"ऑर्डर" शब्द का प्रयोग अक्सर विभिन्न मुद्दों में किया जाता है। अधिकारी आदेश देता है: "संख्याओं के क्रम के अनुसार गणना करें", अंकगणितीय संचालन एक निश्चित क्रम में किए जाते हैं, एथलीटों को ऊंचाई के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है, एक हिस्सा बनाते समय संचालन करने का एक आदेश होता है, शब्दों का एक क्रम होता है एक वाक्य में.
ऑर्डर के बारे में बात करते समय सभी मामलों में क्या सामान्य है? तथ्य यह है कि शब्द "ऑर्डर" का निम्नलिखित अर्थ है: इसका मतलब है कि इस या उस सेट का कौन सा तत्व किसका अनुसरण करता है (या कौन सा तत्व किससे पहले आता है)।
नज़रिया " एक्सइस प्रकार पर"सकर्मक: यदि" एक्सइस प्रकार पर" और " परइस प्रकार जेड", वह " एक्सइस प्रकार जेड" इसके अलावा, यह रिश्ता एंटीसिमेट्रिक होना चाहिए: दो अलग-अलग के लिए एक्सऔर पर, अगर एक्सइस प्रकार पर, वह परपालन नहीं करता एक्स.
परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया नज़रिया सख्त आदेश , यदि यह सकर्मक और असिमेट्रिक है।
आइए सख्त क्रम के संबंधों के ग्राफ और ग्राफ की विशेषताओं का पता लगाएं।
आइए एक उदाहरण देखें. सेट पर एक्स= (5, 7, 10, 15, 12) दिया गया अनुपात आर: « एक्स < पर" आइए जोड़ियों को सूचीबद्ध करके इस संबंध को परिभाषित करें
आर = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
चलिए इसका ग्राफ बनाते हैं. हम देखते हैं कि इस संबंध के ग्राफ़ में कोई लूप नहीं है। ग्राफ़ पर नहीं दोहरा तीर. यदि से एक्सतीर जाता है पर, और से पर- वी जेड, फिर से एक्सतीर जाता है जेड(चित्र 8)।
निर्मित ग्राफ़ आपको सेट के तत्वों को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है एक्सइस क्रम में:
{5, 7, 10, 12, 15}.
चित्र 6 (इस अध्याय के § 6) में, कॉलम VII, VIII सख्त क्रम के संबंधों के ग्राफ हैं।
गैर सख्त संबंध
एक सेट में संबंध "कम"। वास्तविक संख्याइसके विपरीत "कोई कम नहीं" रवैया है। यह अब सख्त आदेश का संबंध नहीं है. मुद्दा यह है कि कब एक्स = पर, रिश्ते निभाए जाते हैं एक्स ³ परऔर पर ³ एक्स, यानी "कोई कम नहीं" रवैया चिंतनशील है।
परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया गैर सख्त संबंध, यदि यह रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है।
ऐसे संबंध एक पहचान संबंध के साथ एक सख्त आदेश संबंध के मिलन हैं।
सेट के लिए संबंध "अब और नहीं" (£) पर विचार करें
एक्स= (5, 7, 10, 15, 12). आइए इसका ग्राफ बनाएं (चित्र 9)।
एक सख्त आदेश संबंध ग्राफ के विपरीत, एक गैर-सख्त आदेश संबंध ग्राफ में प्रत्येक शीर्ष पर लूप होते हैं।
चित्र में. 6 (§ इस अध्याय के 6) कॉलम वी, VI गैर-सख्त क्रम के संबंधों के ग्राफ हैं।
सेट का ऑर्डर दिया गया
एक सेट किसी ऑर्डर रिलेशन द्वारा ऑर्डर किया जा सकता है (वे यह भी कहते हैं कि पूरी तरह से ऑर्डर किया गया है), जबकि दूसरा सेट ऐसे रिलेशन द्वारा अव्यवस्थित या आंशिक रूप से ऑर्डर किया जा सकता है।
परिभाषा।अनेक एक्सबुलाया आदेश दियाकुछ आदेश संबंध आर, यदि किन्हीं दो तत्वों के लिए एक्स, वाईसे एक्स:
(एक्स, पर) Î आरया ( वाई, एक्स) Î आर.
अगर आरसख्त आदेश का संबंध है, फिर सेट एक्सइस संबंध द्वारा आदेश दिया गया है: यदि एक्स, परसमुच्चय के कोई दो असमान तत्व एक्स, वह ( एक्स, पर) Î आरया ( वाई, एक्स) Î आर, या कोई दो तत्व एक्स, वाईसेट एक्सबराबर हैं.
स्कूली गणित पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि संख्याएँ निर्धारित होती हैं एन , जेड , क्यू , आर संबंध "से कम" द्वारा आदेशित (<).
किसी निश्चित समुच्चय के उपसमुच्चय को उपरोक्त अर्थ में समावेशन संबंध (I), या सख्त समावेशन (S) को प्रस्तुत करके क्रमबद्ध नहीं किया जाता है, क्योंकि उपसमुच्चय हैं, जिनमें से कोई भी दूसरे में शामिल नहीं है। इस मामले में, हम कहते हैं कि दिया गया सेट आंशिक रूप से संबंध Í (या Ì) द्वारा क्रमबद्ध है।
सेट पर विचार करें एक्स= (1, 2, 3, 4, 5, 6) और इसमें दो संबंध हैं "से कम" और "से विभाजित"। यह सत्यापित करना आसान है कि ये दोनों संबंध ऑर्डर संबंध हैं। "इससे कम" संबंध ग्राफ़ को एक किरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।
"विभाजित" संबंध का ग्राफ़ केवल एक समतल पर दर्शाया जा सकता है।
इसके अलावा, दूसरे संबंध के ग्राफ़ में ऐसे शीर्ष हैं जो एक तीर से जुड़े नहीं हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 4 और 5 को जोड़ने वाला कोई तीर नहीं है (चित्र 10)।
पहला रिश्ता" एक्स < पर"रेखीय कहा जाता है. सामान्य तौर पर, यदि संबंध व्यवस्थित है आर(सख्त और गैर-सख्त) सेट पर एक्ससंपत्ति है: किसी के लिए एक्स, परÎ एक्सया xRy, या yRx, तो इसे रैखिक क्रम संबंध और समुच्चय कहा जाता है एक्स- एक रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट।
यदि सेट एक्सबेशक, और इसमें शामिल है एनतत्व, फिर रैखिक क्रम एक्सइसके तत्वों को 1,2,3, ..., संख्याओं के साथ क्रमांकित करने के लिए नीचे आता है एन.
