Relația binară și caracteristicile sale sunt exemple. Relații binare. Exemple de relații binare. Relație binară tranzitivă

O relație definită pe o mulțime poate avea un număr de proprietăți și anume:

2. Reflexivitate

Definiție. Atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numeşte reflexiv dacă fiecare element X seturi X este in relatie R Cu mine insumi.

Folosind simboluri, această relație poate fi scrisă după cum urmează:

R reflexiv asupra X Û(" XÎ X) x R x

Exemplu. Relația de egalitate pe un set de segmente este reflexivă, deoarece fiecare segment este egal cu el însuși.

Graficul relației reflexive are bucle la toate vârfurile.

2. Antireflexivitate

Definiție. Atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numește antireflexiv dacă nu există element X seturi X nu in relatie R Cu mine insumi.

R antireflexiv pe X Û(" XÎ X)

Exemplu. Relație directă X perpendicular pe o linie dreaptă la» pe ansamblul de drepte ale planului este antireflexiv, deoarece nicio linie dreaptă a planului nu este perpendiculară pe ea însăși.

Graficul de atitudine anti-reflexiv nu conține o singură buclă.

Rețineți că există relații care nu sunt nici reflexive, nici antireflexive. De exemplu, luați în considerare relația „punct X simetric la punct la„pe un set de puncte din avion.

Punct X simetric la punct X- Adevărat; punct la simetric la punct la- fals, prin urmare, nu putem pretinde că toate punctele planului sunt simetrice față de ele însele și, de asemenea, nu putem pretinde că niciun punct al planului nu este simetric cu el însuși.

3. Simetrie

Definiție. Atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numeste simetric daca, din faptul ca elementul X este in relatie R cu element la, rezultă că elementul la este in relatie R cu element X.

R simetric X Û(" X, laÎ X) x R y Þ y R x

Exemplu. Relație directă X intersectează o linie la pe mulţimea de drepte ale planului” este simetrică, deoarece dacă drept X intersectează o linie la, apoi linia la va trece cu siguranță linia X.

Graficul unei relații simetrice împreună cu fiecare săgeată dintr-un punct X exact la ar trebui să conțină o săgeată care conectează aceleași puncte, dar în direcția opusă.

4. Asimetrie

Definiție. Atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numește asimetric dacă nu există elemente X, la din multi X nu se poate întâmpla ca elementul X este in relatie R cu element lași element la este in relatie R cu element X.

R asimetric X Û(" X, laÎ X) x R y Þ

Exemplu. Atitudine" X < la» asimetric, deoarece pentru nicio pereche de elemente X, la este imposibil de spus că în același timp X < laȘi la<X.

Un grafic de relații asimetrice nu are bucle, iar dacă două vârfuri ale graficului sunt conectate printr-o săgeată, atunci există doar o săgeată.

5. Antisimetrie

Definiție. Atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numeste antisimetric daca, din faptul ca X este in relatie cu la, A la este in relatie cu X urmează că X = u.

R antisimetric X Û(" X, laÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Exemplu. Atitudine" X£ la» antisimetric, deoarece conditii X£ laȘi la£ X sunt executate simultan numai atunci când X = u.

Un grafic de relații antisimetrice are bucle, iar dacă două vârfuri ale graficului sunt conectate printr-o săgeată, atunci există o singură săgeată.

6. Tranzitivitatea

Definiție. Atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numește tranzitiv dacă pentru orice elemente X, la, z din multi X De la ce X este in relatie cu la, A la este in relatie cu z urmează că X este in relatie cu z.

R transitivenona X Û(" X, la, zÎ X) x R y Ù y R zÞ x R z

Exemplu. Atitudine" X multiplu la» tranzitiv, deoarece dacă primul număr este un multiplu al celui de-al doilea, iar al doilea este un multiplu al treilea, atunci primul număr va fi un multiplu al treilea.

Graficul relației tranzitive cu fiecare pereche de săgeți din X La la iar din la La z conține o săgeată care pleacă de la X La z.

7. Conectivitate

Definiție. Atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numește conectat dacă pentru orice elemente X, la din multi X x este in relatie cu la sau la este in relatie cu X sau x = y.

R conectat X Û(" X, la, zÎ X) x R y Ú y R zÚ X= la

Cu alte cuvinte: atitudine Rîntr-o varietate de moduri X se numește conectat dacă pentru orice elemente distincte X, la din multi X x este in relatie cu la sau la este in relatie cu X sau x = y.

Exemplu. Atitudine" X< la» în mod coerent, pentru că indiferent de ce numere reale luăm, unul dintre ele va fi cu siguranță mai mare decât celălalt sau vor fi egale.

Într-un grafic de relații conexe, toate vârfurile sunt conectate între ele prin săgeți.

Exemplu. Verificați ce proprietăți are

atitudine" X - separator la", definit pe platou

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) această relație este reflexivă, deoarece fiecare număr dintr-o mulțime dată este un divizor al lui însuși;

2) această relație nu are proprietatea de antireflexivitate;

3) proprietatea de simetrie nu este satisfăcută, deoarece de exemplu, 2 este un divizor al lui 4, dar 4 nu este un divizor al lui 2;

4) această relație este antisimetrică: două numere pot fi simultan divizori unul celuilalt numai dacă aceste numere sunt egale;

5) relaţia este tranzitivă, deoarece dacă un număr este un divizor al celui de-al doilea, iar al doilea este un divizor al celui de-al treilea, atunci primul număr va fi în mod necesar un divizor al celui de-al treilea;

6) relația nu are proprietatea conexiunii, deoarece de exemplu, numerele 2 și 3 de pe grafic nu sunt legate printr-o săgeată, deoarece două numere diferite 2 și 3 nu sunt divizori unul celuilalt.

