ऊर्जा संरक्षण के नियम के विषय पर सूत्र। यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम. ऊर्जा संरक्षण के नियम का सार

ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत बिल्कुल सटीक है, इसके उल्लंघन का कोई मामला दर्ज नहीं किया गया है। यह प्रकृति का मौलिक नियम है जिसका पालन अन्य लोग करते हैं। इसलिए, इसे सही ढंग से समझना और व्यवहार में इसे लागू करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।

मौलिक सिद्धांत

ऊर्जा की अवधारणा की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है। इसके विभिन्न प्रकार हैं: गतिज, तापीय, विभव, रासायनिक। लेकिन इससे बात स्पष्ट नहीं होती. ऊर्जा एक निश्चित मात्रात्मक विशेषता है, जो चाहे कुछ भी हो, पूरे सिस्टम के लिए स्थिर रहती है। आप स्लाइडिंग पक को रुकते हुए देख सकते हैं और घोषणा कर सकते हैं: ऊर्जा बदल गई है! वास्तव में, नहीं: यांत्रिक ऊर्जा थर्मल ऊर्जा में बदल गई, जिसका एक हिस्सा हवा में नष्ट हो गया, और इसका एक हिस्सा बर्फ को पिघलाने में चला गया।

चावल। 1. घर्षण पर काबू पाने में खर्च किए गए कार्य को तापीय ऊर्जा में बदलना।

गणितज्ञ एमी नोएदर यह साबित करने में सक्षम थे कि ऊर्जा की स्थिरता समय की एकरूपता की अभिव्यक्ति है। यह मात्रा समय समन्वय के साथ परिवहन के संबंध में अपरिवर्तनीय है, क्योंकि प्रकृति के नियम समय के साथ नहीं बदलते हैं।

हम कुल यांत्रिक ऊर्जा (ई) और उसके प्रकार - गतिज (टी) और क्षमता (वी) पर विचार करेंगे। यदि हम उन्हें जोड़ते हैं, तो हमें कुल के लिए एक अभिव्यक्ति मिलती है मेकेनिकल ऊर्जा:

$ई = टी + वी_((क्यू))$

संभावित ऊर्जा को $V_((q))$ के रूप में लिखकर, हम इंगित करते हैं कि यह पूरी तरह से सिस्टम के कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करता है। q से हमारा तात्पर्य सामान्यीकृत निर्देशांक से है। ये एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में x, y, z हो सकते हैं, या वे कोई अन्य भी हो सकते हैं। अधिकतर वे कार्टेशियन प्रणाली से निपटते हैं।

चावल। 2. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा।

यांत्रिकी में ऊर्जा संरक्षण के नियम का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है:

$\frac (d)(dt)(T+V_((q))) = 0$ - कुल यांत्रिक ऊर्जा का समय व्युत्पन्न शून्य है।

अपने सामान्य, अभिन्न रूप में, ऊर्जा संरक्षण के नियम का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

यांत्रिकी में, कानून पर प्रतिबंध लगाए जाते हैं: सिस्टम पर कार्य करने वाली ताकतें रूढ़िवादी होनी चाहिए (उनका कार्य केवल सिस्टम के कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करता है)। गैर-रूढ़िवादी बलों की उपस्थिति में, उदाहरण के लिए, घर्षण, यांत्रिक ऊर्जा को अन्य प्रकार की ऊर्जा (थर्मल, विद्युत) में परिवर्तित किया जाता है।

ऊष्मप्रवैगिकी

सतत गति मशीन बनाने के प्रयास विशेष रूप से 18वीं और 19वीं शताब्दी की विशेषता थे - वह युग जब पहले भाप इंजन बनाए गए थे। हालाँकि, असफलताएँ हुईं सकारात्मक परिणाम: ऊष्मागतिकी का पहला नियम तैयार किया गया था:

$Q = \Delta U + A$ - खर्च की गई गर्मी काम करने और बदलने पर खर्च होती है आंतरिक ऊर्जा. यह ऊर्जा संरक्षण के नियम से अधिक कुछ नहीं है, बल्कि ऊष्मा इंजनों के लिए है।

चावल। 3. भाप इंजन की योजना.

कार्य

1 किलो वजन का भार, एक धागे एल = 2 मीटर पर लटका हुआ था, विक्षेपित किया गया था ताकि उठाने की ऊंचाई 0.45 मीटर के बराबर हो गई, और प्रारंभिक गति के बिना जारी किया गया था। सबसे निचले बिंदु पर धागे में तनाव क्या होगा?

समाधान:

आइए उस समय y-अक्ष पर प्रक्षेपण में न्यूटन का दूसरा नियम लिखें जब शरीर निचले बिंदु से गुजरता है:

$ma = T – mg$, लेकिन चूँकि $a = \frac (v^2)(L)$, इसे एक नए रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

$m \cdot \frac (v^2)(L) = T – mg$

आइए अब ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखें, यह ध्यान में रखते हुए कि प्रारंभिक स्थिति में गतिज ऊर्जा शून्य के बराबर है, और निम्नतम बिंदु पर - संभावित ऊर्जाशून्य के बराबर:

$m \cdot g \cdot h = \frac (m \cdot v^2)(2)$

तब धागे का तनाव बल है:

$T = \frac (m \cdot 2 \cdot g \cdot h)(L) + mg = 10 \cdot (0.45 + 1) = 14.5 \: H$

हमने क्या सीखा?

