एक नाबालिग के साथ गणित. सबसे बड़ी और सबसे छोटी प्राकृतिक संख्याओं पर प्राकृतिक संख्याओं के प्रमेय का क्रम

"सबसे बड़े" और "सबसे छोटे" पूर्णांकों पर प्रमेय

प्रमेय 4 ("सबसे छोटे" पूर्णांक के बारे में)। नीचे से परिबद्ध पूर्णांकों के प्रत्येक गैर-रिक्त सेट में सबसे छोटी संख्या होती है। (यहां, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के मामले में होता है, "उपसमुच्चय" शब्द के स्थान पर "समुच्चय" शब्द का प्रयोग किया जाता है।

सबूत। मान लीजिए कि O A C Z और A को नीचे से परिबद्ध किया गया है, अर्थात्। 36? ज़ेडवीए? ए(बी< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

चलो अब बी ए.

फिर उआ ई अफ< а) и, значит, Уа А(а - Ь >के बारे में)।

आइए फॉर्म ए - बी की सभी संख्याओं का एक सेट एम बनाएं, जहां ए सेट ए से होकर गुजरता है, यानी। एम = (सी [ सी = ए - बी, ए ई ए)

जाहिर है, सेट एम खाली नहीं है, क्योंकि ए 74 0

जैसा कि ऊपर बताया गया है, एम सी एन। नतीजतन, प्राकृतिक संख्याओं के प्रमेय (54, Ch.III) के अनुसार समुच्चय M में सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या m है, तो किसी संख्या a1 के लिए m = a1 - b? ए, और चूंकि एम, एम में सबसे छोटा है, तो यूए? पर< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

प्रमेय 5 ("सबसे बड़े" पूर्णांक के बारे में)। पूर्णांकों के प्रत्येक गैर-रिक्त, सीमित सेट में सबसे बड़ी संख्या होती है।

सबूत। मान लीजिए कि O 74 A C Z और A ऊपर से संख्या b द्वारा सीमित हैं, अर्थात। ? ZVa ई ए(ए< Ь). Тогда -а >b सभी संख्याओं के लिए a? एक।

नतीजतन, सेट एम (आर = -ए, ए? ए के साथ) खाली नहीं है और नीचे संख्या (-6) से घिरा है। इसलिए, पिछले प्रमेय के अनुसार, सबसे छोटी संख्या समुच्चय M में होती है, अर्थात। इक्का? एमयू? एमएस< с).

क्या इसका मतलब वाह है? एसी)< -а), откуда Уа? А(-с >ए)

जेड विभिन्न आकारपूर्णांकों के लिए गणितीय प्रेरण की विधि। शेषफल के साथ विभाजन प्रमेय

प्रमेय 1 (गणितीय प्रेरण की विधि का पहला रूप)। मान लीजिए कि P(c) पूर्णांक 4 के समुच्चय Z पर परिभाषित एक-स्थानीय विधेय है। फिर यदि किसी संख्या a Z के लिए प्रस्ताव P(o) और एक मनमाने पूर्णांक K > a के लिए P(K) से P(K -4- 1) का अनुसरण करता है, तो प्रस्ताव P(r) सभी के लिए मान्य है पूर्णांक, t संख्याएँ c > a (अर्थात्, निम्नलिखित विधेय कलन सूत्र समुच्चय Z पर सत्य है:

Р(а) धनुष > + 1)) Ус > аР(с)

किसी भी निश्चित पूर्णांक के लिए a

सबूत। मान लीजिए कि प्रमेय की शर्तों में जो कुछ भी कहा गया है वह वाक्य P (c) के लिए सत्य है, अर्थात।

1) पी(ए) - सत्य;

2) यूके शच क+ भी सत्य है।

विपरीत से. मान लीजिए ऐसी कोई संख्या है

b > a, वह RF) गलत है। स्पष्टतः b a, चूँकि P(a) सत्य है। आइए हम समुच्चय M = (z ? > a, P(z) गलत है) बनाते हैं।

फिर समुच्चय M 0, चूँकि b? एम और एम- नीचे से संख्या ए द्वारा सीमित हैं। परिणामस्वरूप, न्यूनतम पूर्णांक संख्या पर प्रमेय (प्रमेय 4, 2) के अनुसार, समुच्चय M में एक न्यूनतम पूर्णांक c है। अत: c > a, जो बदले में, c - 1 > a को दर्शाता है।

आइए हम सिद्ध करें कि P(c-1) सत्य है। यदि c-1 = a, तो शर्त के आधार पर P (c-1) सत्य है।

मान लीजिए c- 1 > a. तो फिर यह धारणा कि P(c-1) गलत है, 1 से संबंधित है? एम, जो नहीं हो सकता, क्योंकि संख्या सी समुच्चय एम में सबसे छोटी है।

इस प्रकार, c - 1 > a और P(c - 1) सत्य है।

इसलिए, इस प्रमेय की शर्तों के आधार पर, वाक्य P((c- 1) + 1) सत्य है, अर्थात। आर(एस) - सच है. यह संख्या c की पसंद का खंडन करता है, क्योंकि c? एम प्रमेय सिद्ध है.

