اتفاقهم غير الكامل هو أن عينة محدودة من نالعينات، وتتقارب التقديرات مع القيم الحقيقية عند .

2. رسم مؤامرة كثافة الاحتمالية ورسم بياني للإشارةX .

باستخدام ملف البرنامج النصي التالي، سنقوم بإنشاء رسم بياني للكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي عادي (باستخدام التعبير (3)) ورسم بياني للرسم البياني للإشارة Xباستخدام الوظيفة اصمت() .

(3)

f = (exp(-(x-m).^2/(2*D)))/(sqrt(2*pi*D));

title("الرسم البياني للكثافة الاحتمالية");

set(gca،"FontName"، "Times New Roman"، "FontSize"، 10)؛

title("رسم بياني للإشارة العشوائية X");

يتم عرض الرسوم البيانية الناتجة في الشكل. 2.

أرز. 2. الرسم البياني لكثافة التوزيع

الاحتمالات والرسوم البيانية.

نرى أن الرسم البياني للإشارة العشوائية X يشبه في الشكل الرسم البياني للكثافة الاحتمالية. إنهما لا يتطابقان تمامًا، لأن... لبناء الرسم البياني، عينة محدودة من نالتهم. يتقارب الرسم البياني مع مخطط كثافة الاحتمال عند .

3. تحديد ACF لإشارة خرج النظام بشكل تحليلي وباستخدام الوظيفةتحويل ().

إحدى خصائص الإشارة العشوائية هي وظيفة الارتباط الذاتي (ACF)، والتي يتم تحديدها بالتعبير (4).

يحدد ACF درجة اعتماد عينات الإشارة المفصولة عن بعضها البعض بفاصل زمني م.

الضوضاء البيضاء هي عملية عشوائية يكون ACF فيها مساوياً للصفر لأي، أي. القيم مفصولة بفاصل زمني ملا تعتمد على بعضها البعض. يتم تحديد ACF للضوضاء البيضاء بواسطة التعبير (5).

يتم تحديد العلاقة بين ACF لإشارات الإخراج والإدخال المنفصلة للنظام من خلال التعبير

باستخدام التعبير (6)، نحدد ACF لإشارة خرج النظام بالمعادلة عند تطبيق الضوضاء البيضاء على دخل النظام.

دعونا نحدد الاستجابة النبضية لنظام معين من خلال تطبيق نبضة دلتا واحدة على مدخلاته.

أرز. 3. الرسوم البيانية , .

عندما يكون ACF للضوضاء البيضاء مساوياً لـ . إن التفاف أي إشارة مع نبضة وحدة يعطي الإشارة الأصلية، وهو ما يعني .

وباستخدام المعنى الهندسي لعملية الالتواء نجد .

أرز. 4. رسم بياني ACF لإشارة خرج النظام

عندما يتم تطبيق الضوضاء البيضاء على الإدخال.

نرى أنه بالمقارنة مع ACF لإشارة الدخل، ظهرت مكونات غير صفرية في إشارة الخرج عند، أي. إشارة الخرج هي عملية مترابطة على عكس الضوضاء البيضاء المدخلة.

دعونا نحدد ACF لإشارة خرج النظام عند تطبيق إشارة عشوائية على الإدخال X، المعرفة في البند 1.

تقدير إشارة ACF Xيمكن تحديدها من خلال التعبير

يمكن حساب تقدير ACF المحدد بالتعبير (7) باستخدام الوظيفة com.xcorr() ماتلاب. باستخدام هذه الوظيفة، نجد تقديرًا لـ ACF للإشارة Xورسم هذا التقييم.

Xcorr(X, "متحيز");

الجذعية (التأخر، Kxx)؛

مجموعة (gca، "FontName"، "Times New Roman Cyr"، "FontSize"، 10)

title("تقدير ACF للإشارة X");

أرز. 5. رسم بياني لتقدير ACF لإشارة عشوائية X.

ونحن نرى أن تقييم الإشارة Xإن ACF قريب من ACF للضوضاء البيضاء (الشكل 3)، مما يعني أن العلاقة بين قيم الإشارة المختلفة Xصغير يتم تفسير وجود المكونات في بمحدودية العينة.

باستخدام الوظيفة تحويل () Matlab، دعونا نحدد ACF لإشارة الخرج باستخدام التعبير (6).

h1 = ;

h2 = ;

ج = تحويل(h1,h2);

Kyy = conv(c, Kxx);

الجذعية(-(N+3):(N+3)، Kyy)

أرز. 6. ACF لإشارة الخرج عند تطبيق الإشارة على الإدخال X.

في الجزء الموسع من الشكل. 6 يمكنك أن ترى أن قيم ACF لإشارة الخرج مع إشارة الإدخال Xتكون قريبة من قيم ACF لإشارة الخرج عند تطبيق الضوضاء البيضاء على الإدخال (الشكل 4).

باستخدام التسلسل التالي من الأوامر، سنقوم برسم الرسوم البيانية لـ ACF لإشارات الإدخال والإخراج لمقارنتها.

الجذعية (التأخر، Kxx)؛

مجموعة (gca، "FontName"، "Times New Roman Cyr"، "FontSize"، 10)

title("تقدير ACF للإشارة X");

الجذعية(-(N+3):(N+3)، Kyy)

مجموعة (gca، "FontName"، "Times New Roman Cyr"، "FontSize"، 10)

title("ACF لإشارة الخرج");

أرز. 7. الرسوم البيانية ACF لإشارات مرشح الإدخال والإخراج.

في الشكل. 7 نرى أن إشارة الخرج أكثر ارتباطًا من إشارة الإدخال، لأن يوجد عدد أكبر من المكونات غير الصفرية ويوجد اعتماد بين قيم إشارة الخرج.

4. رسم مخططات التشتت الناتجةأنظمة Y.

المعلومات المرسلة عبر قناة اتصال أو المستخرجة نتيجة للقياس موجودة في الإشارة.