पाठ के दौरान, हमने प्रकृति के एक मूलभूत गुण (समय की एकरूपता) को देखा, जिससे ऊर्जा संरक्षण का नियम चलता है, और भौतिकी की विभिन्न शाखाओं में इस नियम के उदाहरण देखे। सामग्री को सुरक्षित करने के लिए, हमने एक पेंडुलम के साथ समस्या का समाधान किया।

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यह वीडियो पाठ "यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम" विषय से स्वयं परिचित होने के लिए है। सबसे पहले, आइए कुल ऊर्जा और एक बंद प्रणाली को परिभाषित करें। फिर हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम बनाएंगे और विचार करेंगे कि इसे भौतिकी के किन क्षेत्रों में लागू किया जा सकता है। हम काम को भी परिभाषित करेंगे और उससे जुड़े सूत्रों को देखकर सीखेंगे कि इसे कैसे परिभाषित किया जाए।

पाठ का विषय प्रकृति के मूलभूत नियमों में से एक है - यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम.

हमने पहले क्षमता और के बारे में बात की थी गतिज ऊर्जा, और यह भी कि किसी पिंड में स्थितिज और गतिज ऊर्जा दोनों हो सकती हैं। यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के बारे में बात करने से पहले, आइए याद रखें कि यह क्या है कुल ऊर्जा. कुल यांत्रिक ऊर्जाकिसी पिंड की स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं का योग है।

यह भी याद रखें कि बंद सिस्टम किसे कहते हैं। बंद व्यवस्था- यह एक ऐसी प्रणाली है जिसमें एक दूसरे के साथ बातचीत करने वाले निकायों की एक सख्ती से परिभाषित संख्या होती है और इस प्रणाली पर बाहर से कोई अन्य निकाय कार्य नहीं करता है।

जब हमने कुल ऊर्जा और एक बंद प्रणाली की अवधारणा को परिभाषित कर लिया है, तो हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के बारे में बात कर सकते हैं। इसलिए, गुरुत्वाकर्षण बलों या लोचदार बलों (रूढ़िवादी बलों) के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करने वाले निकायों की एक बंद प्रणाली में कुल यांत्रिक ऊर्जा इन निकायों के किसी भी आंदोलन के दौरान अपरिवर्तित रहती है।

हम पहले ही संवेग संरक्षण नियम (एलसीएम) का अध्ययन कर चुके हैं:

अक्सर ऐसा होता है कि निर्धारित समस्याओं को केवल ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के नियमों की मदद से हल किया जा सकता है।

एक निश्चित ऊंचाई से किसी पिंड के मुक्त रूप से गिरने के उदाहरण का उपयोग करके ऊर्जा के संरक्षण पर विचार करना सुविधाजनक है। यदि कोई पिंड जमीन के सापेक्ष एक निश्चित ऊंचाई पर आराम की स्थिति में है, तो इस पिंड में स्थितिज ऊर्जा होती है। जैसे ही शरीर हिलना शुरू करता है, शरीर की ऊंचाई कम हो जाती है, और स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। इसी समय, गति बढ़ने लगती है और गतिज ऊर्जा प्रकट होती है। जब पिंड जमीन के करीब आता है, तो पिंड की ऊंचाई 0 होती है, स्थितिज ऊर्जा भी 0 होती है, और पिंड की गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी। यहीं पर स्थितिज ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में परिवर्तन दिखाई देता है (चित्र 1)। यही बात शरीर की उल्टी दिशा में, नीचे से ऊपर की ओर गति के बारे में भी कही जा सकती है, जब शरीर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है।

चावल। 1. एक निश्चित ऊंचाई से किसी पिंड का मुक्त रूप से गिरना

अतिरिक्त कार्य 1. "एक निश्चित ऊंचाई से किसी पिंड के गिरने पर"

समस्या 1

स्थिति

पिंड पृथ्वी की सतह से ऊंचाई पर है और स्वतंत्र रूप से गिरना शुरू कर देता है। जमीन के संपर्क के क्षण में शरीर की गति निर्धारित करें।

समाधान 1:

शरीर की प्रारंभिक गति. इसे खोजने की जरूरत है.

आइए ऊर्जा संरक्षण के नियम पर विचार करें।

चावल। 2. शारीरिक गतिविधि (कार्य 1)

शीर्ष बिंदु पर शरीर में केवल स्थितिज ऊर्जा होती है: . जब पिंड जमीन के करीब आता है, तो जमीन से ऊपर पिंड की ऊंचाई 0 के बराबर होगी, जिसका अर्थ है कि पिंड की स्थितिज ऊर्जा गायब हो गई है, यह गतिज ऊर्जा में बदल गई है:

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार हम लिख सकते हैं:

शरीर का वजन कम हो जाता है. उपरोक्त समीकरण को रूपांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: .

