Das Hookesche Gesetz wurde im 17. Jahrhundert vom Engländer Robert Hooke entdeckt. Diese Entdeckung über die Dehnung einer Feder ist eines der Gesetze der Elastizitätstheorie und spielt eine wichtige Rolle in Wissenschaft und Technik.
Definition und Formel des Hookeschen Gesetzes
Die Formulierung dieses Gesetzes lautet wie folgt: Die elastische Kraft, die im Moment der Verformung eines Körpers auftritt, ist proportional zur Dehnung des Körpers und ist der Bewegung von Partikeln dieses Körpers relativ zu anderen Partikeln während der Verformung entgegengesetzt.
Die mathematische Schreibweise des Gesetzes sieht folgendermaßen aus:
Reis. 1. Formel des Hookeschen Gesetzes
Wo Fupr– dementsprechend die elastische Kraft, X– Dehnung des Körpers (der Abstand, um den sich die ursprüngliche Länge des Körpers ändert) und k– Proportionalitätskoeffizient, genannt Körpersteifigkeit. Die Kraft wird in Newton gemessen und die Dehnung eines Körpers wird in Metern gemessen.
Um die physikalische Bedeutung der Steifigkeit aufzudecken, müssen Sie die Einheit, in der die Dehnung gemessen wird – 1 m – in die Formel für das Hookesche Gesetz einsetzen, nachdem Sie zuvor einen Ausdruck für k erhalten haben.
Reis. 2. Formel für die Körpersteifigkeit
Diese Formel zeigt, dass die Steifigkeit eines Körpers numerisch gleich der elastischen Kraft ist, die im Körper (Feder) auftritt, wenn er um 1 m verformt wird. Es ist bekannt, dass die Steifigkeit einer Feder von ihrer Form, Größe und dem Material abhängt aus dem der Körper besteht.
Elastische Kraft
Nachdem wir nun wissen, welche Formel das Hookesche Gesetz ausdrückt, ist es notwendig, seinen grundlegenden Wert zu verstehen. Die Hauptgröße ist die elastische Kraft. Es tritt zu einem bestimmten Zeitpunkt auf, wenn sich der Körper zu verformen beginnt, beispielsweise wenn eine Feder zusammengedrückt oder gedehnt wird. Es wird an gesendet Rückseite aus der Schwerkraft. Wenn die elastische Kraft und die auf den Körper wirkende Schwerkraft gleich werden, stoppen die Stütze und der Körper.
Eine Verformung ist eine irreversible Veränderung der Körpergröße und -form. Sie sind mit der Bewegung von Partikeln relativ zueinander verbunden. Wenn eine Person auf einem weichen Stuhl sitzt, kommt es zu einer Verformung des Stuhls, das heißt, seine Eigenschaften ändern sich. Es passiert verschiedene Typen: Biegung, Dehnung, Kompression, Scherung, Torsion.
Da die elastische Kraft ihrem Ursprung nach mit elektromagnetischen Kräften zusammenhängt, sollten Sie wissen, dass sie dadurch entsteht, dass Moleküle und Atome – die kleinsten Teilchen, aus denen alle Körper bestehen – sich gegenseitig anziehen und abstoßen. Wenn der Abstand zwischen den Teilchen sehr gering ist, wirkt auf sie die Abstoßungskraft. Wenn dieser Abstand vergrößert wird, wirkt die Anziehungskraft auf sie. Somit manifestiert sich der Unterschied zwischen anziehenden und abstoßenden Kräften in elastischen Kräften.
Die elastische Kraft umfasst die Bodenreaktionskraft und das Körpergewicht. Von besonderem Interesse ist die Stärke der Reaktion. Dies ist die Kraft, die auf einen Körper wirkt, wenn er auf einer beliebigen Oberfläche platziert wird. Wenn der Körper aufgehängt ist, wird die auf ihn wirkende Kraft als Spannungskraft des Fadens bezeichnet.
Merkmale elastischer Kräfte
Wie wir bereits herausgefunden haben, entsteht bei der Verformung eine elastische Kraft, die darauf abzielt, die ursprünglichen Formen und Größen streng senkrecht zur verformten Oberfläche wiederherzustellen. Auch elastische Kräfte weisen eine Reihe von Merkmalen auf.
- sie treten während der Verformung auf;
- sie erscheinen gleichzeitig in zwei deformierbaren Körpern;
- Sie stehen senkrecht zur Oberfläche, gegenüber der der Körper verformt wird.
- Sie sind in entgegengesetzter Richtung zur Verschiebung der Körperteilchen gerichtet.
Rechtsanwendung in der Praxis
Das Hookesche Gesetz findet sowohl in technischen und hochtechnologischen Geräten als auch in der Natur selbst Anwendung. Elastische Kräfte finden sich beispielsweise in Uhrwerken, in Stoßdämpfern im Transportwesen, in Seilen, Gummibändern und sogar in menschlichen Knochen. Das Prinzip des Hookeschen Gesetzes liegt dem Dynamometer zugrunde, einem Gerät zur Kraftmessung.
8.2. Grundgesetze für die Festigkeit von Werkstoffen
Statikbeziehungen. Sie werden in Form der folgenden Gleichgewichtsgleichungen geschrieben.
Hookes Gesetz ( 1678): Je größer die Kraft, desto größer die Verformung und darüber hinaus direkt proportional zur Kraft. Physikalisch bedeutet dies, dass alle Körper Federn sind, jedoch mit großer Steifigkeit.= Wenn ein Balken einfach durch eine Längskraft gedehnt wird N
F 
Dieses Gesetz kann wie folgt geschrieben werden: Hier Längskraft, l- Balkenlänge, A- Elastizitätskoeffizient erster Art ( Elastizitätsmodul).
Unter Berücksichtigung der Formeln für Spannungen und Dehnungen lautet das Hookesche Gesetz wie folgt: 
.
Ein ähnlicher Zusammenhang wird in Experimenten zwischen Tangentialspannungen und Scherwinkel beobachtet:
.
G
angerufenSchubmodul
, seltener – Elastizitätsmodul zweiter Art. Wie jedes Gesetz hat auch das Hookesche Gesetz eine Grenze seiner Anwendbarkeit. Stromspannung 
, bis zu dem das Hookesche Gesetz gilt, heißt Grenze der Verhältnismäßigkeit(Dies ist das wichtigste Merkmal für die Festigkeit von Materialien).
Lassen Sie uns die Abhängigkeit darstellen
aus
grafisch dargestellt (Abb. 8.1). Dieses Bild heißt Dehnungsdiagramm
. Nach Punkt B (d. h. bei 
) ist diese Abhängigkeit nicht mehr linear.
Bei 
Nach dem Entladen treten daher bleibende Verformungen im Körper auf 
angerufen Elastizitätsgrenze
.
