في مختلف فروع الرياضيات، وكذلك في تطبيق الرياضيات في التكنولوجيا، غالبا ما يحدث الوضع عندما يتم تنفيذ العمليات الجبرية ليس على الأرقام، ولكن على كائنات ذات طبيعة مختلفة. على سبيل المثال، إضافة المصفوفات، ضرب المصفوفات، إضافة المتجهات، العمليات على كثيرات الحدود، العمليات على التحويلات الخطية، إلخ.

التعريف 1. الحلقة عبارة عن مجموعة من الكائنات الرياضية التي يتم فيها تحديد إجراءين - "الجمع" و"الضرب"، اللذين يربطان أزواج العناصر المرتبة بـ "المجموع" و"المنتج"، وهما عناصر من نفس المجموعة. تلبي هذه الإجراءات المتطلبات التالية:

1.أ+ب=ب+أ(إبدالية الإضافة).

2.(أ+ب)+ج=أ+(ب+ج)(رابطة الإضافة).

3. هناك عنصر صفر 0 هكذا أ+0=أ، لأي أ.

4. لأي شخص أهناك عنصر معاكس - أمثل ذلك أ+(−أ)=0.

5. (أ+ب)ج=أ+ج(التوزيع الأيسر).

5".ج(أ+ب)=ك+كب(التوزيع الصحيح).

المتطلبات 2، 3، 4 تعني أن مجموعة الكائنات الرياضية تشكل مجموعة، ومع النقطة 1 نحن نتعامل مع مجموعة تبادلية (أبيلية) فيما يتعلق بالجمع.

كما يتبين من التعريف، في تعريف عامالحلقات، لا توجد قيود مفروضة على الضرب غير التوزيع مع الجمع. ومع ذلك، في مواقف مختلفة، يصبح من الضروري النظر في الحلقات ذات المتطلبات الإضافية.

6. (أ ب) ج = أ (ق)(رابطة الضرب).

7.أب=با(إبدالية الضرب).

8. وجود عنصر واحد 1 أي . هذه أ·1=1· أ=أ، لأي عنصر أ.

9. لأي عنصر من العناصر أهناك عنصر معكوس أ-1 هكذا أأ −1 =أ −1 أ= 1.

في حلقات مختلفة يمكن تنفيذ 6، 7، 8، 9 إما بشكل منفصل أو في مجموعات مختلفة.

تسمى الحلقة ترابطية إذا تم استيفاء الشرط 6، وتبديلية إذا تم استيفاء الشرط 7، وتسمى تبادلية وترابطية إذا تم استيفاء الشرطين 6 و 7. وتسمى الحلقة حلقة ذات هوية إذا تم استيفاء الشرط 8.

أمثلة على الحلقات:

1. مجموعة من المصفوفات المربعة.

حقًا. إن استيفاء النقاط 1-5، 5" واضح. عنصر الصفر هو مصفوفة الصفر. بالإضافة إلى ذلك، تم استيفاء النقطة 6 (ارتباطية الضرب)، النقطة 8 (عنصر الوحدة هو مصفوفة الوحدة). النقطتان 7 و 9 لا يتم تحقيقها لأنه في الحالة العامة، يكون ضرب المصفوفات المربعة غير تبادلي، كما أن معكوس المصفوفة المربعة لا يوجد دائمًا.

2. مجموعة جميع الأعداد المركبة.

3. الكثير من الجميع أرقام حقيقية.

4. مجموعة جميع الأعداد النسبية.

5. مجموعة جميع الأعداد الصحيحة.

التعريف 2. يسمى أي نظام من الأرقام يحتوي على مجموع وفرق ومنتج أي رقمين من أرقامه حلقة رقم.

الأمثلة من 2 إلى 5 هي حلقات أرقام. حلقات الأعداد هي أيضًا جميعها أرقام زوجية، وكذلك جميع الأعداد الصحيحة القابلة للقسمة بدون باقي على عدد طبيعي n. لاحظ أن مجموعة الأرقام الفردية ليست حلقة لأن مجموع رقمين فرديين هو عدد زوجي.

نعلم من دورة البرمجة أنه يمكن تمثيل عدد صحيح في ذاكرة الكمبيوتر بطرق مختلفة، على وجه الخصوص، يعتمد هذا التمثيل على كيفية وصفه: كقيمة من النوع عدد صحيح، أو حقيقي، أو سلسلة. علاوة على ذلك، في معظم لغات البرمجة، تُفهم الأعداد الصحيحة على أنها أرقام من نطاق محدود جدًا: الحالة النموذجية هي من -2 15 = -32768 إلى 2 15 - 1 = 32767. الأنظمة جبر الكمبيوترالتعامل مع الأعداد الصحيحة الكبيرة، على وجه الخصوص، يمكن لأي نظام من هذا القبيل حساب وعرض أرقام النموذج 1000 بالتدوين العشري! (أكثر من ألف حرف).

في هذه الدورة، سننظر في تمثيل الأعداد الصحيحة في شكل رمزي ولن نخوض في التفاصيل حول مقدار الذاكرة المخصصة لتسجيل حرف واحد (بت أو بايت أو غير ذلك). الأكثر شيوعًا هو تمثيل الأعداد الصحيحة في أنظمة الأرقام الموضعية. ويتم تحديد مثل هذا النظام من خلال اختيار قاعدة الأرقام، على سبيل المثال، 10. عادة ما يتم وصف مجموعة الأعداد الصحيحة العشرية على النحو التالي:

