Relasi biner dan ciri-cirinya adalah contohnya. Hubungan biner. Contoh relasi biner. Relasi biner transitif

Suatu relasi yang terdefinisi pada suatu himpunan dapat mempunyai beberapa sifat, yaitu:

2. Refleksivitas

Definisi. Sikap R dalam berbagai cara X Disebut refleksif jika setiap elemen X set X ada hubungannya R Dengan diriku sendiri.

Dengan menggunakan simbol, hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut:

R secara reflektif X Û(" XÎ X) xRx

Contoh. Relasi persamaan pada himpunan segmen bersifat refleksif, karena setiap segmen sama dengan dirinya sendiri.

Graf relasi refleksif mempunyai loop pada semua simpulnya.

2. Anti-refleksivitas

Definisi. Sikap R dalam berbagai cara X Disebut anti-refleksif jika tidak ada unsurnya X set X tidak dalam hubungannya R Dengan diriku sendiri.

R anti-refleksif aktif X Û(" XÎ X)

Contoh. Hubungan langsung X tegak lurus terhadap garis lurus pada» pada himpunan garis bidang bersifat anti refleksif, karena tidak ada garis lurus pada bidang yang tegak lurus terhadap bidang itu sendiri.

Grafik sikap anti-refleksif tidak mengandung satu putaran pun.

Perhatikan bahwa ada hubungan yang tidak refleksif dan tidak anti-refleksif. Misalnya, perhatikan relasi "titik X simetris pada intinya pada"pada sekumpulan titik di pesawat.

Dot X simetris pada intinya X- BENAR; dot pada simetris pada intinya pada– salah, oleh karena itu, kita tidak dapat menyatakan bahwa semua titik pada bidang itu simetris terhadap dirinya sendiri, dan kita juga tidak dapat menyatakan bahwa tidak ada satu titik pun pada bidang tersebut yang simetris terhadap dirinya sendiri.

3. Simetri

Definisi. Sikap R dalam berbagai cara X disebut simetris jika, dari fakta bahwa elemen tersebut X ada hubungannya R dengan elemen pada, maka elemen tersebut pada ada hubungannya R dengan elemen X.

R simetris X Û(" X, padaÎ X) x R y Þ kamu Rx

Contoh. Hubungan langsung X memotong sebuah garis pada pada himpunan garis lurus pada bidang tersebut” simetris, karena jika lurus X memotong sebuah garis pada, lalu garis pada pasti akan melewati batas X.

Grafik relasi simetris beserta setiap anak panah dari suatu titik X tepat pada harus berisi panah yang menghubungkan titik-titik yang sama, tetapi berlawanan arah.

4. Asimetri

Definisi. Sikap R dalam berbagai cara X Disebut asimetris jika tidak ada unsurnya X, pada dari banyak X tidak mungkin terjadi elemen itu X ada hubungannya R dengan elemen pada dan elemen pada ada hubungannya R dengan elemen X.

R asimetris X Û(" X, padaÎ X) x R y Þ

Contoh. Sikap " X < pada» secara asimetris, karena tanpa sepasang elemen X, pada tidak dapat dikatakan demikian pada saat yang bersamaan X < pada Dan pada<X.

Graf relasi asimetris tidak memiliki loop, dan jika dua simpul pada graf tersebut dihubungkan oleh sebuah panah, maka hanya terdapat satu panah.

5. Antisimetri

Definisi. Sikap R dalam berbagai cara X disebut antisimetris jika, dari fakta bahwa X sedang menjalin hubungan dengan pada, A pada sedang menjalin hubungan dengan X mengikuti itu X = kamu.

R antisimetris X Û(" X, padaÎ X) x R y Ù kamu R xÞ x = kamu

Contoh. Sikap " X£ pada» antisimetris, karena kondisi X£ pada Dan pada£ X dieksekusi secara bersamaan hanya ketika X = kamu.

Graf relasi antisimetri mempunyai loop, dan jika dua simpul pada graf tersebut dihubungkan oleh sebuah panah, maka hanya terdapat satu panah.

6. Transitivitas

Definisi. Sikap R dalam berbagai cara X disebut transitif jika untuk elemen apa pun X, pada, z dari banyak X dari apa X sedang menjalin hubungan dengan pada, A pada sedang menjalin hubungan dengan z mengikuti itu X sedang menjalin hubungan dengan z.

R transitifnona X Û(" X, pada, zÎ X) x R y Ù kamu R zÞ x R z

Contoh. Sikap " X banyak pada» transitif, karena jika bilangan pertama merupakan kelipatan bilangan kedua, dan bilangan kedua merupakan kelipatan bilangan ketiga, maka bilangan pertama merupakan kelipatan bilangan ketiga.

Grafik hubungan transitif dengan setiap pasang anak panah dari X Ke pada dan dari pada Ke z berisi panah yang berangkat dari X Ke z.

7. Konektivitas

Definisi. Sikap R dalam berbagai cara X disebut terhubung jika untuk elemen apa pun X, pada dari banyak Xx sedang menjalin hubungan dengan pada atau pada sedang menjalin hubungan dengan X atau x = kamu.

R terhubung X Û(" X, pada, zÎ X) x R y Ú kamu R zÚ X= pada

Dengan kata lain: sikap R dalam berbagai cara X Disebut terhubung jika untuk setiap elemen berbeda X, pada dari banyak Xx sedang menjalin hubungan dengan pada atau pada sedang menjalin hubungan dengan X atau x = kamu.

Contoh. Sikap " X< pada» secara koheren, karena berapapun bilangan riil yang kita ambil, salah satunya pasti akan lebih besar dari yang lain atau sama.

Pada graf relasi terhubung, semua simpul dihubungkan satu sama lain dengan tanda panah.

