Cuvântul „ordine” este adesea folosit în cele mai diverse probleme. Ofițerul dă comanda: „Calculează în ordinea numerelor”, operațiile aritmetice sunt efectuate într-o anumită ordine, sportivii devin în înălțime, toți jucătorii de șah de frunte sunt aranjați într-o anumită ordine conform așa-numiților coeficienți Elo (un profesor american care a dezvoltat coeficienții de sistem, care permite să se țină cont de toate reușitele și eșecurile jucătorilor), după campionat, toate echipele de fotbal sunt aranjate într-o anumită ordine etc. a plantat un măgar nu „!).
Prin aranjarea elementelor unui anumit set una după alta, le ordonăm sau stabilim o relație între ele. consecutiv. Cel mai simplu exemplu este ordinea naturală a numerelor naturale. Naturalitatea sa constă în faptul că pentru oricare două numere naturale știm care dintre ele îl urmează pe celălalt sau care dintre ele este mai mare decât celălalt, așa că putem aranja numerele naturale într-o succesiune astfel încât să fie situat numărul mai mare, pt. exemplu, în dreapta celui mai mic: 1, 2, 3, ... . Desigur, succesiunea de elemente poate fi scrisă în orice direcție, și nu doar de la stânga la dreapta. Însuși conceptul de numere naturale conține deja ideea de ordine. Prin stabilirea unui aranjament relativ al elementelor oricărei mulțimi, stabilim astfel pe ea o relație de ordin binar, care în fiecare caz specific poate avea propriul nume, de exemplu, „fi mai puțin”, „fi mai vechi”, „conținut în „ , „urmare”, etc. Simbolurile pentru comandă pot fi, de asemenea, diverse, de exemplu, Í etc.
şef semn distinctiv relația de ordine este că are proprietatea tranzitivității. Deci, dacă avem de-a face cu o succesiune de obiecte x 1, x 2, ..., x n,... , ordonat, de exemplu, în raport cu , apoi din ceea ce se execută x 1x 2... x n..., ar trebui să urmeze asta pentru orice pereche x i, x j se execută şi elemente ale acestei secvenţe x ixj:
Pentru o pereche de elemente x ijîn graficul relației, desenăm o săgeată de sus x iîn partea de sus xj, adică de la un element mai mic la unul mai mare.
Graficul relației de ordine poate fi simplificat folosind așa-numitul Diagrame Hasse. Diagrama Hasse este construită după cum urmează. Elementele mai mici sunt plasate dedesubt, iar cele mari sunt deasupra. Deoarece o astfel de regulă nu este suficientă pentru imagine, sunt trasate linii care arată care dintre cele două elemente este mai mare și care este mai mic decât celălalt. În acest caz, este suficient să desenați numai linii pentru a urma imediat elementele. Exemple de diagrame Hasse sunt prezentate în figură:
Săgețile pot fi omise într-o diagramă Hasse. Diagrama Hasse poate fi rotită în plan, dar nu în mod arbitrar. La întoarcere, este necesar să se mențină poziția relativă (sus - dedesubt) a vârfurilor diagramei:
Atitudine Rîn multitudine X numit relație de ordine strictă, dacă este tranzitivă şi asimetrică.
Se numește o mulțime în care este definită o relație de ordine strictă ordonat. De exemplu, mulțimea numerelor naturale este ordonată după relația „mai mică decât”. Dar același set este ordonat și de o altă relație - „este împărțit prin” și „mai mare”.
Graficul relației „mai puțin decât” din mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentat ca o rază:
Atitudine Rîn X se numeste relatie ordine nestrictă (parțială)., dacă este tranzitivă și antisimetrică. Fiecare relație de ordin nestrict este reflexivă.
Epitetul „parțial” exprimă faptul că poate nu toate elementele unui set sunt comparabile în acest sens.
Exemple tipice de relație de ordine parțială sunt „nu mai mult”, „nu mai puțin”, „nu mai vechi”. Particula „nu” din numele relațiilor servește la exprimarea reflexivității acestora. Relația „nu mai mult” coincide cu relația „mai mică sau egală cu”, iar relația „nu mai puțin” este aceeași cu „mai mare sau egală cu”. În acest sens, se mai numește și ordinul parțial laxîn ordine. Adesea, o relație de ordine parțială (nestrict) este notă prin simbolul „”.
Relația de includere U între submulțimile unei mulțimi este, de asemenea, o ordine parțială. Evident, nici două subseturi nu sunt comparabile în acest sens. Figura de mai jos arată o ordine parțială prin includerea în mulțime a tuturor submulților din mulțime (1,2,3). Săgețile de pe grafic, care ar trebui să fie orientate în sus, nu sunt afișate.
Sunt apelate seturi în care este dată o ordine parțială parțial comandat, sau pur și simplu ordonat seturi.
Elemente Xși la sunt numite mulțimi parțial ordonate comparaţie, dacă Xla sau laX. LA in caz contrar nu sunt comparabile.
Se numește o mulțime ordonată în care oricare două elemente sunt comparabile ordonat liniar, iar ordinea este o ordine liniară. Ordinea liniară se mai numește și ordine perfectă.
De exemplu, setul tuturor numere reale cu ordinea naturală, precum și toate submulțimile sale, sunt ordonate liniar.
Se pot comanda obiecte de cea mai diversă natură ierarhic. Aici sunt cateva exemple.
Exemplul 1: Părțile unei cărți sunt ordonate astfel încât cartea să conțină capitole, capitolele să conțină secțiuni, iar secțiunile să fie formate din subsecțiuni.
Exemplul 2. Folderele din sistemul de fișiere al computerului sunt imbricate unele în altele, formând o structură ramificată.
Exemplul 3. Relația părinți – copii poate fi descrisă sub forma așa-numitelor arbore genealogic, care arată cine este al cărui strămoș (sau urmaș).
Lasă pe platou DAR dat un ordin parțial. Element X numit maxim (minimum) element al mulţimii A, dacă din faptul că Xla(laX), urmează egalitatea X= y. Cu alte cuvinte, elementul X este maximul (minimul) dacă pentru orice element la sau nu este adevărat că Xla(laX), sau este efectuată X=y. Astfel, elementul maxim (minim) este mai mare (mai mic) decât toate celelalte elemente cu care este în relație.
Element X numit cel mai mare (cel mai mic), dacă pentru oricare laÎ DAR efectuat la< х (х< у).
Un set parțial ordonat poate avea mai multe elemente minime și/sau maxime, dar nu poate exista mai mult de un element minim și maxim. Cel mai mic (cel mai mare) element este și minimul (maxim), dar invers nu este adevărat. Figura din stânga arată o ordine parțială cu două elemente minime și două maxime, iar în dreapta - o ordine parțială cu cele mai mici și mai mari elemente:
Într-o mulțime finită parțial ordonată, există întotdeauna elemente minime și maxime.
Se numește o mulțime ordonată care are cele mai mari și cele mai mici elemente limitat . Figura prezintă un exemplu de mulțime infinită mărginită. Desigur, este imposibil să descrii un set infinit pe o pagină finită, dar este posibil să arăți principiul construcției sale. Aici buclele din apropierea vârfurilor nu sunt afișate pentru a simplifica desenul. Din același motiv, arcele care asigură afișarea proprietății tranzitivității nu sunt afișate. Cu alte cuvinte, figura prezintă o diagramă Hasse a relației de ordine.
Seturile infinite pot să nu aibă un maxim, un minim sau ambele. De exemplu, mulțimea numerelor naturale (1,2, 3, ...) are cel mai mic element 1, dar nu maxim. Mulțimea tuturor numerelor reale cu ordine naturală nu are nici cel mai mic, nici cel mai mare element. Cu toate acestea, subsetul său este format din toate numerele X< 5 are un element cel mai mare (numărul 5), dar nu cel mai mic element.
Fie R o relație binară pe o mulțime A.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de ordin pe A sau ordin pe A dacă este tranzitivă și antisimetrică.
DEFINIȚIE. O relație de ordine R pe o mulțime A se numește nestrict dacă este reflexivă pe A, adică pentru oricare dintre A.
O relație de ordine R se spune că este strictă (pe A) dacă este antireflexivă pe A, adică pentru oricare dintre A. Totuși, antisimetria unei relații tranzitive R rezultă din faptul că este antireflexivă. Prin urmare, putem da următoarea definiție echivalentă.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește ordine strictă pe A dacă este tranzitivă și antireflexivă pe A.
Exemple. 1. Fie multimea tuturor submultimii multimii M. Relatia de includere pe multime este o relatie de ordine nestrict.
2. Relațiile pe mulțimea numerelor reale sunt, respectiv, o relație de ordine strictă și nestrict.
3. Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale este o relație de ordine nestrict.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de pre-ordine sau pre-ordine pe A dacă este reflexivă și tranzitivă.
Exemple. 1. Raportul de divizibilitate în mulțimea numerelor întregi nu este o ordine. Cu toate acestea, este reflexiv și tranzitiv, ceea ce înseamnă că este o precomandă.
2. Relația de consecință logică este o preordonare a setului de formule logice propoziționale.
Ordine liniară. Un caz special important al unei comenzi este ordinea liniară.
DEFINIȚIE. O relație de ordine pe o mulțime se numește relație de ordine liniară sau ordine liniară pe dacă este conectată pe , adică pentru orice x, y din A
O relație de ordine care nu este liniară este denumită în mod obișnuit relație de ordin parțial sau ordine parțială.
Exemple. 1. Relația „mai mică decât” pe mulțimea numerelor reale este o relație de ordin liniar.
2. Relația de ordine acceptată în dicționarele limbii ruse se numește lexicografic. Ordinea lexicografică pe setul de cuvinte în limba rusă este o ordine liniară.
Proprietățile relației:
1) reflexivitate;
2) simetrie;
3) tranzitivitatea.
4) conexiunea.
Atitudine R pe platou X numit reflectorizant dacă despre fiecare element al mulţimii X se poate spune că este în relaţie R Cu mine insumi: XRx. Dacă relația este reflexivă, atunci există o buclă la fiecare vârf al graficului. Dimpotrivă, un graf al cărui vârf conține o buclă este un graf de relații reflexive.
Exemple de relații reflexive sunt relația „multiple” pe mulțimea numerelor naturale (fiecare număr este un multiplu al lui însuși), și relația de similaritate a triunghiurilor (fiecare triunghi este similar cu el însuși) și relația de „egalitate” (fiecare număr). este egal cu sine), etc.
Există relații care nu au proprietatea reflexivității, de exemplu, relația de perpendicularitate a segmentelor: ab, ba(nu există niciun segment despre care se poate spune că este perpendicular pe sine) . Prin urmare, nu există bucle pe graficul acestei relații.
Nu are proprietatea reflexivității și raportul este „mai lung” pentru segmente, „mai mare cu 2” pentru numerele naturale etc.
Atitudine R pe platou X numit antireflexiv, dacă pentru orice element din set X mereu fals XRx: .
Sunt relații care nu sunt nici reflexive, nici antireflexive. Un exemplu de astfel de relație este relația „punct X simetric la un punct la relativ drept l”, definit pe setul de puncte al planului. Într-adevăr, toate punctele liniei l sunt simetrice față de ei înșiși și punctele care nu se află pe o linie eu nu sunt simetrice față de ei înșiși.
Atitudine R pe platou X numit simetric, dacă este îndeplinită condiţia: din faptul că elementul X este în raport cu elementul y, rezultă că elementul y este in relatie R cu element X:xRyyRx .
Graficul unei relaţii simetrice are următoarea caracteristică: împreună cu fiecare săgeată provenită din X la y, graficul conține o săgeată care pleacă de la y la X(Fig. 35).
Exemple de relații simetrice pot fi următoarele: raportul „paralelismului” segmentelor, raportul „perpendicularității” segmentelor, raportul „egalității” segmentelor, raportul asemănării triunghiurilor, raportul „egalității” dintre fracții etc.
Există relații care nu au proprietatea de simetrie.
Într-adevăr, dacă segmentul X mai lung decât segmentul la, apoi segmentul la nu poate fi mai lung decât segmentul X. Graficul acestei relații are o singularitate: săgeata care leagă vârfurile este îndreptată doar într-o singură direcție.
Atitudine R numit antisimetric, dacă pentru orice elemente Xși y din adevăr xRy urmează falsitatea yRx: : xRyyRx.
Pe lângă relația „mai lungă”, există și alte relații antisimetrice pe setul de segmente. De exemplu, relația „mai mare decât” pentru numere (dacă X Mai mult la, apoi la nu poate fi mai mult X), raportul „mai mult de”, etc.
Există relații care nu au nici proprietatea de simetrie, nici proprietatea de antisimetrie.
Relația R pe platou X numit tranzitiv dacă din ce element X este in relatie R cu element y,și elementul y este in relatie R cu element z, rezultă că elementul X este in relatie R cu element z: xRyși yRzxRz.
Graficul unei relații tranzitive cu fiecare pereche de săgeți care pleacă de la X la y iar din y la z, conține o săgeată care pleacă de la X la z.
Relaţia „mai lungă” pe mulţimea segmentelor are şi proprietatea tranzitivităţii: dacă segmentul A mai lung decât segmentul b, segment de linie b mai lung decât segmentul Cu, apoi segmentul A mai lung decât segmentul Cu. Relația de „egalitate” pe mulțimea segmentelor are și proprietatea tranzitivității: (a=b, b=c)(a=c).
Sunt relaţii care nu au proprietatea tranzitivităţii. O astfel de relație este, de exemplu, relația de perpendicularitate: dacă segmentul A perpendicular pe segment b, și segmentul b perpendicular pe segment Cu, apoi segmentele Ași Cu nu perpendicular!
Există o altă proprietate a relațiilor numită proprietatea conexă, iar o relație care o are se numește conexă.
Atitudine R pe platou X numit legate de, dacă pentru orice elemente Xși y din acest set este îndeplinită următoarea condiţie: dacă Xși y sunt diferite, atunci fie X este in relatie R cu element y, sau element y este in relatie R cu element X. Folosind simboluri, aceasta poate fi scrisă astfel: X yxRy sau yRx.
De exemplu, relația „mai mare decât” pentru numerele naturale are proprietatea de a fi conectată: pentru orice numere diferite x și y, se poate afirma fie x>y, sau y>x.
Pe grafic relație aferentă oricare două vârfuri sunt conectate printr-o săgeată. Este adevărat și invers.
Există relații care nu au proprietatea de conectare. O astfel de relație, de exemplu, este relația de divizibilitate pe mulțimea numerelor naturale: putem numi astfel de numere x și y oricare ar fi numărul X nu este un divizor y, fără număr y nu este un divizor X(numerele 17 și 11 , 3 și 10 etc.) .
Să ne uităm la câteva exemple. Pe platou X=(1, 2, 4, 8, 12) relația „număr X multiplu de y". Să construim un grafic al acestei relații și să formulăm proprietățile acesteia.
Se spune despre relația de egalitate a fracțiilor, este o relație de echivalență.
Atitudine R pe platou X numit relație de echivalență, dacă posedă simultan proprietăţile de reflexivitate, simetrie şi tranzitivitate.
Exemple de relaţii de echivalenţă sunt: relaţii de egalitate forme geometrice, raportul de paralelism al liniilor (cu condiția ca liniile care coincid sunt considerate paralele).
În relația de „egalitate a fracțiilor” discutată mai sus, mulțimea Xîmpărțit în trei subseturi: ; ; }, {; } , (). Aceste submulțimi nu se intersectează, iar unirea lor coincide cu mulțimea X, adică avem o partiție a setului în clase.
Asa de, dacă o relație de echivalență este dată pe o mulțime X, atunci generează o partiție a acestei mulțimi în submulțimi disjunse pe perechi - clase de echivalență.
Astfel, am stabilit că relația de egalitate pe mulțime
X=( ;; ; ; ; ) corespunde împărțirii acestei mulțimi în clase de echivalență, fiecare dintre acestea fiind formată din fracții egale.
Principiul partiționării unui set în clase folosind o relație de echivalență este principiu important matematică. De ce?
În primul rând, echivalent - înseamnă echivalent, interschimbabil. Prin urmare, elementele aceleiași clase de echivalență sunt interschimbabile. Deci, fracțiile care sunt în aceeași clasă de echivalență (; ; ), nu se pot distinge din punctul de vedere al relației de egalitate și al fracțiunii poate fi înlocuit cu altul, de exemplu . Și această înlocuire nu va schimba rezultatul calculelor.
În al doilea rând, deoarece există elemente în clasa de echivalență care nu se pot distinge din punctul de vedere al unei relații, se crede că clasa de echivalență este determinată de oricare dintre reprezentanții săi, i.e. element arbitrar al clasei. Deci, orice clasă de fracții egale poate fi specificată prin specificarea oricărei fracții aparținând acestei clase. O clasă de echivalență față de un reprezentant permite, în locul tuturor elementelor unei mulțimi, studierea unui set de reprezentanți din clasele de echivalență. De exemplu, relația de echivalență „au același număr de vârfuri” dată pe un set de poligoane generează o partiție a acestei mulțimi în clase de triunghiuri, patrulatere, pentagoane și așa mai departe. proprietățile inerente unei anumite clase sunt luate în considerare pe unul dintre reprezentanții acesteia.
În al treilea rând, împărțirea unei mulțimi în clase cu ajutorul unei relații de echivalență este folosită pentru a introduce concepte noi. De exemplu, conceptul de „un mănunchi de linii” poate fi definit ca acel lucru comun pe care liniile paralele îl au între ele.
Relațiile de ordine sunt un alt tip important de relație. Luați în considerare problema. Pe platoul de filmare X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) relația „au același rest atunci când se împarte la 3 ". Această relație generează o partiție a mulțimii Xîn clase: unul va include toate numerele, atunci când este împărțit la 3 obtinut in rest 0 (acestea sunt numere 3, 6, 9 ). În al doilea - numere, atunci când sunt împărțite cu 3 restul este 1 (acestea sunt numere 4, 7, 10 ). Al treilea va include toate numerele, atunci când este împărțit la 3 restul este 2 (acestea sunt numere 5, 8 ). Într-adevăr, mulțimile rezultate nu se intersectează și uniunea lor coincide cu mulțimea X. Prin urmare, relația „a avea același rest atunci când este împărțit la 3 » definite pe platou X, este o relație de echivalență.
Pentru a lua un alt exemplu, mulți elevi dintr-o clasă pot fi sortați după înălțime sau vârstă. Rețineți că această relație are proprietăți de antisimetrie și tranzitivitate. Sau toată lumea știe ordinea literelor din alfabet. Este oferit de atitudinea „ar trebui”.
Atitudine R pe platou X numit relație strictă de ordine, dacă posedă simultan proprietățile de antisimetrie și tranzitivitate. De exemplu, relația X< y».
Dacă relația are proprietăți de reflexivitate, antisimetrie și tranzitivitate, atunci așa va fi relație de ordine non-strict. De exemplu, relația Xy».
Exemple de relație de ordine sunt: relația „mai puțin decât” pe mulțimea numerelor naturale, relația „mai scurtă” pe mulțimea segmentelor. Dacă o relație de ordine are și proprietatea de a fi conectată, atunci se spune că este relație de ordine liniară. De exemplu, relația „mai puțin decât” pe mulțimea numerelor naturale.
Multe X numit ordonat, dacă are o relaţie de ordine.
De exemplu, multe X={2, 8, 12, 32 ) poate fi comandat folosind relația „mai puțin decât” (Fig. 41), sau acest lucru se poate face folosind relația „multiplu” (Fig. 42). Dar, fiind o relație de ordine, relațiile „mai puțin decât” și „multiplicare” ordonează mulțimea numerelor naturale în moduri diferite. Relația „mai puțin decât” vă permite să comparați oricare două numere din set X, iar relația „înmulțire” nu are o asemenea proprietate. Da, câteva numere. 8 și 12 nu este legat de relaţia „înmulţire”: nu se poate spune că 8 multiplu 12 sau 12 multiplu 8.
Nu trebuie gândit că toate relațiile sunt împărțite în relații de echivalență și relații de ordine. Există un număr mare de relații care nu sunt nici relații de echivalență, nici relații de ordine.
tip important relații binare- relaţii de ordine. Relație strictă de ordine - o relație binară care este antireflexivă, antisimetrică și tranzitivă:
denumire - (A precedat b). Exemplele sunt
relații „mai mare decât”, „mai puțin decât”, „mai vechi”, etc. Pentru numere, notația obișnuită este semnele "<", ">".
Relație de ordine nestrictă - relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. Alături de exemplele naturale de inegalități nestricte pentru numere, un exemplu este relația dintre punctele dintr-un plan sau spațiu „pentru a fi mai aproape de origine”. Inegalitatea nestrictă, pentru numere întregi și reale, poate fi considerată și ca o disjuncție a relațiilor de egalitate și de ordine strictă.
Dacă un turneu sportiv nu prevede împărțirea locurilor (adică fiecare participant primește un anumit loc, doar mâncare/premiat), atunci acesta este un exemplu de ordine strictă; altfel, non-strict.
Relațiile de ordine se stabilesc pe o mulțime atunci când, pentru unele sau toate perechile de elemente ale sale, relația
precedenta . Setarea-pentru un set se numește o relație de ordine „Ordinea lui, iar „sine. stabilit ca urmare a acesteia devine ordonat. Relațiile de ordine pot fi introduse în moduri diferite. Pentru o mulțime finită, orice permutare a elementelor sale „specifică unele ordine strictă. Un set infinit poate fi comandat într-un număr infinit de moduri. De interes sunt doar acele ordonanțe care au un sens semnificativ.
Dacă pentru relaţia de comandă R pe platou .Mși unele elemente diferite, cel puțin una dintre relații este valabilă
aRb sau sutien , apoi elementele Ași b numit comparabil in caz contrar - incomparabil.
Set ordonat complet (sau liniar). M -
mulțime pe care este dată relația de ordine și oricare două elemente ale mulțimii M comparabil; set parțial comandat- la fel, dar sunt permise perechi de elemente incomparabile.
O mulțime ordonată liniar este o mulțime de puncte pe o dreaptă cu relația „la dreapta”, o mulțime de numere întregi, raționale, reale în raport cu „mai mare decât” etc.
Un exemplu de mulțime parțial ordonată sunt vectorii tridimensionali, dacă ordinea este dată ca și cum
Adică, dacă precedența este îndeplinită în toate cele trei coordonate, vectorii (2, 8, 5) și (6, 9, 10) sunt comparabili, iar vectorii (2, 8, 5) și (12, 7, 40) ) nu sunt comparabile. Acest mod de ordonare poate fi extins la vectori de orice dimensiune: vector
precede vectorul dacă
Și gata
Alte exemple de ordonare pot fi considerate pe multimea vectorilor.
1) ordine parțială: 
, dacă
Acestea. prin lungimea vectorilor; vectorii de aceeași lungime sunt incomparabili.
2) ordine liniară: 
, dacă A
Ultimul exemplu introduce conceptul de ordine alfabetică.
Alfabet este un tuplu de caractere distincte în perechi numite litere ale alfabetului. Un exemplu este alfabetul oricărei limbi europene, precum și alfabetul cu cifre arabe 10. Într-un computer, tastatura și unele ajutoare determină alfabetul caracterelor valide.
Cuvânt în alfabetDAR - tuplu de caractere alfabetice DAR. Cuvântul este scris cu caractere alfabetice pe rând, de la stânga la dreapta, fără spații Numar natural este un cuvânt din alfabetul digital Formula nu este întotdeauna un cuvânt din cauza aranjamentului neliniar al simbolurilor; cu toate acestea, prin unele convenții, poate fi scris într-un șir, care este folosit, de exemplu, în programarea computerelor (de exemplu, semnul exponențiației este scris ca 2 semne de înmulțire la rând: 5**3 înseamnă a treia putere a lui numarul 5.
Ordinea lexico-grafică (alfabetică) - pentru diverse cuvinte din alfabet cu ordonate
ordonarea setului de caractere: dacă
posibila prezentare 
, la care fie
(subcuvântul poate fi gol) sau - subcuvânt gol
În această definiție - un prefix (subcuvânt inițial) care este același pentru ambele cuvinte - sau primul dintr-un rând din stânga sunt diferite
caractere sau - ultimul caracter din cuvânt - coada
subcuvinte.
Astfel, ordonarea alfabetică a cuvintelor este determinată de primul caracter care le deosebește de stânga (de exemplu, cuvântul KONUS precede cuvântul COSINUS, deoarece acestea diferă mai întâi în a treia literă, iar H precede C în alfabetul rus). De asemenea, se consideră că caracterul spațiu precede orice caracter al alfabetului - pentru cazul în care unul dintre cuvinte este un prefix al celuilalt (de exemplu, KOH și CON)
Un exercitiu. Verificați dacă ordonarea alfabetică a numerelor naturale care au același număr de cifre în notație zecimală este aceeași cu ordonarea lor după mărime.
Lăsa DAR - set parțial comandat. Elementul este numit maximîn DAR, dacă nu există niciun element pentru care A< b. Element A numit cel mai mareîn DAR, dacă pentru oricare altul decât A articol finalizat b<а-
sunt definite simetric minim si cel putin elemente. Conceptele celor mai mari și maxime (respectiv, cele mai mici și minime) elemente sunt diferite - vezi. exemplu din Fig.14. Setul din Fig. 14a are cel mai mare element R, este și maximul, există două elemente minime: s și t nu există cel mai mic. În fig. 14b, dimpotrivă, mulţimea având două elemente maxime / şi j, nu există cel mai mare, minim, este cel mai mic - unul: t.
În general, dacă o mulțime are un element mai mare (respectiv, cel mai mic), atunci doar unul (poate să nu existe).
Pot exista mai multe elemente maxime și minime (s-ar putea să nu existe deloc - într-un set infinit; în cazul final, trebuie să existe).
Să ne uităm la încă două exemple. - relatie pe platou N:
„Y desparte X", sau "X este divizorul numărului Y"(de exemplu,
) este reflexiv și tranzitiv. Considerați-l pe un set finit de divizori ai numărului 30.
Relația este o relație de ordin parțial (nestrict)
și este reprezentată de următoarea matrice de ordinul 8, care conține 31 de caractere
Schema corespunzătoare cu 8 vârfuri trebuie să conțină 31 de pachete. . Cu toate acestea, va fi mai convenabil pentru vizualizare dacă excludem 8
legături-bucle care descriu reflexivitatea relației (elementele diagonale ale matricei) și legăturile tranzitive, i.e. mănunchiuri
Dacă există un număr intermediar Z astfel încât
(de exemplu, o grămadă pentru că ). Apoi în schemă
vor fi 12 ligamente (Fig. 15); verigile lipsă sunt implicate „prin tranzitivitate”. Numărul 1 este cel mai mic și numărul 30
cele mai mari elemente din . Dacă excludem din numărul 30 și
luați în considerare aceeași ordine parțială pe set , atunci
nu există un element cel mai mare, dar există 3 elemente maxime: 6, 10, 15
Acum să construim aceeași schemă pentru relația booleană
(mulțimea tuturor submulților) a unei mulțimi de trei elemente
Contine 8 elemente:
Verificați dacă potriviți elementele a, b, c, numerele 2, 3, 5, respectiv, și operațiile de unire a mulțimilor sunt înmulțirea numerelor corespunzătoare (adică, de exemplu, o submulțime corespunde cu
produs 2 5 = 10), atunci matricea relațiilor va fi exact
la fel ca și pentru relație; scheme ale acestor două relaţii cu cele descrise
abrevierile buclelor și conexivelor tranzitive coincid până la notație (vezi Fig. 16). Cel mai mic element este
Și cel mai mare -
relații binare R pe platou DARși S pe platou LA numit izomorfă dacă între A și B este posibil să se stabilească o corespondență unu-la-unu Г, în care, dacă (i.e.
elementele sunt legate R), apoi (imagini
aceste elemente sunt legate S).
Astfel, mulțimile parțial ordonate și sunt izomorfe.
Exemplul luat în considerare admite o generalizare.
Relația booleană este o ordine parțială. În cazul în care un
Acestea. Multe E conţine P elemente, apoi fiecare
submultul corespunde P-vector dimensional cu
componente, unde este funcția caracteristică
seturi A/ . Mulțimea tuturor acestor vectori poate fi considerată ca o mulțime de puncte P-spațiu aritmetic dimensional cu coordonatele 0 sau 1, sau, cu alte cuvinte, ca vârfuri P-dimensională
cub unitar, notat cu , i.e. cub cu margini de unitate de lungime. Pentru n = 1, 2, 3 puncte indicate reprezinta respectiv capetele segmentului, varfurile patratului si cubului - de unde si denumirea comuna. Pentru /7=4, o reprezentare grafică a acestei relații este în Fig.17. Lângă fiecare vârf al cubului cu 4 dimensiuni, corespunzătoare
submulțime a unei mulțimi de 4 elemente și patru-dimensionale
un vector reprezentând funcția caracteristică a acestei submulțimi. Vârfurile sunt conectate între ele, corespunzând unor submulțimi care diferă prin prezența exact a unui element.
În Fig. 17, un cub cu patru dimensiuni este reprezentat în așa fel încât pe unul
nivel există elemente incomparabile perechi care conțin același număr de unități în înregistrare (de la 0 la 4), sau, cu alte cuvinte, același număr de elemente în submulțimile reprezentate.
În Fig.18a,b - alte reprezentări vizuale ale unui cub cu 4 dimensiuni;
în Fig.18a axa primei variabile OHîndreptat în sus (abatere intenționată de la verticală, astfel încât diferitele margini ale cubului să nu se îmbine):
în timp ce subcubul tridimensional corespunzător X= 0 este situat mai jos, iar pentru X= 1 - mai mare. Pe fig. 186 aceeași axă OHîndreptat din interiorul cubului spre exterior, subcubul interior îi corespunde X= Oh, și extern - X= 1.
LA 
Fișierul material arată o imagine a unui cub de unitate cu 5 dimensiuni (p. 134).
2) relația de pe mulțimea X se numește relație strict ordine, dacă este antisimetric și tranzitiv. Relația se numește antisimetric, dacă din faptul că a este în relație cu c în nu rezultă că în este în raport cu a (a, în ∈ X, și R în → în R a) R - a fi în relație. Relația se numește tranzitiv, dacă pentru orice elemente a, b, c din faptul că a R în și în R c → că a R c, a, c, c ∈ X. De exemplu: relația „mai mult, mai puțin”. Se numește o mulțime pe care este dată o relație de ordine strictă ordonat mulți.
3) relația de pe mulțimea X se numește relație nu într-o ordine strictă, dacă este reflexiv, asimetric și tranzitiv. De exemplu: raport ≥ ≤. Dacă o relație de ordine are proprietatea de a fi conectată, atunci se spune că este o relație ordine liniară. Relația se numește legate de pe mulțimea X, dacă pentru orice elemente x și y este îndeplinită condiția: din faptul că x ≠ y rezultă că x R y sau y R x. Dacă o relație de ordine liniară este dată pe o mulțime, atunci ea ordonează liniar mulțimea dată.
5. Mulțimea numerelor reale. Proprietățile sale. Necesitatea de a măsura lungimile segmentelor, ariilor etc. a condus la extinderea mulțimii numerelor raționale. Orice măsurătoare se bazează pe același principiu: obiectul măsurat este comparat cu standardul (obiect sau fenomen), a cărui valoare are o valoare numerică egală cu 1, dar nu întotdeauna un singur segment este încorporat în obiectul măsurat. Prin urmare, la măsurare se fac 2 ipoteze, care în matematică au fost definite ca axiome: 1) Un singur standard poate fi împărțit în orice număr de părți sau părți egale. 2) Standardul ales poate fi folosit pentru a măsura orice obiect arbitrar de mare. Pentru segmente, aceste axiome au fost formulate de Arhimede: Oricât de mic este segmentul AB și oricât de mare ar fi segmentul CD, există un astfel de număr natural N încât N*AB>CD, dacă un număr egal de segmente AB se încadrează în segmentul măsurat CD, apoi lungimea segmentului CD este exprimată ca număr natural. Dacă în segmentul măsurat CD segmentul AB se potrivește de un număr inegal de ori, atunci împărțim AB în 10 segmente identice, numite zecimea din standarde. Dacă este necesar, a zecea cotă poate fi împărțită în 10 părți egale etc. Dacă în segmentul CD se încadrează un număr egal de 10, 100 etc. fracții ale segmentelor AB, atunci lungimea segmentului CD este exprimată ca număr rațional. Cu toate acestea, nu întotdeauna lungimea segmentului poate fi exprimată ca număr natural sau rațional. Există segmente incomensurabile, adică. segmente a căror lungime nu este exprimată printr-un număr rațional. (teoreme vezi întrebarea 32)
Numerele care pot fi reprezentate ca fracții nerecurente zecimale infinite se numesc numere iraționale. Unirea mulțimii numerelor raționale și a mulțimii numerelor iraționale este mulțimea numerelor reale ().
Proprietățile mulțimii numerelor reale. unu). Mulțimea punctelor axei numerice este echivalentă cu mulțimea numerelor reale.
0 M 1 Luați orice punct M de pe segment de la 0 la 1,
Desenați un semicerc centrat pe
Mijlocul acestui segment și raza
K O C egal cu jumătate din acesta. Desenați o perpendiculară de la M la intersecția cu semicercul. Obținem D. Acest punct este unic, deoarece semicercul și dreapta se intersectează doar într-un singur punct. De la mijlocul acestui segment prin D trasăm o linie dreaptă până la intersecția cu axa reală. Obținem K, care este determinat în mod unic, deoarece liniile se intersectează doar într-un singur punct. Alegând un alt punct arbitrar pe un anumit segment și repetă întregul proces, obținem că orice punct de pe segment de la 0 la 1 corespunde unui singur punct pe dreapta reală. Argumentând înapoi, putem arăta că orice punct de pe dreapta numerică corespunde și unui singur punct de la 0 la 1. Dacă un punct arbitrar E aparține dreptei numerice, atunci poate fi trasă o singură dreaptă prin punctele M și E care se intersectează. semicercul. Dintr-un semicerc, puteți arunca o perpendiculară pe un segment dat. Astfel, între punctele segmentului de la 0 la 1 și punctele dreptei numerice se stabilește o mapare reciproc identică, adică. sunt egali.
2) mulțimea numerelor reale nu este numărabilă, adică nu este egală cu mulţimea numerelor naturale.
3). Mulțimea numerelor reale este o mulțime continuă. Continuitatea mulțimii numerelor reale este că între oricare două numere reale există o mulțime infinită de numere reale.
6. Împărțirea setului în clase. Exemple de clasificare. Relația de echivalență, proprietățile sale. Relația relației de echivalență cu împărțirea mulțimii în clase. Să ne uităm la un exemplu. Fie dată mulţimea M (o mulţime de poligoane convexe), formăm toate submulţimile acestei mulţimi: A 1 - o mulţime de triunghiuri; A2 este un set de patrulatere; А3 – set de pentagoane; Ak este mulțimea de k-gonuri. Mulțimea M este considerată a fi împărțită în clase dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
- fiecare submulțime A nu este goală
- intersecția oricăror două submulțimi este mulțimea goală
- uniunea tuturor submulților este mulțimea dată M
Se numește împărțirea unui set în clase clasificare.
Atitudine pe multimea se numeste X echivalent , dacă este reflexiv, simetric și tranzitiv. Relația se numește reflectorizant, dacă orice element din mulțimea X este în relație cu el însuși a ∈ X, iar R a (R este în relație). Relația se numește simetric, dacă pentru oricare două elemente ale mulțimii X (a și c) din faptul că a este în raport cu c rezultă că c este în raport cu a (a, c ∈ X și R c → c R a). Relația se numește tranzitiv, dacă pentru orice elemente a, b, c din faptul că a R în și în R c → că a R c, a, c, c ∈ X. Există bucle, săgeți reciproc inverse și săgeți triunghiulare pe graficul relație de echivalență. Relația de echivalență, și numai ea, este legată de împărțirea unei mulțimi în clase. Această afirmație poate fi formulată ca teoreme: Dacă pe mulțimea X este specificată o relație de echivalență, atunci această relație împarte mulțimea X în clase și invers, dacă mulțimea X este împărțită în clase, atunci relația de echivalență este satisfăcută pe mulțimea dată. De exemplu. Să se dea relația - să locuiască în aceeași casă. Să arătăm că setul de chiriași din casă va fi împărțit pe clase. Și fiecare clasă este un apartament separat. Pentru această diviziune, toate conditiile necesareîmpărțirea setului în clase: a) fiecare clasă nu este goală, deoarece în fiecare apartament cel puțin 1 persoană, dar înregistrată, b) clasele nu se suprapun (1 persoană nu este înscrisă în două apartamente diferite), c) unirea tuturor claselor, i.e. chiriașii fiecărui apartament și alcătuiește ansamblul chiriașilor casei.
18 . Abordarea teoretică a mulțimilor a construcției teoriei numerelor întregi nenegative. Relații de egalitate, mai mult (mai puțin). Două mulțimi A și B sunt numite echivalente sau echivalente dacă între ele se poate stabili o corespondență unu-la-unu, adică dacă fiecare element al mulțimii A este asociat cu un singur element al mulțimii B și invers. Puterea sau numărul cardinal este o proprietate care este inerentă oricărei mulțimi B, care este egală ca putere cu setul A și nu este inerentă nici unei alte mulțimi, care nu este egală ca putere cu mulțimea A. A~B n (A) =a este putere. Relația de echivalență este o relație de echivalență, adică. satisface proprietățile reflexivității, simetriei și tranzitivității. Relația de echivalență împarte mulțimea tuturor mulțimilor în clase de echivalență. Pentru a defini conceptul de număr natural și zero, luăm în considerare o partiție a tuturor mulțimilor finite.
Fie M mulțimea tuturor mulțimilor finite. M=K 0 Ka Kv, unde Ko este o clasă de mulțimi goale, Ka este o mulțime care conține mulțimi egale a 1, a 2, a 3 etc., Kv este o mulțime. Conținând mulțimi egale în 1, în 2, în 3 etc. Mulțimea M poate conține și alte submulțimi K de natură diferită, care constau din mulțimi de putere egală. Fiecare clasă de echivalență K are în comun faptul că sunt formate din același număr de elemente, neexistând alte proprietăți comune. Un număr întreg nenegativ din punct de vedere teoretic al mulțimilor este o proprietate generală a unei clase de mulțimi finite egale. Un număr natural este o proprietate generală a clasei de mulțimi echipotente finite nevide. Fiecărei clase i se atribuie un număr cardinal (putere). Mulțimii goale de clasă i se atribuie numărul de coordonate 0. Clasei formată din mulțimi cu 1 element i se atribuie numărul 1. Clasei formată din mulţimi cu 2 elemente i se atribuie numărul 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Relația de egalitate. Numerele întregi nenegative a și b se numesc egale dacă mulțimile A și B, al căror număr îl exprimă, sunt echivalente (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n(A) )=n(B) a=c).
Teorema: relația de egalitate în mulțimea numerelor întregi nenegative este o relație de echivalență. Dovada. Să demonstrăm că relația de egalitate are proprietățile de simetrie, tranzitivitate și reflexivitate.
pentru că proprietățile reflexivității, simetriei, tranzitivității sunt satisfăcute, atunci relația de egalitate este o relație de echivalență.
Raport mai mic. Un întreg nenegativ a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Teoremă: raportul mai mic decât în mulțimea numerelor întregi nenegative este o relație de ordine strictă. Dovada: Să demonstrăm că relația mai mică decât are proprietățile de antisimetrie și tranzitivitate. C 2 C 1 C 2 ~ B 1 C 2 ~ A n (A) \u003d n (C 2) n (C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Adunarea și scăderea în teoria cantitativă a numerelor întregi nenegative. Proprietățile lor. sumă două numere întregi nenegative a și b se numesc un întreg nenegativ c, care este cardinalitatea unirii a două mulțimi neintersectate A și B, ale căror cardinalități sunt, respectiv, egale cu a și c. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B). Proprietăți de adaos. 1. Adunarea în mulțimea numerelor întregi nenegative există întotdeauna și este definită în mod unic. Să demonstrăm că suma există întotdeauna. Se consideră A și B astfel încât intersecția lor este mulțimea goală și numărul de elemente ale lui A este a, iar cardinalitatea lui B este c. găsim uniunea lui A și B. Întrucât unirea a două mulțimi disjunse există întotdeauna și, prin urmare, suma există și din definiția sumei rezultă că adunarea există întotdeauna. Să demonstrăm că suma este determinată în mod unic. Există C 1 și C 2 - numere întregi nenegative. C 1 \u003d a + b și C 2 \u003d a + c. Suma numerelor a și b nu depinde de ce mulțimi A și B am ales din clasa mulțimilor echivalente și, prin urmare, unirea lui A și B luată din clasa mulțimilor echivalente nu depinde de alegerea mulțimilor A și B, deoarece puterea din fiecare clasă este aceeași, atunci C 1 \u003d C 2. 2. Comutativitatea adunării. Pentru orice numere întregi nenegative a și b, proprietatea a+b=b+a este îndeplinită. Știm din teoria mulțimilor că pentru AUB = BUA. Dacă seturile sunt egale, valorile lor numerice sunt egale. n(AUB)=n(BUA). Știm din teoria mulțimilor că cardinalitatea unei uniuni este egală cu suma cardinalităților. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Proprietatea asociativității. Pentru orice numere a, b, c, este valabilă următoarea proprietate: a+(b+c)=(a+b)+c. Din teoria multimilor se stie ca proprietatea de asociativitate este indeplinita pentru unirea multimilor: АU(ВУС)=(АУВ)UС, daca multimile sunt egale, atunci valorile lor numerice sunt egale, n(AU(ВУС). ))=n((АУВ)UC). Din teoria mulțimilor se știe că cardinalitatea uniunii este egală cu suma cardinalităților acestor mulțimi, n(A) + n (BUC) \u003d n (AUB) + n (C) n (A) + ( n (B) + n (C)) \u003d (n (A) + n (B)) + n (C) a + (b + c) \u003d (a + c) + c. diferență numere întregi nenegative a și b se numesc un întreg nenegativ c, care este puterea complementului mulțimii B la mulțimea A, astfel încât B aparține lui A, n(A)=a, n(B) =c. Proprietăți de diferență. 1. Pentru ca o diferență de numere întregi nenegative să existe, este necesar și suficient ca a să fie mai mare sau egal cu b. Să demonstrăm: 1) o condiție suficientă pentru existența unei diferențe. Având în vedere: a - b = c, demonstrați: a c. Prin definiția diferenței, rezultă că există un complement al mulțimii B la mulțimea A, iar acest complement are o cardinalitate care poate fi găsită dintr-o egalitate cunoscută din teoria mulțimilor. n () \u003d n (A) -n (B). Din faptul că B este o submulțime a lui A rezultă că numărul de elemente din B este mai mic decât numărul de elemente ale lui A. n (B) 2). Stare necesara. Având în vedere a. dovediți existența diferenței (a-c). Dacă a>b, prin definiția relației „mai puțin decât”, există o mulțime A 1 astfel încât A 1 este inclus în A și A 1 ~B. Compuneți diferența dintre A și A 1. Această diferență există întotdeauna (A-A 1 \u003d C) și, prin urmare, există C, care este această diferență. Din aceste condiții rezultă că C este complementul lui A 1 la A. C \u003d 1A Puterea lui C este puterea complementului A 1 la A. n (C) \u003d n ( 1A) \u003d n ( A) -n (A 1), deoarece A 1 ~ B, atunci n (A 1) \u003d n (B), prin urmare n (C) \u003d n (A) -n (B), prin urmare c \u003d a-c . 2. Diferența numerelor întregi nenegative se găsește într-un mod unic, deoarece diferența este cardinalitatea complementului de submulțimi la o mulțime, iar complementul este definit în mod unic, atunci diferența numerelor întregi nenegative este definită în mod unic. 3. Pentru scădere nu sunt îndeplinite proprietățile comutativității și asociativității. 4. Scăderea sumei din număr. a-(b+c)=(a-c)-c. Din teoria multimilor cunoastem A\(BUC)=(A\B)\C, si B Ì A; C Ì A; VUSÌA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Scăderea unui număr din diferența (a-c)-c \u003d (a-c)-c. Dovada se bazează pe proprietatea diferenței set (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Scăderea unui număr din suma (a+b)-c=(a-c)+c. Dovada se bazează pe proprietatea mulțimilor (AUB)\C=(A\C)UB. Chiar nici măcar În practică, există adesea funcții care nu sunt nici egale, nici egale. 4. funcţiile pot fi periodice. O funcție se numește periodică dacă există un astfel de număr T încât condiția f(x+T)=f(x) este îndeplinită. Funcțiile periodice includ toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă). 5. Funcțiile pot avea puncte speciale. Acestea sunt punctele de intersecție cu axele de coordonate și punctele extremelor, adică. puncte minime și maxime. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției dacă pentru tot X din vecinătatea x0 sunt îndeplinite condițiile f (x) > f (x0). Punctul x0 se numește punctul maxim al funcției dacă pentru tot x din vecinătatea lui x0 f(x)< f (x0). 6. funcţiile pot avea intervale de semne de constanţă, i.e. acestea sunt acele submulțimi, domenii de definiție, ale căror elemente transformă funcția fie numai pozitivă, fie numai negativă. 7. O funcție poate avea puncte de întrerupere, de ex. acele valori ale variabilei x în care y nu există (funcții de proporționalitate inversă). y = , dacă x = 0 Cautare site: Dezactivează adBlock!
7. Conceptul de tuplu al unei perechi ordonate. Produsul cartezian al multimilor si proprietatile sale. Numărul de elemente din produsul decret al mulțimilor. Pentru a introduce conceptul de produs cartezian de mulțimi, luați în considerare conceptul cortegiu. Acest concept, ca și conceptul de mulțime, este un concept de bază nedefinit. Pentru un tuplu, ordinea elementelor este importantă. Elementele dintr-un tuplu pot fi repetate. Numărul de elemente dintr-un tuplu dat se numește lungimea acestuia. Un tuplu de lungime 2 se numește pereche ordonată. Un kartege este notat cu () sau< >. × este notația pentru produsul cartezian al mulțimilor. (a, b, a); (a, b, c) ≠ (c, a, c); (a, e, c)=(a, e, c). Produsul cartezian al multimilor A și B este o mulțime formată din toate perechile ordonate în care prima componentă este un element al primului set, iar a doua componentă este un element al celui de-al doilea set. A \u003d (a, c, c) B \u003d (1,2) A × B \u003d ((a, 1), (a, 2), (c, 1), (c, 2), (c , 1) ,(с,2)) Proprietatea produsului cartezian al multimilor (DPM). DPM nu are proprietatea comutativității și asociativității: A×B≠B×A. Proprietățile de distributivitate DPM sunt valabile: 1) în raport cu uniunea mulțimilor A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) în raport cu intersecția mulțimilor A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). Pentru a găsi numărul de elemente dintr-un DP în două sau mai multe seturi, trebuie să cunoașteți numărul de elemente din fiecare set. Dacă numărul de elemente este n. Dacă n(A)=n și n(B)=m, atunci n(A×B)=n*m. Fie A=(a1,a2,a3,...an) B=(c1,c2,c3,...cm). Să compunem DPM A și B: (a1, c1) (a1, c2) (a1, c3) ... (a1, c m) (a2, c1) (a2, c2) (a2, c3) ... ( a2, c m) (a3 , c1) (a3, c2) (a3, c3) ... (a3, c3) ___________________________ (an, c1) (an, c2) (an, c3) ... (an, c) ) În fiecare linie de em-perechi, astfel de linii en, înseamnă că em este enumerat pentru en perechi, prin urmare numărul de elemente din DPM A și B este egal cu produsul dintre numărul de elemente din mulțimea A și numărul de elemente din multimea B. 8. Conceptul de corespondență între mulțimi. Metode de precizare a conformității. Tipuri de meciuri. Corespondența ef între elementele mulțimilor X și Y se numește triplu de mulțimi (X; Y; G f (ji din ef), ji din ef este o submulțime a DP (produsul cartezian). Mulțimea X se numește zona de plecare, multimea Y se numeste zona de sosire ji din ef - se numeste graficul acestei corespondente.Domeniul de conformitate ef este multimea acelor elemente din prima multime (adica zona de plecare), care corespund elementelor celei de-a doua. set (adică, zona de sosire) potrivește unele elemente ale zonei de plecare. Metode de stabilire a corespondențelor: enumerarea elementelor sale, folosind un grafic, folosind un grafic, folosind un tabel, verbal, algebric, i.e. ecuație, inegalitate. Tipuri de meciuri. Se numesc corespondențele peste tot definit dacă zona de origine este aceeași cu zona de definiție. Pe graficul unei astfel de corespondențe, cel puțin o săgeată se îndepărtează de la fiecare element al primului set. Corespondența se numește surjectiv, dacă setul său de valori coincide cu zona de sosire. Pe graficul unei astfel de corespondențe, cel puțin 1 săgeată se apropie de fiecare element al celui de-al doilea set. Corespondența se numește injectiv dacă niciun element diferit din primul set nu corespunde aceluiași element al celui de-al doilea set. Pe graficul unei astfel de corespondențe, niciun element din al 2-lea set nu este potrivit cu mai mult de 1 săgeată. Corespondența se numește funcţional, dacă fiecărui element din primul set îi corespunde nu mai mult de 1 element din al 2-lea set. Pe graficul unei astfel de corespondențe din fiecare element din primul set, dacă se îndepărtează, atunci doar 1 săgeată. Corespondența funcțională se numește funcţie. Dintre toate corespondențele funcționale, se disting corespondențe definitorii de pretutindeni, care sunt numite cartografiere. Corespondența se numește unu la unu, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) oricare două elemente diferite ale mulțimii X corespund elementelor diferite ale mulțimii Y, 2) oricărui element al mulțimii Y corespunde cel puțin unui element al mulțimii X. Două corespondențe între se numesc multimile X si Y opus, dacă graficele lor completează produsul cartezian al lui X și Y. Corespondența se numește verso la o potrivire dată dacă potrivirea dată este valabilă dacă și numai dacă este adevărat opusul. Dacă corespondența dată este o submulțime a produsului cartezian al mulțimilor X și Y, atunci corespondența inversă este o submulțime a produsului cartezian al mulțimilor X și Y. Pentru a obține corespondența inversă cu cea dată. Pe graficul său este necesar să se schimbe direcția săgeților.
9.Conformitatea funcțională. Proprietăţile funcţiilor numerice. Corespondența se numește funcţional, dacă fiecărui element din primul set îi corespunde nu mai mult de 1 element din al 2-lea set. Pe graficul unei astfel de corespondențe din fiecare element din primul set, dacă se îndepărtează, atunci doar 1 săgeată. O corespondență funcțională dată pe o mulțime numerică este numită numerică funcţie. Proprietăţile funcţiilor numerice. 1. Fiecare funcție are un domeniu de definiție și un set de valori. 2. funcţia poate fi crescătoare sau descrescătoare. O funcție se numește crescătoare pe intervalul a b dacă pentru orice x1 și x2 x1 > x2 urmează f (x1) > f (x2). O funcție se numește descrescătoare pe un interval a b, dacă pentru orice x1 și x2 din acest interval, din faptul că x1 > x2 urmează f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
Site web 2015-2020 - Contacte - Ultima adăugată
foarte necesar
