Pentru studiu sunt oferite conceptele de inel, un inel comutativ și un domeniu de integritate, homomorfism și izomorfism al inelelor, un subinel, precum și proprietățile inelului de numere întregi.
clauza 1. Conceptul de inel.
Definiție. Algebra, unde sunt operații binare, este o operație unară, se numește inel dacă axiomele sunt îndeplinite.
I. este un grup abelian.
II. 1) - asociativitatea înmulțirii.
2) legile distributivității: - legea distributivă stângă, - legea distributivă dreaptă.
Numit grupul aditiv al unui inel.
Definiție. Un inel se numește inel cu identitate dacă există
Definiție. Un inel se numește comutativ dacă
Definiție. Elementele se numesc divizori dacă
Definiție. Un inel se numește regiune de integritate dacă are următoarele proprietăți:
Inelul este comutativ.
Inel cu unitate , unde .
Inelul nu are divizori zero.
P.2. Exemple de inele.
Sa luam in considerare. Operațiile sunt o operație binară pe mulțime, o operație este o operație unară pe mulțime și asta înseamnă algebră. Axiomele unui inel sunt satisfăcute pe o mulțime, aceasta rezultă din proprietățile numerelor întregi, ceea ce înseamnă că este un inel. Acesta este un inel cu unitatea 1, deoarece și . Acesta este un inel comutativ, deoarece . Acesta este un inel fără divizori zero. Inelul numerelor întregi este o regiune de integritate.
Fie o mulțime de numere întregi pare, - o algebră, un inel fără unitate, comutativ, fără divizori zero, și nu un domeniu de integritate.
Să verificăm dacă setul conține un inel.
Operație binară pe un set.
Operație unară pe un set.
Asta înseamnă algebră.
Axiomele inelului pentru această algebră sunt îndeplinite, deoarece , iar axiomele sunt satisfăcute (din proprietățile numere reale), ceea ce înseamnă că este un inel.
Un inel cu unitate este un inel comutativ fără divizori zero și este un domeniu de integritate.
Lăsa . Să definim operaţiile , ; , .
Operații binare pe un set
Aceasta înseamnă că este o operațiune unară pe platou.
Asta înseamnă algebră. Să verificăm dacă această algebră este un inel. Pentru a face acest lucru, să verificăm axiomele inelului. Egalitatea - egalitatea unei funcții: din definiția operațiilor. Să luăm în considerare produsul, să calculăm valorile părților din stânga și din dreapta ale a) b). În mod similar, se verifică dacă toate axiomele unui inel sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că este un inel. Acesta este un inel cu o unitate. Într-adevăr, (proprietatea unității). Acesta este un inel comutativ, deoarece . Să arătăm că acesta este un inel cu divizori zero. Fie , , , (funcția zero). Să calculăm (egal cu funcția zero). Aceasta înseamnă că , sunt divizori zero, ceea ce înseamnă că inelul nu este o regiune de integritate.
P.3. Cele mai simple proprietăți ale unui inel.
Să fie un inel. Să scriem și să verificăm axiomele inelului:
Dovada. este un grup abelian, avem
Dovada. este un grup abelian, avem .
Dacă dacă.
Dovada. Conform legii anulării într-un grup definit pe platou.
Dacă dacă.
Dovada. Urmează din proprietatea a 4 grupuri.
Dacă dacă.
Dovada. Rezultă din 5 proprietăți ale grupurilor.
Dovada. Rezultă din 6 proprietăți ale grupurilor.
Dovada. Să demonstrăm că.
Dovada. Să demonstrăm că luăm în considerare suma . În mod similar, se demonstrează că.
Denumire: .
(legea distributivă dreapta), (legea distributivă stânga).
Dovada. Legea distributivă dreaptă: partea stângă este egală cu partea dreaptă. Legea distributivă stângă este dovedită în mod similar.
Dovada. Să calculăm suma.
P.4. Omomorfisme și izomorfisme ale inelelor.
Date două inele și .
Definiție. Un homomorfism al unui inel dintr-un inel este o funcție care are următoarele proprietăți:
Cu alte cuvinte, homomorfismele inelului sunt mapări care păstrează toate operațiile inelului. Dacă este un homomorfism al unui inel în , atunci este un homomorfism al grupurilor abeliene în grup .
Teorema. Fie și fie inele și având proprietățile:
Atunci este un homomorfism al inelelor.
