Divizibilitatea în inele. Inel integral Vezi ce este „Inel integral” în alte dicționare

Să fie un inel arbitrar. După cum sa arătat mai devreme, pentru orice element sunt valabile următoarele egalități:

Rezultă că elementele zero - 0 și unit - sunt elemente diferite ale inelului.

Dacă există un element invers pentru un element din inel, atunci acesta este singurul pentru care condiția este îndeplinită.

Elementul unitar al inelului este inversul acestuia: .

Din egalitate rezultă că elementul este de asemenea verso pentru tine.

Elementul zero 0 al inelului nu are un element invers, deoarece , pentru orice element .

Definiţie. Un element pentru care există în inel și, în plus, doar un element unic, invers, numite reversibile sau divizor de unitate.

Inelul numerelor întregi este cel mai simplu exemplu de inel comutativ, în care doar 1 și –1 sunt factori unitari.

Teorema. Mulțimea tuturor divizorilor unității unui inel este grupul de înmulțire.

Dovada.Într-adevăr, dacă , i.e. sunt divizori ai unității inelului, atunci

şi prin urmare

Aceasta înseamnă că și sunt și divizori ai unității și, prin urmare, sunt conținute în mulțime. Prin urmare, mulțimea este un grup de înmulțire.

Definiţie. Grupul se numește grupul de divizori ai elementului unitar al inelului.

Deoarece pentru orice element egalitatea este satisfăcută, atunci, prin definiția divizorilor elementelor inelului, fiecare element este un divizor zero. În teoria inelelor, următoarea definiție a divizorilor zero este folosită pentru elementele arbitrare.

Definiţie. Elementele se numesc divizori zero dacă , a ; în acest caz, se numesc divizorii zero stânga și - dreapta.

Exemplu. 1. În inelul claselor de reziduuri mod m există divizori zero:

2. În inelul matricelor pătrate de ordinul doi există și divizori zero:

Definiţie. Un inel de integritate (domeniu) este un inel comutativ fără divizori zero.

Exemplu. 1. – inelul numerelor întregi este un inel de integritate.

2. Un inel este un inel de integritate dacă și numai dacă este un număr prim.

Luați în considerare un inel arbitrar. Dacă , și , adică inelul nu conține divizori zero, atunci un astfel de inel se numește inel de diviziune. Mai strict.

Definiţie. Un inel K în care există inverse pentru toate elementele diferite de zero se numește corp.

Corpul nu conține divizori zero, adică. dacă și este un corp, atunci dacă .

Aceasta înseamnă că elementele non-nule ale corpului formează un semigrup sub înmulțire.

Mai mult, pentru că corpul conține un element de identitate și pentru fiecare element diferit de zero din corp există un element invers, apoi elementele nenule ale corpului formează un grup de multiplicare.

Exemple. 1. Împărțirea numerelor raționale. Într-adevăr, dacă , unde .

Este important ca elementul invers .

Pentru orice număr întreg, de exemplu , inversul există și este egal cu , dar nu aparține lui .

2. Împărțirea numerelor reale.

3. Împărțirea numerelor complexe.

Inelul de integritate care este cel mai des întâlnit este inelul de numere întregi.

În teoria inelelor, un rol special îl au inelele, care în proprietățile lor sunt destul de apropiate de inelul numerelor întregi. În special, pentru aceste inele se poate dezvolta o teorie a divizibilității similară cu teoria divizibilității numerelor întregi. Aceste inele sunt numite inele ideale principale. Fie un inel de integritate cu unitate - un inel comutativ fără divizori zero, în care conceptul de divizor dreapta și stânga al unui element coincide. Definiția divizibilității elementelor acestui inel poate fi formulată după cum urmează:

Definiţie. Dacă pentru elementele inelului de integritate există un element astfel încât , atunci ei spun că elementul este divizibil cu , și scrieți fie împarte – , fie .

Din definiția divizibilității a două elemente, urmează următoarele proprietăți de divizibilitate în inelul de integritate:

Aceste proprietăți sunt o extensie a inelului de integritate a proprietăților de divizibilitate corespunzătoare din inelul de numere întregi.

5. Fiecare element este divizibil cu orice divizor de unitate. Într-adevăr, dacă este un divizor al unității, atunci și este, de asemenea, un divizor al unității, ceea ce înseamnă că , atunci și, prin urmare, .

