Dix sacs
Il y a 10 sacs de pièces. Toutes les pièces d’un même sac sont fausses. Une pièce authentique pèse 10 grammes et une pièce contrefaite pèse 9 grammes. Comment identifier un sac de fausses pièces avec une seule pesée sur une balance graduée ?
Solution
Tout d'abord, vous devez numéroter tous les sacs de 1 à 10, puis vous devez retirer de chaque sac autant de pièces que son numéro de série (de 1 à 10). Si toutes les pièces étaient réelles, alors la pile de pièces pèserait 550 grammes (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550. Si un sac de pièces contrefaites porte le numéro N (N = de 1 à 10 ), puis les pièces retirées des sacs pèseront N grammes de moins, donc la pile de pièces prise pèsera N grammes de moins. Ceux. De combien de grammes un tas de poids diffère-t-il de 550 grammes, un tel sac contient des pièces contrefaites.
Huit sacs
Vous disposez de 8 sacs de pièces contenant chacun 48 pièces. Cinq sacs contiennent de vraies pièces de monnaie et les autres contiennent des pièces contrefaites. Les fausses pièces sont 1 gramme plus légères que les vraies. Avec une pesée sur une balance de précision, identifiez tous les sacs de pièces contrefaites en utilisant le nombre minimum de pièces.
Solution
Il n'est pas nécessaire d'obtenir des pièces du premier sac (0), du deuxième sac, vous devez obtenir une pièce (1), du troisième deux (2), du quatrième - quatre (4), du cinquième - sept (7), du sixième - treize (13), du septième – vingt-quatre (24), du huitième – quarante-quatre (44). Chacune des trois « piles » de pièces, prises ensemble, est unique en ce sens qu'elles donnent un certain poids exact, permettant d'identifier des sacs de pièces contrefaites (95 pièces au total). Si toutes les pièces de la solution proposée étaient réelles, leur poids total serait de 95 cu. (0+1+2+4+7+13+24+44). Comparez la lecture de l’échelle avec ce qu’elle serait idéalement si toutes les pièces étaient réelles. La différence qui en résulte (nombre d’unités conventionnelles) indiquera le nombre de sacs contenant des pièces contrefaites. Par exemple, si la différence est de 21, alors les pièces des deuxième, cinquième et sixième sacs sont contrefaites, car C'est d'eux que nous avons pris 21 pièces (1+7+13).
Boules de Noël
Sur arbre de Noël Il y a trois paires de boules suspendues : deux blanches, deux bleues et deux rouges. Extérieurement les boules sont identiques. Cependant, chaque paire possède une balle légère et une balle lourde. Toutes les boules légères pèsent le même poids, tout comme toutes les boules lourdes. À l’aide de deux balances, déterminez toutes les boules légères et toutes les boules lourdes.
Solution
Placez une boule rouge et une boule blanche sur l’échelle de gauche et une boule bleue et une boule blanche sur l’échelle de droite. Si l'équilibre est atteint, alors il est évident que sur chaque bol il y en a un lourd et un boule lumineuse. Il suffit donc de comparer deux boules blanches pour connaître la réponse à la question qui nous intéresse. Cependant, si après la première pesée l’équilibre n’est pas atteint, alors du côté le plus lourd se trouve une lourde boule blanche. La prochaine étape logique consiste à comparer le poids de la boule rouge déjà pesée et de celle qui n’a pas encore été pesée. boule bleue. Après cela, vous saurez clairement quelles balles sont légères et lesquelles sont lourdes.
Neuf sacs
Il y a neuf sacs : huit de sable et un d'or. Le sac d'or est un peu plus lourd. On vous fait deux pesées sur la balance pour trouver le sac d'or.
Solution
Divisez les neuf sacs en trois groupes de trois sacs chacun. Pesez les deux groupes. De cette façon, vous saurez quel groupe contient le sac d'or. Sélectionnez maintenant 2 sacs dans le groupe qui contient définitivement un sac d'or et pesez-les.
27 balles de tennis
Il y a 27 balles de tennis. Le 26 pèse le même poids, mais le 27 est légèrement plus lourd. Quel est le nombre minimum de pesées sur une balance à tasses qui garantit qu'une balle lourde sera trouvée ?
Solution
Il suffit d'utiliser la balance trois fois. Divisez les 27 boules en 3 groupes de 9 boules chacun. Comparez deux groupes - la balle lourde sera dans le groupe qui l'emporte. Si la balance a atteint l’équilibre, alors la balle lourde appartient au troisième groupe. Ainsi, nous définirons un groupe de 9 boules dont une est celle souhaitée. Divisez ce groupe en 3 sous-groupes, chacun avec trois balles. Comme pour la première étape, comparez le poids de deux sous-groupes quelconques. Comparez maintenant deux balles (deux sur trois, parmi lesquelles celle que vous recherchez doit absolument se trouver).
Poids brisé
Un marchand a laissé tomber un poids de 40 livres et celui-ci s'est brisé en 4 morceaux inégaux. Lorsque ces pièces ont été pesées, il s’est avéré que le poids de chacune d’elles (en livres) était un nombre entier. De plus, ces pièces pourraient être utilisées pour peser n’importe quel poids (représentant un nombre entier) jusqu’à 40 livres sur une balance panoramique. Combien pesait chaque pièce ?