Dovada. Din proprietate este un homomorfism de grupuri și deci are proprietățile: , , ceea ce înseamnă prin definiție că este un homomorfism de inele.
Definiție. O mapare se numește izomorfism al unui inel pe dacă are următoarele proprietăți:
Omomorfismul inelelor.
Bijectie.
Cu alte cuvinte: un izomorfism este un homomorfism care este o bijecție.
P.5. Sub-inele.
Să fie un inel, , .
Definiție. Setul este închis sub operațiune dacă .
Setul este închis sub operațiune dacă . Setul este închis sub operațiune dacă .
Teorema. Fie un inel, , , dacă este închis sub operațiunea , atunci să fie un inel, care se numește subring al inelului.
Dovada. - operații binare, - operație unară, deoarece este o mulțime închisă. Deoarece , atunci există, deoarece este închis sub operația , atunci, deci, este o algebră, deoarece axiomele sunt satisfăcute pe , atunci sunt satisfăcute și pe , deci algebra este un inel.
Teorema. Fie un inel numeric cu unitatea 1, apoi conține un sub-inger de numere întregi.
P.6. Definiția axiomatică a inelului de numere întregi.
Un sistem algebric, în care operațiile binare, este o operație unară, , se numește sistem de numere întregi dacă sunt îndeplinite trei grupuri de axiome:
Eu sun.
grupul Abel
Grup de aditivi
II. Mulțimea este închisă sub operații, iar sistemul algebric este un sistem numere naturale(sistemul Peano).
Axioma inducției: fie . Dacă setul îndeplinește condițiile: | , Unde . Numărul se numește dividend, - divizor, - coeficient, - rest atunci când este împărțit la.
Dovada. Să demonstrăm existența a cel puțin unei perechi de numere, . Pentru a face acest lucru, luați în considerare setul. Mulțimea conține atât numere negative, cât și numere nenegative, fie cel mai mic număr nenegativ din , apoi . Să demonstrăm asta, să presupunem contrariul. Să luăm în considerare numărul. contradicție cu alegerea. S-a dovedit că , . Să demonstrăm unicitatea numerelor și , fie . , . Să demonstrăm asta, să presupunem contrariul. Lăsa . Avem o contradicție, deoarece nu există numere divizibile cu . S-a dovedit că , dacă , atunci , și rezultă că . Unicitatea numerelor și este dovedită.
Bibliografie
A EI. Marenich, A.S. Marenich. Curs introductiv la matematică. Manual educațional și metodologic. 2002
V.E. Marenich. Revista „Argument”. Probleme în teoria grupurilor.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 1 Fundamentele algebrei. - M.: Fizmat litera, 2000
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 2 Fundamentele algebrei. - M.: Fizmat litera, 2000
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 3 Structuri de bază ale algebrei. - M.: Fizmat litera, 2000
Kostrikin A.I. Culegere de probleme în algebră. Ed. a treia - M.: Fizmat litera, 2001
Definiția 34. Subset nevid H inele K numit subring inele K, Dacă H este un inel sub aceleași operațiuni ca un inel K.
Teorema 9(criteriul de subring).
Lăsa K- inel, H- submult nevid K.H este un subring al inelului K dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
1) pentru orice h 1, h 2∈H (h 1 - h 2)∈H;
2) pentru orice h 1, h 2∈H h 1 ⋅h 2∈H.
Dovada. Necesitate. Lăsa H- subring al inelului K. Apoi N– sunet cu privire la aceleași operații ca K. Mijloace, N este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire, adică condiția 2) este îndeplinită. În plus, pentru orice h 1, h 2∈H∃ -h 2∈HȘi h 1+(-h 2)=h 1 - h 2∈H.
Adecvarea. Fie îndeplinite condițiile 1) și 2). Să demonstrăm asta N - subring al inelului K. Prin Definiția 34, este suficient să verificăm acest lucru N - inel.
Deoarece condiția 1) este îndeplinită, atunci, prin teorema 7", N este un subgrup al grupului de aditivi K. Mai mult, deoarece operația de adunare este comutativă pe K, apoi în N operația „+” este de asemenea comutativă. Prin urmare, N este un grup abelian aditiv.
În continuare, în K legile distributive sunt îndeplinite şi N⊆K. Deci, în N legile distributive sunt de asemenea satisfăcute. Astfel, am arătat că N este un inel și, prin urmare N– subring al inelului K.
Teorema este demonstrată.
Definiția 35. Afişa φ inele Kîn ring K numit cartografiere homomorfă sau homomorfism, dacă sunt îndeplinite 2 condiții:
1) pentru orice A, b∈K φ(a+b)=φ (A)+φ (b);
2) pentru orice A, b∈K φ(a⋅b)=φ (A)⋅φ (b).
Nota 10. Definițiile monomorfismului, epimorfismului, izomorfismului, endomorfismului și automorfismului inelelor sunt formulate în mod similar cu definițiile corespunzătoare pentru grupuri.
Nota 11. Relația de izomorfism pe mulțimea tuturor inelelor este o relație de echivalență care împarte această mulțime în clase disjunctive - clase de echivalență. O clasă va include acele și numai acele inele care sunt izomorfe între ele. Inelele izomorfe au aceleași proprietăți. Prin urmare, din punct de vedere algebric ele nu se pot distinge.
8. Câmp.
Sfârșitul lucrării -
Acest subiect aparține secțiunii:
Elemente ale teoriei mulţimilor Conceptul de mulţime. Subset. Setați operațiuni
În cursul școlar de matematică au fost luate în considerare operațiile pe numere În același timp, s-au stabilit o serie de proprietăți ale acestor operații.. Alături de operațiile pe numere, cursul școlar a avut în vedere și.. Scopul principal al cursului de algebră este. studiul algebrelor și sistemelor algebrice Cursul de algebră găsește o amplă..
Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:
Ce vom face cu materialul primit:
Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:
| Tweet |
Toate subiectele din această secțiune:
Diagramele Euler-Venn
Cum în Viata de zi cu zi, asa de cercetare științifică de multe ori trebuie să luăm în considerare colecții de lucruri, sisteme de obiecte etc. În toate cazurile, se presupune că unele
Proprietățile operațiilor de set
Conform Definiției 1, mulțimile A și B sunt egale dacă și numai dacă A⊆B și B⊆A. Teorema 1. Fie
Produs direct (cartezian) al mulțimilor
Definiție 11. Produsul direct (cartezian) al mulțimilor A și B este o mulțime notată cu AB (a se citi
Relații binare între mulțimi
Definiție 14. O relație binară este orice set de perechi ordonate. În matematică, când se consideră relația dintre obiecte, se folosește termenul „relație”. Exemple
Setul de factori
Definiția 27. Relație binară R pe o mulțime A se numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică, tranzitivă pe mulțimea A. Def.
Set comandat
Definiția 30. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de ordine dacă este antisimetrică și tranzitivă pe A. Definiția 31. Bi
Funcționează ca o relație binară
Definiție 41. O relație binară f între mulțimile A și B se numește relație funcțională dacă din (a,b)
Teoremă privind asociativitatea unui produs de funcții
Definiția 50. Fie f: XY, g: YZ funcții. Munca
Cartografiere reversibilă
Definiție 52. O mapare se numește identică (sau identitate) dacă
Criteriul inversibilității funcției
Teorema 5. Fie o funcție. Funcția f este inversabilă f - beek
Metoda inducției matematice
Orice număr natural poate fi privit din două puncte de vedere. De exemplu, 3-trei (cantitate), 3-trei (comanda). La cursul de algebră ei studiază teoria ordinală a numerelor naturale. Pe platou ℕ bb
Proprietățile operațiilor binare
Definiție 1. O operație algebrică binară pe o mulțime nevide M este o lege sau o regulă conform căreia oricare două elemente ale mulțimii M
Semigrup cu reducere
Definiție 10. O mulțime nevide M cu o operație algebrică binară „∗” definită pe ea se numește grupoid. Desemnat
Cele mai simple proprietăți ale grupurilor
Definiție 14. O mulțime nevide G închisă sub operația algebrică binară „∗” se numește grup dacă sunt îndeplinite următoarele axiome (axiome de grup):
Subgrup. Criteriul subgrupului
Definiție 20. O submulțime nevide H a unui grup G se numește subgrup a lui G dacă H este un grup în raport cu aceeași operație ca și grupul G și
Omomorfisme și izomorfisme ale grupurilor
Teorema 8. Fie (Hi | i∈I) o colecție de subgrupe ale grupului G. Atunci A=i
Cele mai simple proprietăți ale inelelor
Definiția 27. O mulțime nevide K cu operații algebrice binare de adunare și înmulțire definite pe ea se numește inel dacă sunt îndeplinite următoarele axiome (ac
Cele mai simple proprietăți ale câmpurilor
Definiție 36. O mulțime P care conține cel puțin două elemente, închisă sub operațiile „+” și „⋅”, se numește câmp dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) P
Izomorfismul câmpului
Definiție 37. O submulțime nevidă H a câmpului P care conține cel puțin două elemente se numește subcâmp al câmpului P dacă H este un câmp în raport cu m
Câmpuri cu numere complexe
În câmpul ℝ, o ecuație de forma x2+1=0 nu are soluții. Prin urmare, este nevoie de a construi un câmp care ar fi
număr complex
Fie z=(a, b)∈ℂ și (x, 0)=x pentru orice x∈ℝ. Să obținem o altă formă pentru numărul complex z=(a, b)
număr complex
Fie z=a+bi un număr complex, a, b∈ℝ. Să reprezentăm numărul z ca un punct pe planul M(a, b).