Wenn die Spannung den Wert σ = σ t erreicht, zeigen viele Metalle eine Eigenschaft namens Flüssigkeit. Das bedeutet, dass sich das Material auch unter Dauerbelastung weiter verformt (also sich wie eine Flüssigkeit verhält). Grafisch bedeutet dies, dass das Diagramm parallel zur Abszisse verläuft (Abschnitt DL). Man nennt die Spannung σ t, bei der das Material fließt Streckgrenze .
Einige Materialien (St. 3 - Baustahl) beginnen nach kurzem Fließen wieder Widerstand zu leisten. Der Widerstand des Materials hält bis zu einem bestimmten Maximalwert σ pr an, dann beginnt die allmähliche Zerstörung. Die Größe σ pr heißt Zugfestigkeit (Synonym für Stahl: Zugfestigkeit, für Beton - kubische oder prismatische Festigkeit). Außerdem werden folgende Bezeichnungen verwendet:
=R B
Ein ähnlicher Zusammenhang wird in Experimenten zwischen Scherspannungen und Scherkräften beobachtet.
3) Duhamel-Neumann-Gesetz (lineare Temperaturausdehnung):
Bei einem Temperaturunterschied ändern Körper ihre Größe, und zwar direkt proportional zu diesem Temperaturunterschied.
Lass es einen Temperaturunterschied geben 
. Dann sieht dieses Gesetz so aus:
Hier α - linearer Wärmeausdehnungskoeffizient, Hier - Stablänge, Δ Hier- seine Verlängerung.
4) Gesetz des Kriechens .
Untersuchungen haben gezeigt, dass alle Materialien auf kleinen Flächen sehr heterogen sind. Der schematische Aufbau von Stahl ist in Abb. 8.2 dargestellt.
Einige der Komponenten haben die Eigenschaften einer Flüssigkeit, sodass viele Materialien unter Belastung mit der Zeit eine zusätzliche Dehnung erfahren 
(Abb. 8.3.) (Metalle bei hohen Temperaturen, Beton, Holz, Kunststoffe – bei normalen Temperaturen). Dieses Phänomen nennt man kriechen Material.
Das Gesetz für Flüssigkeiten lautet: Je größer die Kraft, desto größer ist die Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers in der Flüssigkeit. Wenn diese Beziehung linear ist (d. h. die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit), dann kann sie wie folgt geschrieben werden:
E 
Wenn wir zu relativen Kräften und relativen Dehnungen übergehen, erhalten wir
Hier der Index „ cr
„bedeutet, dass der Teil der Dehnung berücksichtigt wird, der durch das Kriechen des Materials verursacht wird. Mechanische Eigenschaften 
wird als Viskositätskoeffizient bezeichnet.
Gesetz der Energieerhaltung.
Betrachten Sie einen belasteten Balken
Lassen Sie uns zum Beispiel das Konzept des Verschiebens eines Punktes einführen:
- vertikale Bewegung von Punkt B;
- horizontale Verschiebung von Punkt C.
Befugnisse 
während ich etwas arbeite U.
Wenn man bedenkt, dass die Kräfte 
beginnen allmählich zuzunehmen und unter der Annahme, dass sie proportional zu den Verschiebungen zunehmen, erhalten wir:
.
Nach dem Naturschutzgesetz gilt: Keine Arbeit verschwindet, sie wird für andere Arbeit aufgewendet oder verwandelt sich in eine andere Energie (Energie- das ist die Arbeit, die der Körper leisten kann.
Arbeit der Kräfte 
, wird für die Überwindung des Widerstands der in unserem Körper auftretenden elastischen Kräfte aufgewendet. Um diese Arbeit zu berechnen, berücksichtigen wir, dass der Körper aus kleinen elastischen Partikeln besteht. Betrachten wir einen davon:
Es unterliegt der Spannung benachbarter Teilchen 
. 
Der daraus resultierende Stress wird sein 
Unter dem Einfluss
das Teilchen wird sich verlängern. Laut Definition ist die Dehnung die Dehnung pro Längeneinheit. Dann: Berechnen wir die Arbeit dW , was die Kraft tut dN , was die Kraft tut(hier wird auch berücksichtigt, dass die Kräfte
beginnen allmählich zuzunehmen und nehmen proportional zu den Bewegungen zu):
.
Für den ganzen Körper erhalten wir: Arbeit W 
was begangen wurde , angerufen
elastische Verformungsenergie.
6)Nach dem Energieerhaltungssatz gilt: Prinzip .
mögliche Bewegungen
Dies ist eine der Möglichkeiten, den Energieerhaltungssatz zu formulieren. Wenn ein Balken einfach durch eine Längskraft gedehnt wird 1
,
Wenn ein Balken einfach durch eine Längskraft gedehnt wird 2
,
…
Lassen Sie die Kräfte auf den Balken wirken 
. Sie bewirken, dass sich Punkte im Körper bewegen 
und Spannung . Geben wir den Körper
zusätzliche kleine mögliche Bewegungen 
. In der Mechanik eine Notation der Form bedeutet den Ausdruck „möglicher Wert der Menge“. A " Diese möglichen Bewegungen werden vom Körper verursacht
zusätzliche mögliche Verformungen . Sie werden zur Entstehung zusätzlicher führenäußere Kräfte 
,
δ.
und stresst
F 
Berechnen wir die Arbeit äußerer Kräfte auf weitere mögliche kleine Verschiebungen: Wenn ein Balken einfach durch eine Längskraft gedehnt wird 1
,
Wenn ein Balken einfach durch eine Längskraft gedehnt wird 2
,
…
- zusätzliche Bewegungen der Punkte, an denen Kräfte wirken Betrachten Sie noch einmal ein kleines Element mit einem Querschnitt dA und Länge dz und Länge(siehe Abb. 8.5. und 8.6.). Laut Definition zusätzliche Dehnung
und Länge= dieses Elements wird nach der Formel berechnet:
dz.
, was die Kraft tut = (+δ) Betrachten Sie noch einmal ein kleines Element mit einem Querschnitt ≈ Betrachten Sie noch einmal ein kleines Element mit einem Querschnitt..
Die Zugkraft des Elements beträgt:
Die Arbeit der Schnittgrößen an zusätzlichen Verschiebungen berechnet sich für ein kleines Element wie folgt: dW = dN dz = dW = dN dA
dV 
MIT
Summiert man die Verformungsenergie aller kleinen Elemente, erhält man die Gesamtverformungsenergie: Arbeit = U gibt:
.
Dieses Verhältnis heißt Prinzip möglicher Bewegungen(es heißt auch Prinzip der virtuellen Bewegungen). Ebenso können wir den Fall betrachten, dass auch Tangentialspannungen wirken. Dann können wir das auf die Verformungsenergie zurückführen Arbeit Der folgende Begriff wird hinzugefügt:
Dabei ist die Schubspannung, die Verschiebung des kleinen Elements. Dann Prinzip möglicher Bewegungen wird die Form annehmen:
Anders als bei der bisherigen Formulierung des Energieerhaltungssatzes wird hier nicht davon ausgegangen, dass die Kräfte allmählich zuzunehmen beginnen, sondern proportional zu den Verschiebungen
7) Poisson-Effekt.