6. Dacă este divizibil cu , atunci este și divizibil cu , unde este orice divizor al unității.

Într-adevăr, egalitatea rezultă din egalitate și, prin urmare, .

7. Fiecare element al divizorilor și , unde este orice divizor al unuia, este un divizor al altuia.

Într-adevăr, din egalitate urmează egalitatea, iar din egalitate – egalitate. Prin urmare, dacă , atunci și invers.

În cele ce urmează vom lua în considerare elemente ale inelului de integritate care sunt diferite de zero.

Definiţie. asociate, dacă fiecare dintre ele este un divizor al celuilalt:

Din egalitatea (55) rezultă că . De aici, reducând ambele părți ale egalității rezultate cu , obținem . Prin urmare, și sunt divizori ai unității. Astfel, dacă și sunt elemente asociate, atunci , unde este un divizor al unității. Pe de altă parte, indiferent de ce divizor de unitate luăm, elementele și asociate între ele, deoarece .

Definiţie. Elementele inelului de integritate sunt numite asociate, dacă , unde este vreun divizor al unității.

Exemplu.Într-un inel de numere întregi sunt asociate perechi de numere.

Dacă și elementele asociate ale inelului de integritate, atunci . Rezultă că - idealul principal generat de un element este un subset al - idealul principal generat de un element și invers:

Aceasta înseamnă că două elemente asociate, inelele de integritate, generează același ideal principal.

Fie elementele arbitrare ale inelului de integritate.

Definiţie. Un element se numește divizor comun al elementelor și dacă fiecare dintre aceste elemente este divizibil cu .

Prin proprietatea 5, toți divizorii unității inelului de integritate sunt divizori comuni ai elementelor și . Dar elementele pot avea și alți divizori comuni. Să introducem conceptul de cel mai mare divizor comun (MCD) al acestor elemente. Determinarea GCD a două numere întregi, prin care se numește GCD cel mai mare a divizorilor comuni nu poate fi extins la inelul de integritate, deoarece într-un inel de integritate arbitrar nu există o relație de ordine. Cu toate acestea, este posibil să se introducă o altă definiție a mcd a două numere și , și anume: mcd a două numere este divizorul comun al acestor numere care este divizibil cu orice alt divizor comun al acestora. Această definiție a GCD se extinde la elementele inelului de integritate.

Definiţie. Cel mai mare divizor comun al două elemente ale unui inel de integritate este un astfel de element, notat prin simbol și având două proprietăți:

Comentariu. Este clar că, alături de proprietățile 1., 2., orice element asociat acestuia are. Într-adevăr, dacă este mcd-ul elementelor , atunci formal este scris sub forma sau . Dacă, de asemenea, și , atunci elementele și sunt împărțite unele în altele și, prin urmare, sunt asociate. Pe de altă parte, dacă , atunci, evident, , unde este orice divizor al unității. Astfel, GCD-ul elementelor este determinat până la un factor, care este un divizor al unității.

Ținând cont de această observație, la proprietățile 1., 2. ale celui mai mare divizor comun se adaugă următoarele:

Proprietatea 6. ne permite să extindem conceptul de gcd la un număr finit arbitrar de elemente ale inelului de integritate.

Prin analogie cu, este introdus conceptul dual cel mai mic multiplu comun elemente ale unui inel de integritate definite până la asociere și care, de asemenea, posedă două proprietăți:

În special, presupunând , obținem că .

Teorema. Dacă pentru elementele de inele de integritate există și . Apoi

Dovada. Afirmația a) rezultă direct din definiție. Pentru a demonstra b) este necesar să ne asigurăm că elementul definit de egalitate are proprietăți 1., 2. GCD. Într-adevăr, din , deci, de unde, după reducerea cu , admisibilă în orice inel de integritate, avem, i.e. . În mod similar, adică . Aceasta dovedește proprietatea 1. Pentru a demonstra proprietatea 2. Imaginează-ți . Să punem. Atunci este multiplu comun al elementelor și . După proprietatea pentru unii, de unde, i.e. și , care este ceea ce trebuia dovedit.

Definiţie. Elementele unui inel de integritate se numesc coprime dacă nu au divizori comuni, alții decât divizorii unitari, de exemplu. dacă GCD.

Fie un divizor arbitrar al unității și un element arbitrar al inelului de integritate. Apoi rezultă din condiția ca . Aceasta înseamnă că toate elementele asociate cu elementul și toți divizorii unității sunt divizori ai elementului. Sunt numiti banal sau nu a ta divizori de elemente. Toți divizorii diferiți de și , dacă există în , sunt numiți nebanală, sau proprii divizori de elemente.