Contoh. Periksa properti apa yang dimilikinya

sikap " X - pembagi pada", ditentukan di set

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) hubungan ini bersifat refleksif, karena setiap bilangan dari suatu himpunan merupakan pembaginya sendiri;

2) hubungan ini tidak mempunyai sifat anti-refleksivitas;

3) sifat simetri tidak terpenuhi, karena misalnya 2 adalah pembagi dari 4, tetapi 4 bukan pembagi dari 2;

4) hubungan ini antisimetris: dua bilangan dapat menjadi pembagi satu sama lain secara bersamaan hanya jika bilangan-bilangan tersebut sama;

5) relasinya transitif, karena jika suatu bilangan merupakan pembagi bilangan kedua, dan bilangan kedua merupakan pembagi bilangan ketiga, maka bilangan pertama tentu merupakan pembagi bilangan ketiga;

6) relasi tersebut tidak mempunyai sifat keterhubungan, karena misalnya angka 2 dan 3 pada grafik tidak dihubungkan oleh tanda panah, karena dua bilangan berbeda 2 dan 3 tidak saling membagi.

Dengan demikian, hubungan ini mempunyai sifat refleksivitas, asimetris dan transitivitas.

§ 3. Hubungan kesetaraan.
Hubungan antara relasi ekuivalen dan pembagian suatu himpunan ke dalam kelas-kelas

Definisi. Sikap R di satu set X Disebut relasi ekivalen jika bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Contoh. Pertimbangkan hubungannya " X teman sekelas pada“pada banyak mahasiswa Fakultas Ilmu Pendidikan. Ini memiliki properti berikut:

1) refleksivitas, karena setiap siswa adalah teman sekelasnya sendiri;

2) simetri, karena jika seorang pelajar X pada, lalu siswa pada adalah teman sekelas seorang siswa X;

3) transitivitas, karena jika seorang pelajar X- teman sekelas pada, dan siswa pada- teman sekelas z, lalu siswa X akan menjadi teman sekelas siswa tersebut z.

Dengan demikian, relasi ini mempunyai sifat refleksivitas, simetri, dan transitivitas, sehingga merupakan relasi ekivalen. Pada saat yang sama, banyak mahasiswa Fakultas Ilmu Pendidikan dapat dibagi menjadi beberapa himpunan yang terdiri dari mahasiswa yang belajar pada mata kuliah yang sama. Kami mendapatkan 5 himpunan bagian.

Relasi kesetaraan juga misalnya relasi kesejajaran garis, relasi persamaan bangun-bangun. Setiap hubungan tersebut dikaitkan dengan partisi himpunan ke dalam kelas-kelas.

Dalil. Jika di set X jika diberi relasi ekivalen, maka himpunan tersebut akan dibagi menjadi himpunan bagian yang saling lepas berpasangan (kelas ekivalen).

Pernyataan kebalikannya juga benar: jika ada relasi yang terdefinisi pada himpunan X, menghasilkan partisi dari himpunan ini ke dalam kelas, maka itu adalah relasi ekuivalen.

Contoh. Di lokasi syuting X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) ditentukan relasi “memiliki sisa yang sama bila dibagi 3”. Apakah ini merupakan hubungan kesetaraan?

Mari kita buat grafik hubungan ini:

Relasi ini mempunyai sifat refleksivitas, simetri dan transitivitas, oleh karena itu merupakan relasi ekivalen dan membagi himpunan X ke kelas kesetaraan. Pada setiap kelas ekivalensi akan terdapat bilangan-bilangan yang bila dibagi 3 akan memberikan sisa yang sama: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Diyakini bahwa kelas kesetaraan ditentukan oleh salah satu perwakilannya, yaitu. elemen arbitrer dari kelas ini. Jadi, kelas pecahan yang sama dapat ditentukan dengan menentukan pecahan apa pun yang termasuk dalam kelas tersebut.

Pada mata kuliah awal matematika juga dijumpai hubungan ekuivalen, misalnya “ekspresi X Dan pada memiliki nilai numerik yang sama", "gambar X sama dengan gambar pada».

Definisi

1. Hubungan biner antar elemen himpunan A Dan DI DALAM setiap subset dari produk Cartesian disebut RÍA´B, RÍA´A.

2. Jika SEBUAH=B, Itu R- Ini hubungan biner pada A.

3. Penunjukan: (x, y)ÎR Û xRy.

4. Domain hubungan biner R- ini banyak d R = (x: ada kamu seperti yang (x, y)ОR}.

5. Jarak nilai hubungan biner R- ini banyak r R = (y: ada X seperti yang (x, y)ОR}.

6. Tambahan hubungan biner R antar elemen A Dan DI DALAM- ini banyak -R = (A´B)\R.

7. Sikap terbalik untuk relasi biner R- ini banyak R -1 = ((y, x) : (x, y)ÎR).

8. Produk hubungan R 1 ÍA´B Dan R 2 ÍB´C – itu sebuah sikap R 1 × R 2 = {(x, kamu): ada zÎB seperti yang (x, z)ОR 1 Dan (z, y)ОR 2}.

9. Sikap F ditelepon fungsi dari A V DI DALAM, jika dua kondisi terpenuhi:

A) df = SEBUAH, r f H V

b) untuk semua orang X,kamu 1,kamu 2 dari apa (x, y 1)Оf Dan (x, y 2)Оf sebaiknya kamu 1 =kamu 2.

10. Sikap F disebut fungsi dari A pada DI DALAM, jika pada alinea pertama terpenuhi df = SEBUAH, rf = B.

11. Penamaan: (x, y)Îf Û y = f(x).

12. Identik fungsi saya A: A®A didefinisikan seperti ini: saya A (x) = x.

13. Fungsi F disebut 1-1 -fungsi, jika ada x 1, x 2, kamu dari apa kamu = f(x 1) Dan kamu = f(x 2) sebaiknya x 1 =x 2.

14. Fungsi f: A®B melakukan korespondensi satu-ke-satu di antara A Dan DI DALAM, Jika df = SEBUAH, rf = B Dan F adalah fungsi 1-1.

15. Sifat-sifat relasi biner R di satu set A:

- refleksivitas: (x, x)ОR untuk semua xÎA.

- ketidakfleksibelan: (x, x)ÏR untuk semua xÎA.

- simetri: (x, y)ÎR Þ (y, x)ÎR.

- antisimetri: (x, y)ОR dan (y, x)ОR Þ x=y.

- transitivitas: (x, y)ОR dan (y, z)ОR Þ (x, z)ОR.

- pembelahan dua: atau (x, y)ОR, atau (y, x)ОR untuk semua xÎA Dan ya.

