वलय के अभिगृहीत. अंगूठियों के सबसे सरल गुण। अंगूठियों के विशेष वर्ग

एनोटेशन: यह व्याख्यान छल्लों की अवधारणाओं पर चर्चा करता है। वलय तत्वों की मूल परिभाषाएँ और गुण दिए गए हैं, और साहचर्य वलय पर विचार किया गया है। कई विशिष्ट समस्याओं पर विचार किया जाता है, मुख्य प्रमेयों को सिद्ध किया जाता है, और स्वतंत्र विचार के लिए समस्याएं दी जाती हैं

रिंगों

दो बाइनरी ऑपरेशंस (जोड़ + और गुणा) के साथ एक सेट आर कहा जाता है इकाई के साथ साहचर्य वलय, अगर:

यदि गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय है, तो वलय कहलाता है विनिमेयअँगूठी। क्रमविनिमेय वलय क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की मुख्य वस्तुओं में से एक हैं।

नोट्स 1.10.1.

उदाहरण 1.10.2 (साहचर्य वलय के उदाहरण).

अवशेषों का समूह हम पहले ही देख चुके हैं (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, मॉड्यूलो एन अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ, एक क्रमविनिमेय समूह है (उदाहरण 1.9.4, 2 देखें))।

आइए सेटिंग द्वारा गुणन संक्रिया को परिभाषित करें। आइए इस ऑपरेशन की सत्यता की जाँच करें। यदि C k =C k" , C l =C l" , तो k"=k+nu , l"=l+nv , और इसलिए C k"l" =C kl ।

क्योंकि (सी के सी एल)सी एम =सी (केएल)एम =सी के(एलएम) =सी के (सी एल सी एम), सी के सी एल =सी केएल =सी एलके =सी एल सी के, सी 1 सी के =सी के =सी के सी 1, (सी के +सी एल)सी एम =सी (के+एल)एम =सी किमी+एलएम =सी के सी एम +सी एल सी एम, तो इकाई सी 1 अवशेष रिंग मोडुलो एन के साथ एक साहचर्य क्रमविनिमेय रिंग है)।

छल्लों के गुण (R,+,.)

लेम्मा 1.10.3 (न्यूटन का द्विपद). मान लीजिए कि R 1 , , के साथ एक वलय है। तब:

सबूत।

परिभाषा 1.10.4. वलय R के उपसमुच्चय S को कहा जाता है सबरिंग, अगर:

ए) समूह (आर,+) में शामिल होने के संबंध में एस एक उपसमूह है;

बी) हमारे पास है;

सी) 1 के साथ एक रिंग आर के लिए यह माना जाता है कि।

उदाहरण 1.10.5 (उपरिंग्स के उदाहरण).

समस्या 1.10.6. अवशेष वलय Zn modulo n में सभी उप-वलयों का वर्णन करें।

नोट 1.10.7. वलय Z 10 में, 5 के गुणज तत्व 1 के साथ एक वलय बनाते हैं, जो Z 10 में एक उप-वलय नहीं है (इन छल्लों में अलग-अलग इकाई तत्व होते हैं)।

परिभाषा 1.10.8. यदि R एक वलय है, और, ab=0, तो तत्व a को R में बायां शून्य भाजक कहा जाता है, तत्व b को R में दायां शून्य भाजक कहा जाता है।

नोट 1.10.9. क्रमविनिमेय वलय में, निश्चित रूप से, बाएँ और दाएँ शून्य भाजक के बीच कोई अंतर नहीं है।

उदाहरण 1.10.10. Z, Q, R में कोई शून्य भाजक नहीं हैं।

उदाहरण 1.10.11. सतत फलन C के वलय में शून्य विभाजक होते हैं। वास्तव में, यदि

फिर , , fg=0 .

उदाहरण 1.10.12. यदि n=kl , 1

लेम्मा 1.10.13. यदि वलय R में कोई (बाएँ) शून्य भाजक नहीं हैं, तो ab=ac से, कहाँ , , यह इस प्रकार है कि b=c (अर्थात्, यदि कोई बायां शून्य भाजक नहीं है तो बाईं ओर एक गैर-शून्य तत्व द्वारा रद्द करने की क्षमता; और यदि कोई दायां शून्य भाजक नहीं है तो दाईं ओर)।

सबूत। यदि ab=ac , तो a(b-c)=0 । चूँकि a बायां शून्य भाजक नहीं है, तो b-c=0, यानी b=c।

परिभाषा 1.10.14. तत्व कहा जाता है निलपोटेंट, यदि कुछ के लिए x n =0 . सबसे छोटी प्राकृत संख्या n कहलाती है किसी तत्व की शून्यशक्ति की डिग्री .

यह स्पष्ट है कि एक शून्यशक्तिशाली तत्व एक शून्य विभाजक है (यदि n>1 है तो , ). विपरीत कथन सत्य नहीं है (Z 6 में कोई शून्यशक्तिशाली तत्व नहीं हैं, लेकिन 2, 3, 4 शून्य के गैर-शून्य विभाजक हैं)।

अभ्यास 1.10.15. रिंग Z n में निलपोटेंट तत्व शामिल हैं यदि और केवल यदि n, m 2 से विभाज्य है, जहां,।

परिभाषा 1.10.16. वलय R का तत्व x कहलाता है निष्क्रिय, यदि x 2 =x . स्पष्ट है कि 0 2 =0, 1 2 =1. यदि x 2 =x और , तो x(x-1)=x 2 -x=0, और इसलिए गैर-तुच्छ निष्क्रियता शून्य विभाजक हैं।

U(R) द्वारा हम साहचर्य वलय R के व्युत्क्रमणीय तत्वों के समुच्चय को निरूपित करते हैं, अर्थात वे जिनके लिए एक व्युत्क्रम तत्व s=r -1 है (अर्थात् rr -1 =1=r -1 r )।

परिभाषा 4.1.1. अँगूठी (क, +, ) एक गैर-रिक्त सेट के साथ एक बीजगणितीय प्रणाली है कऔर उस पर दो द्विआधारी बीजीय संक्रियाएँ, जिन्हें हम कहेंगे जोड़नाऔर गुणा. वलय एक एबेलियन योगात्मक समूह है, और गुणन और जोड़ वितरण के नियमों से संबंधित हैं: ( ए + बी)  सी = ए  सी + बी  सीऔर साथ  (ए + बी) = सी  ए + सी  बीमनमानी के लिए ए, बी, सी  क.

उदाहरण 4.1.1. आइए अंगूठियों का उदाहरण दें।

1. (जेड, +, ), (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) - क्रमशः, पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याओं के छल्ले जोड़ और गुणा के सामान्य संचालन के साथ। इन छल्लों को कहा जाता है न्यूमेरिकल.

2. (जेड/एनजेड, +, ) - अवशेष वर्गों मॉड्यूलो की अंगूठी एन  एनजोड़ और गुणन संक्रियाओं के साथ।

3. गुच्छा एम एन (क) निश्चित क्रम के सभी वर्ग आव्यूह एन  एनरिंग से गुणांक के साथ ( क, +, ) मैट्रिक्स जोड़ और गुणा के संचालन के साथ। विशेष रूप से, कबराबर हो सकता है जेड, क्यू, आर, सीया जेड/एनजेडपर एन  एन.

4. एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित सभी वास्तविक कार्यों का सेट ( ए; बी) वास्तविक संख्या रेखा, कार्यों के जोड़ और गुणन की सामान्य संक्रियाओं के साथ।

5. बहुपदों का समुच्चय (बहुपद) क[एक्स] रिंग से गुणांक के साथ ( क, +, ) एक चर से एक्सबहुपदों के जोड़ और गुणन की प्राकृतिक संक्रियाओं के साथ। विशेष रूप से, बहुपद वलय जेड[एक्स], क्यू[एक्स], आर[एक्स], सी[एक्स], जेड/एनजेड[एक्स] पर एन  एन.

6. सदिशों का वलय ( वी 3 (आर), +, ) जोड़ और वेक्टर गुणन संचालन के साथ।

7. रिंग ((0), +, ) जोड़ और गुणन संचालन के साथ: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

परिभाषा 4.1.2. अंतर करना परिमित और अनंतछल्ले (सेट के तत्वों की संख्या के अनुसार क), लेकिन मुख्य वर्गीकरण गुणन के गुणों पर आधारित है। अंतर करना जोड़नेवालाजब गुणन संक्रिया साहचर्य होती है तो बजती है (उदाहरण 4.1.1 के अंक 1-5, 7) और गैर साहचर्यछल्ले (उदाहरण 4.1.1 का बिंदु 6: यहाँ ,)। एसोसिएशन रिंगों को विभाजित किया गया है एक के साथ बजता है(गुणन के संबंध में एक तटस्थ तत्व है) और बिना इकाई के, विनिमेय(गुणा संक्रिया क्रमविनिमेय है) और अविनिमेय.

प्रमेय4.1.1. होने देना ( क, +, ) एक के साथ एक साहचर्य वलय है। फिर बहुत सारे क* रिंग तत्वों के गुणन के संबंध में उलटा क– गुणक समूह.

आइए समूह 3.2.1 की परिभाषा की पूर्ति की जाँच करें। होने देना ए, बी  क*. चलिए वो दिखाते हैं ए  बी  क * .  (ए  बी) –1 = बी –1  ए –1  क. वास्तव में,

(ए  बी)  (बी –1  ए –1) = ए  (बी  बी –1)  ए –1 = ए  1  ए –1 = 1,

(बी –1  ए –1)  (ए  बी) = बी –1  (ए –1  ए)  बी = बी –1  1  बी = 1,

कहाँ ए –1 , बी –1  क– विपरीत तत्वों को एऔर बीक्रमश।

1) गुणन में क*सहयोगात्मक रूप से, चूँकि क– साहचर्य वलय.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  क* , 1 - गुणन के संबंध में तटस्थ तत्व क * .

3)  के लिए ए  क * , ए –1  क* , क्योंकि ( ए –1)  ए = ए  (ए –1) = 1
(ए –1) –1 = ए.

परिभाषा 4.1.3. गुच्छा क* वलय के तत्वों के गुणन के संबंध में व्युत्क्रमणीय ( क, +, ) कहलाते हैं गुणक वलय समूह.

उदाहरण 4.1.2. आइए हम विभिन्न वलयों के गुणन समूहों के उदाहरण दें।

1. जेड * = {1, –1}.

2. एम एन (क्यू) * = जी.एल. एन (क्यू), एम एन (आर) * = जी.एल. एन (आर), एम एन (सी) * = जी.एल. एन (सी).

3. जेड/एनजेड* - अवशेषों के व्युत्क्रमणीय वर्गों का सेट, जेड/एनजेड * = { | (क, एन) = 1, 0  क < एन), पर एन > 1 | जेड/एनजेड * | =  (एन), कहाँ  – यूलर फ़ंक्शन.

4. (0) * = (0), चूंकि में इस मामले में 1 = 0.

परिभाषा 4.1.4. यदि एक साहचर्य वलय में ( क, +, ) इकाई समूह के साथ क * = क\(0), जहां 0 योग के संबंध में एक तटस्थ तत्व है, तो ऐसी अंगूठी कहलाती है शरीरया बीजगणित के साथविभाजन. क्रमविनिमेय निकाय कहा जाता है मैदान.

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि शरीर में क*   और 1  क* का अर्थ है 1  0, इसलिए न्यूनतम निकाय, जो एक क्षेत्र है, में दो तत्व होते हैं: 0 और 1।

उदाहरण 4.1.3.

1. (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) – क्रमशः संख्यात्मक फ़ील्डतर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याएँ।

2. (जेड/पीजेड, +, ) – से एक परिमित क्षेत्र पीतत्व यदि पी- प्रधान संख्या। उदाहरण के लिए, ( जेड/2जेड, +, ) - दो तत्वों का न्यूनतम क्षेत्र।

3. एक गैर-विनिमेय निकाय है चतुर्भुज शरीर- तय करना quaternions, अर्थात् रूप के भाव एच= ए + द्वि + सी.जे + डीके, कहाँ ए, बी, सी, डी  आर, मैं 2 = = जे 2 = क 2 = – 1, मैं  जे= क= – जे  मैं, जे  क= मैं= – क  जे, मैं  क= – जे= – क  मैं, जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के साथ। उपरोक्त सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, चतुर्भुजों को पद दर पद जोड़ा और गुणा किया जाता है। सभी के लिए एच 0 व्युत्क्रम चतुर्भुज का रूप है:
.