Exemplu.În inelul numerelor întregi, divizorii banali ai numărului 10 sunt numerele și , iar divizorii netriviali sunt numerele și .

Definiţie. Un element al unui inel de integritate se numește indecomposabil, sau simplu, dacă nu este un divizor al unității și nu are divizori netriviali; un element se numește descompus, sau compus, dacă are divizori netriviali.

Cu alte cuvinte, se spune că un element este descompunebil dacă poate fi reprezentat ca produsul a doi divizori netriviali; un element se numește indecomposabil dacă nu poate fi reprezentat ca produs al doi divizori netriviali.

Exemplu.În inelul numerelor întregi, numerele care sunt indecompuse sunt i.e. numere prime și contrarii lor. Toate celelalte numere diferite de , sunt descompuse.

Elementele necompuse au următoarele proprietăți:

· dacă un element al unui inel de integritate este indecomposabil, atunci orice element asociat cu acesta este, de asemenea, indecomposabil;

· dacă este un element arbitrar al inelului de integritate și este un element indecomposabil al , atunci fie este divizibil cu , fie și și sunt elemente relativ prime ale .

Într-adevăr, prima proprietate decurge direct din proprietatea 7 a divizibilității elementelor inelului de integritate. Demonstrăm a doua proprietate după cum urmează. Dacă GCD, atunci, ca divizor al unui element necompunebil, este fie un divizor al unității, fie un element de forma . În primul caz, elementele și sunt relativ prime în al doilea, sunt divizibile cu .

Definiţie. Un inel de integritate se numește inel cu o factorizare unică în factori primi (sau un inel factorial) dacă orice element al poate fi reprezentat sub forma:

unde este elementul invers și sunt elemente simple (nu neapărat distincte perechi) și din existența unei alte astfel de descompunere

rezultă că cu numerotarea corespunzătoare a elementelor și voinței, obținem din (41) egalitatea este posibilă. În același timp, numărul 9 (și nu numai el) admite două descompunere semnificativ diferite în factori primi:

Neasocierea elementelor 3 este evidentă. Următorul, . Prin urmare, din expansiunea pentru sau cu ireversibile ar urma, i.e. , ceea ce este imposibil, deoarece ecuația cu este de nerezolvat. Aceasta dovedește simplitatea elementelor 3 și .

Structuri algebrice: inel.

Definiţie. Fie A o mulțime nevidă pe care sunt definite două operații algebrice binare interne, pe care le vom numi adunare și înmulțire și le vom scrie în consecință. O structură algebrică se numește inel dacă mulțimea relativă A este un grup abelian și legea asociativității înmulțirii și ambele legi ale distributivității înmulțirii în raport cu adunarea sunt îndeplinite.

Cu alte cuvinte, o structură algebrică se numește inel dacă sunt îndeplinite următoarele legi:

1 – 4. Legile grupului abelian privind adunarea;

5. Legea asociativității înmulțirii:

6. Legea distributivității înmulțirii relativ la adunare:

Definiţie. Dacă în inelul A sunt adevărate următoarele:

7. Legea înmulțirii comutative

atunci inelul A se numește inel comutativ.

Definiţie. Dacă în inelul A există un element unitar în raport cu înmulțirea:

8. Legea existenței unui singur element

atunci inelul A se numește inel cu identitate.

Fie A un inel arbitrar. Apoi

2. Dacă inelul A are unul, atunci

Dovada repetă unul la unul demonstrarea proprietăților similare ale câmpului.

clauza 15. Zona de integritate.

Definiţie. Fie A un inel arbitrar, .

Dacă , dar , atunci elementul a se numește divizor de zero din stânga, iar elementul b este numit divizor de zero din dreapta. Dacă A este un inel comutativ, atunci a și b se numesc divizori zero.

Definiţie. Dacă un inel nu are divizori zero, atunci se numește inel cu divizor zero.

Definiţie. Un inel comutativ cu unul și niciun divizor zero se numește regiune de integritate.

Exemplul 1. Inelul numerelor întregi Z este o regiune de integritate.

Exemplul 2. Un inel de polinoame peste un câmp arbitrar este un domeniu de integritate. (Vezi demonstrația din Anexa 2. inele polinomiale.)