रैखिक रूप से क्रमित सेट में कई गुण होते हैं:
1°. होने देना ए, बी, सी- सेट के तत्व एक्स, संबंध द्वारा आदेश दिया गया आर. यदि यह ज्ञात हो तो आर.वीऔर आरएसयू में, तो वे कहते हैं कि तत्व वीतत्वों के बीच स्थित है एऔर साथ.
2°. अनेक एक्स, संबंध द्वारा रैखिक रूप से क्रमबद्ध आर, असतत कहलाता है यदि इसके किन्हीं दो तत्वों के बीच इस समुच्चय के तत्वों का केवल एक सीमित समुच्चय हो।
3°. एक रैखिक क्रमित समुच्चय को सघन कहा जाता है यदि इस समुच्चय के किन्हीं दो भिन्न तत्वों के बीच समुच्चय का एक अवयव स्थित हो।
द्विआधारी संबंधों का एक महत्वपूर्ण प्रकार ऑर्डर संबंध है। सख्त आदेश संबंध -एक द्विआधारी संबंध जो एंटी-रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव है:
पद का नाम - (एपछाड़ बी)।उदाहरणों में शामिल हैं
संबंध "अधिक", "कम", "पुराना", आदि। संख्याओं के लिए, सामान्य संकेतन चिह्न हैं "<", ">".
गैर सख्त आदेश संबंध -बाइनरी रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव संबंध। संख्याओं के लिए गैर-सख्त असमानताओं के प्राकृतिक उदाहरणों के साथ, एक उदाहरण "निर्देशांक की उत्पत्ति के करीब होने के लिए" विमान या स्थान के बिंदुओं के बीच का संबंध हो सकता है। पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं के लिए गैर-सख्त असमानता को समानता और सख्त आदेश के संबंधों के विच्छेदन के रूप में भी माना जा सकता है।
यदि कोई खेल टूर्नामेंट स्थानों के विभाजन का प्रावधान नहीं करता है (अर्थात, प्रत्येक प्रतिभागी को एक निश्चित, केवल खाने/पुरस्कृत स्थान मिलता है), तो यह एक सख्त आदेश का एक उदाहरण है; अन्यथा, यह सख्त नहीं है.
किसी समुच्चय पर क्रम संबंध तब स्थापित होते हैं जब उसके तत्वों के कुछ या सभी युग्मों के लिए संबंध स्थापित होता है
पूर्वता. कार्य - कुछ क्रम संबंध के एक सेट के लिए कहा जाता है इसकी "व्यवस्था,और इसके परिणामस्वरूप "स्वयं सेट" हो जाता है आदेश दिया.ऑर्डर संबंधों को विभिन्न तरीकों से पेश किया जा सकता है। एक सीमित सेट के लिए, इसके तत्वों का कोई भी क्रमपरिवर्तन "कुछ सख्त आदेश निर्धारित करता है। एक अनंत सेट को अनंत तरीकों से ऑर्डर किया जा सकता है। केवल वे ऑर्डर जिनमें सार्थक अर्थ होता है।
यदि आदेश संबंध के लिए आरएक सेट पर ।एमऔर कुछ भिन्न तत्व कम से कम एक संबंध रखते हैं
एआरबीया ब्राफिर तत्व एऔर बीकहा जाता है तुलनीय,अन्यथा - अतुलनीय.
एक पूर्णतः (या रैखिक रूप से) क्रमबद्ध सेट एम -
एक सेट जिस पर ऑर्डर संबंध निर्दिष्ट है, और सेट के कोई दो तत्व एमतुलनीय; आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट- वही, लेकिन अतुलनीय तत्वों के जोड़े की अनुमति है।
रैखिक रूप से क्रमबद्ध एक रेखा पर बिंदुओं का समूह है जिसका संबंध "दाईं ओर अधिक", पूर्णांकों का समूह, तर्कसंगत संख्याएं, "से अधिक" संबंध के साथ वास्तविक संख्याएं आदि हैं।
आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का एक उदाहरण त्रि-आयामी वेक्टर होगा, यदि ऑर्डर निम्नानुसार दिया गया है
अर्थात्, यदि तीनों निर्देशांकों के साथ पूर्वता बरती जाती है, तो सदिश (2, 8, 5) और (6, 9, 10) तुलनीय हैं, लेकिन सदिश (2, 8, 5) और (12, 7, 40) तुलनीय नहीं हैं। इस ऑर्डरिंग विधि को किसी भी आयाम के वैक्टर तक बढ़ाया जा सकता है: वेक्टर
यदि येक्टर से पहले आता है
और हो गया
हम वैक्टर के सेट पर ऑर्डर देने के अन्य उदाहरणों पर विचार कर सकते हैं।
1) आंशिक आदेश: 
, अगर
वे। वेक्टर लंबाई से; समान लंबाई के सदिश अतुलनीय हैं।
2) रैखिक क्रम: 
, अगर ए
अंतिम उदाहरण वर्णमाला क्रम की अवधारणा का परिचय देता है।
वर्णमालाजोड़ीवार अलग-अलग वर्णों का एक समूह है जिसे वर्णमाला के अक्षर कहा जाता है। एक उदाहरण किसी भी यूरोपीय भाषा की वर्णमाला के साथ-साथ 10 अरबी अंकों की वर्णमाला है, कंप्यूटर पर, कीबोर्ड और कुछ सहायक उपकरण मान्य वर्णों की वर्णमाला निर्धारित करते हैं।
वर्णमाला में शब्दए -वर्णमाला वर्णों का समूह एक।शब्द को बिना रिक्त स्थान के, बाएं से दाएं एक पंक्ति में वर्णमाला चिह्नों के साथ लिखा जाता है। प्रतीकों की गैर-रैखिक व्यवस्था के कारण एक प्राकृतिक संख्या हमेशा एक शब्द नहीं होती है सुपरस्क्रिप्ट (घातांक) और सबस्क्रिप्ट (चर के सूचकांक, लघुगणक के आधार) प्रतीक, भिन्नात्मक बार, संकेत रेडिकल, आदि; हालाँकि, कुछ परंपराओं के अनुसार इसे एक स्ट्रिंग में लिखा जा सकता है, जिसका उपयोग, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में किया जाता है (उदाहरण के लिए, घातांक चिह्न को एक पंक्ति में 2 गुणन चिह्नों के रूप में लिखा जाता है: 5**3 का अर्थ है की तीसरी शक्ति नंबर 5।
लेक्सिकोग्राफ़िक (वर्णमाला) क्रम -वर्णमाला के विभिन्न शब्दों के लिए क्रमबद्ध
प्रतीक क्रम निर्धारित करते हैं: , यदि
प्रस्तुति संभव 
, जिस पर या तो
(उपशब्द खाली हो सकता है), या - खाली उपशब्द
इस परिभाषा में - एक उपसर्ग (प्रारंभिक उपशब्द) जो दोनों शब्दों के लिए समान है - या बाईं ओर पहला अलग है
अक्षर, या तो - शब्द में अंतिम अक्षर - पूंछ
उपशब्द.