Betrachten wir das Muster der Probendehnung:
Das Phänomen der Verkürzung eines Körperelements quer zur Dehnungsrichtung nennt man Poisson-Effekt.
Lassen Sie uns die relative Längsverformung ermitteln.
Die relative Querverformung beträgt:
Poissonzahl die Menge heißt:
Für isotrope Materialien (Stahl, Gusseisen, Beton) Poissonzahl
Dies bedeutet, dass die Verformung in Querrichtung erfolgt weniger längs
Notiz
: Moderne Technologien können Verbundwerkstoffe mit einer Poissonzahl > 1 erzeugen, d. h. die Querverformung ist größer als die Längsverformung. Dies ist beispielsweise bei einem Material der Fall, das mit starren Fasern in einem geringen Winkel verstärkt ist 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, d.h. desto weniger 
, desto größer ist die Poissonzahl.
Abb.8.8.
Abb.8.9
8) Noch überraschender ist das in (Abb. 8.9.) gezeigte Material, und für eine solche Verstärkung ergibt sich ein paradoxes Ergebnis: Die Längsdehnung führt zu einer Vergrößerung des Körpers in Querrichtung.
Verallgemeinertes Hookesches Gesetz. 
Betrachten wir ein Element, das sich in Längs- und Querrichtung ausdehnt. Finden wir die Verformung, die in diesen Richtungen auftritt. 
Berechnen wir die Verformung 
:
aus dem Handeln entstehen 
Betrachten wir die Verformung durch die Aktion
, der durch den Poisson-Effekt entsteht:
Die Gesamtverformung beträgt: 
Wenn gültig und 
.
, dann wird eine weitere Verkürzung in Richtung der x-Achse hinzugefügt 
Somit: 
Ebenfalls: Diese Beziehungen heißen
verallgemeinerte das Hookesche Gesetz.
Es ist interessant, dass beim Schreiben des Hookeschen Gesetzes eine Annahme über die Unabhängigkeit von Dehnungsdehnungen von Scherdehnungen (über die Unabhängigkeit von Scherspannungen, was dasselbe ist) und umgekehrt gemacht wird. Experimente bestätigen diese Annahmen gut. Mit Blick auf die Zukunft stellen wir fest, dass die Festigkeit im Gegenteil stark von der Kombination aus Tangential- und Normalspannung abhängt. Die oben genannten Gesetze und Annahmen werden durch zahlreiche direkte und indirekte Experimente bestätigt, haben jedoch wie alle anderen Gesetze einen begrenzten Anwendungsbereich.
Beobachtungen zeigen, dass bei den meisten elastischen Körpern wie Stahl, Bronze, Holz usw. die Größe der Verformungen proportional zur Größe der wirkenden Kräfte ist. Ein typisches Beispiel zur Erklärung dieser Eigenschaft ist eine Federwaage, bei der die Dehnung der Feder proportional zur wirkenden Kraft ist. Dies lässt sich daran erkennen, dass die Teilungsskala solcher Skalen einheitlich ist. Als allgemeine Eigenschaft elastischer Körper wurde das Gesetz der Proportionalität zwischen Kraft und Verformung erstmals 1660 von R. Hooke formuliert und 1678 im Werk „De potentia restitutiva“ veröffentlicht. In der modernen Formulierung dieses Gesetzes werden nicht Kräfte und Bewegungen ihrer Angriffspunkte berücksichtigt, sondern Spannungen und Verformungen.
Für reine Spannung wird daher angenommen:
Hier ist die relative Dehnung eines beliebigen Segments in Streckrichtung angegeben. Wenn zum Beispiel die in Abb. 11 Die Prismen waren vor dem Aufbringen der Last a, b und c, wie in der Zeichnung gezeigt, und nach der Verformung sind sie dann jeweils .
Die Konstante E, die die Dimension der Spannung hat, wird Elastizitätsmodul oder Young-Modul genannt.
Die Spannung der Elemente parallel zu den wirkenden Spannungen o geht mit einer Kontraktion der senkrechten Elemente einher, also einer Abnahme der Querabmessungen des Stabes (Abmessungen in der Zeichnung). Relative Querdehnung
wird ein negativer Wert sein. Es stellt sich heraus, dass Längs- und Querverformungen in einem elastischen Körper in einem konstanten Verhältnis zueinander stehen:
Die für jedes Material konstante dimensionslose Größe v wird als Querkompressionsverhältnis oder Poissonzahl bezeichnet. Poisson selbst glaubte dies für alle Materialien, ausgehend von theoretischen Überlegungen, die sich später als falsch herausstellten (1829). Tatsächlich sind die Werte dieses Koeffizienten unterschiedlich. Ja, für Stahl
Wenn wir den Ausdruck in der letzten Formel ersetzen, erhalten wir:
Das Hookesche Gesetz ist kein exaktes Gesetz. Bei Stahl sind Abweichungen von der Proportionalität zwischen ihnen unbedeutend, während Gusseisen oder Schnitzereien diesem Gesetz eindeutig nicht gehorchen. Für sie kann eine lineare Funktion nur in grober Näherung angenähert werden.
Lange Zeit befasste sich die Festigkeitslehre nur mit Materialien, die dem Hookeschen Gesetz gehorchen, und die Anwendung von Festigkeitsformeln auf andere Körper war nur mit großer Zurückhaltung möglich. Derzeit beginnt man, nichtlineare Elastizitätsgesetze zu untersuchen und zur Lösung spezifischer Probleme anzuwenden.
Bildungsministerium der Autonomen Republik Krim
Tauride National University benannt nach. Wernadski
Studium des physikalischen Rechts
HOOKES GESETZ
Abgeschlossen von: Student im 1. Studienjahr
Fakultät für Physik Gr. F-111
Potapov Evgeniy
Simferopol-2010
Planen:
Der Zusammenhang zwischen welchen Phänomenen oder Größen wird durch das Gesetz ausgedrückt.
Erklärung des Gesetzes
Mathematischer Ausdruck des Gesetzes.
Wie wurde das Gesetz entdeckt: basierend auf experimentellen Daten oder theoretisch?
Erlebte Tatsachen, auf deren Grundlage das Gesetz formuliert wurde.
Experimente, die die Gültigkeit des auf der Grundlage der Theorie formulierten Gesetzes bestätigen.
Beispiele für die Anwendung des Gesetzes und die Berücksichtigung der Wirkung des Gesetzes in der Praxis.
Literatur.
Der Zusammenhang zwischen welchen Phänomenen oder Größen wird durch das Gesetz ausgedrückt:
Das Hookesche Gesetz verknüpft Phänomene wie Spannung und Verformung eines Festkörpers, Elastizitätsmodul und Dehnung. Der Modul der elastischen Kraft, die bei der Verformung eines Körpers entsteht, ist proportional zu seiner Dehnung. Die Dehnung ist ein Merkmal der Verformbarkeit eines Materials und wird anhand der Längenzunahme einer Probe dieses Materials bei Dehnung beurteilt. Eine elastische Kraft ist eine Kraft, die bei der Verformung eines Körpers entsteht und dieser Verformung entgegenwirkt. Spannung ist ein Maß für innere Kräfte, die in einem verformbaren Körper unter dem Einfluss äußerer Einflüsse entstehen. Eine Verformung ist eine Änderung der relativen Position von Partikeln eines Körpers, die mit ihrer Bewegung relativ zueinander verbunden ist. Diese Konzepte sind durch den sogenannten Steifigkeitskoeffizienten miteinander verbunden. Sie hängt von den elastischen Eigenschaften des Materials und der Körpergröße ab.