शून्य भाजक वाले छल्ले और शून्य भाजक वाले छल्ले होते हैं।

परिभाषा 4.1.5. यदि रिंग में गैर-शून्य तत्व हैं एऔर बीऐसा है कि ए  बी= 0, तो उन्हें बुलाया जाता है शून्य भाजक, और अंगूठी स्वयं - शून्य डिवाइडर वाली रिंग. में अन्यथाअंगूठी कहा जाता है शून्य विभाजक के बिना वलय.

उदाहरण 4.1.4.

1. रिंग्स ( जेड, +, ), (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) - शून्य विभाजक के बिना छल्ले।

2. रिंग में ( वी 3 (आर), +, ) प्रत्येक गैर-शून्य तत्व एक शून्य भाजक है, क्योंकि
सभी के लिए
वी 3 (आर).

3. मैट्रिक्स रिंग में एम 3 (जेड) शून्य भाजक के उदाहरण आव्यूह हैं
और
, क्योंकि ए  बी = हे(शून्य मैट्रिक्स)।

4. रिंग में ( जेड/एनजेड, +, ) समग्र के साथ एन = क  एम, जहां 1< क, एम < एन, अवशेष वर्ग और चूँकि, शून्य विभाजक हैं। 

नीचे हम रिंगों और क्षेत्रों के मुख्य गुण प्रस्तुत करते हैं।

वलय की अवधारणा, वलय के सबसे सरल गुण।

बीजगणित ( क, +, ∙) को वलय कहा जाता है यदि निम्नलिखित सिद्धांत मान्य हों:

1. (क, +) – क्रमविनिमेय समूह;

2.
ए (बी+सी) = एबी+एसी (बी+सी)ए = बा+सीए;

3. ए (ईसा पूर्व) = (अब) सी.

यदि किसी वलय में गुणन की संक्रिया क्रमविनिमेय है, तो वलय क्रमविनिमेय कहलाता है।

उदाहरण।बीजगणित (Z, +, ∙), ( क्यू, +, ∙), (आर, + ,∙) वलय हैं।

अंगूठी में निम्नलिखित गुण हैं: वहाँ है

1) ए + बी = ए => बी = 0;

2) ए+बी = 0 => बी = - ए;

3) – (- ए) = ए;

4) 0∙ए = ए∙0 = 0 (0 - रिंग शून्य);

5) (-ए)∙बी = ए∙(-बी) = -ए∙बी;

6) (ए – बी)∙सी = ए∙सी – बी∙सी, कहाँ ए- बी = ए + (-बी).

आइए हम संपत्ति 6 ​​साबित करें। ( ए-बी)∙सी = (ए+ (-बी))∙सी = ए∙सी+ (-बी)∙सी = ए∙सी +(-बी∙सी)= =ए∙सी–बी∙सी.

होने देना ( क ए करिंग का सबरिंग कहा जाता है ( क,+,∙) यदि यह रिंग में संचालन के संबंध में एक रिंग है ( क, +, ∙).

प्रमेय.होने देना ( क, +, ∙) – अंगूठी. गैर-रिक्त उपसमुच्चय ए क, वलय का एक उप-वलय है कोतब और केवल जब
ए- बी, ए∙बी
.

उदाहरण।वलय (Q, +, ∙) वलय का एक उप-वलय है ( ए, +, ∙), कहाँ ए = ={ए+ बी | ए, बीक्यू)।

एक क्षेत्र की अवधारणा. फ़ील्ड के सबसे सरल गुण.

परिभाषा।क्रमविनिमेय वलय ( आर, +, ∙) एक के साथ, जहां रिंग का शून्य रिंग की पहचान के साथ मेल नहीं खाता है, उसे फ़ील्ड कहा जाता है यदि
ए≠0 एक व्युत्क्रम तत्व है ए -1 , ए∙ ए -1 = इ, इ- अंगूठी की इकाई.

रिंगों के सभी गुण फ़ील्ड के लिए मान्य हैं। फ़ील्ड के लिए ( आर,+,∙) निम्नलिखित गुण भी मान्य हैं:

1)
ए≠0 समीकरण आह =बीएक समाधान है और, इसके अलावा, एक अनोखा;

2) एबी = ई |=> ए≠0 बी =ए -1 ;

3)

सी≠0 एसी = बीसी => ए=बी;

4)अब = 0
ए = 0 बी = 0;

5) विज्ञापन = बी.सी (बी≠0, डी≠0);

6)
;

.

उदाहरण।बीजगणित (क्यू, +, ∙), ( ए, +, ∙), कहाँ ए = {ए+बी | ए, बीक्यू), ( आर, +, ∙) – फ़ील्ड.

होने देना ( आर,+,∙) – फ़ील्ड। गैर-रिक्त उपसमुच्चय एफ पी, जो क्षेत्र में ऑपरेशन से संबंधित एक क्षेत्र है ( आर,+,∙) को क्षेत्र का उपक्षेत्र कहा जाता है आर.

उदाहरण।क्षेत्र (Q,+,∙) वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (R,+,∙) का एक उपक्षेत्र है।

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. दिखाएँ कि गुणन की संक्रिया के संबंध में एक समुच्चय एक एबेलियन समूह है।

2. ऑपरेशन को सेट Q\(0) पर परिभाषित किया गया है एबी =
. सिद्ध कीजिए कि बीजगणित (Q\(0),) एक समूह है।

3. सेट Z पर, एक द्विआधारी बीजगणितीय ऑपरेशन दिया गया है, जो नियम द्वारा परिभाषित है, एबी = ए+बी – 2. पता लगाएँ कि क्या बीजगणित (Z,) एक समूह है।

4. सेट पर ए = {(ए, बी)
) ऑपरेशन परिभाषित ( ए,बी) (सी, डी) = (एसी– बी.डी, विज्ञापन+ ईसा पूर्व). सिद्ध करें कि बीजगणित ( ए,) - समूह।

5. चलो टी- सभी मैपिंग का सेट
नियम द्वारा दिया गया
, कहाँ ए,बीक्यू, ए
साबित करें कि टीमैपिंग की संरचना के संबंध में एक समूह है।

6. चलो ए={1,2,…,एन). एक-से-एक मैपिंग एफ:
प्रतिस्थापन कहा जाता है एन– ओह डिग्री. प्रतिस्थापन एन– ओह डिग्री को तालिका के रूप में लिखना सुविधाजनक है
, जहां दो प्रतिस्थापनों का उत्पाद
सेट एमैपिंग की संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है। ए-प्राथमिकता

सिद्ध कीजिए कि सभी प्रतिस्थापनों का समुच्चय एन– ओह डिग्री प्रतिस्थापन के उत्पाद के अंतर्गत एक समूह है।

7. पता लगाएँ कि क्या वलय योग और गुणन के सापेक्ष बनता है:

ए) एन; बी) सभी विषम पूर्णांकों का समुच्चय; ग) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय; डी) फॉर्म के नंबरों का सेट
कहाँ ए,बी

8. क्या सेट एक रिंग है? को={ए+बी
) जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के संबंध में।

9. दिखाओ कि सेट ए={ए+बी) जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के संबंध में एक वलय है।

10. सेट पर जेडदो ऑपरेशन परिभाषित हैं: एबी=ए+बी+1, अब= अब+ ए+ बी. उस बीजगणित को सिद्ध कीजिए

11. मॉड्यूलो अवशेष वर्गों के सेट पर एमदो द्विआधारी संक्रियाएँ दी गई हैं: सिद्ध कीजिए कि बीजगणित
पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय।

12 . वलय के सभी उपवलयों का वर्णन करें
.

13. पता लगाएँ कि वास्तविक संख्याओं के निम्नलिखित सेटों में से कौन सा जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के संबंध में फ़ील्ड हैं:

ए) विषम हर वाली परिमेय संख्याएँ;

बी) फॉर्म के नंबर
तर्कसंगत के साथ ए,बी;

सी) फॉर्म के नंबर
तर्कसंगत के साथ ए, बी;

डी) फॉर्म के नंबर
तर्कसंगत के साथ ए, बी, सी.

§5. सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र. कॉम्प्लेक्स पर संचालन

बीजगणितीय रूप में संख्याएँ

जटिल संख्या फ़ील्ड.

मान लीजिए दो बीजगणित ( ए,+,∙), (Ā , ,◦). प्रदर्शन एफ: ए पर में) >Ā , शर्तों को पूरा करना:
एफ(ए+बी) = एफ(ए) एफ(बी) एफ(ए◦बी) = एफ(ए) ◦ एफ(बी), को बीजगणित समरूपता कहा जाता है ( ए, +, ∙) बीजगणित में (पर) Ā , , ◦).

परिभाषा।होमोमोर्फिक मानचित्रण एफबीजगणित ( ए, +, ∙) से बीजगणित ( Ā , , ◦) यदि मैपिंग हो तो इसे आइसोमोर्फिक मैपिंग कहा जाता है एफसेट एपर Ā इंजेक्शन से. बीजगणित के दृष्टिकोण से, समरूपी बीजगणित अप्रभेद्य हैं, अर्थात्। समान गुण हैं.

मैदान के ऊपर आरप्रपत्र का समीकरण एक्स 2 +1 = 0 का कोई समाधान नहीं है। आइए एक फ़ील्ड बनाएं जिसमें एक सबफ़ील्ड शामिल हो, क्षेत्र के लिए समरूपी (आर,+,∙), और जिसमें समीकरण इस प्रकार का है एक्स 2 +1 = 0 का हल है।

सेट पर सी = आर× आर = {(ए, बी) | ए, बी आर) हम जोड़ और गुणा की संक्रियाओं का परिचय इस प्रकार देते हैं: ( ए, बी) (सी, डी) = (ए+ सी, बी+ डी), (ए, बी) ◦ (सी, डी) = (एसी-बी.डी, विज्ञापन+ईसा पूर्व). यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि बीजगणित (C, ,◦) पहचान के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है। युग्म (0,0) वलय का शून्य है, (1,0) वलय की इकाई है। आइए हम दिखाते हैं कि अंगूठी ( साथ, ,◦)-फ़ील्ड. होने देना ( ए, बी) सी, ( ए, बी) ≠ (0,0) और ( एक्स,य) C संख्याओं का एक युग्म है जैसे ( ए, बी)◦(एक्स, य) = (1,0). (ए, बी)◦(एक्स, य) = (1,0) (कुल्हाड़ी– द्वारा, एय+ बीएक्स) = (1,0)

(1)

(1) से =>
,
(ए, बी) -1 =
. इसलिए (C, +, ∙) एक क्षेत्र है। सेट पर विचार करें आर 0 = {(ए,0) | ए आर). क्योंकि ( ए,0) (बी,0) = (ए- बी,0)आर 0 , (ए,0)◦(बी,0) = (अब,0) आर 0 ,
(ए,0) ≠ (0,0) (ए,0) -1 = (,0) आर 0, फिर बीजगणित ( आर 0, ,◦)-फ़ील्ड.