इस प्रकार, शब्दों का वर्णमाला क्रम बाईं ओर के पहले प्रतीक द्वारा निर्धारित किया जाता है जो उन्हें अलग करता है (उदाहरण के लिए, KONUS शब्द COSINE शब्द से पहले आता है क्योंकि वे पहले तीसरे अक्षर में भिन्न होते हैं, और N रूसी वर्णमाला में S से पहले आता है)। स्पेस कैरेक्टर को वर्णमाला के किसी भी कैरेक्टर से पहले माना जाता है - उस स्थिति के लिए जब एक शब्द दूसरे का उपसर्ग होता है (उदाहरण के लिए, CON और CONE)
व्यायाम।जांचें कि जिन प्राकृतिक संख्याओं में दशमलव स्थानों की संख्या समान है, उनका वर्णमाला क्रम परिमाण के आधार पर उनके क्रम से मेल खाता है।
होने देना ए -आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट। तत्व कहा जाता है अधिकतमवी ए,यदि जिसके लिए कोई तत्व नहीं है ए< b. तत्व एबुलाया सबसे वृहदवी ए,अगर हर किसी के लिए अलग है एतत्व पूरा हुआ बी<а-
सममित रूप से निर्धारित न्यूनतम और सबसे छोटातत्व. सबसे बड़े और अधिकतम (क्रमशः, सबसे छोटे और न्यूनतम) तत्वों की अवधारणाएँ अलग-अलग हैं - देखें। चित्र 14 में उदाहरण. चित्र में सेट. 14,a में सबसे बड़ा तत्व है पी,यह भी अधिकतम है, दो न्यूनतम तत्व हैं: एस और टी,कोई सबसे छोटा नहीं है. चित्र 14बी में, इसके विपरीत, एक सेट है जिसमें दो अधिकतम तत्व / और हैं जे,कोई महानतम, न्यूनतम या सबसे छोटा नहीं है - एक: टी।
सामान्य तौर पर, यदि किसी सेट में सबसे बड़ा (क्रमशः, सबसे छोटा) तत्व है, तो केवल एक ही है (कोई भी नहीं हो सकता है)।
कई अधिकतम और न्यूनतम तत्व हो सकते हैं (एक अनंत सेट में कोई भी नहीं हो सकता है; अंतिम स्थिति में - होना ही चाहिए)।
आइए दो और उदाहरण देखें। - सेट पर संबंध एन:
"यविभाजित एक्स",या "एक्सकिसी संख्या का भाजक है वाई"(उदाहरण के लिए,
) प्रतिवर्ती एवं सकर्मक है। आइए इसे संख्या 30 के विभाजकों के एक सीमित सेट पर विचार करें।
संबंध एक आंशिक आदेश संबंध है (गैर-सख्त)
और क्रम 8 के निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है, जिसमें 31 वर्ण हैं
8 शीर्षों वाले संबंधित सर्किट में 31 लिंक होने चाहिए। . हालाँकि, यदि हम 8 को हटा दें तो यह देखने के लिए अधिक सुविधाजनक होगा
संयोजक-लूप संबंध (मैट्रिक्स के विकर्ण तत्व) और संक्रमणीय संयोजकों की संवेदनशीलता को दर्शाते हैं, अर्थात। स्नायुबंधन
यदि कोई मध्यवर्ती संख्या Z ऐसी है
(उदाहरण के लिए, संयोजक चूँकि)। फिर योजना में
12 स्नायुबंधन बने रहेंगे (चित्र 15); लुप्त कड़ियाँ "परिवर्तनशीलता द्वारा" निहित हैं। संख्या 1 सबसे छोटी है, और संख्या 30 है
में सबसे बड़े तत्व. यदि हम संख्या 30 और को बाहर कर दें
फिर, सेट पर उसी आंशिक क्रम पर विचार करें
कोई अधिकतम तत्व नहीं है, लेकिन 3 अधिकतम तत्व हैं: 6, 10, 15
आइए अब बूलियन पर एक संबंध के लिए वही सर्किट बनाएं
(सभी उपसमुच्चय का समुच्चय) तीन-तत्व समुच्चय का
इसमें 8 तत्व शामिल हैं:
जांचें कि क्या आप तत्वों से मेल खाते हैं ए, बी, सी,क्रमशः, संख्याएँ 2, 3, 5, और संयोजन सेटों की संक्रियाएँ संगत संख्याओं का गुणन हैं (अर्थात, उदाहरण के लिए, एक उपसमुच्चय मेल खाता है
गुणनफल 2 5 = 10), तो संबंध मैट्रिक्स बिल्कुल इस तरह होगा
संबंध के समान; वर्णित संबंधों के साथ इन दोनों संबंधों के आरेख
लूप और सकर्मक संयोजकों के संक्षिप्त रूप अंकन तक मेल खाते हैं (चित्र 16 देखें)। सबसे छोटा तत्व है
और सबसे महान -
द्विआधारी रिश्ते आरएक सेट पर एऔर एसएक सेट पर मेंकहा जाता है समरूपी,यदि बीच में ए और बीएक-से-एक पत्राचार स्थापित करना संभव है Г, जिसमें, यदि (अर्थात)
तत्व संबंध में हैं आर),फिर (छवियाँ
ये तत्व संबंध में हैं एस)।
इस प्रकार, आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय समरूपी होते हैं।
माना गया उदाहरण सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
बूलियन संबंध एक आंशिक क्रम है। अगर
वे। अनेक ईरोकना एनतत्व, फिर प्रत्येक
उपसमुच्चय से मेल खाता है एन-आयामी वेक्टर के साथ
घटक, विशेषता कार्य कहां है
सेट ए/ . ऐसे सभी सदिशों के समुच्चय को बिंदुओं का समुच्चय माना जा सकता है एन-निर्देशांक 0 या 1 के साथ आयामी अंकगणितीय स्थान, या, दूसरे शब्दों में, शीर्ष के रूप में एनआयामी