Stellungnahme zum Gesetz:
Das Hookesche Gesetz ist eine Gleichung der Elastizitätstheorie, die Spannung und Verformung eines elastischen Mediums in Beziehung setzt.
Die Formulierung des Gesetzes lautet, dass die elastische Kraft direkt proportional zur Verformung ist.
Mathematischer Ausdruck des Gesetzes:
Für einen dünnen Zugstab hat das Hookesche Gesetz die Form:
Hier Wenn ein Balken einfach durch eine Längskraft gedehnt wird Stabspannungskraft, Δ Hier- seine Dehnung (Kompression) und k angerufen Elastizitätskoeffizient(oder Steifigkeit). Das Minus in der Gleichung gibt an, dass die Zugkraft immer in die der Verformung entgegengesetzte Richtung gerichtet ist.
Wenn Sie die relative Dehnung eingeben
und Normalspannung im Querschnitt
dann wird das Hookesche Gesetz so geschrieben
In dieser Form gilt es für beliebige kleine Materievolumina.
Im allgemeinen Fall sind Spannung und Dehnung Tensoren zweiten Ranges im dreidimensionalen Raum (sie haben jeweils 9 Komponenten). Der Tensor der sie verbindenden elastischen Konstanten ist ein Tensor vierten Ranges C ijkl und enthält 81 Koeffizienten. Aufgrund der Symmetrie des Tensors C ijkl sowie Spannungs- und Dehnungstensoren sind nur 21 Konstanten unabhängig. Das Hookesche Gesetz sieht folgendermaßen aus:
wo σ ij- Spannungstensor, - Dehnungstensor. Für ein isotropes Material der Tensor C ijkl enthält nur zwei unabhängige Koeffizienten.
Wie wurde das Gesetz entdeckt: basierend auf experimentellen Daten oder theoretisch:
Das Gesetz wurde 1660 vom englischen Wissenschaftler Robert Hooke (Hook) anhand von Beobachtungen und Experimenten entdeckt. Die Entdeckung, die Hooke in seinem 1678 veröffentlichten Werk „De potentia restitutiva“ feststellt, wurde von ihm 18 Jahre zuvor gemacht und 1676 in einem anderen seiner Bücher unter dem Deckmantel des Anagramms „ceiiinosssttuv“ platziert, was bedeutet „Ut tensio sic vis“ . Nach der Erläuterung des Autors gilt das obige Proportionalitätsgesetz nicht nur für Metalle, sondern auch für Holz, Steine, Horn, Knochen, Glas, Seide, Haare usw.
Erfahrungswerte, auf deren Grundlage das Gesetz formuliert wurde:
Die Geschichte schweigt darüber.
Experimente, die die Gültigkeit des auf der Grundlage der Theorie formulierten Gesetzes bestätigen:
Das Gesetz wird auf der Grundlage experimenteller Daten formuliert. In der Tat, wenn ein Körper (Draht) mit einem bestimmten Steifigkeitskoeffizienten gedehnt wird k auf einen Abstand Δ lch, dann ist ihr Produkt gleich groß wie die Kraft, die den Körper (Draht) dehnt. Dieser Zusammenhang gilt jedoch nicht für alle Verformungen, wohl aber für kleine. Bei großen Verformungen verliert das Hookesche Gesetz seine Gültigkeit und der Körper kollabiert.
Beispiele für die Anwendung des Gesetzes und die Berücksichtigung der Wirkung des Gesetzes in der Praxis:
Wie aus dem Hookeschen Gesetz hervorgeht, kann die Dehnung einer Feder verwendet werden, um die auf sie wirkende Kraft zu beurteilen. Diese Tatsache wird genutzt, um Kräfte mit einem Dynamometer zu messen – einer Feder mit einer linearen Skala, die für verschiedene Kraftwerte kalibriert ist.
Literatur.
1. Internetressourcen: - Wikipedia-Website (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).
2. Lehrbuch der Physik Peryshkin A.V. 9. Klasse
3. Lehrbuch der Physik V.A. Kasyanov 10. Klasse
4. Vorlesungen über Mechanik Ryabushkin D.S.
Elastizitätskoeffizient
Elastizitätskoeffizient(manchmal auch Hookescher Koeffizient, Steifigkeitskoeffizient oder Federsteifigkeit genannt) – ein Koeffizient, der im Hookeschen Gesetz die Dehnung eines elastischen Körpers und die aus dieser Dehnung resultierende elastische Kraft in Beziehung setzt. Es wird in der Festkörpermechanik im Bereich der Elastizität eingesetzt. Mit dem Buchstaben gekennzeichnet k, Manchmal D oder C. Es hat die Dimension N/m oder kg/s2 (in SI), Dyn/cm oder g/s2 (in GHS).
Der Elastizitätskoeffizient ist numerisch gleich der Kraft, die auf die Feder ausgeübt werden muss, damit sich ihre Länge pro Distanzeinheit ändert.
Definition und Eigenschaften
Der Elastizitätskoeffizient ist per Definition gleich der elastischen Kraft geteilt durch die Änderung der Federlänge: k = F e / Δ l. (\displaystyle k=F_(\mathrm (e) )/\Delta l.) Der Elastizitätskoeffizient hängt sowohl von den Eigenschaften des Materials als auch von den Abmessungen des elastischen Körpers ab. Somit können wir für einen elastischen Stab die Abhängigkeit von den Abmessungen des Stabs (Querschnittsfläche S (\displaystyle S) und Länge L (\displaystyle L)) unterscheiden, indem wir den Elastizitätskoeffizienten als k = E ⋅ S / schreiben L. (\displaystyle k=E\cdot S/L.) Die Größe E (\displaystyle E) wird Elastizitätsmodul genannt und hängt im Gegensatz zum Elastizitätskoeffizienten nur von den Eigenschaften des Stabmaterials ab.
Steifigkeit verformbarer Körper, wenn sie verbunden sind
Parallelschaltung von Federn. 
Reihenschaltung von Federn. Bei der Verbindung mehrerer elastisch verformbarer Körper (im Folgenden der Kürze halber als Federn bezeichnet) ändert sich die Gesamtsteifigkeit des Systems. Bei einer Parallelschaltung nimmt die Steifigkeit zu, bei einer Reihenschaltung ab.
Parallelschaltung
Bei einer Parallelschaltung von n (\displaystyle n) Federn mit Steifigkeiten gleich k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) die Steifigkeit des Systems ist gleich der Summe der Steifigkeiten, also k = k 1 + k 2 + k 3 + . . . +kn. (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+k_(3)+...+k_(n).)