قبل تلقي الرسالة (قبل الاختبار)، يجب اعتبار الإشارة بمثابة عملية عشوائية، وهي عبارة عن مجموعة (مجموعة) من الوظائف الزمنية التي تخضع لبعض الأنماط الإحصائية المشتركة بينها. إحدى هذه الوظائف، والتي تصبح معروفة بالكامل بعد تلقي الرسالة، تسمى تنفيذ عملية عشوائية. ولم يعد هذا الإدراك عشوائيا، بل هو وظيفة حتمية للزمن.

من الخصائص المهمة، ولكنها ليست شاملة، للعملية العشوائية قانون التوزيع الاحتمالي أحادي البعد المتأصل فيها.

في الشكل. 4.1 يوضح مجموعة من الوظائف التي تشكل عملية عشوائية. تشكل القيم التي يمكن أن تتخذها الوظائف الفردية في لحظة ما مجموعة من المتغيرات العشوائية

أرز. 4.1. مجموعة من الوظائف التي تشكل عملية عشوائية

يتم تحديد احتمالية وقوع قيمة القياس ضمن فترة زمنية معينة (الشكل 4.1) بواسطة التعبير

تمثل الدالة قانون التوزيع التفاضلي لمتغير عشوائي وتسمى كثافة الاحتمال أحادية البعد، وتسمى الاحتمال التكاملي.

تعتبر الدالة منطقية بالنسبة للأنواع العشوائية المستمرة التي يمكن أن تأخذ أي قيمة في فترة زمنية معينة. ومهما كانت طبيعة الوظيفة فلا بد من تحقيق المساواة

أين هي حدود القيم الممكنة

إذا كان متغيرًا عشوائيًا من النوع المنفصل ويمكن أن يأخذ أيًا من عدد محدود من القيم المنفصلة، ​​فيجب استبدال (4.2) بالمجموع

أين هو الاحتمال المقابل للقيمة.

يتيح تحديد كثافة احتمالية أحادية البعد إمكانية حساب المتوسط ​​الإحصائي لكل من القيمة نفسها وأي دالة. نعني بالمتوسط ​​الإحصائي حساب المتوسط ​​على مجموعة (على مجموعة) في "قسم" ما من العملية، أي عند نقطة زمنية محددة.

بالنسبة للتطبيقات العملية، تعد المعلمات التالية للعملية العشوائية ذات أهمية قصوى:

توقع رياضي

تشتت

الانحراف المعياري

كثافة الاحتمال أحادية البعد ليست كافية ل وصف كاملالعملية، لأنها تعطي تمثيلًا احتماليًا للعملية العشوائية X(t) فقط في لحظات ثابتة معينة من الزمن.

السمة الأكثر اكتمالا هي كثافة الاحتمالية ثنائية الأبعاد التي تسمح للمرء أن يأخذ في الاعتبار العلاقة بين القيم التي تقبلها دالة عشوائية في نقاط زمنية محددة بشكل تعسفي

السمة الاحتمالية الشاملة للعملية العشوائية هي كثافة الاحتمال ذات الأبعاد لـ n كبيرة بما فيه الكفاية. لكن عدد كبيريمكن حل المشكلات المتعلقة بوصف الإشارات العشوائية على أساس كثافة الاحتمال ثنائية الأبعاد.

يسمح تحديد كثافة الاحتمالية ثنائية الأبعاد بتحديدها على وجه الخصوص خاصية مهمةعملية عشوائية - وظيفة التغاير

ووفقا لهذا التعريف، فإن دالة التغاير لعملية عشوائية هي حاصل ضرب متوسط ​​القيم إحصائيا وظيفة عشوائيةفي لحظات

لكل تحقيق لعملية عشوائية، يكون المنتج رقمًا معينًا. تشكل مجموعة الإنجازات مجموعة من الأرقام العشوائية، التي يتميز توزيعها بكثافة احتمالية ثنائية الأبعاد. بالنسبة لوظيفة معينة، يتم تنفيذ عملية حساب المتوسط ​​على المجموعة وفقًا للصيغة

عندما يتحول متغير عشوائي ثنائي الأبعاد إلى متغير أحادي البعد، يمكننا بالتالي الكتابة

وبالتالي، مع الفاصل الزمني صفر بين النقاط الزمنية، تحدد دالة التغاير قيمة المربع المتوسط ​​للعملية العشوائية في الوقت الحالي

عند تحليل العمليات العشوائية، غالبًا ما يكون الاهتمام الرئيسي هو عنصر التقلب. في مثل هذه الحالات، يتم استخدام وظيفة الارتباط

استبدال بدلاً من ذلك يمكنك الحصول على التعبير التالي:

عندما يحدد التعبير (4.8) وفق (4.4) تشتت العملية العشوائية لذلك

يتم تبسيط دراسة العملية العشوائية، وكذلك تأثيرها على الدوائر الراديوية، بشكل كبير عندما تكون العملية ثابتة.

تسمى العملية العشوائية ثابتة تمامًا إذا كانت كثافة احتمالاتها ترتيب عشوائييعتمد فقط على الفواصل الزمنية ولا يعتمد على موضع هذه الفواصل الزمنية في منطقة تغيير الوسيطة

في تطبيقات الهندسة الراديوية لنظرية العمليات العشوائية، تقتصر حالة الثبات عادة على اشتراط أن تكون كثافات الاحتمال أحادية البعد وثنائية الأبعاد فقط مستقلة عن الزمن (عملية عشوائية، ثابتة بالمعنى الواسع). إن تحقيق هذا الشرط يسمح لنا بافتراض أن التوقع الرياضي ومتوسط ​​التربيع وتباين العملية العشوائية لا تعتمد على الزمن، كما أن دالة الارتباط لا تعتمد على اللحظات الزمنية نفسها، بل على الفترة الفاصلة بينها فقط.

