Bentuk kuadrat pasti positif

Definisi. Bentuk kuadrat dari N yang tidak diketahui disebut pasti positif, jika pangkatnya sama dengan indeks inersia positif dan sama dengan jumlah yang tidak diketahui.

Dalil. Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika ia mempunyai nilai positif pada himpunan nilai variabel apa pun yang bukan nol.

Bukti. Biarkan bentuk kuadrat menjadi transformasi linier tak-degenerasi dari hal-hal yang tidak diketahui

dibawa kembali normal

.

Untuk kumpulan nilai variabel apa pun yang bukan nol, setidaknya salah satu angkanya berbeda dari nol, yaitu . Perlunya teorema tersebut terbukti.

Misalkan bentuk kuadrat mengambil nilai positif pada himpunan variabel apa pun yang bukan nol, tetapi indeks inersia positifnya adalah transformasi linier yang tidak merosot dari variabel yang tidak diketahui.

Mari kita bawa ke bentuk normal. Tanpa kehilangan keumumannya, kita dapat berasumsi bahwa dalam bentuk normal ini kuadrat dari variabel terakhir tidak ada atau disertakan dengan tanda minus, yaitu. , dimana atau . Mari kita asumsikan itu adalah himpunan nilai variabel bukan nol yang diperoleh sebagai hasil penyelesaian sistem persamaan linier

Dalam sistem ini, jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel dan determinan sistemnya bukan nol. Menurut teorema Cramer, sistem mempunyai solusi unik dan solusinya bukan nol. Untuk set ini. Kontradiksi dengan kondisi. Kami sampai pada kontradiksi dengan asumsi yang membuktikan kecukupan teorema.

Dengan menggunakan kriteria ini, tidak mungkin menentukan dari koefisien apakah bentuk kuadratnya pasti positif. Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema lain, untuk rumusan yang kami perkenalkan konsep lain. Minor diagonal utama suatu matriks– ini adalah anak di bawah umur yang terletak di pojok kiri atas:

, , , … , .

Dalil.Suatu bentuk kuadrat pasti positif jika dan hanya jika semua minor diagonal utamanya positif.

Bukti kita akan melakukan metode induksi matematika lengkap pada bilangan tersebut N variabel kuadrat F.

Hipotesis induksi. Mari kita asumsikan untuk bentuk kuadrat dengan variabel lebih sedikit N pernyataan itu benar.

Perhatikan bentuk kuadrat dari N variabel. Mari kita masukkan semua istilah yang mengandung . Suku-suku selebihnya membentuk bentuk kuadrat dari variabel-variabel tersebut. Menurut hipotesis induksi, pernyataan tersebut benar.

Asumsikan bentuk kuadratnya pasti positif. Maka bentuk kuadratnya adalah pasti positif. Jika kita berasumsi bahwa hal ini tidak terjadi, maka terdapat himpunan nilai variabel yang bukan nol , untuk itu dan dengan demikian, , dan ini bertentangan dengan fakta bahwa bentuk kuadrat adalah pasti positif. Berdasarkan hipotesis induksi, semua minor diagonal utama suatu bentuk kuadrat adalah positif, yaitu. semua anak di bawah umur utama pertama dari bentuk kuadrat F positif. Minor utama terakhir dari bentuk kuadrat – ini adalah determinan matriksnya. Penentu ini positif karena tandanya bertepatan dengan tanda matriks bentuk normalnya, yaitu. dengan tanda determinan matriks identitas.

Misalkan semua minor diagonal utama bentuk kuadrat bernilai positif, maka semua minor diagonal utama bentuk kuadrat adalah positif dari persamaan tersebut . Berdasarkan hipotesis induksi, bentuk kuadratnya pasti positif, sehingga terjadi transformasi linier tak berdegenerasi dari variabel-variabel yang mereduksi bentuknya menjadi bentuk jumlah kuadrat variabel-variabel baru. Transformasi linier ini dapat diperluas ke transformasi linier tak merosot semua variabel dengan menetapkan . Transformasi ini mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk

Konsep bentuk kuadrat. Matriks bentuk kuadrat. Bentuk kanonik bentuk kuadrat. Metode Lagrange. Tampilan normal dari bentuk kuadrat. Pangkat, indeks dan tanda tangan bentuk kuadrat. Bentuk kuadrat pasti positif. Kuadrik.