इकाई घन, द्वारा निरूपित, अर्थात्। इकाई लंबाई के किनारों वाला घन। के लिए एन = 1, 2, 3 संकेतित बिंदु क्रमशः एक खंड के सिरों, एक वर्ग के शीर्षों और एक घन का प्रतिनिधित्व करते हैं - इसलिए सामान्य नाम। /7=4 के लिए, इस संबंध का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व चित्र 17 में है। 4-आयामी घन के प्रत्येक शीर्ष के निकट संगत
4-तत्व सेट और चार-आयामी का सबसेट
इस उपसमुच्चय के विशिष्ट कार्य का प्रतिनिधित्व करने वाला एक वेक्टर। ठीक एक तत्व की उपस्थिति में भिन्न उपसमुच्चय के संगत शीर्ष एक दूसरे से जुड़े होते हैं।
चित्र 17 में, एक चार आयामी घन को इस प्रकार दर्शाया गया है कि एक पर
स्तर पर, अतुलनीय तत्व जोड़े में स्थित होते हैं, जिसमें रिकॉर्ड में इकाइयों की समान संख्या होती है (0 से 4 तक), या, दूसरे शब्दों में, प्रस्तुत उपसमुच्चय में तत्वों की समान संख्या होती है।
चित्र 18ए, बी में - 4-आयामी घन के अन्य दृश्य निरूपण;
चित्र 18ए में पहले चर की धुरी ओहऊपर की ओर निर्देशित (ऊर्ध्वाधर से जानबूझकर विचलन ताकि घन के विभिन्न किनारे विलीन न हों):
इस मामले में 3-आयामी उपघन के अनुरूप एक्स= 0 नीचे स्थित है, और के लिए एक्स= 1 - उच्चतर. चित्र में. 186 समान अक्ष ओहघन के अंदर से बाहर की ओर निर्देशित आंतरिक उपघन से मेल खाता है एक्स= ओह, और बाहरी वाला है एक्स = 1.
में 
सामग्री फ़ाइल 5-आयामी इकाई घन (पृष्ठ 134) की एक छवि दिखाती है।
रिश्तों के गुण:
1) रिफ्लेक्सिविटी;
2) समरूपता;
3)परिवर्तनशीलता.
4) जुड़ाव.
नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया चिंतनशील,यदि सेट के प्रत्येक तत्व के बारे में एक्सहम कह सकते हैं कि वह रिलेशनशिप में है आरअपने साथ: एक्सआरएक्स.यदि संबंध प्रतिवर्ती है, तो ग्राफ़ के प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होता है। इसके विपरीत, एक ग्राफ़ जिसके प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होता है, एक रिफ्लेक्सिव रिलेशन ग्राफ़ होता है।
प्रतिवर्ती संबंधों के उदाहरण प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "एकाधिक" संबंध हैं (प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है), और त्रिकोणों की समानता का संबंध (प्रत्येक त्रिकोण स्वयं के समान है), और "समानता" का संबंध ( प्रत्येक संख्या स्वयं के बराबर है), आदि।
ऐसे संबंध हैं जिनमें प्रतिवर्तीता का गुण नहीं होता है, उदाहरण के लिए, खंडों की लंबवतता का संबंध: अब, बा(ऐसा एक भी खंड नहीं है जिसे स्वयं के लंबवत कहा जा सके) . इसलिए, इस रिश्ते के ग्राफ़ में एक भी लूप नहीं है।
खंडों के लिए "लंबा", प्राकृतिक संख्याओं के लिए "2 से अधिक", आदि में रिफ्लेक्सिविटी का गुण नहीं होता है।
नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया एंटी-रेफलेक्टिव, यदि सेट से किसी भी तत्व के लिए एक्सहमेशा झूठ एक्सआरएक्स: .
ऐसे रिश्ते हैं जो न तो प्रतिवर्ती हैं और न ही प्रति-प्रतिक्रियाशील हैं। ऐसे रिश्ते का एक उदाहरण रिश्ता "बिंदु" है एक्सबिंदु के सममित परअपेक्षाकृत सीधा एल", समतल के बिंदुओं के एक सेट पर परिभाषित। दरअसल, सभी बिंदु एक सीधी रेखा के हैं एलअपने आप में सममित होते हैं, और ऐसे बिंदु जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं मैं,स्वयं सममित नहीं हैं.
नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया सममित, यदि शर्त पूरी होती है: इस तथ्य से कि तत्व एक्सतत्व के संबंध में है य, यह इस प्रकार है कि तत्व यसंबंध में है आरतत्व के साथ एक्स:xRyyRx.
सममित संबंध ग्राफ में निम्नलिखित विशेषता है: प्रत्येक तीर से आने के साथ एक्सको य, ग्राफ़ में एक तीर जाता है यको एक्स(चित्र 35)।
सममित संबंधों के उदाहरण निम्नलिखित हो सकते हैं: खंडों की "समानता" का संबंध, खंडों की "लंबवतता" का संबंध, खंडों की "समानता" का संबंध, त्रिकोणों की समानता का संबंध, "समानता" का संबंध अंश, आदि
ऐसे रिश्ते भी होते हैं जिनमें समरूपता का गुण नहीं होता।
वास्तव में, यदि खंड एक्सखंड से अधिक लंबा पर, फिर खंड परखंड से अधिक लंबा नहीं हो सकता एक्स. इस संबंध के ग्राफ़ में एक ख़ासियत है: शीर्षों को जोड़ने वाला तीर केवल एक दिशा में निर्देशित होता है।
नज़रिया आरबुलाया antisymmetric, यदि किसी तत्व के लिए एक्सऔर यसत्य से xRyझूठा होना चाहिए yRx: : xRyyRx.
