Dans diverses branches des mathématiques, ainsi que dans l'application des mathématiques à la technologie, il arrive souvent que des opérations algébriques soient effectuées non pas sur des nombres, mais sur des objets de nature différente. Par exemple, addition matricielle, multiplication matricielle, addition vectorielle, opérations sur polynômes, opérations sur transformations linéaires, etc.

Définition 1. Un anneau est un ensemble d'objets mathématiques dans lesquels deux actions sont définies - "addition" et "multiplication", qui associent des paires ordonnées d'éléments à leur "somme" et leur "produit", qui sont des éléments du même ensemble. Ces actions satisfont aux exigences suivantes :

1.a+b=b+a(commutativité de l'addition).

2.(une+b)+c=une+(b+c)(associativité d'addition).

3. Il existe un élément zéro 0 tel que un+0=un, pour toute un.

4. Pour tout le monde un il y a un élément opposé - un tel que un+(−un)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(distributivité à gauche).

5".c(a+b)=ca+cb(bonne distributivité).

Les exigences 2, 3, 4 signifient que l'ensemble des objets mathématiques forme un groupe, et avec le point 1, nous avons affaire à un groupe commutatif (abélien) par rapport à l'addition.

Comme le montre la définition, dans définition générale anneaux, aucune restriction n'est imposée sur les multiplications autres que la distributivité avec addition. Cependant, dans différentes situations, il devient nécessaire d’envisager des anneaux comportant des exigences supplémentaires.

6. (ab)c=a(bc)(associativité de multiplication).

7.ab = ba(commutativité de multiplication).

8. L'existence d'un seul élément 1, c'est-à-dire tel un·1=1· un = un, pour tout élément un.

9. Pour tout élément d'article un il y a un élément inverse un−1 tel que aa −1 =un −1 une = 1.

Les différents anneaux 6, 7, 8, 9 peuvent être réalisés soit séparément, soit selon diverses combinaisons.

Un anneau est dit associatif si la condition 6 est satisfaite, commutatif si la condition 7 est satisfaite, commutatif et associatif si les conditions 6 et 7 sont satisfaites. Un anneau est appelé anneau avec identité si la condition 8 est satisfaite.

Exemples de bagues :

1. Ensemble de matrices carrées.

Vraiment. La réalisation des points 1-5, 5" est évidente. L'élément zéro est la matrice zéro. De plus, le point 6 (associativité de la multiplication), le point 8 est rempli (l'élément unité est la matrice unité). Points 7 et 9 ne sont pas remplies car dans le cas général, la multiplication des matrices carrées est non commutative, et aussi l'inverse d'une matrice carrée n'existe pas toujours.

2. L'ensemble de tous les nombres complexes.

3. Beaucoup de tout le monde nombres réels.

4. L'ensemble de tous les nombres rationnels.

5. L’ensemble de tous les entiers.

Définition 2. Tout système de nombres contenant la somme, la différence et le produit de deux de ses nombres est appelé bague numérotée.

Les exemples 2 à 5 sont des anneaux numériques. Les anneaux numériques sont également tous des nombres pairs, ainsi que tous les entiers divisibles sans reste par un nombre naturel n. Notez que l’ensemble des nombres impairs n’est pas un anneau car la somme de deux nombres impairs est un nombre pair.

Grâce à un cours de programmation, nous savons qu'un entier peut être représenté dans la mémoire d'un ordinateur de différentes manières, en particulier, cette représentation dépend de la manière dont il est décrit : comme valeur de type entier, ou réel, ou chaîne. De plus, dans la plupart des langages de programmation, les entiers sont considérés comme des nombres appartenant à une plage très limitée : un cas typique va de -2 15 = -32768 à 2 15 - 1 = 32767. Systèmes algèbre informatique traiter de grands entiers, en particulier, un tel système peut calculer et afficher des nombres de la forme 1000 en notation décimale ! (plus de mille caractères).

Dans ce cours, nous considérerons la représentation des entiers sous forme symbolique et n'entrerons pas dans les détails sur la mémoire allouée pour l'enregistrement d'un caractère (bit, octet ou autre). La plus courante consiste à représenter des entiers dans systèmes de numérotation positionnelle. Un tel système est déterminé par le choix de la base numérique, par exemple 10. L’ensemble des entiers décimaux est généralement décrit comme suit :