التعريف المكتوب للأعداد الصحيحة يعطي تمثيلاً لا لبس فيه لكل رقم من هذا القبيل، ويتم استخدام تعريف مماثل (فقط، ربما على أساس مختلف) في معظم الأنظمة جبر الكمبيوتر. باستخدام هذا التمثيل، يكون من السهل تنفيذ العمليات الحسابية على الأعداد الصحيحة. علاوة على ذلك، فإن الجمع والطرح عمليتان "رخيصتان" نسبيًا، في حين أن الضرب والقسمة "باهظتا الثمن". عند تقييم مدى تعقيد العمليات الحسابية، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار تكلفة العملية الأولية (رقم واحد) وعدد العمليات المكونة من رقم واحد لإجراء أي عملية على أرقام متعددة الأرقام. يرجع تعقيد الضرب والقسمة، في المقام الأول، إلى حقيقة أنه مع زيادة طول الرقم (تسجيله في أي نظام أرقام)، يزداد عدد العمليات الأولية وفقًا للقانون التربيعي، على عكس القانون الخطي قانون الجمع والطرح. بالإضافة إلى ذلك، فإن ما نسميه عادة خوارزمية لتقسيم الأعداد المكونة من أرقام متعددة يعتمد في الواقع على بحث (غالبًا ما يكون مهمًا جدًا) عن الرقم التالي المحتمل للحاصل، ولا يكفي مجرد استخدام قواعد قسمة الأرقام الفردية أعداد. إذا كانت قاعدة نظام الأرقام كبيرة (غالبًا ما تكون في حدود 2 30)، فإن هذه الطريقة غير فعالة.

ليكن عدداً طبيعياً (مكتوباً بالنظام العشري). للحصول على سجله في نظام الأرقام -ary، يمكنك استخدام الخوارزمية التالية (تشير إلى الجزء الصحيح من الرقم):

معطى: أ- عدد طبيعي في نظام الأرقام العشري k > 1- عدد طبيعي مطلوب: أ- تسجيل الرقم A في نظام الأرقام k-ary ابدأ i:= 0 دورة حتى A > 0 bi:= A (mod k ) A:= i:= i + 1 نهاية الدورة dA:= i - 1 نهاية

لاستعادة رقم عشري من تسلسل تدوينه k-ary، يتم استخدام الخوارزمية التالية:

معطى: k > 1- تسلسل رقمي طبيعي للأرقام التي تمثل الرقم A في نظام k-ary المطلوب: A- تسجيل الرقم A في نظام الأرقام العشري بدء دورة A:= 0 حتى نهاية التسلسل b:= العنصر التالي من التسلسل A:= A * k + b نهاية الحلقة End

1.2. يمارس. اشرح لماذا يتم استخدام القسمة لتحويل رقم من النظام العشري إلى النظام k-ary، ويتم استخدام الضرب للتحويل من النظام k-ary إلى النظام العشري.

من خلال ضرب "عمود" رقمين مكونين من رقمين في نظام الأرقام العشرية، نقوم بإجراء العمليات التالية:

(10 أ + ب) (10 ج + د) = 100 أ + 10 (أ + ب) + د.

أي 4 عمليات ضرب للأعداد المكونة من رقم واحد، و3 عمليات جمع، وعمليتي ضرب بقوة الجذر، والتي يتم اختزالها إلى إزاحة. عند تقييم التعقيد، يمكنك أن تأخذ في الاعتبار جميع العمليات الأولية دون تقسيمها على الأوزان (في هذا المثال لدينا 9 عمليات أولية). مع هذا النهج، يتم تقليل مشكلة تحسين الخوارزمية إلى تقليل العدد الإجمالي للعمليات الأولية. ومع ذلك، يمكن اعتبار أن الضرب عملية "أكثر تكلفة" من عملية الجمع، والتي بدورها "أكثر تكلفة" من عملية النقل. بالنظر فقط إلى العمليات الأكثر تكلفة، نحصل على ذلك مضاعفصعوبة ضرب الأعداد المكونة من رقمين في عمود هي 4.

يناقش القسم 5 خوارزميات حساب القاسم المشترك الأكبر ويقيم مدى تعقيدها.

التمثيل المدروس ليس هو التمثيل القانوني الوحيد للأعداد الصحيحة. كما ذكرنا سابقًا، لاختيار تمثيل قانوني، يمكنك استخدام تفرد تحلل الرقم الطبيعي إلى عوامل أولية. يمكن استخدام هذا التمثيل لعدد صحيح في تلك المهام التي يتم فيها استخدام عمليات الضرب والقسمة فقط، لأنها تصبح "رخيصة" للغاية، ولكن تكلفة عمليات الجمع والطرح تزداد بشكل غير متناسب، مما يمنع استخدام مثل هذا التمثيل. في بعض المشاكل، يؤدي التخلي عن التمثيل الأساسي إلى تحقيق مكاسب كبيرة في الأداء، وعلى وجه الخصوص، يمكن استخدام التحليل الجزئي للرقم. طريقة مماثلة مفيدة بشكل خاص عند العمل ليس مع الأرقام، ولكن مع كثيرات الحدود.

إذا كان من المعروف أنه أثناء تشغيل البرنامج، فإن جميع الأعداد الصحيحة التي تمت مواجهتها في الحسابات تكون محدودة بالقيمة المطلقة بواسطة ثابت معين، ثم لتحديد هذه الأرقام، يمكن للمرء استخدام نظام المخلفات الخاص به modulo بعض أرقام coprime، التي يتجاوز ناتجها الثابت المذكور. تكون العمليات الحسابية ذات الفئات المتبقية أسرع بشكل عام من العمليات الحسابية متعددة الدقة. ومع هذا النهج، يجب استخدام الحساب متعدد الدقة فقط عند إدخال المعلومات أو إخراجها.

لاحظ أنه بالإضافة إلى التمثيلات الأساسية في الأنظمة جبر الكمبيوتروتستخدم أيضا تمثيلات أخرى. على وجه الخصوص، من المرغوب فيه ألا يؤثر وجود أو عدم وجود علامة "+" أمام عدد صحيح على إدراك الكمبيوتر له. وهكذا، بالنسبة للأرقام الموجبة، يتم الحصول على تمثيل غامض، على الرغم من أن شكل الأرقام السالبة يتم تحديده بشكل فريد.

الشرط الآخر هو أن إدراك الرقم لا ينبغي أن يتأثر بوجود الأصفار قبل أول رقم مهم.

1.3. تمارين.