"लंबे" संबंध के अलावा, कई खंडों पर अन्य एंटीसिमेट्रिक संबंध भी हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं के लिए "इससे बड़ा" संबंध (यदि एक्सअधिक पर, वह परइससे अधिक कुछ नहीं हो सकता एक्स), "और अधिक" रवैया, आदि।
ऐसे रिश्ते होते हैं जिनमें न तो समरूपता का गुण होता है और न ही प्रतिसमरूपता का गुण होता है।
एक सेट पर संबंध आर एक्सबुलाया सकर्मक,यदि उस तत्व से एक्ससंबंध में है आरतत्व के साथ हाँ,और तत्व यसंबंध में है आरतत्व के साथ जेड, यह इस प्रकार है कि तत्व एक्ससंबंध में है आरतत्व के साथ जेड: xRyऔर yRzxRz.
आने वाले तीरों के प्रत्येक जोड़े के साथ सकर्मक संबंध ग्राफ एक्सको यऔर से यको जेड, जिसमें से एक तीर जा रहा है एक्सको जेड
खंडों के एक सेट पर "लंबा" संबंध में परिवर्तनशीलता गुण भी होता है: यदि खंड एखंड से अधिक लंबा बी, खंड बीखंड से अधिक लंबा साथ, फिर खंड एखंड से अधिक लंबा साथ।खंडों के समूह पर "समानता" के संबंध में परिवर्तनशीलता का गुण भी होता है: (ए=बी, बी=सी)(ए=सी).
ऐसे रिश्ते भी होते हैं जिनमें परिवर्तनशीलता का गुण नहीं होता। ऐसा संबंध है, उदाहरण के लिए, लंबवतता संबंध: यदि एक खंड एखंड के लंबवत बी, और खंड बीखंड के लंबवत साथ, फिर खंड एऔर साथलंबवत नहीं!
संबंधों का एक और गुण होता है, जिसे जुड़ाव का गुण कहा जाता है और जिस रिश्ते में यह होता है, उसे जुड़ा हुआ कहा जाता है।
नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया जुड़े हुए,यदि किसी तत्व के लिए एक्सऔर यइस सेट से शर्त पूरी होती है: यदि एक्सऔर यभिन्न हैं, तो या तो एक्ससंबंध में है आरतत्व के साथ य, या तत्व यसंबंध में है आरतत्व के साथ एक्स. प्रतीकों का प्रयोग करके इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: xyxRyया yRx.
उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के लिए "से बड़ा" संबंध में जुड़ाव का गुण होता है: किसी भी अलग संख्या x और y के लिए कोई भी बता सकता है, x>य, या y>x.
एक जुड़े हुए संबंध ग्राफ़ में, किन्हीं दो शीर्षों को एक तीर द्वारा जोड़ा जाता है। विपरीत कथन भी सत्य है.
ऐसे रिश्ते भी होते हैं जिनमें जुड़ाव का गुण नहीं होता। उदाहरण के लिए, ऐसा संबंध प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर विभाज्यता का संबंध है: हम ऐसी संख्याओं को x और नाम दे सकते हैं यसंख्या जो भी हो एक्सकिसी संख्या का भाजक नहीं है य, कोई संख्या नहीं यकिसी संख्या का भाजक नहीं है एक्स(संख्या 17 और 11 , 3 और 10 वगैरह।) .
आइए कुछ उदाहरण देखें. सेट पर एक्स=(1, 2, 4, 8, 12)संबंध "संख्या" दिया गया है एक्ससंख्या का गुणज य" आइए इस रिश्ते का एक ग्राफ बनाएं और इसके गुण तैयार करें।
भिन्नों की समानता के संबंध को तुल्यता संबंध कहा जाता है।
नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया तुल्यता संबंध,यदि इसमें एक साथ प्रतिवर्तीता, समरूपता और परिवर्तनशीलता के गुण हों।
तुल्यता संबंधों के उदाहरणों में शामिल हैं: ज्यामितीय आकृतियों की समानता के संबंध, रेखाओं की समानता के संबंध (बशर्ते कि संपाती रेखाओं को समानांतर माना जाए)।
ऊपर चर्चा की गई "भिन्नों की समानता" के संबंध में, सेट एक्सतीन उपसमूहों में विभाजित: ( ; ; }, {; } , (). ये उपसमुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते और उनका मिलन समुच्चय के साथ मेल खाता है एक्स, यानी हमारे पास सेट का वर्गों में विभाजन है।
इसलिए, यदि किसी समुच्चय
इस प्रकार, हमने सेट पर समानता का संबंध स्थापित किया है
एक्स=( ;; ; ; ; ) इस सेट के समतुल्य वर्गों में विभाजन से मेल खाता है, जिनमें से प्रत्येक में एक दूसरे के बराबर भिन्न होते हैं।
किसी समतुल्य संबंध का उपयोग करके किसी समुच्चय को वर्गों में विभाजित करने का सिद्धांत गणित का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है। क्यों?