În formă trigonometrică
Teorema 4. La înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică, modulele acestora se înmulțesc și se adună argumentele. Dovada. Fie z1
formula lui Moivre
Este convenabil să efectuați adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în formă algebrică. Totuși, exponențiarea și extracția rădăcinii de gradul n≥3
formula lui Moivre
Definiția 11. Fie n∈ℕ. Rădăcină gradul al n-lea dintr-un număr complex z este un număr complex z1 astfel încât z1
Rădăcinile primordiale
Conform teoremei 7, rădăcina a n-a a unității are exact n valori. Deoarece 1=1⋅(cos 0+isin 0), atunci,
Inel de polinoame într-o variabilă
Din cursul de matematică școlară și din cursul de analiză matematică se știe că un polinom este o întreagă funcție rațională de forma f(x)=a0+a1x+a2
Proprietăți ale gradului unui polinom
Definiție 19. Fie K un inel asociativ-comutativ cu identitate, (
Deasupra zonei de integritate
Teorema 13. Dacă K este un domeniu de integritate, atunci K[x] este un domeniu de integritate. Dovada. Fie K o regiune de integritate. Să arătăm asta
Matricea pasilor
Definiție 10. O matrice de dimensiunea m×n peste un câmp P este un tabel dreptunghiular format din n rânduri și m coloane, de următoarea formă:
Metoda de eliminare secvenţială a necunoscutelor
(metoda Gauss). Să luăm în considerare una dintre principalele metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, care se numește metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor sau altfel
Și proprietățile lor principale
1. Adunarea matricelor. Definiție 16. Fie A=(aij), B=(bij) matrice de dimensiune m×n peste câmpul P. Suma
Ecuații matriceale
Definiție 22. O matrice de ordinul al n-lea de formă se numește matrice de identitate. Observația 9. Dacă A –
Teorema de paritate de permutare
Definiția 27. Fie M=(1,2,…,n). O permutare pe o mulțime M sau o permutare de gradul al n-lea este o mulțime M cu o locație dată a elementelor sale.
Determinanți ai ordinului al doilea și al treilea
Fie A= o matrice de ordin al n-lea peste câmpul P. Din elementele matricei A vom compune toate produsele posibile
Legătura complementelor algebrice cu minore
Fie Δ = = . Definiţia 31. Dacă în determinantul Δ cgr
Determinant al produsului matricelor
Teorema 9. Fie A și B matrici de ordinul al n-lea peste câmpul P. Atunci |AB|=|A|∙|B|, i.e. determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților
Formula de calcul a matricei inverse
Teorema 10. Fie A= o matrice de ordin al n-lea peste câmpul P. Dacă determinantul
formulele lui Cramer
Teorema 11. Fie (1) un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute pe câmpul P, A=
Definiție 1.7. Lăsa ( A, ) Și ( B, ) – grupuri. Afişa : A B numit homomorfism de grup, dacă salvează operația, adică. X, y A (X y) = (X) (y).
Definiția 1.8. Dacă (A, + , ) Și ( B, , ) – inele, apoi maparea : A B numit homomorfism inel, dacă salvează ambele operații, adică.
X,yA (x+y) = (X) (y), X, y A (X y) = (X) (y).