अंतिम उत्तर होगा: . यदि हम संपूर्ण मान को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है: .

उत्तर: .

किसी समस्या को कैसे हल करें इसका एक उदाहरण:

चावल। 3. समस्या क्रमांक 1 के समाधान का उदाहरण

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जैसे मुक्त गिरावट त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर आंदोलन।

समाधान 2 :

आइए अक्ष पर प्रक्षेपण में पिंड की गति का समीकरण लिखें:

जब पिंड पृथ्वी की सतह के करीब आएगा, तो उसका निर्देशांक 0 के बराबर होगा:

गुरुत्वाकर्षण त्वरण के पहले एक "-" चिह्न होता है क्योंकि यह चुने हुए अक्ष के विरुद्ध निर्देशित होता है।

ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि शरीर समय के साथ गिर गया। आइए अब गति के लिए समीकरण लिखें:

मुक्त गिरावट त्वरण को बराबर मानते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पिंड चयनित अक्ष की दिशा के विपरीत गति करता है।

उत्तर: .

दूसरी विधि का उपयोग करके समस्या संख्या 1 को हल करने का एक उदाहरण।

चावल। 4. समस्या क्रमांक 1 के समाधान का उदाहरण (विधि 2)

साथ ही, इस समस्या को हल करने के लिए, आप एक ऐसे सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो समय पर निर्भर नहीं करता है:

बेशक, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हमने घर्षण बलों की अनुपस्थिति को ध्यान में रखते हुए इस उदाहरण पर विचार किया, जो वास्तव में किसी भी प्रणाली में कार्य करते हैं। आइए सूत्रों की ओर मुड़ें और देखें कि यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम कैसे लिखा जाता है:

अतिरिक्त कार्य 2

एक पिंड ऊंचाई से स्वतंत्र रूप से गिरता है। निर्धारित करें कि किस ऊंचाई पर गतिज ऊर्जा संभावित ऊर्जा के एक तिहाई के बराबर है ()।

चावल। 5. समस्या क्रमांक 2 के लिए चित्रण

समाधान:

जब कोई पिंड ऊंचाई पर होता है, तो उसमें स्थितिज ऊर्जा होती है, और केवल स्थितिज ऊर्जा होती है। यह ऊर्जा सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: . यह शरीर की कुल ऊर्जा होगी।

जब कोई पिंड नीचे की ओर बढ़ना शुरू करता है, तो स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है, लेकिन साथ ही गतिज ऊर्जा भी बढ़ जाती है। जिस ऊँचाई को निर्धारित करने की आवश्यकता है, उस पर शरीर की पहले से ही एक निश्चित गति V होगी। ऊँचाई h के अनुरूप बिंदु के लिए, गतिज ऊर्जा का रूप होता है:

इस ऊंचाई पर स्थितिज ऊर्जा को इस प्रकार दर्शाया जाएगा: .

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार हमारी कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। यह ऊर्जा एक स्थिर मान रहता है. एक बिंदु के लिए हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं: (जेड.एस.ई. के अनुसार)।

यह याद रखते हुए कि समस्या की स्थितियों के अनुसार गतिज ऊर्जा है, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:।

कृपया ध्यान दें: गुरुत्वाकर्षण का द्रव्यमान और त्वरण कम हो जाता है, सरल परिवर्तनों के बाद हम पाते हैं कि जिस ऊँचाई पर यह संबंध संतुष्ट होता है।

उत्तर:

कार्य 2 का उदाहरण.

चावल। 6. समस्या संख्या 2 के समाधान की औपचारिकता

कल्पना करें कि संदर्भ के एक निश्चित फ्रेम में एक पिंड में गतिज और स्थितिज ऊर्जा होती है। यदि सिस्टम बंद है, तो किसी भी परिवर्तन के साथ पुनर्वितरण होता है, एक प्रकार की ऊर्जा का दूसरे प्रकार में परिवर्तन होता है, लेकिन कुल ऊर्जा मूल्य में समान रहती है (चित्र 7)।

चावल। 7. ऊर्जा संरक्षण का नियम

ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां एक कार क्षैतिज सड़क पर चल रही हो। ड्राइवर इंजन बंद कर देता है और इंजन बंद करके गाड़ी चलाता रहता है। इस मामले में क्या होता है (चित्र 8)?

चावल। 8. कार की आवाजाही

में इस मामले मेंएक कार में गतिज ऊर्जा होती है। लेकिन आप अच्छी तरह जानते हैं कि समय के साथ गाड़ी बंद हो जाएगी। इस मामले में ऊर्जा कहां गई? आख़िरकार, इस मामले में शरीर की संभावित ऊर्जा भी नहीं बदली; यह पृथ्वी के सापेक्ष किसी प्रकार का स्थिर मूल्य था। ऊर्जा परिवर्तन कैसे हुआ? इस मामले में, ऊर्जा का उपयोग घर्षण बलों पर काबू पाने के लिए किया गया था। यदि किसी प्रणाली में घर्षण होता है तो इसका प्रभाव उस प्रणाली की ऊर्जा पर भी पड़ता है। आइए देखें कि इस मामले में ऊर्जा में परिवर्तन कैसे दर्ज किया जाता है।