सबसे पहले, समतुल्य का अर्थ है समतुल्य, विनिमेय। इसलिए, समान तुल्यता वर्ग के तत्व विनिमेय हैं। इस प्रकार, भिन्न जो समान तुल्यता वर्ग (; ; ) में हैं, समानता और भिन्न के संबंध की दृष्टि से अप्रभेद्य हैं उदाहरण के लिए, दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है . और यह प्रतिस्थापन गणना के परिणाम को नहीं बदलेगा।
दूसरे, चूँकि तुल्यता वर्ग में ऐसे तत्व शामिल होते हैं जो किसी संबंध के दृष्टिकोण से अप्रभेद्य होते हैं, इसलिए यह माना जाता है कि तुल्यता वर्ग उसके किसी भी प्रतिनिधि द्वारा निर्धारित होता है, अर्थात। वर्ग का एक मनमाना तत्व। इस प्रकार, समान भिन्नों के किसी भी वर्ग को इस वर्ग से संबंधित किसी भी भिन्न को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। एक प्रतिनिधि द्वारा समतुल्य वर्ग आपको सेट के सभी तत्वों के बजाय समतुल्य वर्गों के प्रतिनिधियों के एक सेट का अध्ययन करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, बहुभुजों के एक सेट पर परिभाषित समतुल्य संबंध "समान संख्या में शीर्ष होने के लिए", इस सेट का एक विभाजन त्रिकोण, चतुर्भुज, पंचकोण, आदि के वर्गों में उत्पन्न करता है। एक निश्चित वर्ग में निहित गुणों को उसके प्रतिनिधियों में से एक पर विचार किया जाता है।
तीसरा, समतुल्य संबंध का उपयोग करके किसी सेट को वर्गों में विभाजित करना नई अवधारणाओं को पेश करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, "रेखाओं के बंडल" की अवधारणा को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि समानांतर रेखाओं में एक-दूसरे के साथ क्या समानता है।
संबंध का एक अन्य महत्वपूर्ण प्रकार ऑर्डर संबंध है। आइए सेट पर समस्या पर विचार करें एक्स={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) संबंध “से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है 3 " यह संबंध सेट का एक विभाजन उत्पन्न करता है एक्सवर्गों में: विभाजित करने पर सभी संख्याएँ एक में आ जाएँगी 3 यह शेषफल निकला 0 (ये संख्याएँ हैं 3, 6, 9 ). दूसरे में - संख्याएँ, जब विभाजित होती हैं 3 शेष है 1 (ये संख्याएँ हैं 4, 7, 10 ). तीसरे में वे सभी संख्याएँ होंगी, जिन्हें विभाजित करने पर 3 शेष है 2 (ये संख्याएँ हैं 5, 8 ). वास्तव में, परिणामी समुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और उनका मिलन समुच्चय के साथ मेल खाता है एक्स. इसलिए, संबंध को “से विभाजित करने पर शेषफल समान रहता है।” 3 ", सेट पर परिभाषित किया गया एक्स, एक तुल्यता संबंध है।
एक अन्य उदाहरण लेने के लिए, एक कक्षा में कई छात्रों को ऊंचाई या उम्र के आधार पर क्रमबद्ध किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस संबंध में प्रतिसममिति और परिवर्तनशीलता के गुण हैं। या फिर वर्णमाला में अक्षरों का क्रम हर कोई जानता है। यह "चाहिए" दृष्टिकोण द्वारा प्रदान किया जाता है।
नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया सख्त आदेश का संबंध, यदि इसमें एक साथ प्रतिसममिति और परिवर्तनशीलता के गुण हों। उदाहरण के लिए, संबंध " एक्स< य».
यदि संबंध में रिफ्लेक्सिविटी, एंटीसिममेट्री और ट्रांज़िटिविटी के गुण हैं, तो यह ऐसा होगा गैर सख्त संबंध. उदाहरण के लिए, संबंध " एक्सय».
क्रम संबंधों के उदाहरणों में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट पर "इससे कम" संबंध, खंडों के एक सेट पर "छोटा" संबंध। यदि किसी ऑर्डर रिलेशन में कनेक्टिविटी का गुण भी हो तो इसे कहा जाता है रैखिक क्रम संबंध. उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "इससे कम" संबंध।
अनेक एक्सबुलाया व्यवस्थित,यदि उस पर कोई ऑर्डर संबंध निर्दिष्ट है।
उदाहरण के लिए, बहुत सारे एक्स={2, 8, 12, 32 ) को "इससे कम" संबंध (चित्र 41) का उपयोग करके आदेश दिया जा सकता है, या इसे "एकाधिक" संबंध (चित्र 42) का उपयोग करके किया जा सकता है। लेकिन, क्रम संबंध होने के कारण, "से कम" और "एकाधिक" संबंध प्राकृतिक संख्याओं के सेट को अलग-अलग तरीकों से क्रमबद्ध करते हैं। "इससे कम" संबंध आपको एक सेट से किन्हीं दो संख्याओं की तुलना करने की अनुमति देता है एक्स, लेकिन संबंध "एकाधिक" में यह गुण नहीं है। ठीक है, कुछ संख्याएँ। 8 और 12 "एकाधिक" संबंध से संबंधित नहीं है: ऐसा नहीं कहा जा सकता 8 एकाधिक 12 या 12 एकाधिक 8.
किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि सभी रिश्ते समतुल्य संबंधों और व्यवस्था के संबंधों में विभाजित हैं। ऐसे संबंधों की एक बड़ी संख्या है जो न तो तुल्यता संबंध हैं और न ही आदेश संबंध हैं।
एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बुलाया गैर-सख्त आंशिक आदेश का संबंध (आदेश संबंध, प्रतिवर्ती संबंध), अगर वहाँ हैंअनेक एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), जिस पर आंशिक क्रम संबंध प्रस्तुत किया जाता है, कहलाता है आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया. एक गैर-सख्त आंशिक आदेश संबंध को अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है ≼ (\displaystyle \precurlyeq ).
विकल्प
आंशिक आदेश संबंध आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)बुलाया रैखिक क्रम, यदि शर्त पूरी होती है
∀ x ∀ y (x R y ∨ y R x) (\displaystyle \forall x\forall y(xRy\lor yRx)).अनेक एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), जिस पर एक रैखिक क्रम संबंध प्रस्तुत किया जाता है, कहलाता है रैखिक रूप से क्रमबद्ध, या जंजीर.
नज़रिया आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर), केवल प्रतिवर्तीता एवं परिवर्तनशीलता की शर्तों को संतुष्ट करना कहलाता है प्री-ऑर्डर, या अर्ध-ऑर्डर.
सख्त आदेश
यदि रिफ्लेक्सिविटी की स्थिति को एंटी-रिफ्लेक्सिविटी की स्थिति से बदल दिया जाए:
∀ x ¬ (x R x) (\displaystyle \forall x\neg (xRx)),तब हमें परिभाषा मिलती है कठोर, या विरोधी प्रतिवर्ती आंशिक आदेश(आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है ≺ (\displaystyle \prec )).