Konsep bentuk kuadrat: suatu fungsi pada ruang vektor yang ditentukan oleh polinomial homogen derajat kedua dalam koordinat vektor.

Bentuk kuadrat dari N tidak dikenal disebut penjumlahan, yang setiap sukunya merupakan kuadrat dari salah satu variabel yang tidak diketahui, atau hasil kali dua variabel berbeda yang tidak diketahui.

Matriks kuadrat: Matriks tersebut disebut matriks yang berbentuk kuadrat dengan basis tertentu. Jika karakteristik medan tidak sama dengan 2, kita dapat mengasumsikan bahwa matriks berbentuk kuadrat adalah simetris.

Tulislah matriks berbentuk kuadrat:

Karena itu,

Dalam bentuk matriks vektor, bentuk kuadratnya adalah:

A, dimana

Bentuk kanonik bentuk kuadrat: Suatu bentuk kuadrat disebut kanonik jika semuanya yaitu

Setiap bentuk kuadrat dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier. Dalam praktiknya, metode berikut biasanya digunakan.

Metode Lagrange : pemilihan kotak lengkap secara berurutan. Misalnya jika

Kemudian prosedur serupa dilakukan dengan bentuk kuadrat dll. Jika dalam bentuk kuadrat semuanya kecuali kemudian setelah transformasi awal, masalahnya sampai pada prosedur yang dipertimbangkan. Jadi kalau misalnya kita berasumsi

Bentuk normal bentuk kuadrat: Bentuk kuadrat normal adalah bentuk kuadrat kanonik yang semua koefisiennya sama dengan +1 atau -1.

Pangkat, indeks dan tanda tangan bentuk kuadrat: Peringkat bentuk kuadrat A disebut pangkat matriks A. Pangkat suatu bentuk kuadrat tidak berubah pada transformasi yang tidak diketahui yang tidak merosot.

Banyaknya koefisien negatif disebut indeks bentuk negatif.

Banyaknya suku positif dalam bentuk kanonik disebut indeks inersia positif bentuk kuadrat, banyaknya suku negatif disebut indeks negatif. Selisih antara indeks positif dan negatif disebut tanda bentuk kuadrat

Bentuk kuadrat pasti positif: Bentuk kuadrat nyata disebut pasti positif (pasti negatif) jika, untuk sembarang nilai riil variabel-variabel yang tidak sekaligus nol,

. (36)

Dalam hal ini matriks disebut juga definit positif (definitif negatif).

Golongan bentuk-bentuk pasti positif (negatif pasti) merupakan bagian dari golongan bentuk-bentuk non-negatif (resp. non-positif).

Kuadrik: Kuadrik - N-dimensi permukaan dalam N Ruang +1 dimensi, didefinisikan sebagai himpunan nol dari polinomial derajat kedua. Jika Anda memasukkan koordinat ( X 1 , X 2 , xn+1 ) (dalam ruang Euclidean atau affine), persamaan umum kuadrat adalah

Persamaan ini dapat ditulis ulang dengan lebih ringkas dalam notasi matriks:

dimana x = ( X 1 , X 2 , xn+1 ) — vektor baris, X T adalah vektor yang ditransposisikan, Q— matriks ukuran ( N+1)×( N+1) (diasumsikan setidaknya salah satu elemennya bukan nol), P adalah vektor baris, dan R— konstan. Kuadrik atas bilangan real atau kompleks paling sering dipertimbangkan. Definisi tersebut dapat diperluas ke kuadrat dalam ruang proyektif, lihat di bawah.

Secara lebih umum, himpunan nol dari sistem persamaan polinomial dikenal sebagai variasi aljabar. Jadi, kuadrat adalah variasi aljabar (affine atau proyektif) derajat kedua dan kodimensi 1.

Transformasi bidang dan ruang.

Definisi transformasi bidang. Deteksi gerakan. sifat-sifat gerakan. Ada dua macam gerak, yaitu gerak jenis pertama dan gerak jenis kedua. Contoh gerakan. Ekspresi gerak analitis. Klasifikasi pergerakan bidang (tergantung pada keberadaan titik tetap dan garis invarian). Kelompok pergerakan pesawat.

Definisi transformasi bidang: Definisi. Transformasi bidang yang mempertahankan jarak antar titik disebut pergerakan(atau pergerakan) pesawat. Transformasi bidang disebut dekat, jika tiga titik yang terletak pada garis yang sama diubah menjadi tiga titik yang juga terletak pada garis yang sama dan pada saat yang sama mempertahankan hubungan sederhana ketiga titik tersebut.