ऊर्जा बदलती है, और ऊर्जा में यह परिवर्तन घर्षण बल के विरुद्ध कार्य द्वारा निर्धारित होता है। हम सूत्र का उपयोग करके घर्षण बल का कार्य निर्धारित कर सकते हैं, जिसे कक्षा 7 से जाना जाता है (बल और विस्थापन विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं):

इसलिए, जब हम ऊर्जा और कार्य के बारे में बात करते हैं, तो हमें यह समझना चाहिए कि हर बार हमें इस तथ्य को ध्यान में रखना चाहिए कि ऊर्जा का कुछ हिस्सा घर्षण बलों पर काबू पाने में खर्च होता है। घर्षण बलों पर काबू पाने के लिए काम किया जा रहा है। कार्य एक मात्रा है जो किसी शरीर की ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाती है।

पाठ को समाप्त करने के लिए, मैं यह कहना चाहूंगा कि कार्य और ऊर्जा अनिवार्य रूप से अभिनय बलों के माध्यम से संबंधित मात्राएं हैं।

अतिरिक्त कार्य 3

दो पिंड - द्रव्यमान का एक ब्लॉक और द्रव्यमान की एक प्लास्टिसिन गेंद - समान गति () के साथ एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं। टक्कर के बाद, प्लास्टिसिन बॉल ब्लॉक से चिपक जाती है, दोनों शरीर एक साथ चलते रहते हैं। निर्धारित करें कि यांत्रिक ऊर्जा का कौन सा हिस्सा इन निकायों की आंतरिक ऊर्जा में बदल गया, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि ब्लॉक का द्रव्यमान प्लास्टिसिन बॉल () के द्रव्यमान से 3 गुना अधिक है।

समाधान:

आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को इसके द्वारा निरूपित किया जा सकता है। जैसा कि आप जानते हैं, ऊर्जा कई प्रकार की होती है। यांत्रिक ऊर्जा के अलावा तापीय, आंतरिक ऊर्जा भी होती है।

ऊर्जा संरक्षण का नियम कहता है कि किसी पिंड की ऊर्जा कभी गायब नहीं होती या दोबारा प्रकट नहीं होती, इसे केवल एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित किया जा सकता है। यह कानून सार्वभौमिक है. भौतिकी की विभिन्न शाखाओं में इसका अपना सूत्रीकरण है। शास्त्रीय यांत्रिकी यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर विचार करती है।

भौतिक निकायों की एक बंद प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा, जिसके बीच रूढ़िवादी बल कार्य करते हैं, एक स्थिर मान है। इस प्रकार न्यूटन का ऊर्जा संरक्षण का नियम प्रतिपादित हुआ।

एक बंद, या अलग-थलग, भौतिक प्रणाली को वह माना जाता है जो बाहरी ताकतों से प्रभावित नहीं होती है। आस-पास के स्थान के साथ ऊर्जा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, और उसकी अपनी ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है, अर्थात वह संरक्षित रहती है। ऐसी प्रणाली में, केवल आंतरिक बल कार्य करते हैं, और निकाय एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। इसमें केवल स्थितिज ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में परिवर्तन और इसके विपरीत ही हो सकता है।

बंद प्रणाली का सबसे सरल उदाहरण स्नाइपर राइफल और बुलेट है।

यांत्रिक बलों के प्रकार

एक यांत्रिक प्रणाली के अंदर कार्य करने वाली ताकतों को आमतौर पर रूढ़िवादी और गैर-रूढ़िवादी में विभाजित किया जाता है।

रूढ़िवादीउन बलों को माना जाता है जिनका कार्य शरीर के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं करता है जिस पर उन्हें लागू किया जाता है, बल्कि केवल इस शरीर की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति से निर्धारित होता है। रूढ़िवादी ताकतों को भी कहा जाता है संभावना. किसी बंद लूप के अनुदिश ऐसे बलों द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। रूढ़िवादी ताकतों के उदाहरण – गुरुत्वाकर्षण, लोचदार बल.

अन्य सभी बलों को बुलाया जाता है गैर रूढ़िवादी. इसमे शामिल है घर्षण बल और प्रतिरोध बल. उन्हें भी बुलाया जाता है क्षणिकबल. ये बल, किसी बंद यांत्रिक प्रणाली में किसी भी गति के दौरान, नकारात्मक कार्य करते हैं, और उनकी कार्रवाई के तहत, सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा कम हो जाती है (खत्म हो जाती है)। यह ऊर्जा के अन्य, गैर-यांत्रिक रूपों में परिवर्तित हो जाता है, उदाहरण के लिए, गर्मी। अत: किसी बंद यांत्रिक प्रणाली में ऊर्जा संरक्षण का नियम तभी पूरा हो सकता है जब उसमें कोई गैर-संरक्षी बल न हों।

एक यांत्रिक प्रणाली की कुल ऊर्जा में गतिज और स्थितिज ऊर्जा शामिल होती है और यह उनका योग है। इस प्रकार की ऊर्जाएँ एक-दूसरे में परिवर्तित हो सकती हैं।

संभावित ऊर्जा

संभावित ऊर्जा भौतिक पिंडों या उनके भागों की एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया की ऊर्जा कहलाती है। यह उनकी सापेक्ष स्थिति से निर्धारित होता है, अर्थात, उनके बीच की दूरी, और उस कार्य के बराबर है जो रूढ़िवादी ताकतों की कार्रवाई के क्षेत्र में शरीर को संदर्भ बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए किए जाने की आवश्यकता है।

कुछ ऊंचाई तक उठाए गए किसी भी गतिहीन भौतिक शरीर में संभावित ऊर्जा होती है, क्योंकि यह गुरुत्वाकर्षण द्वारा कार्य करता है, जो एक रूढ़िवादी बल है। ऐसी ऊर्जा झरने के किनारे के पानी और पहाड़ की चोटी पर स्लेज में होती है।

यह ऊर्जा कहां से आई? जबकि भौतिक शरीर को ऊंचाई तक उठाया गया था, काम किया गया था और ऊर्जा खर्च की गई थी। यह वह ऊर्जा है जो उभरे हुए शरीर में संग्रहित होती है। और अब यह ऊर्जा काम करने के लिए तैयार है।

किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा की मात्रा उस ऊंचाई से निर्धारित होती है जिस पर पिंड किसी प्रारंभिक स्तर के सापेक्ष स्थित है। हम अपने द्वारा चुने गए किसी भी बिंदु को संदर्भ बिंदु के रूप में ले सकते हैं।

यदि हम पृथ्वी के सापेक्ष पिंड की स्थिति पर विचार करें, तो पृथ्वी की सतह पर पिंड की स्थितिज ऊर्जा शून्य है। और शीर्ष पर एच इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

ई पी = म ɡ एच ,

कहाँ एम – शरीर का वजन

ɡ - मुक्त गिरावट त्वरण

एच -पृथ्वी के सापेक्ष पिंड के द्रव्यमान केंद्र की ऊंचाई

ɡ = 9.8 मी/से 2

जब कोई पिंड ऊंचाई से गिरता है ज 1 ऊंचाई तक ज 2 गुरुत्वाकर्षण काम करता है. यह कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है और है नकारात्मक मूल्यचूँकि किसी पिंड के गिरने पर स्थितिज ऊर्जा की मात्रा कम हो जाती है।

ए = - ( ई पी2 - ई पी1) = - ∆ ई पी ,

कहाँ ई प1 - ऊंचाई पर शरीर की स्थितिज ऊर्जा ज 1 ,

ई पी2 - ऊंचाई पर शरीर की संभावित ऊर्जा ज 2 .

यदि शरीर को एक निश्चित ऊंचाई तक उठाया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है। इस मामले में इसका एक सकारात्मक मूल्य है. और शरीर की स्थितिज ऊर्जा की मात्रा बढ़ जाती है।

प्रत्यास्थ रूप से विकृत पिंड (संपीड़ित या फैला हुआ स्प्रिंग) में भी स्थितिज ऊर्जा होती है। इसका मूल्य स्प्रिंग की कठोरता और उस लंबाई पर निर्भर करता है जिस पर इसे संपीड़ित या फैलाया गया था, और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ई पी = के·(∆x) 2 /2 ,

कहाँ के – कठोरता गुणांक,

∆x - शरीर का लंबा होना या सिकुड़ना।

स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा कार्य कर सकती है।

गतिज ऊर्जा

ग्रीक से अनुवादित, "किनेमा" का अर्थ है "आंदोलन।" वह ऊर्जा जो किसी भौतिक शरीर को उसकी गति के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है, कहलाती है गतिज. इसका मूल्य गति की गति पर निर्भर करता है।

पूरे मैदान में घूमना सॉकर बॉल, एक स्लेज एक पहाड़ से लुढ़कती हुई और चलती रहती है, एक धनुष से छोड़ा गया एक तीर - इन सभी में गतिज ऊर्जा होती है।

यदि कोई पिंड आराम की स्थिति में है, तो उसकी गतिज ऊर्जा शून्य है। जैसे ही एक बल या कई बल किसी पिंड पर कार्य करते हैं, वह चलना शुरू कर देगा। और चूंकि शरीर गति करता है, इसलिए उस पर कार्य करने वाला बल कार्य करता है। बल का कार्य, जिसके प्रभाव में कोई पिंड आराम की अवस्था से गति में आ जाता है और अपनी गति को शून्य से बदल देता है ν , बुलाया गतिज ऊर्जा शरीर का भार एम .