टिप्पणी। किसी संबंध की एक साथ प्रति-प्रतिक्रियाशीलता और परिवर्तनशीलता में प्रतिसममिति शामिल होती है। इसलिए संबंध है सख्त आदेश का संबंधयदि और केवल यदि यह प्रतिकर्मरोधी और सकर्मक है।
सामान्य तौर पर, यदि आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)तो, यह एक सकर्मक, असिमेट्रिक संबंध है
R ≼ = R ∪ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\preccurlyeq )=R\cup \((x,x)|x\in X\))- प्रतिवर्ती क्रम R ≺ = R ∖ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\prec )=R\setminus \((x,x)|x\in X\))- सख्त आदेश.उदाहरण
- वास्तविक संख्याओं के सेट पर, "इससे अधिक" और "इससे कम" संबंध सख्त क्रम के संबंध हैं, और "इससे अधिक या बराबर" और "इससे कम या इसके बराबर" गैर-सख्त क्रम के संबंध हैं।
- पूर्णांकों के समुच्चय पर विभाज्यता संबंध गैर-सख्त क्रम का संबंध है।
दुश्निक-मिलर आयाम
कहानी
लक्षण < {\displaystyle <} और > (\डिस्प्लेस्टाइल >)आविष्कार किया
"ऑर्डर" शब्द का प्रयोग अक्सर विभिन्न प्रकार के मुद्दों में किया जाता है। अधिकारी आदेश देता है: "संख्यात्मक क्रम में गणना करें", अंकगणितीय संचालन एक निश्चित क्रम में किए जाते हैं, एथलीटों को ऊंचाई के आधार पर क्रमबद्ध किया जाता है, सभी प्रमुख शतरंज खिलाड़ियों को तथाकथित एलो गुणांक (अमेरिकी प्रोफेसर) के अनुसार एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित किया जाता है खिलाड़ियों की सभी सफलताओं और असफलताओं को ध्यान में रखने के लिए गुणांक प्रणाली विकसित की गई है), चैंपियनशिप के बाद, सभी फुटबॉल टीमों को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, आदि। एक हिस्से का निर्माण करते समय संचालन का एक क्रम होता है, क्रम एक वाक्य में शब्दों की संख्या (समझने की कोशिश करें कि "बूढ़े आदमी पर" वाक्य का क्या मतलब है कि मैंने गधा नहीं लगाया है!)
एक निश्चित समुच्चय के तत्वों को एक के बाद एक व्यवस्थित करके, हम उन्हें व्यवस्थित करते हैं या उनके बीच कुछ संबंध स्थापित करते हैं क्रम में।सबसे सरल उदाहरण प्राकृतिक संख्याओं का प्राकृतिक क्रम है। इसकी स्वाभाविकता इस तथ्य में निहित है कि किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए हम जानते हैं कि कौन सी दूसरे का अनुसरण करती है या कौन सी दूसरे से बड़ी है, इसलिए हम प्राकृतिक संख्याओं को एक क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि बड़ी संख्या स्थित हो, उदाहरण के लिए, छोटे वाले के दाईं ओर: 1, 2, 3, ...। निःसंदेह, तत्वों का क्रम केवल बाएँ से दाएँ ही नहीं, बल्कि किसी भी दिशा में लिखा जा सकता है। प्राकृतिक संख्याओं की अवधारणा में पहले से ही क्रम का विचार शामिल है। किसी भी समुच्चय के तत्वों की कुछ सापेक्ष व्यवस्था स्थापित करके, हम उस पर कुछ द्विआधारी क्रम संबंध परिभाषित करते हैं, जिसका प्रत्येक विशिष्ट मामले में अपना नाम हो सकता है, उदाहरण के लिए, "कम होना," "बड़ा होना," "से ", "अनुसरण करें" आदि में समाहित हो। आदेश के प्रतीकात्मक पदनाम भी भिन्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, Í, आदि।
ऑर्डर संबंध की मुख्य विशिष्ट विशेषता यह है कि इसमें परिवर्तनशीलता का गुण होता है। इसलिए, यदि हम कुछ वस्तुओं के अनुक्रम से निपट रहे हैं एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन,..., आदेश दिया गया, उदाहरण के लिए, संबंध से, फिर जो किया जा रहा है उससे एक्स 1एक्स 2... एक्स एन..., इसे किसी भी जोड़ी के लिए अनुसरण करना चाहिए एक्स आई, एक्स जेइस क्रम के तत्व भी पूरे होते हैं एक्स मैंएक्स जे:
तत्वों की एक जोड़ी के लिए एक्स मैंजेसंबंध ग्राफ़ में हम शीर्ष से एक तीर खींचते हैं एक्स मैंसबसे ऊपर एक्स जे, यानी छोटे तत्व से बड़े तत्व की ओर।
तथाकथित विधि का उपयोग करके ऑर्डर रिलेशन ग्राफ को सरल बनाया जा सकता है हस्से आरेख।हस्से आरेख का निर्माण इस प्रकार किया गया है। छोटे तत्वों को नीचे रखा गया है, और बड़े तत्वों को ऊपर रखा गया है। चूँकि अकेले ऐसा नियम चित्रण के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए रेखाएँ खींची जाती हैं जो दर्शाती हैं कि दोनों तत्वों में से कौन सा बड़ा है और कौन सा दूसरे से छोटा है। इस मामले में, एक दूसरे के तुरंत बाद वाले तत्वों के लिए केवल रेखाएँ खींचना पर्याप्त है। हससे आरेख के उदाहरण चित्र में दिखाए गए हैं:
आपको हस्से आरेख में तीरों को शामिल करने की आवश्यकता नहीं है। हस्से आरेख को एक समतल में घुमाया जा सकता है, लेकिन मनमाने ढंग से नहीं। मुड़ते समय, आरेख के शीर्षों की सापेक्ष स्थिति (ऊपर - नीचे) बनाए रखना आवश्यक है:
नज़रिया आरपर्याप्त रूप से एक्सबुलाया सख्त आदेश का रवैया,यदि यह सकर्मक और असममित है।
वह समुच्चय जिसमें एक सख्त क्रम संबंध परिभाषित किया जाता है, कहलाता है आदेश दिया.उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय "इससे कम" संबंध द्वारा क्रमबद्ध होता है। लेकिन यही सेट एक अन्य संबंध द्वारा भी क्रमबद्ध है - "विभाजित" और "अधिक"।
