Žodis „užsakymas“ dažnai vartojamas įvairiais klausimais. Pareigūnas duoda komandą: „Skaičiuokite skaitine tvarka“, tam tikra tvarka atliekami aritmetiniai veiksmai, sportininkai reitinguojami pagal ūgį, visi pirmaujantys šachmatininkai išrikiuojami tam tikra tvarka pagal vadinamuosius Elo koeficientus (amerikiečių profesorius kurie sukūrė sistemos koeficientus, leidžiančius atsižvelgti į visas žaidėjų sėkmes ir nesėkmes), po čempionato visos futbolo komandos išsidėsto tam tikra tvarka ir pan. Gaminant detalę, yra nustatyta operacijų tvarka, žodžių tvarka sakinyje (pabandykite suprasti, ką reiškia sakinys „ant seno žmogaus“, aš nepasodinau asilo!)
Išdėstę tam tikros aibės elementus vieną po kito, mes juos sutvarkome arba nustatome tam tikrą ryšį tarp jų tvarka. Paprasčiausias pavyzdys yra natūraliųjų skaičių tvarka. Jo natūralumas slypi tame, kad bet kurių dviejų natūraliųjų skaičių atveju mes žinome, kuris iš jų seka kitą arba kuris yra didesnis už kitą, todėl natūraliuosius skaičius galime išdėstyti tokia seka, kad didesnis skaičius būtų, pavyzdžiui, mažesnio dešinė: 1, 2, 3, ... . Žinoma, elementų seka gali būti rašoma bet kuria kryptimi, ne tik iš kairės į dešinę. Pačioje natūraliųjų skaičių sąvokoje jau yra tvarkos idėja. Nustatydami tam tikrą santykinį bet kurios aibės elementų išdėstymą, mes apibrėžiame joje tam tikrą dvejetainės eilės ryšį, kuris kiekvienu konkrečiu atveju gali turėti savo pavadinimą, pavyzdžiui, „būti mažesniam“, „būti vyresniam“, „į būti įtrauktas į ", "sekti" ir tt Simboliniai eilės žymėjimai taip pat gali būti įvairūs, pavyzdžiui, Í ir kt.
Pagrindinis skiriamasis ženklas tvarkos santykis yra tranzityvumo savybės buvimas. Taigi, jei turime reikalą su kai kurių objektų seka x 1, x 2, ..., x n,..., užsakyta, pavyzdžiui, pagal ryšį, tada iš to, kas atliekama x 1x 2... x n..., tai turėtų sekti bet kuriai porai x i, x j taip pat įvykdyti šios sekos elementai x ix j:
Dėl poros elementų x ij santykio grafe brėžiame rodyklę iš viršūnės x i iki viršaus x j t.y. iš mažesnio elemento į didesnį.
Užsakymo santykių grafiką galima supaprastinti naudojant vadinamąjį metodą Hasse diagramos. Hasse diagrama sudaryta taip. Mažesni elementai dedami žemiau, o didesni – aukščiau. Kadangi vien tokios taisyklės vaizdavimui nepakanka, brėžiamos linijos, rodančios, kuris iš dviejų elementų yra didesnis, o kuris mažesnis už kitą. Šiuo atveju pakanka nubrėžti tik linijas elementams, kurie iškart eina vienas po kito. Hasse diagramų pavyzdžiai pateikti paveikslėlyje:
Nereikia įtraukti rodyklių į Hasse diagramą. Hasse diagramą galima pasukti plokštumoje, bet ne savavališkai. Sukant būtina išlaikyti santykinę diagramos viršūnių padėtį (viršuje - apačioje):
Požiūris R gausiai X paskambino griežtos tvarkos požiūris, jei jis yra tranzityvus ir asimetriškas.
Iškviečiama aibė, kurioje apibrėžtas griežtos eilės ryšys užsakyta. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė yra išdėstyta santykiu „mažiau nei“. Tačiau tą patį rinkinį tvarko ir kitas santykis – „suskirstyta į“ ir „daugiau“.
Natūralių skaičių aibės santykio „mažiau nei“ grafikas gali būti pavaizduotas kaip spindulys:
Požiūris R V X vadinamas santykiu negriežta (dalinė) tvarka, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas. Bet koks negriežtos tvarkos santykis yra refleksyvus.
Epitetas „dalinis“ išreiškia faktą, kad galbūt ne visi rinkinio elementai tam tikru atžvilgiu yra palyginami.
Tipiški dalinės tvarkos santykių pavyzdžiai yra santykiai „ne didesnis nei“, „ne mažesnis už“ ir „ne didesnis nei“. Dalelė „ne“ santykių pavadinimuose išreiškia jų refleksiškumą. Santykis „ne daugiau kaip“ sutampa su santykiu „mažiau nei arba lygus“, o santykis „ne mažiau“ yra toks pat kaip „didesnis nei arba lygus“. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinama dalinė tvarka nėra griežtas tvarka. Dažnai dalinės (ne griežtos) tvarkos santykis žymimas simboliu "".
Įtraukimo santykis Í tarp tam tikros aibės poaibių taip pat yra dalinė tvarka. Akivaizdu, kad šiuo požiūriu ne kiekvienas du pogrupiai yra palyginami. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta dalinio įtraukimo tvarka visų rinkinio pogrupių rinkinyje (1,2,3). Rodyklės diagramoje, kurios turėtų būti nukreiptos į viršų, nerodomos.
Iškviečiami rinkiniai, kuriuose pateikiamas dalinis įsakymas iš dalies užsakyta, arba tiesiog užsakyta rinkiniai.
Elementai X Ir adresu iš dalies užsakytas rinkinys vadinamas palygink su mumis Jeigu Xadresu arba adresuX. IN kitaip jie nepalyginami.
Vadinama sutvarkyta aibė, kurioje bet kurie du elementai yra palyginami tiesiškai sutvarkytas, o tvarka yra tiesinė. Linijinė tvarka dar vadinama tobula tvarka.
Pavyzdžiui, visų rinkinys realūs skaičiai su natūraliąja tvarka, taip pat visi jos poaibiai yra tiesiškai išdėstyti.
Galima užsisakyti pačių įvairiausių objektų hierarchiškai.Štai keletas pavyzdžių.
1 pavyzdys: knygos dalys išdėstytos taip, kad knygoje būtų skyriai, skyriuose – skyriai, o skyriuose – poskyriai.
2 pavyzdys. Kompiuterio failų sistemos aplankai yra vienas kito viduje ir sudaro šakojančią struktūrą.
3 pavyzdys. Tėvų ir vaikų santykiai gali būti pavaizduoti kaip vadinamieji šeimos medis, kuri parodo, kas yra kieno protėvis (ar palikuonis).
Leisk į filmavimo aikštelę A duodamas dalinis įsakymas. Elementas X paskambino maksimalus (minimalus) aibės A elementas, jei iš to, kad Xadresu(adresuX), seka lygybė X= u. Kitaip tariant, elementas X yra maksimalus (minimalus), jei bet kuriam elementui adresu ar tai netiesa Xadresu(adresuX), arba yra įvykdytas X=u. Taigi maksimalus (minimalus) elementas yra didesnis (mažesnis) už visus nuo jo skirtingus elementus, su kuriais jis yra susijęs.
Elementas X paskambino didžiausias (mažiausias), jei kam adresuÎ A atlikta adresu< х (х< у).
Iš dalies užsakytas rinkinys gali turėti kelis minimalius ir/ar maksimalius elementus, tačiau negali būti daugiau nei vienas minimalus ir maksimalus elementas. Mažiausias (didžiausias) elementas taip pat yra minimalus (maksimalus), tačiau atvirkščiai nėra tiesa. Kairėje esančiame paveikslėlyje parodyta dalinė tvarka su dviem minimaliais ir dviem didžiausiais elementais, o dešinėje - dalinė tvarka su mažiausiais ir didžiausiais elementais:
Baigtiniame iš dalies sutvarkytame rinkinyje visada yra minimalūs ir didžiausi elementai.
Sutvarkytas rinkinys, turintis didžiausius ir mažiausius elementus, vadinamas ribotas. Paveikslėlyje parodytas begalinės ribos aibės pavyzdys. Žinoma, neįmanoma pavaizduoti begalinio rinkinio baigtiniame puslapyje, tačiau galite parodyti jo konstravimo principą. Čia kilpos šalia viršūnių nerodomos, kad būtų supaprastintas piešinys. Dėl tos pačios priežasties lankai, rodantys tranzityvumo savybę, nerodomi. Kitaip tariant, paveiksle parodyta eilės santykio Hasse diagrama.
Begaliniuose rinkiniuose gali nebūti didžiausių ar minimalių elementų arba abiejų. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibės (1,2, 3, ...) mažiausias elementas yra 1, bet ne didžiausias. Visų natūraliosios tvarkos realiųjų skaičių aibė neturi nei mažiausio, nei didžiausio elemento. Tačiau jo poaibis susideda iš visų skaičių X< 5, turi didžiausią elementą (skaičius 5), bet neturi mažiausio.
Tegu R yra dvejetainis ryšys aibėje A.
APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas eilės santykiu A arba tvarka A, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas.
APIBRĖŽIMAS. R eilės santykis aibėje A vadinamas negriežtu, jei jis yra refleksinis A, ty kiekvienam iš A.
Eilės santykis R vadinamas griežtuoju (prie A), jei jis yra antirefleksinis A, tai yra bet kuriam iš A. Tačiau iš tranzityvinio santykio R antirefleksyvumo išplaukia, kad jis yra antisimetriškas. Todėl galima pateikti tokį lygiavertį apibrėžimą.
APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis santykis R aibėje A vadinamas griežta tvarka A, jei jis yra tranzityvus ir antirefleksinis A.
Pavyzdžiai. 1. Tegul yra visų aibės M poaibių aibė. Įtraukimo santykis aibėje yra negriežtos eilės santykis.
2. Santykiai su realiųjų skaičių aibe yra atitinkamai griežtos ir negriežtos eilės ryšiai.
3. Natūraliųjų skaičių aibėje dalijamumo santykis yra negriežtos eilės santykis.
APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas išankstinio užsakymo ryšiu arba išankstiniu užsakymu A, jei jis yra refleksinis ir pereinamasis.
Pavyzdžiai. 1. Sveikųjų skaičių aibėje dalijamumo santykis nėra tvarka. Tačiau jis yra refleksyvus ir pereinamasis, o tai reiškia, kad tai yra išankstinis užsakymas.
2. Loginės implikacijos santykis yra teiginių logikos formulių aibės išankstinė tvarka.
Linijinė tvarka. Svarbus specialus tvarkos atvejis yra linijinė tvarka.
APIBRĖŽIMAS. Aibės eilės santykis vadinamas tiesine tvarka arba tiesine tvarka, jei jis yra prijungtas prie , t. y. bet kuriam x, y iš A
Tvarkos ryšys, kuris nėra tiesinis, paprastai vadinamas dalinės tvarkos ryšiu arba daline tvarka.
Pavyzdžiai. 1. Santykis „mažiau nei“ realiųjų skaičių aibėje yra tiesinės eilės santykis.
2. Rusų kalbos žodynuose priimtas tvarkos santykis vadinamas leksikografiniu. Rusų kalbos žodžių rinkinio leksikografinė tvarka yra linijinė.
Santykių savybės:
1) refleksyvumas;
2) simetrija;
3)tranzityvumas.
4) ryšys.
Požiūris R rinkinyje X paskambino atspindintis, jei apie kiekvieną aibės elementą X galime sakyti, kad jis yra santykiuose R Su savimi: XRx. Jei santykis yra refleksinis, tai kiekvienoje grafo viršūnėje yra kilpa. Ir atvirkščiai, grafikas, kurio kiekvienoje viršūnėje yra kilpa, yra refleksinio ryšio grafikas.
Refleksinių santykių pavyzdžiai yra santykis „daugelis“ natūraliųjų skaičių aibėje (kiekvienas skaičius yra savęs kartotinis) ir trikampių panašumo santykis (kiekvienas trikampis yra panašus į save) ir „lygybės“ santykis ( kiekvienas skaičius yra lygus sau pačiam) ir kt.
Yra ryšių, kurie neturi refleksyvumo savybės, pavyzdžiui, segmentų statmenumo santykis: ab, ba(nėra nė vieno segmento, kuris galėtų būti statmenas sau) . Todėl šio ryšio grafike nėra nė vienos kilpos.
Santykis „ilgesnis“ atkarpoms, „daugiau 2“ natūraliems skaičiams ir pan. neturi refleksyvumo savybės.
Požiūris R rinkinyje X paskambino antirefleksinis, jei kuriam nors elementui iš rinkinio X visada klaidinga XRx: .
Yra santykių, kurie nėra nei refleksyvūs, nei antirefleksyvūs. Tokių santykių pavyzdys yra santykių „taškas X simetriškas taškui adresu santykinai tiesus l“, apibrėžta plokštumos taškų rinkinyje. Tiesą sakant, visi tiesės taškai l yra simetriški sau ir taškai, kurie nėra tiesioje linijoje l, patys nėra simetriški.
Požiūris R rinkinyje X paskambino simetriškas, jei įvykdoma sąlyga: nuo to, kad elementas X yra elemento atžvilgiu y, iš to seka, kad elementas y yra santykyje R su elementu X:xRyyRx.
Simetrinių santykių grafikas turi tokią savybę: kartu su kiekviena rodykle, kylančia iš XĮ y, diagramoje yra rodyklė iš yĮ X(35 pav.).
Simetrinių santykių pavyzdžiai gali būti šie: atkarpų „lygiagretumo“ santykis, atkarpų „statmenumo“ santykis, atkarpų „lygybės“ santykis, trikampių panašumo santykis, atkarpų „lygybės“ santykis. trupmenos ir kt.
Yra santykių, kurie neturi simetrijos savybės.
Iš tiesų, jei segmentas X ilgesnis nei segmentas adresu, tada segmentas adresu negali būti ilgesnis už segmentą X. Šio ryšio grafikas turi ypatumą: viršūnes jungianti rodyklė nukreipta tik viena kryptimi.
Požiūris R paskambino antisimetriškas, jei dėl kokių nors elementų X Ir y nuo tiesos xRy turėtų būti klaidinga yRx: : xRyyRx.
Be „ilgesnio“ ryšio, daugelyje segmentų yra ir kitų antisimetrinių ryšių. Pavyzdžiui, skaičių santykis „didesnis nei“ (jei X daugiau adresu, Tai adresu daugiau negali būti X), požiūris „daugiau apie“ ir kt.
Yra santykių, kurie neturi nei simetrijos, nei antisimetrijos savybės.
Ryšys R rinkinyje X paskambino tranzityvus, jei iš to elemento X yra santykyje R su elementu y, ir elementas y yra santykyje R su elementu z, iš to seka, kad elementas X yra santykyje R su elementu z: xRy Ir yRzxRz.
Pereinamųjų santykių grafikas su kiekviena rodyklių pora, kilusia iš XĮ y ir iš yĮ z, yra rodyklė iš XĮ z.
Santykis „ilgesnis“ segmentų rinkinyje taip pat turi tranzityvumo savybę: jei segmentas A ilgesnis nei segmentas b, linijos atkarpa b ilgesnis nei segmentas Su, tada segmentas A ilgesnis nei segmentas Su. Segmentų rinkinio „lygybės“ santykis taip pat turi tranzityvumo savybę: (a=b, b=c)(a=c).
Yra santykių, kurie neturi tranzityvumo savybės. Toks ryšys yra, pavyzdžiui, statmenumo santykis: jei atkarpa A statmenai atkarpai b ir segmentą b statmenai atkarpai Su, tada segmentai A Ir Su ne statmenai!
Yra dar viena santykių savybė, kuri vadinama ryšio savybe, o ją turintis ryšys vadinamas sujungtu.
Požiūris R rinkinyje X paskambino prijungtas, jei dėl kokių nors elementų X Ir y iš šio rinkinio tenkinama ši sąlyga: jei X Ir y yra skirtingi, tada arba X yra santykyje R su elementu y, arba elementas y yra santykyje R su elementu X. Naudojant simbolius, tai galima parašyti taip: xyxRy arba yRx.
Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių santykis „didesnis nei“ turi ryšio savybę: bet kokiems skirtingiems skaičiams x ir y galima teigti, x>y, arba y>x.
Ant grafiko susiję santykiai bet kurios dvi viršūnės yra sujungtos rodykle. Priešingas teiginys taip pat teisingas.
Yra santykių, kurie neturi ryšio savybės. Toks ryšys, pavyzdžiui, yra natūraliųjų skaičių aibės dalijamumo santykis: tokius skaičius galime pavadinti x ir y kad ir koks skaičius X nėra skaičiaus daliklis y, nei numeris y nėra skaičiaus daliklis X(skaičiai 17 Ir 11 , 3 Ir 10 ir tt) .
Pažvelkime į kelis pavyzdžius. Filmavimo aikštelėje X=(1, 2, 4, 8, 12) pateikiamas santykis „skaičius“. X skaičiaus kartotinis y“ Sukurkime šio ryšio grafiką ir suformuluokime jo savybes.
Sakoma, kad trupmenų lygybės santykis yra ekvivalentiškumo santykis.
Požiūris R rinkinyje X paskambino lygiavertiškumo santykis, jei jis vienu metu turi refleksyvumo, simetrijos ir tranzityvumo savybes.
Ekvivalentiškumo santykių pavyzdžiai: lygybės santykiai geometrines figūras, tiesių lygiagretumo santykis (su sąlyga, kad sutampančios tiesės laikomos lygiagrečiomis).
Aukščiau aptartame „trupmenų lygybės“ santykyje aibė X suskirstyti į tris poaibius: ( ; ; }, {; } , (). Šie poaibiai nesikerta, o jų sąjunga sutampa su aibe X, t.y. turime rinkinio skaidinį į klases.
Taigi, jei aibėje X yra pateiktas lygiavertiškumo ryšys, tada jis sugeneruoja šios aibės skaidinį į porinius nejungtus poaibius – lygiavertiškumo klases.
Taigi, mes nustatėme, kad lygybės santykis rinkinyje
X=( ;; ; ; ; ) atitinka šios aibės padalijimą į lygiavertiškumo klases, kurių kiekviena susideda iš viena kitai lygių trupmenų.
Aibės padalijimo į klases naudojant tam tikrą ekvivalentiškumo santykį principas yra toks svarbus principas matematika. Kodėl?
Pirma, lygiavertis reiškia lygiavertį, pakeičiamą. Todėl tos pačios lygiavertiškumo klasės elementai yra keičiami. Taigi, trupmenos, esančios toje pačioje ekvivalentiškumo klasėje (; ; ), yra neatskiriami lygybės ir trupmenos santykio požiūriu pvz., gali būti pakeistas kitu . Ir šis pakeitimas nepakeis skaičiavimų rezultato.
Antra, kadangi lygiavertiškumo klasėje yra elementų, kurie kažkokio santykio požiūriu yra neatskiriami, manoma, kad lygiavertiškumo klasę lemia bet kuris jos atstovas, t.y. savavališkas klasės elementas. Taigi bet kurią lygių trupmenų klasę galima nurodyti nurodant bet kurią šiai klasei priklausančią trupmeną. vieno atstovo lygiavertiškumo klasė leidžia tirti atstovų aibę iš lygiavertiškumo klasių, o ne visus aibės elementus. Pavyzdžiui, lygiavertiškumo santykis „turėti tą patį viršūnių skaičių“, apibrėžtas daugiakampių aibėje, sukuria šios rinkinio skaidinį į trikampių, keturkampių, penkiakampių ir kt. klases. tam tikrai klasei būdingos savybės yra laikomos vienu iš jos atstovų.
Trečia, aibės padalijimas į klases naudojant lygiavertiškumo ryšį naudojamas naujoms sąvokoms įvesti. Pavyzdžiui, „linijų pluošto“ sąvoką galima apibrėžti kaip tai, ką lygiagrečios linijos turi viena su kita.
Kitas svarbus santykių tipas yra užsakymo santykiai. Apsvarstykime problemą filmavimo aikštelėje X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) santykis „turi tą patį likutį, kai dalinamas iš 3 “ Šis ryšys sukuria rinkinio skaidinį Xį klases: visi skaičiai pateks į vieną, padalijus iš 3 pasirodo, kad tai lieka 0 (tai skaičiai 3, 6, 9 ). Antroje – skaičiai, padalyti iš 3 likusi dalis yra 1 (tai skaičiai 4, 7, 10 ). Trečiajame bus visi skaičiai, kuriuos padalijus iš 3 likusi dalis yra 2 (tai skaičiai 5, 8 ). Iš tiesų, gautos aibės nesusikerta ir jų sąjunga sutampa su aibe X. Todėl santykis „turi tą patį likutį, kai yra padalintas iš 3 “, apibrėžta rinkinyje X, yra lygiavertiškumo santykis.
Kitaip tariant, daug mokinių klasėje gali būti rūšiuojami pagal ūgį arba amžių. Atkreipkite dėmesį, kad šis ryšys turi antisimetrijos ir tranzityvumo savybes. Arba visi žino raidžių tvarką abėcėlėje. Tai suteikia požiūris „turėtų“.
Požiūris R rinkinyje X paskambino griežtos tvarkos santykis, jei jis vienu metu turi antisimetrijos ir tranzityvumo savybes. Pavyzdžiui, santykis " X< y».
Jei santykis turi refleksyvumo, antisimetrijos ir tranzityvumo savybių, tai toks jis ir bus negriežtas santykis. Pavyzdžiui, santykis " Xy».
Tvarkos ryšių pavyzdžiai: santykis „mažiau nei“ natūraliųjų skaičių rinkinyje, „trumpesnis“ santykis segmentų rinkinyje. Jei tvarkos santykis taip pat turi ryšio savybę, tada sakoma, kad jis yra tiesinės tvarkos santykis. Pavyzdžiui, santykis „mažiau nei“ natūraliųjų skaičių aibėje.
Krūva X paskambino tvarkingas, jei joje nurodytas užsakymo santykis.
Pavyzdžiui, daugelis X={2, 8, 12, 32 ) galima užsisakyti naudojant santykį „mažiau nei“ (41 pav.), arba tai galima padaryti naudojant santykį „daugelis“ (42 pav.). Tačiau, būdami tvarkos santykiai, santykiai „mažiau nei“ ir „keli“ natūraliųjų skaičių aibę tvarko įvairiais būdais. Ryšys „mažiau nei“ leidžia palyginti bet kuriuos du skaičius iš rinkinio X, tačiau santykis „daugelis“ šios savybės neturi. Gerai, pora skaičių. 8 Ir 12 nesusijęs su santykiu „daugelis“: negalima to teigti 8 daugkartinis 12 arba 12 daugkartinis 8.
Nereikėtų manyti, kad visi santykiai skirstomi į lygiavertiškumo ir tvarkos santykius. Egzistuoja daugybė santykių, kurie nėra nei lygiaverčiai, nei tvarkos santykiai.
Svarbus tipas dvejetainiai santykiai- tvarkos santykiai. Griežtas tvarkos santykis - dvejetainis ryšys, kuris yra antirefleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus:
paskirtis - (A prieš tai b). Pavyzdžiai apima
santykiai „daugiau“, „mažiau“, „vyresni“ ir kt. Skaičiams įprastas žymėjimas yra ženklai "<", ">".
Negriežtas tvarkos santykis - dvejetainis refleksinis, antisimetrinis ir tranzityvinis santykis. Kartu su natūraliais negriežtos skaičių nelygybės pavyzdžiais, pavyzdys gali būti santykis tarp plokštumos ar erdvės taškų, „kad būtų arčiau koordinačių pradžios“. Negriežta nelygybė, skirta sveikiesiems ir realiiesiems skaičiams, taip pat gali būti laikoma lygybės ir griežtos tvarkos santykių disjunkcija.
Jeigu sporto turnyre vietų pasiskirstymas nenumatytas (t.y. kiekvienas dalyvis gauna tam tikrą, tik valgymo/apdovanotą vietą), tai yra griežtos tvarkos pavyzdys; kitu atveju jis nėra griežtas.
Tvarkos ryšiai nustatomi aibėje, kai kai kurioms ar visoms jos elementų poroms ryšys
pirmenybė . Užduotis - tam tikros eilės aibei vadinamas ryšys jos "tvarkymas, o pats „rinkinys“ dėl to tampa užsakyta. Eilės ryšiai gali būti įvedami įvairiais būdais griežta tvarka. Begalinį rinkinį galima užsisakyti begale būdų. Domina tik tie įsakymai, kurie turi prasmę.
Jei užsakymo santykiui R rinkinyje .M o kai kurie skirtingi elementai palaiko bent vieną iš santykių
aRb arba bRa, tada elementai A Ir b yra vadinami palyginamas, kitaip - nepalyginamas.
Visiškai (arba tiesiškai) užsakytas rinkinys M -
aibė, kurioje nurodytas eilės santykis, ir bet kurie du aibės elementai M palyginamas; iš dalies užsakytas komplektas- tas pats, bet leidžiamos nepalyginamų elementų poros.
Tiesiškai sutvarkyta yra taškų rinkinys tiesėje, turintis ryšį „daugiau į dešinę“, sveikųjų skaičių, racionaliųjų skaičių, realiųjų skaičių aibė su ryšiu „didesnis nei“ ir kt.
Iš dalies sutvarkytos aibės pavyzdys būtų trimačiai vektoriai, jei tvarka pateikiama taip, jei
Tai yra, jei pirmenybė vykdoma pagal visas tris koordinates, vektoriai (2, 8, 5) ir (6, 9, 10) yra palyginami, bet vektoriai (2, 8, 5) ir (12, 7, 40) nėra palyginami. Šį rikiavimo būdą galima išplėsti bet kokio matmens vektoriams: vektoriui
yra prieš vektorių, jei
Ir padaryta
Galime apsvarstyti kitus vektorių rinkinio išdėstymo pavyzdžius.
1) dalinis užsakymas: 
, Jei
Tie. pagal vektoriaus ilgį; vienodo ilgio vektoriai yra nepalyginami.
2) tiesinė tvarka: 
, Jei a
Paskutiniame pavyzdyje pristatoma abėcėlės tvarka.
Abėcėlė yra poromis skirtingų simbolių, vadinamų abėcėlės raidėmis, rinkinys. Pavyzdys yra bet kurios Europos kalbos abėcėlė, taip pat 10 arabiškų skaitmenų abėcėlė Kompiuteryje klaviatūra ir kai kurie pagalbiniai įrankiai nustato galiojančių simbolių abėcėlę.
Žodis abėcėlėjeA - eilė abėcėlės simbolių A.Žodis rašomas abėcėlės raidėmis iš eilės, iš kairės į dešinę, be tarpų Natūralusis skaičius yra skaitmeninės abėcėlės žodis Formulė ne visada yra žodis dėl netiesinio simbolių išdėstymo, viršutinio indekso (rodiklio) ir apatinio indekso (kintamųjų indeksų, logaritmų pagrindų) simbolių, trupmeninės juostos, radikalų ženklų ir kt. ; tačiau pagal kai kuriuos susitarimus jis gali būti įrašytas į eilutę, kuri naudojama, pavyzdžiui, kompiuterių programavime (pavyzdžiui, eksponencijos ženklas rašomas kaip 2 daugybos ženklai iš eilės: 5**3 reiškia trečią laipsnį numeris 5.
Leksikografinė (abėcėlės) tvarka – skirtingiems abėcėlės žodžiams su tvarka
simboliai nustato tvarką: , jei
galimas įvadas 
, kuriame arba
(požodis gali būti tuščias), arba - tuščias požodis
Šiame apibrėžime - priešdėlis (pradinis požodis), kuris yra vienodas abiem žodžiams - arba pirmieji kairėje yra skirtingi
simboliai, arba – paskutinis žodžio simbolis – uodega
požodžiais.
Taigi žodžių abėcėlinę tvarką lemia pirmasis kairėje juos skiriantis simbolis (pavyzdžiui, žodis KONUS yra prieš žodį COSINE, nes jie pirmiausia skiriasi trečiąja raide, o N prieš S rusiškoje abėcėlėje). Tarpo simbolis taip pat laikomas prieš bet kurį abėcėlės ženklą - tuo atveju, kai vienas iš žodžių yra kito priešdėlis (pavyzdžiui, CON ir CONE).
Pratimas. Patikrinkite, ar natūraliųjų skaičių, turinčių vienodą skaičių po kablelio, abėcėlės tvarka sutampa su jų tvarka pagal dydį.
Leisti A - iš dalies užsakytas komplektas. Elementas vadinamas maksimalus V A, jei nėra elemento, kuriam A< b. Elementas A paskambino didžiausia V A, jei kiekvienam skiriasi nuo A elementas baigtas b<а-
Nustatoma simetriškai minimalus ir mažiausias elementai. Didžiausių ir didžiausių (atitinkamai mažiausio ir minimalaus) elementų sąvokos skiriasi – žr. pavyzdys 14 pav. Rinkinys pav. 14,a turi didžiausią elementą R, tai taip pat yra didžiausias, yra du minimalūs elementai: s ir t, nėra mažiausio. 14b pav., priešingai, yra rinkinys, turintis du maksimalius elementus / ir j, nėra didžiausio, minimalaus, dar žinomo kaip mažiausio – vieno: T.
Apskritai, jei aibėje yra didžiausias (atitinkamai, mažiausias) elementas, tada yra tik vienas (gali būti ir nė vieno).
Gali būti keli didžiausi ir mažiausi elementai (gali būti iš viso – begalinėje aibėje; galutiniu atveju – turi būti).
Pažvelkime į dar du pavyzdžius. - santykis rinkinyje N:
"Y dalijasi X", arba "X yra skaičiaus daliklis Y"(Pavyzdžiui,
) yra refleksinis ir pereinamasis. Panagrinėkime tai baigtinėje skaičiaus 30 daliklių aibėje.
Ryšys yra dalinės tvarkos santykis (ne griežtas)
ir yra pavaizduota tokia 8 eilės matrica, kurią sudaro 31 simbolis
Atitinkamoje grandinėje su 8 viršūnėmis turi būti 31 nuoroda. . Tačiau žiūrėti bus patogiau, jei neįtrauksime 8
konnektyvai-kilpos, vaizduojantys santykio refleksyvumą (matricos įstrižiniai elementai) ir tranzityviniai jungikliai, t.y. raiščiai
Jei yra tarpinis skaičius Z toks, kad
(pavyzdžiui, jungiamasis nuo). Tada schemoje
liks 12 raiščių (15 pav.); trūkstamos nuorodos yra numanomos „per tranzityvumą“. Skaičius 1 yra mažiausias, o skaičius 30
didžiausi elementai . Jei iš 30 skaičiaus neįtrauksime ir
tada apsvarstykite tą pačią dalinę tvarką rinkinyje
nėra maksimalaus elemento, bet yra 3 didžiausi elementai: 6, 10, 15
Dabar sukurkime tą pačią grandinę, skirtą ryšiui ant Būlio
(visų poaibių aibė) trijų elementų aibės
Sudėtyje yra 8 elementai:
Patikrinkite, ar atitinkate elementus a, b, c, atitinkamai skaičiai 2, 3, 5 ir aibių jungimo operacijos yra atitinkamų skaičių daugyba (t. y., pavyzdžiui, poaibis atitinka
sandauga 2 5 = 10), tada santykių matrica bus būtent tokia
tas pats kaip ir santykiams; šių dviejų ryšių diagramos su aprašytaisiais
kilpų ir tranzityvinių jungčių santrumpos sutampa iki žymėjimo (žr. 16 pav.). Mažiausias elementas yra
Ir didžiausias -
Dvejetainiai santykiai R rinkinyje A Ir S rinkinyje IN yra vadinami izomorfinis, jei tarp A ir B galima nustatyti „vienas su vienu“ korespondenciją Г, kurioje, jei (t.y.
elementai yra susiję R), tada (vaizdai
šie elementai yra susiję S).
Taigi iš dalies sutvarkytos aibės yra izomorfinės.
Nagrinėjamas pavyzdys leidžia apibendrinti.
Būlio santykis yra dalinė tvarka. Jeigu
Tie. krūva E yra P elementai, tada kiekvienas
atitinka poaibį P-matmenų vektorius su
komponentai , kur yra būdinga funkcija
rinkinys A/ . Visų tokių vektorių aibę galima laikyti taškų rinkiniu P-dimensinė aritmetinė erdvė su koordinatėmis 0 arba 1, arba, kitaip tariant, kaip viršūnės P- matmenų
vieneto kubas, žymimas , t.y. kubas vienetinio ilgio kraštais. Dėl n = 1, 2, 3 nurodyti taškai atitinkamai reiškia atkarpos galus, kvadrato ir kubo viršūnes – taigi ir bendras pavadinimas. Jei /7=4, šio ryšio grafinis vaizdas yra 17 pav. Prie kiekvienos 4 dimensijos kubo viršūnės atitinkama
4 elementų rinkinio poaibis ir keturmatis
vektorius, vaizduojantis būdingą šio poaibio funkciją. Viršūnės, atitinkančios poaibius, kurie skiriasi tuo, kad yra tiksliai vienas elementas, yra sujungtos viena su kita.
17 pav. keturmatis kubas pavaizduotas taip, kad ant vieno
lygiu, nepalyginami elementai yra išdėstyti poromis, turinčių vienodą vienetų skaičių įraše (nuo 0 iki 4), arba, kitaip tariant, tiek pat elementų vaizduojamame poaibyje.
18a pav. b – kiti vaizdiniai 4 dimensijų kubo vaizdai;
18a pav. – pirmojo kintamojo ašis OI nukreipta į viršų (tyčinis nukrypimas nuo vertikalės, kad skirtingi kubo kraštai nesusilietų):
šiuo atveju 3 dimensijos subkubas, atitinkantis X= 0 yra žemiau, ir už X= 1 – didesnis. Fig. 186 ta pati ašis OI nukreiptas iš kubo vidaus į išorę atitinka vidinis subkubas; X= O ir išorinis yra X = 1.
IN 
Medžiagų byloje rodomas 5 matmenų vienetinio kubo vaizdas (p. 134).
2) sąryšis aibėje X vadinamas ryšiu griežtai tvarka, jei jis yra antisimetriškas ir tranzityvus. Santykiai vadinami antisimetriškas, jei iš to, kad a yra c santykyje, neišplaukia, kad b yra a atžvilgiu (a, ∈ X, o R → R a) R – būti santykiuose. Santykiai vadinami tranzityvus, jei bet kokiems elementams a, b, c nuo to, kad a R in ir R c → kad a R c, a, b, c ∈ X. Pavyzdžiui: santykis „daugiau, mažiau“. Iškviečiama aibė, kurioje yra apibrėžtas griežtos eilės ryšys užsakyta daug.
3) sąryšis aibėje X vadinamas ryšiu ne griežta tvarka, jei jis yra refleksinis, asimetriškas ir tranzityvus. Pavyzdžiui: santykis ≥ ≤. Jei tvarkos santykis turi ryšio savybę, tada sakoma, kad jis yra santykis linijinė tvarka. Santykiai vadinami susijęs aibėje X, jei bet kuriems elementams x ir y tenkinama ši sąlyga: iš to, kad x ≠ y, išplaukia, kad x R y arba y R x. Jei aibėje pateikiamas tiesinės eilės ryšys, tada jis tiesiškai išdėsto nurodytą aibę.
5. Realiųjų skaičių aibė. Jo savybės. Racionaliųjų skaičių aibės išplėtimą lėmė poreikis išmatuoti atkarpų, plotų ir kt. Bet kurio matavimo pagrindas yra tas pats principas: matuojamas objektas lyginamas su etalonu (objektu ar reiškiniu), kurio reikšmė turi skaitinę reikšmę, lygią 1, tačiau vieneto segmentas ne visada įterpiamas į išmatuojamą objektą. Todėl matuojant daromos dvi prielaidos, kurios matematikoje apibrėžiamos kaip aksiomos: 1) Vieną etaloną galima padalyti į bet kokį lygių dalių arba dalių skaičių. 2) Pasirinktu standartu galima išmatuoti bet kokį norimo dydžio objektą. Atkarpoms šias aksiomas suformulavo Archimedas: Nesvarbu, koks mažas būtų atkarpa AB ir koks didelis būtų atkarpa CD, yra natūralusis skaičius N, kad N*AB>CD, jei išmatuotame segmente CD yra lygus atkarpų skaičius AB, tada atkarpos CD ilgis išreiškiamas natūraliuoju skaičiumi. Jeigu išmatuotame segmente CD atkarpa AB dedama nevienodą skaičių kartų, tai AB padalinama į 10 vienodų atkarpų, vadinamų etalonų dešimtosiomis. Jei reikia, dešimtadalį galima padalyti į 10 lygių dalių ir pan. Jei segmente CD telpa lygus skaičius 10, 100 ir t.t. atkarpų AB trupmenomis, tada atkarpos CD ilgis išreiškiamas racionaliuoju skaičiumi. Tačiau atkarpos ilgis ne visada gali būti išreikštas natūraliu arba racionaliu skaičiumi. Yra nesulyginami segmentai, t.y. atkarpos, kurių ilgis neišreiškiamas racionaliuoju skaičiumi. (teoremos žr. 32 klausimą)
Skaičiai, kurie gali būti pavaizduoti kaip begalinės dešimtainės neperiodinės trupmenos, vadinami neracionaliais. Racionaliųjų skaičių aibės ir neracionaliųjų skaičių aibės sąjunga yra realiųjų skaičių aibė ().
Realiųjų skaičių aibės savybės. 1). Skaičių linijos taškų aibė lygi realiųjų skaičių aibei.
0 M 1 Paimkite bet kurį tašką M atkarpoje nuo 0 iki 1,
D nubrėžkite puslankį, kurio centras yra ties
Šios atkarpos vidurio taškas ir spindulys
K O S lygus pusei jo. Iš M nubrėžkime statmeną, kol jis susikirs su puslankiu. Gauname D. Šis taškas yra unikalus, nes puslankis ir tiesė susikerta tik viename taške. Nuo šio segmento vidurio nubrėžkite tiesią liniją per D, kol ji susikirs su skaičiaus ašimi. Gauname K, kuris nustatomas unikaliu būdu, nes tiesės susikerta tik viename taške. Pasirinkę kitą savavališką tašką tam tikroje atkarpoje ir pakartodami visą procesą, gauname, kad bet kuris atkarpos taškas nuo 0 iki 1 atitinka vieną skaičių linijos tašką. Argumentuodami atvirkštine tvarka, galime parodyti, kad bet kuris skaičių tiesės taškas taip pat atitinka vieną tašką nuo 0 iki 1. Jei skaičių tiesei priklauso savavališkas taškas E, tai per taškus M ir E galima nubrėžti tik vieną tiesę. kuri kerta puslankį. Iš puslankio galite nuleisti statmeną tam tikram segmentui. Taigi tarp atkarpos nuo 0 iki 1 taškų ir skaičių tiesės taškų nustatomas abipusiai identiškas atvaizdavimas, t.y. jie vienodai galingi.
2) realiųjų skaičių aibė neskaičiuojama, t.y. jis nelygus natūraliųjų skaičių aibei.
3). Realiųjų skaičių aibė yra ištisinė aibė. Realiųjų skaičių aibės tęstinumas yra tas, kad tarp bet kurių dviejų realiųjų skaičių yra begalinė tik realiųjų skaičių aibė
6. Rinkinio padalijimas į klases. Klasifikavimo pavyzdžiai. Ekvivalentiškumo ryšys, jo savybės. Ryšys tarp ekvivalentiškumo santykio ir aibės padalijimo į klases. Pažiūrėkime į pavyzdį. Tegu duota aibė M (išgaubtų daugiakampių aibė), sudarome visus šios aibės poaibius: A 1 – trikampių aibė; A2 – keturkampių rinkinys; A3 – penkiakampių rinkinys; Ak yra k-gonų rinkinys. Aibė M laikoma padalinta į klases, jei tenkinamos šios sąlygos:
- kiekvienas poaibis A nėra tuščias
- bet kurių dviejų poaibių sankirta yra tuščioji aibė
- visų poaibių sąjunga yra duotoji aibė M
Vadinamas aibės padalijimas į klases klasifikacija.
Požiūris aibėje X vadinamas lygiavertis , jei jis yra refleksinis, simetriškas ir tranzityvus. Santykiai vadinami atspindintis, jei kuris nors elementas iš aibės X yra santykyje su savimi a ∈ X, o R a (R yra santykyje). Santykiai vadinami simetriškas, jei bet kuriems dviem aibės X elementams (a ir b) iš to, kad a yra susijęs su b, iš to išplauks, kad b yra susijęs su a (a, b ∈ X ir R b → in R a). Santykiai vadinami tranzityvus, jei bet kuriems elementams a, b, c nuo to, kad a R in ir R c → kad a R c, a, b, c ∈ X. Ekvivalentiškumo santykių grafike yra kilpos, abipusiai atvirkštinės rodyklės ir trikampės rodyklėmis. Ekvivalentiškumo santykis ir tik jis yra susijęs su aibės padalijimu į klases. Šį teiginį galima suformuluoti kaip teoremos: Jei aibėje X nurodytas lygiavertiškumo ryšys, tai šis ryšys padalija aibę X į klases ir atvirkščiai, jei aibė X suskirstyta į klases, tada atitikmenų santykis tenkinamas duotoje aibėje. Pavyzdžiui. Tegul požiūris suteikiamas – gyventi tame pačiame name. Parodykime, kad namo gyventojų būrys bus suskirstytas į klases. Ir kiekviena klasė yra atskiras butas. Šiam padalijimui viskas bus atlikta būtinas sąlygas aibės padalijimas į klases: a) kiekviena klasė nėra tuščia, nes kiekviename bute yra registruotas bent 1 asmuo, b) klasės nesutampa (1 asmuo neįregistruotas dviejuose skirtinguose butuose), c) visų klasių sąjunga, t.y. kiekvieno buto gyventojai, ir sudaro namo gyventojų visumą.
18 . Aibių teorinis požiūris į neneigiamų sveikųjų skaičių teorijos konstravimą. Lygybės santykiai, daugiau (mažiau). Dvi aibės A ir B vadinamos lygiavertėmis arba vienodai galingomis, jei tarp jų galima nustatyti „vienas su vienu“ atitikimą, tai yra, jei kiekvienas aibės A elementas yra susietas su vienu aibės B elementu ir atvirkščiai. Galia arba kardinalus skaičius yra savybė, būdinga bet kuriai aibei B, kuri yra lygiavertė aibei A, ir nėra būdinga jokiai kitai aibei, kuri nėra lygi aibei A. A~B n (A) = a yra galia. Lygios galios santykis yra lygiavertiškumo santykis, t.y. jam tenkinamos refleksyvumo, simetrijos ir tranzityvumo savybės. Ekvivalentiškumo santykis padalija visų aibių aibę į ekvivalentiškumo klases. Norėdami apibrėžti natūraliojo skaičiaus ir nulio sąvoką, apsvarstykite visų baigtinių aibių skaidinį.
Tegul M yra visų baigtinių aibių aibė. M = K 0 Ka Kv, kur Ko yra tuščių aibių klasė, Ka yra aibė, kurioje yra lygios aibės a 1, a 2, a 3 ir kt., Kv yra aibė. Turinčios vienodo kardinalumo rinkinius 1, 2, 3 ir kt. Aibėje M taip pat gali būti kitų skirtingo pobūdžio poaibių K, kurie susideda iš vienodos galios aibių. Kiekvienai lygiavertiškumo klasei K būdinga tai, kad jos susideda iš vienodo skaičiaus elementų, nėra kitų bendrų savybių. Neneigiamas sveikasis skaičius aibės teoriniu požiūriu yra bendroji vienodos galios baigtinių aibių klasės savybė. Natūralusis skaičius yra bendra netuščių baigtinių vienodo kardinalumo aibių klasės savybė. Kiekvienai klasei priskiriamas kardinalus skaičius (kardinalumas). Klasės tuščiai aibei priskiriamas koordinačių skaičius 0. Klasei, susidedančiai iš aibių, turinčių 1 elementą, suteikiamas skaičius 1. Klasei, susidedančiai iš aibių su 2 elementais, priskiriamas skaičius 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Lygybės santykis. Neneigiami sveikieji skaičiai a ir b yra lygūs, jei aibės A ir B, kurių skaičių jos išreiškia, yra lygios (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( A)=n(B) a=c).
Teorema: lygybės santykis neneigiamų sveikųjų skaičių aibėje yra lygiavertiškumo ryšys. Įrodymas. Įrodykime, kad lygybės santykis turi simetrijos, tranzityvumo ir refleksyvumo savybes.
Nes tenkinamos refleksyvumo, simetrijos ir tranzityvumo savybės, tada lygybės santykis yra ekvivalentiškumo santykis.
Santykis mažesnis. Neneigiamas sveikasis skaičius a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Teorema: santykis mažesnis nei neneigiamų sveikųjų skaičių aibėje yra griežtos eilės santykis. Įrodymas: Įrodykime, kad santykis mažiau turi antisimetrijos ir tranzityvumo savybes. C 2 C 1 C 2 ~ B 1 C 2 ~ A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Sudėjimas ir atėmimas neneigiamų sveikųjų skaičių kiekybinėje teorijoje. Jų savybės. Suma du neneigiami sveikieji skaičiai a ir b vadinami neneigiamu sveikuoju skaičiumi c, kuris yra dviejų disjunktinių aibių A ir B, kurių kardinalumai atitinkamai lygūs a ir b, jungties kardinalumas. a+b=c, n(C)=n(АУВ), n(АУВ)=n(А)+n(В). Papildymo savybės. 1. Sudėtis neneigiamų sveikųjų skaičių aibėje visada egzistuoja ir apibrėžiama unikaliu būdu. Įrodykime, kad suma visada egzistuoja. Apsvarstykite A ir B taip, kad jų sankirta būtų tuščia aibė, o A elementų skaičius būtų a, o B kardinalumas būtų b. raskime A ir B sąjungą. Kadangi dviejų disjunktinių aibių sąjunga egzistuoja visada, tai reiškia, kad egzistuoja ir suma, o iš sumos apibrėžimo išplaukia, kad sudėjimas visada egzistuoja. Įrodykime, kad suma nustatoma unikaliu būdu. Yra C 1 ir C 2 – neneigiami sveikieji skaičiai. C 1 = a + b ir C 2 = a + b. Skaičių a ir b suma nepriklauso nuo to, kurias aibes A ir B pasirinkome iš vienodos galios aibių klasės, todėl A ir B sąjunga, paimta iš vienodos galios aibių klasės, nepriklauso nuo pasirinkimo. aibės A ir B, nes kiekvienos klasės galia yra vienoda, tada C 1 = C 2. 2. Komutacinis pridėjimas. Bet kokiems neneigiamiems sveikiesiems skaičiams a ir b galioja savybė a+b=b+a. Iš aibės teorijos žinome, kad АУВ = ВУА. Jei aibės lygios, jų skaitinės reikšmės yra lygios. n(АУВ)=n(ВУА). Iš aibių teorijos žinome, kad sąjungos galia yra lygi galių sumai. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Asociatyvumo savybė. Bet kokiems skaičiams a, b, c galioja ši savybė: a+(b+c)=(a+b)+c. Iš aibių teorijos žinoma, kad aibėms sujungti tenkinama asociatyvumo savybė: АU(ВУС)=(АУВ)UC, jei aibės lygios, tai jų skaitinės reikšmės yra lygios, n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC). Iš aibių teorijos žinoma, kad sąjungos laipsnis yra lygus šių aibių laipsnių sumai, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. Pagal skirtumą neneigiami sveikieji skaičiai a ir b vadinami neneigiamu sveikuoju skaičiumi c, kuris yra aibės B papildinio laipsnis aibėje A, kad B priklauso A, n(A)=a, n(B) =b. Skirtumų savybės. 1. Kad egzistuotų neneigiamų sveikųjų skaičių skirtumas, būtina ir pakanka, kad a būtų didesnis arba lygus b. Įrodykime: 1) pakankama sąlyga skirtumui egzistuoti. Duota: a - b = c, įrodykite: a c. Iš skirtumo apibrėžimo išplaukia, kad aibės A yra aibės B papildinys, ir šis papildinys turi galią, kurią galima rasti iš lygybės, žinomos iš aibių teorijos. n() = n(A)-n(B). Iš to, kad B yra A poaibis, išplaukia, kad elementų skaičius B yra mažesnis nei A elementų skaičius. n (B) 2). Būtina sąlyga. Atsižvelgiant į a. įrodyti skirtumo (a-c) egzistavimą. Jei a>b, pagal santykio „mažiau nei“ apibrėžimą, yra tokia aibė A 1, kad A 1 yra įtraukta į A ir A 1 ~ B. Padarykime skirtumą tarp A ir A 1. Šis skirtumas visada egzistuoja (A - A 1 = C), todėl egzistuoja C, tai yra šis skirtumas. Iš šių sąlygų išplaukia, kad C yra A 1 papildinys A. C = 1A C galia yra A 1 papildinio A laipsnis. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1), kadangi A 1 ~ B, tai n(A 1)=n(B), vadinasi n(C)=n(A)-n(B), vadinasi, c=a-b. 2. Neneigiamų sveikųjų skaičių skirtumas randamas unikaliu būdu, nes skirtumas yra aibės poaibių komplemento galia, o papildinys nustatomas unikaliu būdu, tai neneigiamų sveikųjų skaičių skirtumas yra nustatytas unikaliu būdu. 3. Komutatyvumo ir asociatyvumo savybės nepatenkinamos atimti. 4. Sumos atėmimas iš skaičiaus. a-(b+c)=(a-c)-c. Iš aibių teorijos žinoma A\(BUC)=(A\B)\C, o B Ì A; S Ì A; BUSCA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Skaičiaus atėmimas iš skirtumo (a-c)-c=(a-c)-c. Įrodymas pagrįstas aibių skirtumo savybe (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Skaičiaus atėmimas iš sumos (a+b)-c=(a-c)+c. Įrodymas grindžiamas aibių (АУВ)\С=(А\С) УВ savybe. Netgi ne Praktikoje dažnai susiduriame su funkcijomis, kurios nėra nei lygios, nei lygios. 4. Funkcijos gali būti periodinės. Funkcija vadinama periodine, jei yra toks skaičius T, kad tenkinama sąlyga f(x+T)=f(x). Visos trigonometrinės funkcijos (sinusas, kosinusas, liestinė) yra periodinės. 5. funkcijos gali turėti vienaskaitos taškus. Tai susikirtimo su koordinačių ašimis taškai ir ekstremalių taškai, t.y. minimalus ir maksimalus balas. Taškas x0 vadinamas minimaliu funkcijos tašku, jei visiems X iš x0 kaimynystės tenkinamos sąlygos f (x) > f (x0). Taškas x0 vadinamas maksimaliu funkcijos tašku, jei visiems x, esantiems šalia x0 f(x)< f (x0). 6. funkcijos gali turėti pastovumo ženklų intervalus, t.y. tai tie poaibiai, apibrėžimo sritys, kurių elementai funkciją paverčia arba tik teigiama, arba tik neigiama. 7. funkcija gali turėti lūžio taškus, t.y. tos kintamojo x reikšmės, kuriose y neegzistuoja (atvirkštinio proporcingumo funkcijos). y = , jei x = 0 Ieškoti svetainėje: Išjungti adBlock!
7. Sutvarkytos poros eilės sąvoka. Dekarto aibių sandauga ir jo savybės. Elementų skaičius dekretinėje aibių sandaugoje. Norėdami pristatyti Dekarto aibių sandaugą, apsvarstykite šią koncepciją autokolonas. Ši sąvoka, kaip ir aibės sąvoka, yra pagrindinė neapibrėžta sąvoka. Kortelės atveju svarbi elementų tvarka. Elementai eilutėje gali būti kartojami. Elementų skaičius tam tikroje eilutėje vadinamas jo ilgiu. 2 ilgio korta vadinama sutvarkyta pora. Kortelė žymima () arba< >. × yra aibių Dekarto sandaugos pavadinimas. (a, b, a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Dekarto aibių sandauga A ir B yra aibė, susidedanti iš visų sutvarkytų porų, kuriose pirmasis komponentas yra pirmosios aibės elementas, o antrasis komponentas yra antrosios aibės elementas. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(c,2)) Dekarto rinkinių produkto (MUT) ypatybė. DPM neturi komutatyvumo ir asociatyvumo savybių: A×B≠B×A. DPM skirstomosios savybės tenkinamos: 1) aibių sąjungos A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C) atžvilgiu; 2) dėl aibių A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) sankirtos. Norėdami rasti DP elementų skaičių dviejose ar daugiau rinkinių, turite žinoti kiekvieno rinkinio elementų skaičių. Jei elementų skaičius yra n. Jei n(A)=n ir n(B)=m, tai n(A×B)=n*m. Tegu A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Sudarykime DPM A ir B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) Kiekvienoje eilutėje yra em-pairs, tokios eilutės en, tai reiškia, kad bendras išvardytų elementų skaičius yra em on en poros, todėl elementų skaičius DPM A ir B yra lygus elementų skaičiaus aibėje A ir B sandaugai. elementų skaičius aibėje B. 8. Aibių atitikimo samprata. Atitikties nustatymo metodai. Korespondencijos rūšys. Aibės X ir Y elementų atitikimas ef vadinamas aibių trigubu (X;U; G f (ji iš ef), ji iš ef yra DP (Dekarto sandauga) poaibis).Aibė X vadinama išvykimo sritis, aibė Y vadinama atvykimo sritimi ji iš ef - vadinama šios atitikties grafiku. Atitikties nustatymo sritis ef yra tų pirmosios aibės elementų aibė (t. y. išvykimo sritis). kuriuos atitinka antrosios aibės elementai (t.y. atitikmens ef aibė yra atvykimo srities elementų rinkinys, kuris priskiriamas pagal kai kuriuos išvykimo srities elementus). Atitikmenų patikslinimo metodai: jos elementų išvardijimas, grafo naudojimas, grafo naudojimas, lentelės naudojimas žodžiu, algebriniu būdu, t.y. lygtis, nelygybė. Korespondencijos rūšys. Susirašinėjimai vadinami visur apibrėžta, jei siuntimo sritis sutampa su apibrėžimo sritimi. Tokios atitikties grafike bent viena rodyklė nukrypsta nuo kiekvieno pirmosios rinkinio elemento. Atitiktis vadinamas surjektyvus, jei jo reikšmių rinkinys sutampa su atvykimo regionu. Tokios atitikties grafike bent 1 rodyklė atitinka kiekvieną 2-ojo rinkinio elementą. Atitiktis vadinamas injekcinis, jei jokie skirtingi 1-osios aibės elementai neatitinka to paties 2-osios aibės elemento. Tokios atitikties grafike nė vienas 2-osios aibės elementas neatitinka daugiau nei 1 rodyklės. Atitiktis vadinamas funkcinis, jei kiekvienas 1-os aibės elementas atitinka ne daugiau kaip 1 2-osios aibės elementą. Tokios atitikties grafike, jei nuo kiekvieno 1-ojo rinkinio elemento nukrypsta tik 1 rodyklė. Funkcinė korespondencija vadinama funkcija. Tarp visų funkcinių atitikmenų yra visuotinai apibrėžiančių atitikmenų, kurie vadinami ekranas. Atitiktis vadinamas vienas prieš vieną, jei tenkinamos šios sąlygos: 1) bet kurie du skirtingi aibės X elementai atitinka skirtingus aibės Y elementus, 2) bet kuris aibės Y elementas atitinka bent vieną aibės X elementą. vadinamos aibės X ir Y priešingas, jei jų grafikai tarpusavyje papildo X ir Y Dekarto sandaugą. Atitiktis vadinama atvirkščiaiį nurodytą korespondenciją, jei duotas atitikimas galioja tada ir tik tada, kai galioja atvirkščiai. Jei duotoji atitiktis yra aibių X ir Y Dekarto sandaugos poaibis, tai atvirkštinė atitiktis yra aibių X ir Y Dekarto sandaugos poaibis. Norėdami gauti atvirkštinę atitiktį duotajai. Jo grafike reikia pakeisti rodyklių kryptį.
9.Funkcinis atitikimas. Skaitinių funkcijų savybės. Atitiktis vadinamas funkcinis, jei kiekvienas 1-osios aibės elementas atitinka ne daugiau kaip 1 2-osios aibės elementą. Tokios atitikties grafike, jei nuo kiekvieno 1-ojo rinkinio elemento nukrypsta tik 1 rodyklė. Funkcinė atitiktis, apibrėžta skaitinėje aibėje, vadinama skaitine funkcija. Skaitinių funkcijų savybės. 1. Kiekviena funkcija turi apibrėžimo sritį ir reikšmių rinkinį. 2. Funkcija gali būti didėjanti arba mažėjanti. Laikoma, kad funkcija didėja intervale a b, jei bet kuriam x1 ir x2 x1 > x2 seka f (x1) > f (x2). Funkcija vadinama mažėjančia intervale a b, jei bet kuriam x1 ir x2 iš šio intervalo, dėl to, kad x1 > x2 ji seka f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
2015-2020 svetainė - Kontaktai - Naujausias papildymas
labai reikalingas