يمكن تفسير ثبات العملية بالمعنى الواسع على أنها ثبات في إطار نظرية الارتباط (للحظات ليست أعلى من الترتيب الثاني).

وهكذا، بالنسبة لعملية عشوائية ثابتة بالمعنى الواسع، يمكن كتابة التعبيرات السابقة دون الإشارة إلى نقاط زمنية ثابتة. بخاصة،

يتم تحقيق مزيد من التبسيط لتحليل العمليات العشوائية باستخدام حالة ergodicity للعملية. تسمى العملية العشوائية الثابتة إرجوديك إذا، عند تحديد أي منها الخصائص الإحصائيةإن حساب المتوسط ​​على العديد من التطبيقات يعادل حساب المتوسط ​​بمرور الوقت لتطبيق طويل لا نهائي من الناحية النظرية.

يتضمن شرط قوة العملية العشوائية أيضًا شرط استقرارها. وفقًا لتعريف العملية الإرغودية، فإن العلاقات تعادل التعبيرات التالية، حيث تتم الإشارة إلى عملية المتوسط ​​​​مع مرور الوقت بخط:

إذا كانت إشارة كهربائية (تيار، جهد)، فهي المكون الثابت للإشارة العشوائية، وهي متوسط ​​قدرة تذبذب الإشارة [نسبة إلى المكون الثابت x(t)].

يتطابق التعبير (4.15) خارجيًا مع تعريف (2.131) لوظيفة الارتباط للإشارة الحتمية (دورية).

غالبًا ما يتم استخدام دالة الارتباط الطبيعية

تميز الوظائف العلاقة (الارتباط) بين القيم المفصولة بفاصل زمني. كلما تغيرت بشكل أبطأ وأكثر سلاسة مع مرور الوقت، كلما زاد الفاصل الزمني الذي يتم من خلاله ملاحظة علاقة إحصائية بين القيم اللحظية للدالة العشوائية.

في الدراسة التجريبية للعمليات العشوائية، يتم استخدام خصائص الارتباط الزمني للعملية (4.15)-(4.19)، حيث كقاعدة عامة، يكون المجرب قادرًا على ملاحظة تنفيذ واحد للإشارة، وليس العديد من تطبيقاتها. يتم إجراء التكامل، بطبيعة الحال، ليس عبر حدود لا نهائية، ولكن عبر فترة زمنية محدودة T، يجب أن يكون طولها أكبر، كلما زادت متطلبات دقة نتائج القياس.

النموذج الرياضي لعملية نقل معلومات القياس هو نموذج لعملية عشوائية ذات كثافة احتمالية. الإشارات المفيدة وإشارات التداخل التي تعمل على أنظمة قياس المعلومات هي عمليات عشوائية يمكن تمييزها بقيم وخصائص متوسطة إحصائية.

العملية العشوائية هي ظاهرة عشوائية أكثر تعقيدا من المتغير العشوائي، ولكن يمكن إعطاء تعريفها من خلال متغير عشوائي. تسمى الوظيفة (الشكل 4) بعملية عشوائية إذا كانت قيمها اللحظية عبارة عن متغيرات عشوائية. مثلما لا يمكن وصف المتغير العشوائي بقيمة واحدة، لا يمكن تعريف العملية العشوائية بواسطة أي وظيفة واحدة، حتى لو كانت معقدة. العملية العشوائية هي مجموعة من التطبيقات (وظائف الزمن). تطبيق الحادي عشر (ر)- جزء من عملية عشوائية X(ر)، وسجل نتيجة لذلك أنا-التجربة محدودة المدة تلذلك، يُفهم الإدراك على أنه أحد النتائج المحتملة لعملية عشوائية. المتغير العشوائي الموافق أنا-التنفيذ و ياللحظة الزمنية، هي قيمة (عينة) لحظية - وهي حالة خاصة من العمليات العشوائية، وتعتمد الخصائص الاحتمالية للعملية العشوائية على خصائص المتغيرات العشوائية المتضمنة في هذه العملية. مجموعة من القيم اللحظية المقابلة لقيم التطبيقات المختلفة في نفس النقطة الزمنية ر ي، مُسَمًّى يالتسلسل العاشر للعملية X(ر). عند حل المشكلات التطبيقية، غالبًا ما يلجأ المرء إلى عمليات التنفيذ بدلاً من التسلسل.

تجريبيا، يمكن الحصول على مجموعة من إنجازات العملية العشوائية نتيجة التسجيل المتزامن لمعلمات الإخراج الحادي عشر (ر)عند مخرجات كائنات من نفس النوع، على سبيل المثال، أدوات القياس، لفترة زمنية محددة.

إذا كانت الحجة ريتغير باستمرار، والاعتماد X(ر) يمثل عملية عشوائية مستمرة(على سبيل المثال، تغيير في خطأ جهاز القياس على مدى فترة طويلة من تشغيله)، إذا كانت الحجة رهي كمية منفصلة - تسلسل عشوائي أو سلسلة زمنية(مجموعة من نتائج قياس الخطأ في أوقات معروفة). عملية X(ر) يتم استدعاء أخذ عدد محدود من القيم عملية عشوائية منفصلة(على سبيل المثال، تسلسل حالات التشغيل لمعدات أنظمة قياس المعلومات أو مجمعات حوسبة المعلومات).

وبتعريف عملية عشوائية بمتغيرات عشوائية، يتم إيجاد الخصائص الاحتمالية للعمليات بناء على الخصائص الاحتمالية لهذه المتغيرات.

الشكل 4. التمثيل البياني لعملية عشوائية

الوصف الأكثر اكتمالا للعملية العشوائية هو دالة التوزيع الاحتمالي المتكاملة

وظيفة التوزيع الاحتمالي التفاضلي

في وظائف التوزيع الاحتمالية للعمليات العشوائية، على النقيض من وظائف التوزيع الاحتمالية متعددة الأبعاد للمتغيرات العشوائية للوسائط ستتم إضافة المتغيرات ر ي، موضحًا في أي وقت تم أخذ القراءات.