16. Set Sebuah 1, Sebuah 2, ..., Sebuah r dari P(A) membentuk partisi set A, Jika

- Saya ¹ Æ, saya=1, ..., R,

- A = A 1 ÈA 2 È...ÈA r,

- A saya ÇA j = Æ, saya¹j.

Subset dan saya, saya=1, ..., R, disebut membelah blok.

17. Persamaan derajatnya di satu set A merupakan relasi refleksif, transitif, dan simetris A.

18. Kelas kesetaraan elemen X dengan kesetaraan R- ini banyak [x] R =(y: (x, y)ÎR).

19. Kumpulan faktorA Oleh R adalah himpunan kelas ekuivalen dari elemen-elemen himpunan tersebut A. Penamaan: A/R.

20. Kelas ekivalensi (elemen himpunan faktor A/R) membentuk partisi himpunan A. Kembali. Setiap partisi dari himpunan A sesuai dengan hubungan kesetaraan R, yang kelas kesetaraannya bertepatan dengan blok dari partisi yang ditentukan. Berbeda. Setiap elemen himpunan A termasuk dalam kelas kesetaraan dari A/R. Kelas-kelas kesetaraan tidak berpotongan atau bertepatan.

21. Pesan terlebih dahulu di satu set A adalah hubungan refleksif dan transitif A.

22. Urutan parsial di satu set A merupakan relasi refleksif, transitif dan antisimetris A.

23. Urutan linier di satu set A adalah relasi refleksif, transitif, dan antisimetris pada A, yang memenuhi sifat dikotomi.

Contoh 1.

Membiarkan SEBUAH=(1, 2 , 3} , B=(sebuah, B). Mari kita tuliskan hasil kali Cartesiannya: A´B = ( (1, A), (1 , B), (2 , A), (2 , B), (3 , A), (3 , B) ). Mari kita ambil subset apa pun dari produk Cartesian ini: R = ( (1, A), (1 , B), (2 , B) ). Kemudian R adalah relasi biner pada himpunan A Dan B.

Apakah relasi ini akan menjadi suatu fungsi? Mari kita periksa terpenuhinya dua syarat 9a) dan 9b). Domain Definisi Relasi R- ini banyak d R = (1, 2) ¹ (1, 2, 3), yaitu syarat pertama tidak terpenuhi, oleh karena itu masuk R Anda perlu menambahkan salah satu pasangan: (3 , A) atau (3 , B). Jika Anda menjumlahkan kedua pasangan, maka kondisi kedua tidak akan terpenuhi, karena a¹b. Untuk alasan yang sama, dari R Anda perlu membuang salah satu pasangannya: (1 , A) atau (1 , B). Jadi sikapnya R¢ = ( (1, A), (2 , B), (3 , B) ) adalah sebuah fungsi. perhatikan itu R¢ bukan fungsi 1-1.

Pada set tertentu A Dan DI DALAM Relasi berikut juga akan menjadi fungsi: { (1 , A), (2 , A), (3 , A) ), { (1 , A), (2 , A), (3 , B) ), { (1 , B), (2 , B), (3 , B) ) dll.

Contoh 2.

Membiarkan SEBUAH=(1, 2 , 3} . Contoh relasi pada suatu himpunan A adalah R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Contoh fungsi pada suatu himpunan A adalah f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Contoh pemecahan masalah

1. Temukan d R,r R,R-1,R×R,R×R -1,R -1×R Untuk R = ((x, y) | x, y О D dan x+y£0).

Jika (x, y)ОR, Itu X Dan kamu berjalan melalui semua bilangan real. Itu sebabnya d R= r R = D.

Jika (x, y)ОR, Itu x+y£0, Cara y+x£0 Dan (y, x)ОR. Itu sebabnya R -1 =R.

Untuk apa pun xÎD, kamu Mari kita ambil z=-|maks(x, y)|-1, Kemudian x+z£0 dan z+y£0, yaitu (x, z)ОR Dan (z, y)ОR.Itulah sebabnya R×R = R×R -1= R -1 ×R = D 2.

2. Untuk hubungan biner apa R adil R -1 = -R?

Membiarkan RÍA´B. Ada dua kemungkinan kasus:

(1) AÇB¹Æ. Mari kita ambil xÎAÇB. Kemudian (x, x)ÎR Û (x, x)ÎR -1 Û (x, x)Î-R Û (x, x)Î(A´B) \ R Û (x, x)ÏR. Kontradiksi.

(2) AÇB=Æ. Karena R -1 ÍB´A, A -RÍA´B, Itu R -1 = -R= Æ. Dari R -1 = Æ mengikuti itu R = Æ. Dari -R = Æ mengikuti itu R=A´B. Kontradiksi.

Oleh karena itu jika A¹Æ Dan B¹Æ, lalu hubungan seperti itu R tidak ada.

3. Di lokasi syuting D bilangan real kita tentukan rasionya R dengan cara berikut: (x, y)ATAU Û (x–y)- bilangan rasional. Buktikan itu R ada kesetaraan.

Refleksivitas:

Untuk siapa pun xÎD x-x=0- bilangan rasional. Karena (x, x)ОR.

Simetri:

Jika (x, y)ОR, Itu x-y =. Kemudian y-x=-(x-y)=- – bilangan rasional. Itu sebabnya (y, x)ОR.

Transitivitas:

Jika (x, y)ОR, (y, z)ОR, Itu x-y = dan y-z =. Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan itu xz = + - bilangan rasional. Itu sebabnya (x, z)ОR.

Karena itu, R adalah kesetaraan.

4. Mempartisi pesawat D 2 terdiri dari blok-blok yang ditunjukkan pada Gambar a). Tuliskan relasi ekuivalennya R, sesuai dengan partisi ini, dan kelas kesetaraan.

Tugas serupa untuk b) dan c).

a) dua titik ekuivalen jika terletak pada satu garis bentuk y=2x+b, Di mana B– bilangan real apa pun.

b) dua poin (x 1 ,kamu 1) Dan (x 2 ,kamu 2) setara jika (bagian bilangan bulat x 1 sama dengan keseluruhan bagiannya x 2) dan (bagian bilangan bulat kamu 1 sama dengan keseluruhan bagiannya kamu 2).

c) putuskan sendiri.