यदि समय के प्रारंभिक क्षण में शरीर पहले से ही गति में था, और उसकी गति मायने रखती थी ν 1 , और अंतिम क्षण में यह बराबर था ν 2 , तो शरीर पर कार्य करने वाले बल या बलों द्वारा किया गया कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होगा।

∆ ई के = ई के 2 - एक 1

यदि बल की दिशा गति की दिशा से मेल खाती है, तो सकारात्मक कार्य होता है और शरीर की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। और यदि बल को गति की दिशा के विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाता है, तो नकारात्मक कार्य होता है, और शरीर गतिज ऊर्जा छोड़ता है।

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

ईके 1 + ई प1= ई के 2 + ई पी2

किसी ऊंचाई पर स्थित किसी भी भौतिक पिंड में स्थितिज ऊर्जा होती है। लेकिन जब यह गिरता है तो यह ऊर्जा खोने लगती है। वह कहाँ गई? इससे पता चलता है कि यह कहीं गायब नहीं होता, बल्कि उसी पिंड की गतिज ऊर्जा में बदल जाता है।

कल्पना करना , भार निश्चित रूप से एक निश्चित ऊंचाई पर तय होता है। इस बिंदु पर इसकी स्थितिज ऊर्जा इसके अधिकतम मान के बराबर है।यदि हम इसे जाने दें तो यह एक निश्चित गति से गिरना शुरू हो जाएगा। नतीजतन, यह गतिज ऊर्जा प्राप्त करना शुरू कर देगा। लेकिन साथ ही इसकी स्थितिज ऊर्जा कम होने लगेगी। प्रभाव के बिंदु पर, शरीर की गतिज ऊर्जा अधिकतम तक पहुंच जाएगी, और संभावित ऊर्जा शून्य हो जाएगी।

ऊंचाई से फेंकी गई गेंद की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है, लेकिन उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। पहाड़ की चोटी पर आराम कर रहे स्लेज में स्थितिज ऊर्जा होती है। इस समय उनकी गतिज ऊर्जा शून्य है। लेकिन जब वे नीचे लुढ़कने लगेंगे तो गतिज ऊर्जा बढ़ जाएगी और स्थितिज ऊर्जा उसी मात्रा में कम हो जाएगी। और उनके मूल्यों का योग अपरिवर्तित रहेगा. पेड़ पर लटके सेब के गिरने पर उसकी स्थितिज ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

ये उदाहरण स्पष्ट रूप से ऊर्जा संरक्षण के नियम की पुष्टि करते हैं, जो ऐसा कहता है एक यांत्रिक प्रणाली की कुल ऊर्जा एक स्थिर मान है . सिस्टम की कुल ऊर्जा नहीं बदलती है, लेकिन स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदल जाती है और इसके विपरीत।

स्थितिज ऊर्जा जितनी मात्रा में घटती है, गतिज ऊर्जा उतनी ही मात्रा में बढ़ती है। उनकी राशि नहीं बदलेगी.

भौतिक निकायों की एक बंद प्रणाली के लिए निम्नलिखित समानता सत्य है:
ई के1 + ई पी1 = ई के2 + ई पी2,
कहाँ ई के1 , ई पी1 - किसी भी अंतःक्रिया से पहले सिस्टम की गतिज और स्थितिज ऊर्जाएँ, ई के2 , ई पी2 - इसके बाद संबंधित ऊर्जाएँ।

गतिज ऊर्जा को संभावित ऊर्जा में और इसके विपरीत परिवर्तित करने की प्रक्रिया को एक झूलते हुए पेंडुलम को देखकर देखा जा सकता है।

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एकदम सही स्थिति में होने के कारण पेंडुलम जमने लगता है। इस समय सन्दर्भ बिन्दु से इसकी ऊँचाई अधिकतम होती है। अतः स्थितिज ऊर्जा भी अधिकतम होती है। और गतिज मान शून्य है, क्योंकि यह गतिमान नहीं है। लेकिन अगले ही पल पेंडुलम नीचे की ओर बढ़ने लगता है. इसकी गति बढ़ जाती है, और इसलिए, इसकी गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। लेकिन जैसे-जैसे ऊंचाई घटती है, वैसे-वैसे स्थितिज ऊर्जा भी घटती है। निम्नतम बिंदु पर यह शून्य के बराबर हो जाएगी, और गतिज ऊर्जा अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाएगी। पेंडुलम इस बिंदु से आगे निकल जाएगा और बाईं ओर ऊपर उठना शुरू कर देगा। इसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ने लगेगी और इसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाएगी। वगैरह।

ऊर्जा परिवर्तनों को प्रदर्शित करने के लिए, आइजैक न्यूटन नामक एक यांत्रिक प्रणाली लेकर आए न्यूटन के उद्गम स्थल या न्यूटन की गेंदें .

चित्र पर क्लिक करें

यदि आप किनारे की ओर विक्षेपित करते हैं और फिर पहली गेंद को छोड़ देते हैं, तो इसकी ऊर्जा और गति तीन मध्यवर्ती गेंदों के माध्यम से अंतिम में स्थानांतरित हो जाएगी, जो गतिहीन रहेगी। और आखिरी गेंद उसी गति से विक्षेपित होगी और पहली गेंद के समान ऊंचाई तक उठेगी। फिर आखिरी गेंद अपनी ऊर्जा और गति को मध्यवर्ती गेंदों के माध्यम से पहली आदि में स्थानांतरित कर देगी।