1. قم بتقدير عدد الضربات المكونة من رقم واحد المستخدمة عند ضرب عدد مكون من رقم m في عمود مكون من رقم n.
2. بيّن أنه يمكن ضرب عددين مكونين من رقمين باستخدام 3 مضاعفات مكونة من رقم واحد فقط وزيادة عدد عمليات الجمع.
3. ابحث عن خوارزمية لتقسيم الأعداد الطويلة التي لا تتطلب الكثير من البحث عند العثور على الرقم الأول من حاصل القسمة.
4. وصف خوارزمية الترجمة الأعداد الطبيعيةمن نظام الأرقام m-ary إلى نظام الأرقام n-ary.
5. في الترقيم الرومانيتُستخدم الرموز التالية لكتابة الأرقام: I - واحد، V - خمسة، X - عشرة، L - خمسون، C - مائة، D - خمسمائة، M - ألف. يعتبر الرمز سالبًا إذا كان هناك رمز لعدد أكبر على يمينه، وموجبًا بخلاف ذلك. على سبيل المثال، سيتم كتابة الرقم 1948 في هذا النظام على النحو التالي: MCMXLVIII. صياغة خوارزمية لتحويل رقم من الرقم الروماني إلى العشري وبالعكس. تنفيذ الخوارزمية الناتجة بإحدى اللغات الخوارزمية (على سبيل المثال، C). القيود المفروضة على البيانات المصدر: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. صياغة خوارزمية وكتابة برنامج لإضافة الأعداد الطبيعية بالترقيم الروماني.
7. سنقول أننا نتعامل مع نظام أرقام أساس مختلط أو متجه، إذا تم إعطاؤنا متجهًا لعدد n من الأعداد الطبيعية M = (m 1 , . . . , m n) (الجذر) والرمز K = (k 0 , k 1 , . . . , k n ) يشير إلى الرقم ك = ك 0 +م 1 (ك 1 + م 2 (ك 2 +· · ·+م ن ·ك ن)...)). اكتب برنامجًا يحدد بناءً على البيانات (يوم الأسبوع، الساعات، الدقائق، الثواني) عدد الثواني التي مرت منذ بداية الأسبوع (الاثنين، 0، 0، 0) = 0، ويقوم بالتحويل العكسي.

أمثلة

أ + ب أنا (\displaystyle a+bi)أين أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b)أرقام نسبية، أنا (\displaystyle i)- وحدة خيالية . ويمكن جمع وضرب مثل هذه العبارات وفقا للقواعد المعتادة للعمليات على الأعداد المركبة، ولكل عنصر غير الصفر معكوس، كما يتبين من المساواة (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( أ+ثنائية)(أ-ثنائية))(أ^(2)+ب^(2)))=1.)ويترتب على ذلك أن الأعداد الغوسية العقلانية تشكل حقلاً، وهو عبارة عن فضاء ثنائي الأبعاد (أي حقل تربيعي).

• بشكل أعم، لأي عدد صحيح خالٍ من المربعات د (\displaystyle d) س (د) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d))))سيكون امتداد المجال التربيعي س (\displaystyle \mathbb (Q)).
• مجال دائري س (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n)))تم الحصول عليها عن طريق إضافة إلى س (\displaystyle \mathbb (Q))الجذر البدائي ن-قوة الوحدة. يجب أن يحتوي الحقل على جميع قواه (أي جميع الجذور نقوة الوحدة) انتهى بعدها س (\displaystyle \mathbb (Q))يساوي دالة أويلر φ (ن) (\displaystyle \varphi (n)).
• الأعداد الحقيقية والمعقدة لها قوى لا نهائية على الأعداد النسبية، لذا فهي ليست حقولًا رقمية. هذا يتبع من عدم القدرة على العد: أي حقل رقم قابل للعد.
• مجال جميع الأعداد الجبرية ا (\displaystyle \mathbb (A))ليست رقمية. على الرغم من التوسع أ ⊃ س (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q))جبري، فهو ليس محدودا.

حلقة عدد صحيح لحقل الرقم

بما أن حقل الرقم هو امتداد جبري للحقل س (\displaystyle \mathbb (Q))، أي من عناصره هو جذر بعض كثيرات الحدود ذات المعاملات العقلانية (أي أنها جبرية). علاوة على ذلك، كل عنصر هو جذر كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة، حيث يمكن ضرب جميع المعاملات المنطقية في حاصل ضرب المقامات. إذا كان هذا العنصر هو جذر بعض كثيرات الحدود الوحدوية ذات المعاملات الصحيحة، فإنه يسمى عنصرًا صحيحًا (أو عددًا صحيحًا جبريًا). ليست كل عناصر حقل الأرقام هي أعداد صحيحة: على سبيل المثال، من السهل إظهار أن العناصر الوحيدة هي أعداد صحيحة س (\displaystyle \mathbb (Q))هي أعداد صحيحة عادية.

يمكن إثبات أن مجموع وحاصل ضرب عددين صحيحين جبريين هو مرة أخرى عدد صحيح جبري، وبالتالي فإن عناصر العدد الصحيح تشكل حلقة فرعية من حقل الرقم ك (\displaystyle K)، مُسَمًّى حلقة كاملةمجالات ك (\displaystyle K)والمشار إليها ب . لا يحتوي الحقل على مقسومات صفرية، ويتم توريث هذه الخاصية عند المرور إلى سلسلة فرعية، وبالتالي فإن حلقة الأعداد الصحيحة تكون متكاملة؛ مجال الحلقة الخاصة O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- هذا هو المجال نفسه ك (\displaystyle K). تتميز حلقة الأعداد الصحيحة لأي حقل رقم بالخصائص الثلاث التالية: مغلقة بشكل متكامل، نويثيرية، وأحادية البعد. تسمى الحلقة التبادلية التي تتمتع بمثل هذه الخصائص بحلقة ديديكيند، نسبة إلى ريتشارد ديديكيند.