Tugas untuk solusi mandiri:

1. Buktikan jika F ada fungsi dari A V B Dan G ada fungsi dari B V C, Itu f×g ada fungsi dari A V C.

2. Biarkan A Dan B– himpunan berhingga yang masing-masing terdiri dari m dan n elemen.

a) Berapa banyak relasi biner yang ada antar elemen himpunan? A Dan B?

b) Berapa banyak fungsi yang ada A V B?

c) Ada berapa fungsi 1-1 A V B?

d) Pada apa M Dan N terdapat korespondensi satu-satu di antara keduanya A Dan B?

3. Buktikan itu F memenuhi kondisi tersebut f(AÇB)=f(A)Çf(B) untuk apa pun A Dan B saat itu dan hanya kapan F ada fungsi 1-1.

KOMBINATORIK

Hasil kali semua bilangan asli dari 1 sebelum N dilambangkan dengan:

N! = 1·2·3·…·(n-1)·n, 0! = 1

Membiarkan X=(x 1 , x 2 , ..., xn )- ini banyak N elemen, k £ n.

Akomodasi elemen dari X volume k adalah subset terurut dari k elemen milik X.

Jumlah penempatan volume k dari N

= nk(artinya tempat)

Jika untuk masing-masing Saya-th dari k posisi yang dapat Anda tempatkan salah satunya qi elemen himpunan X, maka banyaknya penempatan tersebut sama dengan:

(q 1 , q 2 , ..., q n) = q 1 × q 2 × ... × q n

Jumlah penempatan volume k dari N

= n(n - 1)(n - 2) … (n - k + 1)=

Penyusunan kembali elemen dari X- ini adalah penempatan elemen dari X volume N.

Banyaknya permutasi dari N berbagai elemen:

=Pn= N!

Jika N elemen mengandung qi elemen Saya kelas -th, q 1 + q 2 + ... + q m = n dan unsur-unsur sejenis adalah identik, maka banyaknya permutasinya adalah:

P n (q 1 , q 2 , ..., qm) =

Kombinasi elemen dari X volume k adalah subset tak berurutan dari k elemen milik X.

Kombinasi, penempatan, dan permutasi juga dapat dilakukan dengan pengulangan elemen himpunan X(tidak terbatas dan terbatas).

Jumlah kombinasi volume k dari N elemen yang berbeda tanpa pengulangan:

Jumlah kombinasi volume k dari N berbagai elemen dengan pengulangan tak terbatas:

Teorema Binomial:

Properti:

(2)

(4)

(5)

Saat menyelesaikan masalah kombinatorial, aturan kombinatorik berikut sering digunakan:

1. Aturan jumlah. Jika objek A dapat dipilih dengan n cara, dan objek B dapat dipilih dengan m cara lain, maka pilihan “A atau B” dapat dibuat dengan n+m cara.
2. Aturan produk. Jika objek A dapat dipilih dengan n cara, dan setelah masing-masing pilihan tersebut, objek B dapat dipilih secara bergantian dengan m cara, maka pemilihan “A dan B” dalam urutan tersebut dapat dilakukan dengan n×m cara.

Contoh tugas. Dari 12 perempuan dan 10 laki-laki, dipilih tim yang terdiri dari lima orang. Dalam berapa cara tim ini dapat dipilih sehingga anggotanya tidak lebih dari tiga remaja putra?

Larutan. Syarat “tidak lebih dari tiga” berarti tim dapat mengikutsertakan atau 3 pria muda, atau 2 pria muda, atau 1 pemuda, atau tidak seorang pemuda pun. Jadi, masalahnya membedakan empat kasus yang berbeda. Sesuai dengan aturan penjumlahan, Anda perlu menghitung jumlah opsi dalam setiap kasus ini dan melipat milik mereka.

Mari kita pertimbangkan kasus pertama. Anda perlu menghitung berapa banyak cara yang dapat Anda pilih dari 12 perempuan dan 10 laki-laki dalam sebuah tim yang terdiri dari 3 laki-laki dan 2 perempuan. Dari 10 anak laki-laki, Anda dapat memilih 3 anak laki-laki dengan cara berbeda. Untuk setiap tiga anak laki-laki yang dipilih, Anda juga dapat memilih 2 anak perempuan dari 12 anak perempuan. Oleh karena itu, aturan perkalian berfungsi dan dalam kasus pertama jumlah opsi perintah sama dengan ×.

Demikian pula dalam kasus kedua: × .

Dalam kasus ketiga: × .

Dalam kasus keempat: .

Jawaban akhir: ×+×+×+ .

Contoh pemecahan masalah

№1.17. n (n>2) orang duduk di meja bundar. Kami akan menganggap dua penempatan menjadi identik jika setiap orang memiliki tetangga yang sama dalam kedua kasus. Berapa banyak cara untuk duduk di meja?

Larutan.

Banyaknya kemungkinan susunan tempat duduk sama dengan banyaknya permutasi n elemen P n = n! Namun, yang serasi harus dikecualikan dari pengaturan tempat duduk ini. Relasi lingkungan dipertahankan dalam permutasi siklik (ada n) dan selama refleksi simetris (ada juga n):

Oleh karena itu, secara total (bagi, karena aturan perkalian)

№1.19. 10 kartu diambil dari satu tumpukan kartu yang berisi 52 kartu. Dalam berapa kasus akan ada setidaknya satu kartu as di antara kartu-kartu ini?

Larutan.

Hanya ada 10 cara untuk mengeluarkan 10 kartu dari tumpukan kartu. Dari kasus-kasus ini, tidak akan ada satu pun kartu as dalam sampel. Oleh karena itu jawabannya adalah.

№1.20. Ada berapa cara untuk membentuk tiga pasang n pemain catur?

Larutan.

Pertama, kita akan memilih 6 orang dari n pemain catur. Ada beberapa cara untuk melakukan ini. Sekarang kita akan membagi masing-masing enam menjadi berpasangan. Untuk melakukan ini, mari kita letakkan 6 pemain catur secara berurutan, dengan asumsi mereka memiliki nama: a, b, c, d, e, f. Ini bisa dilakukan 6! cara. Namun, urutan dalam setiap pasangan dan urutan pasangan itu sendiri tidak penting bagi kami. Permutasi dimana pemain catur berpindah tempat secara berpasangan 2 3. Permutasi dimana pasangan 3 ditukar!. Oleh karena itu, ada cara untuk membagi 6 orang pemain catur menjadi berpasangan. Menjawab .

№1.24. Berapa banyak bilangan dari 0 sampai 10 n yang tidak mengandung dua angka identik yang berurutan?

Larutan.

Mari kita pertimbangkan semua bilangan n-digit. Kita dapat memilih digit pertama dalam 9 cara. Agar digit kedua berbeda dengan digit pertama, dapat juga dipilih dengan 9 cara. Banyaknya n angka bilangan tersebut sama dengan banyaknya penempatan volume n dari 9 unsur dengan pengulangan yang tidak terbatas, yaitu. sama dengan 9 n untuk n>1 dan 10 untuk n=1.

Jadi jawabannya adalah 10+9 2 +9 3 +...+9 n. Angka 10 n tidak cocok.

TEORI ALGORITMA

· Misalkan N adalah himpunan bilangan asli, termasuk nol.

· Pada bagian kursus ini, fungsi banyak variabel f ​​n (x 1, ..., x n) yang didefinisikan pada himpunan tertentu MÍN n dengan nilai natural akan dipertimbangkan, yaitu. f n (x 1 , ..., x n)ÎN, x i ÎN untuk i=1, ..., n, atau f n Í N n +1 .

· Suatu fungsi f n (x 1, ..., x n) disebut terdefinisi di mana pun jika domain definisinya adalah N n, yaitu. untuk sembarang himpunan n bilangan asli, terdapat bilangan asli yang merupakan nilai fungsi f n.

· Fungsi paling sederhana yang didefinisikan di mana-mana:

1. s(x)=x+1 untuk sembarang x;

2. o(x)=0 untuk sembarang x;

3. Saya n m (x 1, ..., x m, ..., x n)=x m.

Fungsi paling sederhana ini didefinisikan di mana saja dan dari fungsi tersebut, dengan menggunakan sejumlah aplikasi operator yang diperkenalkan di bawah ini, fungsi yang lebih kompleks dapat dibangun.

· Operator superposisi:

Fungsi h n (x 1 , ..., x n) diperoleh dari fungsi g m , f n 1 , ..., f n m menggunakan operator superposisi jika h n (x 1 , ..., x n) = g m (f n 1 ( x 1 , ..., x n), ..., f n m (x 1, ..., x n)).

· Operator rekursi primitif:

Fungsi f n +1 (x 1, ..., x n, y) diperoleh dari fungsi g n (x 1, ..., x n) dan h n +2 (x 1, ..., x n, y, z ) menggunakan operator rekursi primitif, jika dapat ditentukan dengan skema rekursi primitif:

æf n+1 (x 1 , ..., x n , 0) = g n (x 1 , ..., x n),

èf n+1 (x 1 , ..., x n , y+1) = h n+2 (x 1 , ..., x n , y, f n+1 (x 1 , ..., x n , y )).

· Operator minimalisasi:

Fungsi f n (x 1 , ..., x n) diperoleh dari fungsi g n +1 (x 1 , ..., x n , y) menggunakan operator minimalisasi dan dilambangkan dengan f n (x 1 , ..., x n )=saya, Jika:

f n (x 1 , ..., x n) didefinisikan dan sama dengan y Û g n +1 (x 1 , ..., x n , 0), ..., g n +1 (x 1 , ..., x n , y -1) terdefinisi dan tidak sama dengan nol, dan g n +1 (x 1, ..., x n, y)=0.

(Anda juga dapat mengatakan: “Fungsi f n (x 1, ..., x n) sama dengan nilai minimum y dimana fungsi g n +1 menjadi nol”)

· Fungsi rekursif primitif (prf)

Suatu fungsi f n +1 (x 1 , ..., x n , y) disebut rekursif primitif jika dapat diperoleh dari fungsi sederhana menggunakan aplikasi superposisi dan operator rekursi primitif dalam jumlah terbatas.

Perlu dicatat bahwa semua fungsi rekursif primitif didefinisikan di mana-mana.

· Fungsi rekursif sebagian (prf)

Suatu fungsi f n +1 (x 1 , ..., x n , y) dikatakan rekursif parsial jika dapat diperoleh dari fungsi sederhana dengan menggunakan aplikasi superposisi, rekursi primitif, dan operator minimalisasi dalam jumlah terbatas.

· Dari definisinya mudah untuk melihat bahwa fungsi rekursif primitif juga sebagian rekursif. Namun, ada sebagian fungsi rekursif yang bukan merupakan rekursif primitif.

Contoh pemecahan masalah

1. Buktikan bahwa fungsi berikut bersifat rekursif primitif.

Larutan. Fungsi f(x) dapat diperoleh dengan menerapkan operator superposisi sebanyak n kali pada fungsi paling sederhana s(x).

Larutan. Fungsi f(x) dapat ditentukan dengan skema rekursi primitif berikut:

f(x, 0) = x = saya 1 1 (x),

èf(x, y+1) = x+y+1=f(x,y)+1=s(f(x,y))=s(I 3 3 (x,y,f(x,y) )).

Di sini fungsinya g(x) memiliki bentuk g(x)= I 1 1 (x) dan, seperti yang diharapkan, merupakan fungsi dari satu variabel. Dan fungsi h(x,y,z) berbentuk h(x,y,z)=s(I 3 3 (x,y,z)) dan merupakan fungsi dari tiga variabel.

Perhatikan bahwa fungsi g(x) dan h(x,y,z) adalah prf, karena g(x) adalah fungsi paling sederhana ketiga, dan h(x,y,z) dapat diperoleh dari fungsi paling sederhana s(x) dan I 3 3 (x,y,z) dengan menerapkan operator superposisi.

Karena fungsi f(x,y) dapat diperoleh dengan menggunakan operator rekursi primitif dari fungsi rekursif primitif g(x) dan h(x,y,z), maka f(x,y) adalah prf.

Larutan. Fungsi f(x) dapat ditentukan dengan skema rekursi primitif berikut:

f(x, 0) = 0 = o(x),

èf(x, y+1) = x(y+1)=xy+x=f(x,y)+x= saya 3 3 (x,y,f(x,y)))+ saya 3 1 ( x,y,f(x,y))).

Karena fungsi f(x,y) dapat diperoleh dengan menggunakan operator rekursi primitif dari fungsi rekursif primitif g(x)=o(x) dan h(x,y,z) = I 3 3 (x,y,z )) + I 3 1 (x,y,z)), lalu f(x,y) – prf.

2. Misalkan g(x 1 , ..., x n ,y) adalah fungsi rekursif primitif. Buktikan bahwa fungsi berikut ini bersifat rekursif primitif:

Larutan. Keunikan fungsi ini adalah penjumlahannya dilakukan terhadap sejumlah suku yang bervariasi. Namun, fungsi f n +1 dapat ditentukan dengan skema rekursi primitif berikut:

æf(x 1 , ..., x n , 0) = g(x 1 , ..., x n ,0) – prf,

èf(x 1 , ..., x n , y+1) = = f(x 1 , ..., x n , y) + g(x 1 , ..., x n ,y+1) – jumlah prf g dan fungsi f itu sendiri.

3. Buktikan bahwa fungsi berikut bersifat rekursif parsial.

Larutan. Mari kita tunjukkan bahwa fungsi f(x,y) dapat diperoleh dengan menggunakan operator minimalisasi.

Misalkan x³y, maka f(x,y) terdefinisi dan mempunyai nilai tertentu: f(x,y) = x-y = z. Bagaimana cara menghitung z? Kami dapat menyarankan metode berikut: mulai dari nol, ulangi semua nilai z secara berurutan hingga kondisi x-y=z, atau x-y-z=0 terpenuhi. Pasti akan ada z seperti itu, karena x-y³0. Jika xy<0, то ни какое натуральное z не подойдет.

Seorang programmer akan menulisnya seperti ini:

tidak ditandatangani int f(x,y)

while((x-y-z)!=0) z++;

Hal yang sama dapat ditulis dalam operator minimalisasi:

f(x, y)=mz[|x–y–z|=0]

Modul tersebut diperlukan agar fungsi g(x,y,z)=|x–y–z| ditentukan bahkan jika x – y<0. Заметим, что g(x,y,z)=|x–y–z| является примитивно рекурсивной, т.к. может быть получена с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции к простейшим функциям.

a) fungsi yang tidak terdefinisi dimanapun (yaitu fungsi dengan domain definisi kosong);

B)

C)

Membiarkan R adalah suatu relasi biner pada himpunan X, dan x, y, z adalah salah satu elemennya. Jika suatu elemen x mempunyai hubungan R dengan elemen y, maka tulislah xRy.

1. Suatu relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika setiap elemen himpunan berada dalam relasi tersebut dengan dirinya sendiri.

R -refleksif pada X<=>xRx untuk x€ X apa pun

Jika relasi R refleksif, maka terdapat loop pada setiap titik pada grafik. Misalnya, hubungan kesetaraan dan paralelisme untuk segmen bersifat refleksif, namun hubungan tegak lurus dan “lebih panjang” tidak refleksif. Hal ini tercermin pada grafik pada Gambar 42.

2. Suatu relasi R pada himpunan X disebut simetris jika dari kenyataan bahwa unsur x mempunyai hubungan tertentu dengan unsur y, maka unsur y mempunyai hubungan yang sama dengan unsur x.

R - simetris pada (xYay =>y Rx)

Grafik relasi simetris berisi panah berpasangan yang arahnya berlawanan. Relasi paralelisme, tegak lurus, dan kesetaraan segmen adalah simetris, tetapi relasi “yang lebih panjang” tidak simetris (Gbr. 42).

3. Suatu relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika, untuk elemen x dan y yang berbeda dari himpunan X, dari kenyataan bahwa elemen x berada dalam relasi tertentu dengan elemen y, maka elemen y tidak dalam hubungan ini dengan elemen x.

R - antisimetris pada X « (xRy dan xy ≠ yRx)

Catatan: overbar menunjukkan negasi suatu pernyataan.

Pada grafik relasi antisimetri, dua titik hanya dapat dihubungkan oleh satu anak panah. Contoh relasi tersebut adalah relasi “lebih panjang” untuk segmen (Gbr. 42). Hubungan paralelisme, tegak lurus, dan kesetaraan tidak bersifat antisimetris. Ada relasi yang tidak simetris dan tidak antisimetris, misalnya relasi “menjadi saudara” (Gbr. 40).

4. Suatu relasi R pada himpunan X disebut transitif jika dari kenyataan bahwa suatu elemen x berada dalam relasi tertentu dengan elemen y dan elemen y berada dalam relasi tersebut dengan elemen z, maka elemen x berada dalam relasi tersebut. hubungan tertentu dengan elemen Z

R - transitif pada A≠ (xRy dan yRz=> xRz)

Pada grafik hubungan paralelisme dan kesetaraan yang “lebih panjang” pada Gambar 42, Anda dapat melihat bahwa jika sebuah panah bergerak dari elemen pertama ke elemen kedua dan dari elemen kedua ke elemen ketiga, maka pasti ada panah yang mengarah dari elemen pertama. elemen ke yang ketiga. Hubungan ini bersifat transitif. Segmen yang tegak lurus tidak memiliki sifat transitivitas.

Ada sifat-sifat lain dari hubungan antar elemen-elemen dari himpunan yang sama yang tidak kita pertimbangkan.

Relasi yang sama dapat mempunyai beberapa properti. Jadi, misalnya, pada himpunan segmen, relasi “sama” bersifat refleksif, simetris, transitif; relasi “lebih” bersifat antisimetris dan transitif.

Jika suatu relasi pada himpunan X bersifat refleksif, simetris, dan transitif, maka relasi tersebut merupakan relasi ekivalen pada himpunan tersebut. Relasi seperti itu membagi himpunan X ke dalam kelas-kelas.

Hubungan-hubungan ini diwujudkan, misalnya, ketika menyelesaikan tugas: “Ambil strip dengan panjang yang sama dan susun menjadi beberapa kelompok”, “Susunlah bola-bola tersebut sehingga setiap kotak berisi bola-bola dengan warna yang sama.” Hubungan ekuivalensi (“sama panjangnya”, “memiliki warna yang sama”) dalam hal ini menentukan pembagian himpunan garis dan bola ke dalam kelas.

Jika suatu relasi pada himpunan 1 bersifat transitif dan antisimetris, maka disebut relasi keteraturan pada himpunan tersebut.

Himpunan yang memiliki relasi keteraturan tertentu disebut himpunan terurut.

Misalnya, ketika menyelesaikan tugas: “Bandingkan lebar strip dan susun dari yang tersempit hingga terlebar”, “Bandingkan angka dan susun kartu bernomor secara berurutan”, anak mengurutkan unsur himpunan strip dan kartu bernomor menggunakan hubungan keteraturan; "menjadi lebih luas", "mengikuti".

Secara umum, hubungan kesetaraan dan keteraturan memainkan peran besar dalam pembentukan gagasan yang benar pada anak-anak tentang klasifikasi dan urutan himpunan. Selain itu, masih banyak relasi lain yang bukan merupakan relasi ekivalensi maupun relasi keteraturan.

6. Apa yang dimaksud dengan sifat karakteristik suatu himpunan?

7. Dalam hubungan apa himpunan bisa ada? Berikan penjelasan untuk setiap kasus dan gambarkan menggunakan lingkaran Euler.

8. Tentukan subset. Berikan contoh himpunan yang salah satu himpunannya merupakan himpunan bagian dari himpunan lainnya. Tuliskan hubungan mereka menggunakan simbol.

9. Definisikan himpunan yang sama. Berikan contoh dua himpunan yang sama besar. Tuliskan hubungan mereka menggunakan simbol.

10. Tentukan perpotongan dua himpunan dan gambarkan menggunakan lingkaran Euler untuk setiap kasus tertentu.

11. Definisikan gabungan dua himpunan dan gambarkan menggunakan lingkaran Euler untuk setiap kasus tertentu.

12. Tentukan perbedaan antara dua himpunan dan gambarkan menggunakan lingkaran Euler untuk setiap kasus tertentu.

13. Definisikan komplemen dan gambarkan menggunakan lingkaran Euler.

14. Apa yang disebut dengan mempartisi suatu himpunan ke dalam kelas-kelas? Sebutkan syarat-syarat klasifikasi yang benar.

15. Apa yang disebut korespondensi antara dua himpunan? Sebutkan metode untuk menentukan korespondensi.

16. Korespondensi macam apa yang disebut korespondensi satu-satu?

17. Himpunan apa yang disebut sama?

18. Himpunan apa yang disebut ekuivalen?

19. Sebutkan cara mendefinisikan relasi pada suatu himpunan.

20. Relasi apa pada suatu himpunan yang disebut refleksif?

21. Relasi apa pada suatu himpunan yang disebut simetris?

22. Relasi apa pada suatu himpunan yang disebut antisimetris?

23. Relasi apa pada suatu himpunan yang disebut transitif?

24. Mendefinisikan hubungan ekuivalen.

25. Definisikan relasi keteraturan.

26. Himpunan manakah yang disebut terurut?

Dasar-dasar matematika diskrit.

Konsep himpunan. Hubungan antar himpunan.

Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang mempunyai sifat tertentu yang digabungkan menjadi satu kesatuan.

Benda-benda yang membentuk suatu himpunan disebut elemen banyak sekali. Agar suatu kumpulan benda tertentu dapat disebut himpunan, syarat-syarat berikut harus dipenuhi:

· Harus ada aturan yang dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu unsur termasuk dalam suatu populasi tertentu.

· Harus ada aturan yang membedakan unsur-unsur satu sama lain.

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital dan unsur-unsurnya dilambangkan dengan huruf kecil. Metode untuk menentukan set:

· Mendaftarkan unsur-unsur suatu himpunan. - untuk himpunan berhingga.

· Indikasi properti karakteristik .

Satu set kosong– Himpunan yang tidak mengandung satu elemen pun (Ø) disebut.

Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan tersebut terdiri dari unsur-unsur yang sama. , SEBUAH=B

Sekelompok B disebut subset dari himpunan A( , jika dan hanya jika semua anggota himpunan B milik banyak orang A.

Misalnya: , B =>

Properti:

Catatan: biasanya himpunan bagian dari himpunan yang sama dianggap, yang disebut universal(kamu). Himpunan universal berisi semua elemen.

Operasi di set.

A

B

1. Asosiasi 2 Himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat anggota himpunan A atau himpunan B (anggota paling sedikit salah satu himpunan tersebut).

2.Dengan menyeberang 2 himpunan adalah himpunan baru yang terdiri dari unsur-unsur yang secara simultan termasuk dalam himpunan pertama dan kedua.

TIDAK.: , ,

Properti: operasi penyatuan dan persimpangan.

· Komutatifitas.

· Asosiatif. ;

· Distributif. ;

kamu

4.Tambahan. Jika A– bagian dari himpunan universal kamu, lalu komplemen dari himpunan tersebut A terlalu banyak kamu(dilambangkan dengan ) adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen himpunan tersebut kamu, yang bukan milik himpunan A.

Hubungan biner dan sifat-sifatnya.

Membiarkan A Dan DI DALAM ini adalah himpunan yang bersifat turunan, pertimbangkan pasangan elemen yang terurut (a, b) a ϵ A, c ϵ B seseorang dapat mempertimbangkan memesan "enki".

(a 1, a 2, a 3,...an), Di mana A 1 ϵ A 1; A 2 ϵ A 2; ...; A N ϵ dan n;

Hasil kali kartesius (langsung) dari himpunan A 1, A 2, …, Dan, disebut himpunan yang terdiri dari nk terurut berbentuk .

TIDAK.: M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Subset dari produk Cartesian disebut rasio daya N atau relasi enary. Jika N=2, lalu pertimbangkan biner hubungan. Apa yang mereka katakan itu sebuah 1, sebuah 2 berada dalam relasi biner R, Kapan sebuah 1 R sebuah 2.

Relasi biner pada suatu himpunan M adalah bagian dari hasil perkalian langsung dari himpunan tersebut N pada dirimu sendiri.

M× M= M 2= {(a, b)| a, b ϵ M) pada contoh sebelumnya rasionya lebih kecil di himpunan M menghasilkan himpunan berikut: ((1,2);(1,3); (2,3))

Relasi biner memiliki berbagai sifat antara lain:

Refleksivitas: .

· Anti-refleksivitas (irrefleksivitas): .

· Simetri: .

· Antisimetri: .

· Transitivitas: .

· Asimetri: .

Jenis hubungan.

· Hubungan kesetaraan;

· Hubungan pesanan.

v Relasi transitif refleksif disebut relasi kuasi-urutan.

v Relasi transitif simetris refleksif disebut relasi ekivalen.

v Relasi transitif antisimetris refleksif disebut relasi tatanan (parsial).

v Relasi transitif antisimetris anti-refleksif disebut relasi tatanan ketat.

Hubungan biner.

Misalkan A dan B adalah himpunan sembarang. Mari kita ambil satu elemen dari setiap himpunan, a dari A, b dari B, dan tuliskan seperti ini: (pertama elemen dari himpunan pertama, kemudian elemen dari himpunan kedua - yaitu urutan pengambilan elemen penting bagi kami). Kami akan menyebut objek seperti itu pasangan yang dipesan. Setara Kami hanya akan menghitung pasangan yang elemen-elemennya memiliki angka yang sama. = , jika a = c dan b = d. Jelasnya, jika a ≠ b, maka ≠ .

produk kartesius himpunan sembarang A dan B (dilambangkan: AB) adalah himpunan yang terdiri dari semua kemungkinan pasangan terurut, elemen pertama milik A, dan elemen kedua milik B. Menurut definisi: AB = ( | aA dan bB). Jelasnya, jika A≠B, maka AB ≠ BA. Hasil kali Kartesius dari himpunan A dengan dirinya sendiri sebanyak n kali disebut kekuatan kartesius A (dilambangkan dengan: A n).

Contoh 5. Misalkan A = (x, y) dan B = (1, 2, 3).

AB = ( , , , , , }.

BA = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = SEBUAH 2 = ( , , , }.

BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Hubungan biner pada himpunan M adalah himpunan beberapa pasangan terurut elemen himpunan M. Jika r merupakan relasi biner dan berpasangan termasuk dalam relasi ini, maka mereka menulis: r atau x r y. Jelas sekali, r Í M 2 .

Contoh 6. Himpunan (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) adalah relasi biner pada himpunan (1, 2, 3, 4, 5).

Contoh 7. Relasi ³ pada himpunan bilangan bulat merupakan relasi biner. Ini adalah himpunan pasangan terurut yang tak terhingga bentuknya , dimana x ³ y, x dan y adalah bilangan bulat. Relasi ini mencakup, misalnya, pasangan<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>dan bukan milik pasangan<5, 7>, <-3, 2>.

Contoh 8. Relasi persamaan pada himpunan A merupakan relasi biner: I A = ( | x О A). Saya A dipanggil secara diagonal himpunan A.

Karena relasi biner adalah himpunan, operasi gabungan, perpotongan, penjumlahan, dan selisih dapat diterapkan pada relasi tersebut.

Domain definisi dari relasi biner r adalah himpunan D(r) = ( x | terdapat y sehingga xry ). Jarak nilai dari relasi biner r adalah himpunan R(r) = ( y | terdapat x sehingga xry ).

Sikap, balik ke relasi biner r Í M 2, relasi biner r -1 = ( | atau r). Jelas bahwa D(r ‑1) = R(r), R(r ‑1) = D(r), r ‑ 1 Í M 2.

Komposisi relasi biner r 1 dan r 2 didefinisikan pada himpunan M, relasi biner r 2 o r 1 = ( | ada y seperti itu Tentang r 1 dan dan 2). Jelas bahwa r 2 o r 1 Í M 2 .

Contoh 9. Misalkan suatu relasi biner r didefinisikan pada himpunan M = (a, b, c, d), r = ( , , , ). Maka D(r) = (a, c), R(r) = (b, c, d), r ‑1 = ( , , , ), r o r = ( , , , ), r ‑1 o r = ( , , , ), r o r ‑1 = ( , , , , , , }.

Misalkan r adalah relasi biner pada himpunan M. Relasi r disebut reflektif, jika x r x untuk sembarang x О M. Relasi r disebut simetris, jika bersama dengan masing-masing pasangan itu juga berisi pasangan . Relasi r disebut transitif, jika dari fakta bahwa x r y dan y r z maka x r z. Relasi r disebut antisimetris, jika tidak mengandung pasangan secara bersamaan Dan elemen yang berbeda x ¹ y dari himpunan M.

Mari kita tunjukkan kriteria untuk memenuhi sifat-sifat ini.

Relasi biner r pada himpunan M bersifat refleksif jika dan hanya jika I M Í r.

Relasi biner r simetris jika dan hanya jika r = r‑1.

Relasi biner r pada himpunan M bersifat antisimetris jika dan hanya jika r Ç r ‑1 = I M .

Relasi biner r bersifat transitif jika dan hanya jika r o r Í r.

Contoh 10. Relasi pada Contoh 6 bersifat antisimetris, tetapi tidak simetris, refleksif, atau transitif. Relasi pada Contoh 7 bersifat refleksif, antisimetris, dan transitif, tetapi tidak simetris. Relasi I A memiliki keempat properti yang dipertimbangkan. Relasi r ‑1 o r dan r o r ‑1 bersifat simetris, transitif, tetapi tidak antisimetris dan refleksif.

Sikap persamaan derajatnya pada himpunan M merupakan relasi biner transitif, simetris, dan refleksif pada M.

Sikap urutan parsial pada himpunan M merupakan relasi biner transitif, antisimetris, dan refleksif r pada M.

Contoh 11 Relasi pada Contoh 7 merupakan relasi orde parsial. Relasi I A merupakan relasi ekivalensi dan keteraturan parsial. Relasi paralelisme pada himpunan garis merupakan relasi ekivalen.