Nachweisen
In einer Parallelschaltung befinden sich n (\displaystyle n) Federn mit den Steifigkeiten k 1 , k 2 , . . . ,kn. (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) Aus Newtons III-Gesetz gilt F = F 1 + F 2 + . . . +Fn. (\displaystyle F=F_(1)+F_(2)+...+F_(n).) (Eine Kraft F wird auf sie ausgeübt (\displaystyle F). Gleichzeitig wird eine Kraft F 1 ausgeübt zur Feder 1, (\displaystyle F_(1),) zur Feder 2 Kraft F 2 , (\displaystyle F_(2),) ... , zur Feder n (\displaystyle n) Kraft F n (\displaystyle F_(n ).))
Aus dem Hookeschen Gesetz (F = − k x (\displaystyle F=-kx), wobei x die Dehnung ist) leiten wir nun ab: F = k x ; F 1 = k 1 x ; F 2 = k 2 x ; . . . ; F n = k n x . (\displaystyle F=kx;F_(1)=k_(1)x;F_(2)=k_(2)x;...;F_(n)=k_(n)x.) Setze diese Ausdrücke in die ein Gleichheit (1): k x = k 1 x + k 2 x + . . . + k n x ; (\displaystyle kx=k_(1)x+k_(2)x+...+k_(n)x;) Reduzieren um x, (\displaystyle x,) erhalten wir: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+...+k_(n),) was bewiesen werden musste.
Serielle Verbindung
Bei einer Reihenschaltung von n (\displaystyle n) Federn mit Steifigkeiten gleich k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) Die Gesamtsteifigkeit wird aus der Gleichung bestimmt: 1 / k = (1 / k 1 + 1 / k 2 + 1 / k 3 + . (\displaystyle 1/k=(1/k_(1)+1/k_(2)+1/k_(3)+...+1/k_(n)).)
Nachweisen
In einer Reihenschaltung gibt es n (\displaystyle n) Federn mit den Steifigkeiten k 1 , k 2 , . . . ,kn. (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) Aus dem Hookeschen Gesetz (F = − k l (\displaystyle F=-kl) , wobei l die Dehnung ist) folgt F = k ⋅ l . (\displaystyle F=k\cdot l.) Die Summe der Dehnungen jeder Feder ist gleich der Gesamtdehnung der gesamten Verbindung l 1 + l 2 + . . . + l n = l . (\displaystyle l_(1)+l_(2)+...+l_(n)=l.)
Auf jede Feder wirkt die gleiche Kraft F. (\displaystyle F.) Nach dem Hookeschen Gesetz ist F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = l n ⋅ k n . (\displaystyle F=l_(1)\cdot k_(1)=l_(2)\cdot k_(2)=...=l_(n)\cdot k_(n).) Aus den vorherigen Ausdrücken leiten wir ab: l = F / k, l 1 = F / k 1, l 2 = F / k 2, . . . , l n = F / k n . (\displaystyle l=F/k,\quad l_(1)=F/k_(1),\quad l_(2)=F/k_(2),\quad ...,\quad l_(n)= F/k_(n).) Wenn wir diese Ausdrücke in (2) einsetzen und durch F, (\displaystyle F,) dividieren, erhalten wir 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , (\displaystyle 1/k=1/k_(1)+1/k_(2)+...+1/k_(n),) was bewiesen werden musste.
Steifheit einiger verformbarer Körper
Stab mit konstantem Querschnitt
Ein homogener Stab mit konstantem Querschnitt, der entlang der Achse elastisch verformt ist, hat einen Steifigkeitskoeffizienten
K = E S L 0 , (\displaystyle k=(\frac (E\,S)(L_(0))),) A- Elastizitätsmodul, der nur vom Material abhängt, aus dem der Stab besteht; S- Querschnittsfläche; L 0 - Länge der Stange.
Zylindrische Schraubenfeder
Gedrehte zylindrische Druckfeder. Eine verdrillte zylindrische Druck- oder Zugfeder, die aus einem zylindrischen Draht gewickelt und entlang der Achse elastisch verformt ist, hat einen Steifigkeitskoeffizienten
K = G ⋅ d D 4 8 ⋅ d F 3 ⋅ n , (\displaystyle k=(\frac (G\cdot d_(\mathrm (D) )^(4))(8\cdot d_(\mathrm (F ) )^(3)\cdot n)),) D- Drahtdurchmesser; D F – Wickeldurchmesser (gemessen von der Drahtachse); N- Anzahl der Windungen; G- Schubmodul (für gewöhnlichen Stahl G≈ 80 GPa, für Federstahl G≈ 78,5 GPa, für Kupfer ~ 45 GPa).
Quellen und Anmerkungen
- Elastische Verformung (Russisch). Archiviert am 30. Juni 2012.
- Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. - Springer, 2004. - P. 181 ..
- Bruno Aßmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. - Oldenbourg, 2004. - P. 11 ..
- Dynamik, elastische Kraft (Russisch). Archiviert am 30. Juni 2012.
- Mechanische Eigenschaften von Körpern (Russisch). Archiviert am 30. Juni 2012.
10. Hookesches Gesetz in Zug-Druck. Elastizitätsmodul (E-Modul).
Unter axialer Zug- oder Druckbelastung bis zur Grenze der Proportionalität σ pr Es gilt das Hookesche Gesetz, d.h. Gesetz über den direkt proportionalen Zusammenhang zwischen Normalspannungen
und relative Längsverformungen 
:
(3.10)
oder 
(3.11)
Hier hat E – der Proportionalitätskoeffizient im Hookeschen Gesetz – die Dimension der Spannung und heißt Elastizitätsmodul erster Art, die die elastischen Eigenschaften des Materials charakterisieren, oder Elastizitätsmodul.
Die relative Längsdehnung ist das Verhältnis der absoluten Längsdehnung des Abschnitts 
Stange auf die Länge dieses Abschnitts 
vor der Verformung: 
(3.12)
Die relative Querverformung beträgt: " = = b/b, wobei b = b 1 – b.
Das Verhältnis der relativen Querverformung " zur relativen Längsverformung , Modulo genannt, ist für jedes Material ein konstanter Wert und wird Poissonzahl genannt:
Bestimmung der absoluten Verformung eines Holzabschnitts
Stattdessen in Formel (3.11). 
Und 
Ersetzen wir die Ausdrücke (3.1) und (3.12):
Von hier aus erhalten wir eine Formel zur Bestimmung der absoluten Verlängerung (oder Verkürzung) eines Stababschnitts mit der Länge:
(3.13)
In Formel (3.13) heißt das Produkt EA die Steifigkeit des Balkens unter Zug oder Druck, die in kN oder MN gemessen wird.
Diese Formel bestimmt die absolute Verformung, wenn die Längskraft in der Fläche konstant ist. Für den Fall, dass die Längskraft räumlich variabel ist, wird sie durch die Formel bestimmt:
(3.14)
wobei N(x) eine Funktion der Längskraft entlang der Länge des Abschnitts ist.