التحلل التمهيدي والمجموعة الطبقية

في حلقة ديديكيند الاعتباطية، هناك تحلل فريد للمثل غير الصفرية إلى منتج من الأعداد الأولية. ومع ذلك، ليست كل حلقة من الأعداد الصحيحة تستوفي خاصية العاملية: بالفعل بالنسبة لحلقة الأعداد الصحيحة في المجال التربيعي O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))))))التحلل ليس فريدًا:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

من خلال إدخال قاعدة على هذه الحلقة، يمكننا أن نبين أن هذه التوسعات مختلفة بالفعل، أي أنه لا يمكن الحصول على أحدهما من الآخر عن طريق الضرب في عنصر قابل للعكس.

يتم قياس درجة انتهاك الخاصية المضروب باستخدام مجموعة الفئات المثالية؛ هذه المجموعة لحلقة من الأعداد الصحيحة تكون دائمًا محدودة ويسمى ترتيبها عدد الفئات.

عدد قواعد الحقول

أساس كامل

أساس كاملحقل الرقم Fدرجات ن- هذا كثير

ب = {ب 1 , …, ب ن}

من نعناصر حلقة الحقول الصحيحة F، بحيث يكون أي عنصر من عناصر حلقة الأعداد الصحيحة لمجالات Fالطريقة الوحيدة لكتابتها هي كما ز- مجموعة خطية من العناصر ب; وهذا هو، لأي شخص سمن لهناك تحلل واحد فقط

س = م 1 ب 1 + … + م ن ب ن,

أين م ط- الأعداد الصحيحة العادية. في هذه الحالة، أي عنصر Fيمكن كتابتها كما

م 1 ب 1 + … + م ن ب ن,

أين م ط- أرقام نسبية. بعد هذا عناصر كاملة Fتتميز بخاصية أن هذه هي بالضبط تلك العناصر التي من أجلها كل شيء م طجميع.

باستخدام أدوات مثل التعريب وFrobenius endomorphism، يمكن للمرء بناء مثل هذا الأساس لأي مجال رقم. يعد بنائها ميزة مدمجة في العديد من أنظمة الجبر الحاسوبية.

أساس القوة

يترك F- الحقل الرقمي للدرجة ن. من بين جميع القواعد الممكنة F(كيف س-مساحة متجهة)، هناك قواعد قوة، أي قواعد النموذج

ب × = {1, س, س 2 , …, س ن−1 }

بالنسبة للبعض س ∈ F. وفقا لنظرية العنصر البدائي، مثل سموجود دائما، ويسمى عنصر بدائيمن هذا التمديد.

القاعدة والتتبع

حقل الأرقام الجبرية هو عبارة عن مساحة متجهة ذات أبعاد محدودة س (\displaystyle \mathbb (Q))(نشير إلى أبعادها كـ ن (\displaystyle n)) ، والضرب بعنصر حقل عشوائي هو تحويل خطي لهذا الفضاء. يترك ه 1 , ه 2 , … ه n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- بعض الأساس F، ثم التحول س ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x)يتوافق مع المصفوفة ا = (ا ط ي) (\displaystyle A=(a_(ij)))، يحدده الشرط

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

تعتمد عناصر هذه المصفوفة على اختيار الأساس، لكن جميع ثوابت المصفوفة، مثل المحدد والأثر، لا تعتمد عليه. في سياق الامتدادات الجبرية، يسمى محدد مصفوفة ضرب العناصر القاعدةهذا العنصر (المشار إليه ن (خ) (\displaystyle N(x))); تتبع المصفوفة - العنصر التالي(يعني Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

إن تتبع العنصر هو دالة خطية F:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (ص))و Tr (π x) = ω Tr (x) , ο ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (س)).

القاعدة هي وظيفة مضاعفة ومتجانسة:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y))و N (π x) = ẫ n N (x) , ο ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q)) ).

يمكنك اختيار أساس عدد صحيح كأساس أولي؛ فالضرب بعدد صحيح جبري (أي بعنصر من عناصر حلقة الأعداد الصحيحة) في هذا الأساس سوف يتوافق مع مصفوفة ذات عناصر صحيحة. لذلك، فإن أثر وقاعدة أي عنصر في حلقة الأعداد الصحيحة هي أعداد صحيحة.

مثال على استخدام القاعدة

يترك د (\displaystyle d)- - عنصر صحيح، لأنه جذر كثير الحدود المختزل س 2 − د (\displaystyle x^(2)-d)). وعلى هذا الأساس الضرب بـ أ + ب د (\displaystyle a+b(\sqrt (d)))يتوافق مع المصفوفة

(أ د ب ب أ) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

لذلك، N (أ + ب د) = أ 2 − د ب 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). بالنسبة لعناصر الحلقة، تأخذ هذه القاعدة قيمًا صحيحة. القاعدة هي تماثل المجموعة المضاعفة Z [ d ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))])لكل مجموعة الضرب Z (\displaystyle \mathbb (Z))وبالتالي فإن قاعدة العناصر المقلوبة للحلقة لا يمكن أن تساوي إلا 1 (\displaystyle 1)أو − 1 (\displaystyle -1). لحل معادلة بيل أ 2 − د ب 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1)، يكفي العثور على جميع العناصر القابلة للعكس في حلقة الأعداد الصحيحة (وتسمى أيضًا وحدات الدائري) وتحديد من بينهم تلك التي لديها القاعدة 1 (\displaystyle 1). وفقًا لنظرية وحدة ديريشليت، فإن جميع العناصر القابلة للعكس في حلقة معينة هي قوى لعنصر واحد (حتى الضرب في − 1 (\displaystyle -1))، لذلك، لإيجاد جميع الحلول لمعادلة بيل، يكفي إيجاد حل أساسي واحد.