Solution
Les fragments pesaient : 1 livre, 3 livres, 9 livres et 27 livres, pour un total de 40 livres.
Des clous dans un sac
Il y a 24 kg de clous dans un sac. Comment mesurer 9 kg de clous sur une balance à tasse sans poids ?
Solution
Une option : diviser 24 kg en deux parties égales de 12 kg, en les équilibrant sur la balance. Divisez ensuite 12 kg en deux parties égales de 6 kg. Après cela, réservez une partie et divisez l'autre de la même manière en parties de 3 kg. Enfin, ajoutez ces 3 kg à la partie de six kilogrammes. Le résultat sera 9 kg de clous.
Chacun des 10 sacs contient 10 pièces. Chaque pièce pèse 10 g. Mais dans un sachet, toutes les pièces sont contrefaites - non pas 10, mais 11 g chacune. Comment déterminer, à l'aide d'une seule pesée, dans quel sachet (dans le 1er, ou dans le 2e, ou dans le 3ème) m, etc.) y a-t-il des pièces contrefaites (tous les sacs sont numérotés de 1 à 10) ? Les sacs peuvent être ouverts et un nombre illimité de pièces peuvent être retirés de chacun.
RÉPONDRE
Vous devez retirer une pièce du premier sac, deux du deuxième, trois du troisième, etc. (du dixième sac - les dix pièces). Ensuite, toutes ces pièces doivent être pesées ensemble une fois. S'il n'y avait pas de pièces contrefaites parmi eux, c'est-à-dire elles pesaient toutes 10 g, alors leur poids total serait de 550 g. Mais comme parmi les pièces pesées il y en a des contrefaites (11 g chacune), leur poids total serait supérieur à 550 g. 551 g, alors les pièces contrefaites sont dans le premier sac, car nous en avons pris une pièce, ce qui a donné 1 g supplémentaire. Si le poids total est de 552 g, alors les pièces contrefaites sont dans le deuxième sac, car nous avons pris. deux pièces de monnaie. Si le poids total est de 553 g, alors les pièces contrefaites se trouvent dans le troisième sac, etc. Ainsi, avec une seule pesée, il est possible de déterminer avec précision quel sac contient des pièces contrefaites.
Dix sacs
Il y a 10 sacs de pièces. Toutes les pièces d’un même sac sont fausses. Une pièce authentique pèse 10 grammes et une pièce contrefaite pèse 9 grammes. Comment identifier un sac de fausses pièces avec une seule pesée sur une balance graduée ?
Tout d'abord, vous devez numéroter tous les sacs de 1 à 10, puis vous devez retirer de chaque sac autant de pièces que son numéro de série (de 1 à 10). Si toutes les pièces étaient réelles, alors la pile de pièces pèserait 550 grammes (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550. Si un sac de pièces contrefaites porte le numéro N (N = de 1 à 10 ), puis les pièces retirées des sacs pèseront N grammes de moins, donc la pile de pièces prise pèsera N grammes de moins. Ceux. De combien de grammes un tas de poids diffère-t-il de 550 grammes, un tel sac contient des pièces contrefaites.
Huit sacs
Vous disposez de 8 sacs de pièces contenant chacun 48 pièces. Cinq sacs contiennent de vraies pièces de monnaie et les autres contiennent des pièces contrefaites. Les fausses pièces sont 1 gramme plus légères que les vraies. Avec une pesée sur une balance de précision, identifiez tous les sacs de pièces contrefaites en utilisant le nombre minimum de pièces.
Il n'est pas nécessaire d'obtenir des pièces du premier sac (0), du deuxième sac, vous devez obtenir une pièce (1), du troisième deux (2), du quatrième - quatre (4), du cinquième - sept (7), du sixième - treize (13), du septième – vingt-quatre (24), du huitième – quarante-quatre (44). Chacune des trois « piles » de pièces, prises ensemble, est unique en ce sens qu'elles donnent un certain poids exact, permettant d'identifier des sacs de pièces contrefaites (95 pièces au total). Si toutes les pièces de la solution proposée étaient réelles, leur poids total serait de 95 cu. (0+1+2+4+7+13+24+44). Comparez la lecture de l’échelle avec ce qu’elle serait idéalement si toutes les pièces étaient réelles. La différence qui en résulte (nombre d’unités conventionnelles) indiquera le nombre de sacs contenant des pièces contrefaites. Par exemple, si la différence est de 21, alors les pièces des deuxième, cinquième et sixième sacs sont contrefaites, car C'est d'eux que nous avons pris 21 pièces (1+7+13).
Boules de Noël
Il y a trois paires de boules accrochées au sapin du Nouvel An : deux blanches, deux bleues et deux rouges. Extérieurement les boules sont identiques. Cependant, chaque paire possède une balle légère et une balle lourde. Toutes les boules légères pèsent le même poids, tout comme toutes les boules lourdes. À l’aide de deux balances, déterminez toutes les boules légères et toutes les boules lourdes.