11. Querdehnungskoeffizient (Poissonzahl).
12.Bestimmung der Verschiebungen bei Zug und Druck. Hookesches Gesetz für einen Holzabschnitt. Bestimmung der Verschiebungen von Balkenabschnitten
Bestimmen wir die horizontale Bewegung des Punktes bedeutet den Ausdruck „möglicher Wert der Menge“. Achse des Balkens (Abb. 3.5) – u a: Sie ist gleich der absoluten Verformung eines Teils des Balkens bedeutet den Ausdruck „möglicher Wert der Menge“.D, eingeschlossen zwischen der Einbettung und dem durch den Punkt gezogenen Abschnitt, d.h. 
Im Gegenzug wird der Abschnitt verlängert bedeutet den Ausdruck „möglicher Wert der Menge“.D besteht aus Erweiterungen der einzelnen Ladungsabschnitte 1, 2 und 3:
Längskräfte in den betrachteten Bereichen:
Somit,
Dann 
Ebenso können Sie die Bewegung eines beliebigen Abschnitts eines Balkens bestimmen und die folgende Regel formulieren:
Verschieben eines beliebigen Abschnitts Jeines Stabes unter Zug-Druck wird als Summe der absoluten Verformungen bestimmt NLadungsbereiche, die zwischen den betrachteten und festen (festen) Abschnitten eingeschlossen sind, d. h.
(3.16)
Die Bedingung für die Steifigkeit des Balkens wird in folgender Form geschrieben:
, (3.17)
Wo 
– der größte Wert der Querschnittsverschiebung, modulo aus dem Verschiebungsdiagramm entnommen u – der in den Normen festgelegte zulässige Wert der Querschnittsverschiebung für ein bestimmtes Bauwerk oder sein Element;
13. Bestimmung mechanischer Eigenschaften von Materialien. Zugversuch. Kompressionstest.
Um die grundlegenden Eigenschaften von Materialien zu quantifizieren, wie z
In der Regel wird das Spannungsdiagramm experimentell in den Koordinaten und ermittelt (Abb. 2.9). Definieren wir sie.
Als höchste Spannung wird ein Material bezeichnet, das dem Hookeschen Gesetz folgt Grenze der Verhältnismäßigkeit P. Im Rahmen des Hookeschen Gesetzes ist der Tangens des Neigungswinkels der Geraden = F() zur -Achse wird durch den Wert bestimmt A.
Die elastischen Eigenschaften des Materials bleiben bis zur Belastung erhalten U, angerufen Elastizitätsgrenze. Unterhalb der Elastizitätsgrenze U Unter Spannung versteht man die größte Spannung, bis zu der das Material keine bleibenden Verformungen erfährt, d.h. nach vollständiger Entladung fällt der letzte Punkt des Diagramms mit dem Startpunkt 0 zusammen.
Wert T angerufen Streckgrenze Material. Unter der Streckgrenze versteht man die Spannung, bei der die Dehnung zunimmt, ohne dass es zu einer merklichen Belastungszunahme kommt. Wenn es notwendig ist, zwischen der Streckgrenze bei Zug und Druck zu unterscheiden T entsprechend ersetzt durch TR und TS. Bei Spannungen hoch T Im Körper der Struktur entstehen plastische Verformungen P, die bei Entlastung nicht verschwinden.
Das Verhältnis der maximalen Kraft, der eine Probe standhalten kann, zu ihrer ursprünglichen Querschnittsfläche wird als Zugfestigkeit oder Zugfestigkeit bezeichnet und mit bezeichnet VR(mit Komprimierung Sonne).
Bei praktischen Berechnungen wird das reale Diagramm (Abb. 2.9) vereinfacht und zu diesem Zweck verschiedene Näherungsdiagramme verwendet. Probleme unter Berücksichtigung lösen elastisch Plastik Die Eigenschaften von Strukturmaterialien werden am häufigsten verwendet Prandtl-Diagramm. Nach diesem Diagramm ändert sich die Spannung von Null zur Streckgrenze nach dem Hookeschen Gesetz = A, und wenn zunimmt, ist = T(Abb. 2.10).
Die Fähigkeit von Materialien, Restverformungen zu erhalten, wird genannt Plastizität. In Abb. In Abb. 2.9 wurde ein Kennliniendiagramm für Kunststoffmaterialien vorgestellt.
Reis. 2.10 Abb. 2.11
Das Gegenteil der Eigenschaft der Plastizität ist die Eigenschaft Zerbrechlichkeit, d.h. die Fähigkeit eines Materials, zu kollabieren, ohne dass es zu nennenswerten Restverformungen kommt. Ein Material mit dieser Eigenschaft heißt zerbrechlich. Zu den spröden Materialien gehören Gusseisen, Kohlenstoffstahl, Glas, Ziegel, Beton und Natursteine. Ein typisches Diagramm der Verformung spröder Materialien ist in Abb. dargestellt. 2.11.
1. Wie nennt man Körperverformung? Wie ist das Hookesche Gesetz formuliert?
Wachit Schawaljew
Unter Verformungen versteht man jegliche Veränderungen der Form, Größe und des Volumens des Körpers. Die Verformung bestimmt das Endergebnis der Bewegung von Körperteilen relativ zueinander.
Elastische Verformungen sind Verformungen, die nach Wegnahme äußerer Kräfte vollständig verschwinden.
Plastische Verformungen sind Verformungen, die ganz oder teilweise bestehen bleiben, nachdem die Einwirkung äußerer Kräfte aufgehört hat.
Elastische Kräfte sind Kräfte, die in einem Körper bei seiner elastischen Verformung entstehen und in die entgegengesetzte Richtung zur Verschiebung von Partikeln bei der Verformung gerichtet sind.
Hookes Gesetz
Als elastisch können kleine und kurzfristige Verformungen mit ausreichender Genauigkeit angesehen werden. Für solche Verformungen gilt das Hookesche Gesetz:
Die elastische Kraft, die bei der Verformung eines Körpers entsteht, ist direkt proportional zur absoluten Dehnung des Körpers und ist entgegengesetzt zur Verschiebung der Körperteilchen gerichtet:
\
Dabei ist F_x die Projektion der Kraft auf die x-Achse, k die Steifigkeit des Körpers, abhängig von der Größe des Körpers und dem Material, aus dem er besteht, ist die SI-Einheit der Steifigkeit N/m.
http://ru.solverbook.com/spravochnik/mexanika/dinamika/deformacii-sily-uprugosti/
Warja Guseva
Eine Verformung ist eine Veränderung der Form oder des Volumens eines Körpers. Arten der Verformung - Dehnung oder Kompression (Beispiele: Dehnen oder Zusammendrücken eines Gummibandes, einer Ziehharmonika), Biegung (ein unter einer Person gebogenes Brett, ein gebogenes Blatt Papier), Torsion (Arbeiten mit einem Schraubenzieher, Ausdrücken von Wäsche mit der Hand), Scherung (beim Bremsen eines Autos werden die Reifen aufgrund der Reibungskraft verformt).