ध्यान दें कि यह प्रमेय पीनो के अभिगृहीतों के उपफल 1 को सामान्यीकृत करता है।

प्रमेय 2 (पूर्णांकों के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का दूसरा रूप)। मान लीजिए P(c) पूर्णांकों के समुच्चय Z पर परिभाषित कोई एक-स्थानीय विधेय है। फिर यदि प्रस्ताव P(c) कुछ पूर्णांक K के लिए मान्य है और प्रस्ताव P(c) की वैधता से एक मनमाना पूर्णांक s K के लिए असमानता K को संतुष्ट करने वाले सभी पूर्णांकों के लिए मान्य है< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >को।

इस प्रमेय का प्रमाण काफी हद तक प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक समान प्रमेय के प्रमाण को दोहराता है (प्रमेय 1, 55, अध्याय III)।

प्रमेय 3 (गणितीय प्रेरण की विधि का तीसरा रूप)। मान लीजिए कि P(c) पूर्णांक NUMBERS के सेट Z पर परिभाषित एक-स्थानीय विधेय है। फिर यदि P(c) प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के कुछ अनंत उपसमुच्चय M की सभी संख्याओं के लिए और एक मनमाना पूर्णांक a के लिए सत्य है, तो P(a) का सत्य P(a - 1) के सत्य को दर्शाता है, तो प्रस्ताव P(c) सभी पूर्णांकों के लिए मान्य है।

प्रमाण प्राकृतिक संख्याओं के लिए संबंधित प्रमेय के प्रमाण के समान है।

हम इसे एक दिलचस्प अभ्यास के रूप में पेश करते हैं।

ध्यान दें कि व्यवहार में, गणितीय प्रेरण का तीसरा रूप दूसरों की तुलना में कम आम है। इसे इस तथ्य से समझाया गया है कि इसे लागू करने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के सेट के अनंत उपसमुच्चय एम को जानना आवश्यक है, जिसकी चर्चा प्रमेय में की गई है। ऐसा सेट ढूँढना एक कठिन काम हो सकता है।

लेकिन अन्य रूपों की तुलना में तीसरे रूप का लाभ यह है कि इसकी सहायता से प्रस्ताव P(c) को सभी पूर्णांकों के लिए सिद्ध किया जा सकता है।

नीचे हम प्रदान करते हैं दिलचस्प उदाहरणतीसरे फॉर्म का आवेदन।" लेकिन पहले, आइए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा दें।

परिभाषा। पूर्णांक a का निरपेक्ष मान नियम द्वारा निर्धारित एक संख्या है

0, यदि ए ओ ए, यदि ए > ओ

और, यदि ए< 0.

इस प्रकार, यदि 0 है, तो ? एन।

हम पाठक को, एक अभ्यास के रूप में, निरपेक्ष मूल्य के निम्नलिखित गुणों को सिद्ध करने के लिए आमंत्रित करते हैं:

प्रमेय (शेषफल के साथ विभाजन के बारे में)। किसी भी पूर्णांक संख्या ए और बी के लिए, जहां बी 0, मौजूद है और इसके अलावा, संख्याओं का केवल एक जोड़ा क्यू यू एम है जैसे कि ए आर: बीक्यू + टी एल डी।

सबूत।

1. युग्म का अस्तित्व (q, m)।

चलो ए, बी? Z और 0. आइए दिखाते हैं कि संख्याओं q की एक जोड़ी है और शर्तों को संतुष्ट करती है

हम एक निश्चित संख्या बी के लिए संख्या ए पर तीसरे रूप में प्रेरण द्वारा प्रमाण को पूरा करते हैं।

एम = (एमएलएम= एन एलबीएल,एन? एन)।

यह स्पष्ट है कि एम सी एक मैपिंग एफ: एन एम है, जो किसी भी एन के लिए नियम एफ (एन) = एनएलबीएल द्वारा परिभाषित है? एन, एक आक्षेप है. इसका मतलब है कि एम एन, यानी। एम- असीम रूप से.

आइए हम सिद्ध करें कि एक मनमानी संख्या a के लिए? संख्याओं q और m की एक जोड़ी के अस्तित्व के बारे में प्रमेय का M (और b-निश्चित) कथन सत्य है।

वास्तव में, चलो एक (- एम। फिर एक पीएफ! कुछ एन? एन के लिए।

यदि b > 0, तो a = n + O. अब q = n और m O सेट करने पर, हमें संख्याओं q और m का आवश्यक युग्म प्राप्त होता है< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

आइए अब हम एक आगमनात्मक धारणा बनाएं। आइए मान लें कि एक मनमाना पूर्णांक c (और एक मनमाना निश्चित b 0) के लिए प्रमेय का कथन सत्य है, अर्थात। संख्याओं (q, m) का एक युग्म ऐसा है

आइए हम सिद्ध करें कि यह संख्या (1 के साथ) के लिए भी सत्य है। समानता c = bq -4- से यह निष्कर्ष निकलता है कि bq + (m - 1)। (1)

मामले हो सकते हैं.

1) m > 0. फिर 7" - 1 > 0. इस मामले में, - m - 1 रखने पर, हमें c - 1 - bq + Tl प्राप्त होता है, जहां जोड़ी (q, 7"1,) स्पष्ट रूप से शर्त को संतुष्ट करती है

0. फिर c - 1 bq1 + 711 , जहां q1

हम आसानी से यह सिद्ध कर सकते हैं कि 0< < Д.

इस प्रकार, यह कथन संख्याओं के एक जोड़े के लिए भी सत्य है

प्रमेय का पहला भाग सिद्ध हो चुका है।

पी. जोड़ी क्यू की विशिष्टता, आदि।

मान लीजिए कि संख्याओं a और b 0 के लिए संख्याओं (q, m) और (q1) के दो जोड़े हैं, तो (*) शर्तों को पूरा करना

आइए हम साबित करें कि वे मेल खाते हैं। तो चलो

और एक bq1 L O< Д.

इसका तात्पर्य यह है कि b(q1 -q) m- 7 1 1. इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है

यदि अब हम मान लें कि q ql, तो q - q1 0, जहाँ से lq - q1l 1. इन असमानताओं को पद दर पद संख्या lbl से गुणा करने पर, हमें φ प्राप्त होता है! - q11 डी. (3)

साथ ही, असमानताओं से 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

व्यायाम:

1. प्रमेय 2 और 3 की उपपत्तियाँ 5 1 से पूरी करें।

2. प्रमेय 3, 1 से उपफल 2 सिद्ध करें।

3. सिद्ध करें कि उपसमुच्चय H C Z, जिसमें प्रपत्र की सभी संख्याएँ शामिल हैं< п + 1, 1 >(एन? एन), जोड़ और गुणा के तहत बंद।

4. मान लीजिए कि H का अर्थ अभ्यास 3 के समान सेट है। साबित करें कि मैपिंग ј : M शर्तों को पूरा करती है:

1) ј - आक्षेप;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) और j(nm) = ј(n) j(m) किसी भी संख्या n के लिए, m (अर्थात ј बीजगणित की एक समरूपता करता है (N) , 4, और (एच, + ,)।

5. 2 में से प्रमेय 1 का प्रमाण पूरा करें।

6. साबित करें कि किसी भी पूर्णांक ए, बी, सी के लिए निम्नलिखित निहितार्थ हैं:

7. Z से दूसरे और तीसरे प्रमेय को सिद्ध करें।

8. सिद्ध करें कि पूर्णांकों के वलय Z में शून्य भाजक नहीं होते हैं।

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शैक्षिक प्रकाशन संस्करण

व्लादिमीर कोन्स्टेंटिनोविच कार्तशोव

परिचयात्मक गणित पाठ्यक्रम

ट्यूटोरियल

संपादकीय तैयारी ओ. आई. मोलोकानोवा द्वारा, मूल लेआउट ए. पी. बोशचेंको द्वारा तैयार किया गया था

“पीआर 020048 दिनांक 12/20/96

28 अगस्त 1999 को प्रकाशन हेतु हस्ताक्षरित। प्रारूप 60x84/16। कार्यालय मुद्रण बूम. प्रकार। एम 2. उएल. ओवन एल 8.2. अकादमिक एड. एल 8.3. प्रचलन 500 प्रतियाँ। आदेश 2

प्रकाशन गृह "पेरेमेना"

विशेषता में राज्य परीक्षा के लिए

1. मैदान के ऊपर रैखिक (वेक्टर) स्थान। उदाहरण। उपस्थान, सरलतम गुण। रैखिक निर्भरता और वैक्टर की स्वतंत्रता।

2. सदिश समष्टि का आधार और आयाम. एक वेक्टर प्रणाली का समन्वय मैट्रिक्स। एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण। सदिश स्थानों की समरूपता.

3. सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र की बीजगणितीय निकटता।

4. पूर्णांकों का वलय. पूर्णांकों का क्रम. "सबसे बड़े" और "सबसे छोटे" पूर्णांकों पर प्रमेय।

5. समूह, समूहों के उदाहरण. समूहों के सबसे सरल गुण. उपसमूह। समूहों की समरूपता और समरूपता।

6. पूर्णांकों की विभाज्यता के मूल गुण। प्रमुख संख्या। अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की अनंतता. भाज्य संख्या का विहित अपघटन और इसकी विशिष्टता।

7. क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय (रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए स्थिरता मानदंड)।

8. तुलना के मूल गुण। मॉड्यूलो कटौती की पूर्ण और कम की गई प्रणालियाँ। मोडुलो अवशेष वर्ग की अंगूठी। यूलर और फ़र्मेट के प्रमेय।

9. विभाज्यता मानदंड की व्युत्पत्ति के लिए तुलना के सिद्धांत का अनुप्रयोग। किसी भिन्न को दशमलव में बदलना और उसकी अवधि की लंबाई निर्धारित करना।

10. एक बहुपद के काल्पनिक मूलों का वास्तविक गुणांकों के साथ संयुग्मन। एक क्षेत्र पर इरेड्यूसिबल्स वास्तविक संख्याबहुपद.

11. एक चर के साथ रैखिक तुलना (सॉल्वैबिलिटी मानदंड, समाधान विधियां)।

12. रैखिक समीकरणों की समतुल्य प्रणालियाँ। अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की विधि।

13. अंगूठी. अंगूठियों के उदाहरण. अंगूठियों के सबसे सरल गुण। उप-अंगूठी. छल्लों की समरूपताएँ और समरूपताएँ। मैदान। फ़ील्ड के उदाहरण. सबसे सरल गुण. परिमेय संख्याओं के क्षेत्र की न्यूनतमता.

14. प्राकृतिक संख्याएँ (प्राकृतिक संख्याओं के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की मूल बातें)। "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" प्राकृतिक संख्याओं पर प्रमेय।

15. एक क्षेत्र पर बहुपद। शेषफल के साथ विभाजन पर प्रमेय. दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक, इसके गुण और खोजने की विधियाँ।

16. द्विआधारी रिश्ते. समतुल्य संबंध. तुल्यता वर्ग, कारक सेट।

17. प्राकृतिक और पूर्णांक संख्याओं के लिए गणितीय प्रेरण।

18. अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के गुण। पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य, उसके गुणधर्म और ज्ञात करने की विधियाँ।

19. सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र, संख्या क्षेत्र। किसी सम्मिश्र संख्या का ज्यामितीय निरूपण और त्रिकोणमितीय रूप।

20. पूर्णांकों के लिए शेषफल सहित विभाजन पर प्रमेय। पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक, इसके गुण और खोजने की विधियाँ।

21. सदिश समष्टि के रैखिक संचालक। एक रैखिक ऑपरेटर की कर्नेल और छवि। सदिश समष्टि में रैखिक संचालकों का बीजगणित। एक रैखिक ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors।

22. समतल के परिवर्तन, उनके गुण और निर्दिष्ट करने की विधियाँ। समतल और उसके उपसमूहों के एफ़िन परिवर्तनों का समूह।

23. बहुभुज. बहुभुज का क्षेत्रफल. अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय.

24. बहुभुजों का समान आकार और समान संरचना।

25. लोबचेव्स्की की ज्यामिति। लोबचेव्स्की ज्यामिति के स्वयंसिद्धों की प्रणाली की संगति।

26. लोबचेव्स्की ज्यामिति में समानता की अवधारणा। लोबचेव्स्की विमान पर रेखाओं की सापेक्ष स्थिति।

27. आंदोलन सूत्र. समतल गतियों का वर्गीकरण. समस्या समाधान के लिए अनुप्रयोग.

28. दो तलों की सापेक्ष स्थिति, एक सीधी रेखा और एक समतल, अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ (विश्लेषणात्मक प्रस्तुति में)।

29. प्रक्षेप्य परिवर्तन। अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय. प्रक्षेप्य परिवर्तनों के लिए सूत्र.

30. सदिशों के अदिश, सदिश और मिश्रित गुणनफल, समस्या समाधान में उनका अनुप्रयोग।

31. त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष की वेइल स्वयंसिद्ध प्रणाली और इसकी सामग्री स्थिरता।

32. विमान की चाल और उनके गुण। समतल संचलनों का समूह. अस्तित्व का प्रमेय और गति की विशिष्टता।

33. प्रक्षेप्य तल और उसके मॉडल। प्रक्षेप्य परिवर्तन, उनके गुण। प्रक्षेपी परिवर्तनों का समूह.

34. समतल समानता परिवर्तन, उनके गुण। समतल समानता परिवर्तनों का समूह और उसके उपसमूह।

35. चिकनी सतहें. किसी सतह का पहला द्विघात रूप और उसका अनुप्रयोग।

36. समानांतर डिज़ाइन और उसके गुण। समानांतर प्रक्षेपण में समतल और स्थानिक आकृतियों की छवि।

37. चिकनी रेखाएँ. स्थानिक वक्र की वक्रता और उसकी गणना।

38. शंकु खंड के रूप में दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय। विहित समीकरण.

39. दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय का निर्देशकीय गुण। ध्रुवीय समीकरण.

40. एक रेखा पर चार बिंदुओं का दोगुना अनुपात, उसके गुण और गणना। बिंदुओं के युग्मों का हार्मोनिक पृथक्करण। पूर्ण चतुर्भुज और उसके गुण। निर्माण समस्याओं को हल करने के लिए आवेदन.

41. पास्कल और ब्रायनचोन के प्रमेय। ध्रुव और ध्रुव.

गणितीय विश्लेषण पर नमूना प्रश्न

जैसा कि आप जानते हैं, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को "इससे कम" संबंध का उपयोग करके क्रमबद्ध किया जा सकता है। लेकिन एक स्वयंसिद्ध सिद्धांत के निर्माण के नियमों की आवश्यकता है कि इस संबंध को न केवल परिभाषित किया जाए, बल्कि इस सिद्धांत में पहले से परिभाषित अवधारणाओं के आधार पर भी किया जाए। इसे जोड़ के माध्यम से "इससे कम" संबंध को परिभाषित करके किया जा सकता है।

परिभाषा। संख्या a, संख्या b से कम है (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = बी।

इन शर्तों के तहत यह भी कहा जाता है कि संख्या बीअधिक एऔर लिखा बी > ए.

प्रमेय 12.किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए एऔर बीतीन संबंधों में से केवल एक ही मानता है: ए = बी, ए > बी, ए < बी।

हम इस प्रमेय का प्रमाण छोड़ देते हैं।. इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि

ए¹ बी,दोनों में से एक ए< b, या ए > बी,वे। संबंध "कम" में जुड़ाव का गुण होता है।

प्रमेय 13.अगर ए< b और बी< с. वह ए< с.

सबूत। यह प्रमेय "इससे कम" संबंध की परिवर्तनशीलता संपत्ति को व्यक्त करता है।

क्योंकि ए< b और बी< с. फिर, "इससे कम" संबंध की परिभाषा के अनुसार, प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं कोतो क्या हुआ b = a + k और c = b + I.परन्तु फिर सी = (ए + के)+ / और जोड़ की साहचर्यता संपत्ति के आधार पर हम प्राप्त करते हैं: सी = ए + (के +/). क्योंकि के + आई -प्राकृतिक संख्या, फिर, "से कम" की परिभाषा के अनुसार, ए< с.

प्रमेय 14. अगर ए< b, यह सच नहीं है बी< а. सबूत। यह प्रमेय गुण को व्यक्त करता है प्रतिसममिति"कम" रिश्ता.

आइए पहले हम यह सिद्ध करें कि एक भी प्राकृत संख्या नहीं है एतुम नहीं-!>! ■ )उसका रवैया ए< एक।आइए इसके विपरीत मान लें, अर्थात्। क्या ए< а घटित होना। फिर, "इससे कम" संबंध की परिभाषा के अनुसार, एक प्राकृतिक संख्या है साथ,क्या ए+ साथ= ए,और यह प्रमेय 6 का खंडन करता है।

आइए अब हम यह सिद्ध करें कि यदि ए< बी, तो यह सच नहीं है बी < एक।आइए इसके विपरीत मान लें, अर्थात्। क्या हो अगर ए< b , वह बी< а प्रदर्शन किया। लेकिन इन समानताओं से, प्रमेय 12 के अनुसार हमारे पास है ए< а, जो असंभव है.

चूंकि हमारे द्वारा परिभाषित "इससे कम" संबंध एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है और इसमें जुड़ाव की संपत्ति है, तो यह एक संबंध है रैखिक क्रम, और प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट।

"इससे कम" की परिभाषा और उसके गुणों से, हम प्राकृतिक संख्याओं के सेट के ज्ञात गुणों का अनुमान लगा सकते हैं।

प्रमेय 15.सभी प्राकृत संख्याओं में से एक सबसे छोटी संख्या है, अर्थात मैं< а для любого натурального числа a¹1.

सबूत। होने देना ए -कोई प्राकृतिक संख्या. तब दो स्थितियाँ संभव हैं: ए = 1 और ए¹ 1. यदि ए = 1, तो एक प्राकृत संख्या है बी,के बाद ए: ए = बी " = बी +मैं = 1 + बी,यानी, "इससे कम" संबंध की परिभाषा के अनुसार, 1< एक।इसलिए, कोई भी प्राकृत संख्या 1 के बराबर या 1 से बड़ी होती है। या, एक सबसे छोटी प्राकृत संख्या होती है।

"इससे कम" का संबंध एकरसता के गुणों द्वारा संख्याओं के योग और गुणन से जुड़ा है।

प्रमेय 16.

ए = बी => ए + सी = बी + सी और ए सी = बी सी;

ए< b =>ए + सी< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c और ac > bc।

सबूत। 1) इस कथन की वैधता जोड़ और गुणा की विशिष्टता से निकलती है।

2) यदि ए< b, तो ऐसी प्राकृतिक संख्या होती है क,क्या ए + के = बी.
तब बी+ सी = (ए + के) + सी = ए + (के + सी) = ए + (सी+ को)= (ए + सी) + के।समानता बी+ सी = (ए + सी) + केमतलब कि ए + सी< b + साथ।

इसी प्रकार यह सिद्ध भी हो गया है ए< b =>एसी< bс.

3) प्रमाण समान है.

प्रमेय 17(प्रमेय 16 का व्युत्क्रम)।

1) ए+ सी = बी + सीया एसी ~ बीसी-Þ ए = बी

2) ए + सी< Ь + с या एसी< ईसा पूर्वÞ ए< Ь:

3) ए + सी > बी+ के साथ या एसी > बीसीÞ ए > बी.

सबूत। आइए, उदाहरण के लिए, सिद्ध करें कि से एसी< bс चाहिए ए< b आइए इसके विपरीत मान लें, अर्थात्। कि प्रमेय का निष्कर्ष मान्य नहीं है। तो फिर ऐसा नहीं हो सकता ए = बी.तब से समानता संतुष्ट होगी एसी = बी.एस.यू(प्रमेय 16); यह नहीं हो सकता ए> बी,क्योंकि तब यह होगा एसी > बी.एस.यू(प्रमेय!6). इसलिए, प्रमेय 12 के अनुसार, ए< b.

प्रमेय 16 और 17 से हम असमानताओं के पद-दर-पद योग और गुणन के सुप्रसिद्ध नियम प्राप्त कर सकते हैं। हम उन्हें छोड़ देते हैं.

प्रमेय 18. किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए एऔर बी; एक प्राकृत संख्या n ऐसी है पी बी> ए.

सबूत। किसी के लिए भी एऐसी एक संख्या है पी, क्या एन > ए.ऐसा करने के लिए इसे लेना ही काफी है एन = ए + 1. असमानताओं को पद दर पद गुणा करना पी> एऔर बी> 1, हमें मिलता है पंजाब > एक।

"इससे कम" संबंध के सुविचारित गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है महत्वपूर्ण विशेषताएंप्राकृतिक संख्याओं का समूह, जिसे हम बिना प्रमाण के प्रस्तुत करते हैं।

1. किसी प्राकृत संख्या के लिए नहीं एऐसी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है पी,क्या ए< п < а + 1. इस संपत्ति को कहा जाता है संपत्ति
पृथक्ताप्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं का समूह एऔर एक + 1 कहा जाता है पड़ोसी.

2. प्राकृतिक संख्याओं का कोई भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय शामिल है
सबसे छोटी संख्या.

3. यदि एम- प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का गैर-रिक्त उपसमुच्चय
और ऐसी एक संख्या है बी,वह सभी संख्याओं के लिए x से एमनिष्पादित नहीं किया गया
समानता एक्स< बी,फिर बहुतायत में एमसबसे बड़ी संख्या है.

आइए गुण 2 और 3 को एक उदाहरण से स्पष्ट करें। होने देना एम- दो अंकों की संख्याओं का एक सेट। क्योंकि एमप्राकृतिक संख्याओं का एक उपसमुच्चय है और इस समुच्चय की सभी संख्याओं के लिए असमानता x है< 100, то в множестве एमसबसे बड़ी संख्या 99 है। किसी दिए गए सेट में शामिल सबसे छोटी संख्या एम, -नंबर 10.

इस प्रकार, "इससे कम" संबंध ने प्राकृतिक संख्याओं के सेट के गुणों की एक महत्वपूर्ण संख्या पर विचार करना (और कुछ मामलों में साबित करना) संभव बना दिया। विशेष रूप से, यह रैखिक रूप से क्रमित, असतत है, और इसकी संख्या सबसे छोटी है।

प्राथमिक स्कूली बच्चों को उनकी शिक्षा की शुरुआत में ही प्राकृतिक संख्याओं के लिए "इससे कम" ("इससे अधिक") संबंध से परिचित कराया जाता है। और अक्सर, इसकी सेट-सैद्धांतिक व्याख्या के साथ, स्वयंसिद्ध सिद्धांत के ढांचे के भीतर हमारे द्वारा दी गई परिभाषा का उपयोग अंतर्निहित रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, छात्र यह समझा सकते हैं कि 9 > 7 क्योंकि 9, 7+2 है। जोड़ और गुणन की एकरसता गुणों का अंतर्निहित उपयोग भी आम है। उदाहरण के लिए, बच्चे समझाते हैं कि “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

अभ्यास

1, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को "तुरंत अनुसरण करें" संबंध का उपयोग करके आदेशित क्यों नहीं किया जा सकता है?

दृष्टिकोण को परिभाषित करें ए > बीऔर सिद्ध करें कि यह सकर्मक और प्रतिसममित है।

3. सिद्ध करें कि यदि ए, बी, सीप्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो:

ए) ए< b Þ ас < bс;

बी) ए+ साथ< बी + сÞ> ए< Ь.

4. जोड़ और गुणन की एकरसता पर कौन से प्रमेय हो सकते हैं
छोटे स्कूली बच्चों द्वारा "गणना किए बिना तुलना करें" कार्य पूरा करते समय उपयोग करें:

ए) 27 + 8 ... 27 + 18;

बी) 27-8 ... 27 -18.

5. निम्नलिखित कार्यों को करते समय प्राथमिक स्कूली बच्चों द्वारा प्राकृतिक संख्याओं के सेट के किन गुणों का उपयोग किया जाता है:

ए) वे संख्याएँ लिखिए जो 65 से बड़ी और 75 से कम हैं।

बी) संख्या 300 (800,609,999) के संबंध में पिछली और बाद की संख्याओं को नाम दें।

सी) तीन अंकों की सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का नाम बताइए।

घटाव

प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध निर्माण में, घटाव को आमतौर पर जोड़ के व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। प्राकृत संख्याओं a और b का घटाव एक ऐसी संक्रिया है जो इस शर्त को पूरा करती है: a - b = c यदि और केवल यदि b + c = a।

संख्या ए - बीसंख्याओं ए और के बीच का अंतर कहा जाता है बी,संख्या ए- सूक्ष्म, संख्या बी-कटौती योग्य

प्रमेय 19.प्राकृतिक संख्याओं का अंतर ए- बीअस्तित्व में है यदि और केवल यदि बी< а.

सबूत। फर्क पड़ने दो ए- बीमौजूद। फिर, अंतर की परिभाषा के अनुसार, एक प्राकृतिक संख्या होती है साथ,क्या बी + सी = ए,जिसका अर्थ है कि बी< а.

अगर बी< а, फिर, "इससे कम" संबंध की परिभाषा के अनुसार, एक प्राकृतिक संख्या c ऐसी है बी + सी = ए.फिर, अंतर की परिभाषा के अनुसार, सी = ए - बी,वे। अंतर ए - बीमौजूद।

प्रमेय 20. यदि प्राकृतिक संख्याओं का अंतर एऔर बीमौजूद है, तो यह अद्वितीय है.

सबूत। मान लीजिए कि संख्याओं के बीच अंतर के दो अलग-अलग मूल्य हैं एऔर बी;: ए – बी= एस₁और ए - बी= एस₂, और с₁ ¹ с₂ .फिर, अंतर की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: ए = बी + सी₁,और ए = बी + सी₂ : .यह इस प्रकार है कि बी+ सी ₁ = बी + सी₂ :और प्रमेय 17 के आधार पर हम निष्कर्ष निकालते हैं, с₁ = с₂..हम इस धारणा के साथ विरोधाभास में आ गए, जिसका अर्थ है कि यह गलत है, लेकिन यह प्रमेय सही है।

प्राकृतिक संख्याओं के अंतर की परिभाषा और उसके अस्तित्व की शर्तों के आधार पर, किसी संख्या को किसी संख्या से और किसी संख्या को किसी संख्या से घटाने के सुप्रसिद्ध नियमों को उचित ठहराना संभव है।

प्रमेय 21. होने देना एक। बीऔर साथ- पूर्णांक.

और अगर ए > सी, फिर (ए + बी) - सी = (ए - सी) + बी।

ख) यदि बी > सी. फिर (ए + बी) - सी - ए + (बी - सी)।

ग) यदि ए > सी और बी > सी.तो आप इनमें से किसी भी फॉर्मूले का उपयोग कर सकते हैं।
सबूत। मामले में ए) संख्याओं का अंतर एऔर सीमौजूद है क्योंकि ए > एस.आइए हम इसे निरूपित करें एक्स: ए - सी = एक्स.कहाँ ए = सी + एक्स. अगर (ए+ बी) - सी = वाई।फिर, अंतर की परिभाषा के अनुसार, ए+ बी = साथ+ पर. आइए हम इसके स्थान पर इस समानता को प्रतिस्थापित करें एअभिव्यक्ति सी + एक्स:(सी + एक्स) + बी = सी + वाई।आइए जोड़ की साहचर्यता संपत्ति का उपयोग करें: सी + (एक्स + बी) = सी+ पर. आइए हम जोड़ की एकरसता के गुण के आधार पर इस समानता को रूपांतरित करें और प्राप्त करें:

एक्स + बी = यू.इस समानता में x को व्यंजक से प्रतिस्थापित करना एसी,होगा (ए -जी) + बी = वाई.इस प्रकार, हमने यह सिद्ध कर दिया है कि यदि ए > सी, फिर (ए + बी) - सी = (ए - सी) + बी

प्रमाण इसी तरह मामले बी में किया जाता है)।

सिद्ध प्रमेय को एक नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है जो याद रखने के लिए सुविधाजनक है: किसी संख्या को योग से घटाने के लिए, इस संख्या को योग के एक पद से घटाना और परिणामी परिणाम में एक और पद जोड़ना पर्याप्त है।

प्रमेय 22.होने देना ए, बी और सी -पूर्णांक अगर ए > बी+ एस, फिर ए- (बी + सी) = (ए - बी) - सीया ए - (बी + सी) = (ए - सी) - बी।

इस सिद्धांत का प्रमाण प्रमेय 21 के प्रमाण के समान है।

प्रमेय 22 को एक नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है: किसी संख्या से संख्याओं का योग घटाने के लिए, इस संख्या से प्रत्येक पद को एक-एक करके घटाना पर्याप्त है।

में प्राथमिक शिक्षाजोड़ के व्युत्क्रम के रूप में घटाव की गणित परिभाषा सामान्य रूप से देखें, एक नियम के रूप में, नहीं दिया गया है, लेकिन इसका लगातार उपयोग किया जाता है, एकल-अंकीय संख्याओं पर संचालन करने से शुरू होता है। छात्रों को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि घटाव का जोड़ से संबंध है और गणना में इस संबंध का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, संख्या 40 में से संख्या 16 को घटाने पर, छात्र इस प्रकार तर्क देते हैं: “40 में से संख्या 16 को घटाने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना कि जब संख्या 16 में जोड़ा जाए, तो परिणाम 40 हो; यह संख्या 24 होगी, चूँकि 24 + 16 = 40। 40 - 16 = 24।"

बुनियादी गणित पाठ्यक्रम में किसी संख्या को योग से और किसी संख्या को योग से घटाने के नियम हैं सैद्धांतिक आधारविभिन्न गणना विधियाँ। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (40 + 16) - 10 का मान न केवल कोष्ठक में योग की गणना करके और फिर उसमें से संख्या 10 घटाकर पाया जा सकता है, बल्कि इस तरह से भी पाया जा सकता है;

ए) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

बी) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46।

अभ्यास

1. क्या यह सत्य है कि प्रत्येक प्राकृत संख्या निकटतम अगली प्राकृत संख्या से एक घटाकर प्राप्त की जाती है?

2. प्रमेय 19 की तार्किक संरचना के बारे में क्या विशेष है? क्या इसे "आवश्यक और पर्याप्त" शब्दों का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है?

3. सिद्ध करें कि:

और अगर बी > सी,वह (ए + बी) - सी = ए + (बी - सी);

बी) यदि ए > बी + सी, वह ए - (बी+ सी) = (ए - बी) - सी।

4. क्या बिना गणना किए यह कहना संभव है कि किन भावों के मान समान होंगे:

ए) (50 + 16) - 14; घ) 50 + (16 -14 ),

बी) (50 - 14) + 16; ई) 50 - (16 - 14);
सी) (50 - 14) - 16, एफ) (50 + 14) - 16।

ए) 50 - (16 + 14); घ) (50 - 14) + 16;

बी) (50 - 16) + 14; ई) (50 - 14) - 16;

ग) (50 - 16) - 14; ई) 50 - 16-14।

5. प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में अध्ययन की गई निम्नलिखित गणना तकनीकों के लिए घटाव के कौन से गुण सैद्धांतिक आधार हैं:

12 - 2-3 12 -5 = 7

बी) 16-7 = 16-6 - पी;

ग) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

घ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45।

6. वर्णन करें संभावित तरीकेप्रपत्र की अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करना। ए - बी- साथऔर उन्हें विशिष्ट उदाहरणों से स्पष्ट करें।

7. सिद्ध करो कि कब बी< а और किसी भी प्राकृतिक सी में समानता सत्य है (ए - बी) सी = एसी - बीसी।

टिप्पणी। प्रमाण स्वयंसिद्ध 4 पर आधारित है।

8. लिखित गणना किए बिना किसी अभिव्यक्ति का मान निर्धारित करें। अपने उत्तरों का औचित्य सिद्ध करें.

ए) 7865 × 6 – 7865 ×5: बी) 957 × 11 – 957; ग) 12 × 36 – 7 × 36।

विभाजन

प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध निर्माण में, विभाजन को आमतौर पर गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। प्राकृत संख्याओं a और b का विभाजन एक संक्रिया है जो इस शर्त को पूरा करती है: a: b = c यदि और केवल यदिको जब बी× सी = ए.

संख्या ए:बीबुलाया निजीनंबर एऔर बी,संख्या एविभाज्य, संख्या बी- भाजक.

जैसा कि ज्ञात है, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर विभाजन हमेशा मौजूद नहीं होता है, और भागफल के अस्तित्व का कोई ऐसा सुविधाजनक संकेत नहीं है जो किसी अंतर के लिए मौजूद हो। वहां केवल यह है आवश्यक शर्तनिजी का अस्तित्व.

प्रमेय 23.दो प्राकृत संख्याओं का भागफल होने के लिए एऔर बी, यह जरूरी है कि बी< а.

सबूत। मान लीजिए प्राकृतिक संख्याओं का भागफल है एऔर बीमौजूद है, यानी एक प्राकृत संख्या c ऐसी है बीसी = ए.चूँकि किसी भी प्राकृत संख्या 1 के लिए असमानता 1 £ है साथ,फिर, इसके दोनों भागों को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करें बी, हम पाते हैं बी£ बी.सी.लेकिन बीसी = ए,इस तरह, बी£ एक।

प्रमेय 24.यदि प्राकृत संख्याओं का भागफल एऔर बीमौजूद है, तो यह अद्वितीय है.

इस प्रमेय का प्रमाण प्राकृतिक संख्याओं के अंतर की विशिष्टता पर प्रमेय के प्रमाण के समान है।

प्राकृतिक संख्याओं के भागफल की परिभाषा और उसके अस्तित्व की शर्तों के आधार पर, किसी संख्या द्वारा योग (अंतर, उत्पाद) को विभाजित करने के प्रसिद्ध नियमों को उचित ठहराना संभव है।

प्रमेय 25.यदि संख्याएँ एऔर बीएक संख्या से विभाज्य साथ,फिर उनका योग ए + बी c से विभाजित किया जाता है, और योग को विभाजित करने पर प्राप्त भागफल प्राप्त होता है ए+ बीप्रति संख्या साथ,भाग देने पर प्राप्त भागफल के योग के बराबर एपर साथऔर बीपर साथ, अर्थात। (ए + बी):सी = ए:सी + बी:साथ।

सबूत। संख्या के बाद से एद्वारा विभाजित साथ,तो एक प्राकृत संख्या x = है ए;वह है ए = सीएक्स.इसी प्रकार एक ऐसी प्राकृतिक संख्या भी है वाई = बी:साथ,क्या

बी= सु.परन्तु फिर ए + बी = सीएक्स+ cy = - c(x + y).यह मतलब है कि ए + बीको c से विभाजित किया जाता है, और योग को विभाजित करने पर भागफल प्राप्त होता है ए+ बीसंख्या c से, x + के बराबर हाँ,वे। कुल्हाड़ी + बी: सी.

सिद्ध प्रमेय को किसी योग को किसी संख्या से विभाजित करने के नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है: योग को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, प्रत्येक पद को इस संख्या से विभाजित करना और परिणामी परिणामों को जोड़ना पर्याप्त है।

प्रमेय 26.यदि प्राकृतिक संख्याएँ एऔर बीएक संख्या से विभाज्य साथऔर ए > बी,फिर अंतर ए - बीको c से विभाजित किया जाता है, और अंतर को संख्या c से विभाजित करने पर प्राप्त भागफल, विभाजित करने पर प्राप्त भागफल के अंतर के बराबर होता है एपर साथऔर बीसी पर, यानी (ए - बी):सी = ए:सी - बी:सी।

इस प्रमेय का प्रमाण पिछले प्रमेय के प्रमाण के समान है।

इस प्रमेय को अंतर को किसी संख्या से विभाजित करने के नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है: के लिएअंतर को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, न्यूनतम और घटाव को इस संख्या से विभाजित करना और पहले भागफल से दूसरे को घटाना पर्याप्त है।

प्रमेय 27.यदि एक प्राकृतिक संख्या एकिसी प्राकृतिक संख्या c से विभाज्य है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए बीकाम अबएस द्वारा विभाजित. इस मामले में, उत्पाद को विभाजित करके प्राप्त भागफल अबसंख्या एस के लिए , भाग देने पर प्राप्त भागफल के गुणनफल के बराबर एपर साथ,औरसंख्या बी: (ए × बी):सी - (ए:सी) × बी।

सबूत। क्योंकि एद्वारा विभाजित साथ,तो एक प्राकृत संख्या x ऐसी है एसी= एक्स, कहाँ ए = सीएक्स.समानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करना बी,हम पाते हैं एबी = (सीएक्स)बी.चूँकि गुणन साहचर्य है, तो (सीएक्स) बी = सी(एक्स बी)।यहाँ से (ए बी):सी = एक्स बी= (ए:सी) बी।प्रमेय को किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करने के नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है: किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, किसी एक कारक को इस संख्या से विभाजित करना और परिणामी परिणाम को दूसरे कारक से गुणा करना पर्याप्त है।

प्रारंभिक गणित शिक्षा में, गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में भाग की परिभाषा, एक नियम के रूप में, सामान्य रूप में नहीं दी जाती है, लेकिन इसका लगातार उपयोग किया जाता है, जो कि भाग से परिचित होने के पहले पाठ से शुरू होता है। छात्रों को यह स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि भाग का संबंध गुणन से है और गणना करते समय इस संबंध का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, 48 को 16 से विभाजित करते समय, छात्र इस प्रकार तर्क देते हैं: “48 को 16 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जिसे 16 से गुणा करने पर परिणाम 48 हो; ऐसी संख्या 3 होगी, क्योंकि 16×3 = 48. इसलिए, 48: 16 = 3.

अभ्यास

1. सिद्ध करें कि:

ए) यदि प्राकृतिक संख्याओं का भागफल ए और बीअस्तित्व है, तो वह अद्वितीय है;

बी) यदि संख्याएँ ए और बीमें विभाजित हैं साथऔर ए > बी,वह (ए - बी): सी = ए: सी - बी: सी।
2. क्या यह कहना संभव है कि ये सभी समानताएँ सत्य हैं:
ए) 48:(2×4) = 48:2:4; बी) 56:(2×7) = 56:7:2;

ग) 850:170 =850:10:17.

कौन सा नियम इन मामलों को सामान्यीकृत करता है? इसका निरूपण करें और इसे सिद्ध करें।

3. विभाजन के कौन से गुण सैद्धांतिक आधार हैं?
स्कूली बच्चों को दिए गए निम्नलिखित कार्यों को पूरा करना प्राथमिक कक्षाएँ:

क्या बिना विभाजन किये यह कहना संभव है कि किन भावों का अर्थ समान होगा:

ए) (40+8):2; ग) 48:3; ई) (20+ 28):2;

बी) (30 + 16):3; छ)(21+27):3; च) 48:2;

क्या समानताएँ सत्य हैं:

ए) 48:6:2 = 48:(6:2); बी) 96:4:2 = 96:(4-2);

ग) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के संभावित तरीकों का वर्णन करें
प्रकार:

ए) (ए+ बी):सी;बी) ए:बी: साथ; वी)( ए × बी): साथ .

विशिष्ट उदाहरणों के साथ प्रस्तावित विधियों का वर्णन करें।

5. अभिव्यक्ति का अर्थ तर्कसंगत तरीके से खोजें; उनका
अपने कार्यों को उचित ठहराएँ:

ए) (7 × 63):7; ग) (15 × 18):(5× 6);

बी) (3 × 4× 5): 15; घ) (12 × 21): 14.

6. दो अंकों की संख्या से विभाजित करने की निम्नलिखित विधियों का औचित्य सिद्ध कीजिए:

ए) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

बी) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

ग) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

घ) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120।

7. किसी कोने से विभाजित किए बिना, सबसे तर्कसंगत खोजें
भागफल तरीके से; चुनी गई विधि का औचित्य सिद्ध करें:

क) 495:15; ग) 455:7; ई) 275:55;

6) 425:85; घ) 225:9; ई) 455:65।

व्याख्यान 34. गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के गुण

1. गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय। गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के गुण।

2. संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला के एक खंड की अवधारणा और एक परिमित सेट के तत्वों की गिनती। क्रमिक और कार्डिनल प्राकृतिक संख्याएँ।