साइड में घुमाई गई गेंद में अधिकतम स्थितिज ऊर्जा होती है। इस समय इसकी गतिज ऊर्जा शून्य है। चलना शुरू करने पर, यह संभावित ऊर्जा खो देता है और गतिज ऊर्जा प्राप्त कर लेता है, जो दूसरी गेंद से टकराने के समय अधिकतम तक पहुंच जाती है, और संभावित ऊर्जा शून्य के बराबर हो जाती है। इसके बाद, गतिज ऊर्जा को दूसरी, फिर तीसरी, चौथी और पांचवीं गेंदों में स्थानांतरित किया जाता है। उत्तरार्द्ध, गतिज ऊर्जा प्राप्त करके, चलना शुरू कर देता है और उसी ऊंचाई तक बढ़ जाता है जिस पर पहली गेंद अपने आंदोलन की शुरुआत में थी। इस समय इसकी गतिज ऊर्जा शून्य है, और इसकी स्थितिज ऊर्जा इसके अधिकतम मान के बराबर है। फिर यह गिरना शुरू कर देता है और उसी तरह उल्टे क्रम में गेंदों में ऊर्जा स्थानांतरित करता है।

यह काफी लंबे समय तक जारी रहता है और यदि गैर-रूढ़िवादी ताकतें मौजूद नहीं होतीं तो यह अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। लेकिन वास्तव में, प्रणाली में विघटनकारी शक्तियां कार्य करती हैं, जिनके प्रभाव में गेंदें अपनी ऊर्जा खो देती हैं। उनकी गति और आयाम धीरे-धीरे कम होते जाते हैं। और अंततः वे रुक जाते हैं। इससे पुष्टि होती है कि ऊर्जा संरक्षण का नियम गैर-रूढ़िवादी बलों की अनुपस्थिति में ही संतुष्ट होता है।

ऊर्जा एक अदिश राशि है. ऊर्जा की SI इकाई जूल है।

गतिज और स्थितिज ऊर्जा

ऊर्जा दो प्रकार की होती है - गतिज और स्थितिज।

परिभाषा

गतिज ऊर्जा- यह वह ऊर्जा है जो किसी पिंड में उसकी गति के कारण होती है:

परिभाषा

संभावित ऊर्जावह ऊर्जा है जो पिंडों की सापेक्ष स्थिति के साथ-साथ इन पिंडों के बीच परस्पर क्रिया बलों की प्रकृति से निर्धारित होती है।

पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा पृथ्वी के साथ किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण संपर्क के कारण होने वाली ऊर्जा है। यह पृथ्वी के सापेक्ष पिंड की स्थिति से निर्धारित होता है और पिंड को इधर-उधर ले जाने के कार्य के बराबर होता है यह प्रावधानशून्य स्तर तक:

संभावित ऊर्जा वह ऊर्जा है जो शरीर के अंगों की एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया के कारण उत्पन्न होती है। यह एक विकृत स्प्रिंग के तनाव (संपीड़न) में बाहरी बलों के कार्य के बराबर है:

एक पिंड में एक साथ गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों हो सकती हैं।

किसी पिंड या पिंडों के तंत्र की कुल यांत्रिक ऊर्जा पिंड (पिंडों के तंत्र) की गतिज और संभावित ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:

ऊर्जा संरक्षण का नियम

निकायों की एक बंद प्रणाली के लिए, ऊर्जा संरक्षण का नियम मान्य है:

ऐसे मामले में जब किसी पिंड (या पिंडों की प्रणाली) पर बाहरी ताकतों द्वारा कार्रवाई की जाती है, उदाहरण के लिए, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम संतुष्ट नहीं होता है। इस मामले में, शरीर की कुल यांत्रिक ऊर्जा (निकायों की प्रणाली) में परिवर्तन बाहरी ताकतों के बराबर है:

ऊर्जा संरक्षण का नियम हमें इनके बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है विभिन्न रूपपदार्थ की गति. जैसे, यह न केवल सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए, बल्कि सभी के लिए भी मान्य है। ऊर्जा संरक्षण का नियम कहता है कि प्रकृति में ऊर्जा को उसी प्रकार नष्ट नहीं किया जा सकता, जिस प्रकार इसे शून्य से निर्मित नहीं किया जा सकता।

सबसे ज्यादा में सामान्य रूप से देखेंऊर्जा संरक्षण का नियम इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:

• प्रकृति में ऊर्जा न तो लुप्त होती है और न ही दोबारा बनती है, बल्कि केवल एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित होती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:निकायों की एक प्रणाली में जिसके बीच केवल रूढ़िवादी बल कार्य करते हैं, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है, यानी समय के साथ नहीं बदलती है:

यांत्रिक प्रणालियाँ जिनके शरीर पर केवल रूढ़िवादी ताकतों (आंतरिक और बाहरी) द्वारा कार्य किया जाता है, कहलाती हैं रूढ़िवादी प्रणालियाँ.

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियमनिम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: रूढ़िवादी प्रणालियों में, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है।

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम समय की एकरूपता से जुड़ा है। समय की एकरूपता इस तथ्य में प्रकट होती है कि समय संदर्भ बिंदु के चुनाव के संबंध में भौतिक नियम अपरिवर्तनीय हैं।

एक अन्य प्रकार की व्यवस्था है - विघटनकारी प्रणालियाँ, जिसमें यांत्रिक ऊर्जा को ऊर्जा के अन्य (गैर-यांत्रिक) रूपों में परिवर्तित करके धीरे-धीरे कम किया जाता है। इस प्रक्रिया को कहा जाता है ऊर्जा का अपव्यय (या बिखराव)।.