Hookesches Gesetz: Die elastische Kraft, die in einem Körper bei seiner Verformung entsteht, ist direkt proportional zur Größe dieser Verformung
oder
Die elastische Kraft, die in einem Körper bei seiner Verformung entsteht, ist direkt proportional zur Größe dieser Verformung.
Formel des Hookeschen Gesetzes: Fpr=kx
Hookes Gesetz. Kann es durch die Formel F= -khх oder F= khх ausgedrückt werden?
⚓ Otter ☸
Das Hookesche Gesetz ist eine Gleichung der Elastizitätstheorie, die Spannung und Verformung eines elastischen Mediums in Beziehung setzt. 1660 vom englischen Wissenschaftler Robert Hooke entdeckt. Da das Hookesche Gesetz für kleine Spannungen und Dehnungen geschrieben ist, hat es die Form einer einfachen Proportionalität.
Für einen dünnen Zugstab hat das Hookesche Gesetz die Form:
Dabei ist F die Zugkraft des Stabes, Δl seine Dehnung (Kompression) und k der Elastizitätskoeffizient (oder die Steifigkeit). Das Minus in der Gleichung gibt an, dass die Zugkraft immer in die der Verformung entgegengesetzte Richtung gerichtet ist.
Der Elastizitätskoeffizient hängt sowohl von den Materialeigenschaften als auch von den Abmessungen des Stabes ab. Wir können die Abhängigkeit von den Abmessungen des Stabes (Querschnittsfläche S und Länge L) explizit unterscheiden, indem wir den Elastizitätskoeffizienten als schreiben
Die Größe E wird Elastizitätsmodul genannt und hängt nur von den Eigenschaften des Körpers ab.
Wenn Sie die relative Dehnung eingeben
und Normalspannung im Querschnitt
dann wird das Hookesche Gesetz geschrieben als
In dieser Form gilt es für beliebige kleine Materievolumina.
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Verallgemeinertes Hookesches Gesetz
Im allgemeinen Fall sind Spannung und Dehnung Tensoren zweiten Ranges im dreidimensionalen Raum (sie haben jeweils 9 Komponenten). Der Tensor der sie verbindenden elastischen Konstanten ist ein Tensor vierten Ranges nach Cijkl und enthält 81 Koeffizienten. Aufgrund der Symmetrie des Cijkl-Tensors sowie der Spannungs- und Dehnungstensoren sind nur 21 Konstanten unabhängig. Das Hookesche Gesetz sieht folgendermaßen aus:
Für ein isotropes Material enthält der Cijkl-Tensor nur zwei unabhängige Koeffizienten.
Es ist zu beachten, dass das Hookesche Gesetz nur für kleine Verformungen erfüllt ist. Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze wird der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung nichtlinear. Für viele Medien ist das Hookesche Gesetz selbst bei kleinen Verformungen nicht anwendbar.
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Kurz gesagt, Sie können es so oder so machen, je nachdem, was Sie am Ende angeben möchten: einfach den Modul der Hooke-Kraft oder auch die Richtung dieser Kraft. Genau genommen natürlich -kx, da die Hooke-Kraft gegen den positiven Zuwachs in der Koordinate des Federendes gerichtet ist.
Die Einwirkung äußerer Kräfte auf einen Festkörper führt zum Auftreten von punktuellen Spannungen und Verformungen in seinem Volumen. In diesem Fall wird der Spannungszustand an einem Punkt, das Verhältnis zwischen Spannungen in verschiedenen durch diesen Punkt verlaufenden Bereichen, durch die Gleichungen der Statik bestimmt und hängt nicht von den physikalischen Eigenschaften des Materials ab. Der Verformungszustand, der Zusammenhang zwischen Verschiebungen und Verformungen, wird anhand geometrischer oder kinematischer Überlegungen ermittelt und ist zudem unabhängig von den Eigenschaften des Materials. Um einen Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen herzustellen, ist es notwendig, die tatsächlichen Eigenschaften des Materials und die Belastungszustände zu berücksichtigen. Basierend auf experimentellen Daten werden mathematische Modelle entwickelt, die die Beziehungen zwischen Spannungen und Dehnungen beschreiben. Diese Modelle müssen die tatsächlichen Materialeigenschaften und Belastungszustände mit ausreichender Genauigkeit widerspiegeln.
Die gebräuchlichsten Modelle für Strukturmaterialien sind Elastizität und Plastizität. Unter Elastizität versteht man die Eigenschaft eines Körpers, unter dem Einfluss äußerer Belastungen Form und Größe zu verändern und bei Wegnahme der Belastung wieder seine ursprüngliche Konfiguration einzunehmen. Mathematisch drückt sich die Eigenschaft der Elastizität in der Herstellung einer eins-zu-eins-funktionalen Beziehung zwischen den Komponenten des Spannungstensors und des Dehnungstensors aus. Die Eigenschaft der Elastizität spiegelt nicht nur die Eigenschaften von Materialien, sondern auch die Belastungsbedingungen wider. Bei den meisten Strukturmaterialien manifestiert sich die Eigenschaft der Elastizität bei moderaten Werten äußerer Kräfte, die zu kleinen Verformungen führen, und bei niedrigen Belastungsraten, wenn Energieverluste aufgrund von Temperatureffekten vernachlässigbar sind. Ein Material heißt linear elastisch, wenn die Komponenten des Spannungstensors und des Dehnungstensors durch lineare Beziehungen zusammenhängen.
Bei hoher Belastung, wenn erhebliche Verformungen im Körper auftreten, verliert das Material teilweise seine elastischen Eigenschaften: Bei Entlastung werden seine ursprünglichen Abmessungen und seine ursprüngliche Form nicht vollständig wiederhergestellt, und bei vollständiger Entfernung äußerer Belastungen werden Restverformungen aufgezeichnet. In diesem Fall Der Zusammenhang zwischen Belastungen und Belastungen ist nicht mehr eindeutig. Diese Materialeigenschaft heißt Plastizität. Restverformungen, die sich bei der plastischen Verformung ansammeln, werden als plastisch bezeichnet.
Hohe Belastung kann dazu führen Zerstörung, d.h. Teilung des Körpers in Teile. Festkörper aus unterschiedlichen Materialien versagen bei unterschiedlich starker Verformung. Der Bruch ist bei kleinen Verformungen spröde und erfolgt in der Regel ohne erkennbare plastische Verformungen. Eine solche Zerstörung ist typisch für Gusseisen, legierte Stähle, Beton, Glas, Keramik und einige andere Baumaterialien. Kohlenstoffarme Stähle, Nichteisenmetalle und Kunststoffe zeichnen sich durch ein plastisches Versagen bei Vorhandensein erheblicher Restverformungen aus. Die Einteilung der Materialien in spröde und duktile Materialien nach der Art ihrer Zerstörung ist jedoch sehr willkürlich und bezieht sich normalerweise auf einige Standardbetriebsbedingungen. Derselbe Werkstoff kann sich je nach Bedingungen (Temperatur, Art der Belastung, Fertigungstechnologie etc.) spröde oder duktil verhalten. Beispielsweise werden Materialien, die bei normalen Temperaturen plastisch sind, bei niedrigen Temperaturen spröde. Daher ist es richtiger, nicht von spröden und duktilen Materialien zu sprechen, sondern vom spröden oder plastischen Zustand des Materials.