Placez une boule rouge et une boule blanche sur l’échelle de gauche et une boule bleue et une boule blanche sur l’échelle de droite. Si l’équilibre est atteint, alors il est évident que sur chaque bol il y a une balle lourde et une balle légère. Il suffit donc de comparer deux boules blanches pour connaître la réponse à la question qui nous intéresse. Cependant, si après la première pesée l’équilibre n’est pas atteint, alors du côté le plus lourd se trouve une lourde boule blanche. La prochaine étape logique consiste à comparer le poids de la boule rouge déjà pesée et de la boule bleue qui n’a pas encore été pesée. Après cela, vous saurez clairement quelles balles sont légères et lesquelles sont lourdes.
Neuf sacs
Il y a neuf sacs : huit de sable et un d'or. Le sac d'or est un peu plus lourd. On vous fait deux pesées sur la balance pour trouver le sac d'or.
Divisez les neuf sacs en trois groupes de trois sacs chacun. Pesez les deux groupes. De cette façon, vous saurez quel groupe contient le sac d'or. Sélectionnez maintenant 2 sacs dans le groupe qui contient définitivement un sac d'or et pesez-les.
27 balles de tennis
Il y a 27 balles de tennis. Le 26 pèse le même poids, mais le 27 est légèrement plus lourd. Quel est le nombre minimum de pesées sur une balance à tasses qui garantit qu'une balle lourde sera trouvée ?
Il suffit d'utiliser la balance trois fois. Divisez les 27 boules en 3 groupes de 9 boules chacun. Comparez deux groupes - la balle lourde sera dans le groupe qui l'emporte. Si la balance a atteint l’équilibre, alors la balle lourde appartient au troisième groupe. Ainsi, nous définirons un groupe de 9 boules dont une est celle souhaitée. Divisez ce groupe en 3 sous-groupes, chacun avec trois balles. Comme pour la première étape, comparez le poids de deux sous-groupes quelconques. Comparez maintenant deux balles (deux sur trois, parmi lesquelles celle que vous recherchez doit absolument se trouver).
Poids brisé
Un marchand a laissé tomber un poids de 40 livres et celui-ci s'est brisé en 4 morceaux inégaux. Lorsque ces pièces ont été pesées, il s’est avéré que le poids de chacune d’elles (en livres) était un nombre entier. De plus, ces pièces pourraient être utilisées pour peser n’importe quel poids (représentant un nombre entier) jusqu’à 40 livres sur une balance panoramique. Combien pesait chaque pièce ?
Les fragments pesaient : 1 livre, 3 livres, 9 livres et 27 livres, pour un total de 40 livres.
Des clous dans un sac
Il y a 24 kg de clous dans un sac. Comment mesurer 9 kg de clous sur une balance à tasse sans poids ?
Une option : diviser 24 kg en deux parties égales de 12 kg, en les équilibrant sur la balance. Divisez ensuite 12 kg en deux parties égales de 6 kg. Après cela, réservez une partie et divisez l'autre de la même manière en parties de 3 kg. Enfin, ajoutez ces 3 kg à la partie de six kilogrammes. Le résultat sera 9 kg de clous.
Dix chapeaux
Il y a dix chapeaux numérotés sur la table. Chaque chapeau contient dix pièces d'or. L'un des chapeaux contient des pièces contrefaites. Une vraie pièce pèse 10 grammes, et une fausse seulement 9. Pour vous aider, une balance avec une échelle en grammes est fournie. Comment déterminer quel chapeau contient des pièces contrefaites en utilisant la balance pour une seule pesée ? La balance ne peut pas peser plus de 750 grammes.
On prend 1 pièce du premier chapeau, 2 du deuxième, 3 du troisième, etc. Nous pesons tout cela et soustrayons le résultat du poids idéal (dans notre cas, 55 × 10 = 550 grammes). Le numéro obtenu correspondra au numéro du chapeau avec des pièces contrefaites.
81 pièces
Il existe 81 pièces de même valeur. L’une d’elles est contrefaite et elle est plus légère qu’une vraie pièce de monnaie. Comment trouver cette pièce en utilisant quatre pesées sur une balance ?
Il faut à chaque fois diviser tout le volume des pièces en 3 tas égaux et en peser 2. Si les tas ont le même poids, alors la pièce souhaitée se trouve dans le troisième tas, mais si l'un des deux tas est plus léger, alors la pièce contrefaite s'y trouve. Ensuite, le tas trouvé doit à nouveau être divisé en 3 parties et 2 pesées au choix. Lors de la première pesée, des tas de 27 pièces sont mesurés, lors de la deuxième pesée, des tas de 9 pièces sont mesurés, lors de la troisième pesée, des tas de 3 pièces. sont mesurés, et à la quatrième pesée, on en place un sur la balance.
Échelles de puzzle
Sur les deux photos, les balances sont en équilibre. Selon vous, combien de poires devraient être utilisées pour équilibrer les six oranges sur la troisième échelle ?
