Savavališkų konstantų kitimo metodas. Savavališkos konstantos kitimo metodo pavyzdžiai

Savavališkų konstantų kitimo metodas

Savavališkų konstantų kitimo metodas tiesinės nevienalytės diferencialinės lygties sprendiniui sudaryti

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

susideda iš savavališkų konstantų pakeitimo c k bendrame sprendime

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

atitinkamą homogeninę lygtį

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

pagalbinėms funkcijoms c k (t) , kurios išvestinės tenkina tiesinę algebrinę sistemą

Sistemos (1) determinantas yra funkcijų Vronskis z 1 ,z 2 ,...,z n , kuris užtikrina unikalų jo išsprendžiamumą .

Jei yra antidariniai , imami fiksuotomis integravimo konstantų reikšmėmis, tada funkcija

yra pradinės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas. Taigi nehomogeninės lygties integravimas, esant bendram atitinkamos homogeninės lygties sprendiniui, yra sumažinamas iki kvadratų.

Savavališkų konstantų kitimo metodas, skirtas sudaryti vektoriaus normaliosios formos tiesinių diferencialinių lygčių sistemos sprendinius

susideda iš tam tikro sprendimo (1) sudarymo formoje

Kur Z(t) yra atitinkamos vienarūšės lygties sprendinių pagrindas, parašytas matricos pavidalu, o vektoriaus funkcija , kuri pakeitė savavališkų konstantų vektorių, apibrėžiama ryšiu . Reikalingas konkretus sprendimas (su nulinėmis pradinėmis reikšmėmis t = t 0 atrodo

Sistemai su pastoviais koeficientais paskutinė išraiška supaprastinama:

Matrica Z(t)Z– 1 (τ) paskambino Cauchy matrica operatorius L = A(t) .

Išorinės nuorodos

• exponenta.ru - Teorinė informacija su pavyzdžiais

Wikimedia fondas. 2010 m.

Savavališkos konstantos kitimo metodas arba Lagranžo metodas yra dar vienas būdas išspręsti pirmosios eilės tiesines diferencialines lygtis ir Bernulio lygtį.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys yra y’+p(x)y=q(x) formos lygtys. Jei dešinėje pusėje yra nulis: y'+p(x)y=0, tai yra tiesinis vienalytis 1 eilės lygtis. Atitinkamai lygtis su ne nuliu dešiniąja puse, y’+p(x)y=q(x), yra nevienalytis 1 eilės tiesinė lygtis.

Savavališkos konstantos kitimo metodas (Lagrange metodas) yra taip:

1) Ieškome bendro vienarūšės lygties y’+p(x)y=0: y=y* sprendinio.

2) Bendrajame sprendime C laikome ne konstanta, o x funkcija: C = C (x). Randame bendrojo sprendinio (y*)’ išvestinę ir gautą išraišką y* ir (y*)’ pakeičiame pradine sąlyga. Iš gautos lygties randame funkciją C(x).

3) Bendrajame vienarūšės lygties sprendime vietoj C pakeičiame rastą išraišką C(x).

Pažvelkime į savavališkos konstantos keitimo metodo pavyzdžius. Imkime tas pačias užduotis kaip ir, palyginkime sprendimo eigą ir įsitikinkime, kad gauti atsakymai sutampa.

1) y’=3x-y/x

Perrašykime lygtį standartine forma (skirtingai nuo Bernulio metodo, kur mums reikėjo žymėjimo formos tik tam, kad pamatytume, jog lygtis yra tiesinė).

y’+y/x=3x (I). Dabar einame pagal planą.

1) Išspręskite vienalytę lygtį y’+y/x=0. Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Įsivaizduokite y’=dy/dx, pakaitalas: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Abi lygties puses padauginame iš dx ir padalijame iš xy≠0: dy/y=-dx/x. Integruokime:

2) Gautame bendrame homogeninės lygties sprendime C laikysime ne konstanta, o x funkcija: C=C(x). Iš čia

Gautas išraiškas pakeičiame sąlyga (I):

Integruokime abi lygties puses:

čia C jau kažkokia nauja konstanta.

3) Bendrajame vienalytės lygties y=C/x sprendime, kur padarėme prielaidą, kad C=C(x), tai yra y=C(x)/x, vietoj C(x) pakeičiame rastą išraišką x³ +C: y=(x³ +C)/x arba y=x²+C/x. Gavome tą patį atsakymą, kaip ir spręsdami Bernulio metodu.

Atsakymas: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Čia lygtis jau parašyta standartine forma, jos transformuoti nereikia.

1) Išspręskite vienalytę tiesinę lygtį y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integruokime:

Norėdami gauti patogesnę žymėjimo formą, laipsnį C laipsniškai paimame kaip naują C:

Ši transformacija atlikta tam, kad būtų patogiau rasti išvestinę.

