Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Esempi del metodo di variazione di una costante arbitraria

Metodo di variazione delle costanti arbitrarie

Metodo di variazione di costanti arbitrarie per costruire una soluzione a un'equazione differenziale lineare disomogenea

UN N (T)z (N) (T) + UN N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + UN 1 (T)z"(T) + UN 0 (T)z(T) = F(T)

consiste nel sostituire costanti arbitrarie C K nella soluzione generale

z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)

corrispondente equazione omogenea

UN N (T)z (N) (T) + UN N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + UN 1 (T)z"(T) + UN 0 (T)z(T) = 0

per le funzioni ausiliarie C K (T) , le cui derivate soddisfano il sistema algebrico lineare

Il determinante del sistema (1) è il Wronskiano delle funzioni z 1 ,z 2 ,...,z N , che ne garantisce la risolubilità unica rispetto a .

Se sono antiderivative per , prese a valori fissi delle costanti di integrazione, allora la funzione

è una soluzione dell'equazione differenziale lineare disomogenea originale. L'integrazione di un'equazione disomogenea in presenza di una soluzione generale alla corrispondente equazione omogenea viene così ridotta a quadrature.

Metodo di variazione di costanti arbitrarie per costruire soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari in forma normale vettoriale

consiste nel costruire una soluzione particolare (1) nella forma

Dove Z(T) è la base delle soluzioni alla corrispondente equazione omogenea, scritta sotto forma di matrice, e la funzione vettoriale , che ha sostituito il vettore delle costanti arbitrarie, è definita dalla relazione . La soluzione particolare richiesta (con valori iniziali pari a zero a T = T 0 sembra

Per un sistema a coefficienti costanti l’ultima espressione è semplificata:

Matrice Z(T)Z− 1 (τ) chiamato Matrice di Cauchy operatore l = UN(T) .

link esterno

• exponenta.ru - Informazioni teoriche con esempi

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Il metodo di variazione di una costante arbitraria, o metodo di Lagrange, è un altro modo per risolvere le equazioni differenziali lineari del primo ordine e l'equazione di Bernoulli.

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine sono equazioni della forma y’+p(x)y=q(x). Se c'è uno zero sul lato destro: y'+p(x)y=0, allora questo è lineare omogeneo Equazione del primo ordine. Di conseguenza, un’equazione con un membro destro diverso da zero, y’+p(x)y=q(x), è eterogeneo Equazione lineare del 1° ordine.

Metodo di variazione di una costante arbitraria (metodo di Lagrange) è come segue:

1) Cerchiamo una soluzione generale dell’equazione omogenea y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Nella soluzione generale consideriamo C non una costante, ma una funzione di x: C = C (x). Troviamo la derivata della soluzione generale (y*)’ e sostituiamo l’espressione risultante per y* e (y*)’ nella condizione iniziale. Dall'equazione risultante troviamo la funzione C(x).

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea, al posto di C, sostituiamo l'espressione trovata C(x).

Diamo un'occhiata ad esempi del metodo per variare una costante arbitraria. Prendiamo gli stessi compiti di in, confrontiamo lo stato di avanzamento della soluzione e assicuriamoci che le risposte ottenute coincidano.

1) y’=3x-y/x

Riscriviamo l'equazione in forma standard (a differenza del metodo di Bernoulli, dove avevamo bisogno della forma della notazione solo per vedere che l'equazione è lineare).

y’+y/x=3x (I). Ora procediamo secondo il piano.

1) Risolvi l'equazione omogenea y’+y/x=0. Questa è un'equazione con variabili separabili. Immagina y’=dy/dx, sostituisci: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per dx e dividiamo per xy≠0: dy/y=-dx/x. Integriamo:

2) Nella risultante soluzione generale dell'equazione omogenea, considereremo C non una costante, ma una funzione di x: C=C(x). Da qui

Sostituiamo le espressioni risultanti nella condizione (I):

Integriamo entrambi i lati dell'equazione:

qui C è già una nuova costante.

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea y=C/x, dove abbiamo assunto C=C(x), cioè y=C(x)/x, al posto di C(x) sostituiamo l'espressione trovata x³ +C: y=(x³ +C)/x oppure y=x²+C/x. Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando risolvevamo con il metodo di Bernoulli.

Risposta: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Qui l'equazione è già scritta in forma standard; non è necessario trasformarla.

1) Risolvere l’equazione lineare omogenea y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integriamo:

Per ottenere una forma di notazione più comoda, prendiamo l'esponente alla potenza di C come il nuovo C:

Questa trasformazione è stata eseguita per rendere più conveniente trovare la derivata.

2) Nella soluzione generale risultante dell'equazione lineare omogenea, consideriamo C non una costante, ma una funzione di x: C=C(x). In questa condizione

Sostituiamo le espressioni risultanti y e y’ nella condizione:

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per

Integriamo entrambi i lati dell'equazione utilizzando la formula di integrazione per parti, otteniamo:

Qui C non è più una funzione, ma una costante ordinaria.

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea

sostituisci la funzione trovata C(x):

Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando risolvevamo con il metodo di Bernoulli.

Per risolvere è applicabile anche il metodo di variazione di una costante arbitraria.

y’x+y=-xy².

Portiamo l'equazione nella forma standard: y’+y/x=-y² (II).

1) Risolvi l'equazione omogenea y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per dx e dividiamo per y: dy/y=-dx/x. Ora integriamo:

Sostituiamo le espressioni risultanti nella condizione (II):

Semplifichiamo:

Abbiamo ottenuto un'equazione con variabili separabili per C e x:

Qui C è già una costante ordinaria. Durante il processo di integrazione abbiamo scritto semplicemente C invece di C(x), per non sovraccaricare la notazione. E alla fine siamo tornati a C(x), per non confondere C(x) con il nuovo C.

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea y=C(x)/x sostituiamo la funzione trovata C(x):

Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando lo abbiamo risolto utilizzando il metodo Bernoulli.

Esempi di autotest:

1. Riscriviamo l'equazione nella forma standard: y’-2y=x.

1) Risolvi l'equazione omogenea y’-2y=0. y’=dy/dx, quindi dy/dx=2y, moltiplica entrambi i lati dell’equazione per dx, dividi per y e integra:

Da qui troviamo y:

Sostituiamo le espressioni y e y’ nella condizione (per brevità useremo C invece di C(x) e C’ invece di C"(x)):

Per trovare l'integrale a destra usiamo la formula dell'integrazione per parti:

Ora sostituiamo u, du e v nella formula:

Qui C =cost.

3) Ora sostituiamo omogeneo nella soluzione

Consideriamo un'equazione differenziale lineare disomogenea del primo ordine:
(1) .
Esistono tre modi per risolvere questa equazione:

• metodo di variazione della costante (Lagrange).

Consideriamo la risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine utilizzando il metodo di Lagrange.

Metodo di variazione della costante (Lagrange)

Nel metodo della variazione della costante, risolviamo l'equazione in due passaggi. Nel primo passaggio, semplifichiamo l'equazione originale e risolviamo un'equazione omogenea. Nella seconda fase, sostituiamo la costante di integrazione ottenuta nella prima fase della soluzione con una funzione. Quindi cerchiamo una soluzione generale all'equazione originale.

Considera l'equazione:
(1)

Passaggio 1 Risoluzione di un'equazione omogenea

Cerchiamo la soluzione dell’equazione omogenea:

Questa è un'equazione separabile

Separiamo le variabili: moltiplichiamo per dx, dividiamo per y:

Integriamo:

Integrale su y - tabellare:

Poi

Potenziamo:

Sostituiamo la costante e C con C e togliamo il segno del modulo, che si riduce a moltiplicare per una costante ±1, che includeremo in C:

Passaggio 2 Sostituisci la costante C con la funzione

Ora sostituiamo la costante C con una funzione di x:
C → u (X)
Cioè, cercheremo una soluzione all'equazione originale (1) COME:
(2)
Trovare la derivata.

Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa:
.
Secondo la regola della differenziazione del prodotto:

.
Sostituisci nell'equazione originale (1) :
(1) ;

.
Vengono ridotti due membri:
;
.
Integriamo:
.
Sostituisci dentro (2) :
.
Di conseguenza, otteniamo una soluzione generale a un'equazione differenziale lineare del primo ordine:
.

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine mediante il metodo di Lagrange

Risolvi l'equazione

Soluzione

Risolviamo l'equazione omogenea:

Separiamo le variabili:

Moltiplicato per:

Integriamo:

Integrali tabulari:

Potenziamo:

Sostituiamo la costante e C con C e rimuoviamo i segni del modulo:

Da qui:

Sostituiamo la costante C con una funzione di x:
C → u (X)

Trovare la derivata:
.
Sostituisci nell'equazione originale:
;
;
O:
;
.
Integriamo:
;
Soluzione dell'equazione:
.