Exemplul 3. Inelul de funcții definit pe un interval este comutativ, cu unitate, dar cu divizori zero. De exemplu, să punem

, .

Atunci f(x) și g(x) sunt funcții diferite de zero definite pe interval, adică. sunt elemente ale inelului, dar produsul lor este în mod evident egal cu funcția zero:

unde prin definiție presupunem , și, evident, este zero al inelului.

În mod similar, se poate demonstra că inelul de funcții are și divizori zero și, prin urmare, nu este un domeniu de integritate., atunci, i.e. legea de contracție a dreptului este îndeplinită. Legea anulării din stânga este dovedită în mod similar. dovedit.

Rețineți că în orice inel legea anulării cu privire la adăugare este îndeplinită, deoarece un inel este relativ un grup, iar în orice grup, după cum am văzut, legea anulării este valabilă.

Zona de integritate(sau inel complet, sau zona de integritate) - conceptul de algebră abstractă: un inel comutativ asociativ cu unitate, în care 0?1 și produsul a două elemente nenule nu este egal cu zero. Condiția 0-1 exclude inelul trivial (0) din considerare.

Definiție echivalentă: un domeniu de integritate este un inel comutativ asociativ în care idealul zero (0) este prim. Orice domeniu al integrității este un subans al domeniului său de detalii.

· Cel mai simplu exemplu zone de integritate - un inel de numere întregi.

· Orice domeniu este o zonă de integritate. Pe de altă parte, orice domeniu artinian al integrității este un câmp. În special, toate domeniile finite de integritate sunt câmpuri finite.

· Un inel de polinoame cu coeficienți dintr-un inel integral este de asemenea integral. De exemplu, inelul de polinoame a unei variabile cu coeficienți întregi și inelul de polinoame a două variabile cu coeficienți reali vor fi integrale.

· Multe numere reale al formei este un subring al câmpului și, prin urmare, o regiune de integritate. Același lucru se poate spune despre mulțimea numerelor complexe de formă o + bi, Unde oŞi b numere întregi (mulțime de numere întregi gaussiene).

· Lasă U-- un subset deschis conectat al planului complex. Apoi inelul H(U) din toate funcțiile holomorfe vor fi holistice. Același lucru este valabil pentru orice inel de funcții analitice definite pe o submulțime conectată a unei varietăți analitice.

· Dacă K-- inel comutativ și eu-- ideal în K, apoi inelul factorului K / eu completă dacă și numai dacă eu-- un ideal simplu.

Divizibilitate, elemente prime și ireductibile

Lasă oŞi b-- elemente ale unui inel complet K. Ei spun că „ o desparte b" sau " o-- divizor b„(și scrieți) dacă și numai dacă există un element astfel încât topor = b.

Divizibilitatea este tranzitivă: dacă o desparte bŞi b desparte c, Asta o desparte c. Dacă o desparte bŞi c, Asta oîmparte și suma lor b + c si diferenta b - c.

Pentru inel K cu unul se numesc elementele care împart 1 divizori de unitateși uneori doar unitati. Ele și numai ele sunt reversibile K. Unitățile împart toate celelalte elemente ale inelului.

Elementele a și b se numesc asociate, dacă a împarte b și b împarte a. a și b sunt asociate dacă și numai dacă o = b * e, unde e este un element inversabil.

Element ireversibil q se numește un inel complet ireductibil, dacă nu poate fi descompus în produsul a două elemente ireversibile.

Element ireversibil diferit de zero p numit simplu, dacă din ceea ce urmează sau. Această definiție generalizează conceptul de număr prim dintr-un inel, dar ia în considerare și numere prime negative. Dacă p este un element simplu al inelului, apoi idealul principal generat de acesta ( p) va fi simplu. Orice element simplu este ireductibil, dar invers nu este adevărat în toate domeniile de integritate.

Proprietăți

· Orice câmp, precum și orice inel cu unitate conținut într-un anumit câmp, este o regiune de integritate.

În schimb, orice regiune de integritate poate fi imbricată într-un câmp. O astfel de încorporare este dată de construcția câmpului de coeficienti.

· Dacă OЇ domeniul de integritate, apoi inelul de polinoame și inelul de serie de puteri formale peste O vor fi, de asemenea, zone de integritate.