2) Gautame bendrame tiesinės vienalytės lygties sprendime C laikome ne konstanta, o x funkcija: C=C(x). Esant šiai sąlygai

Gautas išraiškas y ir y pakeičiame sąlyga:

Padauginkite abi lygties puses iš

Integruojame abi lygties puses naudodami integravimo dalimis formulę, gauname:

Čia C jau ne funkcija, o įprasta konstanta.

3) Bendrajame vienarūšės lygties sprendime

pakeiskite rastą funkciją C(x):

Gavome tą patį atsakymą, kaip ir spręsdami Bernulio metodu.

Savavališkos konstantos keitimo metodas taip pat tinka spręsti.

y'x+y=-xy².

Pateikiame lygtį į standartinę formą: y’+y/x=-y² (II).

1) Išspręskite vienalytę lygtį y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Abi lygties puses padauginame iš dx ir dalijame iš y: dy/y=-dx/x. Dabar integruokime:

Gautas išraiškas pakeičiame sąlyga (II):

Supaprastinkime:

Gavome lygtį su atskiriamais C ir x kintamaisiais:

Čia C jau įprasta konstanta. Integravimo proceso metu vietoj C(x) rašėme tiesiog C, kad nebūtų perkrautas žymėjimas. Ir pabaigoje grįžome prie C(x), kad nesupainiotume C(x) su naujuoju C.

3) Bendrajame vienalytės lygties y=C(x)/x sprendime pakeičiame rastą funkciją C(x):

Gavome tą patį atsakymą, kaip ir spręsdami Bernulio metodu.

Savikontrolės pavyzdžiai:

1. Perrašykime lygtį standartine forma: y’-2y=x.

1) Išspręskite vienalytę lygtį y’-2y=0. y’=dy/dx, taigi dy/dx=2y, padauginkite abi lygties puses iš dx, padalinkite iš y ir integruokite:

Iš čia rasime y:

Sąlygoje pakeičiame y ir y išraiškas (dėl trumpumo naudosime C vietoj C(x) ir C' vietoj C"(x)):

Norėdami rasti integralą dešinėje, naudojame integravimo pagal dalis formulę:

Dabar formulėje pakeičiame u, du ir v:

Čia C = konst.

3) Dabar į tirpalą pakeičiame vienalytę

Apsvarstykite pirmosios eilės tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį:
(1) .
Yra trys būdai, kaip išspręsti šią lygtį:

• konstantos kitimo metodas (Lagrange).

Apsvarstykime, kaip išspręsti pirmosios eilės tiesinę diferencialinę lygtį naudojant Lagranžo metodą.

Konstantos kitimo metodas (Lagrange)

Konstantos metodo variacijoje lygtį išsprendžiame dviem etapais. Pirmame žingsnyje supaprastiname pradinę lygtį ir išsprendžiame vienalytę lygtį. Antrame etape integravimo konstantą, gautą pirmajame sprendinio etape, pakeičiame funkcija. Tada ieškome bendro pradinės lygties sprendimo.

Apsvarstykite lygtį:
(1)

1 žingsnis Vienalytės lygties sprendimas

Ieškome homogeninės lygties sprendimo:

Tai yra atskiriama lygtis

Atskiriame kintamuosius - padauginkite iš dx, padalykite iš y:

Integruokime:

Integralas virš y – lentelė:

Tada

Sustiprinkime:

Pakeiskime konstantą e C C ir pašalinkime modulio ženklą, kuris reiškia padauginimą iš konstantos ±1, kurį įtrauksime į C:

2 veiksmas Pakeiskite konstantą C funkcija

Dabar pakeiskime konstantą C x funkcija:
C → u (x)
Tai yra, mes ieškosime pradinės lygties sprendimo (1) kaip:
(2)
Išvestinės radimas.

Pagal sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:
.
Pagal gaminių diferenciacijos taisyklę:

.
Pakeiskite pradinę lygtį (1) :
(1) ;

.
Sumažinami du nariai:
;
.
Integruokime:
.
Pakeisti į (2) :
.
Dėl to gauname bendrą pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimą:
.

Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimo Lagranžo metodu pavyzdys

Išspręskite lygtį

Sprendimas

Išsprendžiame homogeninę lygtį:

Mes atskiriame kintamuosius:

Padauginti iš:

Integruokime:

Lenteliniai integralai:

Sustiprinkime:

Pakeiskime konstantą e C C ir pašalinkime modulio ženklus:

Iš čia:

Pakeiskime konstantą C x funkcija:
C → u (x)

Išvestinio radimas:
.
Pakeiskite pradinę lygtį:
;
;
Arba:
;
.
Integruokime:
;
Lygties sprendimas:
.