आइए एक मैपिंग बनाएं एफ: आर
आर 0 शर्त द्वारा परिभाषित एफ(ए)=(ए,0) . क्योंकि एफ – विशेषण मानचित्रण और एफ(ए+ बी)= (ए+ बी,0) = =(ए,0)(बी,0) = एफ(ए)एफ(बी), एफ(ए∙बी) = (ए∙ बी,0) = (ए,0)◦(बी,0) =एफ(ए)◦एफ(बी), वह एफ- आइसोमोर्फिक मैपिंग। इस तरह, ( आर , +,∙)
(आर 0, ,◦). (आर 0, ,◦) – वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र।

आइये दिखाते हैं कि फॉर्म का एक समीकरण एक्सक्षेत्र में 2 +1 = 0 (C , , ◦) का समाधान है। ( एक्स, वाई) 2 + (1,0) = (0,0) (एक्स 2 - य 2 +1, 2xy) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) - सिस्टम (2) का समाधान।

निर्मित क्षेत्र (C , ,◦) को सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र कहा जाता है, और इसके तत्व सम्मिश्र संख्याएँ होते हैं।

सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप. बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ।

मान लीजिए (C, +, ∙) सम्मिश्र संख्याओं का एक क्षेत्र है,
सी,
=(ए, बी). क्योंकि ( आर 0 ,+, ∙) (आर, +, ∙), फिर कोई भी जोड़ा ( ए,0) हम पहचानते हैं वास्तविक संख्या ए. आइए हम इसे निरूपित करें ί = (0,1). क्योंकि ί 2 = (0.1)∙(0.1) = (-1.0) = -1, फिर ί काल्पनिक इकाई कहलाती है। आइए एक सम्मिश्र संख्या की कल्पना करें
=(ए,बी) फॉर्म में: =( ए,बी)=(ए,0) +(बी,0) ◦(0,1)=ए+बी∙ί. किसी सम्मिश्र संख्या का निरूपण, = के रूप में ए + बीί किसी संख्या को लिखने का बीजगणितीय रूप कहा जाता है। एकिसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है और इसे Re से निरूपित किया जाता है, बीएक सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग है और इसे Im द्वारा दर्शाया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं का योग:

α = ए+bί, β = एस+डीί , α +β = (ए,बी) + (सी, डी) = (ए+ सी, बी+ डी) = ए+ सी+ (बी+ डी)ί.

सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करना:

α∙β = (ए, बी)(सी, डी) = (ए∙ सी– बी∙ डी, ए∙ डी+ बी∙ सी) = ए∙ सी - बी∙ डी + (ए∙ डी + बी∙ सी)ί.

सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना ए+bί और एस+डीί , आपको गुणा करने की आवश्यकता है ए+bίपर एस+डीί द्विपद दर द्विपद के रूप में, यह देखते हुए ί 2 = -1.

से भाग देने का भागफल β , β ≠ 0 एक जटिल संख्या γ है जैसे कि = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1 . क्योंकि
, फिर = ∙β -1 = =(ए, बी)∙
इस प्रकार

यह सूत्र प्राप्त किया जा सकता है यदि भिन्न के अंश और हर को हर से संयुग्मित सम्मिश्र संख्या से गुणा किया जाए, अर्थात। पर

साथ -dί.

उदाहरण।सम्मिश्र संख्याओं का योग, गुणनफल, भागफल ज्ञात कीजिए

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

समाधान। + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. जड़ निष्कर्षणएनत्रिकोणमितीय रूप में किसी सम्मिश्र संख्या की -वीं घात

सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप.

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर, एक सम्मिश्र संख्या

जेड = ए + bίहम इसे एक बिंदु के रूप में प्रस्तुत करेंगे ए(ए,बी) या त्रिज्या वेक्टर
.

आइए एक सम्मिश्र संख्या को निरूपित करें जेड = 2 – 3ί .

परिभाषा।संख्या
सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है जेड = ए + bίऔर | द्वारा निरूपित किया जाता है जेड |.

O अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच बनने वाला कोण एक्सऔर त्रिज्या वेक्टर एक जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जेड= ए+ bί, को संख्या तर्क कहा जाता है जेडऔर नामित किया गया है आर्गजेड.

Argzपद 2π तक परिभाषित क, .

सम्मिश्र संख्या तर्क जेड, शर्त 0≤ को संतुष्ट करना< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа जेडऔर नामित किया गया है आर्ग जेड.

से ओएए 1 => ए=
ओल ,बी= पाप
. जटिल संख्या प्रतिनिधित्व जेड= ए+ bίजैसा जेड= आर(क्योंकि) + ί पाप) किसी संख्या को लिखने का त्रिकोणमितीय रूप कहलाता है जेड (आर=). एक जटिल संख्या लिखने के लिए जेड = ए + bίत्रिकोणमितीय रूप में, आपको जानना आवश्यक है | जेड| और आर्ग जेड, जो सूत्रों से निर्धारित होते हैं
, क्योंकि =
पाप=

होने देना जेड 1 = आर 1 (क्योंकि) φ 1 + ί पाप φ 1), जेड 2 = आर 2 (को φ 2 + ί पाप φ 2). तब जेड 1∙ जेड 2 = =आर 1∙ आर 2 [(क्योंकि φ 1 ∙cos φ 2-पाप φ 1∙पाप φ 2)+मैं]= आर 1∙ आर 2 [(क्योंकि (φ 1+ φ 2) + मैंपाप( φ 1+ φ 2)]. यह इस प्रकार है | जेड 1 जेड 2 | = |जेड 1 | |जेड 2 |, आर्ग जेड 1 ∙जेड 2 = आर्ग जेड 1 + आर्ग जेड 2 .

आर्ग
आर्ग -आर्ग .

जड़ निष्कर्षणएनत्रिकोणमितीय रूप में किसी सम्मिश्र संख्या की -वीं घात।

होने देना जेडसी, एनएन. एन – सम्मिश्र संख्या की वां घात जेड कार्य कहा जाता है
यह निर्दिष्ट है जेड एन. होने देना एम=- एन. परिभाषा के अनुसार हम ऐसा मानते हैं
z≠0, z 0 = 1, जेड एम = . अगर जेड =आर(क्योंकि) φ + ί पाप φ ) , वह जेड एन =

= आर एन(क्योंकि) nφ + ί पाप nφ). पर आर = 1 हमारे पास है जेड एन = ओल nφ + ί पाप nφ - मोइवरे का सूत्र. मोइवरे का सूत्र कायम है
.

जड़ एन जेडऐसी सम्मिश्र संख्या कहलाती है ω , क्या ω एन = जेड. यह एक उचित बयान है.

प्रमेय.मौजूद एनजड़ के अलग-अलग अर्थ एनकिसी सम्मिश्र संख्या की -वीं घात जेड = आर(क्योंकि) φ + ί पाप φ ) . उन सभी को सूत्र से प्राप्त किया जाता है क = 0, 1, … , एन-1. इस सूत्र में
– अंकगणित मूल.

आइए हम निरूपित करें, ω 0 , ω 1 ,…, ω एन-1 – मूल मान एनकी डिग्री जेड, जिसके साथ प्राप्त किया जाता है क = 0, 1, ... , एन-1. चूँकि | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω एन -1 |,

आर्ग ω 0 = , ω 1 = आर्ग ω 0 +
, … , आर्ग ω एन -1 = आर्ग ω एन - 2+, फिर सम्मिश्र संख्याएँ ω 0 , ω 1 ,…, ω एनसमतल पर -1 को समान त्रिज्या वाले वृत्त के बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है
और इस वृत्त को भागों में विभाजित करें एनबराबर भाग।

जोड़ने के संबंध में;

$\backslash forall\; a\; \backslash in\; R\backslash ;\; \backslash मौजूद\; b\; \backslash in\; R\; \backslash left(a\; +\; b\; =\; b\; +\; a\; =\; 0\backslash right)$- जोड़ के सापेक्ष विपरीत तत्व का अस्तित्व;

$(a\; \backslash times\; b)\; \backslash times\; c=a\; \backslash times\; (b\; \backslash times\; c)$- गुणन की साहचर्यता;

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; a\; \backslash times\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; \backslash times\; b)\; +\; (a\; \backslash times\; c)\; \backslash \backslash \; (b\; +\; c)\; \backslash times\; a\; =\; (b\; \backslash times\; a)\; +\; (\; c\; \backslash times\; a)\; \backslash end(मैट्रिक्स)\backslash right.$- वितरणशीलता.

एक प्रतीक के बजाय $\backslash बार$प्रतीक का प्रयोग प्रायः किया जाता है $\backslash cdot$, या इसे पूरी तरह से छोड़ दें।

सबसे सरल गुण

निम्नलिखित गुण सीधे वलय अभिगृहीतों से प्राप्त किए जा सकते हैं:

बुनियादी अवधारणाओं

वलय तत्वों के प्रकार

मान लें कि अंगूठी में गैर-शून्य तत्व हैं (अंगूठी तुच्छ नहीं है)। फिर बायां शून्य भाजक एक गैर-शून्य तत्व है $ए$के छल्ले $आर,$जिसके लिए एक गैर-शून्य तत्व है $बी$के छल्ले $आर,$ऐसा है कि $एबी=0.$सही शून्य भाजक इसी प्रकार निर्धारित किया जाता है। क्रमविनिमेय वलय में ये अवधारणाएँ मेल खाती हैं। उदाहरण: अंतराल पर निरंतर कार्यों की एक अंगूठी पर विचार करें $(-1,\; 1).$चलो रखो $f(x)=\backslash max(0,\; x),$ $g(x)=\backslash max(0,\; -x).$तब $f\backslash ne0,\; g\backslash ne0,\; fg=0,$वह है $एफ,\; जी$शून्य विभाजक हैं. ये है शर्त $f\backslash ne0$मतलब कि $एफ$एक गैर-शून्य फ़ंक्शन है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है $एफ$कहीं कोई फर्क नहीं पड़ता $0.$

अगर $ए$- एकता के साथ वलय का एक मनमाना तत्व $आर,$फिर बाएँ व्युत्क्रम तत्व को $ए$बुलाया $a^(-1)\_(एल)$ऐसा है कि $a^(-1)\_(l)a=1.$सही व्युत्क्रम तत्व को इसी तरह परिभाषित किया गया है। यदि तत्व $ए$बाएँ और दाएँ दोनों व्युत्क्रम हैं, तो उत्तरार्द्ध मेल खाता है, और हम ऐसा कहते हैं $ए$एक व्युत्क्रम तत्व है, जो विशिष्ट रूप से निर्धारित और निरूपित होता है $ए^(-1).$तत्व को ही उलटा तत्व कहा जाता है।

सब्रिंग

सबसेट $ए\backslash उपसमुच्चय\; आर$बुलाया सबरिंग $आर,$अगर $ए$परिभाषित परिचालनों के संबंध में स्वयं एक रिंग है $आर।$साथ ही वे ऐसा कहते हैं $आर$- रिंग विस्तार $एक।$दूसरे शब्दों में, एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय $ए\backslash उपसमुच्चय\; आर$यदि एक उपरिंग है

• $ए$वलय का एक योगात्मक उपसमूह है $आर,$यानी किसी के लिए भी $x,\; y\; \backslash in\; A:\; x+y,\; -x\; \backslash in\; A,$
• $ए$गुणन के अंतर्गत बंद है, अर्थात किसी के लिए $x,\; y\; \backslash in\; A:\; xy\; \backslash in\; A.$

एक सबरिंग को क्रमविनिमेयता का गुण विरासत में मिलता है।

गैर-रिक्त उपसमुच्चय $मैं$के छल्ले $आर$बुलाया वामपंथी आदर्श, अगर:

• $मैं$एक वलय का एक योगात्मक उपसमूह है, अर्थात किन्हीं दो तत्वों का योग $मैं$अंतर्गत आता है $मैं,$और $a\backslash in\; I\backslash दायाँ\; तीर\; -a\backslash in\; I.$

• I को रिंग के एक मनमाना तत्व द्वारा बाएं गुणा के तहत बंद कर दिया गया है, अर्थात किसी के लिए $मैं\; में,$ $आर\backslash इन\; आर$सही $बारिश\; मैं$

पहली संपत्ति का यह भी तात्पर्य है कि I अपने भीतर गुणन के तहत बंद है, इसलिए I एक उपरिंग है।

एक सही आदर्श जो दाईं ओर रिंग के एक तत्व द्वारा गुणन के तहत बंद होता है, उसे इसी तरह परिभाषित किया जाता है।
दो तरफा आदर्श(या केवल आदर्श) छल्ले $आर$- कोई भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय जो बाएँ और दाएँ दोनों आदर्श है।

इसके अलावा आदर्श अंगूठी $आर$कुछ समरूपता के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $एफ:\; आर\backslash टू\; आर"।$

अगर $एक्स$- वलय तत्व $आर,$फिर फॉर्म के तत्वों का सेट $आरएक्स$(क्रमश, $एक्सआर$) द्वारा उत्पन्न बाएँ (क्रमशः दाएँ) प्रधान आदर्श कहा जाता है $एक्स।$अगर अंगूठी $आर$क्रमविनिमेय रूप से, ये परिभाषाएँ मेल खाती हैं और मुख्य आदर्श उत्पन्न होता है $एक्स,$द्वारा चिह्नित $(एक्स)।$उदाहरण के लिए, सभी सम संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के वलय में एक आदर्श बनाता है, यह आदर्श तत्व 2 द्वारा उत्पन्न होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि पूर्णांकों के वलय में सभी आदर्श प्रमुख हैं।

किसी वलय का एक आदर्श जो संपूर्ण वलय के साथ मेल नहीं खाता है उसे सरल कहा जाता है यदि इस आदर्श के भागफल वलय में कोई शून्य विभाजक नहीं है।
एक वलय का आदर्श जो संपूर्ण वलय से मेल नहीं खाता है और किसी बड़े आदर्श में समाहित नहीं है जो वलय के बराबर नहीं है, अधिकतम कहलाता है।

समरूपता

वलय समरूपता (रिंग समरूपता)एक मानचित्रण है जो जोड़ और गुणा के संचालन को संरक्षित करता है। अर्थात्, वलय से एक समरूपता $आर$रिंग में $एस$एक फ़ंक्शन है $एफ:\; आर\backslash टू\; एस,$ऐसा है कि

1. $एफ(ए\; +\; बी)\; =\; एफ(ए)\; +\; एफ(बी),$
2. $f(a\; \backslash cdot\; b)\; =\; f(a)\; \backslash cdot\; f(b),\; ~\backslash forall\; a,\; b\; \backslash in\; ~R.$

एकता वाले छल्लों के मामले में कभी-कभी शर्तों की भी आवश्यकता होती है $एफ(1)\; =\; 1$ .