La définition écrite des nombres entiers donne une représentation sans ambiguïté de chacun de ces nombres, et une définition similaire (seulement, peut-être, avec une base différente) est utilisée dans la plupart des systèmes. algèbre informatique. Grâce à cette représentation, il est pratique de mettre en œuvre des opérations arithmétiques sur des nombres entiers. De plus, l’addition et la soustraction sont des opérations relativement « bon marché », tandis que la multiplication et la division sont « coûteuses ». Lors de l'évaluation de la complexité des opérations arithmétiques, il convient de prendre en compte à la fois le coût d'une opération élémentaire (à un chiffre) et le nombre d'opérations à un chiffre pour effectuer toute opération sur des nombres à plusieurs chiffres. La complexité de la multiplication et de la division est due avant tout au fait qu'à mesure que la longueur d'un nombre augmente (son enregistrement dans n'importe quel système numérique), le nombre d'opérations élémentaires augmente selon une loi quadratique, contrairement à la loi linéaire loi d'addition et de soustraction. De plus, ce que l'on appelle habituellement un algorithme de division de nombres à plusieurs chiffres est en réalité basé sur une recherche (souvent assez significative) du chiffre suivant possible du quotient, et il ne suffit pas d'utiliser simplement les règles de division de nombres à un chiffre. Nombres. Si la base du système numérique est grande (elle peut souvent être de l'ordre de 2 à 30), cette méthode est inefficace.

Soit un nombre naturel (écrit dans le système décimal). Pour obtenir son dossier dans le système numérique -aire, vous pouvez utiliser l'algorithme suivant (désigne la partie entière du nombre) :

Donné : A-nombre naturel dans le système de nombres décimaux k > 1-nombre naturel Nécessaire : A-enregistrement du nombre A dans le système de nombres k-ary Commencer i:= 0 cycle jusqu'à ce que A > 0 bi:= A (mod k ) A:= i:= i + 1 fin de cycle dA:= i - 1 fin

Pour restituer un nombre décimal à partir de la séquence de sa notation k-aire, l'algorithme suivant est utilisé :

Étant donné : k > 1-séquence de nombres naturels représentant le nombre A dans le système k-ary Nécessaire : A-enregistrement du nombre A dans le système de nombres décimaux Début A := 0 cycle jusqu'à la fin de la séquence b := élément suivant de la séquence A:= A * k + b fin de boucle Fin

1.2. EXERCICE. Expliquez pourquoi la division est utilisée pour convertir un nombre du système décimal au système k-aire, et la multiplication est utilisée pour convertir du système k-aire au système décimal.

En multipliant par une « colonne » deux nombres à deux chiffres dans le système numérique décimal, on effectue les opérations suivantes :

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

soit 4 opérations de multiplication de nombres à un chiffre, 3 opérations d'addition et 2 opérations de multiplication par une puissance de la base, qui se réduisent à un décalage. Lors de l'évaluation de la complexité, vous pouvez prendre en compte toutes les opérations élémentaires sans les diviser par des poids (dans cet exemple nous avons 9 opérations élémentaires). Avec cette approche, le problème de l'optimisation de l'algorithme se réduit à minimiser le nombre total d'opérations élémentaires. On peut cependant considérer que la multiplication est une opération plus « coûteuse » que l’addition, qui, elle, est « plus coûteuse » que le décalage. En considérant uniquement les opérations les plus coûteuses, nous obtenons que multiplicatif La difficulté de multiplier des nombres à deux chiffres dans une colonne est de 4.

La section 5 discute des algorithmes de calcul des plus grands diviseurs communs et évalue leur complexité.

La représentation considérée n'est pas la seule représentation canonique d'entiers. Comme déjà noté, pour choisir une représentation canonique, vous pouvez utiliser le caractère unique de la décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers. Cette représentation d'un nombre entier peut être utilisée dans les tâches où seules les opérations de multiplication et de division sont utilisées, car elles deviennent très « bon marché », mais le coût des opérations d'addition et de soustraction augmente de manière disproportionnée, ce qui empêche l'utilisation d'une telle représentation. Dans certains problèmes, l'abandon de la représentation canonique donne un gain de performance significatif ; en particulier, la factorisation partielle d'un nombre peut être utilisée. Une méthode similaire est particulièrement utile lorsque vous travaillez non pas avec des nombres, mais avec des polynômes.

Si l'on sait que lors du fonctionnement du programme, tous les entiers rencontrés dans les calculs sont limités en valeur absolue par une constante donnée, alors pour définir de tels nombres, on peut utiliser leur système de résidus modulo certains nombres premiers entre eux, dont le produit dépasse la constante mentionnée. Les calculs avec classes de résidus sont généralement plus rapides que l'arithmétique à précision multiple. Et avec cette approche, l’arithmétique à précision multiple ne doit être utilisée que lors de la saisie ou de la sortie d’informations.

Notez que, parallèlement aux représentations canoniques dans les systèmes algèbre informatique D'autres représentations sont également utilisées. En particulier, il est souhaitable que la présence ou l’absence d’un signe « + » devant un entier n’affecte pas la perception de celui-ci par l’ordinateur. Ainsi, pour les nombres positifs, une représentation ambiguë est obtenue, bien que la forme des nombres négatifs soit déterminée de manière unique.

Une autre exigence est que la perception d'un nombre ne soit pas affectée par la présence de zéros avant le premier chiffre significatif.