· Dacă OЇ inel comutativ cu identitate şi euЇ ceva ideal în O, apoi inelul O / eu este o regiune de integritate dacă și numai dacă idealul eu simplu

· Un inel va fi un domeniu de integritate dacă și numai dacă spectrul său este un spațiu topologic ireductibil.

· Un produs direct al inelelor nu este niciodată o regiune de integritate, deoarece unitatea primului inel înmulțită cu unitatea celui de-al doilea inel va da 0.

· Produsul tensor al inelelor integrale va fi, de asemenea, un inel integral.

Variații și generalizări

Uneori, comutativitatea nu este necesară în definirea unui domeniu de integritate. Exemple de domenii de integritate necomutative sunt corpurile, precum și subinelele corpurilor care conțin unitate, de exemplu, cuaternioni întregi. Cu toate acestea, în general, nu este adevărat că orice domeniu de integritate necomutativ poate fi încorporat într-un inel de diviziune.

Exemple

Divizibilitate, elemente prime și ireductibile

Lasă oŞi b- elemente ale unui inel complet K. Ei spun că „ o desparte b" sau " o- separator b„(și scrieți) dacă și numai dacă există un element astfel încât ox = b .

Divizibilitatea este tranzitivă: dacă o desparte bŞi b desparte c, Asta o desparte c. Dacă o desparte bŞi c, Asta oîmparte și suma lor b + c si diferenta b - c .

Pentru inel K cu unul se numesc elementele care împart 1 unitati sau divizori de unitate. Ele și numai ele sunt reversibile K. Unitățile împart toate celelalte elemente ale inelului.

Elementele a și b se numesc asociate, dacă a împarte b și b împarte a. a și b sunt asociate dacă și numai dacă o = b * e , unde e este un element inversabil.

Element diferit de zero q, care nu este o unitate se numește ireductibil, dacă nu poate fi descompus în produsul a două elemente care nu sunt unități.

Element ireversibil diferit de zero p numit simplu, dacă din ceea ce urmează sau . Această definiție generalizează conceptul de număr prim dintr-un inel, dar ia în considerare și numere prime negative. Dacă p este un element simplu al inelului, apoi idealul principal generat de acesta ( p) va fi simplu. Orice element simplu este ireductibil, dar invers nu este adevărat în toate domeniile de integritate.

Proprietăți

• Orice câmp, precum și orice inel cu unitate conținut într-un anumit câmp, este o regiune de integritate.
  • În schimb, orice regiune de integritate poate fi imbricată într-un câmp. O astfel de încorporare este dată de construcția câmpului de coeficienti.
• Dacă O este un domeniu de integritate, apoi inelul de polinoame și inelul de serie de puteri formale peste O vor fi, de asemenea, zone de integritate.
• Dacă O este un inel comutativ cu identitate şi eu- ceva ideal în O, apoi inelul O / eu este o regiune de integritate dacă și numai dacă idealul eu simplu .
• Un inel va fi un domeniu de integritate dacă și numai dacă spectrul său este un spațiu topologic ireductibil.
• Produsul direct al inelelor nu este niciodată o regiune de integritate, deoarece unitatea primului inel înmulțită cu unitatea celui de-al doilea inel va da 0.
• Produsul tensor al inelelor integrale va fi, de asemenea, un inel integral.

Variații și generalizări

Uneori comutativitatea nu este necesară în definirea unui domeniu de integritate. Exemple de domenii de integritate necomutative sunt inelele de diviziune, precum și subinelele inelelor de diviziune care conțin unitate, cum ar fi cuaternionii întregi. Cu toate acestea, în general, nu este adevărat că orice domeniu de integritate necomutativ poate fi încorporat într-un inel de diviziune.

Vedeți ce este „Inelul integral” în alte dicționare:

Inel - obțineți un cod promoțional actual pentru o reducere Sportmarket la Akademika sau cumpărați un inel profitabil cu reducere la reducere la Sportmarket

La fel ca și zona de integritate... Enciclopedie matematică

- (numit după matematicianul francez Etienne Bezout) este orice zonă de integritate în care fiecare ideal finit generat este principalul. Din această definiție rezultă că un inel Bezout este noetherian dacă și numai dacă... ... Wikipedia

În algebra comutativă, inelul de câte S 1R al unui inel R (comutativ cu unitate) într-un sistem multiplicativ este spațiul fracțiilor cu numărători din R și numitori din S cu operații aritmetice și identificări uzuale pentru ... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Ring. În algebra abstractă, un inel este unul dintre cele mai comune tipuri de structură algebrică. Cele mai simple exemple de inele sunt algebrele numerelor (numere întregi, reale, ... ... Wikipedia

Un inel local comutativ pentru care lema lui Hansel este valabilă sau, într-o altă definiție, pentru care este valabilă teorema funcției implicite. Pentru un inel local A cu un ideal maxim, acesta din urmă înseamnă că pentru orice unitar... ... Enciclopedie matematică

Un inel integral comutativ A, pentru k poro există o familie de evaluări discrete ale câmpului de coeficienti K ai inelului A, care îndeplinesc următoarele condiții: a) pentru orice n pentru tot i, excluzând, poate, un număr finit, b ) pentru că condiția este echivalentă... ... Enciclopedie matematică

Inel de muguri analitic. funcţionează într-un punct din spaţiul analitic. Mai precis: fie k un câmp cu valoare absolută netrivială (de obicei presupusă a fi completă) și fie fc algebra seriei de puteri în cu coeficienți în k, convergând către niște... ... Enciclopedie matematică

Un inel comutativ cu identitate, al cărui ideal prim este intersecția idealurilor maxime care îl conțin, adică un inel, al cărui coeficient integral are un radical Jacobson zero. De exemplu, orice inel artinian, inel de numere întregi... Enciclopedie matematică

Un inel integral, un inel comutativ cu unitate și fără divizori zero. Orice câmp, precum și orice inel cu identitate conținut într-un anumit câmp, este un O. c. În schimb, orice O. c. poate fi încorporat într-un anumit câmp. O astfel de investiție oferă... Enciclopedie matematică

O regiune de integritate (sau un inel integral, sau o regiune de integritate, sau pur și simplu o regiune) este un concept de algebră abstractă: un inel comutativ asociativ cu unitate, în care 0≠1 și produsul a două elemente nenule este nu este egal cu zero. Condiția 0≠1… …Wikipedia

Zona de integritate(sau inel complet, sau zona de integritate sau doar regiune) - conceptul de algebră comutativă: un inel comutativ fără divizori zero (produsul oricărei perechi de elemente nenule nu este egal cu 0).

Definiție echivalentă: un domeniu de integritate este un inel comutativ în care idealul zero (0) este prim. Orice domeniu de integritate este un subring al câmpului său de coeficienti.

Exemple

• Cel mai simplu exemplu de regiune de integritate este inelul de numere întregi $\backslash mathbb\; Z$.
• Orice domeniu este o zonă de integritate. Pe de altă parte, orice domeniu artinian al integrității este un câmp. În special, toate domeniile finite de integritate sunt câmpuri finite.
• Un inel de polinoame cu coeficienți dintr-un inel integral este de asemenea integral. De exemplu, un inel va fi intact $\backslash mathbb(Z)[x]$ polinoame ale unei variabile cu coeficienți întregi și un inel $\backslash mathbb(R)$ polinoame a două variabile cu coeficienți reali. Inelul seriei de puteri formale cu coeficienți din inelul integral este de asemenea integral.
• Mulțimea numerelor reale ale formei $a+b\backslash sqrt(2)$ există un subring al câmpului $\backslash mathbb(R)$și, prin urmare, zona de integritate. Același lucru se poate spune despre mulțimea numerelor complexe de formă $a+bi$, Unde $o$Şi $b$ numere întregi (mulțime de numere întregi gaussiene).
• Lasă $U$- submulțime deschisă conectată a planului complex $\backslash mathbb(C)$. Apoi inelul $H(U)$ toate funcțiile holomorfe $f:U\backslash rightarrow\backslash mathbb(C)$ va fi complet. Același lucru este valabil pentru orice inel de funcții analitice definite pe o submulțime conectată a unei varietăți analitice.
• Dacă $K$ este un inel comutativ și $eu$- ideal în $K$, apoi inelul factorului $K/I$ completă dacă și numai dacă $eu$- un ideal simplu.

Divizibilitate, elemente prime și ireductibile

Lasă $o$Şi $b$- elemente ale unui inel complet $K$. Ei spun că „ $o$ desparte $b$" sau " $o$- separator $b$„(și scrie $a\backslash mid\; b$), dacă și numai dacă elementul există $x\backslash în\; K$ astfel încât $ax=b$.

Divizibilitatea este tranzitivă: dacă $o$ desparte $b$Şi $b$ desparte $c$, Asta $o$ desparte $c$. Dacă $o$ desparte $b$Şi $c$, Asta $o$împarte și suma lor $b+c$ si diferenta $b-c$.

Pentru inel $K$ cu unul divizori de unitate, adică elementele $a\backslash în\; K$împărțirea 1 se mai numesc unități (algebrice).. Ei și numai ei $K$ au un element invers, deci divizorii unității sunt numiți și elemente inversabile. Elementele inversabile împart toate celelalte elemente ale inelului.

Elemente $o$Şi $b$ sunt numite asociate, dacă a se împarte $b$Şi $b$ desparte $o$. $o$Şi $b$ asociat dacă și numai dacă $a\; =\; fi$, Unde $e$- element reversibil.

Element diferit de zero $q$, care nu este o unitate se numește ireductibil, dacă nu poate fi descompus în produsul a două elemente care nu sunt unități.

Element ireversibil diferit de zero $p$ numit simplu, dacă din faptul că $p\backslash mid\; ab$, ar trebui $p\backslash mid\; a$ sau $p\backslash mid\; b$. Această definiție generalizează conceptul de număr prim într-un inel $\backslash mathbb(Z)$, totuși, ia în considerare și numere prime negative. Dacă $p$ este un element simplu al inelului, apoi idealul principal generat de acesta $(p)$ va fi simplu. Orice element simplu este ireductibil, dar invers nu este adevărat în toate domeniile de integritate.

Proprietăți

• Orice câmp, precum și orice inel cu unitate conținut într-un anumit câmp, este o regiune de integritate.
  • În schimb, orice regiune de integritate poate fi imbricată într-un câmp. O astfel de încorporare este asigurată de construcția câmpului de coeficienti.
• Produsul direct al inelelor nu este niciodată o regiune de integritate, deoarece unitatea primului inel înmulțită cu unitatea celui de-al doilea inel va da 0.
• Produs tensor de inele complete va fi, de asemenea, un inel complet.
• Caracteristica regiunii de integritate este fie zero, fie un număr prim.

Variații și generalizări

Uneori, comutativitatea nu este necesară în definirea unui domeniu de integritate. Exemple de domenii de integritate necomutative sunt inelele de diviziune, precum și subinelele inelelor de diviziune care conțin unitate, cum ar fi cuaternionii întregi. Cu toate acestea, nu este adevărat că orice un domeniu de integritate necomutativ poate fi încorporat într-un inel de diviziune.

Scrieți o recenzie despre articolul „Zona de integritate”

Literatură

• Vinberg E.B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M.: Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare.

- ISBN 5-88688-060-7.

Extras care caracterizează Zona de Integritate
– II n "est plus... [Era plecat...]
Pierre o privi prin ochelari.
L-a condus în sufrageria întunecată și Pierre s-a bucurat că nimeni de acolo nu i-a văzut fața. Anna Mihailovna l-a părăsit, iar când s-a întors, el, cu mâna sub cap, dormea ​​adânc.
A doua zi dimineața, Anna Mihailovna i-a spus lui Pierre:
- Oui, mon cher, c"est une grande perte pour nous tous. Je ne parle pas de vous. Mais Dieu vous soutndra, vous etes jeune et vous voila a la tete d"une immense fortune, je l"espere. Le testament n"a pas ete encore ouvert. Je vous connais assez pour savoir que cela nu vă tourienera pas la tete, mais cela vous impose des devoirs, et il faut etre homme. [Da, prietene, aceasta este o mare pierdere pentru noi toți, ca să nu mai vorbim de tine. Dar Dumnezeu te va sprijini, ești tânăr, iar acum ești, sper, proprietarul unei bogății enorme. Testamentul nu a fost încă deschis. Te cunosc destul de bine și sunt sigur că asta nu-ți va întoarce capul; dar asta îți impune responsabilități; și trebuie să fii bărbat.]
Pierre a tăcut.
– Peut etre plus tard je vous dirai, mon cher, que si je n"avais pas ete la, Dieu sait ce qui serait arrive. Vous savez, mon oncle avant hier encore me promettait de ne pas oublier Boris. Mais il n"a pas eu le temps. J "espere, mon cher ami, que vous remplirez le desir de votre pere. [După, poate vă voi spune că dacă nu aș fi fost acolo, Dumnezeu știe ce s-ar fi întâmplat. Știți că unchiul din a treia zi El mi-a promis să nu-l uit pe Boris, dar nu a avut timp, sper, prietene, că vei îndeplini dorința tatălui tău.]
Pierre, neînțelegând nimic și în tăcere, roșind timid, se uită la prințesa Anna Mihailovna. După ce a vorbit cu Pierre, Anna Mikhailovna s-a dus la Rostov și s-a culcat. Trezindu-se dimineața, ea le-a povestit familiei Rostovi și tuturor prietenilor ei detaliile morții contelui Bezukhy. Ea a spus că contele a murit așa cum a vrut ea să moară, că sfârșitul lui nu a fost doar înduioșător, ci și edificator; Ultima întâlnire dintre tată și fiu a fost atât de emoționantă încât nu și-a putut aminti de el fără lacrimi și că nu știe cine s-a purtat mai bine în aceste momente groaznice: tatăl, care și-a amintit totul și toată lumea în așa fel în ultimele minute și astfel de cuvinte înduioșătoare i-a spus fiului său, sau Pierre, pe care a fost păcat să-l văd, cum a fost ucis și cum, în ciuda acestui fapt, a încercat să-și ascundă tristețea pentru a nu-și supăra tatăl aflat pe moarte. „C"est penible, mais cela fait du bien; ca eleve l"ame de voir des hommes, comme le vieux comte et son digne fils,” [It’s hard, but it’s saving; sufletul se ridică când vezi oameni ca bătrânul conte și ai lui fiu vrednic,] a spus ea. Ea a vorbit și despre acțiunile prințesei și ale prințului Vasily, nu aprobându-le, ci în mare secret și în șoaptă.