छल्लों की समरूपता कहलाती है समाकृतिकता, यदि छल्लों की व्युत्क्रम समरूपता है। वलयों का कोई भी विशेषण समरूपता एक समरूपता है। एक ऑटोमोर्फिज्म एक रिंग से स्वयं तक एक समरूपता है, जो एक आइसोमोर्फिज्म है। उदाहरण: किसी वलय की अपने आप में पहचान मानचित्रण एक ऑटोमोर्फिज्म है।

अगर $f:R\backslash से\; S$- छल्लों की समरूपता, तत्वों का समुच्चय $आर,$शून्य पर जाना कर्नेल कहलाता है $एफ$(संकेतित $\backslash mathrm(ker)\; f$). किसी भी समरूपता का मूल दोतरफा आदर्श है। दूसरी ओर, छवि $एफ$हमेशा एक आदर्श नहीं होता, बल्कि एक उपश्रेणी होता है $एस$(संकेतित $\backslash mathrm(im)\; f$).

कारक वलय

आदर्श द्वारा भागफल वलय की परिभाषा भागफल समूह की परिभाषा के समान है। अधिक सटीक रूप से, वलय का कारक वलय $आर$दोतरफा आदर्श के अनुसार $मैं$एक योगात्मक समूह के सहसमुच्चय का समुच्चय है $आर$योगात्मक उपसमूह द्वारा $मैं$निम्नलिखित परिचालनों के साथ:

• $(ए\; +\; आई)\; +\; (बी\; +\; आई)\; =\; (ए\; +\; बी)\; +\; आई,$
• $(ए\; +\; आई)(बी\; +\; आई)\; =\; (एबी)\; +\; आई।$

समूहों के मामले के समान, एक विहित समरूपता है $पी:\; आर\backslash टू\; आर/आई,$के रूप में दिया गया $x\; \backslash mapsto\; x\; +\; I.$मूल आदर्श है $मैं।$

समूहों की समरूपता पर प्रमेय के समान, छल्लों की समरूपता पर एक प्रमेय है: चलो $एफ:\; आर\backslash टू\; आर",$तब $\backslash mathrm(Im)\; f$समरूपता कर्नेल के संबंध में भागफल वलय के समरूपी $\backslash mathrm(Im)\; f\; \backslash simeq\; A/\backslash mathrm(Ker)\; f.$

अंगूठियों के कुछ विशेष वर्ग

उदाहरण

• $\backslash \{\; 0\backslash \}$- एक शून्य से युक्त एक तुच्छ वलय। यह एकमात्र वलय है जिसमें शून्य एक गुणक इकाई है। श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से इस तुच्छ उदाहरण को एक वलय के रूप में मानना ​​उपयोगी है, क्योंकि इस मामले में वलय की श्रेणियों में एक टर्मिनल वस्तु उत्पन्न होती है।
• $\backslash mathbb(Z)$- पूर्णांक (नियमित जोड़ और गुणा के साथ)। यह वलय का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है, क्योंकि किसी भी वलय को बीजगणित के ऊपर माना जा सकता है $\backslash Z$. यह श्रेणी में प्रारंभिक वस्तु भी है अँगूठीइकाई के साथ बजता है.
• $\backslash mathbb(Z)\_n$- मॉड्यूलो अवशेषों की अंगूठी प्राकृतिक संख्याएन। ये संख्या सिद्धांत के छल्ले के उत्कृष्ट उदाहरण हैं। अवशेष वलय एक फ़ील्ड है यदि और केवल यदि संख्या n अभाज्य है। परिमित क्षेत्रों के सिद्धांत के निर्माण के लिए संबंधित क्षेत्र प्रारंभिक बिंदु हैं। अवशेष वलय अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों की संरचना का अध्ययन करने में भी महत्वपूर्ण हैं, और उनका उपयोग पी-एडिक संख्याओं के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है।
• $\backslash गणितबीबी(क्यू)$- परिमेय संख्याओं का वलय, जो एक क्षेत्र है। यह विशेषता 0 का सबसे सरल क्षेत्र है। यह संख्या सिद्धांत में अध्ययन का मुख्य उद्देश्य है। इसे विभिन्न गैर-समतुल्य मानदंडों के अनुसार पूरा करने से वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र मिलते हैं $\backslash आर$और पी-एडिक संख्याएँ $\backslash Q\_p,$जहाँ p एक मनमाना अभाज्य संख्या है।
• एक मनमाना क्रमविनिमेय वलय के लिए $आर$आप n चरों में बहुपदों का एक वलय बना सकते हैं $आर$बाधाओं के साथ $आर।$विशेष रूप से, $आर[एक्स][वाई]=आर.$पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद वलय एक सार्वभौमिक बहुपद वलय है, इस अर्थ में कि सभी बहुपद वलय टेंसर उत्पाद के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं: $आर\; =\; R\backslash otimes\backslash left(\backslash Z\backslash right).$
• किसी समुच्चय के उपसमुच्चय का वलय $एक्स$एक वलय है जिसके तत्व उपसमुच्चय हैं $एक्स$. जोड़ की संक्रिया एक सममित अंतर है, और गुणन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है:

$ए\; +\; बी\; =\; ए\; \backslash डेल्टा\; बी\; =\; (ए\backslash सेटमिनस\; बी)\; \backslash कप\; (बी\; \backslash सेटमिनस\; ए),$ $A\backslash cdot\; B\; =\; A\backslash cap\; B.$रिंग स्वयंसिद्धों को सत्यापित करना आसान है। शून्य तत्व खाली सेट है, पहचान तत्व सब कुछ है। $एक्स।$वलय के सभी तत्व निष्क्रिय हैं, अर्थात् $A\backslash cdot\; A\; =\; A.$कोई भी तत्व जोड़ द्वारा उसका व्युत्क्रम होता है: $ए+ए=0.$बूलियन बीजगणित और माप सिद्धांत के सिद्धांत में उपसमुच्चय की अंगूठी महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत के निर्माण में।

कंस्ट्रक्शन

प्रत्यक्ष उत्पाद

माना कि R और S वलय हैं। फिर उत्पाद $आर\backslash टाइम्स\; एस$एक प्राकृतिक वलय संरचना प्रदान की जा सकती है। संचालन निम्नानुसार निर्दिष्ट हैं: किसी के लिए $r\_1,r\_2\backslash in\; R$, $s\_1,s\_2\backslash in\; S:$

• $(r\_1,s\_1)+(r\_2,s\_2)=(r\_1+r\_2,s\_1+s\_2),$
• $(r\_1,s\_1)\backslash cdot\; (r\_2,s\_2)=(r\_1r\_2,s\_1s\_2).$

छल्लों के एक मनमाने परिवार के उत्पाद के लिए एक समान निर्माण मौजूद है (जोड़ और गुणा घटकवार निर्दिष्ट हैं)।

एंडोमोर्फिज्म रिंग

मान लीजिए कि A एक एबेलियन समूह है (समूह संक्रिया निम्नलिखित में योगात्मक रूप से लिखी गई है)। फिर इस समूह की समरूपताओं का समुच्चय अपने आप में (अर्थात एंडोमोर्फिज्म) एक वलय बनाता है, जिसे अंत द्वारा दर्शाया जाता है( ए) . दो समरूपताओं का योग घटकवार निर्धारित किया जाता है: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$और उत्पाद समरूपताओं की एक संरचना की तरह है: $(fg)(x)=f(g(x)).$यदि A एक ऐसा समूह है जो एबेलियन नहीं है, तो $एफ+जी,$सामान्यतया, यह वैसा नहीं है $जी+एफ,$जबकि रिंग में जोड़ क्रमविनिमेय होना चाहिए।

भागफल का क्षेत्र और भागफल का वलय

मान लीजिए कि R एक अभिन्न वलय है, तो निम्नलिखित निर्माण हमें इसमें शामिल सबसे छोटे क्षेत्र का निर्माण करने की अनुमति देता है। वलय R का भागफल क्षेत्र औपचारिक भिन्नों के तुल्यता वर्गों का समुच्चय है $पी\; क्यू,\backslash ;\; पी,क्यू\backslash इन\; आर$निम्नलिखित तुल्यता संबंध द्वारा:

$(p\_1\; \backslash over\; q\_1)\backslash sim\; (p\_2\; \backslash over\; q\_2)$तब और केवल जब $(p\_1q\_2)=\; (p\_2q\_1),$

सामान्य परिचालन के साथ: $\backslash scriptstyle(a\; \backslash over\; b)+(c\; \backslash over\; d)=(ad+bc\; \backslash over\; bd),\backslash quad\; (a\; \backslash over\; b)\backslash cdot\; (c\; \backslash over\; d)=(ac\; \backslash over\; bd)।$

यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि दिया गया संबंध वास्तव में एक तुल्यता संबंध है: इसे साबित करने के लिए रिंग की अखंडता का उपयोग करना होगा। इस निर्माण का मनमाना क्रमविनिमेय वलय के लिए एक सामान्यीकरण है। अर्थात्, मान लीजिए कि S एक क्रमविनिमेय वलय R में एक गुणात्मक रूप से बंद प्रणाली है (अर्थात्, एक उपसमुच्चय जिसमें एक होता है और शून्य नहीं होता; उपसमुच्चय से किन्हीं दो तत्वों का गुणनफल फिर से उसी का होता है)। फिर भागफल की अंगूठी $एस^(-1)आर$औपचारिक भिन्नों के तुल्यता वर्गों का समुच्चय है $आर/एस,\backslash ;\; r\backslash in\; R,\; s\backslash in\; S$तुल्यता संबंध द्वारा:

$(r\_1\; \backslash ओवर\; s\_1)\backslash सिम\; (r\_2\; \backslash ओवर\; s\_2)$यदि और केवल यदि अस्तित्व है $एस"\backslash इन\; एस$, ऐसा है कि $s"(r\_1s\_2-r\_2s\_1)=\; 0.$

इस डिज़ाइन को भी कहा जाता है रिंग का स्थानीयकरण(चूंकि बीजगणितीय ज्यामिति में यह किसी को उसके व्यक्तिगत बिंदु पर विविधता के स्थानीय गुणों का अध्ययन करने की अनुमति देता है)। उदाहरण: दशमलव भिन्नों का वलय गुणन प्रणाली के अनुसार पूर्णांकों के वलय का स्थानीयकरण है $S=\backslash (10^n|n\backslash geqslant\; 0\backslash ).$

एक प्राकृतिक मानचित्रण है $R\; \backslash to\; S^(-1)R,\; \backslash ,\; r\; \backslash mapstor\; /\; 1.$इसके मूल में निम्नलिखित तत्व शामिल हैं आर, जिसके लिए है एस ∈ एस, ऐसा है कि $आरएस\; =\; 0.$विशेष रूप से के लिए पूरी अंगूठीयह मैपिंग इंजेक्टिव है.