1.3. DES EXERCICES.

1. Estimez le nombre de multiplications à un chiffre utilisées lors de la multiplication d'un nombre à m chiffres par une colonne à n chiffres.
2. Montrez que deux nombres à deux chiffres peuvent être multipliés en utilisant seulement 3 multiplications à un chiffre et en augmentant le nombre d'additions.
3. Trouvez un algorithme pour diviser des nombres longs qui ne nécessite pas beaucoup de recherche pour trouver le premier chiffre du quotient.
4. Décrire l'algorithme de traduction nombres naturels du système de numérotation m-aire au système de numérotation n-aire.
5. DANS Numérotation romaine Les symboles suivants sont utilisés pour écrire les nombres : I - un, V - cinq, X - dix, L - cinquante, C - cent, D - cinq cents, M - mille. Un symbole est considéré comme négatif s’il y a un symbole d’un nombre plus grand à sa droite, et positif dans le cas contraire. Par exemple, le nombre 1948 dans ce système s'écrira ainsi : MCMXLVIII. Formulez un algorithme pour convertir un nombre romain en décimal et inversement. Implémentez l'algorithme résultant dans l'un des langages algorithmiques (par exemple, C). Limites des données sources : 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Formuler un algorithme et écrire un programme pour ajouter des nombres naturels en numération romaine.
7. Nous dirons que nous avons affaire à un système numérique avec base mixte ou vectorielle, si on nous donne un vecteur de n nombres naturels M = (m 1 , . . . , m n) (base) et la notation K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) désigne le nombre k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n)...)). Écrivez un programme qui, en fonction des données (jour de la semaine, heures, minutes, secondes), détermine combien de secondes se sont écoulées depuis le début de la semaine (lundi, 0, 0, 0) = 0, et effectue la transformation inverse.

Exemples

une + b je (\ displaystyle a + bi) Où une (\style d'affichage a) Et b (style d'affichage b) nombres rationnels, je (\style d'affichage i)- unité imaginaire. De telles expressions peuvent être ajoutées et multipliées selon les règles habituelles pour les opérations avec des nombres complexes, et chaque élément non nul a un inverse, comme le montre l'égalité (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.) Il s'ensuit que les nombres gaussiens rationnels forment un champ, qui est un espace bidimensionnel (c'est-à-dire un champ quadratique).

• Plus généralement, pour tout entier sans carré ré (style d'affichage d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d)))) sera une extension de champ quadratique Q (\ displaystyle \ mathbb (Q) ).
• Champ circulaire Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n))) obtenu en ajoutant à Q (\ displaystyle \ mathbb (Q) ) racine primitive n-ème pouvoir d'unité. Le champ doit contenir toutes ses puissances (c'est-à-dire toutes les racines nème pouvoir de l'unité), sa dimension est terminée Q (\ displaystyle \ mathbb (Q) ) est égal à la fonction d'Euler φ (n) (\ displaystyle \ varphi (n)).
• Les nombres réels et complexes ont des pouvoirs infinis sur les nombres rationnels, ce ne sont donc pas des corps numériques. Cela découle de l'indénombrabilité : tout champ numérique est dénombrable.
• Champ de tous les nombres algébriques UNE (\displaystyle \mathbb (A) ) n'est pas numérique. Même si l'expansion UNE ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) ) algébrique, ce n’est pas fini.

Anneau entier du champ numérique

Puisque le champ numérique est une extension algébrique du champ Q (\ displaystyle \ mathbb (Q) ), n'importe lequel de ses éléments est la racine d'un polynôme à coefficients rationnels (c'est-à-dire qu'il est algébrique). De plus, chaque élément est la racine d'un polynôme à coefficients entiers, puisque tous les coefficients rationnels peuvent être multipliés par le produit des dénominateurs. Si cet élément est la racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers, on l'appelle un élément entier (ou un entier algébrique). Tous les éléments d'un champ numérique ne sont pas des entiers : par exemple, il est facile de montrer que les seuls éléments sont des entiers. Q (\ displaystyle \ mathbb (Q) ) sont des entiers ordinaires.

On peut prouver que la somme et le produit de deux entiers algébriques sont à nouveau un entier algébrique, donc les éléments entiers forment un sous-anneau du corps numérique. K (style d'affichage K), appelé un anneau entier des champs K (style d'affichage K) et noté . Le champ ne contient pas de diviseur nul et cette propriété est héritée lors du passage à un sous-anneau, donc l'anneau d'entiers est intégral ; champ de sonnerie privé O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- c'est le terrain lui-même K (style d'affichage K). L'anneau d'entiers de n'importe quel corps numérique a les trois propriétés suivantes : il est intégralement fermé, noéthérien et unidimensionnel. Un anneau commutatif avec de telles propriétés est appelé anneau de Dedekind, du nom de Richard Dedekind.