أنظر أيضا

الأدب

• إتش كوخ.نظرية الأعداد الجبرية. - م: فينيتي، 1990. - ت 62. - 301 ص. - (نتائج العلوم والتكنولوجيا. سلسلة "المشكلات الحديثة في الرياضيات. اتجاهات أساسية.").
• تشيبوتاريف ن.ج.أساسيات نظرية جالوا. الجزء 2. - م.: افتتاحية URSS، 2004.
• ويل ج.نظرية الأعداد الجبرية. لكل. من اللغة الإنجليزية - م: افتتاحية URSS، 2011.
• سيرج لانج، نظرية الأعداد الجبرية، الطبعة الثانية، سبرينغر، 2000

تسمى الحلقة التي يتم فيها إدخال العلاقة "أن تكون أكبر من الصفر" (يشار إليها بـ > 0). حلقة تقع، إذا تم استيفاء شرطين لأي عنصر من عناصر هذه الحلقة:

1) أن يتحقق شرط واحد فقط

أ > 0 \/ –أ >0 \/ أ = 0

2) أ > 0 /\ ب > 0 => أ + ب > 0 /\ أب > 0.

تسمى المجموعة التي يتم فيها إدخال علاقة ترتيبية ما - غير صارمة (انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية) أو صارمة (مضادة للانعكاسية ومتعدية) أمر. إذا تم استيفاء قانون الانقسام الثلاثي، فسيتم استدعاء المجموعة خطيأمر. إذا لم نأخذ في الاعتبار مجموعة تعسفية، ولكن بعض الأنظمة الجبرية، على سبيل المثال، حلقة أو حقل، فمن أجل ترتيب مثل هذا النظام، فإننا نقدم أيضًا متطلبات الرتابة فيما يتعلق بالعمليات المقدمة في هذا النظام (البنية الجبرية). لذا حلقة/حقل مرتبةعبارة عن حلقة/مجال غير صفري يتم فيه تقديم علاقة ترتيب خطية (a > b) تستوفي شرطين:

1) أ > ب => أ + ج > ب + ج؛

2) أ > ب, ج > 0 => أ ج > ب ج;

النظرية 1.أي حلقة موجودة هي نظام (حلقة) مرتبة.

في الواقع، إذا تم إدخال العلاقة "أن تكون أكبر من 0" في حلقة، فيمكن إدخال العلاقة الأكبر من عنصرين اعتباطيين إذا افترضنا ذلك

أ > ب  أ – ب > 0.

وهذا الموقف هو موقف صارم، ترتيب خطي.

هذه العلاقة "أكبر من" مضادة للانعكاس، حيث أن الشرط a > a يعادل الشرط a – a > 0، وهذا الأخير يناقض حقيقة أن a – a = 0 (وفقًا للشرط الأول للحلقة الموجودة، لا يمكن أن يكون العنصر أكبر من 0 ويساوي 0). وبالتالي، فإن العبارة a > a خاطئة لأي عنصر a، وبالتالي فإن العلاقة مضادة للانعكاس.

لنثبت العبور: إذا كان a > b و b > c، فإن a > c. بحكم التعريف، يترتب على شروط النظرية أن a – b > 0 و b – c > 0. وبإضافة هذين العنصرين أكبر من الصفر، نحصل مرة أخرى على عنصر أكبر من الصفر (وفقًا للشرط الثاني للموقع جرس):

أ – ب + ب – ج = أ – ج > 0.

وهذا الأخير يعني أن أ> ج. وبالتالي، فإن العلاقة المقدمة هي علاقة نظام صارم. علاوة على ذلك، فإن هذه العلاقة هي علاقة ترتيب خطي، أي لمجموعة الأعداد الطبيعية، نظرية الانقسام الثلاثي:

في أي عددين طبيعيين، تكون واحدة فقط من العبارات الثلاثة التالية صحيحة:

في الواقع (بسبب الشرط الأول للحلقة الموجودة) للرقم أ – ب واحد فقط من الشروط صحيح:

1) أ – ب > 0 = > أ > ب

2) – (أ – ب) = ب – أ > 0 => ب > أ

3) أ – ب = 0 = > أ = ب.

تنطبق خصائص الرتابة أيضًا على أي حلقة موجودة. حقًا

1) أ > ب => أ – ب > 0 = > أ + ج – ج – ب > 0 = > أ + ج > ب + ج;

2) a > b /\ c > 0 => a – b > 0 => (حسب الشرط الثاني للحلقة الموجودة) (a – b)c > 0 => ac – bc > 0 => ac > bc .

وبذلك أثبتنا أن أي حلقة موجودة هي حلقة مرتبة (نظام مرتبة).

ستكون الخصائص التالية صالحة أيضًا لأي حلقة موجودة:

أ) أ + ج > ب + ج => أ > ب؛

ب) أ > ب /\ ج > د => أ + ج > ب + د؛

ج) أ> ب /\ ج< 0=>أج< bc;

تحدث نفس الخصائص لعلامات أخرى<, , .

لنثبت، على سبيل المثال، الخاصية (ج). بحكم التعريف، من الشرط أ > ب يتبع أن أ – ب > 0، ومن الشرط ج< 0 (0 >ج) ويترتب على ذلك أن 0 – ج > 0، وبالتالي الرقم – ج > 0، ضرب رقمين موجبين (أ – ب)(–ج). وستكون النتيجة أيضًا إيجابية وفقًا للشرط الثاني للحلقة الموجودة، أي

(أ – ب)(–ج) > 0 => –AC + قبل الميلاد > 0 => قبل الميلاد – ميلان > 0 => قبل الميلاد > ميلان => ميلان< bc,

Q.E.D.

د) أأ = أ 2  0؛

دليل: حسب الشرط الأول للحلقة الموجودة، إما a > 0، أو –a > 0، أو a = 0. دعونا ننظر في هذه الحالات بشكل منفصل:

1) أ > 0 => أأ > 0 (حسب الشرط الثاني للحلقة الموجودة) => أ 2 > 0.

2) –أ > 0 => (–أ)(–أ) > 0، ولكن بخاصية الحلقة (–أ)(–أ) = аа = أ 2 > 0.

3) أ = 0 => أأ = أ 2 = 0.