श्रेणीबद्ध विवरण

वलय, वलय की समरूपता के साथ मिलकर, एक श्रेणी बनाते हैं, जिसे आमतौर पर दर्शाया जाता है अँगूठी(कभी-कभी इस प्रकार एक इकाई वाले छल्लों की श्रेणी को दर्शाया जाता है, और साधारण छल्लों की श्रेणी को दर्शाया जाता है आरएनजी). पहचान वाली अंगूठियों की श्रेणी में कई हैं लाभकारी गुण: विशेष रूप से, यह पूर्ण और संपूर्ण है। इसका मतलब यह है कि इसमें सभी छोटी सीमाएँ और कोलिमिट्स मौजूद हैं (उदाहरण के लिए, उत्पाद, सह-उत्पाद, कर्नेल और कोकर्नेल)। रिंगों की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु (रिंग) होती है $\backslash mathbb\; Z$) और एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट (शून्य रिंग)।

हम रिंग की निम्नलिखित स्पष्ट परिभाषा दे सकते हैं: पहचान के साथ एक साहचर्य रिंग एबेलियन समूहों की श्रेणी में एक मोनोइड है (एबेलियन समूह टेंसर उत्पाद संचालन के संबंध में एक मोनोइडल श्रेणी बनाते हैं)। रिंग क्रिया आरएक एबेलियन समूह पर (गुणन के तहत एक अंगूठी को एक मोनोइड के रूप में माना जाता है) एबेलियन समूह में बदल जाता है आर-मापांक एक मॉड्यूल की अवधारणा एक वेक्टर स्पेस की अवधारणा को सामान्यीकृत करती है: मोटे तौर पर कहें तो, एक मॉड्यूल एक "रिंग के ऊपर वेक्टर स्पेस" होता है।

अंगूठियों के विशेष वर्ग

छल्लों के ऊपर संरचनाएँ

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टिप्पणियाँ

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अंगूठी की विशेषता बताने वाला अंश (गणित)

एक्स
अपने पिता के अंतिम संस्कार के बाद, राजकुमारी मरिया ने खुद को अपने कमरे में बंद कर लिया और किसी को भी अंदर नहीं आने दिया। एक लड़की यह कहने के लिए दरवाजे पर आई कि एल्पाथिक छोड़ने का आदेश मांगने आया था। (यह द्रोण के साथ अल्पाथिक की बातचीत से पहले भी था।) राजकुमारी मरिया उस सोफे से उठीं, जिस पर वह लेटी हुई थीं और बंद दरवाजे से कहा कि वह कभी भी कहीं नहीं जाएंगी और अकेले रहने के लिए कहा।
जिस कमरे में राजकुमारी मरिया लेटी थी उसकी खिड़कियाँ पश्चिम की ओर थीं। वह दीवार की ओर मुंह करके सोफ़े पर लेट गई और चमड़े के तकिए के बटनों को छूते हुए, केवल इस तकिये को देखा, और उसके अस्पष्ट विचार एक ही चीज़ पर केंद्रित थे: वह मृत्यु की अपरिवर्तनीयता और अपने उस आध्यात्मिक घृणित कार्य के बारे में सोच रही थी, जो वह अब तक नहीं जानती थी और जो उसके पिता की बीमारी के दौरान सामने आया। वह चाहती थी, लेकिन प्रार्थना करने की हिम्मत नहीं कर रही थी, जिस मानसिक स्थिति में वह थी, उसमें भगवान की ओर मुड़ने की हिम्मत नहीं कर रही थी। वह काफी देर तक इसी स्थिति में पड़ी रही.
घर के दूसरी ओर सूरज डूब गया और खुली खिड़कियों से शाम की तिरछी किरणें कमरे और मोरोक्को तकिए के उस हिस्से को रोशन कर रही थीं जिसे राजकुमारी मरिया देख रही थी। उसके विचार का सिलसिला अचानक रुक गया। वह अनजाने में उठ खड़ी हुई, अपने बालों को सीधा किया, खड़ी हुई और खिड़की के पास चली गई, अनजाने में एक साफ लेकिन हवादार शाम की ठंडक का आनंद ले रही थी।
"हाँ, अब शाम को प्रशंसा करना आपके लिए सुविधाजनक है!" वह चला गया है, और कोई भी तुम्हें परेशान नहीं करेगा,'' उसने खुद से कहा, और, एक कुर्सी पर बैठते हुए, वह सबसे पहले खिड़की पर गिरी।
बगीचे की ओर से किसी ने उसे धीमी और धीमी आवाज में बुलाया और उसके सिर पर चुंबन किया। उसने पीछे मुड़कर देखा. यह काली पोशाक और प्लीरेस में एम ले बौरिएन थी। वह चुपचाप राजकुमारी मरिया के पास पहुंची, आह भरते हुए उसे चूमा और तुरंत रोने लगी। राजकुमारी मरिया ने पीछे मुड़कर उसकी ओर देखा। उसके साथ पिछली सभी झड़पें, उसके प्रति ईर्ष्या, राजकुमारी मरिया को याद थीं; मुझे यह भी याद आया कि वह हाल ही में एम एल बौरिएन के प्रति कैसे बदल गया था, उसे नहीं देख सका, और इसलिए, राजकुमारी मरिया ने अपनी आत्मा में उसके लिए जो तिरस्कार किया वह कितना अनुचित था। “और क्या मुझे, जो उसकी मृत्यु चाहता था, किसी की निंदा करनी चाहिए? - उसने सोचा।
राजकुमारी मरिया ने एम एल बौरिएन की स्थिति की स्पष्ट रूप से कल्पना की, जो हाल ही में अपने समाज से दूर हो गई थी, लेकिन साथ ही उस पर निर्भर थी और किसी और के घर में रह रही थी। और उसे उसके लिए खेद महसूस हुआ। उसने नम्रतापूर्वक प्रश्नवाचक दृष्टि से उसकी ओर देखा और अपना हाथ बढ़ा दिया। M lle Bourienne तुरंत रोने लगी, उसके हाथ को चूमने लगी और उस दुःख के बारे में बात करने लगी जो राजकुमारी पर आया था, जिससे वह खुद भी इस दुःख में भागीदार बन गई। उसने कहा कि उसके दुःख में एकमात्र सांत्वना यह थी कि राजकुमारी ने उसे इसे अपने साथ साझा करने की अनुमति दी। उसने कहा कि बड़े दुःख से पहले सभी पूर्व गलतफहमियाँ नष्ट हो जानी चाहिए, कि वह सबके सामने शुद्ध महसूस करती थी और वहाँ से वह उसका प्यार और कृतज्ञता देख सकता था। राजकुमारी उसकी बातें सुनती रही, उसकी बातें समझ नहीं रही थी, लेकिन कभी-कभी उसकी ओर देखती और उसकी आवाज़ सुनती।
"आपकी स्थिति दोगुनी भयानक है, प्रिय राजकुमारी," एम ले बौरिएन ने कुछ देर रुकने के बाद कहा। - मैं समझता हूं कि आप अपने बारे में नहीं सोच सकते थे और न ही सोच सकते हैं; लेकिन मैं आपके प्रति अपने प्यार के कारण ऐसा करने के लिए बाध्य हूं... क्या एल्पाथिक आपके साथ था? क्या उसने आपसे जाने के बारे में बात की? - उसने पूछा।
राजकुमारी मरिया ने कोई उत्तर नहीं दिया। उसे समझ नहीं आ रहा था कि कहां और किसे जाना है. “क्या अब कुछ भी करना, कुछ भी सोचना संभव था? क्या इससे कोई फर्क नहीं पड़ता? उसने कोई जवाब नहीं दिया.
“क्या आप जानते हैं, चेरे मैरी,” एम ले बौरिएन ने कहा, “क्या आप जानते हैं कि हम खतरे में हैं, कि हम फ्रांसीसियों से घिरे हुए हैं; अब यात्रा करना खतरनाक है. यदि हम जाएंगे, तो हम लगभग निश्चित रूप से पकड़े जाएंगे, और भगवान जानता है...
राजकुमारी मरिया ने अपनी सहेली की ओर देखा, उसे समझ नहीं आया कि वह क्या कह रही है।
"ओह, काश किसी को पता होता कि अब मुझे कितनी परवाह नहीं है," उसने कहा। - बेशक, मैं उसे कभी नहीं छोड़ना चाहूँगा... एल्पाथिक ने मुझे छोड़ने के बारे में कुछ बताया... उससे बात करो, मैं कुछ नहीं कर सकता, मुझे कुछ नहीं चाहिए...
- मैंने उससे बात की। उसे आशा है कि कल हमारे पास निकलने का समय होगा; लेकिन मुझे लगता है कि अब यहीं रहना बेहतर होगा,'' एम एलएल बौरिएन ने कहा। - क्योंकि, आप देख रही हैं, चेरे मैरी, सड़क पर सैनिकों या दंगाई लोगों के हाथों में पड़ना भयानक होगा। - एम एल बौरिएन ने अपने रेटिकुल से फ्रांसीसी जनरल रामेउ के एक गैर-रूसी असाधारण कागज पर एक घोषणा निकाली कि निवासियों को अपने घर नहीं छोड़ना चाहिए, कि उन्हें फ्रांसीसी अधिकारियों द्वारा उचित सुरक्षा दी जाएगी, और इसे राजकुमारी को सौंप दिया।
"मुझे लगता है कि इस जनरल से संपर्क करना बेहतर है," एम एल बौरिएन ने कहा, "और मुझे यकीन है कि आपको उचित सम्मान दिया जाएगा।"
राजकुमारी मरिया ने अखबार पढ़ा, और सूखी सिसकियों से उसका चेहरा हिल गया।
-तुम्हें यह किसके माध्यम से मिला? - उसने कहा।
"उन्हें शायद पता चल गया है कि मैं नाम से फ्रेंच हूं," एम एल बौरिएन ने शरमाते हुए कहा।
राजकुमारी मरिया हाथ में एक कागज़ लेकर खिड़की से उठ खड़ी हुई मुर्झाया हुआ चहरावह कमरा छोड़कर प्रिंस आंद्रेई के पूर्व कार्यालय में चली गई।
"दुन्याशा, अल्पाथिक, द्रोणुष्का, किसी को मेरे पास बुलाओ," राजकुमारी मरिया ने कहा, "और अमाल्या कार्लोव्ना से कहो कि वह मेरे पास न आए," उसने एम ले बौरिएन की आवाज सुनकर कहा। - जल्दी करो और जाओ! तेज़ी से जाओ! - राजकुमारी मरिया ने इस विचार से भयभीत होकर कहा कि वह फ्रांसीसियों की सत्ता में बनी रह सकती है।
"ताकि प्रिंस आंद्रेई को पता चले कि वह फ्रांसीसियों की शक्ति में है!" ताकि वह, प्रिंस निकोलाई आंद्रेइच बोल्कॉन्स्की की बेटी, मिस्टर जनरल रामेउ से उसे सुरक्षा प्रदान करने और उसके लाभों का आनंद लेने के लिए कहे! “इस विचार ने उसे भयभीत कर दिया, उसे काँपने, शरमाने और क्रोध और गर्व के उन हमलों का एहसास कराया जो उसने अभी तक अनुभव नहीं किए थे। उसकी स्थिति में जो कुछ भी कठिन और, सबसे महत्वपूर्ण, आक्रामक था, उसकी उसे स्पष्ट रूप से कल्पना की गई थी। “वे, फ्रांसीसी, इस घर में बसेंगे; श्री जनरल रमेउ प्रिंस आंद्रेई के पद पर आसीन होंगे; उनके पत्रों और कागजातों को छांटना और पढ़ना मजेदार होगा। एम ले बौरिएन लुई फेरा लेस ऑनर्स डी बोगुचारोवो। [मैडेमोसेले बौरियन बोगुचारोवो में सम्मान के साथ उनका स्वागत करेंगे।] वे दया से मुझे एक कमरा देंगे; सैनिक अपने पिता से क्रॉस और तारे हटाने के लिए उनकी ताज़ा कब्र को नष्ट कर देंगे; वे मुझे रूसियों पर जीत के बारे में बताएंगे, वे मेरे दुख के प्रति सहानुभूति दिखाएंगे... - राजकुमारी मरिया ने अपने विचारों से नहीं, बल्कि अपने पिता और भाई के विचारों के साथ खुद के लिए सोचने के लिए बाध्य महसूस किया। उनके लिए व्यक्तिगत रूप से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह कहाँ रहीं और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके साथ क्या हुआ; लेकिन साथ ही वह अपने दिवंगत पिता और प्रिंस आंद्रेई के प्रतिनिधि की तरह महसूस करती थी। वह अनायास ही उनके विचारों से सोचती थी और उन्हें अपनी भावनाओं से महसूस करती थी। अब वे जो भी कहेंगे, जो भी करेंगे, उसे वही करना जरूरी लगा। वह प्रिंस आंद्रेई के कार्यालय में गई और उनके विचारों को समझने की कोशिश करते हुए, अपनी स्थिति पर विचार किया।
जीवन की माँगें, जिन्हें वह अपने पिता की मृत्यु के साथ नष्ट हुआ मानती थी, राजकुमारी मरिया के सामने अचानक एक नई, अभी भी अज्ञात शक्ति के साथ उठीं और उन पर हावी हो गईं। उत्साहित, लाल चेहरे वाली, वह कमरे के चारों ओर घूमती रही, पहले एल्पाथिक, फिर मिखाइल इवानोविच, फिर तिखोन, फिर द्रोण की मांग करने लगी। दुन्याशा, नानी और सभी लड़कियाँ इस बारे में कुछ नहीं कह सकीं कि एम एल बौरिएन ने जो घोषणा की वह किस हद तक उचित थी। एल्पाथिक घर पर नहीं था: वह अपने वरिष्ठों से मिलने गया था। बुलाए गए वास्तुकार मिखाइल इवानोविच, जो नींद भरी आँखों से राजकुमारी मरिया के पास आए, उनसे कुछ नहीं कह सके। समझौते की बिल्कुल उसी मुस्कुराहट के साथ जिसके साथ वह पंद्रह वर्षों से बूढ़े राजकुमार की अपीलों पर अपनी राय व्यक्त किए बिना प्रतिक्रिया देने का आदी था, उसने राजकुमारी मरिया के सवालों का जवाब दिया, ताकि उसके उत्तरों से कुछ भी निश्चित न हो सके। बुलाए गए बूढ़े सेवक तिखोन ने, एक धँसे हुए और थके हुए चेहरे के साथ, असाध्य दुःख की छाप के साथ, राजकुमारी मरिया के सभी सवालों का जवाब "मैं सुनता हूँ" और उसे देखते हुए रोने से खुद को मुश्किल से रोक सका।
अंत में, बड़े द्रोण ने कमरे में प्रवेश किया और राजकुमारी को प्रणाम करते हुए, लिंटेल पर रुक गए।
राजकुमारी मरिया कमरे के चारों ओर घूमी और उसके सामने रुक गई।
"द्रोणुष्का," राजकुमारी मरिया ने कहा, जो उसमें एक निस्संदेह मित्र को देखती थी, वही द्रोणुष्का, जो व्याज़मा में मेले की अपनी वार्षिक यात्रा से लेकर हर बार उसके लिए अपनी विशेष जिंजरब्रेड लाता था और मुस्कुराहट के साथ उसे परोसता था। "द्रोणुष्का, अब, हमारे दुर्भाग्य के बाद," वह शुरू हुई और चुप हो गई, आगे बोलने में असमर्थ हो गई।
"हम सभी भगवान के अधीन चलते हैं," उन्होंने आह भरते हुए कहा। वे चुप थे.
- द्रोणुष्का, अल्पाथिक कहीं चला गया है, मेरे पास मुड़ने वाला कोई नहीं है। क्या यह सच है कि वे मुझसे कहते हैं कि मैं नहीं जा सकता?
"आप क्यों नहीं जाते, महामहिम, आप जा सकते हैं," द्रोण ने कहा।
"उन्होंने मुझसे कहा कि यह दुश्मन के लिए ख़तरनाक है।" डार्लिंग, मैं कुछ नहीं कर सकता, मुझे कुछ समझ नहीं आ रहा, मेरे साथ कोई नहीं है। मैं निश्चित रूप से रात को या कल सुबह जल्दी जाना चाहता हूँ। - ड्रोन चुप था। उसने अपनी भौंहों के नीचे से राजकुमारी मरिया की ओर देखा।
"वहां कोई घोड़े नहीं हैं," उन्होंने कहा, "मैंने याकोव अल्पाथिक को भी बताया था।"
- क्यों नहीं? - राजकुमारी ने कहा।
"यह सब भगवान की सजा से है," द्रोण ने कहा। "वहां कौन से घोड़े थे जिन्हें सैनिकों द्वारा उपयोग के लिए नष्ट कर दिया गया था, और कौन से घोड़े मर गए, यह आज कौन सा वर्ष है।" यह घोड़ों को खाना खिलाने जैसा नहीं है, बल्कि यह सुनिश्चित करना है कि हम खुद भूख से न मरें! और वे तीन दिन तक बिना कुछ खाए ऐसे ही बैठे रहते हैं। कुछ भी नहीं है, वे पूरी तरह बर्बाद हो चुके हैं।'
राजकुमारी मरिया ने जो कुछ उसने उससे कहा उसे ध्यान से सुना।
- क्या आदमी बर्बाद हो गए हैं? क्या उनके पास रोटी नहीं है? - उसने पूछा।
"वे भूख से मर रहे हैं," द्रोण ने कहा, "गाड़ियों की तरह नहीं..."
- तुमने मुझे क्यों नहीं बताया, द्रोणुष्का? क्या आप मदद नहीं कर सकते? मैं वह सब कुछ करूंगी जो मैं कर सकती हूं... - राजकुमारी मरिया के लिए यह सोचना अजीब था कि अब, ऐसे क्षण में, जब इस तरह के दुःख ने उसकी आत्मा को भर दिया, अमीर और गरीब लोग हो सकते हैं और अमीर गरीबों की मदद नहीं कर सकते। वह अस्पष्ट रूप से जानती और सुनती थी कि मालिक की रोटी थी और वह किसानों को दी जाती थी। वह यह भी जानती थी कि न तो उसका भाई और न ही उसके पिता किसानों की जरूरतों को अस्वीकार करेंगे; वह केवल किसानों को रोटी के इस वितरण के बारे में अपने शब्दों में किसी तरह की गलती होने से डर रही थी, जिसे वह निपटाना चाहती थी। वह खुश थी कि उसे देखभाल के लिए एक बहाना दिया गया था, जिसके लिए उसे अपना दुःख भूलने में कोई शर्म नहीं थी। उसने द्रोणुष्का से पुरुषों की ज़रूरतों और बोगुचारोवो में प्रभुत्व के बारे में विवरण माँगना शुरू कर दिया।
– आख़िर मालिक की रोटी तो हमारे पास है भाई? - उसने पूछा।
"मालिक की रोटी पूरी तरह सुरक्षित है," द्रोण ने गर्व से कहा, "हमारे राजकुमार ने इसे बेचने का आदेश नहीं दिया था।"
"उसे किसानों को दे दो, उसे वह सब कुछ दे दो जो उन्हें चाहिए: मैं तुम्हें अपने भाई के नाम पर अनुमति देती हूं," राजकुमारी मरिया ने कहा।
ड्रोन ने कुछ नहीं कहा और गहरी साँस ली।
“यदि यह उनके लिए पर्याप्त हो तो तुम उन्हें यह रोटी दे दो।” सब कुछ दे दो. मैं अपने भाई के नाम से तुझे आज्ञा देता हूं, और उन से कहता हूं, जो हमारा है वह उनका भी है। हम उनके लिए कुछ भी नहीं छोड़ेंगे. तो मुझे बताओ।
जब राजकुमारी बोल रही थी तो ड्रोन ने उसे ध्यान से देखा।
उन्होंने कहा, "मुझे बर्खास्त कर दो, माँ, भगवान के लिए, मुझे चाबियाँ स्वीकार करने के लिए कहो।" “मैंने तेईस साल तक सेवा की, मैंने कुछ भी बुरा नहीं किया; भगवान के लिए मुझे अकेला छोड़ दो।
राजकुमारी मरिया को समझ नहीं आया कि वह उससे क्या चाहता था और उसने खुद को बर्खास्त करने के लिए क्यों कहा। उसने उसे उत्तर दिया कि उसे उसकी भक्ति पर कभी संदेह नहीं हुआ और वह उसके और पुरुषों के लिए सब कुछ करने को तैयार थी।

