Metoda de variație a constantelor arbitrare
Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea unei soluții la o ecuație diferențială liniară neomogenă
A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = f(t)
constă în înlocuirea constantelor arbitrare c kîn soluţia generală
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
ecuația omogenă corespunzătoare
A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = 0
pentru funcții auxiliare c k (t) , ale căror derivate satisfac sistemul algebric liniar
Determinantul sistemului (1) este Wronskianul funcțiilor z 1 ,z 2 ,...,z n , care îi asigură solvabilitatea unică în raport cu .
Dacă sunt antiderivate pentru , luate la valori fixe ale constantelor de integrare, atunci funcția
este o soluție la ecuația diferențială neomogenă liniară inițială. Integrarea unei ecuații neomogene în prezența unei soluții generale la ecuația omogenă corespunzătoare este astfel redusă la pătraturi.
Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea de soluții la un sistem de ecuații diferențiale liniare în formă normală vectorială
constă în construirea unei anumite soluţii (1) sub forma
Unde Z(t) stă la baza soluțiilor ecuației omogene corespunzătoare, scrisă sub formă de matrice, iar funcția vectorială , care a înlocuit vectorul constantelor arbitrare, este definită de relația . Soluția particulară necesară (cu valori inițiale zero la t = t 0 arata ca
Pentru un sistem cu coeficienți constanți, ultima expresie este simplificată:
Matrice Z(t)Z− 1 (τ) numit Matricea Cauchy operator L = A(t) .
linkuri externe
- exponenta.ru - Informații teoretice cu exemple
Fundația Wikimedia. 2010.
Metoda de variație a unei constante arbitrare, sau metoda Lagrange, este o altă modalitate de a rezolva ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi și ecuația Bernoulli.
Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi sunt ecuații de forma y’+p(x)y=q(x). Dacă există un zero pe partea dreaptă: y’+p(x)y=0, atunci acesta este un liniar omogen Ecuația de ordinul 1. În consecință, o ecuație cu o parte dreaptă diferită de zero, y’+p(x)y=q(x), este eterogen Ecuație liniară de ordinul I.
Metoda de variație a unei constante arbitrare (metoda Lagrange) este după cum urmează:
1) Căutăm o soluție generală a ecuației omogene y’+p(x)y=0: y=y*.
2) În soluția generală, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C = C (x). Găsim derivata soluției generale (y*)’ și înlocuim expresia rezultată pentru y* și (y*)’ în condiția inițială. Din ecuația rezultată găsim funcția C(x).
3) În soluția generală a ecuației omogene, în loc de C, înlocuim expresia găsită C(x).
Să ne uităm la exemple de metodă de variare a unei constante arbitrare. Să luăm aceleași sarcini ca în, să comparăm progresul soluției și să ne asigurăm că răspunsurile obținute coincid.
1) y’=3x-y/x
Să rescriem ecuația în formă standard (spre deosebire de metoda lui Bernoulli, unde aveam nevoie de forma de notație doar pentru a vedea că ecuația este liniară).
y’+y/x=3x (I). Acum procedăm conform planului.
1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. Aceasta este o ecuație cu variabile separabile. Imaginați-vă y’=dy/dx, înlocuiți: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu xy≠0: dy/y=-dx/x. Să integrăm:
2) În soluția generală rezultată a ecuației omogene, vom considera C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). De aici
Înlocuim expresiile rezultate în condiția (I):
Să integrăm ambele părți ale ecuației:
aici C este deja o constantă nouă.
3) În soluția generală a ecuației omogene y=C/x, unde am presupus C=C(x), adică y=C(x)/x, în loc de C(x) înlocuim expresia găsită x³ +C: y=(x³ +C)/x sau y=x²+C/x. Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.
Răspuns: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Aici ecuația este deja scrisă în formă standard, nu este nevoie să o transformăm.
1) Rezolvați ecuația liniară omogenă y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Să integrăm:
Pentru a obține o formă mai convenabilă de notație, luăm exponentul la puterea C ca noul C:
Această transformare a fost efectuată pentru a face mai convenabilă găsirea derivatei.
2) În soluția generală rezultată a ecuației liniare omogene, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). În această condiție
Înlocuim expresiile rezultate y și y’ în condiția:
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu
Integram ambele părți ale ecuației folosind formula de integrare prin părți, obținem:
Aici C nu mai este o funcție, ci o constantă obișnuită.
3) În soluția generală a ecuației omogene
înlocuiți funcția găsită C(x):
Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.
Metoda de variație a unei constante arbitrare este de asemenea aplicabilă soluției.
y'x+y=-xy².
Aducem ecuația la forma standard: y’+y/x=-y² (II).
1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu y: dy/y=-dx/x. Acum să integrăm:
Înlocuim expresiile rezultate în condiția (II):
Să simplificăm:
Am obținut o ecuație cu variabile separabile pentru C și x:
Aici C este deja o constantă obișnuită. În timpul procesului de integrare, am scris simplu C în loc de C(x), pentru a nu supraîncărca notația. Și la final am revenit la C(x), pentru a nu confunda C(x) cu noul C.
3) În soluția generală a ecuației omogene y=C(x)/x înlocuim funcția găsită C(x):
Am primit același răspuns ca atunci când l-am rezolvat folosind metoda Bernoulli.
Exemple de autotestare:
1. Să rescriem ecuația în formă standard: y’-2y=x.
1) Rezolvați ecuația omogenă y’-2y=0. y’=dy/dx, prin urmare dy/dx=2y, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu dx, împărțiți cu y și integrați:
De aici găsim y:
Înlocuim expresiile pentru y și y’ în condiția (pentru concizie vom folosi C în loc de C(x) și C’ în loc de C"(x)):
Pentru a găsi integrala din partea dreaptă, folosim formula de integrare prin părți:
Acum înlocuim u, du și v în formula:
Aici C =const.
3) Acum înlocuim omogen în soluție
Considerăm o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi:
(1)
.
Există trei moduri de a rezolva această ecuație:
- metoda de variație a constantei (Lagrange).
Să luăm în considerare rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi folosind metoda Lagrange.
Metoda de variație a constantei (Lagrange)
În metoda variației constantei, rezolvăm ecuația în doi pași. În primul pas, simplificăm ecuația inițială și rezolvăm o ecuație omogenă. În a doua etapă, înlocuim constanta de integrare obținută în prima etapă a soluției cu o funcție. Apoi căutăm o soluție generală a ecuației inițiale.
Luați în considerare ecuația:
(1)
Pasul 1 Rezolvarea unei ecuații omogene
Căutăm o soluție pentru ecuația omogenă:
Aceasta este o ecuație separabilă
Separăm variabilele - înmulțim cu dx, împărțim cu y:
Să integrăm:
Integrală peste y - tabelar:
Apoi
Hai sa potentam:
Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnul modulului, care se reduce la înmulțirea cu o constantă ±1, pe care îl vom include în C:
Pasul 2 Înlocuiește constanta C cu funcția
Acum să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
C → u (X)
Adică, vom căuta o soluție la ecuația inițială (1)
la fel de:
(2)
Găsirea derivatei.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Conform regulii de diferențiere a produselor:
.
Înlocuiți în ecuația inițială (1)
:
(1)
;
.
Doi membri sunt redusi:
;
.
Să integrăm:
.
Înlocuiește în (2)
:
.
Ca rezultat, obținem o soluție generală pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi:
.
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Lagrange
Rezolvați ecuația
Soluţie
Rezolvăm ecuația omogenă:
Separăm variabilele:
Înmulțit cu:
Să integrăm:
Integrale tabulare:
Hai sa potentam:
Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnele modulului:
De aici:
Să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
C → u (X)
Găsirea derivatei:
.
Înlocuiți în ecuația inițială:
;
;
Sau:
;
.
Să integrăm:
;
Rezolvarea ecuației:
.