Astfel, această relație are proprietăți de reflexivitate, asimetrie și tranzitivitate.

§ 3. Relaţia de echivalenţă.
Legătura dintre relația de echivalență și împărțirea unei mulțimi în clase

Definiție. Atitudine R pe un platou X se numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Exemplu. Luați în considerare relația " X colega de clasa la„pe mulți studenți ai Facultății de Educație. Are următoarele proprietăți:

1) reflexivitate, deoarece fiecare elev este propriul său coleg de clasă;

2) simetrie, deoarece dacă un student X la, apoi studentul la este coleg de clasă cu elevul X;

3) tranzitivitatea, deoarece dacă un student X- colega de clasa la, și studentul la- colega de clasa z, apoi studentul X va fi colegul de clasă al elevului z.

Astfel, această relație are proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate și, prin urmare, este o relație de echivalență. În același timp, mulți studenți ai Facultății de Educație pot fi împărțiți în subseturi formate din studenți care studiază în același curs. Obținem 5 subseturi.

Relațiile de echivalență sunt și, de exemplu, relația de paralelism a liniilor, relația de egalitate a figurilor. Fiecare astfel de relație este asociată cu partiționarea setului în clase.

Teorema. Dacă pe platou X având în vedere o relație de echivalență, apoi împarte această mulțime în submulțimi disjunse în perechi (clase de echivalență).

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă există vreo relație definită pe mulțime X, generează o partiție a acestui set în clase, atunci este o relație de echivalență.

Exemplu. Pe platou X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) este specificată relația „au același rest când se împarte la 3”. Este o relație de echivalență?

Să construim un grafic al acestei relații:

Această relație are proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate, prin urmare, este o relație de echivalență și împarte mulțimea X la clase de echivalenţă. În fiecare clasă de echivalență vor exista numere care, împărțite la 3, dau același rest: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Se crede că clasa de echivalență este determinată de oricare dintre reprezentanții săi, i.e. un element arbitrar al acestei clase. Astfel, o clasă de fracții egale poate fi specificată prin specificarea oricărei fracții aparținând acestei clase.

În cursul inițial de matematică se întâlnesc și relații de echivalență, de exemplu, „expresii XȘi la au aceleași valori numerice”, „figura X egal cu cifra la».

Definiții

1. Relație binarăîntre elementele mulţimilor AȘi ÎN se numește orice submulțime a unui produs cartezian RÍA´B, RÍA´A.

2. Dacă A=B, Acea R- Acest relație binară pe A.

3. Denumire: (x, y)ÎR Û xRy.

4. Domeniu relație binară R- asta e mult d R = (x: există y astfel încât (x, y)ОR}.

5. Gama de valori relație binară R- asta e mult r R = (y: există X astfel încât (x, y)ОR}.

6. Plus relație binară Rîntre elemente AȘi ÎN- asta e mult -R = (A´B)\R.

7. Atitudine inversă pentru o relație binară R- asta e mult R -1 = ((y, x) : (x, y)ÎR).

8. Produsul relațiilor R 1 ÍA´BȘi R 2 ÍB´C – este o atitudine R1 × R2 = {(X y): există zÎB astfel încât (x, z)ОR 1Și (z, y)ОR 2}.

9. Atitudine f numit funcţie din A V ÎN, dacă sunt îndeplinite două condiții:

A) d f = A, r f Н V

b) pentru toată lumea X,y 1,y 2 De la ce (x, y 1)ОfȘi (x, y 2)Оf ar trebui să y 1 = y 2.

10. Atitudine f numită funcţie de A pe ÎN, dacă la primul paragraf este îndeplinită d f = A, r f = B.

11. Desemnare: (x, y)Îf Û y = f(x).

12. Identic funcţie i A: A®A este definit astfel: i A (x) = x.

13. Funcţie f numit 1-1 -funcţie, dacă pentru vreunul x 1, x 2, y De la ce y = f(x 1)Și y = f(x 2) ar trebui să x 1 =x 2.

14. Funcţie f: A®B efectueaza corespondență unu-la-unuîntre AȘi ÎN, Dacă d f = A, r f = BȘi f este o funcție 1-1.

15. Proprietățile unei relații binare R pe un platou A:

- reflexivitate: (x, x)ОR pentru toți xÎA.

- ireflexivitate: (x, x)ÏR pentru toți xÎA.

- simetrie: (x, y)ÎR Þ (y, x)ÎR.

- antisimetrie: (x, y)ОR și (y, x)ОR Þ x=y.

- tranzitivitate: (x, y)ОR și (y, z)ОR Þ (x, z)ОR.

- dihotomie: sau (x, y)ОR, sau (y, x)ОR pentru toți xÎAȘi yÎA.

16. Seturi A 1, A 2, ..., A r din P(A) formă compartimentare seturi A, Dacă

- A i ¹ Æ, i=1, ..., r,

- A = A 1 ÈA 2 È...ÈA r,

- A i ÇA j = Æ, i¹j.

Subseturi A i, i=1, ..., r, sunt numite despicarea blocurilor.