وهكذا، في جميع الحالات الثلاث 2 إما أكبر من الصفر أو يساوي 0، وهو ما يعني فقط أن 2 ≥ 0 وتم إثبات الخاصية (لاحظ أننا أثبتنا أيضًا ذلك مربع عنصر الحلقة الموجودة هو 0 إذا وفقط إذا كان العنصر نفسه هو 0).

ه) أب = 0  أ = 0 \/ ب = 0.

دليل: افترض العكس (ab = 0، ولكن لا a ولا b يساوي الصفر). ثم هناك خياران فقط ممكنان لـ a، إما a > 0، أو a > 0 (يتم استبعاد الخيار a = 0 من خلال افتراضنا). تنقسم كل حالة من هاتين الحالتين إلى حالتين أخريين اعتمادًا على b (إما b > 0 أو - b > 0). ثم هناك 4 خيارات:

أ > 0، ب > 0 => أب > 0؛

- أ > 0، ب > 0 => أب< 0;

أ >0، - ب > 0 => أب< 0;

– أ > 0 –ب > 0 => أب > 0.

وكما نرى فإن كل حالة من هذه الحالات تناقض الشرط ab = 0. وقد تم إثبات الخاصية.

الخاصية الأخيرة تعني أن الحلقة الموجودة هي منطقة تكامل، وهي أيضًا خاصية إلزامية للأنظمة المرتبة.

توضح النظرية 1 أن أي حلقة موجودة هي نظام مرتب. والعكس صحيح أيضًا - حيث يتم تحديد موقع أي حلقة مرتبة. في الواقع، إذا كانت هناك علاقة بين الحلقة a > b وأي عنصرين من عناصر الحلقة قابلان لبعضهما البعض، فإن 0 يكون قابلاً للمقارنة مع أي عنصر a، أي إما a > 0 أو a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. من أجل إثبات الأخير، نطبق خاصية رتابة الأنظمة المرتبة: على الجانبين الأيمن والأيسر من عدم المساواة أ< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

الشرط الثاني للحلقة الموجودة يتبع من خصائص الرتابة والعبور:

أ > 0، ب > 0 => أ + ب > 0 + ب = ب > 0 => أ +ب >0،

أ > 0، ب > 0 => أب > 0ب = 0 => أب > 0.

النظرية 2.حلقة الأعداد الصحيحة هي حلقة مرتبة (نظام مرتب).

دليل:دعونا نستخدم التعريف 2 لحلقة الأعداد الصحيحة (انظر 2.1). وفقا لهذا التعريف، أي عدد صحيح هو إما عدد طبيعي (يتم إعطاء الرقم n كـ [ ]، أو عكس الطبيعي (- n يتوافق مع الفئة [<1, n / >] أو 0 (الفئة [<1, 1>]). دعونا نقدم تعريف "أن يكون أكبر من الصفر" للأعداد الصحيحة وفقا للقاعدة:

أ > 0  أ  ن

ثم يتم استيفاء الشرط الأول للحلقة الموجودة تلقائيًا للأعداد الصحيحة: إذا كان a رقمًا طبيعيًا، فهو أكبر من 0، وإذا كان a هو عكس الرقم الطبيعي، فإن –a هو رقم طبيعي، أي أيضًا أكبر من 0، يكون الخيار a = 0 ممكنًا أيضًا، مما يؤدي أيضًا إلى انفصال حقيقي في الحالة الأولى للحلقة الموجودة. تنبع صحة الشرط الثاني للحلقة الموجودة من حقيقة أن مجموع ومنتج رقمين طبيعيين (أعداد صحيحة أكبر من الصفر) هو مرة أخرى رقم طبيعي، وبالتالي أكبر من الصفر.

وبالتالي، يتم نقل جميع خصائص الحلقات الموجودة تلقائيًا إلى جميع الأعداد الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك، فإن نظرية التمييز تنطبق على الأعداد الصحيحة (ولكن ليس على الحلقات المرتبة عشوائيًا):

نظرية التمييز.لا يمكنك إدراج أي عدد صحيح بين عددين صحيحين متجاورين:

( أ، س  ز) .

دليل: سننظر في جميع الحالات الممكنة لـ a، وسنفترض العكس، أي أن هناك x بحيث

أ< x < a +1.

1) إذا كان a عدداً طبيعياً فإن a+1 هو عدد طبيعي. بعد ذلك، وفقًا لنظرية التمييز للأعداد الطبيعية، لا يمكن إدراج أي رقم طبيعي x بين a و a / = a + 1، أي أن x، في أي حال، لا يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا. إذا افترضنا أن x = 0، فإن افتراضنا هو ذلك

أ< x < a +1

سوف يقودنا إلى حالة أ< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) أ = 0. ثم أ + 1 = 1. إذا تم استيفاء الشرط أ< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a سالب (–a > 0)، ثم a + 1  0. إذا كان a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

-أ-1< – x < –a,

أي أننا نصل إلى الموقف الذي تم النظر فيه في الحالة الأولى (بما أن كلاً من –a-1 و –a طبيعيان)، حيث لا يمكن أن يكون x عددًا صحيحًا، وبالتالي لا يمكن أن يكون x عددًا صحيحًا. الحالة التي يكون فيها a + 1 = 0 يعني أن a = -1

–1 < x < 0.

وبضرب هذه المتباينة في (-1)، نصل إلى الحالة 2. وبالتالي، فإن النظرية صالحة في جميع المواقف.

برج أرخميدس.لأي عدد صحيح أ وعدد صحيح ب > 0، يوجد عدد طبيعي n مثل أ< bn.

بالنسبة للطبيعي a، فقد تم بالفعل إثبات النظرية، حيث أن الشرط b > 0 يعني أن الرقم b طبيعي. بالنسبة لـ  0، تكون النظرية واضحة أيضًا، نظرًا لأن الجانب الأيمن bn هو عدد طبيعي، أي أكبر من الصفر أيضًا.

في حلقة من الأعداد الصحيحة (كما هو الحال في أي حلقة موجودة)، يمكننا تقديم مفهوم المعامل:

|أ| = .