La première balance montre que 2 pommes + 1 orange pèsent le même poids qu’une poire. La deuxième échelle montre que 2 pommes + 2 oranges = 6 pommes, soit 2 oranges équivalent à 4 pommes ou 1 orange = 2 pommes. Sur la base des données de la première et de la deuxième balance, nous constatons qu'1 poire équivaut à 4 pommes ou 2 oranges. Ainsi, 6 oranges seront contrebalancées par 3 poires.
Sur les deux images, les balances sont en équilibre. Selon vous, combien de poires faudrait-il utiliser pour équilibrer deux pommes et une orange ?
D'après les données de la deuxième échelle, il est clair qu'une pomme est égale à une poire et à une orange. Si nous substituons ces données sur les premières échelles, nous constatons que deux oranges sont égales à une orange et deux poires, donc une orange est égale à deux poires. En remplaçant une orange par deux poires sur la deuxième échelle, nous constatons qu'une pomme équivaut à trois poires. Ainsi, pour équilibrer la troisième balance, 8 poires sont nécessaires.
Sur les deux photos, les balances sont en équilibre. Selon vous, combien de poires faut-il utiliser pour équilibrer deux pommes et deux oranges ?
Il faut augmenter trois fois le fruit sur la première échelle, vous obtenez 12 poires + 3 pommes = 15 oranges. Sur la deuxième balance on connaît le poids de 3 pommes = 3 oranges et 6 poires, transférons-les au lieu de 3 pommes sur la première balance. On obtient : 18 poires = 12 oranges ou 3 poires = 2 oranges. Ensuite, multipliez les écailles B par 2. On obtient : 6 pommes = 6 oranges + 12 poires. Si on remplace 6 oranges par l'équivalent en poires, on obtient : 6 pommes = 21 poires ou 2 pommes = 7 poires. Ainsi, 2 pommes + 2 oranges = 7 poires + 3 poires = 10 poires.
Combien d’oranges faut-il pour équilibrer la balance sur la dernière image ? Les articles ne peuvent être livrés que sur le côté droit de la balance.
Pour équilibrer la balance, vous aurez besoin de 5 oranges.
Sucre en sachets
Il y a deux sacs, un vide et l'autre contenant 9 kg de sucre. Comment répartir le sucre en sachets à raison de 2 kg dans un sachet et 7 kg dans l'autre en 3 pesées sur une balance à tasses utilisant des poids de 50g et 200g ?
1. Il faut peser le sucre dans des sacs en 2 parties égales de 4,5 kg chacune. 2. Divisez à nouveau le sucre d'un sac en moitiés de 2,25 kg chacune et répartissez-les dans des sacs (un sac contiendra 2,25 kg et l'autre 6,75 kg). 3. À l'aide de deux poids totalisant 250 g, séparez 250 g de sucre du sac de 2,25 kg et transférez-les dans un autre sac. Ainsi, un sac contiendra 7 kg, l'autre 2 kg de sucre.
4 pièces
Il y a 4 pièces, dont une contrefaite et qui diffère plus ou moins des pièces authentiques par son poids. Comment identifier une fausse pièce après 2 pesées sur une balance à tasse ?
Mettons les pièces 1 et 2 sur la balance : 1) si elles ne sont pas en équilibre, alors retirez la deuxième et remettez la troisième à sa place. Si la balance est en équilibre, alors la pièce 2 est contrefaite. Si la balance ne s’équilibre pas, la pièce 1 est contrefaite. 2) la balance est équilibrée, puis nous retirons la pièce 2 et mettons la pièce 3 à sa place. Si la balance est équilibrée, alors la pièce contrefaite est 4. Si la balance n'est pas équilibrée, alors la pièce contrefaite est 3.
Deux poids
Il existe des balances standards avec des coupelles et deux poids : 10 et 2 kg. Comment les utiliser pour peser 3 kg de prunes ?
Dans un premier temps, pesez 2 kg de prunes. Ensuite, nous les répartissons également entre les échelles afin que celles-ci soient équilibrées. 1 kg de prunes reçu. Nommez 1 kg et un poids de 2 kg, vous pouvez mesurer n'importe quelle quantité souhaitée, y compris 3 kg.
68 pièces
Il y a 68 pièces, toutes de poids différent. Comment trouver le plus léger et le plus lourd en 100 pesées ?
Nous pesons toutes les pièces par paires, en mettant les plus légères dans une pile, les plus lourdes dans une autre, pour un total de 34 pesées. Dans la première pile, on pèse tour à tour toutes les pièces avec la plus légère du moment, c'est-à-dire si l'on en trouve une plus légère, les pièces suivantes sont pesées avec, et ainsi de suite 33 fois. Avec la bonne pile - la même chose, mais on identifie seulement la pièce la plus lourde, également 33 pesées. Total - exactement 100 pesées.
Balances endommagées
Parmi les 100 pièces d’apparence identique, il existe plusieurs contrefaçons. Toutes les fausses pièces pèsent le même poids, toutes les vraies pièces ont le même poids et une fausse pièce est plus légère qu’une vraie. Il existe également des balances (avec deux bols sans aiguille), chaque bol ne contenant qu'une seule pièce de monnaie. Dans le même temps, la balance est légèrement endommagée : si les pièces sont de poids différents, la pièce la plus lourde l'emporte, mais si elles sont identiques, n'importe quelle tasse peut l'emporter. Comment trouver au moins une pièce contrefaite à l’aide de ces balances ?
Divisez les pièces en 33 piles de 3 pièces + 1 pièce. On pèse chaque trio entre eux, on obtient 3 inégalités, à la suite desquelles on voit, soit chaque pièce pèsera une fois moins que les deux autres, soit pèsera moins que les deux autres deux fois. 1>2 (les options suivantes sont possibles : n=n, f=f, 2-fake) 1<3 (н=н, ф=ф, 1- фальшивка)
2>3 (n=n, f=f, 3-faux) cela est possible si les trois pièces ont le même poids entre elles, c'est-à-dire que nous mettons chacune d'entre elles de côté 1<2(н=н,ф=ф,1-ф)
1<3(н=н,ф=ф,1-ф)
2>3(n=n,f=f,3-f) 1 est plus susceptible d’être faux, nous le mettons donc de côté. Et nous faisons cela avec chacune des 33 piles, en conséquence nous mettrons de côté 11 pièces +1 qui n'ont abouti dans aucune des piles. On divise à nouveau ces 12 pièces en 4 tas de 3 pièces chacune, on fait les mêmes manipulations, du coup on obtient 4 pièces, on les divise en 1 tas + 1, la pièce de la pile qui s'avère plus légère est à nouveau mise de côté et comparé à une seule pièce de monnaie. Celui qui est le plus léger sera faux.
80 pièces
Il y a 80 pièces, dont une contrefaite et plus légère que les autres. En combien de pesées minimum sur une balance sans poids peut-on trouver une pièce contrefaite ?
Une pièce contrefaite peut être identifiée en 4 pesées. L'algorithme est le suivant. Première pesée : mettez 27 pièces sur les bols. Dans le cas d'équilibre, le faux est parmi les 26 restants. Si un bol est plus léger, alors le faux parmi ceux qui reposent dessus est 27. Deuxième pesée : on met 9 pièces du nombre de « suspects » sur les deux bols et raisonner de la même manière. Lors de la troisième pesée, nous mettrons 3 pièces sur les bols et lors de la quatrième, une pièce chacun. Comme vous pouvez le constater, ici la division ne se fait pas en deux, mais en trois parties, si possible égales.
Sage
Lorsque le dirigeant du pays a décidé de récompenser un homme intelligent pour une bonne action, il a voulu prendre autant d'or que pèse un éléphant. Mais comment peser un éléphant ? De telles balances n’existaient pas à l’époque. Que pourriez-vous proposer dans une telle situation ?
Le sage fit ceci : il plaça l'éléphant dans le bateau, puis marqua le niveau d'eau sur le côté. Une fois l’éléphant sorti du bateau, il ne restait plus qu’à y placer l’or.
Cinq articles
Cinq objets de poids différents doivent être disposés par ordre décroissant de leur poids. Vous ne pouvez utiliser que les balances les plus simples sans poids, qui vous permettent uniquement de déterminer lequel des deux objets comparés en poids est le plus lourd. Comment procéder pour résoudre le problème de manière optimale, c'est-à-dire pour que le nombre de pesées soit minimal ? Combien de pesées faudra-t-il faire ?
La première pesée consiste à comparer deux des cinq éléments donnés. Soit A l’objet le plus léger et B l’objet le plus lourd. Puis on écrit le résultat de la première pesée sous la forme A Comparez ensuite les deux autres objets et notez le plus léger par D et le plus lourd par E : D Notons le cinquième élément C. La troisième pondération consiste à comparer les objets B et E. Les deux possibilités qui se présentent ici conduisent à un raisonnement similaire, nous nous limiterons donc à considérer le cas B. A la quatrième pesée on compare le cinquième objet C avec l'objet B. Il faut distinguer deux cas : a)B b)C Dans le premier cas (B UN Comparons (cela nécessitera une cinquième pesée) les objets C et E. Ici il faut aussi distinguer deux cas possibles : E Si un Dans le cas A Dans le deuxième cas (C UN Comparons les éléments A et C (cinquième pesée). Dans les deux cas possibles (A Puisque nous avons épuisé tous les cas possibles, la preuve s’arrête ici.
Deux échelles
Il existe 9 pièces identiques, dont une contrefaite et pour cette raison plus légère que les autres. Nous disposons de deux balances sans poids, qui nous permettent de comparer le poids de n'importe quel groupe de pièces. Cependant, certaines des balances disponibles sont rudimentaires ; elles ne permettent pas de distinguer une pièce contrefaite d'une pièce réelle. Leur précision ne leur permet pas de détecter des différences de poids. Mais d’autres échelles sont exactes. Mais on ne sait pas quelles échelles sont approximatives et lesquelles sont précises. Dans cette situation, comment identifier une pièce contrefaite grâce à trois pesées ?
Mettons quatre pièces pour chaque tasse sur la balance n°1. Si un groupe de pièces l'emporte, alors le reste est clair - ces balances sont précises et nous connaissons 4 pièces, parmi lesquelles une est contrefaite. Que la balance soit en équilibre. Notons la neuvième pièce par A et ajoutons-y les pièces B et C - une sur quatre. Nous mettons les deux triplets de pièces restants sur la balance n°2. La pire option est de retrouver l’équilibre. Puis sur la balance n°2 on compare les pièces B et C. En cas d'équilibre, la pièce A sera contrefaite.