Definiția 1.9. Homomorfismele injective se numesc monomorfisme sau investitii, homomorfisme surjective – epimorfisme sau suprapuneriși bijectiv - izomorfisme.
Definiția 1.10. Dacă există un homomorfism de grupuri sau inele : A B, apoi grupuri sau inele A, ÎN numit izomorfă.
Sensul izomorfismului este că stabilește o corespondență între elementele obiectelor izomorfe, ceea ce arată că din punctul de vedere al operațiilor algebrice păstrate, obiectele izomorfe nu se pot distinge.
Exemple: 1. Izomorfismul identitar eu: A A , X A eu (X) = X. (A – grup sau inel).
2. Unitate sau nul epimorfism: Dacă E = {e} – obiect singleton (grup de unități sau inel zero), apoi pentru orice grup ( A, ) sau inele se defineşte epimorfismul O : A E, X A DESPRE (X) = e.
3. Înglobări naturale de grupuri și inele: Z Q R C.
Proprietățile homomorfismelor
Dacă : (A, ) (B, ) – homomorfismul grupurilor, deci
1 0 . (e A) = e B , acestea. transformă un singur element într-un singur element.
2 0 . A A (A – 1) = (A) – 1 , acestea. traduce elementul invers în A inversă cu ( A).
treizeci . : (A, + , ) (B, , ) În cazul unui homomorfism inel (0 A) = 0 ÎN , (– A) = – (A).
4 0 . primim : (A, +, ) (B, , ) Pentru un homomorfism inel
X, y A (X – y) = (X) – (y).
5 0 . dreapta: : (A, + , ) (B, , ) Homomorfismul câmpului
fie nul, fie imbricat.
60. Dacă : u V și : V w sunt două homomorfisme de grupuri sau inele, atunci compoziția lor ○ : u w va fi un homomorfism de grupuri sau inele.
Izomorfismul (sau izomorfismul) este unul dintre conceptele fundamentale ale matematicii moderne. Două obiecte (sau structuri) matematice de același tip se numesc izomorfe dacă există o mapare unu-la-unu a unuia dintre ele la celălalt, astfel încât acesta și inversul său să păstreze structura obiectelor, de exemplu. elementele care se află într-o anumită relație sunt traduse în elemente care se află în relația corespunzătoare.
Obiectele izomorfe pot avea naturi diferite ale elementelor și relații între ele, dar sunt absolut la fel de structurate abstract și servesc ca copii unul altuia. Izomorfismul este „egalitatea abstractă” a obiectelor de același tip. De exemplu, grupul aditiv al claselor de reziduuri modulo n este izomorf cu grupul multiplicativ de rădăcini complexe n- gradul de la 1.
Relația de izomorfie pe orice clasă de obiecte matematice de același tip, fiind o relație de echivalență, împarte clasa originală de obiecte în clase izomorfe - clase de obiecte izomorfe în perechi. Selectând un obiect din fiecare clasă de izomorfie, obținem o imagine de ansamblu abstractă completă a acestei clase de obiecte matematice. Ideea izomorfismului este de a reprezenta sau de a descrie obiectele unei clase date până la izomorfism.
Pentru fiecare clasă dată de obiecte există problema izomorfismului. Două obiecte arbitrare dintr-o clasă dată sunt izomorfe? Cum se află asta? Pentru a demonstra izomorfismul a două obiecte, de regulă, se construiește un izomorfism specific între ele. Sau se stabilește că ambele obiecte sunt izomorfe cu un al treilea obiect. Pentru a verifica dacă două obiecte nu sunt izomorfe, este suficient să indicați o proprietate abstractă pe care o are unul dintre obiecte, dar celălalt nu o are.
METODA 11. Yu.M Kolyagin distinge două tipuri de lucrări extracurriculare în matematică.
Lucrul cu studenții care sunt în urmă cu alții în studiile lor materialul programului, adică ore suplimentare de matematică.
Lucrul cu elevii care sunt interesați de matematică.
Dar putem distinge și un al treilea tip de muncă.
Lucrul cu elevii pentru a dezvolta interesul pentru învățarea matematicii.
Există următoarele forme de activități extracurriculare:
Cercul matematic.
Opțional.
Competiții olimpice, chestionare.
olimpiade de matematică.
Discuții matematice.
Săptămâna matematicii.