خصائص الوحدات صالحة:

1) |أ + ب|  |أ| + |ب|;

2) |أ – ب|  |أ| – |ب|;

3) |أ  ب| = |أ|  |ب|.

دليل: 1) لاحظ أنه واضح من التعريف أن |a| هي كمية تكون دائمًا غير سالبة (في الحالة الأولى |a| = a ≥ 0، في الحالة الثانية |a| = –a، لكن a< 0, откуда –а >0). عدم المساواة |أ| ≥ أ، |أ| ≥ –a (المعامل يساوي التعبير المقابل إذا كان غير سالب، وأكبر منه إذا كان سالباً). متباينات مماثلة صالحة لـ b: |b| ≥ ب، |ب| ≥ -ب. وبجمع المتباينات المقابلة وتطبيق الخاصية (ب) للحلقات المرتبة، نحصل على ذلك

|أ| + |ب| ≥ أ + ب |أ| + |ب| ≥ – أ – ب.

وفقا لتعريف الوحدة

|أ+ب| =
,

لكن كلا التعبيرين على الجانب الأيمن من المساواة، كما هو موضح أعلاه، لا يتجاوزان |a| + |b|، مما يثبت الخاصية الأولى للوحدات النمطية.

2) استبدل a في الخاصية الأولى بـ a – b. نحن نحصل:

|أ – ب + ب| ≥ |أ – ب| + |ب|

|أ | ≥ |أ – ب| + |ب|

دعونا نتحرك |ب| من الجانب الأيمن إلى اليسار مع الإشارة المعاكسة

|أ| – | ب| ≥ |أ – ب| =>|أ – ب|  |أ| – |ب|.

ويترك إثبات الخاصية 3 للقارئ.

مهمة:حل المعادلة بالأعداد الصحيحة

2ص 2 + 3س ص – 2س 2 + س – 2ص = 5.

حل: دعونا نحلل الجانب الأيسر. للقيام بذلك، تخيل المصطلح 3xy = – xy + 4xy

2y 2 + 3xy – 2x 2 + x – 2y = 2y 2 – xy + 4xy – 2x 2 + x – 2y =

Y(2y – x) + 2x(2y – x) – (2y – x) = (y + 2x – 1)(2y – x).

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة المعادلة لدينا على النحو التالي

(ص + 2س – 1)(2ص – س) = 5.

وبما أننا نحتاج إلى حلها بأعداد صحيحة، فيجب أن يكون x وy أعدادًا صحيحة، مما يعني أن العوامل الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة هي أيضًا أعداد صحيحة. يمكن تمثيل الرقم 5 الموجود على الجانب الأيمن من المعادلة كحاصل ضرب العوامل الصحيحة بأربع طرق فقط:

5 = 51 = 15 = -5(-1) = -1(-5). ولذلك، فإن الخيارات التالية ممكنة:

1)
2)
3)
4)

من بين الأنظمة المدرجة، هناك (4) فقط لديها حل عدد صحيح:

س = 1، ص = –2.

مهام الحل المستقل

رقم 2.4. بالنسبة للعناصر a، b، c، d للحلقة ذات الموقع التعسفي، أثبت الخصائص:

أ) أ + ج > ب + ج => أ > ب؛ ب) أ > ب /\ ج > د => أ + ج > ب + د.

رقم 2.5. حل المعادلات بالأعداد الصحيحة:

أ) ص 2 - 2 س ص - 2 س = 6؛ ب) 2x 2 - 11xy + 12y 2 = 17؛ ج) 35xy + 5x – 7y = 1؛ د) × 2 - 3س ص + 2 ص 2 = 3؛ د) ;

و) ص + 3س – 5ص + 3 = 0؛ ز) 2xy - 3y 2 - 4y + 2x = 2؛ ح) س ص 2 + س = 48؛ ط) 1! + 2! + 3! + … + ن! = ص 2 ; ي) × 3 - 2ص 3 - 4ض 3 = 0

رقم 2.6. ابحث عن عدد مكون من أربعة أرقام يكون مربعًا كاملاً بحيث يكون أول رقمين منه متساويين وآخر رقمين منه متساويان.

رقم 2.7. أوجد عددًا مكونًا من رقمين يساوي مجموع عشراته ومربع وحداته.

رقم 2.8. أوجد عددًا مكونًا من رقمين يساوي ضعف حاصل ضرب أرقامه.

رقم 2.9. أثبت أن الفرق بين عدد مكون من ثلاثة أرقام ورقم مكتوب بنفس الأرقام بترتيب عكسي لا يمكن أن يكون مربع عدد طبيعي.

رقم 2.10. أوجد جميع الأعداد الطبيعية التي تنتهي بالرقم 91، والتي، بعد شطب هذه الأرقام، يتم اختزالها بعامل صحيح.

رقم 2.11. أوجد عددًا مكونًا من رقمين يساوي مربع وحداته مضافًا إلى مكعب العشرات.

رقم 2.12. ابحث عن رقم مكون من ستة أرقام يبدأ بالرقم 2، والذي يزيد بمقدار 3 مرات عند نقل هذا الرقم إلى نهاية الرقم.

رقم 2.13. يوجد أكثر من 40 ولكن أقل من 48 عددًا صحيحًا مكتوبًا على السبورة. المتوسط ​​الحسابي لجميع هذه الأرقام هو – 3، والمتوسط ​​الحسابي للأرقام الموجبة هو 4، والمتوسط ​​الحسابي للأرقام السالبة هو – 8. كم عدد الأرقام المكتوبة على السبورة؟ أي الأرقام أكبر، إيجابية أم سلبية؟ ما هو أقصى عدد ممكن من الأرقام الإيجابية؟

رقم 2.14. هل يمكن أن يكون حاصل قسمة عدد مكون من ثلاثة أرقام ومجموع أرقامه 89؟ هل يمكن أن يساوي هذا الحاصل 86؟ ما هي أقصى قيمة ممكنة لهذا الحاصل؟

الوكالة الفيدرالية للتعليم

ولاية مؤسسة تعليميةالتعليم المهني العالي

جامعة فياتكا الحكومية الإنسانية

كلية الرياضيات

قسم التحليل الرياضي وطرقه
تدريس الرياضيات

العمل التأهيلي النهائي

حول الموضوع: حلقة الأعداد الصحيحة الغوسية.