Décomposition des amorces et groupe de classe

Dans un anneau de Dedekind arbitraire, il existe une décomposition unique d'idéaux non nuls en un produit de nombres premiers. Cependant, tous les anneaux d'entiers ne satisfont pas à la propriété de factorialité : déjà pour l'anneau d'entiers d'un corps quadratique O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))]) la décomposition n'est pas unique :

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

En introduisant une norme sur cet anneau, on peut montrer que ces développements sont bien différents, c'est-à-dire que l'un ne peut pas être obtenu à partir de l'autre en multipliant par un élément inversible.

Le degré de violation de la propriété de factorialité est mesuré à l'aide du groupe de classes idéales ; ce groupe pour un anneau d'entiers est toujours fini et son ordre est appelé nombre de classes.

Bases de champs numériques

Base entière

Base entière champ numérique F degrés n- c'est beaucoup

B = {b 1 , …, bn}

depuis néléments de l'anneau de champs entiers F, tel que tout élément de l'anneau des entiers DE des champs F La seule façon de l'écrire est comme Z-combinaison linéaire d'éléments B; c'est-à-dire pour n'importe qui X depuis DE il n'y a qu'une seule décomposition

X = m 1 b 1 + … + m n b n,

Où je suis- des entiers ordinaires. Dans ce cas, tout élément F peut s'écrire comme

m 1 b 1 + … + m n b n,

Où je suis- nombres rationnels. Après cela, ce sont des éléments entiers F se distinguent par la propriété que ce sont exactement les éléments pour lesquels tout je suis entier.

En utilisant des outils tels que la localisation et l'endomorphisme de Frobenius, on peut construire une telle base pour n'importe quel corps numérique. Sa construction est une fonctionnalité intégrée dans de nombreux systèmes de calcul formel.

Base de puissance

Laisser F- champ numérique du diplôme n. Parmi toutes les bases possibles F(Comment Q-espace vectoriel), il existe des bases de pouvoir, c'est-à-dire des bases de la forme

Bx = {1, X, X 2 , …, X n−1 }

pour certains X ∈ F. D’après le théorème des éléments primitifs, tel X existe toujours, on l'appelle élément primitif cette extension.

Norme et trace

Un corps de nombres algébriques est un espace vectoriel de dimension finie sur Q (\ displaystyle \ mathbb (Q) )(nous désignons sa dimension par n (style d'affichage n)), et la multiplication par un élément de champ arbitraire est une transformation linéaire de cet espace. Laisser e 1 , e 2 , … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- une sorte de base F, puis la transformation x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x) correspond à la matrice A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), déterminé par la condition

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

Les éléments de cette matrice dépendent du choix de la base, mais tous les invariants de la matrice, comme le déterminant et la trace, n'en dépendent pas. Dans le cadre des extensions algébriques, le déterminant d'une matrice de multiplication d'éléments est appelé la norme cet élément (noté N (x) (\style d'affichage N(x))); trace matricielle - élément suivant(noté Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

La trace d'un élément est une fonctionnelle linéaire sur F:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (o)) Et Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

La norme est une fonction multiplicative et homogène :

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)) Et N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Vous pouvez choisir une base entière comme base initiale ; la multiplication par un nombre algébrique entier (c'est-à-dire par un élément de l'anneau des entiers) dans cette base correspondra à une matrice à éléments entiers. Par conséquent, la trace et la norme de tout élément de l’anneau des entiers sont des entiers.

Exemple d'utilisation d'une norme

Laisser ré (style d'affichage d)- - un élément entier, puisqu'il est la racine du polynôme réduit x 2 − d (\displaystyle x^(2)-d)). Sur cette base, la multiplication par une + b ré (\displaystyle a+b(\sqrt (d))) correspond à la matrice

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

Ainsi, N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). Sur les éléments de l'anneau cette norme prend des valeurs entières. La norme est un homomorphisme du groupe multiplicatif Z [ ré ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))]) par groupe multiplicatif Z (\ displaystyle \ mathbb (Z) ), donc la norme des éléments inversibles de l'anneau ne peut être égale qu'à 1 (style d'affichage 1) ou − 1 (\style d'affichage -1). Pour résoudre l'équation de Pell une 2 − ré b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1), il suffit de trouver tous les éléments inversibles de l'anneau des entiers (aussi appelé unités d'anneaux) et identifier parmi eux ceux qui ont la norme 1 (style d'affichage 1). Selon le théorème de l'unité de Dirichlet, tous les éléments inversibles d'un anneau donné sont des puissances d'un élément (jusqu'à multiplication par − 1 (\style d'affichage -1)), donc pour trouver toutes les solutions de l’équation de Pell, il suffit de trouver une solution fondamentale.

voir également

Littérature

• H. Koch. Théorie algébrique des nombres. - M. : VINITI, 1990. - T. 62. - 301 p. - (Résultats de la science et de la technologie. Série « Problèmes modernes de mathématiques. Orientations fondamentales. »).
• Chebotarev N.G. Fondements de la théorie de Galois. Partie 2. - M. : Éditorial URSS, 2004.
• Weil G. Théorie algébrique des nombres. Par. de l'anglais - M. : Éditorial URSS, 2011.
• Serge Lang, Théorie algébrique des nombres, deuxième édition, Springer, 2000