इसके एक घंटे बाद, दुन्याशा राजकुमारी के पास खबर लेकर आई कि द्रोण आ गए हैं और राजकुमारी के आदेश से सभी लोग खलिहान में इकट्ठे हुए, मालकिन से बात करना चाहते थे।
"हाँ, मैंने उन्हें कभी नहीं बुलाया," राजकुमारी मरिया ने कहा, "मैंने केवल द्रोणुष्का को उन्हें रोटी देने के लिए कहा था।"
"केवल भगवान के लिए, राजकुमारी माँ, उन्हें आदेश दें और उनके पास न जाएँ।" यह सब बिल्कुल झूठ है,'' दुन्याशा ने कहा, ''और याकोव अल्पाथिक आएंगे और हम जाएंगे... और यदि आप चाहें तो...
- कैसा धोखा? - राजकुमारी ने आश्चर्य से पूछा
- हाँ, मुझे पता है, भगवान के लिए बस मेरी बात सुनो। बस नानी से पूछो. वे कहते हैं कि वे आपके आदेश पर जाने को सहमत नहीं हैं।
- आप कुछ ग़लत कह रहे हैं. हाँ, मैंने कभी जाने का आदेश नहीं दिया... - राजकुमारी मरिया ने कहा। - द्रोणुष्का को बुलाओ।
आने वाले द्रोण ने दुन्याशा के शब्दों की पुष्टि की: वे लोग राजकुमारी के आदेश पर आए थे।
“हाँ, मैंने उन्हें कभी नहीं बुलाया,” राजकुमारी ने कहा। "आपने शायद उन्हें यह बात सही ढंग से नहीं बताई।" मैंने तुमसे सिर्फ इतना कहा था कि उन्हें रोटी दे दो।
ड्रोन ने बिना उत्तर दिए आह भरी।
“यदि आप आदेश दें, तो वे चले जायेंगे,” उन्होंने कहा।
"नहीं, नहीं, मैं उनके पास जाऊँगी," राजकुमारी मरिया ने कहा
दुन्याशा और नानी के मना करने के बावजूद, राजकुमारी मरिया बाहर बरामदे में चली गई। द्रोण, दुन्याशा, नानी और मिखाइल इवानोविच ने उसका पीछा किया। "वे शायद सोचते हैं कि मैं उन्हें रोटी दे रही हूं ताकि वे अपने स्थान पर बने रहें, और मैं उन्हें फ्रांसीसियों की दया पर छोड़कर खुद चली जाऊंगी," राजकुमारी मरिया ने सोचा। - मैं उनसे मास्को के पास एक अपार्टमेंट में एक महीने रहने का वादा करूंगा; मुझे यकीन है कि आंद्रे ने मेरी जगह और भी अधिक किया होता,'' उसने गोधूलि में खलिहान के पास चरागाह में खड़ी भीड़ के पास आते हुए सोचा।
भीड़, उमड़ पड़ी, हलचल होने लगी और उनकी टोपियाँ तेजी से उतर गईं। राजकुमारी मरिया, अपनी आँखें नीची किए हुए और अपने पैरों को अपनी पोशाक में उलझाए हुए, उनके करीब आई। बूढ़े और जवान, बहुत सारी अलग-अलग आँखें उस पर टिकी हुई थीं और बहुत सारी थीं अलग-अलग व्यक्तिकि राजकुमारी मरिया ने एक भी चेहरा नहीं देखा था और अचानक सभी से बात करने की ज़रूरत महसूस करते हुए, उसे नहीं पता था कि क्या करना है। लेकिन फिर से इस चेतना ने कि वह अपने पिता और भाई की प्रतिनिधि थी, उसे ताकत दी और उसने साहसपूर्वक अपना भाषण शुरू किया।
"मुझे बहुत खुशी है कि आप आए," राजकुमारी मरिया ने अपनी आँखें ऊपर उठाए बिना और यह महसूस किए बिना शुरू किया कि उसका दिल कितनी तेज़ी और दृढ़ता से धड़क रहा था। "द्रोणुष्का ने मुझसे कहा कि तुम युद्ध के कारण बर्बाद हो गए हो।" यह हमारा साझा दुख है और मैं आपकी मदद करने में कोई कसर नहीं छोड़ूंगा। मैं स्वयं जा रहा हूं, क्योंकि यहां पहले से ही खतरनाक है और दुश्मन करीब है... क्योंकि... मैं तुम्हें सब कुछ देता हूं, मेरे दोस्तों, और मैं तुमसे सब कुछ, हमारी सारी रोटी लेने के लिए कहता हूं, ताकि तुम्हारे पास न हो कोई जरूरत. और यदि उन्होंने तुम से कहा कि मैं तुम्हें रोटी दे रहा हूं ताकि तुम यहां रहो, तो यह सच नहीं है। इसके विपरीत, मैं आपसे अपनी सारी संपत्ति के साथ हमारे मॉस्को क्षेत्र में चले जाने के लिए कहता हूं, और वहां मैं इसे अपने ऊपर ले लेता हूं और आपसे वादा करता हूं कि आपको इसकी आवश्यकता नहीं होगी। वे तुम्हें मकान और रोटी देंगे। - राजकुमारी रुक गई। भीड़ में सिर्फ आहें सुनाई दे रही थीं.
"मैं यह अपने आप नहीं कर रही हूं," राजकुमारी ने आगे कहा, "मैं यह अपने दिवंगत पिता के नाम पर कर रही हूं, जो आपके और मेरे भाई और उसके बेटे के लिए एक अच्छे गुरु थे।"
वह फिर रुक गयी. किसी ने उसकी चुप्पी नहीं तोड़ी.
- हमारा दुःख आम है, और हम सब कुछ आधा-आधा बाँट देंगे। "जो कुछ मेरा है वह तुम्हारा है," उसने अपने सामने खड़े चेहरों की ओर देखते हुए कहा।
सभी आँखों ने उसे एक ही भाव से देखा, जिसका अर्थ वह नहीं समझ सकी। चाहे वह जिज्ञासा हो, भक्ति हो, कृतज्ञता हो, भय और अविश्वास हो, सबके चेहरे पर भाव एक जैसे थे।
पीछे से एक आवाज़ आई, "बहुत से लोग आपकी दया से प्रसन्न हैं, लेकिन हमें स्वामी की रोटी नहीं लेनी है।"
- क्यों नहीं? - राजकुमारी ने कहा।
किसी ने उत्तर नहीं दिया, और राजकुमारी मरिया ने भीड़ के चारों ओर देखते हुए देखा कि अब जिन सभी की नज़रें उससे मिल रही थीं, वे तुरंत झुक गईं।
- आप क्यों नहीं चाहते? - उसने फिर पूछा।
किसी ने भी जवाब नहीं दिया।
राजकुमारी मरिया को इस चुप्पी से भारीपन महसूस हुआ; उसने किसी की नज़र पकड़ने की कोशिश की।
- आप बात क्यों नहीं करती? - राजकुमारी बूढ़े आदमी की ओर मुड़ी, जो छड़ी के सहारे उसके सामने खड़ा था। - अगर आपको लगता है कि किसी और चीज की जरूरत है तो मुझे बताएं। "मैं सब कुछ करूंगी," उसने उसकी नज़रों को पकड़ते हुए कहा। लेकिन उसने, मानो इस पर क्रोधित होकर, अपना सिर पूरी तरह से नीचे कर लिया और कहा:
- क्यों सहमत, हमें रोटी की जरूरत नहीं है।
- अच्छा, क्या हमें यह सब छोड़ देना चाहिए? नहीं मानना। हम सहमत नहीं हैं... हम सहमत नहीं हैं। हमें आपके लिए खेद है, लेकिन हम सहमत नहीं हैं। अपने आप चले जाओ, अकेले...'' के साथ भीड़ में सुना गया अलग-अलग पक्ष. और फिर से इस भीड़ के सभी चेहरों पर वही अभिव्यक्ति दिखाई दी, और अब यह शायद जिज्ञासा और कृतज्ञता की अभिव्यक्ति नहीं थी, बल्कि कटु दृढ़ संकल्प की अभिव्यक्ति थी।
"आप समझे नहीं, ठीक है," राजकुमारी मरिया ने उदास मुस्कान के साथ कहा। - तुम जाना क्यों नहीं चाहते? मैं तुम्हें घर देने और खाना खिलाने का वादा करता हूं। और यहां दुश्मन तुम्हें बर्बाद कर देगा...
लेकिन भीड़ की आवाज में उसकी आवाज दब गयी.
"हमारी सहमति नहीं है, उसे इसे बर्बाद करने दो!" हम आपकी रोटी नहीं लेते, हमारी सहमति नहीं!
राजकुमारी मरिया ने फिर भीड़ में से किसी की नज़र पकड़ने की कोशिश की, लेकिन एक भी नज़र उस पर नहीं पड़ी; आँखें स्पष्ट रूप से उससे बच गईं। उसे अजीब और अटपटा लग रहा था.
- देखो, उसने मुझे चतुराई से सिखाया, किले तक उसका पीछा करो! अपना घर उजाड़ कर बंधन में पड़ जाओ। क्यों! वे कहते हैं, मैं तुम्हें रोटी दूँगा! - भीड़ में आवाजें सुनाई दे रही थीं।
राजकुमारी मरिया, अपना सिर नीचे करके, घेरे से बाहर निकल गई और घर में चली गई। द्रोण को यह आदेश दोहराकर कि कल प्रस्थान के लिए घोड़े होने चाहिए, वह अपने कमरे में चली गई और अपने विचारों में अकेली रह गई।

उस रात राजकुमारी मरिया बहुत देर तक बैठी रही खुली खिड़कीअपने कमरे में, गाँव से आ रहे पुरुषों के बात करने की आवाज़ें सुन रही थी, लेकिन उसने उनके बारे में नहीं सोचा। उसे लगा कि चाहे वह उनके बारे में कितना भी सोचे, वह उन्हें समझ नहीं पाई। वह एक ही चीज़ के बारे में सोचती रही - अपने दुःख के बारे में, जो अब, वर्तमान की चिंताओं के कारण हुए ब्रेक के बाद, उसके लिए पहले ही अतीत बन चुका था। अब वह याद कर सकती थी, वह रो सकती थी और प्रार्थना कर सकती थी। जैसे ही सूरज डूबा, हवा धीमी हो गई। रात शांत और ताज़ा थी. बारह बजे आवाजें फीकी पड़ने लगीं, मुर्गे ने बांग दी, पूर्णिमा का चांद लिंडेन के पेड़ों के पीछे से निकलने लगा, ओस की ताजा, सफेद धुंध उग आई और गांव और घर पर सन्नाटा छा गया।
एक के बाद एक, निकट अतीत की तस्वीरें उसके सामने आने लगीं - बीमारी और उसके पिता के अंतिम क्षण। और दुखद खुशी के साथ वह अब इन छवियों पर ध्यान केंद्रित कर रही थी, भय के साथ खुद से दूर उसकी मृत्यु की केवल एक आखिरी छवि थी, जिसे - उसने महसूस किया - वह रात के इस शांत और रहस्यमय घंटे में अपनी कल्पना में भी विचार करने में असमर्थ थी। और ये तस्वीरें उसे इतनी स्पष्टता और इतने विस्तार के साथ दिखाई दीं कि वे उसे अब वास्तविकता, अब अतीत, अब भविष्य की तरह लगने लगीं।
तब उसने स्पष्ट रूप से उस क्षण की कल्पना की जब उसे दौरा पड़ा था और उसे बाँहों से पकड़कर गंजे पहाड़ों के बगीचे से बाहर खींच लिया गया था और वह नपुंसक जीभ से कुछ बुदबुदा रहा था, अपनी भूरी भौंहें सिकोड़ रहा था और बेचैनी और डरपोक भाव से उसकी ओर देख रहा था।
"तब भी वह मुझे वही बताना चाहता था जो उसने अपनी मृत्यु के दिन मुझसे कहा था," उसने सोचा। "वह हमेशा वही मतलब रखता था जो वह मुझसे कहता था।" और इसलिए उसे उस रात बाल्ड पर्वत में उस आघात की पूर्व संध्या पर पूरे विवरण के साथ याद आया, जब राजकुमारी मरिया, परेशानी को महसूस करते हुए, उसकी इच्छा के विरुद्ध उसके साथ रही थी। उसे नींद नहीं आई और रात को वह दबे पाँव नीचे गई और फूलों की दुकान के दरवाजे तक गई जहाँ उसके पिता ने उस रात बिताई थी, उसकी आवाज़ सुनने लगी। उसने थकी हुई, थकी हुई आवाज में तिखोन से कुछ कहा। वह स्पष्टतः बात करना चाहता था। “और उसने मुझे क्यों नहीं बुलाया? उसने मुझे यहाँ तिखोन के स्थान पर रहने की अनुमति क्यों नहीं दी? - राजकुमारी मरिया ने तब और अब सोचा। "वह अब कभी किसी को वह सब कुछ नहीं बताएगा जो उसकी आत्मा में था।" यह क्षण उसके और मेरे लिए कभी नहीं लौटेगा, जब वह वह सब कुछ कहेगा जो वह कहना चाहता था, और मैं, तिखोन नहीं, उसे सुनूंगा और समझूंगा। फिर मैं कमरे में क्यों नहीं आया? - उसने सोचा। "हो सकता है कि उसने मुझे तब बताया होता जो उसने अपनी मृत्यु के दिन कहा था।" फिर भी तिखोन से बातचीत में उन्होंने दो बार मेरे बारे में पूछा. वह मुझे देखना चाहता था, लेकिन मैं यहीं दरवाजे के बाहर खड़ा था। वह दुखी था, तिखोन से बात करना कठिन था, जो उसे नहीं समझता था। मुझे याद है कि कैसे उसने उससे लिसा के बारे में बात की थी, जैसे कि वह जीवित हो - वह भूल गया कि वह मर गई, और तिखोन ने उसे याद दिलाया कि वह अब वहां नहीं है, और वह चिल्लाया: "मूर्ख।" यह उसके लिए कठिन था. मैंने दरवाज़े के पीछे से सुना कि वह बिस्तर पर कैसे लेट गया, कराह रहा था, और ज़ोर से चिल्लाया: "हे भगवान! मैं फिर क्यों नहीं उठा?" वह मेरे साथ क्या करेगा? मुझे क्या खोना होगा? और शायद तब उन्हें सांत्वना मिलती, उन्होंने मुझसे यह शब्द कहा होता।” और राजकुमारी मरिया ने ज़ोर से कहा प्यारा सा कुछ नहीं, जो उसने अपनी मृत्यु के दिन उसे बताया था। "प्रिय! - राजकुमारी मरिया ने यह शब्द दोहराया और दिल को छू लेने वाले आंसुओं से रोने लगी। अब उसने उसका चेहरा अपने सामने देखा। और वह चेहरा नहीं जिसे वह याद करने के बाद से जानती थी, और जिसे वह हमेशा दूर से देखती थी; और वह चेहरा डरपोक और कमजोर है, जिसे आखिरी दिन, उसने जो कहा उसे सुनने के लिए उसके मुंह की ओर झुककर, उसकी सभी झुर्रियों और विवरणों के साथ पहली बार करीब से जांच की।
"डार्लिंग," उसने दोहराया।
“जब उसने यह शब्द कहा तो वह क्या सोच रहा था? वह अब क्या सोच रहा है? - अचानक उसके सामने एक सवाल आया और इसके जवाब में उसने उसे अपने सामने देखा, उसके चेहरे पर वही भाव थे जो ताबूत में थे, उसके चेहरे पर सफेद दुपट्टा बंधा हुआ था। और जब उसने उसे छुआ तो जिस भय ने उसे जकड़ लिया था और आश्वस्त हो गई थी कि यह न केवल वह नहीं था, बल्कि कुछ रहस्यमय और घृणित चीज़ थी, उसने अब उसे जकड़ लिया था। वह अन्य चीजों के बारे में सोचना चाहती थी, प्रार्थना करना चाहती थी, लेकिन कुछ नहीं कर सकती थी। वह बड़ी है खुली आँखों सेचाँदनी और छाया को देखता रहा, हर पल उसे देखने का इंतज़ार करता रहा मृत चेहराऔर महसूस किया कि घर और घर में जो सन्नाटा था वह उसे जकड़ रहा था।
- दुन्याशा! - वह फुसफुसाई। - दुन्याशा! - वह जंगली आवाज़ में चिल्लाई और, सन्नाटे को तोड़ते हुए, लड़कियों के कमरे की ओर, नानी की ओर और लड़कियाँ उसकी ओर दौड़ती हुई भागीं।

