Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга. Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын жишээ

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга

Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг бий болгох дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга

а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = е(т)

дурын тогтмолуудыг орлуулахаас бүрдэнэ в керөнхий шийдэлд

z(т) = в 1 z 1 (т) + в 2 z 2 (т) + ... + в n z n (т)

харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл

а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = 0

туслах функцүүдийн хувьд в к (т) , тэдгээрийн деривативууд нь шугаман алгебрийн системийг хангадаг

Системийн тодорхойлогч (1) нь функцүүдийн Вронскиан юм z 1 ,z 2 ,...,z n , энэ нь түүний өвөрмөц шийдэлтэй байдлыг баталгаажуулдаг.

Хэрэв интеграцийн тогтмолуудын тогтмол утгууд дээр авсан эсрэг деривативууд бол функц

нь анхны шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байгаа үед нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн интеграл нь квадрат болж буурдаг.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийн шийдийг векторын хэвийн хэлбэрээр байгуулах дурын тогтмолуудыг өөрчлөх арга

хэлбэрээр тодорхой шийдэл (1) бүтээхээс бүрдэнэ

Хаана З(т) нь матриц хэлбэрээр бичигдсэн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн үндэс бөгөөд дурын тогтмолуудын векторыг орлуулсан вектор функц нь хамаарлаар тодорхойлогддог. Шаардлагатай тодорхой шийдэл (эхний утга тэг байх үед). т = т 0 шиг харагдаж байна

Тогтмол коэффициент бүхий системийн хувьд сүүлийн илэрхийллийг хялбаршуулсан болно.

Матриц З(т)З− 1 (τ)дуудсан Коши матрицоператор Л = А(т) .

Гадаад холбоосууд

• exponenta.ru - Жишээ бүхий онолын мэдээлэл

Викимедиа сан. 2010 он.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга буюу Лагранжийн арга нь нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл болон Бернулли тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр нэг арга юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд нь y’+p(x)y=q(x) хэлбэрийн тэгшитгэлүүд юм. Хэрэв баруун талд тэг байвал: y’+p(x)y=0, энэ нь шугаман байна. нэгэн төрлийн 1-р эрэмбийн тэгшитгэл. Үүний дагуу y’+p(x)y=q(x) нь тэг биш баруун талтай тэгшитгэл болно. нэг төрлийн бус 1-р эрэмбийн шугаман тэгшитгэл.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга (Лагранж арга) дараах байдалтай байна:

1) Бид y’+p(x)y=0: y=y* нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна.

2) Ерөнхий шийдэлд бид C-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үздэг: C = C (x). Бид ерөнхий шийдлийн деривативыг (y*)’ олж, y* ба (y*)’-ын үр дүнгийн илэрхийлэлийг анхны нөхцөлд орлуулна. Үүссэн тэгшитгэлээс бид C(x) функцийг олно.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд С-ийн оронд олсон C(x) илэрхийллийг орлуулна.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын жишээг авч үзье. Үүнтэй ижил даалгавруудыг авч, шийдлийн явцыг харьцуулж, олж авсан хариултууд нь давхцаж байгаа эсэхийг шалгаарай.

1) y’=3x-y/x

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичье (Бернуллигийн аргаас ялгаатай нь тэгшитгэл нь шугаман байгааг харахын тулд тэмдэглэгээ хийх шаардлагатай байсан).

y’+y/x=3x (I). Одоо бид төлөвлөгөөний дагуу явж байна.

1) y’+y/x=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. y’=dy/dx гэж төсөөлөөд үз дээ, орлуулах: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, xy≠0-д хуваана: dy/y=-dx/x. Нэгтгэцгээе:

2) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн үр дүнгийн ерөнхий шийдэлд бид С-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үзнэ: C=C(x). Эндээс

Бид үүссэн илэрхийллийг нөхцөл (I) болгон орлуулна:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:

энд C аль хэдийн шинэ тогтмол байна.

3) Нэг төрлийн y=C/x тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд C=C(x), өөрөөр хэлбэл y=C(x)/x гэж үзсэн C(x)-ын оронд олсон x³ илэрхийллийг орлуулна. +C: y=(x³ +C)/x эсвэл y=x²+C/x. Бид Бернуллигийн аргаар шийдвэрлэхтэй ижил хариултыг авсан.

Хариулт: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Энд тэгшитгэл нь стандарт хэлбэрээр бичигдсэн байдаг;

1) y’+y=0 нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийг шийд: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Нэгтгэцгээе:

Тэмдэглэгээний илүү тохиромжтой хэлбэрийг олж авахын тулд бид С зэрэглэлийн экспонентыг шинэ С гэж авна.

Деривативыг олоход илүү хялбар болгох үүднээс энэхүү хувиргалтыг хийсэн.

2) Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн үр дүнд гарсан ерөнхий шийдэлд бид С-ийг тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үзнэ: C=C(x). Энэ нөхцөлд

Бид үүссэн y ба y' илэрхийллүүдийг дараах нөхцөлд орлуулна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ

Хэсгийн интеграцийн томъёог ашиглан тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Энд C нь функц байхаа больсон, энгийн тогтмол юм.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд

олсон C(x) функцийг орлуулна:

Бид Бернуллигийн аргаар шийдвэрлэхтэй ижил хариултыг авсан.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга нь шийдэлд мөн хамаарна.

y'x+y=-xy².

Бид тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулав: y’+y/x=-y² (II).

1) y’+y/x=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. dy/dx=-y/x. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, у-д хуваана: dy/y=-dx/x. Одоо нэгтгэж үзье:

Бид үүссэн илэрхийллийг нөхцөл (II) болгон орлуулна:

Хялбарчилъя:

Бид C ба x-ийн хувьд салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авлаа.

Энд C аль хэдийн энгийн тогтмол байна. Интегралчлалын явцад тэмдэглэгээг хэт ачаалахгүйн тулд бид C(x)-ийн оронд зүгээр л С гэж бичсэн. Эцэст нь бид C(x)-ийг шинэ С-тэй андуурахгүйн тулд C(x) руу буцлаа.

3) Нэг төрлийн y=C(x)/x тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд олсон C(x) функцийг орлуулна:

Бид Бернулли аргыг ашиглан шийдэхтэй ижил хариулт авсан.

Өөрийгөө шалгах жишээ:

1. Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичье: y’-2y=x.

1) y’-2y=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. y’=dy/dx, тэгэхээр dy/dx=2y, тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, y-д хувааж, интегралчил:

Эндээс бид y-г олно:

Бид y ба y’-ийн илэрхийллүүдийг нөхцөл байдалд орлуулна (товчлохын тулд бид C(x)-ийн оронд C, C"(x)-ын оронд C'-г ашиглана):

Баруун талд байгаа интегралыг олохын тулд бид хэсгүүдийн интегралын томъёог ашиглана.

Одоо бид u, du, v-г томъёонд орлуулна.

Энд C =const.

3) Одоо бид нэгэн төрлийн уусмалыг уусмалд орлуулж байна

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Энэ тэгшитгэлийг шийдэх гурван арга бий:

• Тогтмолыг өөрчлөх арга (Лагранж).

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн аргаар шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Тогтмолыг өөрчлөх арга (Лагранж)

Тогтмол аргын өөрчлөлтийн хувьд бид тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг. Эхний алхамд бид анхны тэгшитгэлийг хялбарчилж, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийддэг. Хоёр дахь шатанд бид шийдлийн эхний шатанд олж авсан интеграцийн тогтмолыг функцээр сольдог. Дараа нь бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна.

Тэгшитгэлийг авч үзье:
(1)

Алхам 1 Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байна:

Энэ бол салгаж болох тэгшитгэл юм

Бид хувьсагчдыг тусгаарладаг - dx-ээр үржүүлж, y-ээр хуваана:

Нэгтгэцгээе:

y дээр интеграл - хүснэгт:

Дараа нь

Хүчтэй болгоё:

e C тогтмолыг С-ээр сольж, тогтмол тоогоор үржүүлэхэд ирдэг модулийн тэмдгийг хасъя ±1, бид үүнийг C-д оруулах болно:

Алхам 2 С тогтмолыг функцээр солино

Одоо C тогтмолыг x функцээр орлъё:
C → u (x)
Өөрөөр хэлбэл, бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно (1) зэрэг:
(2)
Деривативыг олох.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:
.
Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу:

.
Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу (1) :
(1) ;

.
Хоёр гишүүн цөөрсөн:
;
.
Нэгтгэцгээе:
.
Орлуулах (2) :
.
Үүний үр дүнд бид нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авна.
.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн аргаар шийдвэрлэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ:

Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

Үржүүлэх:

Нэгтгэцгээе:

Хүснэгтийн интеграл:

Хүчтэй болгоё:

e C тогтмолыг С-ээр сольж, модулийн тэмдгүүдийг арилгацгаая.

Эндээс:

С тогтмолыг х-ийн функцээр орлъё:
C → u (x)

Деривативыг олох нь:
.
Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу:
;
;
Эсвэл:
;
.
Нэгтгэцгээе:
;
Тэгшитгэлийн шийдэл:
.