Un anneau dans lequel la relation « être supérieur à zéro » (notée a > 0) est introduite est appelé anneau situé, si pour des éléments de cet anneau deux conditions sont remplies :

1) une et une seule des conditions est vraie

une > 0 \/ –une >0 \/ une = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

Un ensemble dans lequel une relation d'ordre est introduite - non stricte (réflexive, antisymétrique et transitive) ou stricte (anti-réflexive et transitive) est appelé commandé. Si la loi de trichotomie est satisfaite, alors l’ensemble est appelé linéaire commandé. Si nous considérons non pas un ensemble arbitraire, mais un système algébrique, par exemple un anneau ou un champ, alors pour l'ordonnancement d'un tel système, nous introduisons également des exigences de monotonie concernant les opérations introduites dans ce système (structure algébrique). Donc anneau/champ commandé est un anneau/champ non nul dans lequel une relation d'ordre linéaire (a > b) est introduite qui satisfait deux conditions :

1) une > b => une + c > b + c ;

2) a > b, c > 0 => a c > b c ;

Théorème 1. Tout anneau localisé est un système ordonné (anneau).

En effet, si la relation « être supérieur à 0 » est introduite dans un anneau, alors la relation supérieure à deux éléments arbitraires peut être introduite si l'on suppose que

a > b  a – b > 0.

Cette attitude est une attitude stricte, ordre linéaire.

Cette relation « supérieur à » est anti-réflexive, puisque la condition a > a est équivalente à la condition a – a > 0, cette dernière contredit le fait que a – a = 0 (d'après la première condition de l'anneau localisé, un élément ne peut pas être à la fois supérieur à 0 et égal à 0) . Ainsi, l’énoncé a > a est faux pour tout élément a, donc la relation est anti-réflexive.

Montrons la transitivité : si a > b et b > c, alors a > c. Par définition, des conditions du théorème il résulte que a – b > 0 et b – c > 0. En additionnant ces deux éléments supérieurs à zéro, on obtient à nouveau un élément supérieur à zéro (selon la deuxième condition du localisé anneau):

a – b + b – c = a – c > 0.

Ce dernier signifie que a > c. Ainsi, la relation introduite est une relation d’ordre strict. De plus, cette relation est une relation d’ordre linéaire, c’est-à-dire que pour l’ensemble des nombres naturels, théorème de trichotomie:

Pour deux nombres naturels quelconques, une et une seule des trois affirmations suivantes est vraie :

En effet (du fait de la première condition de l’anneau localisé) pour le nombre a – b une et une seule des conditions est vraie :

1) une – b > 0 = > une > b

2) – (une – b) = b – une > 0 => b > une

3) a – b = 0 = > a = b.

Les propriétés de monotonie sont également valables pour tout anneau localisé. Vraiment

1) a > b => a – b > 0 = > a + c – c – b > 0 = > a + c > b + c ;

2) a > b /\ c > 0 => a – b > 0 => (selon la deuxième condition de l'anneau localisé) (a – b)c > 0 => ac – bc > 0 => ac > bc .

Ainsi, nous avons prouvé que tout anneau arrangé est un anneau ordonné (un système ordonné).

Pour tout anneau localisé, les propriétés suivantes seront également valables :

a) a + c > b + c => a > b ;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d ;

c) une > b /\ c< 0=>ac< bc;

Les mêmes propriétés se retrouvent pour d'autres signes<, , .

Démontrons, par exemple, la propriété (c). Par définition, de la condition a > b il résulte que a – b > 0, et de la condition c< 0 (0 >c) il s'ensuit que 0 – c > 0, et donc le nombre – c > 0, multipliez deux nombres positifs (a – b)(–c). Le résultat sera également positif selon la deuxième condition de l'anneau localisé, c'est-à-dire

(a – b)(–c) > 0 => –ac + bc > 0 => bc – ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

Q.E.D.

d) aa = a 2  0 ;

Preuve: Selon la première condition de l'anneau localisé, soit a > 0, soit –a > 0, soit a = 0. Considérons ces cas séparément :

1) a > 0 => aa > 0 (selon la deuxième condition de l'anneau localisé) => a 2 > 0.

2) –а > 0 => (–а)(–а) > 0, mais par la propriété de l'anneau (–а)(–а) = аа = a 2 > 0.

3) a = 0 => aa = a 2 = 0.

Ainsi, dans les trois cas, a 2 est soit supérieur à zéro, soit égal à 0, ce qui signifie simplement que a 2 ≥ 0 et la propriété est prouvée (notez que nous avons également prouvé que le carré d'un élément d'un anneau localisé est 0 si et seulement si l'élément lui-même est 0).

e) ab = 0  a = 0 \/ b = 0.