للحصول على وصف تقريبي للعمليات العشوائية، وكذلك لوصف المتغيرات العشوائية، يتم استخدام الخصائص العددية مثل التوقع الرياضي، والتشتت، وما إلى ذلك. علاوة على ذلك، فإن هذه الخصائص العددية هي أيضًا وظائف للزمن.

الخصائص الاحتمالية الأكثر استخدامًا هي.

1. م التوقع الرياضي ,

تقدير التوقع الرياضي لدالة عشوائية هو متوسط ​​قيمتها.

2. د تشتت- وظيفة غير عشوائية

أين هي عملية عشوائية مركزية؟ قيم التشتت لكل منها ر ييساوي تباين المتغير العشوائي س ط (ر ي).

يمكن العثور على تباين الدالة العشوائية من خلال دالة التوزيع الاحتمالي التفاضلي للدالة العشوائية

تقدير التباين هو قيمته التجريبية

العمليات العشوائية التي لها نفس التوقعات والتباينات الرياضية يمكن أن تختلف بشكل كبير في الشكل (الشكل 4).

3. وظيفة الارتباط التلقائييصف العلاقة الإحصائية بين القيم اللحظية لعملية عشوائية في نقاط زمنية مختلفة. كلما كانت قيمة دالة الارتباط الذاتي أصغر، قل اعتماد قيمة إشارة القياس في الوقت t 1 على القيمة في الوقت t 2. يتم تحديده بواسطة إحدى العلاقات التالية

أين ر 1, ر 2 – لحظات زمنية ثابتة يتم فيها تحديد المقاطع العرضية للدالة العشوائية.

منذ متى ر 1 = ر 2، بالنسبة لنفس الأقسام تتحول دالة الارتباط إلى تباين الدالة العشوائية.

لكل زوج من اللحظات الزمنية، تكون دالة الارتباط الذاتي تساوي لحظة الارتباط، والتقدير الإحصائي لها هو

في الصيغ التي تحدد التقديرات التجريبية لوظيفة التباين والارتباط، يتم تقليل عدد الإنجازات n بمقدار واحد للحصول على تقدير غير متحيز؛

4. وظيفة الارتباط المتبادليحدد العلاقة الإحصائية بين إشارتين X(ر) و ص(ر+τ)

تسمى دراسة خصائص العمليات العشوائية باستخدام وظائف الارتباط نظرية الارتباط للعمليات العشوائية.

5. الكثافة الطيفية- دالة غير عشوائية تحدد كثافة توزيع تشتتها على التردد ω، تساوي تحويل فورييه لدالة الارتباط المقابلة

يمكن التعبير عن دالة الارتباط من حيث الكثافة الطيفية من خلال علاقة نوع تحويل فورييه العكسية.

تسمى العلاقات التي تسمح بتحويل الكثافة الطيفية إلى دالة ارتباط والعكس بنظرية خينشين-فينر.

يتم تقييم خصائص الإشارات العشوائية باستخدام إحصائيةالخصائص (الاحتمالية). إنها تمثل وظائف و (أو) أرقام غير عشوائية، ومعرفة ذلك، يمكنك الحكم على الأنماط المتأصلة في الإشارات العشوائية، ولكنها تظهر فقط مع ملاحظاتها المتكررة.

7.4.1. خصائص الإشارات العشوائية التي لا تتغير مع مرور الوقت

الخصائص الإحصائية الرئيسية للإشارة الممثلة بالمتغير العشوائي (7.2) هي: دالة التوزيع
كثافة التوزيع الاحتمالي
(PRV)، التوقع الرياضي ، التباين الانحراف المعياري (RMS) وفاصل الثقة .

, (7.64)

دعونا ننظر إلى هذه الخصائص.
أين .

. (7.65)

- رمز احتمال الحدث
البعد PRV .

, (7.66)

متبادل البعد من الكمية تختلف نتيجة الحسابات باستخدام هذه الصيغة عنمتوسط ​​القيمة

المتغير العشوائي ولا يتطابق معه إلا في حالة قوانين التوزيع المتماثل (المنتظم والعادي وغيرها).

4. تشتتوتسمى الكمية بالمتغير العشوائي المركزي. التوقع الرياضي لهذه القيمة هو صفر.

(7.67)

يحدد المتغير العشوائي المتوسط ​​المرجح لمربعات انحراف هذا المتغير عن توقعه الرياضي. يتم حساب التباين باستخدام الصيغة

ولها بعد يتوافق مع بعد مربع الكميةالانحراف المعياري

تحسب بواسطة الصيغة ، له بُعد يطابق بُعد الكمية الفيزيائية التي يتم قياسها. ولذلك، فإن الانحراف المعياري هو مؤشر أكثر ملاءمة لدرجة تشتت القيم المحتملة للمتغير العشوائي بالنسبة لتوقعه الرياضي.

وفقًا لقاعدة "ثلاثة سيجما"، يتم تقريبًا جميع قيم المتغير العشوائي طبيعيقانون التوزيع، تقع ضمن هذه الفترة
، المتاخمة للتوقع الرياضي لهذه الكمية.

6. فاصل الثقة هو نطاق القيم المحتملة للمتغير العشوائي الذي توجد فيه هذه القيمة مع تحديد مسبق احتمال الثقة . يمكن كتابة هذا النطاق كـ
، أو في الشكل

أولئك. تقع حدود فاصل الثقة بشكل متناظر بالنسبة للتوقع الرياضي للإشارة، ومنطقة شبه المنحرف المنحني مع القاعدة
يساوي احتمال الثقة (الشكل 7.7). مع النمو فاصل الثقة يزيد أيضا.

نصف فاصل الثقة يمكن تحديدها عن طريق حل المعادلة

. (7.70)

في ممارسة الحسابات الهندسية، الأكثر استخدامًا على نطاق واسع بين الخصائص الإحصائية المدرجة للإشارة العشوائية هو ملف PDF
.
بمعرفة ملف PDF، يمكنك تحديد جميع الخصائص الإحصائية الأخرى للإشارة. ولذلك الوظيفة يكونالخصائص الإحصائية الكاملة

إشارة عشوائية.

2.
دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
و
، أي معرفة ملف PDF
يمكننا تحديد دالة التوزيع للمتغير العشوائي

, (7.71)

وعلى العكس من ذلك، بمعرفة وظيفة التوزيع، يمكن تحديد ملف PDF؛ يتبعحالة التطبيع

. (7.72)

بي آر في
منذ احتمال وقوع حدث
يساوي واحد. إذا كانت جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المقاس تشغل الفاصل الزمني

, (7.73)

، فإن شرط تسوية ملف PDF هو النموذج
على أية حال، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني الذي يتكون من الرسم البياني PDF تساوي واحدًا.

يمكن استخدام هذا الشرط لتحديد الشكل التحليلي (الصيغة) لملف PDF

وتتميز عملية القياس بوجود العديد من المتغيرات والأحداث العشوائية التي تدخل في تكوين نتيجة القياس. بالإضافة إلى القيمة المقاسة نفسها، يتضمن ذلك المعلمات غير الإعلامية لكائن التحكم، ومعلمات أداة القياس، والمعلمات البيئية وحتى حالة مستهلك معلومات القياس. ويتم التعبير عن تأثيرها المشترك على نتيجة القياس في حقيقة أن هذه النتيجة، التي تم الحصول عليها مرة أخرى في ظل ظروف قياس غير متغيرة (على ما يبدو)، تختلف عن النتيجة السابقة. من خلال إجراء القياسات المتكررة وتجميع البيانات (الإحصائيات)، يمكن أولاً الحصول على فكرة عن درجة تشتت نتائج القياس، وثانياً، محاولة معرفة تأثير كل عامل على خطأ نتيجة القياس .

إذا تم النظر في عدة (متغيران عشوائيان أو أكثر) ثم يتشكلان نظام المتغيرات العشوائية. بالإضافة إلى الخصائص المذكورة أعلاه، يوجد مثل هذا النظام لكل متغير عشوائي على حدة خصائص إضافيةمما يسمح بتقييم مستوى الارتباطات الإحصائية بين كافة المتغيرات العشوائية المكونة للنظام. هذه الخصائص هي نقاط الارتباط(التغاير) لكل زوج من المتغيرات العشوائية، . يتم حسابها باستخدام الصيغة

, (7.74)

دعونا ننظر إلى هذه الخصائص.
-PDF ثنائي الأبعادأنظمة اثنين من المتغيرات العشوائية و(مع التوقعات الرياضية، على التوالي)، توصيف التوزيع المشتركهذه الكميات.

في حالة عدم وجود علاقة إحصائية بين الكميات ولحظة الارتباط المقابلة لها تساوي صفر (أي صفر).
). تسمى هذه المتغيرات العشوائية مستقلة إحصائيا.

عند إجراء عمليات حسابية بمتغيرات عشوائية لها خصائص إحصائية معروفة، من المهم أن تكون قادراً على تحديد الخصائص الإحصائية لنتائج هذه العمليات. فيما يلي هذه الخصائص مذكورة لأبسط العمليات الحسابية:

إذا كانت الكميات مستقلة إحصائيا.

أولئك. إن تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. في الجدول 7.2. يتم إعطاء الصيغ لتحديد خصائص المبلغاثنين
المتغيرات العشوائية. في هذه الحالة، ، والتشتت و RMS
تعتمد نتائج الجمع بشكل كبير على قيمة معامل الارتباط النسبي للقيم المجمعة
.

، أين

الجدول 7.2.

RMS
المساواة
. إذا كانت علامات التغيرات في هذه الكميات متعارضة دائمًا مع بعضها البعض، إذن
. وأخيرًا، إذا كانت الكميات لها تباينات محدودة ومستقلة إحصائيًا عن بعضها البعض، إذن
. والعكس صحيح فقط بالنسبة للمتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي.

إذا كانت الكميات مستقلة إحصائيا، إذن

, .

,

وكذلك إذا
- وظيفة معروفة اثنينالمتغيرات العشوائية المستمرة التي يكون PDF مشترك (ثنائي الأبعاد).
معروفًا، فيمكن تحديد التوقع الرياضي والتباين لمثل هذا المتغير العشوائي بواسطة الصيغ

, (7.80)

يمكن الحصول على جميع الصيغ السابقة لحساب نتائج العمليات الحسابية ذات المتغيرات العشوائية من هذه الصيغ العامة.

7.4.3. التوزيعات النموذجية للإشارات العشوائية

دعونا نفكر في الخصائص الإحصائية للمتغيرات العشوائية المستمرة عاديتوزيعات.

7.4.3.1. التوزيع الموحد.

وفي حالة التوزيع المنتظم، يقع المتغير العشوائي (7.2) بنفس الكثافة الاحتمالية في كل نقطة من الفترة المحدودة. بي آر في
ووظيفة التوزيع
مثل هذا المتغير العشوائي له الشكل (الشكل 7.8)

(7.81)

ويمكن حساب الخصائص الإحصائية (الخاصة) الأخرى لمثل هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغ

,
,
,
. (7.82)

7.4.3.2. التوزيع الثلاثي (توزيع سمبسون)

في هذه الحالة، يكون الرسم البياني PDF على شكل مثلث ورأسه عند النقطة
، ويمثل الرسم البياني لقانون التوزيع التكاملي اقترانًا سلسًا لقطعين مكافئين عند النقطة
، أين،
,
(الشكل 7.9).

(7.83)

يمكن حساب التوقع الرياضي والتباين لمثل هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغ

,
. (7.84)

لو
، يصبح توزيع سمبسون متماثل. في هذه الحالة

,
,
,
. (7.85)

7.4.3.3. التوزيع الطبيعي (التوزيع الغوسي)

يشير التوزيع الطبيعي إلى أحد التوزيعات الأكثر شيوعًا للمتغيرات العشوائية. ويرجع ذلك جزئيًا إلى حقيقة أن توزيع مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة بقوانين توزيع مختلفة، والتي غالبًا ما تتم مواجهتها في الممارسة العملية، يقترب من التوزيع الطبيعي. في هذه الحالة، يكون لوظيفة PDF ووظيفة التوزيع النموذج

,
. (7.86)

يتزامن الانحراف المعياري والتوقع الرياضي لهذه القيمة مع المعلمات
التوزيعات، أي.
,.

فاصل الثقة لا يتم التعبير عنها من خلال الدوال الأولية، ولكن يمكن العثور عليها دائمًا من المعادلة (7.70). نتيجة حل هذه المعادلة لقيمة احتمالية ثقة معينة يمكن كتابتها في النموذج
تعتمد نتائج الجمع بشكل كبير على قيمة معامل الارتباط النسبي للقيم المجمعة
- الكمية التي تعتمد قيمتها على مستوى الثقة .

هناك قيم دالة جدولية
. وهنا بعض منهم:

,
,
,
,
........

وهذا يدل على أنه مع احتمال كبير إلى حد ما (
) تقع جميع قيم المتغير العشوائي تقريبًا مع التوزيع الطبيعي في الفاصل الزمني
، ذات عرض
. تشكل هذه الخاصية أساس قاعدة "ثلاثة سيجما".

في الشكل. يوضح الشكل 7.10 الرسوم البيانية لملف PDF وقانون التكامل للتوزيع الطبيعي لقيمتين مختلفتين للانحراف المعياري (
) ونفس التوقع الرياضي.

يمكن ملاحظة أن الرسم البياني PDF عبارة عن منحنى "رنين" ذو حدبة واحدة بحد أقصى عند النقطة
، تقع بشكل متناظر بالنسبة للتوقع الرياضي. ويكون هذا المنحنى "أكثر حدة" كلما قل الانحراف المعياري. وبناء على ذلك، كلما قل انتشار القيم المحتملة للمتغير العشوائي مقارنة بتوقعه الرياضي. ومع ذلك، في جميع الحالات، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني المحدود بالرسم البياني PDF تساوي الوحدة (انظر (7.72)).

في نظرية الاحتمالات، بالإضافة إلى الخصائص التي تمت مناقشتها أعلاه، يتم أيضًا استخدام خصائص أخرى للمتغير العشوائي: الوظيفة المميزة، والتفرطح، والتفرطح المضاد، والتقديرات الكمية، وما إلى ذلك. ومع ذلك، فإن الخصائص المدروسة كافية تمامًا لحل معظم المشكلات العملية للمتغير العشوائي. تكنولوجيا القياس. دعونا نعرض مثالا على حل مثل هذه المشكلة.

مثال 7.4: من الضروري تحديد المعلمة A (إحداثيات القمة) لتوزيع الكثافة الاحتمالية لإشارة قياس عشوائية، والتي يظهر الرسم البياني لها في الشكل. 7.11 (على افتراض ذلك ولا يُعرف إلا الشكلهذا المخطط).

مطلوب أيضًا تحديد احتمال أن يكون حجم (معامل) الإشارة أكبر من انحرافها المعياري، أي. من الضروري تحديد احتمالية وقوع حدث ما
.

حل: قيمة المعلمة أنحدد من شرط التطبيع لـ PDF (7.73)، والذي فيه في هذه الحالةيبدو

.

هنا يتوافق الحد الأول مع مساحة المستطيل الموجود في الشكل. 7.11 تحت مخطط PRV إلى اليسارخط منقط
والثاني هو مساحة المثلث القائم إلى اليمينهذا الخط. ومن المعادلة الناتجة نجد
. وبأخذ هذه النتيجة بعين الاعتبار، يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال على النحو التالي:

يمكنك الآن حساب التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري للإشارة. باستخدام الصيغ (7.66) و (7.67) و (7.68) نحصل على التوالي: في الشكل. 7.11 خطوط متقطعة توضح حدود الفاصل الزمني
.

وفقًا لشرط التسوية (7.71)، فإن الاحتمال المطلوب يساوي مجموع المساحات الموجودة أسفل الرسم البياني PDF الموجود على يسار النقطة
(في هذا المثال هذه المنطقة صفر) وعلى يمين النقطة
، أي.

.

7.4.4. خصائص الإشارات العشوائية تختلف مع مرور الوقت

تحتوي الإشارة العشوائية التي تتغير بمرور الوقت بشكل عام على مكونات حتمية (منهجية) وعشوائية مركزية (متقلبة)، أي.

. (7.87)

في الشكل. 7.12 يظهر الرسم البياني واحدمن عدد من الإنجازات المحتملة لمثل هذه الإشارة. يظهر الخط المنقط مكونه الحتمي
، حيث يتم تجميع جميع عمليات تحقيق الإشارة الأخرى والتي تتأرجح حولها.

يتم تقديم صورة كاملة لخصائص هذه الإشارة من خلال المجموعة العامة (الكاملة) لجميع تطبيقاتها. في الممارسة العملية هو دائما محدود. ولذلك، ينبغي اعتبار خصائص الإشارة العشوائية التي تم العثور عليها تجريبيا بمثابة تقديرات لخصائصها الفعلية.

وفي كل لحظة من الزمن (أي في كل قسم من الإشارة)، تمثل قيم دالة الوقت العشوائي (7.87) متغيرا عشوائيا
مع الخصائص الإحصائية المقابلة التي تمت مناقشتها أعلاه. على وجه الخصوص، يتزامن المكون الحتمي للإشارة العشوائية في كل لحظة من الزمن مع رياضي منتظرالمتغير العشوائي المقابل
، أي.

, (7.88)

دعونا ننظر إلى هذه الخصائص.
- ملف PDF أحادي البعد لعملية عشوائية (7.87)، والذي، على النقيض من ملف PDF للمتغير العشوائي (7.65) الذي تمت مناقشته أعلاه، لا يعتمد على الوقت فحسب، بل يعتمد عليه أيضًا.

درجة انتشار إدراك الإشارة العشوائية بالنسبة لمكونها المنهجي (7.88) تميز القيمة القصوى لمعامل مكون التذبذب للإشارة ويقدر بقيمة الانحراف المعياري لهذا المكون وهو في الحالة العامة يعتمد أيضًا على الوقت

. (7.89)

دعونا ننظر إلى هذه الخصائص.
- تشتت إشارة عشوائية، محسوبة بالصيغة

. (7.90)

لكل نقطة زمنية، يمكنك تحديد فاصل الثقة
(انظر (٧:٧٠)) ثم قم بالبناء منطقة الثقة، أي. مثل هذه المنطقة التي يتم فيها تنفيذ إشارة عشوائية
ضرب مع احتمال الثقة محددة سلفا (الشكل 7.13).

الخصائص الثلاث التي تم النظر فيها (
دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
) يكفي للحصول على فكرة عامة عن خصائص إشارة القياس العشوائية (7.87). ومع ذلك، فهي ليست كافية للحكم التكوين الداخلي(الطيف) لمثل هذه الإشارة.

في الشكل. ويوضح الشكل 7.14، على وجه الخصوص، الرسوم البيانية لتنفيذ اثنين متنوعإشارات عشوائية مع نفس التوقع الرياضي
، والتشتت
. ويتم التعبير عن الفرق بين هذه الإشارات في التركيبة الطيفية (الترددية) المختلفة لتطبيقاتها، أي. بدرجات متفاوتة من الارتباط الإحصائي بين قيم إشارة عشوائية عند نقطتين زمنيتين دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
، مفصولة عن بعضها البعض بمقدار. بالنسبة للإشارة الموضحة في الشكل 7.16, أوهذا الاتصال أقوى من الإشارة الموجودة في الشكل. 7.14, ب.

في نظرية العمليات العشوائية، يتم تقدير هذه العلاقة الإحصائية باستخدام وظيفة الارتباط الذاتيإشارة عشوائية (ACF)، والتي يتم حسابها بواسطة الصيغة

, (7.91)

دعونا ننظر إلى هذه الخصائص.
-ثنائي الأبعادإشارة PRV.

يميز ثابتةو غير ثابتةإشارات عشوائية. إذا كانت الإشارة (7.87) ثابتة فإن توقعها الرياضي (7.88) وتشتتها (7.90) لا يعتمدان على الزمن، كما أن ACF (7.91) لا يعتمد على وسيطين دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF: ولكن من وسيطة واحدة فقط - قيمة الفاصل الزمني
. لمثل هذه الإشارة

,
,
، أين
. (7.92)

وبعبارة أخرى، إشارة عشوائية ثابتة متجانسة في الوقت المناسب، أي. ولا تتغير خصائصه الإحصائية بتغير النقطة المرجعية الزمنية.

إذا، بالإضافة إلى الثابتة، هناك إشارة عشوائية أيضا مريح، الذي - التي
ويمكن حساب وظيفة الارتباط الذاتي الخاصة بها باستخدام الصيغة

, (7.93)

والذي لا يتطلب معرفة PDF ثنائي الأبعاد
لأنه في هذه الصيغة يمكننا استخدامها أي تنفيذإشارة. يمكن حساب تشتت هذه الإشارة (الثابتة والمريحة) باستخدام الصيغة

, (7.94)

الشرط الكافي لقوة الإشارة العشوائية هو أن يميل ACF الخاص بها إلى الصفر
مع نمو غير محدود للتحول الزمني.

غالبًا ما يتم تطبيع ACF للإشارة العشوائية إلى تباينها. في هذه الحالة، بلا أبعاد تطبيعيتم حساب ACF بواسطة الصيغة

. (7.95)

في الشكل. يوضح الشكل 7.15 مخططًا نموذجيًا لمثل هذا ACF.

معرفة هذه الوظيفة، يمكننا تحديد الفاصل الزمني للارتباط ، أي. الوقت الذي يمكن بعده قراءة قيم الإشارة العشوائية مستقلة إحصائيابصرف النظر عن بعضها البعض

. (7.96)

يترتب على هذه الصيغة أن المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني لـ ACF المقيس تتطابق مع مساحة مستطيل ارتفاع الوحدة، والذي له فاصل ارتباط مزدوج في قاعدته
(انظر الشكل 7.15).

دعونا نشرح المعنى المادي لفترة الارتباط. إذا كانت المعلومات المتعلقة بسلوك الإشارة العشوائية المركزية "في الماضي" معروفة، فإن توقعها الاحتمالي يكون ممكنًا لفترة زمنية حسب ترتيب فترة الارتباط . ومع ذلك، فإن التنبؤ بإشارة عشوائية لفترة تتجاوز فترة الارتباط سوف يتبين أنه غير موثوق به، لأن القيم اللحظية للإشارة، المتباعدة جدًا في الوقت المناسب، غير مترابطة عمليًا (أي مستقلة إحصائيًا عن كل منها). آخر).

في إطار نظرية الارتباط الطيفي للعمليات العشوائية، لوصف خصائص الإشارة العشوائية الثابتة، يكفي معرفة ACF الخاص بها فقط
، أو فقط طيف الطاقةإشارة
.

, (7.97)

, (7.98)

ترتبط هاتان الوظيفتان ببعضهما البعض من خلال صيغ وينر-خينشين
يتوافق مع وظيفة التحول الزمني محددة جيدا
والعكس بالعكس، فإن كل ACF يتوافق مع كثافة طيفية لقدرة محددة جيدًا لإشارة عشوائية ثابتة. وبالتالي معرفة طيف الطاقة لعنصر التقلب
إشارة عشوائية (7.87)
يمكننا تحديد ACF لهذا المكون
والعكس صحيح. وهذا يؤكد أن خصائص التردد والارتباط للإشارة العشوائية الثابتة ترتبط ارتباطًا وثيقًا ببعضها البعض.

خصائص ACF للإشارة العشوائية
مشابهة لخصائص ACF للإشارة الحتمية
.

وظيفة الارتباط التلقائي
يميز اتصال إحصائيبين قيم إشارة عشوائية ثابتة في أوقات مفصولة عن بعضها البعض على طول محور الزمن بمقدار. كلما كان هذا الاتصال أصغر، كانت قيمة ACF المقابلة أصغر. طيف الطاقة
يميز التوزيع على طول محور التردد لطاقات المكونات التوافقية للإشارة العشوائية.

التعرف على طيف الطاقة
أو AKF
مكون التذبذب للإشارة (7.1)
يمكنك حساب التشتت والعرض الطيفي الفعال (نطاق التردد) وفقا للصيغ

, (7.99)

, (7.100)

دعونا ننظر إلى هذه الخصائص.
- إحداثيات النقطة القصوى على الرسم البياني للوظيفة
.

العرض الطيفي الفعال للطيف العشوائي للإشارة العشوائية مماثلة لعرض الطيف النشط
إشارة حتمية، أي أنها، مثل الأخيرة، تحدد نطاق التردد الذي تتركز فيه الغالبية العظمى من متوسط ​​قوة الإشارة (انظر (7.55)). لذلك، وبالقياس على (7.55)، يمكن تحديده من العلاقة

. (7.101)

دعونا ننظر إلى هذه الخصائص. - معامل ثابت يحدد نسبة قدرة الإشارة العشوائية لكل نطاق تردد
(على سبيل المثال، = 0,95).

في الشكل. يوفر 7.16 رسمًا توضيحيًا للصيغتين (7.100) و(7.101). في الحالة الأولى، نطاق التردد يتطابق مع قاعدة المستطيل مع الارتفاع
والمنطقة
(الشكل 7.19، أ) ، في الثانية - بقاعدة شبه منحرف منحني الأضلاع لها مساحة
(الشكل 7.16، ب). يقع نطاق التردد لعملية عشوائية ضيقة النطاق في المنطقة
، أين - متوسط ​​تردد الطيف (الشكل 7.16، V)، ويتم حسابها من العلاقة

.

يمكن تحديد العرض الطيفي الفعال للإشارة العشوائية بعدة طرق أخرى. على أية حال، الكميات دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF: يجب أن تكون مرتبطة بعلاقة مماثلة للعلاقة
، والذي يحدث للإشارات الحتمية (انظر القسم 7.3.3).

أ ب ج

ويبين الجدول 3.7 خصائص الارتباط الطيفي لثلاث إشارات عشوائية ثابتة.

توضح الفقرة الأولى من هذا الجدول خصائص ما يسمى بالضوضاء البيضاء - وهي إشارة عشوائية محددة، تكون قيمها، التي تقع بالقرب من بعضها البعض بشكل تعسفي، متغيرات عشوائية مستقلة. ACF للضوضاء البيضاء له الشكل  - الوظائف، ويحتوي طيف الطاقة الخاص به على مكونات توافقية لأي ترددات (بما في ذلك الترددات العالية بشكل تعسفي). إن تباين الضوضاء البيضاء هو عدد كبير بلا حدود، أي. يمكن أن تكون القيم اللحظية لهذه الإشارة كبيرة بشكل تعسفي، وفاصل الارتباط الخاص بها هو صفر.

الجدول 7.3.

خصائص الإشارات العشوائية الثابتة

وتشير الفقرة الثانية من الجدول إلى خصائص الضوضاء ذات التردد المنخفض، وتشير الفقرة الثالثة إلى خصائص الضوضاء ضيقة النطاق. لو
، فإن خصائص هذه الضوضاء تكون قريبة من بعضها البعض.

يتم استدعاء الإشارة العشوائية النطاق الضيق، إذا كان التردد أقل بكثير من متوسط ​​تردد الطيف . يمكن كتابة إشارة عشوائية ضيقة النطاق بالشكل (انظر (7.12)) حيث الدالة
دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
تتغير بشكل أبطأ بكثير من الوظيفة
.

تتشابه خصائص خصائص الارتباط الطيفي للإشارة العشوائية الثابتة مع خصائص طيف الاتساع وACF للإشارة الحتمية. بخاصة،
دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
- حتى الوظائف،
إلخ. هناك أيضًا اختلافات. الفرق بين وظائف الارتباط هو أن ACF للإشارة الحتمية
يميز اتصال الإشارة
ونسخها
، و ACF للإشارة العشوائية
- اتصال قيم الإشارة
دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
في نقاط زمنية مختلفة.

الفرق بين الوظائف
دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
هي هذه الوظيفة
يمثل صورة تردد غير دقيقة لإشارة عشوائية
، ولكنها خاصية متوسطة لخصائص التردد لمجموعة كاملة من التطبيقات المختلفة لهذه الإشارة. هذه الحقيقة وكذلك الغياب في طيف الطاقة
المعلومات حول مراحل المكونات التوافقية للإشارة العشوائية لا تسمح لنا بإعادة بناء شكل هذه الإشارة منها.

من الصيغتين (7.97) و (7.98) يترتب على ذلك أن الوظائف
دعونا نشير إلى الخصائص الرئيسية لملف PDF:
ترتبط ببعضها البعض عن طريق تحويلات فورييه، أي. (انظر (٧.٤٦))

و
.

ولذلك، كلما اتسع طيف الإشارة العشوائية (كلما زاد عددها). ) ، كلما كان ACF أضيق وكان الفاصل الزمني للارتباط أصغر .