प्राकृतिक संख्याओं के सेट में "इससे कम" संबंध का ग्राफ़ एक किरण के रूप में दर्शाया जा सकता है:
नज़रिया आरवी एक्ससंबंध कहा जाता है गैर-सख्त (आंशिक) आदेश, यदि यह सकर्मक और असिमेट्रिक है। गैर-सख्त आदेश का कोई भी संबंध प्रतिवर्ती है।
विशेषण "आंशिक" इस तथ्य को व्यक्त करता है कि शायद किसी सेट के सभी तत्व किसी दिए गए संबंध में तुलनीय नहीं हैं।
आंशिक क्रम संबंधों के विशिष्ट उदाहरण "इससे अधिक नहीं," "इससे कम नहीं," और "इससे अधिक नहीं" संबंध हैं। रिश्तों के नाम में "नहीं" कण उनकी संवेदनशीलता को व्यक्त करने का काम करता है। संबंध "इससे अधिक नहीं" संबंध "इससे कम या बराबर" के साथ मेल खाता है, और संबंध "कम नहीं" का संबंध "इससे अधिक या बराबर" के समान है। इस सम्बन्ध में आंशिक क्रम भी कहा जाता है सख्त नहींक्रम में। अक्सर आंशिक (गैर-सख्त) आदेश संबंध को प्रतीक "" द्वारा दर्शाया जाता है।
एक निश्चित समुच्चय के उपसमुच्चय के बीच समावेशन संबंध Í भी एक आंशिक क्रम है। जाहिर है, इस संबंध में प्रत्येक दो उपसमुच्चय तुलनीय नहीं हैं। नीचे दिया गया चित्र सेट के सभी उपसमुच्चय (1,2,3) के सेट पर आंशिक समावेशन क्रम को दर्शाता है। ग्राफ़ पर जो तीर ऊपर की ओर इंगित होने चाहिए, वे नहीं दिखाए गए हैं।
वे समुच्चय जिन पर आंशिक क्रम दिया गया हो, कहलाते हैं आंशिक रूप से आदेश दिया गया,या बस आदेश दियासेट.
तत्वों एक्सऔर परआंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट कहलाता है हमारे साथ तुलना करेंअगर एक्सपरया परएक्स।अन्यथा उनकी तुलना नहीं की जा सकती.
वह क्रमित समुच्चय जिसमें किन्हीं दो तत्वों की तुलना की जाती है, कहलाता है रैखिक रूप से क्रमबद्ध, और क्रम रैखिक क्रम है। रैखिक क्रम को पूर्ण क्रम भी कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, प्राकृतिक क्रम वाली सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, साथ ही उसके सभी उपसमुच्चय, रैखिक रूप से क्रमबद्ध होते हैं।
सबसे विविध प्रकृति की वस्तुओं का ऑर्डर दिया जा सकता है पदानुक्रमिक रूप से।यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
उदाहरण 1: किसी पुस्तक के हिस्सों को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि पुस्तक में अध्याय हैं, अध्याय में अनुभाग हैं, और अनुभाग में उपखंड हैं।
उदाहरण 2. कंप्यूटर फ़ाइल सिस्टम में फ़ोल्डर्स एक दूसरे के अंदर नेस्टेड होते हैं, जिससे एक शाखा संरचना बनती है।
उदाहरण 3. माता-पिता और बच्चों के बीच के रिश्ते को तथाकथित के रूप में दर्शाया जा सकता है वंश - वृक्ष,जो दर्शाता है कि कौन किसका पूर्वज (या संतान) है।
चलो सेट पर एआंशिक आदेश दिया गया है. तत्व एक्सबुलाया अधिकतम न्यूनतम)सेट ए का तत्व, यदि इस तथ्य से कि एक्सपर(परएक्स),समानता आती है एक्स= यूदूसरे शब्दों में, तत्व एक्सयदि किसी तत्व के लिए अधिकतम (न्यूनतम) है परया फिर ये सच नहीं है एक्सपर(परएक्स), या निष्पादित किया जाता है एक्स=यूइस प्रकार, अधिकतम (न्यूनतम) तत्व अपने से भिन्न उन सभी तत्वों से बड़ा (छोटा) होता है जिनके साथ उसका संबंध होता है।
तत्व एक्सबुलाया सबसे बड़ा (सबसे छोटा),अगर किसी के लिए परÎ एदौड़ना पर< х (х< у).
आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में कई न्यूनतम और/या अधिकतम तत्व हो सकते हैं, लेकिन एक से अधिक न्यूनतम और अधिकतम तत्व नहीं हो सकते। सबसे छोटा (सबसे बड़ा) तत्व भी न्यूनतम (अधिकतम) होता है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है। बाईं ओर का आंकड़ा दो न्यूनतम और दो अधिकतम तत्वों के साथ एक आंशिक क्रम दिखाता है, और दाईं ओर सबसे छोटे और सबसे बड़े तत्वों के साथ एक आंशिक क्रम दिखाता है:
एक सीमित आंशिक रूप से क्रमित सेट में हमेशा न्यूनतम और अधिकतम तत्व होते हैं।
एक क्रमबद्ध सेट जिसमें सबसे बड़े और सबसे छोटे तत्व होते हैं, उसे कहा जाता है सीमित.यह चित्र अनंत परिबद्ध समुच्चय का एक उदाहरण दिखाता है। बेशक, एक सीमित पृष्ठ पर अनंत सेट को चित्रित करना असंभव है, लेकिन आप इसके निर्माण के सिद्धांत को दिखा सकते हैं। यहां ड्राइंग को सरल बनाने के लिए शीर्षों के पास लूप नहीं दिखाए गए हैं। इसी कारण से, वे चाप जो परिवर्तनशीलता गुण का प्रदर्शन प्रदान करते हैं, नहीं दिखाए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, यह चित्र ऑर्डर संबंध का हस्से आरेख दिखाता है।
अनंत सेट में अधिकतम या न्यूनतम तत्व या दोनों नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं (1,2, 3, ...) के सेट में सबसे छोटा तत्व 1 है, लेकिन कोई अधिकतम नहीं है। प्राकृतिक क्रम वाली सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में न तो सबसे छोटा और न ही सबसे बड़ा तत्व होता है। हालाँकि, इसका उपसमुच्चय सभी संख्याओं से मिलकर बना है एक्स< 5 में सबसे बड़ा तत्व (संख्या 5) है, लेकिन सबसे छोटा नहीं है।