Preuve: Supposons le contraire (ab =0, mais ni a ni b ne sont égaux à zéro). Alors seules deux options sont possibles pour a, soit a > 0, soit a > 0 (l'option a = 0 est exclue par notre hypothèse). Chacun de ces deux cas se divise en deux autres cas en fonction de b (soit b > 0, soit – b > 0). Ensuite, il y a 4 options :

a > 0, b > 0 => ab > 0 ;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a >0, – b > 0 =>ab< 0;

– a > 0 –b > 0 => ab > 0.

Comme on le voit, chacun de ces cas contredit la condition ab = 0. La propriété est prouvée.

La dernière propriété signifie que l'anneau localisé est une zone d'intégrité, qui est également une propriété obligatoire des systèmes ordonnés.

Le théorème 1 montre que tout anneau localisé est un système ordonné. L'inverse est également vrai : tout anneau commandé est localisé. En effet, si un anneau a une relation a > b et que deux éléments quelconques de l'anneau sont comparables entre eux, alors 0 est comparable à n'importe quel élément a, c'est-à-dire soit a > 0, soit a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Afin de prouver cette dernière, nous appliquons la propriété de monotonie des systèmes ordonnés : aux côtés droit et gauche de l'inégalité a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

La deuxième condition pour un anneau localisé découle des propriétés de monotonie et de transitivité :

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b >0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.

Théorème 2. L'anneau des entiers est un anneau arrangé (un système ordonné).

Preuve: Utilisons la définition 2 de l'anneau des entiers (voir 2.1). Selon cette définition, tout entier est soit un nombre naturel (le nombre n est donné par [ ], soit l’opposé de naturel (– n correspond à la classe [<1, n / >] , ou 0 (classe [<1, 1>]). Introduisons la définition de « être supérieur à zéro » pour les entiers selon la règle :

une > 0  une  N

Alors la première condition de l'anneau localisé est automatiquement satisfaite pour les entiers : si a est un nombre naturel, alors il est supérieur à 0, si a est l'opposé d'un nombre naturel, alors –a est un nombre naturel, c'est-à-dire également supérieur à 0, l'option a = 0 est également possible, ce qui fait aussi une vraie disjonction dans la première condition de l'anneau localisé. La validité de la deuxième condition de l'anneau localisé découle du fait que la somme et le produit de deux nombres naturels (entiers supérieurs à zéro) sont à nouveau un nombre naturel, et donc supérieur à zéro.

Ainsi, toutes les propriétés des anneaux localisés sont automatiquement transférées à tous les entiers. De plus, le théorème de discrétion est valable pour les entiers (mais pas pour les anneaux disposés arbitrairement) :

Théorème de discrétion. Vous ne pouvez insérer aucun entier entre deux entiers adjacents :

( une, x  Z) .

Preuve: on considérera tous les cas possibles pour a, et on supposera le contraire, c'est-à-dire qu'il existe un x tel que

UN< x < a +1.

1) si a est un nombre naturel, alors a + 1 est un nombre naturel. Ensuite, selon le théorème de discrétion des nombres naturels, aucun nombre naturel x ne peut être inséré entre a et a / = a + 1, c'est-à-dire que x, en aucun cas, ne peut être un nombre naturel. Si nous supposons que x = 0, alors notre hypothèse est que

UN< x < a +1

nous amènera à conditionner un< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. Alors a + 1 = 1. Si la condition a est satisfaite< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a est négatif (–a > 0), alors a + 1  0. Si a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

c'est-à-dire que nous arrivons à la situation considérée dans le premier cas (puisque –a–1 et –a sont naturels), à partir de laquelle – x ne peut pas être un nombre entier, et donc x ne peut pas être un nombre entier. La situation où a + 1 = 0 signifie que a = –1, c'est-à-dire

–1 < x < 0.

En multipliant cette inégalité par (–1), on arrive au cas 2. Ainsi, le théorème est valable dans toutes les situations.

Tour d'Archimède. Pour tout entier a et entier b > 0, il existe un nombre naturel n tel que a< bn.

Pour un a naturel, le théorème a déjà été prouvé, puisque la condition b > 0 signifie que le nombre b est naturel. Pour a  0, le théorème est également évident puisque le côté droit bn est un nombre naturel, c'est-à-dire également supérieur à zéro.

Dans un anneau d'entiers (comme dans tout anneau localisé), on peut introduire la notion de module :

|une| = .

Les propriétés des modules sont justes :

1) |une + b|  |une| + |b|;

2) |une – b|  |une| – |b|;

3) |une b| = |une|  |b|.