Das Material sei linear elastisch und isotrop. Betrachten wir ein Elementarvolumen unter Bedingungen eines einachsigen Spannungszustands (Abb. 1), so dass der Spannungstensor die Form hat
Bei einer solchen Belastung nehmen die Abmessungen in Richtung der Achse zu Oh, gekennzeichnet durch eine lineare Verformung, die proportional zur Größe der Spannung ist
Abb.1. Einachsiger Spannungszustand
Diese Beziehung ist eine mathematische Notation Hookes Gesetz Herstellung eines proportionalen Zusammenhangs zwischen Spannung und der entsprechenden linearen Verformung in einem einachsigen Spannungszustand. Der Proportionalitätskoeffizient E wird als Längselastizitätsmodul oder Young-Modul bezeichnet. Es hat die Dimension von Stress.
Zusammen mit der Vergrößerung in Wirkungsrichtung; Bei gleicher Belastung nimmt die Größe in zwei orthogonalen Richtungen ab (Abb. 1). Die entsprechenden Verformungen bezeichnen wir mit und , und diese Verformungen sind negativ, während sie positiv sind und proportional zu:
Bei gleichzeitiger Einwirkung von Spannungen entlang dreier orthogonaler Achsen, wenn keine Tangentialspannungen vorliegen, gilt für ein linear elastisches Material das Prinzip der Superposition (Überlagerung von Lösungen):
Unter Berücksichtigung der Formeln (1 4) erhalten wir
|
Tangentialspannungen verursachen Winkelverformungen, und bei kleinen Verformungen haben sie keinen Einfluss auf die Änderung der linearen Abmessungen und damit auf lineare Verformungen. Sie gelten daher auch bei einem beliebigen Spannungszustand und drücken das sogenannte aus verallgemeinerte das Hookesche Gesetz.
Die Winkelverformung wird durch die Tangentialspannung und die Verformung bzw. durch die Spannungen und verursacht. Für einen linear elastischen isotropen Körper bestehen proportionale Beziehungen zwischen den entsprechenden Tangentialspannungen und Winkelverformungen
die das Gesetz zum Ausdruck bringen Hookes Schere. Der Proportionalitätsfaktor G heißt Schermodul. Wichtig ist, dass die Normalspannung keinen Einfluss auf Winkelverformungen hat, da sich in diesem Fall nur die Längenmaße der Segmente ändern und nicht die Winkel zwischen ihnen (Abb. 1).
Es besteht auch eine lineare Beziehung zwischen der durchschnittlichen Spannung (2.18), proportional zur ersten Invariante des Spannungstensors, und der volumetrischen Dehnung (2.32), die mit der ersten Invariante des Dehnungstensors zusammenfällt:
Abb.2. Ebene Scherdehnung
Entsprechender Proportionalitätsfaktor ZU angerufen volumetrischer Elastizitätsmodul.
Formeln (1 7) berücksichtigen die elastischen Eigenschaften des Materials E, , G Und ZU, Bestimmung seiner elastischen Eigenschaften. Diese Merkmale sind jedoch nicht unabhängig. Für ein isotropes Material gibt es zwei unabhängige elastische Eigenschaften, die üblicherweise als Elastizitätsmodul gewählt werden A und Poissonzahl. Um den Schubmodul auszudrücken G durch A Und , Betrachten wir die ebene Schubverformung unter Einwirkung tangentialer Spannungen (Abb. 2). Um die Berechnungen zu vereinfachen, verwenden wir ein quadratisches Element mit einer Seite A. Berechnen wir die Hauptspannungen , . Diese Spannungen wirken auf Bereiche, die in einem Winkel zu den ursprünglichen Bereichen liegen. Aus Abb. In Abb. 2 finden wir den Zusammenhang zwischen linearer Verformung in Spannungsrichtung und Winkelverformung . Die große Diagonale der Raute, die die Verformung charakterisiert, ist gleich
Für kleine Verformungen
Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen
Vor der Verformung hatte diese Diagonale die Größe . Dann werden wir es haben
Aus dem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz (5) erhalten wir
Der Vergleich der resultierenden Formel mit der Notation des Hookeschen Gesetzes für die Verschiebung (6) ergibt
Als Ergebnis erhalten wir
Wenn wir diesen Ausdruck mit dem Hookeschen Volumengesetz (7) vergleichen, kommen wir zu dem Ergebnis
Mechanische Eigenschaften E, , G Und ZU werden nach der Verarbeitung experimenteller Daten von Testproben unter verschiedenen Belastungsarten gefunden. Aus physikalischer Sicht können alle diese Eigenschaften nicht negativ sein. Darüber hinaus folgt aus dem letzten Ausdruck, dass die Poissonzahl für ein isotropes Material 1/2 nicht überschreitet. Somit erhalten wir folgende Einschränkungen für die elastischen Konstanten eines isotropen Materials:
Grenzwert führt zum Grenzwert , was einem inkompressiblen Material (at) entspricht. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir anhand der Elastizitätsbeziehungen (5) die Spannung als Verformung ausdrücken. Schreiben wir die erste der Beziehungen (5) in das Formular
Mit Gleichheit (9) erhalten wir
Ähnliche Beziehungen können für und abgeleitet werden. Als Ergebnis erhalten wir
|
Hier verwenden wir die Beziehung (8) für den Schubmodul. Außerdem die Bezeichnung
POTENZIELLE ENERGIE DER ELASTISCHEN VERFORMUNG
Betrachten wir zunächst das Elementarvolumen dV=dxdydz unter einachsigen Belastungsbedingungen (Abb. 1). Reparieren Sie die Site im Geiste x=0(Abb. 3). Auf die gegenüberliegende Fläche wirkt eine Kraft .
Diese Kraft wirkt auf die Verschiebung .
Wenn die Spannung vom Nullpegel auf den Wert ansteigt
die entsprechende Verformung aufgrund des Hookeschen Gesetzes nimmt ebenfalls von Null auf den Wert zu ,
und die Arbeit ist proportional zur schattierten Zahl in Abb. 4 Quadrate: 
. Wenn wir kinetische Energie und Verluste im Zusammenhang mit thermischen, elektromagnetischen und anderen Phänomenen vernachlässigen, wird die geleistete Arbeit aufgrund des Energieerhaltungssatzes zu potentielle Energie, während der Verformung angesammelt: .
Wert Ф= dU/dV angerufen spezifische potentielle Verformungsenergie, bedeutet potentielle Energie, die in einer Volumeneinheit eines Körpers akkumuliert wird. Bei einachsigem Spannungszustand