17 अगस्त को, रोस्तोव और इलिन, लवृष्का के साथ, जो अभी-अभी कैद से लौटे थे, और प्रमुख हुस्सर, उनके यांकोवो शिविर से, बोगुचारोवो से पंद्रह मील की दूरी पर, घुड़सवारी के लिए गए - इलिन द्वारा खरीदे गए एक नए घोड़े की कोशिश करने के लिए और पता लगाओ कि गाँवों में कोई घास है या नहीं।
बोगुचारोवो पिछले तीन दिनों से दो दुश्मन सेनाओं के बीच स्थित था, ताकि रूसी रियरगार्ड फ्रांसीसी मोहरा के रूप में आसानी से वहां प्रवेश कर सके, और इसलिए रोस्तोव, एक देखभाल करने वाले स्क्वाड्रन कमांडर के रूप में, बचे हुए प्रावधानों का लाभ उठाना चाहता था। फ़्रांसीसी से पहले बोगुचारोवो में।
रोस्तोव और इलिन सबसे प्रसन्न मूड में थे। बोगुचारोवो के रास्ते में, एक रियासत के साथ रियासत में, जहां उन्हें बड़े नौकरों और सुंदर लड़कियों को खोजने की उम्मीद थी, उन्होंने या तो लवृष्का से नेपोलियन के बारे में पूछा और उसकी कहानियों पर हँसे, या इलिन के घोड़े की कोशिश करते हुए इधर-उधर चले गए।
रोस्तोव को न तो पता था और न ही उसने सोचा था कि जिस गाँव की वह यात्रा कर रहा था वह उसी बोल्कॉन्स्की की संपत्ति थी, जो उसकी बहन की मंगेतर थी।
रोस्तोव और इलिन ने बोगुचारोव के सामने घोड़ों को खींचने के लिए आखिरी बार घोड़ों को बाहर निकाला, और रोस्तोव, इलिन से आगे निकल कर, बोगुचारोव गांव की सड़क पर सरपट दौड़ने वाले पहले व्यक्ति थे।
"आपने नेतृत्व किया," शरमाते हुए इलिन ने कहा।
"हाँ, सब कुछ आगे है, और घास के मैदान में आगे, और यहाँ," रोस्तोव ने अपने हाथ से अपने उभरे हुए तल को सहलाते हुए उत्तर दिया।
"और फ्रेंच में, महामहिम," लवृष्का ने पीछे से अपने स्लेज को फ्रेंच कहते हुए कहा, "मैं आगे निकल जाता, लेकिन मैं उसे शर्मिंदा नहीं करना चाहता था।"
वे एक खलिहान तक चले गए, जिसके पास पुरुषों की एक बड़ी भीड़ खड़ी थी।

समूह की परिभाषा एवं उदाहरण.

Odr1मान लीजिए G मनमानी प्रकृति के तत्वों का एक गैर-रिक्त सेट है। जी को बुलाया जाता है समूह

1) सेट G पर बाओ° दिया गया है।

2) बाओ° साहचर्य है।

3) एक तटस्थ तत्व nÎG है।

4) G के किसी भी तत्व के लिए, उसके सममित तत्व हमेशा मौजूद रहता है और G से संबंधित भी होता है।

उदाहरण। Z का सेट - + ऑपरेशन के साथ संख्याएँ।

Odr2.समूह को बुलाया जाता है एबेलियन, यदि यह किसी दिए गए bao° के संबंध में क्रमविनिमेय है।

समूहों के उदाहरण:

1) Z,R,Q "+" (Z+)

समूहों के सबसे सरल गुण

समूह में केवल एक तटस्थ तत्व है

किसी समूह में, प्रत्येक तत्व के लिए उसके सममित एक तत्व होता है

मान लीजिए G बाओ° वाला एक समूह है, तो इस प्रकार के समीकरण:

a°x=b और x°a=b (1) हल करने योग्य हैं और इनका एक अनूठा समाधान है।

सबूत. आइए x के लिए समीकरण (1) पर विचार करें। जाहिर है, एक $ के लिए! a"। चूंकि ऑपरेशन ° साहचर्य है, तो जाहिर तौर पर x=b°a" ही एकमात्र समाधान है।

34. प्रतिस्थापन की समता*

परिभाषा 1. प्रतिस्थापन कहा जाता है यहां तक ​​की, यदि इसे सम संख्या में स्थानान्तरण के उत्पाद में विघटित किया जाता है, और अन्यथा विषम।

वाक्य 1.प्रतिस्थापन

सम है<=>- यहां तक ​​कि क्रमपरिवर्तन. अत: प्रतिस्थापनों की संख्या सम है

n संख्याओं का मान n!\2 के बराबर होता है।

वाक्य 2. प्रतिस्थापन f और f - 1 में समान समता चरित्र है।

> यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि यदि ट्रांसपोज़िशन का उत्पाद है, तो<

उदाहरण:

उपसमूह. उपसमूह मानदंड.

हार।मान लीजिए G bao° वाला एक समूह है और HÌG का एक गैर-रिक्त उपसमूह है, तो H को G का उपसमूह कहा जाता है यदि H bao° के संबंध में एक उपसमूह है (यानी ° H पर एक bao है। और H इस ऑपरेशन के साथ है) एक समूह)।

प्रमेय (उपसमूह मानदंड)।मान लीजिए कि ऑपरेशन°, ƹHÎG के संबंध में G एक समूह है। एच एक उपसमूह है<=>"h 1 ,h 2 ОH स्थिति h 1 °h 2 "OH संतुष्ट है (जहाँ h 2 " h 2 का एक सममित तत्व है)।

डॉक्टर. =>:मान लीजिए कि H एक उपसमूह है (आपको यह साबित करने की आवश्यकता है कि h 1 °h 2 "ОH)। h 1 ,h 2 ОH लें, फिर h 2 "ОH और h 1 °h" 2 ОH (चूंकि h" 2 एक सममित तत्व है से ज 2).

<=: (आपको यह साबित करना होगा कि H एक उपसमूह है)।

चूँकि H¹Æ, तो वहाँ कम से कम एक तत्व है। आइए hÎH लें, n=h°h"OH, यानी तटस्थ तत्व nОH। h 1 के लिए हम n लेते हैं, और h 2 के लिए हम h लेते हैं फिर h"OH Þ " hОH h का सममित तत्व भी H से संबंधित है।

आइए हम साबित करें कि H से किसी भी तत्व की संरचना H से संबंधित है।

आइए h 1 लें, और h 2 के रूप में हम h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH लें।

उदाहरण। G=S n , n>2, α - X=(1,…,n) से कुछ तत्व। H के रूप में हम गैर-रिक्त सेट H= S α n =(fО S n ,f(α)=α) लेते हैं, S α n α से मैपिंग की कार्रवाई के तहत जगह पर रहता है। हम मापदंड के अनुसार जांच करते हैं. आइए कोई भी h 1 ,h 2 ОH लें। उत्पाद एच 1. h 2 "OH, अर्थात H एक उपसमूह है, जिसे तत्व α का स्थिर उपसमूह कहा जाता है।

रिंग, फ़ील्ड। उदाहरण।

हार।होने देना कोदो बीजगणितीय संक्रियाओं वाला एक गैर-रिक्त सेट: जोड़ और गुणा। कोबुलाया अँगूठी, यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) को - जोड़ के संबंध में एबेलियन समूह (किसी दिए गए बाओ ° के संबंध में क्रमविनिमेय);

2) गुणन साहचर्य है;

3) गुणन जोड़() के संबंध में वितरणात्मक है।

यदि गुणन क्रमविनिमेय है, तो कोबुलाया क्रमविनिमेय वलय. यदि गुणन के सापेक्ष कोई तटस्थ तत्व हो तो कोबुलाया एक के साथ रिंग करें.

उदाहरण।

1) पूर्णांकों का समुच्चय Z जोड़ और गुणा की सामान्य संक्रियाओं के संबंध में एक वलय बनाता है। यह वलय क्रमविनिमेय, साहचर्य और पहचान वाला है।

2) परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R फ़ील्ड हैं

संख्याओं के जोड़ और गुणन की सामान्य संक्रियाओं के सापेक्ष।

अंगूठियों के सबसे सरल गुण।

1. चूँकि कोतो, जोड़ के तहत एक एबेलियन समूह है कोसमूहों के सबसे सरल गुणों को स्थानांतरित किया जाता है।

2. गुणन अंतर के संबंध में वितरणात्मक है: a(b-c)=ab-ac.

सबूत। क्योंकि ab-ac+ac=ab और a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, फिर a(b-c)=ab-ac.

3. रिंग में शून्य विभाजक हो सकते हैं, अर्थात। ab=0, लेकिन इससे यह निष्कर्ष नहीं निकलता कि a=0 b=0.

उदाहरण के लिए, आकार 2´2 के आव्यूहों की एक अंगूठी में, ऐसे तत्व हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं जैसे कि उनका उत्पाद शून्य होगा:, जहां - शून्य तत्व की भूमिका निभाता है।

4. a·0=0·а=0.

सबूत। मान लीजिए 0=बी-बी। फिर a(b-b)=ab-ab=0. इसी प्रकार 0·a=0.

5. a(-b)=(-a) b=-ab.

प्रमाण: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. अगर रिंग में हैं कोएक इकाई है और इसमें एक से अधिक तत्व शामिल हैं, तो इकाई शून्य के बराबर नहीं है, जहां गुणा करने पर 1─ एक तटस्थ तत्व है; 0 ─ जोड़े जाने पर तटस्थ तत्व।

7. चलो कोपहचान के साथ अंगूठी, फिर अंगूठी के व्युत्क्रमणीय तत्वों का सेट गुणन के संबंध में एक समूह बनाता है, जिसे अंगूठी का गुणक समूह कहा जाता है कऔर निरूपित करें क*.

हार।पहचान के साथ एक क्रमविनिमेय वलय, जिसमें कम से कम दो तत्व होते हैं, जिसमें कोई भी गैर-शून्य तत्व उलटा होता है, कहलाता है मैदान.

किसी फ़ील्ड का सबसे सरल गुण

1. क्योंकि फ़ील्ड एक रिंग है, तो रिंग के सभी गुण फ़ील्ड में स्थानांतरित हो जाते हैं।

2. क्षेत्र में कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, अर्थात्। यदि ab=0, तो a=0 या b=0.

सबूत।

यदि a¹0, तो $ a -1. a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 पर विचार करें, और यदि a¹0 है, तो b=0, इसी प्रकार यदि b¹0

3. फ़ील्ड में a´x=b, a¹0, b – कोई भी रूप के समीकरण का एक अद्वितीय समाधान x= a -1 b, या x=b/a होता है।

इस समीकरण के हल को आंशिक हल कहा जाता है।

उदाहरण। 1)पीÌसी, पी - संख्यात्मक क्षेत्र। 2)पी=(0;1);