Imprimare matematică la școală și la clasă.
Producerea de modele matematice.
Excursii matematice.
Aceste forme se intersectează adesea și, prin urmare, este dificil să trasezi granițe clare între ele. Mai mult, elemente de mai multe forme pot fi folosite atunci când se organizează lucrul pe oricare dintre ele. De exemplu, atunci când țineți o seară de matematică, puteți folosi concursuri, concursuri, rapoarte etc.
Etape de organizare.
pregătitoare
organizatoric
stimularea interesului pentru activități extracurriculare;
implicarea în participarea la evenimente publice și competiții individuale;
Didactic
ajutor în depășirea dificultăților;
menține interesul emergent pentru activități suplimentare;
dorinta de a se angaja in autoeducatie matematica
De bază
să creeze o bază pentru fiecare elev pentru succes personal în continuare;
ajuta elevii să înțeleagă semnificația socială, practică și personală a activităților extracurriculare;
creați o motivație pozitivă pentru participarea la activități extrașcolare
Final
efectuarea de diagnosticare și reflecție asupra activităților extrașcolare;
rezumați și încurajați elevii care au participat activ
Faptul că conceptul de izomorfism exprimă într-adevăr aceeașia tuturor proprietăților mulțimilor luate în considerare poate fi formulat sub forma următoarei propoziții:
Dacă seturile MȘi M" sunt izomorfe în raport cu un anumit sistem de relaţii S, apoi orice proprietate a setului M, formulat în termeni de relaţii de sistem S(și, prin urmare, relații definite prin relațiile sistemului S), este transferat în set M", si inapoi.
Să examinăm această situație folosind un exemplu specific.
Lasă în seturi MȘi M" este definită relația „mai mare” și sunt izomorfe față de această relație; atunci dacă M comandat, adică dacă în M proprietățile 1) și 2) din secțiune sunt satisfăcute, apoi sunt satisfăcute și în M".
Să demonstrăm proprietatea 1). Lăsa A"Și b"- elemente M"Și AȘi b- elemente relevante M. Din cauza stării 1) în M una dintre relaţii este satisfăcută A = b, A > b, b > A. Afişa M pe M" menține relația „mai mult”. Aceasta înseamnă că una dintre relații este satisfăcută A" = b", A" > b", b" > A". Dacă în M" mai mult de unul dintre ele a fost executat, apoi de la păstrarea relației „mai mult decât” la afișare M" pe M ar fi necesar să se efectueze mai mult de o relaţie pt AȘi b, ceea ce contrazice condiția 1).
Să demonstrăm proprietatea 2). Dacă A" > b"Și b" > c", apoi de asemenea A > bȘi b > c. De fapt, în M acolo trebuie sa fie A > c. Mijloace, A" > c".
Să ne ocupăm acum de izomorfismul grupurilor de inele și câmpuri. Datorită faptului că există o relație A + b = cȘi ab = c satisface cerințe suplimentare care pentru orice AȘi b există una și numai una c, pentru care A + b = c sau ab = c(aceste două cerințe sunt în esență două axiome suplimentare) și se presupune că aceste cerințe sunt îndeplinite ca în M, si in M", definiția izomorfismului grupurilor de inele și câmpuri poate fi simplificată în comparație cu definiția, și anume, a cere păstrarea relațiilor de bază doar la trecerea de la M La M". Restricționându-ne la cazul inelelor și câmpurilor, de care va fi nevoie mai târziu în definirea domeniilor numerice (cazul grupurilor diferă de cel considerat doar prin faptul că există o singură operație în loc de două), obținem astfel:
Inel (sau câmp) R numit izomorf la inel(respectiv camp) R"(înregistrare) dacă există o mapare unu-la-unu R pe R", în care suma și produsul oricăror elemente R corespund sumei și produsului elementelor corespunzătoare R".
Să arătăm că această definiție este un caz special definiție generală. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să vă asigurați că maparea inversă R" pe R stochează, de asemenea, suma și produsul. Lăsa să intre R" avem: A" + b" = c", și elemente A", b", c" când este afișat invers corespunde A, b, c din R. Trebuie să dovedim asta A + b = c. Dar dacă A + b = d ≠ c, atunci din definiția dată în paragraful anterior ar rezulta A" + b" = d" ≠ c", ceea ce contrazice unicitatea operației de adăugare în R"