Preuve: 1) Notez qu'à partir de la définition, il est évident que |a| est une quantité toujours non négative (dans le premier cas |a| = a ≥ 0, dans le second |a| = –a, mais a< 0, откуда –а >0). Les inégalités |a| ≥ une, |une| ≥ –a (le module est égal à l'expression correspondante s'il est non négatif, et supérieur s'il est négatif). Des inégalités similaires sont valables pour b : |b| ≥b, |b| ≥ –b. En additionnant les inégalités correspondantes et en appliquant la propriété (b) des anneaux disposés, on obtient

|une| + |b| ≥ une + b |une| + |b| ≥ – a – b.

Selon la définition du module

|a+b| =
,

mais les deux expressions du côté droit de l'égalité, comme indiqué ci-dessus, ne dépassent pas |a| + |b|, qui prouve la première propriété des modules.

2) Remplacez a dans la première propriété par a – b. On a:

|une – b + b| ≤ |une – b| + |b|

|une | ≤ |une – b| + |b|

Déplaçons |b| du côté droit vers la gauche avec le signe opposé

|une| – | b| ≤ |une – b| =>|une – b|  |une| – |b|.

La preuve de la propriété 3 est laissée au lecteur.

Tâche: Résoudre l'équation en nombres entiers

2y 2 + 3xy – 2x 2 + x – 2y = 5.

Solution: Factorisons le côté gauche. Pour ce faire, imaginez le terme 3xy = – xy + 4xy

2y 2 + 3xy – 2x 2 + x – 2y = 2y 2 – xy + 4xy – 2x 2 + x – 2y =

Oui(2y – x) + 2x(2y – x) – (2y – x) = (y + 2x – 1)(2y – x).

Ainsi, notre équation peut être réécrite comme

(y + 2x – 1)(2y – x) = 5.

Puisque nous devons le résoudre en nombres entiers, x et y doivent être des nombres entiers, ce qui signifie que les facteurs du côté gauche de notre équation sont également des nombres entiers. Le nombre 5 à droite de notre équation peut être représenté comme un produit de facteurs entiers de 4 manières seulement :

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Par conséquent, les options suivantes sont possibles :

1)
2)
3)
4)

Parmi les systèmes répertoriés, seul (4) possède une solution entière :

x = 1, y = –2.

Tâches pour une solution indépendante

N° 2.4. Pour les éléments a, b, c, d d'un anneau localisé arbitrairement, prouver les propriétés :

a) a + c > b + c => a > b ; b) a > b /\ c > d => a + c > b + d.

N° 2.5. Résolvez les équations en nombres entiers :

une) y 2 – 2xy – 2x = 6 ; b) 2x 2 – 11xy + 12y 2 = 17 ; c) 35xy + 5x – 7y = 1 ; d) x 2 – 3xy + 2y 2 = 3 ; d) ;

f) xy + 3x – 5y + 3 = 0 ; g) 2xy – 3y 2 – 4y + 2x = 2 ; h) xy 2 + x = 48 ; je) 1! +2 ! +3 ! + … + n! = oui 2 ; j) x 3 – 2y 3 – 4z 3 = 0

N° 2.6. Trouvez un nombre à quatre chiffres qui est un carré parfait et tel que ses deux premiers chiffres sont égaux et ses deux derniers chiffres sont égaux.

N° 2.7. Trouvez un nombre à deux chiffres égal à la somme de ses dizaines et au carré de ses unités.

N° 2.8. Trouvez un nombre à deux chiffres égal au double du produit de ses chiffres.

N° 2.9. Montrer que la différence entre un nombre à trois chiffres et un nombre écrit avec les mêmes chiffres dans l'ordre inverse ne peut pas être le carré d'un nombre naturel.

N° 2.10. Trouvez tous les nombres naturels se terminant par 91 qui, après avoir barré ces chiffres, sont réduits d'un facteur entier.

N° 2.11. Trouvez un nombre à deux chiffres égal au carré de ses unités ajouté au cube de ses dizaines.

N° 2.12. Trouvez un nombre à six chiffres commençant par le chiffre 2, qui augmente de 3 fois lorsque ce chiffre est déplacé vers la fin du nombre.

N° 2.13. Il y a plus de 40 mais moins de 48 nombres entiers écrits au tableau. La moyenne arithmétique de tous ces nombres est – 3, la moyenne arithmétique des nombres positifs est 4 et la moyenne arithmétique des nombres négatifs est – 8. Combien de nombres sont écrits au tableau ? Quels nombres sont plus grands, positifs ou négatifs ? Quel est le nombre maximum possible de nombres positifs ?

N° 2.14. Le quotient d'un nombre à trois chiffres et la somme de ses chiffres peuvent-ils être égaux à 89 ? Ce quotient pourrait-il être égal à 86 ? Quelle est la valeur maximale possible de ce quotient ?

Agence fédérale pour l'éducation

État établissement d'enseignement formation professionnelle supérieure

Université humanitaire d'État de Viatka

Faculté de Mathématiques

Département d'Analyse Mathématique et Méthodes
enseigner les mathématiques

Travaux finaux de qualification

sur le thème : Anneau entier gaussien.