2000 balles
Il existe 6 poids de 1, 2, 3, 4, 5 et 6 g. Ils sont marqués en conséquence. Cependant, il y a des raisons de croire qu'une erreur a été commise lors du marquage des poids. Comment pouvez-vous déterminer si les marquages sur les poids sont corrects en utilisant deux pesées sur une balance à coupelle, où vous pouvez comparer les poids de n'importe quel groupe de poids ?
Nous plaçons les poids marqués 1, 2 et 3 g sur un plateau de la balance, et 6 g sur l'autre. Equilibrium signifie qu'une erreur de marquage n'est possible qu'au sein des groupes 1-2-3 et 4-5. Lors de la deuxième pesée, on place des poids de 3 et 5 g sur un bol, et de 6 et 1 g sur l'autre. Si le premier bol est en surpoids, alors il n'y a pas d'erreur dans les marquages.
8 pièces
Il y a 8 pièces apparemment identiques. L’un d’eux est faux et est connu pour être plus léger que le vrai. Comment trouver une pièce contrefaite en seulement deux pesées sur une balance panoramique ?
Nous divisons les pièces en trois piles de 3, 3 et 2 pièces. Nous pesons les tas contenant trois pièces. Si le poids est le même, nous pesons ensemble 2 pièces de la troisième pile et identifions la contrefaçon (la plus légère). Si un groupe de trois pièces est plus léger que l’autre, il s’agit là d’une pièce contrefaite. Nous quittons le groupe de trois pièces les plus légères, mettons deux pièces sur la balance et procédons selon l'algorithme précédent : si le poids est le même, alors la troisième est contrefaite, et sinon, celle qui est la plus légère.
Le casse-tête de Saladin
Cette histoire s’est produite il y a longtemps, pendant les croisades. L'un des chevaliers a été capturé par les musulmans et a comparu devant leur chef, le sultan Saladin, qui a annoncé qu'il libérerait le prisonnier et son cheval s'il recevait une rançon de 100 000 pièces d'or. "Oh, grand Saladin", s'adressa alors au sultan le chevalier qui n'avait pas un sou, "vous privez le dernier espoir dans mon pays, un captif sage et ingénieux a une chance d'être libéré. " S’il résout une énigme donnée, il est libéré des quatre côtés, sinon le montant de la rançon double !
« Qu'il en soit ainsi », répondit Saladin, qui aimait lui-même les puzzles. « Écoutez, ils vous donneront douze pièces d'or et une simple balance avec deux tasses, mais sans poids. L'une des pièces est contrefaite, mais on ne sait pas si elle l'est. plus léger ou plus lourd que les vrais. Vous devez le trouver en seulement trois pesées. Si vous ne terminez pas la tâche avant le matin, vous devrez vous en vouloir ! Pourriez-vous sortir ?
Il faut diviser 12 pièces en 4 piles de 3 pièces chacune. Mettons 2 tas sur la balance (un à la fois dans des bols différents). Deux cas sont alors possibles : 1) Si la balance n'est pas en équilibre, alors la pièce contrefaite se trouve dans l'une de ces piles. Nous retirons le tas le plus léger et en mettons un troisième à sa place. Si la balance est en équilibre, la pièce contrefaite se trouve dans la pile retirée de la balance. Si la balance n’est pas équilibrée, la pièce contrefaite se trouve dans la pile la plus lourde. (2 pesées ont été effectuées jusqu'à présent). 2) Si la balance est en équilibre après la première pesée, retirez tout tas et mettez-en un troisième à la place. Si la balance est en équilibre, la pièce contrefaite se trouve dans la quatrième pile. Si la balance n’est pas équilibrée, la pièce contrefaite se trouve dans la troisième pile. (2 pesées ont été effectuées jusqu'à présent). Après avoir trouvé une pile de 3 pièces, nous déterminons ensuite laquelle des 3 pièces est contrefaite : vous devez mettre 2 pièces lors de la troisième pesée et si elles sont en équilibre, alors la troisième pièce est contrefaite. S'ils ne s'équilibrent pas, au lieu d'une pièce plus légère, vous devez en mettre une troisième. Si la balance est équilibrée, la pièce contrefaite est retirée. S’ils ne s’équilibrent pas, la pièce la plus lourde est contrefaite.
20 livres de thé
Comment peser 20 livres de thé dans 10 boîtes de 2 livres chacune en neuf poids, avec seulement des poids de 5 et 9 livres, en utilisant une balance à tasses ordinaire ?
1) Placez un poids de 5 livres sur un plateau de la balance et un poids de 9 livres sur l'autre. Équilibrez ensuite la balance en versant 4 livres de thé dans un bol pesant 5 livres. 2) Retirez les poids de la balance, laissez 4 livres dans un plateau et équilibrez la balance en versant 4 livres supplémentaires dans le second. 3) Pesez à nouveau 4 livres. 4) Et encore 4 livres. Ainsi, après quatre pesées, le reste sera également de 4 livres. 5-9) Divisez 4 livres en deux, en équilibrant la balance.
101 pièces
Parmi 101 pièces identiques, une est contrefaite et son poids diffère. Comment utiliser une balance à tasse sans poids pour déterminer en deux pesées si une pièce contrefaite est plus légère ou plus lourde ? Il n’est pas nécessaire de trouver une pièce contrefaite.
On pèse 50 et 50 pièces : 1) Égalité : Nous prenons la pièce restante et la mettons dans la pile de gauche au lieu de celle qui s'y trouve. 1.1 La pile de gauche est plus lourde => la pièce contrefaite est plus lourde 1.2 La pile de gauche est plus légère => la pièce contrefaite est plus légère 2) Inégalités : Nous prenons la pile la plus lourde et la divisons en deux piles de 25 pièces. 2.1 Le poids des piles est le même => la pièce contrefaite est plus légère 2.2 Le poids des piles n'est pas le même => la pièce contrefaite est plus lourde
Le problème du baron Munchausen
Le baron Munchausen a huit poids extérieurement identiques pesant 1 g, 2 g, 3 g, ..., 8 g. Il se souvient quel poids pèse combien, mais le comte Sclerosis ne le croit pas. Le baron pourra-t-il effectuer une pesée sur une balance à tasses, grâce à laquelle le poids d'au moins un des poids sera établi sans ambiguïté ?
7+8=1+2+3+4+5, ce qui laisse 6.
2N pièces
Il existe des pièces numérotées 2N, et : toutes les pièces réelles pèsent le même, toutes les pièces contrefaites pèsent également le même, la pièce contrefaite est plus légère que la vraie. les pièces portant des numéros de 1 à N sont réelles et les pièces portant des numéros de N+1 à 2N sont fausses. De ces deux affirmations, le juge ne connaît que la première, et l'expert connaît les deux. Comment un expert peut-il convaincre un juge de la véracité de la deuxième affirmation après trois pesées sur des balances à tasses sans poids ?
une : N=7
b : N=9
Le problème « a » a été proposé lors de l'une des Olympiades mathématiques de toute l'Union dans les années 1970. Depuis lors, N=7 (et en général, N=2^K-1 pour les pondérations K) a été considéré comme non améliorable. Et pourtant, ce n’est pas le cas. L'amélioration (problème "b") a été inventée par S. Tokarev en 1997.
a) 1) L'expert pèse les pièces 1 et 8. (1 > 8) Le juge est convaincu que le 8 est faux. 2) L'expert pèse 1+8 et 9+10. (1+8 > 9+10) Le juge est convaincu que 9+10 est plus facile qu'un faux et un vrai. Par conséquent, il conclut que 9 et 10 sont faux. 3) L'expert pèse 1+8+9+10 et 11+12+13+14. De même, le juge peut porter un jugement sur toutes les pièces 11 à 14. Notez qu’exactement une vraie pièce est nécessaire. b) Action préliminaire : l'expert regroupe les pièces dans les trois piles suivantes : A (1, 2 ; 10, 11) ; B (3, 4, 5 ; 12, 13, 14) ; B (6, 7, 8, 9 ; 15, 16, 17, 18) ; Chaque pile contient un nombre égal de pièces réelles et contrefaites, cela est connu de l'expert, mais cela sera prouvé au juge par pesée. 1) Les vraies pièces de la pile A et les fausses pièces de la pile B sont placées sur le plateau gauche de la balance, et les fausses pièces de la pile A et les vraies pièces de la pile B sont placées sur le plateau droit. Le plateau droit est plus lourd que celui de gauche. un. 2) Les vraies pièces de la pile B et les fausses pièces de la pile C sont placées sur le plateau gauche de la balance, et les fausses pièces de la pile B et les vraies pièces de la pile C sont placées sur le plateau droit. Le plateau droit est plus lourd que celui de gauche. un. 3) Les vraies pièces de la pile B et les fausses pièces des piles A et B sont placées sur le plateau gauche de la balance, et les fausses pièces de la pile B et les vraies pièces des piles A et B sont placées sur le plateau droit. plus lourd que celui de gauche. Soit x la différence de poids des pièces réelles et contrefaites dans la pile A, c'est-à-dire (1+2) -(10+11), y - pareil pour la pile B, soit (3+4+5)-(12+13+14), z - (6+7+8+9)- (15+16+17+18). Nos pesées ont prouvé au juge les trois inégalités suivantes : y > x ; z > y ; x+y > z. Puisque x,y,z sont des entiers, les inégalités strictes peuvent être remplacées par des inégalités non strictes : y >= x+1 z >= y+1 x+y >= z+1. D'où : x+y >= y+2 => x >= 2 ; x+y >= x+3 => y >= 3 ; 2z >= x+y+3 >= z+4 => z >= 4. D’un autre côté, il est évident que la différence entre K pièces réelles et K pièces inconnues ne peut pas être supérieure à K, et l’égalité ne se produit que lorsque toutes les pièces inconnues sont contrefaites. Cela prouve tout ce dont le juge a besoin... Notez que dans ce cas, 9 pièces réelles ne sont pas nécessaires ! Combien d’entre eux sont réellement nécessaires ? Pense... Un problème encore plus intéressant concerne quatre pesées. L’algorithme du problème a) permet à un expert de prouver que 15 pièces sont fausses. Une généralisation de l'algorithme de Tokarev permet d'améliorer cette estimation à 27.
Évasion de donjon
Le roi, son fils le prince et sa fille la princesse se trouvaient dans le cachot d'une haute tour. Ils pesaient respectivement 195, 105 et 90 livres. La nourriture leur était apportée dans deux paniers attachés aux extrémités d'une longue corde. La corde était lancée sur une poutre enfoncée sous le toit lui-même. Il s'est avéré que lorsqu'un panier était au sol, le second se trouvait au niveau de la fenêtre de la cellule des prisonniers. Ces paniers restaient le seul espoir de salut. Naturellement, dès qu’un panier devenait plus lourd que l’autre, il coulait. Cependant, si la différence de poids dépassait 15 livres, le panier chuterait vers le bas. La seule chose qui pourrait aider les prisonniers à s'échapper de captivité était le boulet de canon de 75 livres dans la cellule - ils pouvaient essayer de l'utiliser comme contrepoids. Comment les prisonniers ont-ils réussi à s’évader ?
1. La princesse descend en utilisant le boulet de canon comme contrepoids. 2. La princesse, arrivée à terre, ne sort pas du panier. Le prince prend la place du noyau et descend, utilisant la princesse comme contrepoids. 3. La princesse se lève et, avec le roi, met le boulet de canon dans le panier. 4. Le prince est assis dans le panier abaissé avec le boulet de canon, ce qui permet de faire descendre le roi. 5. Lorsque le roi est à terre, le prince avec le boulet de canon est au sommet. Le prince sort du panier et le panier avec le boulet de canon tombe. 6. La princesse est assise dans un panier vide près du donjon et descend au sol. 7. Le prince sort le boulet de canon du panier surélevé et descend lui-même, utilisant la princesse comme contrepoids. 8. La princesse abaisse le boulet de canon dans un panier vide, s'assoit dans celui surélevé et descend, en utilisant le boulet de canon comme contrepoids.
Pièces de 1999
Il existe un ensemble de pièces de 1999. On sait que 1 410 d’entre eux sont faux. Le poids d'une pièce contrefaite diffère de 1 g par rapport à une pièce authentique, et certaines pièces contrefaites peuvent être plus légères et d'autres plus lourdes que les pièces authentiques. Nous avons des balances à tasses qui peuvent montrer la différence de poids. Comment déterminer l'authenticité d'une pièce d'un ensemble en une seule pesée ?
Nous pesons toutes les pièces sauf celle-ci et regardons la différence de poids. Notons le poids d'une pièce normale par N, alors toutes les pièces pèseront soit 1998*N+2x (où 0=<705) - в данном случае наша монета настоящая, либо 1998*N+(2x-1) (где 0=<705) - в этом случае наша монета фальшивая.
Sac polypropylène 10 kg avec poignée
Nous proposons des sacs en polypropylène de 10 kg de qualité supérieure pour les petits produits de gros à des prix compétitifs. Il s'agit d'un emballage moderne et respectueux de l'environnement utilisé dans l'industrie alimentaire, le commerce de gros et de détail et l'agriculture. Le récipient est fabriqué en polypropylène primaire, un matériau synthétique aux propriétés de consommation élevées.
Le sac PP blanc 10 kg avec anse est destiné au conditionnement de produits à structure vrac : sucre, sel, farine, amidon, céréales, pâtes, légumineuses, graines, thé, café. La poignée découpée facilite le transport et le transport à la main. Le catalogue PromTrust présente des sacs alimentaires en polypropylène tissés de haute qualité, fabriqués conformément à GOST.
Les produits sont sans danger au contact des aliments, n'émettent pas de substances dangereuses et n'absorbent pas les odeurs. L'emballage répond aux exigences sanitaires et hygiéniques, ce qui est confirmé par les certificats de la Surveillance Sanitaire et Epidémiologique de l'Etat.
Champ d'application des sacs en polypropylène 10 kg
Un sac en polypropylène de 10 kg convient au conditionnement, au stockage et au transport de marchandises sèches en vrac. Peut être utilisé pour les produits alimentaires et non alimentaires. Le conteneur protège le contenu de l'humidité, de la poussière, de la pollution, du rayonnement solaire, des changements de température et des dommages causés par les insectes. Le produit est versé par le bas ou par le haut (selon le modèle) et l'emballage est cousu. Les fils à coudre pour sacs LSh-210, la machine GK-9 et d'autres modèles conviennent à la couture.
Avantages des sacs en polypropylène 10 kg
Le matériau se caractérise par sa résistance aux chocs, résiste aux flexions et aux frottements répétés. L'emballage est adapté au stockage à long terme des produits dans des conditions d'entrepôt. Avantages du produit :
- inertie chimique;
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- poids léger;
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Grâce à sa texture rugueuse, l'emballage ne glisse pas. Le conteneur n'est pas endommagé pendant le transport, évitant ainsi les pertes de production.
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