17. Echivalenţă pe un platou A este o relație reflexivă, tranzitivă și simetrică pe A.

18. Clasa de echivalare element X prin echivalenţă R- asta e mult [x] R =(y: (x, y)ÎR).

19. Setul de factoriA De R este mulțimea claselor de echivalență a elementelor mulțimii A. Desemnare: A/R.

20. Clase de echivalență (elementele setului de factori A/R) formează o partiție a mulțimii A.Înapoi. Orice partiție a setului A corespunde relaţiei de echivalenţă R, ale căror clase de echivalență coincid cu blocurile partiției specificate. Diferit. Fiecare element al setului A se încadrează într-o clasă de echivalență din A/R. Clasele de echivalență fie nu se intersectează, fie coincid.

21. Pre-comanda pe un platou A este o relaţie reflexivă şi tranzitivă asupra A.

22. Ordine parțială pe un platou A este o relație reflexivă, tranzitivă și antisimetrică pe A.

23. Ordine liniară pe un platou A este o relație reflexivă, tranzitivă și antisimetrică pe A, care satisface proprietatea dihotomiei.

Exemplul 1.

Lăsa A=(1, 2 , 3} , B=(a, b). Să scriem produsul cartezian: A´B = ( (1, A), (1 , b), (2 , A), (2 , b), (3 , A), (3 , b)). Să luăm orice subset al acestui produs cartezian: R = ( (1, A), (1 , b), (2 , b)). Apoi R este o relație binară pe mulțimi AȘi B.

Va fi această relație o funcție? Să verificăm îndeplinirea a două condiții 9a) și 9b). Domeniul de definire a relației R- asta e mult d R = (1, 2) ¹ (1, 2, 3), adică prima condiție nu este îndeplinită, deci în R trebuie să adăugați una dintre perechi: (3 , A) sau (3 , b). Dacă adăugați ambele perechi, atunci a doua condiție nu va fi îndeplinită, deoarece a¹b. Din același motiv, din R trebuie să arunci una dintre perechi: (1 , A) sau (1 , b). Deci atitudinea R¢ = ( (1, A), (2 , b), (3 , b)) este o funcție. observa asta R¢ nu este o funcție 1-1.

Pe seturi date AȘi ÎN Următoarele relații vor fi, de asemenea, funcții: { (1 , A), (2 , A), (3 , A) ), { (1 , A), (2 , A), (3 , b)), { (1 , b), (2 , b), (3 , b)) etc.

Exemplul 2.

Lăsa A=(1, 2 , 3} . Un exemplu de relație pe o mulțime A este R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Un exemplu de funcție pe un set A este f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Exemple de rezolvare a problemelor

1. Găsiți d R,r R,R -1,R×R,R×R -1,R -1×R Pentru R = ((x, y) | x, y О D și x+y£0).

Dacă (x, y)ОR, Acea XȘi y trece prin toate numerele reale. De aceea d R= r R = D.

Dacă (x, y)ОR, Acea x+y £0, Mijloace y+x£0Și (y, x)ОR. De aceea R-1 =R.

Pentru orice xÎD, yÎD Hai sa luam z=-|max(x, y)|-1, Apoi x+z£0 și z+y£0, adică (x, z)ОRȘi (z, y)ОR.De aceea R×R = R×R -1= R -1 ×R = D 2.

2. Pentru ce relaţii binare R corect R -1 = -R?

Lăsa RÍA´B. Există două cazuri posibile:

(1) AÇB¹Æ. Hai sa luam xÎAÇB. Apoi (x, x)ÎR Û (x, x)ÎR -1 Û (x, x)Î-R Û (x, x)Î(A´B) \ R Û (x, x)ÏR. Contradicţie.

(2) AÇB=Æ. Deoarece R -1 ÍB´A, A -RÍA´B, Acea R -1 = -R= Æ. Din R -1 = Æ urmează că R = Æ. Din -R = Æ urmează că R=A´B. Contradicţie.

Prin urmare, dacă A¹ÆȘi B¹Æ, apoi astfel de relații R nu exista.

3. Pe platou D numerele reale definim raportul R in felul urmator: (x, y)ОR Û (x–y)- Numar rational. Demonstrează asta R există o echivalență.

Reflexivitate:

Pentru oricine xÎD x-x=0- Numar rational. Deoarece (x, x)ОR.

Simetrie:

Dacă (x, y)ОR, Acea x-y =. Apoi y-x=-(x-y)=- – Numar rational. De aceea (y, x)ОR.

Tranzitivitate:

Dacă (x, y)ОR, (y, z)ОR, Acea x-y = și y-z =. Adăugând aceste două ecuații, obținem asta x-z = + - Numar rational. De aceea (x, z)ОR.

Prin urmare, R este o echivalență.

4. Compartimentarea avionului D 2 constă din blocurile prezentate în figura a). Scrieți relația de echivalență R, corespunzătoare acestei partiții și clase de echivalență.

O sarcină similară pentru b) și c).

a) două puncte sunt echivalente dacă se află pe o dreaptă a formei y=2x+b, Unde b– orice număr real.

b) două puncte (x 1 ,y 1)Și (x 2 ,y 2) sunt echivalente dacă (parte întreagă x 1 egală cu întreaga parte x 2) și (parte întreagă y 1 egală cu întreaga parte y 2).

c) decideți singuri.

Sarcini pentru soluție independentă:

1. Demonstrează că dacă f există o funcție de la A V BȘi g există o funcție de la B V C, Acea f×g există o funcție de la A V C.

2. Lasă AȘi B– mulţimi finite formate din m şi respectiv n elemente.

a) Câte relaţii binare există între elementele mulţimilor? AȘi B?

b) Din câte funcții există A V B?

c) Câte 1-1 funcții există? A V B?

d) La ce mȘi n există o corespondență unu-la-unu între AȘi B?

3. Demonstrează că f satisface conditia f(AÇB)=f(A)Çf(B) pentru orice AȘi B atunci și numai când f există 1-1 funcții.

COMBINATORII

Produsul tuturor numerelor naturale din 1 inainte de n notat cu:

n! = 1·2·3·…·(n-1)·n, 0! = 1

Lăsa X=(x 1 , x 2 , ..., x n )- asta este o mulțime de n elemente, k £ n.

Cazare elemente din X volum k este un subset ordonat al k elemente aparținând X.

Numărul de plasări de volum k din n

= nk(adica locuri)

Dacă pentru fiecare i-a din k poziții din care poți pune una qi elemente ale setului X, atunci numărul de astfel de plasări este egal cu:

(q 1 , q 2 , ..., q n) = q 1 × q 2 × ... × q n

Numărul de plasări de volum k din n

= n(n - 1)(n - 2) … (n - k + 1)=

Rearanjare elemente din X- aceasta este plasarea elementelor din X volum n.

Numărul de permutări de la n diverse elemente:

=Pn= n!

Dacă n elementele conţin qi elemente i- clasa a-a, q 1 + q 2 + ... + q m = nși elementele de același fel sunt identice, atunci numărul de permutări este egal cu:

P n (q 1 , q 2 , ..., q m) =

Combinaţie elemente din X volum k este un subset neordonat al k elemente aparținând X.

Combinațiile, plasările și permutările pot fi, de asemenea, cu repetări ale elementelor setului X(nelimitat și limitat).

Numărul de combinații de volum k din n diferite elemente fără repetare:

Numărul de combinații de volum k din n diverse elemente cu repetări nelimitate:

Teorema binomială:

Proprietăți:

(2)

(4)

(5)

La rezolvarea problemelor combinatorii, se folosesc adesea următoarele reguli combinatorii:

1. Regula sumei. Dacă obiectul A poate fi ales în n moduri, iar obiectul B în alte m moduri, atunci alegerea „fie A fie B” poate fi făcută în n+m moduri.
2. Regula produsului. Dacă obiectul A poate fi ales în n moduri, iar după fiecare dintre aceste alegeri, obiectul B poate fi ales la rândul său în m moduri, atunci alegerea „A și B” în această ordine se poate face în n×m moduri.

Sarcină de exemplu. Din 12 fete și 10 băieți, este selectată o echipă de cinci. În câte moduri poate fi selectată această echipă astfel încât să nu includă mai mult de trei tineri?

Soluţie. Condiția „nu mai mult de trei” înseamnă că echipa poate include sau 3 tineri, sau 2 tineri, sau 1 tânăr, sau nici un tânăr. Astfel, problema distinge patru cazuri diferite. În conformitate cu regula de adăugare, trebuie să numărați numărul de opțiuni în fiecare dintre aceste cazuri și pliază al lor.

Să luăm în considerare primul caz. Trebuie să calculezi câte moduri poți alege dintre 12 fete și 10 băieți o echipă formată din 3 băieți și 2 fete. Din 10 băieți, poți alege 3 băieți în moduri diferite. Pentru fiecare trei băieți selectați, puteți selecta și 2 fete din 12. Prin urmare, regula de înmulțire funcționează și în primul caz numărul de opțiuni de comandă este egal cu ×.

În mod similar, în al doilea caz: ×.

În al treilea caz: ×.

În al patrulea caz: .

Răspuns final: × + × + × + .

Exemple de rezolvare a problemelor

№1.17. n (n>2) oameni stau la o masă rotundă. Vom considera că două plasamente sunt identice dacă fiecare persoană are aceiași vecini în ambele cazuri. Câte moduri există de a sta la masă?

Soluţie.

Numărul total de aranjamente posibile de scaune este egal cu numărul de permutări a n elemente P n = n! Cu toate acestea, cele care se potrivesc trebuie excluse din aceste aranjamente de locuri. Relația de vecinătate este păstrată sub permutări ciclice (există n) și în timpul reflexiei simetrice (există și n):

Prin urmare, în moduri totale (împărțiți, deoarece regula înmulțirii)

№1.19. Se extrag 10 cărți dintr-un pachet care conține 52 de cărți. În câte cazuri va fi cel puțin un as printre aceste cărți?

Soluţie.

Există doar 10 moduri de a elimina 10 cărți din pachet. Din aceste cazuri, nu va exista nici un singur as în eșantion. Prin urmare, răspunsul este.

№1.20. În câte moduri pot fi formate trei perechi de n jucători de șah?

Soluţie.

În primul rând, vom selecta 6 persoane din n jucători de șah. Există modalități de a face acest lucru. Acum îi vom împărți pe fiecare șase în perechi. Pentru a face acest lucru, să punem 6 jucători de șah la rând, presupunând că au nume: a, b, c, d, e, f. Acest lucru se poate face 6! moduri. Cu toate acestea, ordinea în cadrul fiecărei perechi și ordinea perechilor în sine nu sunt importante pentru noi. Permutări în care jucătorii de șah își schimbă locul în perechi 2 3. Permutări în care perechile 3 sunt schimbate!. Prin urmare, există modalități de a împărți 6 jucători de șah în perechi. Răspuns .

№1.24. Câte numere există de la 0 la 10 n care nu conțin două cifre identice consecutive?

Soluţie.

Să luăm în considerare toate numerele cu n cifre. Putem alege prima cifră în 9 moduri. Pentru ca a doua cifră să fie diferită de prima, poate fi selectată și în 9 moduri. Numărul unor astfel de numere cu n cifre este egal cu numărul de plasări ale volumului n a 9 elemente cu repetări nelimitate, adică. este egal cu 9 n pentru n>1 și 10 pentru n=1.

Prin urmare, răspunsul este 10+9 2 +9 3 +...+9 n. Numărul 10 n nu este potrivit.

TEORIA ALGORITMILOR

· Fie N mulțimea numerelor naturale, inclusiv zero.

· În această secțiune a cursului, vor fi luate în considerare funcțiile multor variabile f n (x 1, ..., x n) definite pe o anumită mulțime MÍN n cu valori naturale, i.e. f n (x 1 , ..., x n)ÎN, x i ÎN pentru i=1, ..., n sau f n Í N n +1 .

· O funcție f n (x 1, ..., x n) este numită oriunde definită dacă domeniul ei de definiție este N n, adică. pentru orice mulțime de n numere naturale, există un număr natural care este valoarea funcției f n.

· Cele mai simple funcții definite peste tot:

1. s(x)=x+1 pentru orice x;

2. o(x)=0 pentru orice x;

3. I n m (x 1, ..., x m, ..., x n)=x m.

Aceste funcții cele mai simple sunt definite peste tot și din ele, folosind un număr finit de aplicații ale operatorilor introduși mai jos, se pot construi funcții mai complexe.

· Operator de suprapunere:

Funcția h n (x 1 , ..., x n) se obține din funcțiile g m , f n 1 , ..., f n m folosind operatorul de suprapunere dacă h n (x 1 , ..., x n) = g m (f n 1 ( x 1 , ..., x n), ..., f n m (x 1, ..., x n)).

· Operatorul recursiv primitiv:

Funcția f n +1 (x 1, ..., x n, y) se obține din funcțiile g n (x 1, ..., x n) și h n +2 (x 1, ..., x n, y, z). ) folosind operatorul recursiv primitiv, dacă acesta poate fi specificat printr-o schemă recursiv primitivă:

æf n+1 (x 1 , ..., x n , 0) = g n (x 1 , ..., x n),

èf n+1 (x 1 , ..., x n , y+1) = h n+2 (x 1 , ..., x n , y, f n+1 (x 1 , ..., x n , y )).

· Operator de minimizare:

Funcția f n (x 1 , ..., x n) se obține din funcția g n +1 (x 1 , ..., x n , y) folosind operatorul de minimizare și se notează f n (x 1 , ..., x n )=al meu, dacă:

f n (x 1 , ..., x n) este definit și egal cu y Û g n +1 (x 1 , ..., x n , 0), ..., g n +1 (x 1 , ..., x n , y -1) sunt definite și nu sunt egale cu zero și g n +1 (x 1, ..., x n, y)=0.

(De asemenea, puteți spune: „Funcția f n (x 1, ..., x n) este egală cu valoarea minimă a lui y la care funcția g n +1 devine zero”)

· Funcție recursivă primitivă (prf)

O funcție f n +1 (x 1 , ..., x n , y) se numește recursivă primitivă dacă poate fi obținută din funcții simple folosind un număr finit de aplicații ale operatorilor de suprapunere și recursivitate primitivă.

Trebuie remarcat faptul că toate funcțiile recursive primitive sunt definite peste tot.

· Funcție parțial recursivă (prf)

O funcție f n +1 (x 1 , ..., x n , y) se numește parțial recursivă dacă poate fi obținută din funcții simple folosind un număr finit de aplicații ale operatorilor de suprapunere, recursiunea primitivă și minimizarea.

· Din definiții este ușor de observat că funcțiile primitiv recursive sunt și parțial recursive. Cu toate acestea, există funcții parțial recursive care nu sunt recursive primitive.

Exemple de rezolvare a problemelor

1. Demonstrați că următoarele funcții sunt recursive primitive.

Soluţie. Funcția f(x) poate fi obținută prin aplicarea operatorului de suprapunere de n ori la cea mai simplă funcție s(x).

Soluţie. Funcția f(x) poate fi specificată prin următoarea schemă de recursivitate primitivă:

æf(x, 0) = x = I 1 1 (x),

èf(x, y+1) = x+y+1=f(x,y)+1=s(f(x,y))=s(I 3 3 (x,y,f(x,y)) )).

Aici funcția g(x) are forma g(x)= I 1 1 (x) și este, așa cum era de așteptat, o funcție a unei variabile. Și funcția h(x,y,z) are forma h(x,y,z)=s(I 3 3 (x,y,z)) și este o funcție a trei variabile.

Rețineți că funcțiile g(x) și h(x,y,z) sunt prf, deoarece g(x) este a treia cea mai simplă funcție, iar h(x,y,z) poate fi obținut din cele mai simple funcții s(x) și I 3 3 (x,y,z) prin aplicarea operatorului de suprapunere.

Deoarece funcția f(x,y) poate fi obținută folosind operatorul recursiv primitiv din funcțiile recursive primitive g(x) și h(x,y,z), atunci f(x,y) este un prf.

Soluţie. Funcția f(x) poate fi specificată prin următoarea schemă de recursivitate primitivă:

æf(x, 0) = 0 = o(x),

èf(x, y+1) = x(y+1)=xy+x=f(x,y)+x= I 3 3 (x,y,f(x,y)))+ I 3 1 ( x,y,f(x,y))).

Deoarece funcția f(x,y) poate fi obținută folosind operatorul recursiv primitiv din funcțiile recursive primitive g(x)=o(x) și h(x,y,z) = I 3 3 (x,y,z) )) + I 3 1 (x,y,z)), atunci f(x,y) – prf.

2. Fie g(x 1 , ..., x n ,y) o funcție recursivă primitivă. Demonstrați că următoarea funcție este recursivă primitivă:

Soluţie. Particularitatea acestei funcții este că însumarea se realizează pe un număr variabil de termeni. Cu toate acestea, funcția f n +1 poate fi specificată prin următoarea schemă de recursivitate primitivă:

æf(x 1 , ..., x n , 0) = g(x 1 , ..., x n ,0) – prf,

èf(x 1 , ..., x n , y+1) = = f(x 1 , ..., x n , y) + g(x 1 , ..., x n ,y+1) – suma prf g și funcția f însăși.

3. Demonstrați că următoarea funcție este parțial recursivă.

Soluţie. Să arătăm că funcția f(x,y) poate fi obținută folosind operatorul de minimizare.

Fie x³y, atunci f(x,y) este definit și ia o anumită valoare: f(x,y) = x-y = z. Cum se calculează z? Putem sugera următoarea metodă: pornind de la zero, iterați toate valorile z în ordine până când condiția x-y=z sau x-y-z=0 este îndeplinită. Cu siguranță va exista un astfel de z, pentru că x-y³0. Dacă x-y<0, то ни какое натуральное z не подойдет.

Un programator ar scrie așa:

unsigned int f(x,y)

în timp ce((x-y-z)!=0) z++;

Același lucru poate fi scris în termenii operatorului de minimizare:

f(x, y)=mz[|x–y–z|=0]

Modulul este necesar pentru ca funcția g(x,y,z)=|x–y–z| a fost determinat chiar dacă x–y<0. Заметим, что g(x,y,z)=|x–y–z| является примитивно рекурсивной, т.к. может быть получена с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции к простейшим функциям.

a) o funcție care nu este definită nicăieri (adică o funcție cu un domeniu gol de definiție);

b)

c)

Lăsa R este o relație binară pe mulțimea X, iar x, y, z sunt oricare dintre elementele sale. Dacă un element x este într-o relație R cu un element y, atunci scrieți xRy.

1. O relație R pe o mulțime X se numește reflexivă dacă fiecare element al mulțimii este în această relație cu el însuși.

R -reflexiv pe X<=>xRx pentru orice x€ X

Dacă relația R este reflexivă, atunci există o buclă la fiecare vârf al graficului. De exemplu, relațiile de egalitate și paralelism pentru segmente sunt reflexive, dar relațiile de perpendicularitate și „mai lung” nu sunt reflexive. Acest lucru este reflectat în graficele din Figura 42.

2. O relație R pe o mulțime X se numește simetrică dacă din faptul că elementul x este într-o relație dată cu elementul y, rezultă că elementul y este în aceeași relație cu elementul x.

R - activat simetric (xYay =>y Rx)

Un grafic de relații simetrice conține săgeți perechi care merg în direcții opuse. Relațiile de paralelism, perpendicularitate și egalitate pentru segmente sunt simetrice, dar relația „mai lungă” nu este simetrică (Fig. 42).

3. O relație R pe o mulțime X se numește antisimetrică dacă, pentru diferite elemente x și y din mulțimea X, din faptul că elementul x este într-o relație dată cu elementul y, rezultă că elementul y nu este în această relaţie cu elementul x.

R - antisimetric pe X « (xRy și xy ≠ yRx)

Notă: un overbar indică negarea unei declarații.

Într-un grafic de relație antisimetrică, două puncte pot fi conectate doar printr-o săgeată. Un exemplu de astfel de relație este relația „mai lungă” pentru segmente (Fig. 42). Relațiile de paralelism, perpendicularitate și egalitate nu sunt antisimetrice. Există relații care nu sunt nici simetrice, nici antisimetrice, de exemplu relația „a fi frate” (Fig. 40).

4. O relație R pe o mulțime X se numește tranzitivă dacă din faptul că un element x este într-o relație dată cu un element y și un element y este în această relație cu un element z, rezultă că elementul x este în o relație dată cu un element Z

R - tranzitiv pe A≠ (xRy și yRz=> xRz)

În graficele relațiilor „mai lungi”, paralelism și egalitate din Figura 42, puteți observa că dacă o săgeată trece de la primul element la al doilea și de la al doilea la al treilea, atunci cu siguranță există o săgeată care merge de la primul. element la al treilea. Aceste relații sunt tranzitive. Perpendicularitatea segmentelor nu are proprietatea tranzitivității.

Există și alte proprietăți ale relațiilor dintre elementele aceleiași mulțimi pe care nu le luăm în considerare.

Aceeași relație poate avea mai multe proprietăți. Deci, de exemplu, pe un set de segmente relația „egal” este reflexivă, simetrică, tranzitivă; relația „mai mult” este antisimetrică și tranzitivă.

Dacă o relație dintr-o mulțime X este reflexivă, simetrică și tranzitivă, atunci este o relație de echivalență pe această mulțime. Astfel de relații împart mulțimea X în clase.

Aceste relații se manifestă, de exemplu, la finalizarea sarcinilor: „Ridicați benzi de lungime egală și aranjați-le în grupuri”, „Aranjați bilele astfel încât să existe bile de aceeași culoare în fiecare cutie”. Relațiile de echivalență („să fie egal în lungime”, „să fie de aceeași culoare”) determină în acest caz împărțirea seturilor de dungi și bile în clase.

Dacă o relație din mulțimea 1 este tranzitivă și antisimetrică, atunci se numește relație de ordine pe această mulțime.

O mulțime cu o relație de ordine dată se numește mulțime ordonată.

De exemplu, la finalizarea sarcinilor: „Comparați benzile în lățime și aranjați-le de la cel mai îngust la cel mai lat”, „Comparați numerele și aranjați cărțile cu numere în ordine”, copiii ordonează elementele seturilor de benzi și cărți cu numere. utilizarea relațiilor de ordine; „a fi mai larg”, „a urma”.

În general, relațiile de echivalență și ordine joacă un rol important în formarea la copii a unor idei corecte despre clasificarea și ordonarea mulțimilor. În plus, există multe alte relații care nu sunt nici relații de echivalență, nici relații de ordine.

6. Care este o proprietate caracteristică a unei mulțimi?

7. În ce relații pot exista mulțimi? Dați explicații pentru fiecare caz și descrieți-le folosind cercuri Euler.

8. Definiți un subset. Dați un exemplu de mulțimi, dintre care unul este un submult al altuia. Scrie relația lor folosind simboluri.

9. Definiți mulțimi egale. Dați exemple de două seturi egale. Scrie relația lor folosind simboluri.

10. Definiți intersecția a două mulțimi și descrieți-o folosind cercuri Euler pentru fiecare caz particular.

11. Definiți uniunea a două mulțimi și descrieți-o folosind cercuri Euler pentru fiecare caz particular.

12. Definiți diferența dintre două mulțimi și descrieți-o folosind cercuri Euler pentru fiecare caz particular.

13. Definiți complementul și descrieți-l folosind cercuri Euler.

14. Ce se numește partiționarea unui set în clase? Numiți condițiile pentru clasificarea corectă.

15. Ce se numește corespondență între două mulțimi? Numiți metodele de specificare a corespondențelor.

16. Ce fel de corespondență se numește unu-la-unu?

17. Ce mulțimi se numesc egale?

18. Ce mulţimi se numesc echivalente?

19. Numiți modalități de definire a relațiilor pe o mulțime.

20. Ce relație dintr-o mulțime se numește reflexivă?

21. Ce relație dintr-o mulțime se numește simetrică?

22. Ce relație dintr-o mulțime se numește antisimetric?

23. Ce relație dintr-o mulțime se numește tranzitivă?

24. Definiți o relație de echivalență.

25. Definiți relația de ordine.

26. Care set se numește ordonat?

Fundamentele matematicii discrete.

Conceptul de set. Relația dintre mulțimi.

Un set este o colecție de obiecte care au o anumită proprietate, combinate într-un singur întreg.

Obiectele care alcătuiesc un set sunt numite elemente mulţimi. Pentru ca o anumită colecție de obiecte să poată fi numită mulțime, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

· Trebuie să existe o regulă prin care să se poată determina dacă un element aparține unei populații date.

· Trebuie să existe o regulă prin care elementele să poată fi distinse unele de altele.

Seturile sunt notate cu litere mari, iar elementele sale cu litere mici. Metode de specificare a seturilor:

· Enumerarea elementelor unei multimi. - pentru multimi finite.

· Indicarea proprietății caracteristice .

Un set gol– se numește o mulțime care nu conține un singur element (Ø).

Se spune că două mulțimi sunt egale dacă sunt formate din aceleași elemente. , A=B

O multime de B numită submulțime a mulțimii A( , dacă și numai dacă toate elementele mulțimii B aparțin multora A.

De exemplu: , B =>

Proprietate:

Notă: de obicei este luată în considerare un subset al aceluiași set, care este numit universal(u). Setul universal conține toate elementele.

Operații pe platouri.

A

B

1. Asociere 2 multimi A si B este o multime care contine elemente ale multimii A sau multimii B (elemente ale cel putin uneia dintre multimi).

2.Prin traversare 2 seturi este un nou set format din elemente care aparțin simultan atât primului cât și celui de-al doilea set.

Nu.: , ,

Proprietate: operațiuni de unire și intersecție.

· Comutativitate.

· Asociativitatea. ;

· Distributiv. ;

U

4.Plus. Dacă A– o submulțime a mulțimii universale U, apoi complementul multimii A la multe U(notat cu ) este o mulțime formată din acele elemente ale mulțimii U, care nu aparțin setului A.

Relații binare și proprietățile lor.

Lăsa AȘi ÎN acestea sunt mulțimi de natură derivată, luați în considerare o pereche ordonată de elemente (a, b) a ϵ A, c ϵ B se poate considera „enki” ordonat.

(a 1, a 2, a 3,...a n), Unde A 1 ϵ A 1; A 2 ϵ A 2; ...; A n ϵ А n;

Produsul cartezian (direct) al multimilor A 1, A 2, …, A n, se numește mulțime, care constă din n k ordonate de forma .

Nu.: M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Subseturile produsului cartezian numit raport de putere n sau relaţie enară. Dacă n=2, apoi luați în considerare binar relaţie. Ce spun ei asta a 1, a 2 sunt într-o relație binară R, Când a 1 R a 2.

Relație binară pe o mulțime M este o submulțime a produsului direct al mulțimii n asupra ta.

M× M= M 2= {(a, b)| a, b ϵ M) în exemplul anterior raportul este mai mic pe platou M generează următoarea mulțime: ((1,2);(1,3); (2,3))

Relațiile binare au diverse proprietăți, inclusiv:

Reflexivitate: .

· Antireflexivitate (ireflexivitate): .

· Simetrie: .

· Antisimetrie: .

· Tranzitivitate: .

· Asimetrie: .

Tipuri de relații.

· Relația de echivalență;

· Relația de comandă.

v O relație tranzitivă reflexivă se numește relație de cvasi-ordin.

v O relație tranzitivă simetrică reflexivă se numește relație de echivalență.

v O relație tranzitivă antisimetrică reflexivă se numește relație de ordin (parțial).

v O relație tranzitivă anti-reflexivă antisimetrică se numește relație de ordine strictă.

Relații binare.

Fie A și B mulțimi arbitrare. Să luăm câte un element din fiecare mulțime, a din A, b din B și să le scriem astfel: (mai întâi un element al primului set, apoi un element al celui de-al doilea set - adică ordinea în care sunt luate elementele este importantă pentru noi). Vom numi un astfel de obiect pereche comandată. Egal Vom număra doar acele perechi ale căror elemente cu aceleași numere sunt egale. = , dacă a = c și b = d. Evident, dacă a ≠ b, atunci ≠ .

produs cartezian multimile arbitrare A si B (notate: AB) este o multime formata din toate perechile ordonate posibile, al carui prim element apartine lui A, iar al doilea apartine lui B. Prin definitie: AB = ( | aA și bB). Evident, dacă A≠B, atunci AB ≠ BA. Se numește produsul cartezian al unei mulțimi A cu ea însăși de n ori putere carteziană A (notat cu: A n).

Exemplul 5. Fie A = (x, y) și B = (1, 2, 3).

AB = ( , , , , , }.

BA = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = ( , , , }.

BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Relație binară pe o mulțime M este mulțimea unor perechi ordonate de elemente ale mulțimii M. Dacă r este o relație binară și o pereche aparține acestei relații, atunci ei scriu: r sau x r y. Evident, r Í M 2 .

Exemplul 6. Set (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) este o relație binară pe mulțime (1, 2, 3, 4, 5).

Exemplul 7. Relația ³ pe mulțimea numerelor întregi este o relație binară. Acesta este un set infinit de perechi ordonate ale formei , unde x ³ y, x și y sunt numere întregi. Această relație include, de exemplu, perechi<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>și nu aparțin cuplurilor<5, 7>, <-3, 2>.

Exemplul 8. Relația de egalitate pe mulțimea A este o relație binară: I A = ( | x О A). I A este numit diagonal seturile A.

Deoarece relațiile binare sunt mulțimi, li se aplică operațiile de unire, intersecție, adunare și diferență.

Domeniul definirii a unei relații binare r este mulțimea D(r) = ( x | există un y astfel încât xry ). Gama de valori a unei relații binare r este mulțimea R(r) = ( y | există x astfel încât xry ).

Atitudine, verso la relația binară r Í M 2, relația binară r -1 = ( | О r). Este evident că D(r -1) = R(r), R(r -1) = D(r), r - 1 Í M 2.

Compoziţie relațiile binare r 1 și r 2 definite pe mulțimea M se numesc relația binară r 2 sau r 1 = ( | există y astfel încât О r 1 și Í r 2 ). Este evident că r 2 sau r 1 Í M 2 .

Exemplul 9. Fie definită o relație binară r pe mulțimea M = (a, b, c, d), r = ( , , , ). Atunci D(r) = (a, c), R(r) = (b, c, d), r -1 = ( , , , ), r o r = ( , , , ), r‑1 sau r = ( , , , ), r sau r -1 = ( , , , , , , }.

Fie r o relație binară pe mulțimea M. Se numește relația r reflectorizant, dacă x r x pentru orice x О M. Se numește relația r simetric, dacă împreună cu fiecare pereche contine si un cuplu . Relația r se numește tranzitiv, dacă din faptul că x r y și y r z rezultă că x r z. Relația r se numește antisimetric, dacă nu conține simultan o pereche Și diferite elemente x ¹ y ale mulțimii M.

Să indicăm criteriile pentru îndeplinirea acestor proprietăți.

O relație binară r pe o mulțime M este reflexivă dacă și numai dacă I ​​M Í r.

O relație binară r este simetrică dacă și numai dacă r = r-1.

O relație binară r pe o mulțime M este antisimetrică dacă și numai dacă r Ç r -1 = I M .

O relație binară r este tranzitivă dacă și numai dacă r o r Í r.

Exemplul 10. Relația din Exemplul 6 este antisimetrică, dar nu este simetrică, reflexivă sau tranzitivă. Relația din exemplul 7 este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă, dar nu este simetrică. Relația I A are toate cele patru proprietăți luate în considerare. Relațiile r -1 sau r și r o r -1 sunt simetrice, tranzitive, dar nu antisimetrice și reflexive.

Atitudine echivalenţă pe o mulțime M este o relație binară tranzitivă, simetrică și reflexivă pe M.

Atitudine ordine parțială pe o mulțime M este o relație binară tranzitivă, antisimetrică și reflexivă r pe M.

Exemplul 11 ​​Relația din Exemplul 7 este o relație de ordin parțial. Relația I A este o relație de echivalență și ordine parțială. Relația de paralelism pe o mulțime de drepte este o relație de echivalență.