În Munții Cheli, moșia prințului Nikolai Andreevich Bolkonsky, sosirea tânărului prinț Andrei și a prințesei era așteptată în fiecare zi; dar așteptarea nu a perturbat ordinea ordonată în care se desfășura viața în casa bătrânului prinț. Generalul-șef Prințul Nikolai Andreevici, poreclit în societate le roi de Prusse, [regele Prusiei] din vremea când a fost exilat în sat sub Paul, a trăit continuu în Munții Săi Cheli împreună cu fiica sa, Prințesa Marya și cu tovarășul ei, m lle Bourienne. [Mademoiselle Bourien.] Și în timpul noii domnii, deși i s-a permis intrarea în capitale, a continuat să locuiască și în mediul rural, spunând că dacă cineva are nevoie de el, atunci va călători o sută și jumătate de mile de la Moscova la Bald. Munți, dar ce-ar el nu este nevoie de nimeni sau nimic. El a spus că există doar două izvoare ale viciilor umane: lenevia și superstiția și că există doar două virtuți: activitatea și inteligența. El însuși s-a implicat în creșterea fiicei sale și, pentru a-și dezvolta ambele virtuți principale, până la vârsta de douăzeci de ani, i-a dat lecții de algebră și geometrie și i-a distribuit întreaga viață în studii continue. El însuși era în permanență ocupat fie să-și scrie memoriile, fie să calculeze matematică superioară, fie să învârte cutii de tabaturi pe o mașină, fie să lucreze în grădină și să observe clădirile care nu se opreau pe moșia lui. Întrucât principala condiție a activității este ordinea, ordinea în modul său de viață a fost adusă la cel mai mare grad de precizie. Călătoriile lui la masă au avut loc în aceleași condiții neschimbate, și nu numai la aceeași oră, ci și în același minut. Cu oamenii din jurul său, de la fiica sa până la slujitorii săi, prințul era aspru și invariabil exigent și, prin urmare, fără a fi crud, a stârnit teamă și respect pentru sine, pe care persoana cea mai crudă nu le putea realiza cu ușurință. În ciuda faptului că era pensionar și că acum nu avea nicio importanță în treburile statului, fiecare șef al provinciei în care se afla moșia prințului, considera de datoria lui să vină la el și, la fel ca un arhitect, grădinar sau prințesa Marya, aștepta ora stabilită a apariției prințului în camera înaltă a ospătarului. Și toți cei din această chelneriță au experimentat același sentiment de respect și chiar de teamă, în timp ce ușa enorm de înaltă a biroului se deschidea și apărea silueta scurtă a unui bătrân cu perucă pudrată, cu mâinile mici uscate și sprâncenele cenușii căzute, care uneori, în timp ce se încruntă, a întunecat strălucirea oamenilor deștepți și a ochilor cu siguranță tineri, strălucitori.