रूढ़िवादी प्रणालियों में, कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। केवल गतिज ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा में और वापस समतुल्य मात्रा में परिवर्तित किया जा सकता है ताकि कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहे।

ये कानून सिर्फ एक कानून नहीं है मात्रात्मकऊर्जा का संरक्षण, और ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन का नियम, व्यक्त करना और उच्च गुणवत्ताआंदोलन के विभिन्न रूपों के एक दूसरे में पारस्परिक परिवर्तन का पक्ष।

ऊर्जा के संरक्षण एवं परिवर्तन का नियम - प्रकृति का मौलिक नियम, यह स्थूल निकायों की प्रणालियों और सूक्ष्म निकायों की प्रणालियों दोनों के लिए मान्य है।

एक ऐसी प्रणाली में जिसमें वे भी काम करते हैं गैर-रूढ़िवादी ताकतें, उदाहरण के लिए, घर्षण बल, प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा सहेजा नहीं गया. हालाँकि, जब यांत्रिक ऊर्जा "गायब" हो जाती है, तो किसी अन्य प्रकार की ऊर्जा की समतुल्य मात्रा हमेशा प्रकट होती है।

14. किसी कठोर पिंड का जड़त्व आघूर्ण. आवेग का क्षण. स्टीनर का प्रमेय.

निष्क्रियता के पलकिसी दिए गए अक्ष के सापेक्ष प्रणाली (निकाय) एक भौतिक मात्रा है जो सिस्टम के n भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर होती है जो कि प्रश्न में अक्ष से उनकी दूरी के वर्ग द्वारा होती है:

योग उन सभी प्राथमिक द्रव्यमानों m पर किया जाता है जिनमें शरीर विभाजित होता है।

द्रव्यमान के निरंतर वितरण के मामले में, यह योग एक अभिन्न तक कम हो जाता है: जहां एकीकरण शरीर के पूरे आयतन पर किया जाता है।

इस मामले में मान r निर्देशांक x, y, z वाले बिंदु की स्थिति का एक फलन है। निष्क्रियता के पल- परिमाण additive: एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण उसी अक्ष के सापेक्ष शरीर के हिस्सों की जड़ता के क्षणों के योग के बराबर होता है।

यदि किसी पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष जड़ता का क्षण ज्ञात है, तो किसी अन्य समानांतर अक्ष के सापेक्ष जड़ता का क्षण निर्धारित किया जाता है स्टीनर का प्रमेय:

एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड J की जड़ता का क्षण, पिंड के द्रव्यमान C के केंद्र से गुजरने वाली समानांतर धुरी के सापेक्ष उसके जड़त्व Jc के क्षण के बराबर होता है, जिसे शरीर के द्रव्यमान और उसके वर्ग के गुणनफल में जोड़ा जाता है। अक्षों के बीच की दूरी a:

कुछ पिंडों की जड़ता के क्षणों के उदाहरण (पिंडों को सजातीय माना जाता है, m पिंड का द्रव्यमान है):

संवेग (गति)एक निश्चित बिंदु O के सापेक्ष भौतिक बिंदु A, वेक्टर उत्पाद द्वारा निर्धारित एक भौतिक मात्रा है:

जहाँ r बिंदु O से बिंदु A तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर है;

पी = एमवी - एक भौतिक बिंदु की गति;

एल एक छद्म-वेक्टर है, इसकी दिशा दाएं प्रोपेलर की ट्रांसलेशनल गति की दिशा से मेल खाती है क्योंकि यह से घूमता है।

कोणीय संवेग वेक्टर का मापांक:

जहां a सदिश r और p के बीच का कोण है;

एल - बिंदु ओ के सापेक्ष वेक्टर पी की भुजा।

स्थिर अक्ष z के सापेक्ष संवेगइस अक्ष के एक मनमाना बिंदु O के सापेक्ष परिभाषित कोणीय गति वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर एक अदिश राशि Lz कहलाती है। कोणीय संवेग Lz, z अक्ष पर बिंदु O की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।

बिल्कुल घूमते समय ठोसएक निश्चित अक्ष z के चारों ओर, शरीर का प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु एक निश्चित गति Vi के साथ स्थिर त्रिज्या r के एक चक्र में घूमता है। वेग Vi और संवेग mV इस त्रिज्या के लंबवत हैं, अर्थात त्रिज्या वेक्टर की एक भुजा है। इसलिए, एक व्यक्तिगत कण का कोणीय संवेग बराबर होता है:

एक कठोर पिंड का संवेगअक्ष के सापेक्ष व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेग का योग है:

सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि एक अक्ष के सापेक्ष किसी ठोस पिंड का कोणीय संवेग उसी अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता के क्षण और कोणीय वेग के उत्पाद के बराबर होता है: