รูปแบบกำลังสองแน่นอนที่เป็นบวก

คำนิยาม- แบบฟอร์มกำลังสองจาก nสิ่งที่ไม่รู้จักถูกเรียกว่า บวกแน่นอนหากอันดับเท่ากับดัชนีความเฉื่อยเชิงบวกและเท่ากับจำนวนไม่ทราบ

ทฤษฎีบท.รูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวกแน่นอนหากใช้ค่าบวกกับชุดค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ของตัวแปร

การพิสูจน์.ปล่อยให้รูปกำลังสองเป็นการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของสิ่งที่ไม่รู้

กลับคืนสู่ภาวะปกติ

.

สำหรับชุดของค่าตัวแปรที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะต้องมีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว แตกต่างจากศูนย์นั่นคือ - ความจำเป็นของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมมติว่ารูปแบบกำลังสองใช้ค่าบวกกับชุดตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ แต่ดัชนีความเฉื่อยเชิงบวกของมันคือการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของสิ่งที่ไม่รู้จัก

มาทำให้มันอยู่ในรูปแบบปกติกันเถอะ โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าในรูปแบบปกตินี้ กำลังสองของตัวแปรสุดท้ายจะหายไปหรือรวมไว้กับเครื่องหมายลบ เช่น , ที่ไหน หรือ . ให้เราสมมติว่าเป็นชุดของค่าตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งได้มาจากการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ในระบบนี้ จำนวนสมการจะเท่ากับจำนวนตัวแปร และดีเทอร์มิแนนต์ของระบบไม่ใช่ศูนย์ ตามทฤษฎีบทของแครเมอร์ ระบบมีคำตอบเฉพาะ และไม่เป็นศูนย์ สำหรับชุดนี้ ขัดแย้งกับเงื่อนไข เราขัดแย้งกับสมมติฐานซึ่งพิสูจน์ความเพียงพอของทฤษฎีบท

เมื่อใช้เกณฑ์นี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุจากสัมประสิทธิ์ว่ารูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนหรือไม่ คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้รับจากทฤษฎีบทอื่น ซึ่งเป็นการกำหนดแนวคิดที่เราแนะนำแนวคิดอื่น เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์– เหล่านี้คือผู้เยาว์ที่มุมซ้ายบน:

, , , … , .

ทฤษฎีบท.รูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อรองเส้นทแยงมุมหลักทั้งหมดเป็นบวกเท่านั้น

การพิสูจน์เราจะดำเนินการวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์กับตัวเลข nตัวแปรกำลังสอง ฉ.

สมมติฐานการเหนี่ยวนำสมมติว่าสำหรับรูปแบบกำลังสองที่มีตัวแปรน้อยกว่า nข้อความนั้นเป็นความจริง

พิจารณารูปแบบกำลังสองของ nตัวแปร ลองใส่คำศัพท์ทั้งหมดที่มี . เงื่อนไขที่เหลือจะอยู่ในรูปแบบกำลังสองของตัวแปร ตามสมมติฐานการปฐมนิเทศ ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับเธอ

สมมติว่ารูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอน จากนั้นรูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอน หากเราถือว่าไม่เป็นเช่นนั้น ก็จะมีชุดของค่าตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์ , ซึ่ง และตามลำดับ และสิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่ารูปกำลังสองมีค่าแน่นอนเป็นบวก ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำ เส้นทแยงมุมหลักทั้งหมดของรูปแบบกำลังสองจะเป็นค่าบวก กล่าวคือ ตัวรองหลักตัวแรกทั้งหมดในรูปแบบกำลังสอง ฉเป็นบวก หลักตัวรองสุดท้ายของรูปกำลังสอง – นี่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นค่าบวก เนื่องจากเครื่องหมายของมันเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของเมทริกซ์ในรูปแบบปกติ เช่น โดยมีเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์

ให้เส้นทแยงมุมย่อยหลักของรูปกำลังสองเป็นบวก จากนั้น เส้นทแยงมุมรองของรูปกำลังสองเป็นบวกจากความเท่าเทียมกัน - ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำ รูปแบบกำลังสองมีค่าแน่นอนเป็นบวก ดังนั้นจึงมีการแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อมของตัวแปร ซึ่งจะลดรูปแบบให้กลายเป็นผลรวมของกำลังสองของตัวแปรใหม่ การแปลงเชิงเส้นนี้สามารถขยายไปสู่การแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของตัวแปรทั้งหมดโดยการตั้งค่า การแปลงนี้จะลดรูปแบบกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบ

แนวคิดเรื่องรูปแบบกำลังสอง เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง รูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสอง วิธีลากรองจ์ มุมมองปกติของรูปแบบกำลังสอง อันดับ ดัชนี และลายเซ็นต์ของรูปแบบกำลังสอง รูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก รูปสี่เหลี่ยม

แนวคิดของรูปแบบกำลังสอง:ฟังก์ชันบนปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพหุนามเอกพันธ์ของดีกรีที่สองในพิกัดของเวกเตอร์

แบบฟอร์มกำลังสองจาก nไม่ทราบ เรียกว่าผลรวม ซึ่งแต่ละเทอมจะเป็นกำลังสองของค่าที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง หรือผลคูณของค่าไม่ทราบค่าสองค่าที่ต่างกัน

เมทริกซ์กำลังสอง:เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์รูปกำลังสองตามเกณฑ์ที่กำหนด ถ้าลักษณะเฉพาะของสนามไม่เท่ากับ 2 เราสามารถสรุปได้ว่าเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองมีความสมมาตร กล่าวคือ

เขียนเมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง:

เพราะฉะนั้น,

ในรูปแบบเมทริกซ์เวกเตอร์ รูปแบบกำลังสองคือ:

เอ ที่ไหน

รูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสอง:รูปแบบกำลังสองเรียกว่ารูปแบบบัญญัติถ้าทั้งหมด เช่น.

รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้น ในทางปฏิบัติมักใช้วิธีการดังต่อไปนี้

วิธีลากรองจ์ : การเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น ถ้า

จากนั้นจึงทำขั้นตอนที่คล้ายกันกับรูปแบบกำลังสอง เป็นต้น ถ้าอยู่ในรูปกำลังสอง ทุกอย่างเป็นแต่ หลังจากเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นแล้วเรื่องก็จะเข้าสู่ขั้นตอนการพิจารณา ตัวอย่างเช่น หากเราถือว่า

รูปแบบปกติของรูปแบบกำลังสอง:รูปแบบกำลังสองปกติคือรูปแบบกำลังสองมาตรฐานซึ่งสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเท่ากับ +1 หรือ -1

อันดับ ดัชนี และลายเซ็นของรูปแบบกำลังสอง:อันดับของรูปแบบกำลังสอง กเรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ ก- อันดับของรูปแบบกำลังสองจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงที่ไม่เสื่อมลงของสิ่งที่ไม่ทราบ

จำนวนสัมประสิทธิ์ลบเรียกว่าดัชนีรูปแบบลบ

จำนวนพจน์ที่เป็นบวกในรูปแบบมาตรฐานเรียกว่าดัชนีความเฉื่อยเชิงบวกของรูปแบบกำลังสอง จำนวนพจน์ที่เป็นลบเรียกว่าดัชนีเชิงลบ ความแตกต่างระหว่างดัชนีบวกและลบเรียกว่าลายเซ็นของรูปแบบกำลังสอง

รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนเชิงบวก:รูปแบบกำลังสองจริง เรียกว่าบวกแน่นอน (ลบแน่นอน) ถ้าสำหรับค่าจริงใด ๆ ของตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

. (36)

ในกรณีนี้เมทริกซ์เรียกอีกอย่างว่าบวกแน่นอน (ลบแน่นอน)

คลาสของแบบฟอร์มเชิงบวกแน่นอน (negative definite) เป็นส่วนหนึ่งของคลาสของแบบฟอร์มที่ไม่เป็นลบ (resp. ไม่ใช่เชิงบวก)

สี่เหลี่ยม:สี่เหลี่ยม - n- ไฮเปอร์พื้นผิวมิติใน nปริภูมิ +1 มิติ กำหนดเป็นเซตของศูนย์ของพหุนามของดีกรีที่สอง หากคุณป้อนพิกัด ( x 1 , x 2 , เอ็กซ์เอ็น+1 ) (ในปริภูมิแบบยุคลิดหรือปริภูมิสัมพัทธ์) สมการทั่วไปของกำลังสองคือ

สมการนี้สามารถเขียนใหม่ให้กระชับยิ่งขึ้นในรูปแบบเมทริกซ์:

โดยที่ x = ( x 1 , x 2 , เอ็กซ์เอ็น+1 ) — เวกเตอร์แถว x T คือเวกเตอร์ทรานสโพส ถาม— ขนาดเมทริกซ์ ( n+1)×( n+1) (สันนิษฐานว่าองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งรายการไม่เป็นศูนย์) ปเป็นเวกเตอร์แถว และ ร- คงที่. กำลังสองมากกว่าจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนมักถูกพิจารณา คำจำกัดความสามารถขยายเป็นกำลังสองในพื้นที่ฉายภาพได้ ดูด้านล่าง

โดยทั่วไปแล้ว เซตของศูนย์ของระบบสมการพหุนามเรียกว่าความหลากหลายทางพีชคณิต ดังนั้น กำลังสองจึงเป็นความหลากหลายทางพีชคณิต (ใกล้เคียงหรือฉายภาพ) ของดีกรีที่สองและมิติข้อมูล 1

การเปลี่ยนแปลงของเครื่องบินและอวกาศ

คำจำกัดความของการเปลี่ยนแปลงระนาบ การตรวจจับความเคลื่อนไหว คุณสมบัติของการเคลื่อนไหว การเคลื่อนไหวสองประเภท: การเคลื่อนไหวของประเภทที่หนึ่งและการเคลื่อนไหวของประเภทที่สอง ตัวอย่างการเคลื่อนไหว การแสดงออกเชิงวิเคราะห์ของการเคลื่อนไหว การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน (ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของจุดคงที่และเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยน) กลุ่มการเคลื่อนไหวของเครื่องบิน

คำจำกัดความของการเปลี่ยนแปลงเครื่องบิน: คำจำกัดความเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงระนาบเพื่อรักษาระยะห่างระหว่างจุด ความเคลื่อนไหว(หรือการเคลื่อนไหว) ของเครื่องบิน เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงระนาบ ละเลยถ้ามันแปลงจุดสามจุดใดๆ ที่อยู่ในเส้นเดียวกันเป็นสามจุดก็อยู่บนเส้นเดียวกันด้วยและในเวลาเดียวกันก็รักษาความสัมพันธ์ง่ายๆ ของสามจุดไว้

คำจำกัดความของการเคลื่อนไหว:สิ่งเหล่านี้คือการเปลี่ยนแปลงรูปร่างที่รักษาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ หากตัวเลขทั้งสองอยู่ในแนวเดียวกันอย่างแม่นยำผ่านการเคลื่อนไหว ตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากันและเท่ากัน

คุณสมบัติการเคลื่อนไหว:การเคลื่อนที่เพื่อรักษาทิศทางของเครื่องบินจะเป็นการแปลแบบขนานหรือการหมุน การเคลื่อนที่ที่เปลี่ยนทิศทางของเครื่องบินจะเป็นสมมาตรตามแนวแกนหรือสมมาตรแบบเลื่อน เมื่อเคลื่อนที่ จุดที่วางอยู่บนเส้นตรงจะเปลี่ยนเป็นจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง และลำดับของตำแหน่งสัมพัทธ์จะยังคงอยู่ เมื่อเคลื่อนที่ มุมระหว่างเส้นครึ่งเส้นจะยังคงอยู่

การเคลื่อนไหวสองประเภท: การเคลื่อนไหวของประเภทที่หนึ่งและการเคลื่อนไหวของประเภทที่สอง:การเคลื่อนไหวประเภทแรกคือการเคลื่อนไหวที่รักษาการวางแนวของฐานของร่างบางรูป สามารถรับรู้ได้ด้วยการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่อง

การเคลื่อนไหวประเภทที่สองคือการเคลื่อนไหวที่เปลี่ยนทิศทางของฐานไปในทิศทางตรงกันข้าม ไม่สามารถรับรู้ได้ด้วยการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบแรกคือการแปลและการหมุนรอบเส้นตรง และการเคลื่อนที่แบบที่สองคือความสมมาตรส่วนกลางและกระจก

องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวประเภทแรกจำนวนเท่าใดก็ได้คือการเคลื่อนไหวของประเภทแรก

องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวประเภทที่ 2 จำนวนคู่คือการเคลื่อนไหวของประเภทที่ 1 และองค์ประกอบของการเคลื่อนไหวประเภทที่ 2 จำนวนคี่คือการเคลื่อนไหวของประเภทที่ 2

ตัวอย่างการเคลื่อนไหว:การถ่ายโอนแบบขนาน. ให้ a เป็นเวกเตอร์ที่กำหนด การถ่ายโอนแบบขนานไปยังเวกเตอร์ a เป็นการโยงระนาบลงบนตัวมันเอง โดยแต่ละจุด M ถูกโยงกับจุด M 1 ดังนั้นเวกเตอร์ MM 1 จะเท่ากับเวกเตอร์ a

การแปลแบบขนานเป็นการเคลื่อนไหวเนื่องจากเป็นการวางระนาบลงบนตัวมันเอง เพื่อรักษาระยะห่าง การเคลื่อนไหวนี้สามารถแสดงได้ด้วยสายตาเป็นการเลื่อนของระนาบทั้งหมดไปในทิศทางของเวกเตอร์ a ตามความยาวของมัน

หมุน.ให้เราแสดงจุด O บนเครื่องบิน ( ศูนย์เปลี่ยน) และตั้งค่ามุม α ( มุมการหมุน- การหมุนของระนาบรอบจุด O ด้วยมุม α คือการวางระนาบลงบนตัวมันเอง โดยแต่ละจุด M ถูกโยงกับจุด M 1 โดยที่ OM = OM 1 และมุม MOM 1 เท่ากับ α ในกรณีนี้ จุด O ยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิม กล่าวคือ มันถูกวางลงบนตัวมันเอง และจุดอื่นๆ ทั้งหมดจะหมุนรอบจุด O ในทิศทางเดียวกัน - ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา (ภาพแสดงการหมุนทวนเข็มนาฬิกา)

การหมุนคือการเคลื่อนไหวเพราะมันแสดงถึงการวางระนาบลงบนตัวมันเอง ซึ่งรักษาระยะห่างไว้

การแสดงออกเชิงวิเคราะห์ของการเคลื่อนไหว:การเชื่อมต่อเชิงวิเคราะห์ระหว่างพิกัดของพรีอิมเมจกับภาพของจุดนั้นมีรูปแบบ (1)

การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน (ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของจุดคงที่และเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยน): คำจำกัดความ:

จุดบนระนาบนั้นไม่แปรเปลี่ยน (คงที่) ถ้ามันแปลงเป็นตัวเองภายใต้การเปลี่ยนแปลงที่กำหนด

ตัวอย่าง: ด้วยความสมมาตรที่ศูนย์กลาง จุดของศูนย์กลางสมมาตรจะไม่แปรเปลี่ยน เมื่อหมุน จุดศูนย์กลางการหมุนจะไม่เปลี่ยนแปลง ด้วยความสมมาตรตามแนวแกน เส้นตรงที่ไม่แปรเปลี่ยนจะเป็นเส้นตรง แกนสมมาตรนั้นเป็นเส้นตรงของจุดที่ไม่แปรเปลี่ยน

ทฤษฎีบท: หากการเคลื่อนไหวไม่มีจุดคงที่จุดเดียว แสดงว่าการเคลื่อนไหวนั้นมีทิศทางที่ไม่แปรเปลี่ยนอย่างน้อยหนึ่งจุด

ตัวอย่าง: การถ่ายโอนแบบขนาน อันที่จริง เส้นตรงที่ขนานกับทิศทางนี้มีค่าคงที่ในภาพรวม แม้ว่าจะไม่ได้ประกอบด้วยจุดคงที่ก็ตาม

ทฤษฎีบท: ถ้ารังสีเคลื่อนที่ รังสีจะแปลเป็นตัวเอง การเคลื่อนที่นี้จะเป็นการเปลี่ยนแปลงหรือสมมาตรที่เหมือนกันโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงที่มีรังสีที่กำหนด

ดังนั้น ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของจุดหรือตัวเลขที่ไม่แปรเปลี่ยน จึงเป็นไปได้ที่จะจำแนกการเคลื่อนไหวได้

ชื่อการเคลื่อนไหว	จุดคงที่	เส้นคงที่
การเคลื่อนไหวแบบแรก.
1. - เลี้ยว	(กลาง) - 0	เลขที่
2. การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน	ทุกจุดของเครื่องบิน	ตรงทั้งหมด
3. สมมาตรกลาง	จุด 0 - ศูนย์กลาง	เส้นทุกเส้นที่ผ่านจุด 0
4. การถ่ายโอนแบบขนาน	เลขที่	ตรงทั้งหมด
การเคลื่อนไหวของประเภทที่สอง
5. สมมาตรตามแนวแกน	ชุดคะแนน	แกนสมมาตร (เส้นตรง) เส้นตรงทั้งหมด

กลุ่มการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน:ในเรขาคณิต กลุ่มของการจัดองค์ประกอบตัวเองของตัวเลขมีบทบาทสำคัญ หากเป็นร่างบางบนเครื่องบิน (หรือในอวกาศ) เราก็สามารถพิจารณาเซตของการเคลื่อนที่ทั้งหมดของเครื่องบิน (หรืออวกาศ) ในระหว่างที่ร่างนั้นกลายเป็นตัวมันเอง

ชุดนี้เป็นกลุ่ม ตัวอย่างเช่น สำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า กลุ่มของการเคลื่อนที่ของระนาบที่เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมให้กลายเป็นรูปสามเหลี่ยมนั้นเองประกอบด้วยองค์ประกอบ 6 ประการ ได้แก่ การหมุนผ่านมุมรอบจุดหนึ่ง และสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงสามเส้น

พวกเขาจะแสดงในรูป. 1 เส้นสีแดง. องค์ประกอบของกลุ่มการจัดตำแหน่งตนเองของรูปสามเหลี่ยมปกติสามารถระบุได้แตกต่างกัน เพื่ออธิบายสิ่งนี้ ขอให้เรากำหนดหมายเลขจุดยอดของสามเหลี่ยมปกติด้วยตัวเลข 1, 2, 3 การจัดตำแหน่งเองของสามเหลี่ยมจะนำจุด 1, 2, 3 ไปยังจุดเดียวกัน แต่จัดลำดับที่ต่างออกไป กล่าวคือ สามารถป้อนแบบมีเงื่อนไขในรูปแบบของวงเล็บเหลี่ยมแบบใดแบบหนึ่งต่อไปนี้:

ฯลฯ

โดยที่ตัวเลข 1, 2, 3 ระบุจำนวนของจุดยอดเหล่านั้นซึ่งจุดยอด 1, 2, 3 ไปเป็นผลจากการเคลื่อนไหวที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

พื้นที่ฉายภาพและแบบจำลอง.

แนวคิดของพื้นที่ฉายภาพและแบบจำลองของพื้นที่ฉายภาพ ข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตฉายภาพ เส้นหลายเส้นที่อยู่ตรงกลางจุด O คือแบบจำลองของระนาบฉายภาพ จุดที่ฉาย ระนาบขยายเป็นแบบจำลองของระนาบฉายภาพ ความสัมพันธ์สามมิติแบบขยายหรือปริภูมิแบบยุคลิดเป็นแบบจำลองของปริภูมิการฉายภาพ รูปภาพของตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่ในการออกแบบคู่ขนาน

แนวคิดของพื้นที่ฉายภาพและแบบจำลองของพื้นที่ฉายภาพ:

พื้นที่ฉายภาพเหนือสนามคือพื้นที่ที่ประกอบด้วยเส้น (พื้นที่ย่อยหนึ่งมิติ) ของพื้นที่เชิงเส้นบางส่วนเหนือสนามที่กำหนด ช่องว่างโดยตรงเรียกว่า จุดพื้นที่ฉายภาพ คำจำกัดความนี้สามารถสรุปได้ทั่วไปกับเนื้อหาโดยพลการ

หากมีมิติ ดังนั้นมิติของพื้นที่การฉายภาพจะเรียกว่าหมายเลข และพื้นที่การฉายภาพนั้นจะถูกแสดงและเรียกว่าเกี่ยวข้องกับ (เพื่อระบุสิ่งนี้จะใช้สัญกรณ์)

เรียกว่าการเปลี่ยนจากปริภูมิเวกเตอร์ของมิติไปเป็นปริภูมิการฉายภาพที่สอดคล้องกัน การฉายภาพช่องว่าง.

จุดสามารถอธิบายได้โดยใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตฉายภาพ:เรขาคณิตแบบฉายภาพเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ศึกษาระนาบและอวกาศที่ฉายภาพ คุณลักษณะหลักของเรขาคณิตที่ฉายภาพคือหลักการของความเป็นคู่ ซึ่งเพิ่มความสมมาตรอันหรูหราให้กับการออกแบบจำนวนมาก เรขาคณิตแบบฉายภาพสามารถศึกษาได้ทั้งจากมุมมองเรขาคณิตล้วนๆ และจากการวิเคราะห์ (โดยใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน) และมุมมองแบบ Salgebraic โดยพิจารณาจากระนาบฉายภาพเป็นโครงสร้างเหนือสนาม บ่อยครั้งและในอดีต ระนาบฉายภาพจริงถือเป็นระนาบยุคลิดที่มีการเติม "เส้นที่ระยะอนันต์" เข้าไปด้วย

ในขณะที่คุณสมบัติของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแบบยุคลิดคือ เมตริก(ค่าเฉพาะของมุม ส่วน พื้นที่) และความเท่าเทียมกันของตัวเลขจะเทียบเท่ากับค่าเหล่านั้น ความสอดคล้อง(เช่น เมื่อสามารถแปลงตัวเลขเป็นอีกรูปหนึ่งผ่านการเคลื่อนไหวโดยยังคงรักษาคุณสมบัติหน่วยเมตริกไว้) จะมีคุณสมบัติ "ที่อยู่ลึก" ของรูปทรงเรขาคณิตที่ยังคงอยู่ภายใต้การแปลงรูปแบบทั่วไปมากกว่าการเคลื่อนไหว เรขาคณิตฉายภาพเกี่ยวข้องกับการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ชั้นเรียน การเปลี่ยนแปลงที่คาดการณ์ไว้รวมถึงการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เองด้วย

เรขาคณิตแบบฉายภาพช่วยเสริมเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยการให้วิธีแก้ปัญหาที่สวยงามและเรียบง่ายสำหรับปัญหาต่างๆ ที่ซับซ้อนเนื่องจากมีเส้นขนานอยู่ ทฤษฎีการฉายภาพของส่วนทรงกรวยนั้นเรียบง่ายและสวยงามเป็นพิเศษ

มีสามแนวทางหลักสำหรับเรขาคณิตเชิงฉายภาพ: การทำให้เป็นจริงโดยอิสระ การเสริมเรขาคณิตแบบยุคลิด และโครงสร้างบนสนามข้อมูล

การทำให้เป็นจริง

พื้นที่การฉายภาพสามารถกำหนดได้โดยใช้ชุดสัจพจน์ที่แตกต่างกัน

Coxeter ให้สิ่งต่อไปนี้:

1. มีเส้นตรงและมีจุดไม่อยู่บนนั้น

2. แต่ละบรรทัดมีคะแนนอย่างน้อยสามคะแนน

3. ผ่านสองจุดคุณสามารถวาดเส้นตรงเพียงเส้นเดียวได้

4. ถ้า ก, บี, ค, และ ดี- จุดต่างๆ และ เอบีและ ซีดีตัดกันแล้ว เอ.ซี.และ บีดีตัด.

5. ถ้า เอบีซีเป็นระนาบแล้วมีจุดไม่อยู่ในระนาบอย่างน้อยหนึ่งจุด เอบีซี.

6. ระนาบสองอันที่แตกต่างกันตัดกันอย่างน้อยสองจุด

7. จุดทแยงมุมสามจุดของรูปสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์นั้นไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

8. ถ้าสามแต้มอยู่บนเส้น เอ็กซ์ เอ็กซ์

ระนาบการฉายภาพ (ไม่มีมิติที่สาม) ถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่แตกต่างกันเล็กน้อย:

1. ผ่านจุดสองจุดคุณสามารถวาดเส้นตรงเส้นเดียวได้

2. เส้นตรงสองเส้นใดๆ ตัดกัน

3. มีสี่จุด โดยสามจุดไม่เชิงเส้นกัน

4. จุดทแยงมุมสามจุดของรูปสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์นั้นไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

5. ถ้าสามแต้มอยู่บนเส้น เอ็กซ์ไม่แปรเปลี่ยนด้วยความเคารพต่อฉายภาพของ φ จากนั้นทุกจุด เอ็กซ์ไม่แปรเปลี่ยนด้วยความเคารพ φ

6. ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์: ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีเปอร์สเปคทีฟผ่านจุดหนึ่ง แสดงว่าสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นเปอร์สเปคทีฟผ่านเส้นตรง

เมื่อมีมิติที่สาม ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้จุดและเส้นในอุดมคติ

เครื่องบินขยาย - โมเดลเครื่องบินฉายภาพ:ในช่องว่าง A3 เราหามัดของเส้น S(O) โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O และระนาบ Π ที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของมัด: O 6∈ Π กลุ่มของเส้นในปริภูมิสัมพัทธ์คือแบบจำลองของระนาบที่ฉายภาพ มากำหนดการแม็ปของเซตของจุดของระนาบ Π ลงบนเซตของเส้นตรงของเส้นเชื่อมต่อ S กัน (แม่งเอ้ย อธิษฐานหากคุณมีคำถามนี้ ขออภัยด้วย)

ความสัมพันธ์สามมิติแบบขยายหรือปริภูมิแบบยุคลิด—แบบจำลองของปริภูมิการฉายภาพ:

เพื่อที่จะทำให้การคาดคะเนการทำแผนที่ เราทำซ้ำขั้นตอนของการขยายระนาบอัฟฟิน Π อย่างเป็นทางการไปยังระนาบที่ฉายภาพ Π โดยเสริมระนาบ Π ด้วยเซตของจุดที่ไม่เหมาะสม (M∞) โดยที่: ((M∞)) = P0(โอ) เนื่องจากในแผนที่ ภาพผกผันของระนาบแต่ละระนาบของมัดของระนาบ S(O) เป็นเส้นตรงบนระนาบ d จึงเห็นได้ชัดว่าเซตของจุดที่ไม่เหมาะสมทั้งหมดของระนาบขยาย: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞) แสดงถึงเส้นตรงที่ไม่เหมาะสม d∞ ของระนาบที่ขยาย ซึ่งเป็นภาพผกผันของระนาบเอกพจน์ Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0) (I.23) ให้เราตกลงกันว่าต่อไปนี้และต่อจากนี้ไปเราจะเข้าใจความเท่าเทียมกันสุดท้าย P0(O) = Π0 ในความหมายของความเท่าเทียมกันของเซตของจุด แต่มีโครงสร้างที่แตกต่างออกไป ด้วยการเสริมระนาบอัฟฟินด้วยเส้นที่ไม่เหมาะสม เรารับประกันว่าการแม็ป (I.21) กลายเป็น bijective บนเซตของทุกจุดของระนาบที่ขยาย:

รูปภาพของตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่ระหว่างการออกแบบคู่ขนาน:

ใน Stereometry จะมีการศึกษาตัวเลขเชิงพื้นที่ แต่ในภาพวาดจะแสดงเป็นรูปแบน ควรแสดงภาพอวกาศบนเครื่องบินอย่างไร? โดยทั่วไปในเรขาคณิต จะใช้การออกแบบแบบขนานสำหรับสิ่งนี้ ให้ p เป็นระนาบ ล- เส้นตรงตัดกัน (รูปที่ 1) ผ่านจุดใดก็ได้ ก,ไม่อยู่ในสาย ลให้ลากเส้นขนานไปกับเส้น ล- จุดตัดของเส้นนี้กับระนาบ p เรียกว่าเส้นโครงขนานของจุด กไปยังระนาบ p ในทิศทางของเส้นตรง ล- เรามาแสดงแทนกันเถอะ ก“.ถ้าตรงประเด็น กอยู่ในบรรทัด ลจากนั้นโดยการฉายภาพแบบคู่ขนาน กจุดตัดของเส้นถือว่าอยู่บนระนาบ p ลด้วยระนาบ p

ดังนั้นแต่ละจุด กพื้นที่การฉายภาพจะถูกเปรียบเทียบ ก" ลงบนระนาบ p การโต้ตอบนี้เรียกว่าการฉายภาพขนานบนระนาบ p ในทิศทางของเส้นตรง ล.

กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพ การประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงเชิงคาดการณ์ของเครื่องบิน ตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพของเครื่องบิน คุณสมบัติของการแปลงโปรเจ็กต์ ความคล้ายคลึงกันคุณสมบัติของความคล้ายคลึงกัน กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพ

แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงเชิงคาดการณ์ของเครื่องบิน:แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงเชิงโครงการทำให้แนวคิดของการฉายภาพส่วนกลางเป็นภาพรวม หากเราฉายภาพจากศูนย์กลางของระนาบ α ไปบนระนาบ α 1 แล้วฉายภาพ α 1 ไปยัง α 2, α 2 ไปยัง α 3, ... และสุดท้ายคือ ระนาบ α nอีกครั้งบน α 1 จากนั้นองค์ประกอบของเส้นโครงทั้งหมดนี้คือการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพของระนาบ α; การฉายภาพแบบขนานสามารถรวมอยู่ในห่วงโซ่ดังกล่าวได้

ตัวอย่างของการแปลงระนาบที่ฉายภาพ:การเปลี่ยนแปลงเชิงฉายภาพของระนาบที่เสร็จสมบูรณ์คือการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบนตัวมันเอง ซึ่งความสอดคล้องกันของจุดต่างๆ จะถูกรักษาไว้ หรืออีกนัยหนึ่ง รูปภาพของเส้นใดๆ ที่เป็นเส้นตรง การเปลี่ยนแปลงเชิงฉายภาพใดๆ ก็ตามคือองค์ประกอบของสายโซ่ของการฉายภาพแบบกึ่งกลางและแบบขนาน การแปลงความสัมพันธ์เป็นกรณีพิเศษของการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ ซึ่งเส้นตรงที่ระยะอนันต์จะเปลี่ยนเป็นตัวเอง

คุณสมบัติของการแปลงโปรเจ็กต์:

ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ จุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นจะถูกแปลงเป็นสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้น

ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพ เฟรมจะกลายเป็นเฟรม

ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ เส้นจะเข้าสู่เส้นตรง และดินสอจะกลายเป็นดินสอ

homology คุณสมบัติของ homology:

การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงภาพของระนาบที่มีเส้นที่มีจุดไม่แปรเปลี่ยน และด้วยเหตุนี้จึงมีเส้นดินสอที่ไม่แปรเปลี่ยน เรียกว่า homology

1. เส้นที่ผ่านจุดคล้ายคลึงกันที่ไม่ตรงกันจะเป็นเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยน

2. เส้นที่ผ่านจุดคล้ายคลึงกันที่ไม่ตรงกันนั้นเป็นของดินสอเส้นเดียวกัน โดยจุดศูนย์กลางคือจุดที่ไม่แปรเปลี่ยน

3. จุด รูปภาพ และศูนย์กลางของความคล้ายคลึงกันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงเชิงโครงการ:พิจารณาการทำแผนที่แบบฉายภาพของระนาบฉายภาพ P 2 บนตัวมันเองนั่นคือการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพของระนาบนี้ (P 2 ’ = P 2)

ก่อนหน้านี้องค์ประกอบ f ของการแปลงโปรเจ็กต์ f 1 และ f 2 ของระนาบโปรเจ็กต์ P 2 เป็นผลมาจากการดำเนินการตามลำดับของการแปลง f 1 และ f 2: f = f 2 °f 1 .

ทฤษฎีบท 1: เซต H ของการแปลงโปรเจ็กต์ทั้งหมดของระนาบโปรเจ็กต์ P 2 คือกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของการแปลงโปรเจ็กต์

รูปทรงสี่เหลี่ยม
ลงนามความแน่นอนของแบบฟอร์ม เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์

คำคุณศัพท์ "กำลังสอง" แสดงให้เห็นทันทีว่าบางสิ่งในที่นี้เชื่อมต่อกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ระดับที่สอง) และในไม่ช้าเราจะพบว่า "บางสิ่ง" นี้และรูปร่างคืออะไร มันกลายเป็นลิ้นที่บิดเบี้ยว :)

ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนใหม่ของฉัน และเพื่อเป็นการอุ่นเครื่องทันที เราจะมาดูรูปทรงลายทางกัน เชิงเส้น. รูปแบบเชิงเส้น ตัวแปรเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันพหุนามดีกรีที่ 1:

- ตัวเลขเฉพาะบางอย่าง * (เราถือว่าอย่างน้อยหนึ่งรายการไม่เป็นศูนย์), a เป็นตัวแปรที่สามารถรับค่าที่กำหนดเองได้

* ภายในกรอบของหัวข้อนี้เราจะพิจารณาเท่านั้น ตัวเลขจริง .

เราได้พบกับคำว่า "เนื้อเดียวกัน" ในบทเรียนเกี่ยวกับ ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นและในกรณีนี้ก็บอกเป็นนัยว่าพหุนามไม่มีค่าคงที่บวก

ตัวอย่างเช่น: – รูปแบบเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว

ตอนนี้รูปร่างเป็นกำลังสอง รูปร่างกำลังสอง ตัวแปรเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันพหุนามของดีกรี 2 ซึ่งแต่ละเทอมนั้นมีทั้งกำลังสองของตัวแปรหรือ คู่ผสมผลคูณของตัวแปร ตัวอย่างเช่น รูปแบบกำลังสองของตัวแปรสองตัวจะมีรูปแบบดังนี้

ความสนใจ!นี่เป็นรายการมาตรฐานและไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้! แม้จะมีรูปลักษณ์ที่ "น่ากลัว" แต่ทุกอย่างก็เรียบง่ายที่นี่ - ตัวห้อยคู่ของค่าคงที่จะส่งสัญญาณว่าตัวแปรใดรวมอยู่ในคำใด:
– คำนี้มีผลิตภัณฑ์และ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส)
- นี่คืองาน;
- และนี่คืองาน

– ฉันคาดหวังถึงข้อผิดพลาดร้ายแรงทันทีเมื่อพวกเขาสูญเสีย “ลบ” ของสัมประสิทธิ์ โดยไม่เข้าใจว่ามันหมายถึงคำ:

บางครั้งมีตัวเลือกการออกแบบ "โรงเรียน" ในจิตวิญญาณ แต่บางครั้งก็เท่านั้น อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าค่าคงที่ไม่ได้บอกอะไรเราเลยที่นี่ ดังนั้นจึงเป็นการยากกว่าที่จะจำ "สัญลักษณ์แบบง่าย" โดยเฉพาะเมื่อมีตัวแปรมากขึ้น

และรูปแบบกำลังสองของตัวแปรสามตัวมีเทอมอยู่หกเทอมแล้ว:

...เหตุใดปัจจัย “สอง” จึงอยู่ในเงื่อนไข “ผสม” สะดวกและในไม่ช้าจะชัดเจนว่าทำไม

อย่างไรก็ตาม เรามาเขียนสูตรทั่วไปเป็น "แผ่นงาน" กันดีกว่า:

– เราศึกษาแต่ละบรรทัดอย่างละเอียด – ไม่มีอะไรผิดปกติ!

รูปแบบกำลังสองประกอบด้วยพจน์ที่มีกำลังสองของตัวแปรและพจน์ที่มีผลคูณคู่กัน (ซม. สูตรผสมแบบผสมผสาน) - ไม่มีอะไรเพิ่มเติม - ไม่มี "X โดดเดี่ยว" และไม่มีการเพิ่มค่าคงที่ (จากนั้นคุณจะไม่ได้รูปแบบกำลังสอง แต่ ต่างกันพหุนามของดีกรีที่ 2)

สัญกรณ์เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง

แบบฟอร์มที่เป็นปัญหาอาจใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่า และใช้เช่นเดียวกันกับรูปแบบเชิงเส้นใดๆ - หากค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าแตกต่างจากศูนย์ ก็อาจเป็นได้ทั้งค่าบวกหรือค่าลบ (ขึ้นอยู่กับ ค่า)

แบบฟอร์มนี้เรียกว่า เครื่องหมายสลับ- และถ้าทุกอย่างโปร่งใสด้วยรูปแบบเชิงเส้น ดังนั้นด้วยรูปแบบกำลังสองจะน่าสนใจกว่ามาก:

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าแบบฟอร์มนี้สามารถใช้กับความหมายของสัญลักษณ์ใดๆ ก็ได้ รูปแบบกำลังสองสามารถสลับกันได้.

อาจไม่ใช่:

– เสมอ เว้นแต่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน

- สำหรับใครก็ตาม เวกเตอร์ยกเว้นศูนย์

และพูดโดยทั่วไปว่าถ้าเพื่อใครก็ตาม ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์ , แล้วเรียกว่ารูปกำลังสอง บวกแน่นอน- ถ้าเป็นเช่นนั้น เชิงลบแน่นอน.

และทุกอย่างจะเรียบร้อยดี แต่ความแน่นอนของรูปแบบกำลังสองนั้นมองเห็นได้ในตัวอย่างง่ายๆ เท่านั้น และการมองเห็นนี้จะหายไปแม้จะมีภาวะแทรกซ้อนเล็กน้อย:
– ?

บางคนอาจคิดว่าแบบฟอร์มถูกกำหนดไว้ในเชิงบวก แต่เป็นเช่นนั้นจริงหรือ จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีค่าที่น้อยกว่าศูนย์ล่ะ?

ในคะแนนนี้มี ทฤษฎีบท: ถ้าทุกคน ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์รูปกำลังสองเป็นบวก * แล้วมันก็เป็นบวกแน่นอน หากทั้งหมดเป็นลบก็จะเป็นลบ

* ได้รับการพิสูจน์แล้วในทางทฤษฎีว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์สมมาตรจริง ถูกต้อง

ลองเขียนเมทริกซ์ของแบบฟอร์มข้างต้น:
และจากสมการ มาหาเธอกันเถอะ ค่าลักษณะเฉพาะ:

มาแก้ของเก่ากันดีกว่า สมการกำลังสอง:

ซึ่งหมายถึงแบบฟอร์ม ถูกกำหนดไว้ในเชิงบวก เช่น สำหรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะมากกว่าศูนย์

วิธีที่พิจารณาดูเหมือนจะได้ผล แต่มี BUT ที่สำคัญอย่างหนึ่ง สำหรับเมทริกซ์ขนาดสามคูณสามแล้ว การมองหาตัวเลขที่เหมาะสมนั้นเป็นงานที่ยาวและไม่น่าพอใจ มีความเป็นไปได้สูงว่าคุณจะได้พหุนามระดับ 3 พร้อมรากที่ไม่ลงตัว

ฉันควรทำอย่างไรดี? มีวิธีที่ง่ายกว่านี้!

เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์

ไม่ ไม่ใช่ซิลเวสเตอร์ สตอลโลน :) ก่อนอื่นให้ฉันเตือนคุณว่ามันคืออะไร ผู้เยาว์มุมเมทริกซ์ นี้ รอบคัดเลือก ซึ่ง “เติบโต” จากมุมซ้ายบน:

และอันสุดท้ายเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์พอดี

ที่จริงแล้วตอนนี้ เกณฑ์:

1) มีการกำหนดรูปแบบกำลังสอง ในเชิงบวกถ้าหากผู้เยาว์เชิงมุมทั้งหมดมีค่ามากกว่าศูนย์:

2) มีการกำหนดรูปแบบกำลังสอง เชิงลบถ้าหากว่าผู้เยาว์เชิงมุมสลับกันเป็นเครื่องหมาย โดยผู้เยาว์รายที่ 1 มีค่าน้อยกว่าศูนย์: , , ถ้า – คู่ หรือ , ถ้า – คี่

หากผู้เยาว์เชิงมุมอย่างน้อยหนึ่งรายมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ให้อยู่ในรูปแบบ เครื่องหมายสลับ- หากผู้เยาว์เชิงมุมมีเครื่องหมาย "ถูกต้อง" แต่มีเลขศูนย์อยู่ในนั้น นี่เป็นกรณีพิเศษซึ่งฉันจะตรวจสอบในภายหลังเล็กน้อยหลังจากที่เราดูตัวอย่างทั่วไปมากขึ้น

ลองวิเคราะห์รองเชิงมุมของเมทริกซ์กัน :

และสิ่งนี้บอกเราทันทีว่าแบบฟอร์มไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในทางลบ

บทสรุป: ลูกมุมทั้งหมดมีค่ามากกว่าศูนย์ซึ่งหมายถึงรูปแบบ ถูกกำหนดไว้ในเชิงบวก

มีความแตกต่างกับวิธีค่าลักษณะเฉพาะหรือไม่? -

ให้เราเขียนฟอร์มเมทริกซ์จาก ตัวอย่างที่ 1:

อันแรกคือเชิงมุมเล็กน้อยและอันที่สอง ซึ่งตามมาว่ารูปทรงสลับกันเป็นเครื่องหมาย กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับค่าต่างๆ อาจใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ชัดเจนอยู่แล้ว

ลองใช้แบบฟอร์มและเมทริกซ์ของมันจากกัน ตัวอย่างที่ 2:

ไม่มีทางที่จะเข้าใจสิ่งนี้ได้หากไม่มีความเข้าใจลึกซึ้ง แต่ด้วยเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ เราไม่สนใจ:
ดังนั้นฟอร์มจึงไม่ติดลบอย่างแน่นอน

และไม่เป็นบวกอย่างแน่นอน (เนื่องจากผู้เยาว์เชิงมุมทั้งหมดจะต้องเป็นบวก).

บทสรุป: รูปร่างสลับกัน

ตัวอย่างการอุ่นเครื่องสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบรูปแบบกำลังสองเพื่อดูความแน่นอนของสัญญาณ

ก)

ในตัวอย่างเหล่านี้ทุกอย่างราบรื่น (ดูส่วนท้ายของบทเรียน) แต่ในความเป็นจริงแล้ว การทำงานดังกล่าวให้สำเร็จ เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์อาจไม่เพียงพอ.

ประเด็นก็คือมีกรณี "ขอบ" กล่าวคือ: หากมี ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์ แล้วจึงกำหนดรูปร่าง ไม่เป็นลบ, ถ้า – แล้ว เชิงลบ- แบบฟอร์มเหล่านี้ก็มี ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์ซึ่ง

ที่นี่คุณสามารถอ้างอิง "หีบเพลง" ต่อไปนี้:

เน้น กำลังสองที่สมบูรณ์แบบเราเห็นทันที ไม่ใช่เชิงลบรูปแบบ: และจะเท่ากับศูนย์สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ที่มีพิกัดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น: .

ตัวอย่าง "กระจกเงา" เชิงลบแบบฟอร์มบางอย่าง:

และตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ อีกตัวอย่างหนึ่ง:
– ในที่นี้แบบฟอร์มจะเท่ากับศูนย์สำหรับเวกเตอร์ใดๆ โดยที่คือตัวเลขใดๆ

จะระบุรูปแบบที่ไม่เป็นลบหรือเป็นบวกได้อย่างไร?

สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องมีแนวคิด ผู้เยาว์ที่สำคัญ เมทริกซ์ ผู้เยาว์รายใหญ่คือผู้เยาว์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่ยืนอยู่ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่มีตัวเลขเท่ากัน ดังนั้นเมทริกซ์จึงมีตัวรองหลักสองตัวในลำดับที่ 1:
(องค์ประกอบตั้งอยู่ที่จุดตัดของแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 1)
(องค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของแถวที่ 2 และคอลัมน์ที่ 2)

และผู้เยาว์รายใหญ่ลำดับที่ 2:
– ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 1, 2 และคอลัมน์ที่ 1, 2

เมทริกซ์คือ "สามคูณสาม" มีผู้เยาว์หลักอยู่เจ็ดคน และที่นี่คุณจะต้องเกร็งลูกหนูของคุณ:
– ผู้เยาว์สามคนในลำดับที่ 1
ผู้เยาว์ลำดับที่ 2 สามคน:
– ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 1, 2 และคอลัมน์ที่ 1, 2;
– ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 1, 3 และคอลัมน์ที่ 1, 3
– ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 2, 3 และคอลัมน์ที่ 2, 3,
และรองลำดับที่ 3 หนึ่งรายการ:
– ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 1, 2, 3 และคอลัมน์ที่ 1, 2 และ 3
ออกกำลังกายเพื่อความเข้าใจ: เขียนตัวรองหลักทั้งหมดของเมทริกซ์ .
เราตรวจสอบในตอนท้ายของบทเรียนและดำเนินการต่อ

เกณฑ์ของชวาร์เซเน็กเกอร์:

1) กำหนดรูปแบบกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์* ไม่เป็นลบถ้าหากว่าผู้เยาว์รายใหญ่ทั้งหมด ไม่เป็นลบ(มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)

* รูปแบบกำลังสองศูนย์ (เสื่อมลง) มีค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์.

2) มีการกำหนดรูปแบบกำลังสองที่ไม่ใช่ศูนย์พร้อมเมทริกซ์ เชิงลบหากและหาก:
– ผู้เยาว์รายใหญ่ลำดับที่ 1 ไม่เป็นบวก(น้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์)
– ผู้เยาว์รายใหญ่ลำดับที่ 2 ไม่เป็นลบ;
– ผู้เยาว์รายใหญ่ลำดับที่ 3 ไม่เป็นบวก(การสลับเริ่มขึ้น);
…
– ผู้เยาว์รายใหญ่ของลำดับที่ ไม่เป็นบวก, ถ้า – คี่หรือ ไม่เป็นลบ, ถ้า – คู่

หากมีผู้เยาว์อย่างน้อยหนึ่งคนที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม แสดงว่าแบบฟอร์มนั้นเป็นเครื่องหมายสลับกัน

มาดูกันว่าเกณฑ์ทำงานอย่างไรในตัวอย่างข้างต้น:

มาสร้างเมทริกซ์รูปร่างกันเถอะ และ ประการแรกมาคำนวณผู้เยาว์เชิงมุมกันดีกว่า - จะเป็นอย่างไรหากนิยามไว้เป็นบวกหรือลบ?

ค่าที่ได้รับไม่เป็นไปตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ แต่เป็นค่ารองที่สอง ไม่ใช่เชิงลบและทำให้จำเป็นต้องตรวจสอบเกณฑ์ที่ 2 (ในกรณีที่เกณฑ์ที่ 2 จะไม่เป็นไปตามอัตโนมัติ กล่าวคือ จะมีการสรุปผลทันทีเกี่ยวกับการสลับเครื่องหมายของแบบฟอร์ม).

ผู้เยาว์หลักของลำดับที่ 1:
- เชิงบวก,
ผู้เยาว์รายใหญ่ลำดับที่ 2:
– ไม่เป็นลบ

ดังนั้นผู้เยาว์ที่สำคัญทั้งหมดจะไม่เป็นลบ ซึ่งหมายถึงรูปแบบ ไม่เป็นลบ.

มาเขียนเมทริกซ์รูปร่างกัน ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่เป็นไปตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ แต่เราก็ไม่ได้รับสัญญาณที่ตรงกันข้ามเช่นกัน (เนื่องจากผู้เยาว์เชิงมุมทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์) ดังนั้นเราจึงตรวจสอบการปฏิบัติตามเกณฑ์ที่ไม่ใช่เชิงลบ/ไม่ใช่เชิงบวก ผู้เยาว์หลักของลำดับที่ 1:
– ไม่เป็นบวก
ผู้เยาว์รายใหญ่ลำดับที่ 2:
– ไม่เป็นลบ

ดังนั้น ตามเกณฑ์ของชวาร์เซเน็กเกอร์ (จุดที่ 2) รูปแบบจึงไม่ได้กำหนดไว้ในทางบวก

ตอนนี้เรามาดูปัญหาที่น่าสนใจกันดีกว่า:

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบรูปแบบกำลังสองเพื่อดูความแน่นอนของเครื่องหมาย

แบบฟอร์มนี้ตกแต่งด้วยลำดับ "อัลฟา" ซึ่งสามารถเท่ากับจำนวนจริงใดก็ได้ แต่มันจะสนุกมากขึ้นเท่านั้น เราตัดสินใจ.

ขั้นแรก เรามาเขียนฟอร์มเมทริกซ์กันก่อน หลายๆ คนคงคุ้นเคยกับการทำสิ่งนี้แล้ว: เปิด เส้นทแยงมุมหลักเราใส่ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังสองและในตำแหน่งสมมาตรเราใส่ค่าสัมประสิทธิ์ครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์ "ผสม" ที่เกี่ยวข้อง:

มาคำนวณผู้เยาว์เชิงมุมกัน:

ฉันจะขยายดีเทอร์มิแนนต์ที่สามในบรรทัดที่ 3:

พหุนามเอกพันธ์ระดับ 2 ในหลายตัวแปรเรียกว่ารูปแบบกำลังสอง

ตัวแปรรูปแบบกำลังสองประกอบด้วยเงื่อนไขสองประเภท: ตัวแปรกำลังสองและผลคูณคู่ของตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนหนึ่ง รูปแบบกำลังสองมักจะเขียนเป็นแผนภาพสี่เหลี่ยมต่อไปนี้:

คู่คำศัพท์ที่คล้ายกันเขียนด้วยค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน เพื่อให้แต่ละคำประกอบด้วยครึ่งหนึ่งของค่าสัมประสิทธิ์ของผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกันของตัวแปร ดังนั้น รูปกำลังสองแต่ละรูปจึงสัมพันธ์กับเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นสมมาตรโดยธรรมชาติ

สะดวกในการแสดงรูปแบบกำลังสองในรูปแบบเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เราแสดงด้วย X คอลัมน์ของตัวแปรผ่าน X - แถวนั่นคือเมทริกซ์ที่ย้ายด้วย X แล้วก็

แบบฟอร์มกำลังสองพบได้ในคณิตศาสตร์หลายแขนงและการประยุกต์

ในทฤษฎีจำนวนและผลึกศาสตร์ รูปแบบกำลังสองได้รับการพิจารณาภายใต้สมมติฐานที่ว่าตัวแปรจะใช้เฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น ในเรขาคณิตวิเคราะห์ รูปแบบกำลังสองเป็นส่วนหนึ่งของสมการของเส้นโค้ง (หรือพื้นผิว) ของลำดับ ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ รูปกำลังสองดูเหมือนจะแสดงพลังงานจลน์ของระบบผ่านส่วนประกอบของความเร็วทั่วไป ฯลฯ แต่นอกจากนี้ การศึกษารูปกำลังสองยังจำเป็นในการวิเคราะห์เมื่อศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวในคำถาม ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องค้นหาว่าฟังก์ชันนี้ในบริเวณใกล้เคียงของจุดที่กำหนดเบี่ยงเบนไปจากฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประมาณค่าได้อย่างไร ตัวอย่างของปัญหาประเภทนี้คือการศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาในการศึกษาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องกันตามลำดับ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดที่จะให้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันคืออนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่จุดนั้นเท่ากับศูนย์ ให้เราถือว่าตรงตามเงื่อนไขนี้ ลองให้ตัวแปร x และ y เพิ่มขึ้นเล็กน้อยและ k แล้วพิจารณาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน ตามสูตรของ Taylor การเพิ่มขึ้นนี้จนถึงลำดับที่สูงกว่าเล็กน้อยจะเท่ากับรูปแบบกำลังสองโดยที่ค่าของอนุพันธ์อันดับสองคือ คำนวณ ณ จุด หากรูปแบบกำลังสองนี้เป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ และ k (ยกเว้น ) ฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุดที่จุด หากเป็นค่าลบก็จะมีค่าสูงสุด สุดท้ายนี้ หากแบบฟอร์มใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ก็จะไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนมากก็ได้รับการศึกษาในลักษณะเดียวกันเช่นกัน

การศึกษารูปแบบกำลังสองส่วนใหญ่ประกอบด้วยการศึกษาปัญหาความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเชิงเส้นชุดหนึ่งหรือหลายชุดของตัวแปร กล่าวกันว่ารูปแบบกำลังสองสองรูปแบบจะเท่ากันหากหนึ่งในนั้นสามารถแปลงเป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้โดยการแปลงรูปแบบใดชุดหนึ่งจากเซตที่กำหนด ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาความเท่าเทียมกันคือปัญหาในการลดรูปแบบเช่น เปลี่ยนมันให้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด

ในคำถามต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสอง จะมีการพิจารณาชุดการแปลงตัวแปรที่ยอมรับได้หลายชุดด้วย

ในคำถามของการวิเคราะห์ จะใช้การแปลงตัวแปรที่ไม่พิเศษใดๆ สำหรับวัตถุประสงค์ของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การแปลงมุมฉากเป็นที่สนใจมากที่สุด กล่าวคือ การแปลงที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแบบแปรผันหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง ในที่สุด ในทฤษฎีจำนวนและการแปลงเชิงเส้นของผลึกศาสตร์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและมีปัจจัยกำหนดเท่ากับความสามัคคีจะถูกพิจารณา

เราจะพิจารณาปัญหาสองประการนี้: คำถามเรื่องการลดรูปแบบกำลังสองให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุดผ่านการแปลงที่ไม่ใช่เอกพจน์ และคำถามเดียวกันสำหรับการแปลงมุมตั้งฉาก ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าเมทริกซ์รูปกำลังสองถูกแปลงอย่างไรระหว่างการแปลงตัวแปรเชิงเส้น

อนุญาต โดยที่ A คือเมทริกซ์สมมาตรของค่าสัมประสิทธิ์รูปแบบ X คือคอลัมน์ของตัวแปร

เรามาสร้างการแปลงเชิงเส้นของตัวแปรกัน โดยเขียนย่อว่า . โดยที่ C หมายถึงเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของการแปลงนี้ X คือคอลัมน์ของตัวแปรใหม่ จากนั้นและด้วยเหตุนี้ ดังนั้น เมทริกซ์ของรูปกำลังสองที่ถูกเปลี่ยนรูปจึงเป็นเช่นนี้

เมทริกซ์จะกลายเป็นสมมาตรโดยอัตโนมัติ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบ ดังนั้น ปัญหาในการลดรูปแบบกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดจึงเทียบเท่ากับปัญหาในการลดเมทริกซ์สมมาตรให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดโดยการคูณเมทริกซ์ทางซ้ายและขวาด้วยเมทริกซ์ที่สลับกัน

รูปร่างกำลังสอง

รูปร่างกำลังสอง f(x 1, x 2,...,x n) ของตัวแปร n ตัวคือผลรวม ซึ่งแต่ละพจน์จะเป็นกำลังสองของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง หรือผลคูณของตัวแปรสองตัวที่ต่างกัน ซึ่งใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่แน่นอน: f (x 1, x 2, ...,xn) = (ก อิจ = อาจิ)

เมทริกซ์ A ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่าเมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง ก็เสมอกัน สมมาตรเมทริกซ์ (เช่น เมทริกซ์สมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก a ij = a ji)

ในรูปแบบเมทริกซ์ รูปแบบกำลังสองคือ f(X) = X T AX โดยที่

อย่างแท้จริง

ตัวอย่างเช่น ลองเขียนรูปกำลังสองในรูปแบบเมทริกซ์

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาเมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสอง องค์ประกอบในแนวทแยงจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรกำลังสอง และองค์ประกอบที่เหลือจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของรูปแบบกำลังสอง นั่นเป็นเหตุผล

ปล่อยให้เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร X ได้รับโดยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของเมทริกซ์คอลัมน์ Y เช่น X = CY โดยที่ C คือเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ในลำดับที่ n แล้วก็รูปกำลังสอง
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y

ดังนั้น ด้วยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง C เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองจึงมีรูปแบบ: A * = C T AC

ตัวอย่างเช่น ลองหารูปแบบกำลังสอง f(y 1, y 2) ซึ่งได้มาจากรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 โดยการแปลงเชิงเส้น

รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ตามบัญญัติ(มันมี มุมมองที่เป็นที่ยอมรับ) ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด a ij = 0 สำหรับ i ≠ j เช่น
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 =

เมทริกซ์ของมันคือเส้นทแยงมุม

ทฤษฎีบท(ไม่ได้ให้หลักฐานที่นี่) รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถถูกลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน
ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ขั้นแรกให้เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 1:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3

ตอนนี้เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 2:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

จากนั้นการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 และ y 3 = x 3 นำรูปแบบกำลังสองนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐาน f(y 1, y 2 , ปี 3) = 2ปี 1 2 - 5ปี 2 2 - (1/20)ปี 3 2 .

โปรดทราบว่ารูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสองถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ (รูปแบบกำลังสองเดียวกันสามารถลดเป็นรูปแบบมาตรฐานในรูปแบบบัญญัติได้หลายวิธี) อย่างไรก็ตาม รูปแบบมาตรฐานที่ได้รับจากวิธีการต่างๆ มีคุณสมบัติทั่วไปหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก (ลบ) ของรูปแบบกำลังสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการลดรูปแบบให้อยู่ในรูปแบบนี้ (ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่พิจารณาว่าจะมีค่าสัมประสิทธิ์ลบสองตัวและค่าบวกหนึ่งตัวเสมอ) คุณสมบัตินี้มีชื่อว่า กฎความเฉื่อยของรูปแบบกำลังสอง.

ขอให้เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยนำรูปแบบกำลังสองเดียวกันมาสู่รูปแบบมาตรฐานในรูปแบบที่ต่างออกไป มาเริ่มการแปลงด้วยตัวแปร x 2:
ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (ปี 1 , ปี 2 , ปี 3) = -3ปี 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 โดยที่ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 และ y 3 = x 1 . ที่นี่มีค่าสัมประสิทธิ์บวกเป็น 2 ที่ y 3 และค่าสัมประสิทธิ์ลบสองตัว (-3) ที่ y 1 และ y 2 (และเมื่อใช้วิธีอื่นเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์บวกเป็น 2 ที่ y 1 และค่าสัมประสิทธิ์ลบสองตัว - (-5) ที่ y 2 และ (-1/20) ที่ y 3)

ควรสังเกตด้วยว่าอันดับของเมทริกซ์รูปแบบกำลังสองเรียกว่า อันดับของรูปแบบกำลังสองเท่ากับจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของรูปแบบมาตรฐานและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้น

รูปแบบกำลังสอง f(X) เรียกว่า ในเชิงบวก (เชิงลบ) แน่ใจถ้าสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันจะเป็นค่าบวกนั่นคือ f(X) > 0 (ลบ เช่น
ฉ(เอ็กซ์)< 0).

ตัวอย่างเช่น รูปกำลังสอง f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 เป็นรูปบวกแน่นอน เพราะ คือผลรวมของกำลังสอง และรูปแบบกำลังสอง f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 เป็นค่าแน่นอนที่เป็นลบ เนื่องจาก แสดงว่าสามารถแสดงเป็น f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2

ในสถานการณ์จริงส่วนใหญ่ การสร้างเครื่องหมายที่แน่นอนของรูปกำลังสองเป็นเรื่องยากกว่า ดังนั้นในกรณีนี้เราใช้ทฤษฎีบทใดทฤษฎีหนึ่งต่อไปนี้ (เราจะกำหนดโดยไม่ต้องพิสูจน์)

ทฤษฎีบท- รูปแบบกำลังสองเป็นบวก (ลบ) แน่นอนหากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นบวก (ลบ)

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ซิลเวสเตอร์)- รูปแบบกำลังสองมีค่าเป็นบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อค่ารองนำหน้าทั้งหมดของเมทริกซ์ในรูปแบบนี้เป็นบวกเท่านั้น

หลัก (มุม) ผู้เยาว์เมทริกซ์ลำดับที่ k ของเมทริกซ์ A ของลำดับที่ n เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วย k แถวและคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A ()

โปรดทราบว่าสำหรับรูปกำลังสองแน่นอนที่เป็นลบ เครื่องหมายของตัวรองหลักจะสลับกัน และตัวรองอันดับแรกต้องเป็นค่าลบ

ตัวอย่างเช่น ลองตรวจสอบรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 เพื่อดูความแน่นอนของเครื่องหมาย

= (2 - ลิตร)*
*(3 - ลิตร) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; ง = 25 – 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก

วิธีที่ 2 Principal minor ของลำดับแรกของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 = 2 > 0 Principal minor ของลำดับที่สอง D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0 ดังนั้น ตามเกณฑ์ของ Sylvester รูปแบบกำลังสองคือ บวกแน่นอน

เราตรวจสอบรูปแบบกำลังสองอีกรูปแบบหนึ่งเพื่อหาค่าแน่นอนของเครื่องหมาย f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (-2 - ลิตร)*
*(-3 - ลิตร) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; ง = 25 – 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนเชิงลบ