प्राकृतिक संख्याएँ एक वलय नहीं हैं, क्योंकि 0 एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, और प्राकृतिक संख्याओं के लिए कोई प्राकृतिक विपरीत भी नहीं है। प्राकृतिक संख्याओं से बनी संरचना कहलाती है आधी अंगूठी.अधिक सटीकता से,

आधी अंगूठीजोड़ के संबंध में क्रमविनिमेय अर्धसमूह और गुणन के संबंध में अर्धसमूह कहा जाता है, जिसमें जोड़ और गुणन की संक्रियाएँ वितरणात्मक नियमों द्वारा संबंधित होती हैं।

आइए अब हम पूर्णांकों की सख्त परिभाषाएँ प्रस्तुत करें और उनकी तुल्यता सिद्ध करें। बीजगणितीय संरचनाओं के बारे में विचारों और इस तथ्य के आधार पर कि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक अर्ध-वलय है, लेकिन एक वलय नहीं है, हम निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत कर सकते हैं:

परिभाषा 1.एक पूर्णांक वलय एक न्यूनतम वलय है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं का एक अर्ध-वलय होता है।

यह परिभाषा इसके बारे में कुछ नहीं कहती उपस्थितिऐसी संख्याएँ. स्कूल के पाठ्यक्रम में, पूर्णांकों को प्राकृतिक संख्याओं, उनके विपरीत और 0 के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस परिभाषा को एक सख्त परिभाषा के निर्माण के आधार के रूप में भी लिया जा सकता है।

परिभाषा 2.पूर्णांकों का एक वलय एक वलय होता है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत और 0 (और केवल वे) होते हैं।

प्रमेय 1. परिभाषाएँ 1 और 2 समतुल्य हैं।

सबूत: आइए हम परिभाषा 1 के अर्थ में पूर्णांकों के वलय को Z 1 से निरूपित करें, और परिभाषा 2 के अर्थ में पूर्णांकों के वलय को Z 2 से निरूपित करें। सबसे पहले हम साबित करते हैं कि Z 2, Z 1 में शामिल है। वास्तव में, Z 2 के सभी तत्व या तो प्राकृतिक संख्याएँ हैं (वे Z 1 से संबंधित हैं, क्योंकि Z 1 में प्राकृतिक संख्याओं का एक अर्धवृत्त होता है), या उनके विपरीत (वे भी Z 1 से संबंधित हैं, क्योंकि Z 1 एक वलय है, जिसका अर्थ है इस वलय का प्रत्येक तत्व एक विपरीत है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n О Z 1 के लिए, -n भी Z 1 से संबंधित है), या 0 (0 О Z 1, क्योंकि Z 1 एक वलय है, और किसी भी वलय में होता है) 0), इस प्रकार, Z 2 से कोई भी तत्व Z 1 से संबंधित है, जिसका अर्थ है Z 2 Í Z 1। दूसरी ओर, Z 2 में प्राकृतिक संख्याओं का एक अर्ध-वलय होता है, और Z 1 एक न्यूनतम वलय होता है जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, अर्थात इसमें कोई भी शामिल नहीं हो सकता है एक औरछल्ले इस शर्त को पूरा करते हैं। लेकिन हमने दिखाया कि इसमें Z 2 है, जिसका अर्थ है Z 1 = Z 2। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा 3.पूर्णांकों का एक वलय एक वलय होता है जिसके सभी तत्व सभी संभावित तत्व होते हैं, जिन्हें अंतर b - a (समीकरण a + x = b के सभी संभावित समाधान) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां a और b मनमानी प्राकृतिक संख्याएं हैं।

प्रमेय 2. परिभाषा 3 पिछले दो के बराबर है।

सबूत: आइए हम परिभाषा 3 के अर्थ में पूर्णांकों के वलय को Z 3 से निरूपित करें, और पहले की तरह, परिभाषा 1 और 2 के अर्थ में पूर्णांकों के वलय को Z 1 = Z 2 से निरूपित करें (उनकी समानता पहले ही स्थापित हो चुकी है)। पहले हम सिद्ध करते हैं कि Z 3, Z 2 में सम्मिलित है। वास्तव में, Z 3 के सभी तत्वों को प्राकृतिक संख्याओं b - a के कुछ अंतरों के रूप में दर्शाया जा सकता है। ट्राइकोटॉमी प्रमेय के अनुसार किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए, तीन विकल्प संभव हैं:

इस मामले में, अंतर b - और भी एक प्राकृतिक संख्या है और इसलिए Z 2 से संबंधित है।

इस मामले में, हम प्रतीक 0 द्वारा दो समान तत्वों के अंतर को दर्शाते हैं। आइए साबित करें कि यह वास्तव में रिंग का शून्य है, यानी जोड़ के संबंध में एक तटस्थ तत्व है। ऐसा करने के लिए, हम अंतर की परिभाषा a - a = x ó a = a + x का उपयोग करेंगे और साबित करेंगे कि किसी भी प्राकृतिक b के लिए b + x = b। इसे साबित करने के लिए, तत्व b को समानता a = a + x के दाएं और बाएं पक्षों में जोड़ना और फिर कमी के नियम का उपयोग करना पर्याप्त है (ये सभी क्रियाएं रिंगों के ज्ञात गुणों के आधार पर की जा सकती हैं)। शून्य Z 2 से संबंधित है।

इस मामले में, अंतर a - b एक प्राकृतिक संख्या है, जिसे हम दर्शाते हैं

बी – ए = – (ए – बी). आइए हम साबित करें कि तत्व ए - बी और बी - ए वास्तव में विपरीत हैं, यानी उनका योग शून्य है। वास्तव में, यदि हम a - b = x, b - a = y को निरूपित करें, तो हम पाते हैं कि a = b + x, b = y + a। परिणामी समानताओं को पद दर पद जोड़ने और b को घटाने पर, हमें a = x + y + a प्राप्त होता है, अर्थात, x + y = a – a = 0. इस प्रकार, a – b = – (b – a) इसके विपरीत है प्राकृत संख्या, अर्थात् यह पुनः Z2 से संबंधित है। इस प्रकार, Z 3 Í Z 2 .

दूसरी ओर, Z 3 में प्राकृतिक संख्याओं का एक अर्धवृत्त होता है, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या n को हमेशा इस रूप में दर्शाया जा सकता है

एन = एन / – 1 О जेड 3 ,

जिसका अर्थ है Z 1 Í Z 3, क्योंकि Z 1 प्राकृतिक संख्याओं से युक्त एक न्यूनतम वलय है। पहले से सिद्ध तथ्य का उपयोग करते हुए कि Z 2 = Z 1, हम Z 1 = Z 2 = Z 3 प्राप्त करते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

हालाँकि पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि पूर्णांकों की सूचीबद्ध परिभाषाओं में कोई स्वयंसिद्ध नहीं हैं, ये परिभाषाएँ स्वयंसिद्ध हैं, क्योंकि तीनों परिभाषाएँ कहती हैं कि पूर्णांकों का समुच्चय एक वलय है। इसलिए, पूर्णांकों के स्वयंसिद्ध सिद्धांत में स्वयंसिद्ध एक वलय की परिभाषा की स्थितियाँ हैं।

आइए इसे साबित करें पूर्णांकों का स्वयंसिद्ध सिद्धांत सुसंगत है. इसे साबित करने के लिए, स्पष्ट रूप से सुसंगत सिद्धांत का उपयोग करके पूर्णांकों की अंगूठी का एक मॉडल बनाना आवश्यक है (हमारे मामले में, यह केवल प्राकृतिक संख्याओं का स्वयंसिद्ध सिद्धांत हो सकता है)।

परिभाषा 3 के अनुसार, प्रत्येक पूर्णांक को दो प्राकृतिक संख्याओं z = b - a के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए हम प्रत्येक पूर्णांक z के साथ संगत युग्म को संबद्ध करें . इस पत्राचार का नुकसान इसकी अस्पष्टता है। विशेष रूप से, संख्या 2 जोड़ी से मेल खाती है<3, 1 >, और एक जोड़ा<4, 2>, साथ ही कई अन्य। संख्या 0 एक जोड़ी से मेल खाती है<1, 1>, और एक जोड़ा<2,2>, और एक जोड़ा<3, 3>, और इसी तरह। यह अवधारणा इस समस्या से बचने में मदद करती है समतुल्य युग्म. मान लीजिए कि एक जोड़ा समकक्षयुगल , यदि a +d = b + c (नोटेशन: @ ).

प्रस्तुत संबंध प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है (प्रमाण पाठक पर छोड़ दिया गया है)।

किसी भी तुल्यता संबंध की तरह, यह संबंध प्राकृतिक संख्याओं के सभी संभावित युग्मों के समुच्चय को तुल्यता वर्गों में विभाजित करता है, जिसे हम इस रूप में निरूपित करेंगे। ] (प्रत्येक वर्ग में एक जोड़ी के बराबर सभी जोड़े होते हैं ). अब प्रत्येक पूर्णांक को प्राकृतिक संख्याओं के युग्मों के एक सुपरिभाषित वर्ग के साथ जोड़ना संभव है जो एक दूसरे के बराबर हैं। प्राकृतिक संख्याओं के युग्मों के ऐसे वर्गों के सेट का उपयोग पूर्णांकों के मॉडल के रूप में किया जा सकता है। आइए हम साबित करें कि रिंग के सभी सिद्धांत इस मॉडल में संतुष्ट हैं। ऐसा करने के लिए, जोड़ों के वर्गों के जोड़ और गुणा की अवधारणाओं को पेश करना आवश्यक है। हम इसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार करेंगे:

1) [] + [] = [];

आइए हम दिखाएँ कि प्रस्तुत परिभाषाएँ सही हैं, अर्थात वे जोड़ियों के वर्गों से विशिष्ट प्रतिनिधियों की पसंद पर निर्भर नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, यदि जोड़े समतुल्य हैं @ और @ , तो संबंधित योग और उत्पाद समतुल्य हैं @ , साथ ही @ .

@ ó ए + बी 1 = बी + ए 1 (1),

जो शर्त के बराबर है @ .

जिसका अर्थ है कि @ (दूसरे शब्दों में, यहां हमने यह साबित कर दिया है × @ ,× ).

ó @

(यहां हमने यह साबित कर दिया × @ ,× ). जोड़ों के तुल्यता संबंध की परिवर्तनशीलता संपत्ति का उपयोग करके, हम आवश्यक समानता पर पहुंचते हैं @ समतुल्य स्थिति

× @ ,× .

+ ( +) = + = .

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

बाकी कानूनों की भी इसी तरह जांच की जाती है (ध्यान दें उपयोगी तकनीकआवश्यक समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही रूप में अलग-अलग रूपांतरित करने के रूप में कार्य कर सकता है)।

किसी तटस्थ तत्व की उपस्थिति को जोड़ द्वारा सिद्ध करना भी आवश्यक है। वे फॉर्म के जोड़े के एक वर्ग के रूप में काम कर सकते हैं [<с, с>]. वास्तव में,

[] + [] = [] @ [], क्योंकि

[] + [] = [] = [] @ [].

[] / = [].

आइए इस नियम का उपयोग करके, शर्तों C1 और C2 की वैधता की जाँच करें (प्राकृतिक संख्याओं के योग की परिभाषा से)। स्थिति C1 (a + 1 = a /) में इस मामले मेंइस प्रकार पुनः लिखा जाएगा:

[] + [] =[] / = []. वास्तव में,

[] + [] = [] = [], क्योंकि

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].

के लिए कार्य स्वतंत्र निर्णय

क्रमांक 2.1. तालिका के दाएँ कॉलम में, तालिका के बाएँ कॉलम में दिए गए जोड़ों के बराबर जोड़े खोजें।

प्रत्येक जोड़े के लिए उसका विपरीत संकेत दें।

क्रमांक 2.2. गणना

ए) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; बी)[<3, 8>] + [<4, 7>];

वी) [<7, 4>] – [<8, 3>]; जी) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

इ) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; इ) [<2, 10>]× [<10, 2>].

क्रमांक 2.3. इस खंड में वर्णित पूर्णांकों के मॉडल के लिए, जोड़ के क्रमविनिमेय नियम, गुणन के साहचर्य और क्रमविनिमेय नियम और वितरण संबंधी नियम की जाँच करें।

हमने देखा है कि बहुपदों पर संक्रियाएँ उनके गुणांकों पर संक्रियाओं तक सीमित हो जाती हैं। वहीं, बहुपदों को जोड़ने, घटाने और गुणा करने के लिए तीन अंकगणितीय संक्रियाएं पर्याप्त हैं - संख्याओं के विभाजन की आवश्यकता नहीं है। चूँकि दो वास्तविक संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल फिर से वास्तविक संख्याएँ हैं, वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों को जोड़ने, घटाने और गुणा करने पर, परिणाम वास्तविक गुणांक वाले बहुपद होते हैं।

हालाँकि, ऐसे बहुपदों से निपटना हमेशा आवश्यक नहीं होता है जिनका कोई वास्तविक गुणांक होता है। ऐसे मामले हो सकते हैं, जब मामले के सार से, गुणांक में केवल पूर्णांक या केवल तर्कसंगत मान होना चाहिए। गुणांकों के कौन से मान स्वीकार्य माने जाते हैं, इसके आधार पर बहुपदों के गुण बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों पर विचार करते हैं, तो हम उन्हें गुणनखंडित कर सकते हैं:

यदि हम खुद को पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों तक सीमित रखते हैं, तो विस्तार (1) का कोई मतलब नहीं है और हमें बहुपद को कारकों में अविभाज्य मानना ​​चाहिए।

इससे पता चलता है कि बहुपद का सिद्धांत काफी हद तक इस बात पर निर्भर करता है कि कौन से गुणांक स्वीकार्य माने जाते हैं। गुणांकों के प्रत्येक सेट को स्वीकार्य नहीं माना जा सकता। उदाहरण के लिए, उन सभी बहुपदों पर विचार करें जिनके गुणांक विषम पूर्णांक हैं। यह स्पष्ट है कि ऐसे दो बहुपदों का योग अब एक ही प्रकार का बहुपद नहीं होगा: आखिरकार, विषम संख्याओं का योग एक सम संख्या है।

आइए प्रश्न पूछें: गुणांकों के "अच्छे" सेट क्या हैं? जब गुणांक वाले बहुपदों का योग, अंतर, गुणनफल इस प्रकार काएक ही प्रकार के गुणांक हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम एक संख्या वलय की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा। संख्याओं के एक गैर-रिक्त समुच्चय को संख्या वलय कहा जाता है, यदि इसमें किन्हीं दो संख्याओं a के साथ उनका योग, अंतर और गुणनफल शामिल हो। इसे संक्षेप में यह कहकर भी व्यक्त किया जाता है कि संख्या वलय जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के अंतर्गत बंद होता है।

1) पूर्णांकों का समुच्चय एक संख्या वलय है: पूर्णांकों का योग, अंतर और गुणनफल पूर्णांक होते हैं। प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय नहीं है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का अंतर ऋणात्मक हो सकता है।

2) सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय है, क्योंकि परिमेय संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल परिमेय होते हैं।

3) एक संख्या वलय और सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाता है।

4) a के रूप की संख्याएँ, जहाँ a और पूर्णांक हैं, एक संख्या वलय बनाती हैं। यह संबंधों से निम्नानुसार है:

5) विषम संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय नहीं है, क्योंकि विषम संख्याओं का योग सम होता है। सम संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय है।

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गणित संकाय

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गणित पढ़ाना

अंतिम योग्यता कार्य

विषय पर: गाऊसी पूर्णांक वलय।

पुरा होना:

5वें वर्ष का छात्र

गणित संकाय

ग्नुसोव वी.वी.

___________________________

वैज्ञानिक सलाहकार:

विभाग के वरिष्ठ व्याख्याता

बीजगणित और ज्यामिति

सेमेनोव ए.एन..

___________________________

समीक्षक:

भौतिकी एवं गणित के अभ्यर्थी विज्ञान, एसोसिएट प्रोफेसर

बीजगणित और ज्यामिति विभाग

कोव्याज़िना ई.एम.

___________________________

राज्य सत्यापन आयोग में बचाव के लिए भर्ती कराया गया

सिर विभाग________________ वेच्टोमोव ई.एम.

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संकाय के डीन ___________________ वरंकिना वी.आई.

« »________________

किरोव 2005

• परिचय। 2
• 3
• 4
• 1.2 शेष के साथ विभाजन। 5
• 1.3 जीसीडी। यूक्लिड एल्गोरिथम। 6
• 9
• 12
• 17
• निष्कर्ष। 23

परिचय।

जटिल पूर्णांकों के वलय की खोज कार्ल गॉस ने की थी और उनके सम्मान में इसका नाम गॉसियन रखा गया।

के. गॉस को दूसरी डिग्री की तुलनाओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम की खोज के संबंध में एक पूर्णांक की अवधारणा का विस्तार करने की संभावना और आवश्यकता का विचार आया। उन्होंने एक पूर्णांक की अवधारणा को फॉर्म की संख्याओं में स्थानांतरित कर दिया, जहां - मनमाना पूर्णांक हैं, और - समीकरण का मूल है। किसी दिए गए सेट पर, के. गॉस ने सबसे पहले विभाज्यता के सिद्धांत के समान, विभाज्यता का एक सिद्धांत बनाया पूर्णांक उन्होंने विभाज्यता के मूल गुणों की वैधता की पुष्टि की; दर्शाया कि सम्मिश्र संख्याओं के वलय में केवल चार व्युत्क्रमणीय तत्व होते हैं: ; शेषफल के साथ विभाजन पर प्रमेय की वैधता सिद्ध की, गुणनखंडन की विशिष्टता पर प्रमेय; दिखाया गया कि रिंग में कौन सी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ अभाज्य रहेंगी; सरल पूर्णांकों और सम्मिश्र संख्याओं की प्रकृति की खोज की।

के. गॉस द्वारा विकसित सिद्धांत, जिसका वर्णन उनके कार्य अंकगणित अध्ययन में किया गया है, संख्याओं और बीजगणित के सिद्धांत के लिए एक मौलिक खोज थी।

अंतिम कार्य में निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित किये गये थे:

1. गाऊसी संख्याओं के वलय में विभाज्यता का सिद्धांत विकसित करें।

2. अभाज्य गाऊसी संख्याओं की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

3. सामान्य डायोफैंटाइन समस्याओं को हल करने में गाऊसी संख्याओं का उपयोग दिखाएं।

अध्याय 1. गॉस संख्याओं के दायरे में विभाजन।

आइए सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर विचार करें। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के अनुरूप, इसमें पूर्णांकों के एक निश्चित उपसमूह को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। प्रपत्र की संख्याओं का एक सेट, जहां हम उन्हें सम्मिश्र पूर्णांक या गाऊसी संख्याएँ कहते हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि रिंग स्वयंसिद्ध इस सेट के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं का यह समुच्चय एक वलय है और कहलाता है गाऊसी पूर्णांकों का वलय . आइए हम इसे इस प्रकार निरूपित करें, क्योंकि यह तत्व द्वारा वलय का विस्तार है:।

चूँकि गॉसियन संख्याओं का वलय जटिल संख्याओं का एक उपसमूह है, इसलिए जटिल संख्याओं की कुछ परिभाषाएँ और गुण इसके लिए मान्य हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक गॉसियन संख्या एक वेक्टर से मेल खाती है जिसकी शुरुआत एक बिंदु पर और अंत एक बिंदु पर होता है। इस तरह, मापांक गाऊसी संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि विचाराधीन सेट में, सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति हमेशा एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक होती है। इसलिए, कुछ मामलों में इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है नियम , अर्थात् मापांक का वर्ग। इस प्रकार। आदर्श के निम्नलिखित गुणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। किसी भी गाऊसी संख्या के लिए निम्नलिखित सत्य है:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

मॉड्यूल का उपयोग करके इन गुणों की वैधता को तुच्छ रूप से सत्यापित किया जाता है। आगे बढ़ते हुए, हम ध्यान दें कि (2), (3), (5) किसी भी जटिल संख्या के लिए भी मान्य हैं।

गाऊसी संख्याओं का वलय 0 विभाजक के बिना एक क्रमविनिमेय वलय है, क्योंकि यह सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र का एक उप-वलय है। इसका तात्पर्य वलय की गुणात्मक संकुचनशीलता से है

1.1 प्रतिवर्ती और संबद्ध तत्व।

आइए देखें कि कौन सी गाऊसी संख्याएँ उलटी होंगी। गुणन में तटस्थ है. यदि एक गाऊसी संख्या प्रतिवर्ती , फिर, परिभाषा के अनुसार, ऐसा कुछ है। मानदंडों की ओर आगे बढ़ते हुए, संपत्ति 3 के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं। लेकिन ये मानदंड स्वाभाविक हैं, इसलिए। इसका मतलब है, संपत्ति 4 से, . इसके विपरीत, किसी दिए गए सेट के सभी तत्व व्युत्क्रमणीय हैं। नतीजतन, एक के बराबर मानदंड वाली संख्याएं उलटी होंगी, यानी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी गाऊसी संख्याएँ उलटी नहीं होंगी। इसलिए विभाज्यता के मुद्दे पर विचार करना दिलचस्प है। हमेशा की तरह, हम ऐसा कहते हैं शेयरों पर, यदि ऐसा मौजूद है तो किसी भी गाऊसी संख्या के साथ-साथ व्युत्क्रमणीय संख्या के लिए, गुण मान्य हैं।

(7)

(8)

(9)

(10)

, कहां (11)

(12)

आसानी से जांचा गया (8), (9), (11), (12)। न्याय (7) (2) से अनुसरण करता है, और (10) (6) से अनुसरण करता है। गुण (9) के कारण, समुच्चय के तत्व विभाज्यता के संबंध में बिल्कुल उसी तरह व्यवहार करते हैं जैसे और, और कहलाते हैं सम्बद्ध साथ। अत: संघ तक गाऊसी संख्याओं की विभाज्यता पर विचार करना स्वाभाविक है। ज्यामितीय रूप से, जटिल तल पर, संयोजक संख्याएँ एक से अधिक कोण द्वारा घूमने पर एक दूसरे से भिन्न होंगी।

1.2 शेष के साथ विभाजन।

भले ही विभाजित करना आवश्यक हो, लेकिन पूर्ण रूप से विभाजित करना असंभव है। हमें प्राप्त करना ही चाहिए, और साथ ही यह "पर्याप्त नहीं" भी होना चाहिए। फिर हम दिखाएंगे कि गॉसियन संख्याओं के सेट में शेषफल के साथ विभाजित करते समय अपूर्ण भागफल के रूप में क्या लेना है।

प्रमेयिका 1. शेषफल के साथ विभाजन पर।

रिंग में शेषफल के साथ विभाजन संभव है जिसमें शेषफल मानक के अनुसार भाजक से कम हो। अधिक सटीक रूप से, किसी के लिए भी और वहां ऐसा है कि . जैसा आप सम्मिश्र संख्या के निकटतम ले सकते हैं गाऊसी संख्या.

सबूत।

आइए सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में से भाग दें। यह संभव है क्योंकि सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय एक क्षेत्र है। रहने दो। आइए वास्तविक संख्याओं को पूर्णांकों में पूर्णांकित करें, और हमें क्रमशः प्राप्त होता है। चलिए डालते हैं. तब

.

अब असमानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करने पर, जटिल संख्याओं के मानदंड की गुणनशीलता के कारण, हमें वह प्राप्त होता है। इस प्रकार, एक अपूर्ण भागफल के रूप में हम एक गाऊसी संख्या ले सकते हैं, जो देखने में आसान है, निकटतम है।

सी.टी.डी.

1.3 जीसीडी। यूक्लिड एल्गोरिथम।

हम छल्लों के लिए सबसे बड़े सामान्य भाजक की सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं। जीसीडी"ओम दो गॉसियन संख्याओं को उनका सामान्य भाजक कहा जाता है जो किसी अन्य सामान्य भाजक से विभाज्य होता है।

पूर्णांकों के सेट की तरह, गॉसियन संख्याओं के सेट में जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।

इसके अलावा, डेटा को गाऊसी संख्या होने दें। शेषफल से भाग दें। यदि शेषफल 0 से भिन्न है, तो हम इस शेषफल से भाग देंगे, और जब तक संभव हो हम शेषफलों का क्रमिक विभाजन जारी रखेंगे। हमें समानताओं की एक श्रृंखला मिलती है:

, कहाँ

, कहाँ

, कहाँ

……………………….

, कहाँ

यह श्रृंखला अनिश्चित काल तक जारी नहीं रह सकती, क्योंकि हमारे पास मानदंडों का घटता क्रम है, और मानदंड गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं।

प्रमेय 2. जीसीडी के अस्तित्व पर।

यूक्लिड का एल्गोरिदम गॉसियन संख्याओं पर लागू होता है और अंतिम गैर-शून्य शेषफल gcd है( ).

सबूत।

आइए हम साबित करें कि यूक्लिडियन एल्गोरिदम में हम वास्तव में जीसीडी प्राप्त करते हैं।

1. आइए नीचे से ऊपर तक समानता पर विचार करें।

अंतिम समानता से यह स्पष्ट है कि, परिणामस्वरूप, विभाज्य संख्याओं का योग। चूंकि और, अगली पंक्ति देगी। और इसी तरह। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि... अर्थात् यह संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक है।

आइए हम दिखाते हैं कि यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, यानी यह किसी भी अन्य सामान्य भाजक से विभाज्य है।

2. ऊपर से नीचे तक समानता पर विचार करें।

मान लीजिए कि यह संख्याओं का एक मनमाना सामान्य भाजक है और। फिर, विभाज्य संख्याओं का अंतर वास्तव में पहली समानता से है। दूसरी समानता से हमें वह प्राप्त होता है। इस प्रकार, प्रत्येक समानता में शेषफल को विभाज्य संख्याओं के अंतर के रूप में निरूपित करते हुए, हम अंतिम समानता से वह प्राप्त करते हैं जिससे विभाज्य होता है।

सी.टी.डी.

लेम्मा 3. जीसीडी के प्रतिनिधित्व पर।

यदि जीसीडी( , )= , तो ऐसे गाऊसी पूर्णांक मौजूद हैं और , क्या .

सबूत।

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिथम में प्राप्त समानताओं की श्रृंखला पर नीचे से ऊपर तक विचार करें। इनके भावों को क्रमशः शेषफल के स्थान पर पिछले शेषांशों के माध्यम से प्रतिस्थापित करते हुए तथा के माध्यम से व्यक्त करेंगे।

गॉसियन संख्या कहलाती है सरल , यदि इसे दो अपरिवर्तनीय कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। अगला कथन स्पष्ट है.

कथन 4.

जब आप एक अभाज्य गाऊसी संख्या को एक व्युत्क्रमणीय संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको फिर से एक अभाज्य गाऊसी संख्या प्राप्त होती है।

कथन 5.

यदि हम गाऊसी संख्या से सबसे छोटे मानदंड वाला एक अपरिवर्तनीय भाजक लेते हैं, तो यह एक साधारण गाऊसी होगा।

सबूत।

माना कि ऐसा भाजक एक भाज्य संख्या है। फिर, अपरिवर्तनीय गाऊसी संख्याएँ कहाँ और कहाँ हैं। आइए मानदंडों की ओर बढ़ते हैं, और (3) के अनुसार हमें वह मिलता है। चूँकि ये मानदंड प्राकृतिक हैं, हमारे पास वह है, और (12) के आधार पर, एक अपरिवर्तनीय भाजक है दिया गया नंबरगॉस, जो पसंद का खंडन करता है।

कथन 6.

अगर अभाज्य गाऊसी संख्या से विभाज्य नहीं है , फिर जीसीडी( , )=1.

सबूत।

वास्तव में, एक अभाज्य संख्या केवल 1 या 1 से जुड़ने वाली संख्याओं से विभाज्य . और चूंकि यह विभाज्य नहीं है , फिर सहयोगियों के साथ साझा भी नहीं करता. इसका मतलब यह है कि उनके सामान्य भाजक केवल व्युत्क्रमणीय संख्याएँ होंगे।

लेम्मा 7. यूक्लिड की लेम्मा.

यदि गाऊसी संख्याओं का गुणनफल एक अभाज्य गाऊसी संख्या से विभाज्य है , तो कम से कम एक कारक से विभाज्य है .

सबूत।

इसे साबित करने के लिए, उस मामले पर विचार करना पर्याप्त है जब उत्पाद में केवल दो कारक होते हैं। यानी हम दिखाएंगे कि क्या यह विभाज्य है , तो इसे या तो विभाजित किया जाता है , या द्वारा विभाजित .

इसका बंटवारा न हो , फिर जीसीडी(, )=1. इसलिए, गाऊसी संख्याएँ और ऐसी ही कुछ हैं। समानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें , हम पाते हैं कि, यह इस प्रकार है, विभाज्य संख्याओं के योग के रूप में .

1.4 अंकगणित का मौलिक सिद्धांत।

किसी भी गैर-शून्य गाऊसी संख्या को अभाज्य गाऊसी संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, और यह प्रतिनिधित्व कारकों के संयोजन और क्रम तक अद्वितीय है।

नोट 1।

एक उत्क्रमणीय संख्या के विस्तार में शून्य अभाज्य गुणनखंड होते हैं, अर्थात यह स्वयं का प्रतिनिधित्व करती है।

नोट 2।

अधिक सटीक रूप से, विशिष्टता निम्नानुसार तैयार की गई है। यदि सरल गाऊसी कारकों में दो गुणनखंड हैं, अर्थात् , वह और आप इस प्रकार संख्याओं को पुनः क्रमांकित कर सकते हैं , क्या के साथ लीग में होंगे , सबके सामने 1 से सहित।

सबूत।

हम मानक पर प्रेरण द्वारा प्रमाण को पूरा करते हैं।

आधार। इकाई मानदंड वाली संख्या के लिए कथन स्पष्ट है।

आइए अब एक गैर-शून्य अपरिवर्तनीय गाऊसी संख्या बनें, और छोटे मानक वाले सभी गाऊसी संख्याओं के लिए, कथन सिद्ध हो गया है।

आइए हम अभाज्य कारकों में विघटित होने की संभावना को दर्शाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उस अपरिवर्तनीय भाजक द्वारा निरूपित करते हैं जिसका मानदंड सबसे छोटा है। यह भाजक कथन 5 के अनुसार एक अभाज्य संख्या होना चाहिए। इस प्रकार, हमारे पास और, आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि इसे इन सरल और के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।

आइए हम अभाज्य कारकों में अपघटन की विशिष्टता को दिखाएं। ऐसा करने के लिए, हम दो मनमाने विस्तार लेते हैं:

यूक्लिड की लेम्मा के अनुसार, किसी उत्पाद में कारकों में से एक को विभाज्य होना चाहिए। हम मान सकते हैं कि यह विभाज्य है, अन्यथा हम पुनः क्रमांकन करेंगे। चूँकि वे सरल हैं, इसलिए प्रतिवर्ती कहाँ है। अपनी समानता के दोनों पक्षों को कम करके, हम एक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में एक अपघटन प्राप्त करते हैं जिसका मानदंड इससे कम है।

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, और संख्याओं को फिर से क्रमांकित करना संभव है ताकि यह साथ, साथ, ..., के साथ संयोजित हो। फिर इस क्रमांकन के साथ यह 1 से समावेशी सभी के लिए संयोजित होता है। इसका मतलब यह है कि अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन अद्वितीय है।

एक-उत्पन्न रिंग ओवर का एक उदाहरणओटीए के बिना.

चलो गौर करते हैं। इस वलय के तत्व रूप की संख्याएँ हैं, जहाँ और मनमाना पूर्णांक हैं। आइए हम दिखाते हैं कि अंकगणित का मौलिक प्रमेय इसमें लागू नहीं होता है। आइए हम इस रिंग में किसी संख्या के मानदंड को इस प्रकार परिभाषित करें:। यह वास्तव में आदर्श है, क्योंकि इसे सत्यापित करना मुश्किल नहीं है। जाने भी दो। तब

नोटिस जो।

आइए हम दिखाएं कि विचाराधीन रिंग में संख्याएँ अभाज्य हैं। वास्तव में, इसे उनमें से एक होने दें। तब हमारे पास है: चूंकि इस रिंग में मानक 2 के साथ कोई संख्या नहीं है, तो या। व्युत्क्रमणीय तत्व इकाई मानक और केवल उन्हें वाली संख्याएँ होंगी। इसका मतलब यह है कि मनमाने गुणनखंड में एक व्युत्क्रमणीय गुणनखंड होता है, इसलिए, यह सरल है।

अध्याय 2. गॉस प्राइम्स।

यह समझने के लिए कि कौन सी गॉसियन संख्याएँ अभाज्य हैं, कई कथनों पर विचार करें।

प्रमेय 8.

प्रत्येक गाऊसी अभाज्य बिल्कुल एक अभाज्य प्राकृतिक संख्या का भाजक होता है।

सबूत।

तो फिर, इसे एक साधारण गाऊसी होने दें। प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, यह सरल प्राकृतिक संख्याओं के उत्पाद में विघटित हो जाता है। और यूक्लिड की प्रमेयिका के अनुसार, उनमें से कम से कम एक विभाज्य है।

आइए अब हम दिखाएं कि एक गाऊसी अभाज्य दो अलग-अलग प्राकृतिक अभाज्यों को विभाजित नहीं कर सकता है। वास्तव में, भले ही विभिन्न सरल प्राकृतिक संख्याएँ हों जिनसे विभाज्य हो। चूँकि GCD() = 1, तो पूर्णांकों में GCD के निरूपण पर प्रमेय के अनुसार ऐसे पूर्णांक भी होते हैं। इसलिए, जो सरलता का खंडन करता है।

इस प्रकार, प्रत्येक सरल प्राकृतिक को सरल गाऊसी में विघटित करके, हम दोहराव के बिना, सभी सरल गाऊसी की गणना करेंगे।

अगला प्रमेय दर्शाता है कि प्रत्येक सरल प्राकृतिक संख्या के लिए अधिकतम दो सरल गाऊसी संख्याएँ होती हैं।

प्रमेय 9.

यदि एक अभाज्य प्राकृतिक संख्या को तीन अभाज्य गाऊसी संख्याओं के गुणनफल में विघटित किया जाता है, तो कम से कम एक कारक व्युत्क्रमणीय होता है।

सबूत।

होने देना -- एक सरल प्राकृतिक ऐसा कि . मानदंडों पर आगे बढ़ते हुए, हमें मिलता है:

.

प्राकृतिक संख्याओं में इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि कम से कम एक मानदंड 1 के बराबर है। इसलिए, संख्याओं में से कम से कम एक - प्रतिवर्ती.

लेम्मा 10.

यदि एक गाऊसी संख्या एक अभाज्य प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है, तो और।

सबूत।

होने देना , वह है . तब , , वह है , .

सी.टी.डी.

लेम्मा 11.

प्रपत्र की एक अभाज्य प्राकृत संख्या के लिए, ऐसी एक प्राकृत संख्या होती है।

सबूत।

विल्सन के प्रमेय में कहा गया है कि एक पूर्णांक अभाज्य है यदि और केवल यदि। लेकिन, यहाँ से. आइए फैक्टोरियल का विस्तार और परिवर्तन करें:

यहाँ से हमें वह मिलता है, अर्थात्। .

तो हमें वह मिल गया , कहाँ = .

अब हम सभी अभाज्य गाऊसी संख्याओं का वर्णन करने के लिए तैयार हैं।

प्रमेय 12.

सभी सरल गाऊसी को तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1). सरल प्राकृतिक प्रकार सरल गाऊसी होते हैं;

2). दो गाऊसी अभाज्य के वर्ग के साथ संयुग्मित है;

3). सरल प्राकृतिक प्रकार दो सरल संयुग्मी गाऊसी के उत्पाद में विघटित हो जाते हैं।

सबूत।

1). मान लीजिए कि प्रधान प्राकृतिक दयालु कोई साधारण गॉसियन नहीं है. तब , और और . आइए मानदंडों पर चलते हैं: . इन असमानताओं को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं , वह है -- दो पूर्णांकों के वर्गों का योग। लेकिन पूर्णांकों के वर्गों के योग को 4 से विभाजित करने पर 3 शेष नहीं बचता।

2). नोटिस जो

.

संख्या - प्रधान गाऊसी, अन्यथा दोनों तीन अपरिवर्तनीय कारकों में विघटित हो जाएंगे, जो प्रमेय 9 का खंडन करता है।

3). इसे सरल रहने दो प्राकृतिक लुक , तो लेम्मा 11 द्वारा एक पूर्णांक है ऐसा है कि . होने देना - सरल गाऊसी। क्योंकि , फिर यूक्लिडियन लेम्मा द्वारा कम से कम एक कारक विभाज्य है। होने देना , तो एक गाऊसी संख्या है ऐसा है कि . काल्पनिक भागों के गुणांकों को बराबर करने पर, हमें वह प्राप्त होता है . इस तरह, , जो सरलता की हमारी धारणा का खंडन करता है . मतलब - एक मिश्रित गाऊसी, जिसे दो सरल संयुग्मी गाऊसी के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

सी.टी.डी.

कथन।

अभाज्य से संयुग्मित एक गाऊसी संख्या स्वयं एक अभाज्य है।

सबूत।

मान लीजिए कि यह एक अभाज्य गाऊसी संख्या है। यदि हम मान लें कि यह समग्र है, अर्थात। फिर संयुग्म पर विचार करें:, अर्थात, दो अपरिवर्तनीय कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो नहीं हो सकता।

कथन।

एक गाऊसी संख्या जिसका मानक एक अभाज्य प्राकृतिक संख्या है, एक गाऊसी अभाज्य संख्या है।

सबूत।

तो फिर, इसे एक भाज्य संख्या होने दें। आइए मानदंडों पर नजर डालें।

अर्थात्, हमने पाया कि मानदंड एक भाज्य संख्या है, लेकिन शर्त के अनुसार यह एक अभाज्य संख्या है। इसलिए, हमारी धारणा गलत है और एक अभाज्य संख्या है।

कथन।

यदि एक अभाज्य प्राकृतिक संख्या गाऊसी अभाज्य नहीं है, तो इसे दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सबूत।

मान लीजिए कि एक अभाज्य प्राकृत संख्या अभाज्य गाऊसी नहीं है। तब। चूँकि संख्याएँ समान हैं, उनके मानदंड भी समान हैं। यानी हमें यहीं से मिलता है.

दो संभावित मामले हैं:

1). , अर्थात, दो वर्गों के योग के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

2). , अर्थात, इसका अर्थ एक उत्क्रमणीय संख्या है, जो नहीं हो सकती, जिसका अर्थ है कि यह मामला हमें संतुष्ट नहीं करता है।

अध्याय 3. गॉस संख्याओं का अनुप्रयोग।

कथन।

संख्याओं का गुणनफल जिसे दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, उसे दो वर्गों के योग के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

सबूत।

आइए इस तथ्य को दो तरीकों से सिद्ध करें, गाऊसी संख्याओं का उपयोग करके और गाऊसी संख्याओं का उपयोग किए बिना।

1. मान लीजिए कि प्राकृतिक संख्याएँ दो वर्गों के योग के रूप में निरूपित की जा सकती हैं। फिर, और. आइए उत्पाद पर विचार करें, जो कि दो संयुग्मी गॉसियन संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जिसे प्राकृतिक संख्याओं के दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया गया है।

2. चलो, . तब

कथन।

यदि, सरल प्राकृतिक रूप कहाँ है, तो और।

सबूत।

यह इस शर्त से चलता है कि इस मामले में यह एक साधारण गाऊसी है। फिर, यूक्लिड की प्रमेयिका के अनुसार, कारकों में से एक से विभाज्य है। चलो, फिर लेम्मा 10 द्वारा हमारे पास वह है और।

चलिए वर्णन करते हैं सामान्य फ़ॉर्मदो वर्गों के योग के रूप में दर्शायी जाने वाली प्राकृतिक संख्याएँ।

फ़र्मेट का क्रिसमस प्रमेय या फ़र्मेट का प्रमेय--यूलर.

एक गैर-शून्य प्राकृतिक संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विहित विस्तार में सभी अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हों सम अंशों में सम्मिलित हैं।

सबूत।

ध्यान दें कि 2 और फॉर्म की सभी अभाज्य संख्याओं को दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि किसी संख्या के विहित अपघटन में अभाज्य गुणनखंड विषम डिग्री में दिखाई देते हैं। आइए हम उन सभी कारकों को कोष्ठक में रखें जिन्हें दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, फिर हमारे पास फॉर्म के कारक रह जाएंगे, सभी पहली शक्ति में। आइए हम दिखाएं कि ऐसे कारकों के उत्पाद को दो वर्गों के योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। वास्तव में, यदि हम ऐसा मानते हैं, तो हमारे पास कारकों में से एक है या उसे विभाजित करना होगा, लेकिन यदि इन गॉसियन संख्याओं में से एक विभाजित होता है, तो उसे दूसरे को भी, उसके संयुग्म के रूप में, विभाजित करना होगा। वह है, और, लेकिन तब यह दूसरी डिग्री में होना चाहिए, लेकिन यह पहली में है। नतीजतन, पहली डिग्री के किसी भी अभाज्य गुणनखंड के उत्पाद को दो वर्गों के योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि हमारी धारणा सत्य नहीं है और किसी संख्या के विहित विस्तार में रूप के सभी अभाज्य कारक सम घातों में दिखाई देते हैं।

कार्य 1।

आइए डायफैंटाइन समीकरण को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस सिद्धांत के अनुप्रयोग को देखें।

पूर्ण संख्याओं में हल करें.

ध्यान दें कि दाईं ओर को संयुग्मित गाऊसी संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

वह है। इसे किसी अभाज्य गाऊसी संख्या से विभाज्य होने दें, और इसके संयुग्म को इससे विभाज्य होने दें, अर्थात। यदि हम इन गाऊसी संख्याओं के अंतर पर विचार करें, जो कि विभाज्य होना चाहिए, तो हम पाते हैं कि इसे 4 से विभाजित करना होगा। लेकिन, यानी, यह के साथ संयुक्त है।

किसी संख्या के अपघटन में सभी अभाज्य कारक तीन के गुणजों की घातों में शामिल होते हैं, और रूप के कारक छह के गुणजों की घातों में शामिल होते हैं, क्योंकि एक अभाज्य गाऊसी संख्या अभाज्य गाऊसी 2 में अपघटन से प्राप्त होती है, लेकिन, इसलिए। यह किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर जितनी बार प्रकट होता है, उतनी ही बार यह किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर प्रकट होता है। इस तथ्य के आधार पर कि यह यदि से विभाज्य है और केवल यदि यह इससे विभाज्य है। लेकिन साथ मिलकर. अर्थात्, उन्हें समान रूप से वितरित किया जाएगा, जिसका अर्थ है कि वे तीन के गुणज की घातों में इन संख्याओं के विस्तार में शामिल होंगे। किसी संख्या के विस्तार में शामिल अन्य सभी अभाज्य कारक केवल किसी संख्या या किसी संख्या के विस्तार में ही दिखाई देंगे। इसका मतलब यह है कि किसी संख्या के सरल गाऊसी कारकों में अपघटन में, सभी कारक तीन से विभाज्य शक्तियों में दिखाई देंगे। अतः संख्या एक घन है। इस प्रकार हमारे पास वह है। यहां से हमें वह प्राप्त होता है, अर्थात, 2 का भाजक होना चाहिए। इसलिए, या। जहां से हमें चार विकल्प मिलते हैं जो हमें संतुष्ट करते हैं।

1. , . हम उसे कहां पाते हैं, .

2. . यहाँ से, ।

3. . यहाँ से, ।

4. , . यहाँ से, ।

कार्य 2.

पूर्ण संख्याओं में हल करें.

आइए बाईं ओर की कल्पना दो गाऊसी संख्याओं के गुणनफल के रूप में करें, अर्थात। आइए हम प्रत्येक संख्या को सरल गाऊसी गुणनखंडों में विघटित करें। सरल लोगों में वे भी होंगे जो विस्तार में हैं और। आइए हम ऐसे सभी कारकों को समूहित करें और परिणामी उत्पाद को निरूपित करें। तब विस्तार में वे ही कारक रह जायेंगे जो विस्तार में नहीं हैं। विस्तार में शामिल सभी प्रमुख गाऊसी कारक सम घातों में हैं। जो इसमें शामिल नहीं हैं वे या तो केवल या तो मौजूद रहेंगे। अतः संख्या एक वर्ग है। वह है। वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करने पर, हमें यह प्राप्त होता है।

कार्य 3.

दो वर्गों के योग के रूप में एक प्राकृतिक संख्या के निरूपण की संख्या।

यह समस्या किसी निश्चित गॉस संख्या के मानदंड के रूप में किसी दी गई प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व करने की समस्या के बराबर है। मान लीजिए कि यह एक गॉस संख्या है जिसका मान बराबर है। आइए इसे सरल प्राकृतिक कारकों में विभाजित करें।

प्रपत्र की अभाज्य संख्याएँ कहाँ हैं, और प्रपत्र की अभाज्य संख्याएँ कहाँ हैं। फिर, दो वर्गों के योग के रूप में प्रदर्शित होने के लिए यह आवश्यक है कि सभी सम हों। आइए, हम संख्या को सरल गाऊसी गुणनखंडों में विभाजित करें

अभाज्य गाऊसी संख्याएँ कहाँ हैं जिनमें उनका विस्तार किया जाता है।

किसी मानक की किसी संख्या से तुलना करने से निम्नलिखित संबंध बनते हैं, जो आवश्यक और पर्याप्त हैं:

संकेतकों के चयन के लिए विचारों की संख्या की गणना विकल्पों की कुल संख्या से की जाती है। घातांक के लिए एक संभावना है, क्योंकि संख्या को निम्नलिखित तरीके से दो गैर-नकारात्मक शब्दों में विभाजित किया जा सकता है:

कुछ संकेतकों के लिए एक विकल्प है वगैरह। संकेतकों के लिए अनुमेय मूल्यों को सभी संभावित तरीकों से जोड़कर, हम फॉर्म या 2 के मानक के साथ सरल गाऊसी संख्याओं के उत्पाद के लिए कुल अलग-अलग मान प्राप्त करते हैं। संकेतक विशिष्ट रूप से चुने जाते हैं। अंत में, व्युत्क्रमणीय को चार अर्थ दिए जा सकते हैं: इस प्रकार, एक संख्या के लिए केवल संभावनाएँ होती हैं, और इसलिए, एक संख्या को गॉसियन संख्या के मानदंड के रूप में, अर्थात् रूप में, तरीकों से दर्शाया जा सकता है।

इस गणना में समीकरण के सभी समाधानों को अलग-अलग माना जाता है। हालाँकि, कुछ समाधानों को दो-वर्गों के समान योग प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, यदि किसी समीकरण के समाधान हैं, तो सात और समाधान बताए जा सकते हैं जो दो वर्गों के योग के रूप में एक संख्या का समान प्रतिनिधित्व निर्धारित करते हैं:।

जाहिर है, एक प्रतिनिधित्व के अनुरूप आठ समाधानों में से केवल चार अलग-अलग समाधान रह सकते हैं यदि और केवल यदि या तो, या। यदि पूर्ण वर्ग या दोहरा पूर्ण वर्ग हो तो समान निरूपण संभव है, और इसके अलावा, ऐसा केवल एक ही निरूपण हो सकता है:।

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित सूत्र हैं:

यदि सभी सम और नहीं हैं

यदि सभी सम हैं.

निष्कर्ष।

इस कार्य में, गाऊसी पूर्णांकों के वलय में विभाज्यता के सिद्धांत का अध्ययन किया गया, साथ ही अभाज्य गाऊसी संख्याओं की प्रकृति का भी अध्ययन किया गया। इन मुद्दों को पहले दो अध्यायों में संबोधित किया गया है।

तीसरा अध्याय प्रसिद्ध शास्त्रीय समस्याओं को हल करने के लिए गॉस संख्याओं के अनुप्रयोगों पर चर्चा करता है, जैसे:

· किसी प्राकृतिक संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाने की संभावना के बारे में प्रश्न;

· दो वर्गों के योग के रूप में किसी प्राकृतिक संख्या के निरूपण की संख्या ज्ञात करने का कार्य;

· अनिश्चित पायथागॉरियन समीकरण का सामान्य समाधान खोजना;

और डायफैंटाइन समीकरण के समाधान के लिए भी।

मैं यह भी नोट करता हूं कि कार्य अतिरिक्त साहित्य के उपयोग के बिना पूरा किया गया था।

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परिभाषा:

अनुक्रमों द्वारा परिभाषित पी-एडिक पूर्णांक संख्याओं का योग और उत्पाद क्रमशः अनुक्रमों द्वारा परिभाषित पी-एडिक पूर्णांक संख्याएं कहा जाता है।

इस परिभाषा की शुद्धता सुनिश्चित करने के लिए, हमें यह साबित करना होगा कि अनुक्रम कुछ पूर्णांकों - आदि संख्याओं को परिभाषित करते हैं और ये संख्याएँ केवल उन अनुक्रमों की पसंद पर निर्भर करती हैं जो उन्हें परिभाषित करते हैं। इन दोनों गुणों को स्पष्ट सत्यापन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

यह स्पष्ट है कि एडिक पूर्णांकों पर संचालन की दी गई परिभाषा के साथ, वे एक संचारी रिंग बनाते हैं जिसमें तर्कसंगत पूर्णांकों की रिंग एक सबरिंग के रूप में होती है।

पूर्णांक आदिक संख्याओं की विभाज्यता को किसी अन्य रिंग की तरह ही परिभाषित किया गया है: यदि कोई पूर्णांक आदिक संख्या मौजूद है जैसे कि

विभाजन के गुणों का अध्ययन करने के लिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि वे पूर्णांक क्या हैं - आदिक संख्याएँ जिनके लिए व्युत्क्रम पूर्णांक होते हैं - आदिक संख्याएँ। ऐसी संख्याओं को इकाई गुणनखंड या इकाइयाँ कहा जाता है। हम उन्हें आदिक इकाइयाँ कहेंगे।

प्रमेय 1:

एक पूर्णांक एक अनुक्रम द्वारा परिभाषित एक आदिक संख्या है यदि और केवल यदि यह एक इकाई है।

सबूत:

मान लीजिए कि एक है, तो एक पूर्णांक मौजूद है - एक आदिक संख्या जैसे कि। यदि किसी क्रम से निर्धारित किया जाए तो स्थिति का मतलब यही होता है। विशेष रूप से, और इसलिए, इसके विपरीत, इसे आसानी से इस शर्त से पालन करें कि, ताकि। इसलिए, किसी भी n के लिए कोई ऐसा पा सकता है कि तुलना वैध हो। तब से और, तब से। इसका मतलब यह है कि अनुक्रम कुछ पूर्णांक को परिभाषित करता है - एक आदिक संख्या। जो एक इकाई है.

सिद्ध प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि पूर्णांक एक परिमेय संख्या है। रिंग के एक तत्व के रूप में माना जा रहा है, यदि और केवल यदि एक इकाई है जब। यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो इसे इसमें शामिल कर लिया जाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी परिमेय पूर्णांक b, ऐसे a से विभाज्य है, अर्थात। कि b/a रूप की कोई भी परिमेय संख्या, जहाँ a और b पूर्णांक हैं और, इस रूप की परिमेय संख्याओं में समाहित होती है, -पूर्णांक कहलाती है। वे एक स्पष्ट वलय बनाते हैं। हमारा परिणाम अब इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:

परिणाम:

आदि पूर्णांकों के वलय में परिमेय पूर्णांकों के वलय के लिए एक सबरिंग समरूपी होता है।

भिन्नात्मक पी-एडिक संख्याएँ

परिभाषा:

फॉर्म का एक अंश, k >= 0 एक आंशिक पी-एडिक संख्या या बस एक पी-एडिक संख्या को परिभाषित करता है। दो भिन्न, और, समान पी-एडिक संख्या को परिभाषित करते हैं यदि सी।

सभी पी-एडिक संख्याओं का संग्रह पी द्वारा दर्शाया गया है। यह सत्यापित करना आसान है कि जोड़ और गुणा की संक्रियाएं पी से पी तक जारी रहती हैं और पी को एक क्षेत्र में बदल देती हैं।

2.9. प्रमेय. प्रत्येक पी-एडिक संख्या को फॉर्म में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

जहाँ m एक पूर्णांक है और वलय p की इकाई है।

2.10. प्रमेय. किसी भी गैर-शून्य पी-एडिक संख्या को विशिष्ट रूप में दर्शाया जा सकता है

गुण:पी-एडिक संख्याओं के क्षेत्र में तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र शामिल है। यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि कोई भी पूर्णांक पी-एडिक संख्या जो पी का गुणज नहीं है, रिंग पी में व्युत्क्रमणीय है, और पी का गुणज विशिष्ट रूप से उस रूप में लिखा जाता है जहां x, पी का गुणज नहीं है और इसलिए व्युत्क्रमणीय है, ए . इसलिए, फ़ील्ड p के किसी भी गैर-शून्य तत्व को इस रूप में लिखा जा सकता है जहां x, p का गुणज नहीं है, और m मनमाना है; यदि m ऋणात्मक है, तो, p-ary संख्या प्रणाली में अंकों के अनुक्रम के रूप में पूर्णांक p-adic संख्याओं के प्रतिनिधित्व के आधार पर, हम ऐसी p-adic संख्या को अनुक्रम के रूप में लिख सकते हैं, अर्थात औपचारिक रूप से इसे इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या के साथ एक पी-एरी अंश और, संभवतः, दशमलव बिंदु से पहले गैर-शून्य अंकों की एक अनंत संख्या। ऐसी संख्याओं का विभाजन भी "स्कूल" नियम के समान ही किया जा सकता है, लेकिन संख्या के उच्चतम अंकों के बजाय निचले अंकों से शुरू किया जा सकता है।

एक प्रोग्रामिंग पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक पूर्णांक को कंप्यूटर मेमोरी में विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है, विशेष रूप से, यह प्रतिनिधित्व इस पर निर्भर करता है कि इसे कैसे वर्णित किया गया है: प्रकार पूर्णांक, या वास्तविक, या स्ट्रिंग के मान के रूप में। इसके अलावा, अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाओं में, पूर्णांकों को बहुत सीमित सीमा से संख्याओं के रूप में समझा जाता है: एक विशिष्ट मामला -2 15 = -32768 से 2 15 - 1 = 32767 तक होता है। प्रणाली कंप्यूटर बीजगणितबड़े पूर्णांकों से निपटें, विशेष रूप से, ऐसी कोई भी प्रणाली दशमलव संकेतन में फॉर्म 1000 की संख्याओं की गणना और प्रदर्शित कर सकती है! (एक हजार से अधिक अक्षर)।

इस पाठ्यक्रम में, हम प्रतीकात्मक रूप में पूर्णांकों के प्रतिनिधित्व पर विचार करेंगे और एक वर्ण (बिट, बाइट, या अन्य) को रिकॉर्ड करने के लिए कौन सी मेमोरी आवंटित की जाती है, इसके बारे में विस्तार से नहीं बताएंगे। पूर्णांकों को निरूपित करना सबसे आम है स्थितीय संख्या प्रणाली. ऐसी प्रणाली संख्या आधार की पसंद से निर्धारित होती है, उदाहरण के लिए, 10. दशमलव पूर्णांकों का समुच्चय आमतौर पर इस प्रकार वर्णित है:

पूर्णांकों की लिखित परिभाषा ऐसी प्रत्येक संख्या का स्पष्ट प्रतिनिधित्व देती है, और अधिकांश प्रणालियों में एक समान परिभाषा (केवल, शायद, एक अलग आधार के साथ) का उपयोग किया जाता है कंप्यूटर बीजगणित. इस प्रतिनिधित्व का उपयोग करके, पूर्णांकों पर अंकगणितीय संक्रियाओं को लागू करना सुविधाजनक है। इसके अलावा, जोड़ और घटाव अपेक्षाकृत "सस्ते" ऑपरेशन हैं, जबकि गुणा और भाग "महंगे" हैं। अंकगणितीय संक्रियाओं की जटिलता का आकलन करते समय, किसी को प्राथमिक संक्रिया (एकल-अंकीय) की लागत और बहु-अंकीय संख्याओं पर कोई भी संक्रिया करने के लिए एकल-अंकीय संक्रियाओं की संख्या दोनों को ध्यान में रखना चाहिए। गुणन और विभाजन की जटिलता, सबसे पहले, इस तथ्य के कारण है कि जैसे-जैसे किसी संख्या की लंबाई बढ़ती है (किसी भी संख्या प्रणाली में इसकी रिकॉर्डिंग), रैखिक के विपरीत, द्विघात कानून के अनुसार प्राथमिक संचालन की संख्या बढ़ जाती है जोड़ और घटाव का नियम. इसके अलावा, जिसे हम आम तौर पर बहु-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम कहते हैं, वह वास्तव में भागफल के संभावित अगले अंक की खोज (अक्सर काफी महत्वपूर्ण) पर आधारित होता है, और केवल एकल-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के लिए नियमों का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है नंबर. यदि संख्या प्रणाली का आधार बड़ा है (अक्सर यह 2 30 के क्रम पर हो सकता है), तो यह विधि अप्रभावी है।

मान लीजिए कि यह एक प्राकृतिक संख्या है (दशमलव प्रणाली में लिखी गई है)। उसका रिकॉर्ड हासिल करने के लिए -एरी संख्या प्रणाली में, आप निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं (संख्या के पूर्णांक भाग को दर्शाता है):

दिया गया: ए-प्राकृतिक संख्यादशमलव संख्या प्रणाली में k > 1-प्राकृतिक संख्या आवश्यक: k-ary संख्या प्रणाली में संख्या A की A-रिकॉर्डिंग प्रारंभ i:= 0 चक्र जब तक A > 0 bi:= A (mod k) A:= i: = i + चक्र का 1 अंत dA:= i - 1 अंत

किसी दशमलव संख्या को उसके k-ary नोटेशन के अनुक्रम से पुनर्स्थापित करने के लिए, निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है:

दिया गया: k > 1-k-ary प्रणाली में संख्या A का प्रतिनिधित्व करने वाले अंकों का प्राकृतिक संख्या अनुक्रम आवश्यक: A-दशमलव संख्या प्रणाली में संख्या A की रिकॉर्डिंग प्रारंभ A:= अनुक्रम के अंत तक 0 चक्र b:= अनुक्रम का अगला तत्व A:= A * k + b लूप का अंत

1.2. व्यायाम। बताएं कि किसी संख्या को दशमलव प्रणाली से k-ary प्रणाली में बदलने के लिए विभाजन का उपयोग क्यों किया जाता है, और k-ary प्रणाली से दशमलव प्रणाली में बदलने के लिए गुणन का उपयोग क्यों किया जाता है।

दशमलव संख्या प्रणाली में दो दो अंकों की संख्याओं को "कॉलम" से गुणा करके, हम निम्नलिखित ऑपरेशन करते हैं:

(10ए + बी)(10सी + डी) = 100एसी + 10(एडी + बीसी) + बीडी,

यानी एकल-अंकीय संख्याओं के गुणन की 4 संक्रियाएं, जोड़ की 3 संक्रियाएं और मूलांक की एक घात द्वारा गुणन की 2 संक्रियाएं, जो एक बदलाव में कम हो जाती हैं। जटिलता का आकलन करते समय, आप सभी प्राथमिक परिचालनों को वजन से विभाजित किए बिना ध्यान में रख सकते हैं (इस उदाहरण में हमारे पास 9 प्राथमिक संचालन हैं)। इस दृष्टिकोण के साथ, एल्गोरिदम को अनुकूलित करने की समस्या प्राथमिक संचालन की कुल संख्या को कम करने तक कम हो जाती है। हालाँकि, यह माना जा सकता है कि गुणन जोड़ की तुलना में अधिक "महंगा" ऑपरेशन है, जो बदले में, शिफ्ट की तुलना में "अधिक महंगा" है। केवल सबसे महंगे ऑपरेशनों को ध्यान में रखते हुए, हमें वह मिलता है गुणकएक कॉलम में दो अंकों की संख्याओं को गुणा करने की कठिनाई 4 है।

धारा 5 सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना के लिए एल्गोरिदम पर चर्चा करती है और उनकी जटिलता का मूल्यांकन करती है।

माना गया प्रतिनिधित्व पूर्णांकों का एकमात्र विहित प्रतिनिधित्व नहीं है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक विहित प्रतिनिधित्व चुनने के लिए, आप एक प्राकृतिक संख्या के अभाज्य कारकों में अपघटन की विशिष्टता का उपयोग कर सकते हैं। पूर्णांक के इस प्रतिनिधित्व का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां केवल गुणा और भाग संचालन का उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे बहुत "सस्ते" हो जाते हैं, लेकिन जोड़ और घटाव संचालन की लागत असंगत रूप से बढ़ जाती है, जो इस तरह के प्रतिनिधित्व के उपयोग को रोकती है। कुछ समस्याओं में, विहित प्रतिनिधित्व को छोड़ने से प्रदर्शन में महत्वपूर्ण लाभ मिलता है, विशेष रूप से, किसी संख्या के आंशिक गुणनखंडन का उपयोग किया जा सकता है; संख्याओं के साथ नहीं, बल्कि बहुपदों के साथ काम करते समय एक समान विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है।

यदि यह ज्ञात है कि कार्यक्रम के संचालन के दौरान, गणना में आने वाले सभी पूर्णांक कुछ दिए गए स्थिरांक द्वारा निरपेक्ष मान में सीमित होते हैं, तो ऐसी संख्याओं को परिभाषित करने के लिए, कोई उनके अवशेषों की प्रणाली का उपयोग कुछ सहअभाज्य संख्याओं का उपयोग कर सकता है, जिसका उत्पाद अधिक होता है उल्लिखित स्थिरांक. अवशेष वर्गों के साथ गणना आम तौर पर बहु-सटीक अंकगणित की तुलना में तेज़ होती है। और इस दृष्टिकोण के साथ, बहु-सटीक अंकगणित का उपयोग केवल जानकारी दर्ज करते या आउटपुट करते समय किया जाना चाहिए।

ध्यान दें, सिस्टम में विहित अभ्यावेदन के साथ कंप्यूटर बीजगणितअन्य अभ्यावेदन का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, यह वांछनीय है कि किसी पूर्णांक के सामने "+" चिह्न की उपस्थिति या अनुपस्थिति उसके बारे में कंप्यूटर की धारणा को प्रभावित नहीं करती है। इस प्रकार, सकारात्मक संख्याओं के लिए, एक अस्पष्ट प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है, हालांकि नकारात्मक संख्याओं का रूप विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

एक और आवश्यकता यह है कि किसी संख्या की धारणा पहले महत्वपूर्ण अंक से पहले शून्य की उपस्थिति से प्रभावित नहीं होनी चाहिए।

1.3. व्यायाम।

1. एम-अंकीय संख्या को एन-अंकीय कॉलम से गुणा करते समय उपयोग किए जाने वाले एकल-अंकीय गुणन की संख्या का अनुमान लगाएं।
2. दिखाएँ कि दो दो अंकों की संख्याओं को केवल 3 एकल-अंकीय गुणन का उपयोग करके और योगों की संख्या बढ़ाकर गुणा किया जा सकता है।
3. लंबी संख्याओं को विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम खोजें जिसमें भागफल का पहला अंक ज्ञात करते समय बहुत अधिक खोज की आवश्यकता न हो।
4. प्राकृतिक संख्याओं को m-ary संख्या प्रणाली से n-ary संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन करें।
5. में रोमन क्रमांकनसंख्याएँ लिखने के लिए निम्नलिखित प्रतीकों का उपयोग किया जाता है: I - एक, V - पाँच, X - दस, L - पचास, C - एक सौ, D - पाँच सौ, M - हजार। किसी प्रतीक के दाईं ओर बड़ी संख्या का प्रतीक होने पर उसे नकारात्मक माना जाता है, अन्यथा सकारात्मक माना जाता है। उदाहरण के लिए, इस प्रणाली में संख्या 1948 इस प्रकार लिखी जाएगी: MCMXLVIII। किसी संख्या को रोमन से दशमलव और उसके पीछे परिवर्तित करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें। परिणामी एल्गोरिदम को एल्गोरिथम भाषाओं में से एक में लागू करें (उदाहरण के लिए, सी)। स्रोत डेटा पर सीमाएँ: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. रोमन अंकन में प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें और एक प्रोग्राम लिखें।
7. हम कहेंगे कि हम एक संख्या प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं मिश्रित या सदिश आधार, यदि हमें n प्राकृतिक संख्याओं का एक वेक्टर दिया गया है M = (m 1 , . . . , m n) (मूलांक) और अंकन K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) संख्या को दर्शाता है के = के 0 +एम 1 (के 1 +एम 2 (के 2 +· · ·+एम एन·के एन)...)). एक प्रोग्राम लिखें, जो डेटा (सप्ताह का दिन, घंटे, मिनट, सेकंड) के आधार पर यह निर्धारित करता है कि सप्ताह की शुरुआत के बाद से कितने सेकंड बीत चुके हैं (सोमवार, 0, 0, 0) = 0, और विपरीत परिवर्तन करता है।