Complété:

étudiant de 5ème année

Faculté de Mathématiques

Gnoussov V.V.

___________________________

Conseiller scientifique:

maître de conférences du département

algèbre et géométrie

Semenov A.N..

___________________________

Critique:

Candidat de Physique et Mathématiques Sciences, professeur agrégé

Département d'algèbre et de géométrie

Koviazina E.M.

___________________________

Admis en soutenance à la Commission d'Attestation de l'État

Tête Département________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Doyen de la Faculté ___________________ Varankina V.I.

Introduction.

Anneau d'entiers complexes

a été découvert par Carl Gauss et nommé Gaussian en son honneur.

K. Gauss est venu à l'idée de la possibilité et de la nécessité d'élargir le concept d'entier en relation avec la recherche d'algorithmes pour résoudre des comparaisons du deuxième degré. Il a transféré le concept d'entier aux nombres de la forme

, où sont des entiers arbitraires, et est la racine de l'équation sur un ensemble donné, K. Gauss fut le premier à construire une théorie de la divisibilité, similaire à la théorie de la divisibilité des entiers. Il a justifié la validité des propriétés fondamentales de la divisibilité ; a montré que dans l'anneau des nombres complexes il n'y a que quatre éléments inversibles : ; prouvé la validité du théorème de la division avec reste, du théorème de l'unicité de la factorisation ; a montré quels nombres naturels premiers resteront premiers dans un anneau ; découvert la nature des entiers simples et des nombres complexes.

La théorie développée par K. Gauss, décrite dans son ouvrage Arithmetic Studies, fut une découverte fondamentale pour la théorie des nombres et de l'algèbre.

Les objectifs suivants ont été fixés dans le travail final :

1. Développer la théorie de la divisibilité dans l'anneau des nombres gaussiens.

2. Découvrez la nature des nombres premiers gaussiens.

3. Montrez l’utilisation des nombres gaussiens dans la résolution de problèmes diophantiens ordinaires.

CHAPITRE 1. DIVISION DANS L'ANNEAU DES NOMBRE DE GAUSS.

Considérons l'ensemble des nombres complexes. Par analogie avec l'ensemble des nombres réels, on peut y distinguer un certain sous-ensemble d'entiers. Ensemble de nombres du formulaire

, Où nous les appelons entiers complexes ou nombres gaussiens. Il est facile de vérifier que les axiomes en anneau sont valables pour cet ensemble. Ainsi, cet ensemble de nombres complexes est un anneau et s’appelle anneau d'entiers gaussiens . Notons-le , puisqu'il s'agit d'une extension de l'anneau par l'élément : .

Puisque l’anneau des nombres gaussiens est un sous-ensemble de nombres complexes, certaines définitions et propriétés des nombres complexes lui sont valables. Ainsi, par exemple, pour chaque nombre gaussien

correspond à un vecteur commençant en un point et se terminant en . Ainsi, module il existe des nombres gaussiens. Notez que dans l'ensemble considéré, l'expression sous-modulaire est toujours un entier non négatif. Par conséquent, dans certains cas, il est plus pratique d’utiliser la norme , c'est-à-dire le carré du module. Ainsi . Les propriétés suivantes de la norme peuvent être distinguées. Pour tous les nombres gaussiens, ce qui suit est vrai : (1) (2) (3) (4) (5) - l'ensemble des nombres naturels, c'est-à-dire des entiers positifs.

La validité de ces propriétés est vérifiée trivialement à l’aide du module. Au passage, notons que (2), (3), (5) sont également valables pour tout nombre complexe.

L'anneau des nombres gaussiens est un anneau commutatif sans diviseur 0, puisqu'il s'agit d'un sous-anneau du corps des nombres complexes. Cela implique la contractilité multiplicative de l'anneau

, c'est-à-dire (6)

1.1 ÉLÉMENTS RÉVERSIBLES ET ALLIÉS.

Voyons quels nombres gaussiens seront inversibles. Le neutre de multiplication est

. Si un nombre gaussien réversible , alors, par définition, il existe tel que . En passant aux normes, d'après la propriété 3, on obtient . Mais ces normes sont donc naturelles. Cela signifie, par la propriété 4, . A l’inverse, tous les éléments de cet ensemble sont inversibles, puisque . Par conséquent, les nombres de norme égale à un seront inversibles, c'est-à-dire , .

Comme vous pouvez le constater, tous les nombres gaussiens ne seront pas inversibles. Il est donc intéressant de se pencher sur la question de la divisibilité. Comme d'habitude, nous disons que

actions sur , s'il existe tel que . Pour tous les nombres gaussiens, ainsi que les nombres inversibles, les propriétés sont valides. (7) (8) (9) (10) , où (11) (12)

Facilement vérifié (8), (9), (11), (12). La justice (7) découle de (2) et (10) découle de (6). Grâce à la propriété (9), les éléments de l'ensemble