مكتمل:

طالب في السنة الخامسة

كلية الرياضيات

جنوسوف ف.

___________________________

المستشار العلمي:

محاضر كبير بالقسم

الجبر والهندسة

سيمينوف أ.ن.

___________________________

المراجع:

مرشح الفيزياء والرياضيات العلوم، أستاذ مشارك

قسم الجبر والهندسة

كوفازينا إي.م.

___________________________

تم قبوله للدفاع في لجنة تصديق الدولة

رأس القسم________________ فيشتوموف إي.م.

« »________________

عميد الكلية ___________________ فارانكينا ف.

مقدمة.

حلقة من الأعداد الصحيحة المعقدة

اكتشفه كارل غاوس وأطلق عليه اسم غاوسي تكريما له.

توصل K. Gauss إلى فكرة إمكانية وضرورة توسيع مفهوم العدد الصحيح فيما يتعلق بالبحث عن خوارزميات لحل مقارنات الدرجة الثانية. قام بنقل مفهوم العدد الصحيح إلى أرقام النموذج

، حيث توجد أعداد صحيحة اعتباطية، وهي جذر المعادلة. في مجموعة معينة، كان K. Gauss أول من قام ببناء نظرية قابلية القسمة، على غرار نظرية قابلية قسمة الأعداد الصحيحة. وأثبت صحة الخصائص الأساسية للقسمة؛ أظهر أنه في حلقة الأعداد المركبة لا يوجد سوى أربعة عناصر قابلة للعكس: ; أثبت صحة نظرية القسمة على الباقي، نظرية تفرد التحليل؛ أظهر الأعداد الطبيعية الأولية التي ستبقى أولية في الحلقة؛ اكتشف طبيعة الأعداد الصحيحة البسيطة والأعداد المركبة.

كانت النظرية التي طورها ك. غاوس، والموصوفة في عمله "الدراسات الحسابية"، بمثابة اكتشاف أساسي لنظرية الأعداد والجبر.

تم تحديد الأهداف التالية في العمل النهائي:

1. تطوير نظرية قابلية القسمة في حلقة الأعداد الغوسية.

2. معرفة طبيعة الأعداد الغوسية الأولية.

3. إظهار استخدام الأعداد الغوسية في حل المسائل الديوفانتية العادية.

الفصل 1. القسمة في حلقة أرقام غاوس.

دعونا نفكر في مجموعة الأعداد المركبة. عن طريق القياس مع مجموعة الأعداد الحقيقية، يمكن تمييز مجموعة فرعية معينة من الأعداد الصحيحة. مجموعة أرقام النموذج

، أين دعنا نسميها أعدادًا صحيحة معقدة أو أرقامًا غوسية. من السهل التحقق من أن البديهيات الحلقية تنطبق على هذه المجموعة. وبالتالي فإن هذه المجموعة من الأعداد المركبة هي حلقة وتسمى حلقة من الأعداد الصحيحة الغوسية . ولنشير إليها بـ لأنها امتداد للحلقة بالعنصر: .

نظرًا لأن حلقة الأعداد الغوسية هي مجموعة فرعية من الأعداد المركبة، فإن بعض تعريفات وخصائص الأعداد المركبة صالحة لها. لذلك، على سبيل المثال، لكل رقم غاوسي

يتوافق مع متجه له بداية عند نقطة ونهاية عند . لذلك، وحدة هناك أرقام غاوسية. لاحظ أنه في المجموعة قيد النظر، يكون التعبير المعياري دائمًا عددًا صحيحًا غير سالب. لذلك، في بعض الحالات يكون أكثر ملاءمة للاستخدام القاعدة ، أي مربع المعامل. هكذا . يمكن تمييز الخصائص التالية للقاعدة. بالنسبة لأي أرقام غوسية يكون ما يلي صحيحًا: (1) (2) (3) (4) (5) - مجموعة الأعداد الطبيعية، أي الأعداد الصحيحة الموجبة.

يتم التحقق من صحة هذه الخصائص بشكل تافه باستخدام الوحدة النمطية. وبشكل عابر، نلاحظ أن (2)، (3)، (5) صالحة أيضًا لأي أعداد مركبة.

حلقة الأعداد الغوسية هي حلقة تبادلية بدون قواسم 0، لأنها حلقة فرعية من مجال الأعداد المركبة. وهذا يعني انقباض مضاعف للحلقة

، أي (6)

1.1 العناصر القابلة للعكس والمتحالفة.

دعونا نرى أي الأرقام الغوسية ستكون قابلة للعكس. الضرب محايد

. إذا كان رقم غاوسي تفريغ إذن، بحكم التعريف، يوجد مثل هذا . بالانتقال إلى المعايير، وفقًا للخاصية 3، نحصل على . لكن هذه المعايير طبيعية إذن. وهذا يعني، من خلال الخاصية 4، . على العكس من ذلك، جميع عناصر هذه المجموعة قابلة للعكس، حيث أن . وبالتالي، فإن الأعداد التي لها قاعدة تساوي واحدًا ستكون قابلة للعكس، أي، .

كما ترون، لن تكون جميع الأرقام الغوسية قابلة للعكس. ولذلك فمن المثير للاهتمام النظر في مسألة قابلية القسمة. كالعادة نقول ذلك

تشارك على ، إذا كان هناك أي أرقام غوسية، بالإضافة إلى الأرقام القابلة للعكس، فإن الخصائص صالحة. (7) (8) (9) (10) حيث (11) (12)

يسهل التحقق منها (8)، (9)، (11)، (12). والعدل (7) يتبع من (2)، و(10) يتبع من (6). بسبب الخاصية (9) عناصر المجموعة