Definisi Gerak: Ini adalah transformasi bentuk yang menjaga jarak antar titik. Jika dua bangun datar sejajar satu sama lain melalui gerakan, maka bangun tersebut sama, sejajar.

Properti gerakan: Setiap gerak mempertahankan orientasi suatu bidang merupakan translasi paralel atau rotasi; setiap gerak pengubah orientasi suatu bidang merupakan simetri aksial atau simetri geser. Saat bergerak, titik-titik yang terletak pada garis lurus berubah menjadi titik-titik yang terletak pada garis lurus, dan urutan posisi relatifnya dipertahankan. Saat bergerak, sudut antara setengah garis dipertahankan.

Dua jenis gerak: gerak jenis pertama dan gerak jenis kedua: Gerakan-gerakan jenis pertama adalah gerakan-gerakan yang mempertahankan orientasi landasan suatu tokoh tertentu. Hal tersebut dapat diwujudkan dengan gerakan yang terus menerus.

Gerakan-gerakan jenis kedua adalah gerakan-gerakan yang mengubah orientasi alas ke arah sebaliknya. Mereka tidak dapat diwujudkan dengan gerakan terus menerus.

Contoh gerak jenis pertama adalah translasi dan rotasi pada garis lurus, dan gerak jenis kedua adalah simetri pusat dan cermin.

Susunan sejumlah gerak jenis pertama merupakan gerak jenis pertama.

Susunan gerak ganjil jenis kedua adalah gerak jenis ke-1, dan susunan gerak ganjil jenis ke-2 adalah gerak jenis ke-2.

Contoh gerakan:Perpindahan paralel. Misalkan a adalah vektor tertentu. Perpindahan paralel ke vektor a merupakan pemetaan suatu bidang ke dirinya sendiri, dimana setiap titik M dipetakan ke titik M 1, sehingga vektor MM 1 sama dengan vektor a.

Terjemahan paralel adalah suatu gerakan karena merupakan pemetaan bidang ke bidang itu sendiri, dengan mempertahankan jarak. Pergerakan ini dapat direpresentasikan secara visual sebagai pergeseran seluruh bidang ke arah vektor a tertentu berdasarkan panjangnya.

Memutar. Mari kita nyatakan titik O pada bidang ( pusat belok) dan atur sudut α ( sudut rotasi). Rotasi bidang di sekitar titik O dengan sudut α merupakan pemetaan bidang terhadap dirinya sendiri, dimana setiap titik M dipetakan ke titik M 1, sehingga OM = OM 1 dan sudut MOM 1 sama dengan α. Dalam hal ini, titik O tetap pada tempatnya, yaitu dipetakan ke dirinya sendiri, dan semua titik lainnya berputar mengelilingi titik O dalam arah yang sama - searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam (gambar menunjukkan rotasi berlawanan arah jarum jam).

Rotasi merupakan suatu gerakan karena merupakan pemetaan bidang terhadap dirinya sendiri, dengan jarak yang dipertahankan.

Ekspresi analitis gerakan: hubungan analitis antara koordinat bayangan awal dan bayangan titik berbentuk (1).

Klasifikasi gerak bidang (tergantung keberadaan titik tetap dan garis invarian): Definisi:

Suatu titik pada suatu bidang bersifat invarian (tetap) jika, pada suatu transformasi tertentu, titik tersebut berubah menjadi dirinya sendiri.

Contoh: Dengan simetri pusat, titik pusat simetrinya adalah invarian. Saat berbelok, titik pusat rotasi adalah invarian. Dengan simetri aksial, garis invarian adalah garis lurus - sumbu simetri adalah garis lurus dengan titik-titik invarian.

Teorema: Jika suatu pergerakan tidak mempunyai satu titik invarian, maka pergerakan tersebut mempunyai paling sedikit satu arah invarian.

Contoh: Transfer paralel. Memang benar bahwa garis lurus yang sejajar dengan arah ini adalah invarian secara keseluruhan, meskipun tidak terdiri dari titik-titik invarian.

Teorema: Jika suatu sinar bergerak, maka sinar tersebut berpindah ke dirinya sendiri, maka gerak tersebut merupakan transformasi identik atau simetri terhadap garis lurus yang memuat sinar tersebut.

Oleh karena itu, berdasarkan keberadaan titik atau angka invarian, pergerakan dapat diklasifikasi.

Nama gerakan	Poin invarian	Garis invarian
Gerakan jenis pertama.
1. - putar	(tengah) - 0	TIDAK
2. Transformasi identitas	semua titik pesawat	semuanya lurus
3. Simetri pusat	titik 0 - tengah	semua garis yang melalui titik 0
4. Transfer paralel	TIDAK	semuanya lurus
Gerakan jenis kedua.
5. Simetri aksial.	kumpulan poin	sumbu simetri (garis lurus) semua garis lurus

Kelompok gerak pesawat: Dalam geometri, kelompok komposisi figur sendiri memainkan peran penting. Jika suatu bangun datar berada pada suatu bidang (atau ruang), maka kita dapat mempertimbangkan himpunan semua pergerakan bidang (atau ruang) yang selama itu bangun tersebut berubah menjadi dirinya sendiri.

Himpunan ini adalah grup. Misalnya, untuk segitiga sama sisi, kelompok gerak bidang yang mengubah segitiga menjadi dirinya sendiri terdiri dari 6 unsur: rotasi melalui sudut di sekitar suatu titik dan simetri terhadap tiga garis lurus.

Mereka ditunjukkan pada Gambar. 1 garis merah. Unsur-unsur kelompok penyelarasan diri dari segitiga beraturan dapat ditentukan secara berbeda. Untuk menjelaskan hal ini, mari kita beri nomor titik sudut segitiga beraturan dengan angka 1, 2, 3. Setiap penyelarasan segitiga akan membawa titik 1, 2, 3 ke titik yang sama, tetapi diambil dalam urutan yang berbeda, yaitu. dapat ditulis secara kondisional dalam bentuk salah satu tanda kurung berikut:

dll.

dimana angka 1, 2, 3 menunjukkan banyaknya simpul yang menjadi tujuan perpindahan simpul 1, 2, 3 sebagai akibat dari pergerakan yang ditinjau.

Ruang proyektif dan modelnya.

Konsep ruang proyektif dan model ruang proyektif. Fakta dasar geometri proyektif. Sekumpulan garis yang berpusat di titik O merupakan model bidang proyektif. Poin proyektif. Bidang yang diperluas adalah model bidang proyektif. Ruang affine atau ruang Euclidean tiga dimensi yang diperluas adalah model ruang proyektif. Gambar figur datar dan spasial dalam desain paralel.

Konsep ruang proyektif dan model ruang proyektif:

Ruang proyektif di atas suatu bidang adalah ruang yang terdiri dari garis-garis (subruang satu dimensi) dari suatu ruang linier di atas suatu bidang tertentu. Ruang lurus disebut titik ruang proyektif. Definisi ini dapat digeneralisasikan ke badan yang sewenang-wenang

Jika mempunyai dimensi , maka dimensi ruang proyektif disebut bilangan , dan ruang proyektif itu sendiri dilambangkan dan disebut terkait dengan (untuk menunjukkan hal ini, digunakan notasi).

Transisi dari ruang berdimensi vektor ke ruang proyektif yang bersesuaian disebut proyektivisasi ruang angkasa.

Titik-titik dapat digambarkan dengan menggunakan koordinat homogen.

Fakta dasar geometri proyektif: Geometri proyektif adalah cabang geometri yang mempelajari bidang dan ruang proyektif. Ciri utama geometri proyektif adalah prinsip dualitas, yang menambahkan simetri elegan pada banyak desain. Geometri proyektif dapat dipelajari baik dari sudut pandang geometris murni, maupun dari sudut pandang analitis (menggunakan koordinat homogen) dan saljabar, dengan mempertimbangkan bidang proyektif sebagai struktur di atas suatu bidang. Seringkali, dan secara historis, bidang proyektif sebenarnya dianggap sebagai bidang Euclidean dengan tambahan "garis di tak terhingga".

Sedangkan sifat-sifat bangun datar yang dibahas dalam geometri Euclidean adalah metrik(nilai spesifik sudut, segmen, luas), dan kesetaraan angka setara dengan mereka kesesuaian(yaitu, ketika bangun-bangun dapat diterjemahkan satu sama lain melalui gerak dengan tetap mempertahankan sifat-sifat metrik), terdapat lebih banyak sifat-sifat bangun geometri yang “dalam” yang dipertahankan dalam transformasi tipe yang lebih umum daripada gerak. Geometri proyektif berkaitan dengan studi tentang sifat-sifat bangun datar yang invarian dalam kelas tersebut transformasi proyektif, serta transformasi itu sendiri.

Geometri proyektif melengkapi geometri Euclidean dengan memberikan solusi yang indah dan sederhana untuk banyak masalah yang rumit karena adanya garis sejajar. Teori proyektif bagian kerucut sangat sederhana dan elegan.

Ada tiga pendekatan utama terhadap geometri proyektif: aksiomatisasi independen, komplementasi geometri Euclidean, dan struktur bidang.

Aksiomatisasi

Ruang proyektif dapat didefinisikan menggunakan serangkaian aksioma yang berbeda.

Coxeter menyediakan yang berikut:

1. Ada suatu garis lurus dan ada titik yang tidak berada pada garis tersebut.

2. Setiap garis mempunyai paling sedikit tiga titik.

3. Melalui dua titik dapat ditarik tepat satu garis lurus.

4. Jika A, B, C, Dan D- berbagai poin dan AB Dan CD berpotongan, kalau begitu AC Dan BD memotong.

5. Jika ABC adalah sebuah bidang, maka paling sedikit terdapat satu titik yang tidak berada pada bidang tersebut ABC.

6. Dua bidang berbeda berpotongan paling sedikit pada dua titik.

7. Ketiga titik diagonal suatu segiempat lengkap tidak segaris.

8. Jika tiga titik berada pada satu garis X X

Bidang proyektif (tanpa dimensi ketiga) didefinisikan oleh aksioma yang sedikit berbeda:

1. Melalui dua titik dapat ditarik tepat satu garis lurus.

2. Dua garis mana saja yang berpotongan.

3. Ada empat titik, tiga di antaranya tidak segaris.

4. Ketiga titik diagonal segi empat sempurna tidak segaris.

5. Jika tiga titik berada pada satu garis X adalah invarian terhadap proyektivitas φ, maka semua titik aktif X invarian terhadap φ.

6. Teorema Desargues: Jika dua segitiga perspektifnya melalui suatu titik, maka kedua segitiga tersebut perspektifnya melalui suatu garis.

Dengan adanya dimensi ketiga, teorema Desargues dapat dibuktikan tanpa mengenalkan titik dan garis ideal.

Bidang yang diperluas - model bidang proyektif: Di ruang affine A3 kita ambil seikat garis S(O) yang berpusat di titik O dan sebuah bidang Π yang tidak melalui pusat ikatan: O 6∈ Π. Sekumpulan garis dalam ruang affine adalah model bidang proyektif. Mari kita definisikan pemetaan himpunan titik-titik bidang Π ke himpunan garis lurus penghubung S (Brengsek, doakan jika Anda mendapat pertanyaan ini, maafkan saya)

Ruang affine atau ruang Euclidean tiga dimensi yang diperluas—model ruang proyektif:

Untuk membuat pemetaan bersifat dugaan, kita ulangi proses perluasan formal bidang affine Π ke bidang proyektif, Π, melengkapi bidang Π dengan himpunan titik tak wajar (M∞) sehingga: ((M∞)) = P0(HAI). Karena pada peta bayangan invers setiap bidang dari kumpulan bidang S(O) adalah sebuah garis pada bidang d, maka jelaslah bahwa himpunan semua titik tak wajar pada bidang memanjang tersebut: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), melambangkan garis tak wajar d∞ pada bidang memanjang, yang merupakan bayangan kebalikan dari bidang tunggal Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Mari kita sepakat bahwa di sini dan selanjutnya kita akan memahami persamaan terakhir P0(O) = Π0 dalam arti persamaan himpunan titik, tetapi memiliki struktur yang berbeda. Dengan melengkapi bidang affine dengan garis tak wajar, kami memastikan bahwa pemetaan (I.21) menjadi bijektif pada himpunan semua titik pada bidang yang diperluas:

Gambar bangun datar dan spasial pada desain paralel:

Dalam stereometri dipelajari bangun ruang, tetapi pada gambar digambarkan sebagai bangun datar. Bagaimana seharusnya sosok spasial digambarkan pada sebuah bidang? Biasanya dalam geometri, desain paralel digunakan untuk ini. Biarkan p menjadi pesawat, aku- garis lurus yang memotongnya (Gbr. 1). Melalui titik yang sewenang-wenang A, bukan milik garis aku, buatlah garis yang sejajar dengan garis tersebut aku. Titik potong garis ini dengan bidang p disebut proyeksi sejajar titik tersebut A ke bidang p dalam arah garis lurus aku. Mari kita nyatakan itu A". Jika intinya A milik garis aku, lalu dengan proyeksi paralel A titik potong garis dianggap berada pada bidang p aku dengan pesawat hal.

Jadi, setiap poin A ruang proyeksinya dibandingkan A" pada bidang p. Korespondensi ini disebut proyeksi paralel pada bidang p dalam arah garis lurus aku.

Kelompok transformasi proyektif. Aplikasi untuk pemecahan masalah.

Konsep transformasi proyektif sebuah bidang. Contoh transformasi proyektif pada bidang. Sifat-sifat transformasi proyektif. Homologi, sifat-sifat homologi. Kelompok transformasi proyektif.

Konsep transformasi proyektif suatu bidang: Konsep transformasi proyektif menggeneralisasi konsep proyeksi sentral. Jika kita melakukan proyeksi sentral bidang α ke suatu bidang α 1, kemudian proyeksi α 1 ke α 2, α 2 ke α 3, ... dan terakhir, suatu bidang α N lagi pada α 1, maka komposisi semua proyeksi ini adalah transformasi proyektif bidang α; Proyeksi paralel juga dapat dimasukkan dalam rantai tersebut.

Contoh transformasi bidang proyektif: Transformasi proyektif dari suatu bidang yang telah selesai adalah pemetaan satu-ke-satu ke bidang itu sendiri, yang mempertahankan kolinearitas titik-titik, atau, dengan kata lain, bayangan suatu garis adalah garis lurus. Setiap transformasi proyektif merupakan komposisi rangkaian proyeksi sentral dan paralel. Transformasi affine adalah kasus khusus dari transformasi proyektif, di mana garis di tak terhingga berubah menjadi dirinya sendiri.

Sifat-sifat transformasi proyektif:

Pada transformasi proyektif, tiga titik yang tidak terletak pada suatu garis diubah menjadi tiga titik yang tidak terletak pada suatu garis.

Selama transformasi proyektif, frame menjadi frame.

Selama transformasi proyektif, sebuah garis menjadi garis lurus, dan pensil menjadi pensil.

Homologi, sifat-sifat homologi:

Transformasi proyektif suatu bidang yang memiliki garis titik invarian, dan oleh karena itu pensil garis invarian, disebut homologi.

1. Garis yang melalui titik homologi bersesuaian yang tidak bersesuaian adalah garis invarian;

2. Garis-garis yang melalui titik-titik homologi bersesuaian yang tidak berhimpitan termasuk dalam pensil yang sama, yang pusatnya merupakan titik invarian.

3. Titik, bayangannya, dan pusat homologinya terletak pada satu garis lurus.

Kelompok transformasi proyektif: pertimbangkan pemetaan proyektif dari bidang proyektif P 2 ke dirinya sendiri, yaitu transformasi proyektif dari bidang ini (P 2 ' = P 2).

Seperti sebelumnya, komposisi f transformasi proyektif f 1 dan f 2 pada bidang proyektif P 2 merupakan hasil pelaksanaan transformasi f 1 dan f 2 secara berurutan: f = f 2 °f 1 .

Teorema 1: himpunan H dari semua transformasi proyektif pada bidang proyektif P 2 adalah grup terhadap komposisi transformasi proyektif.

Bentuk persegi.
Tanda tangani kepastian bentuk. Kriteria Sylvester

Kata sifat “kuadrat” langsung menunjukkan bahwa sesuatu di sini berhubungan dengan persegi (derajat kedua), dan segera kita akan mengetahui “sesuatu” ini dan apa bentuknya. Ternyata itu twister lidah :)

Selamat datang di pelajaran baru saya, dan sebagai pemanasan langsung kita akan melihat bentuk bergaris linier. Bentuk linier variabel ditelepon homogen Polinomial derajat 1:

- beberapa nomor tertentu * (kami berasumsi bahwa setidaknya satu di antaranya bukan nol), a adalah variabel yang dapat mengambil nilai sewenang-wenang.

* Sebagai bagian dari topik ini, kami hanya akan mempertimbangkannya bilangan real .

Istilah “homogen” telah kita jumpai dalam pelajaran tentang sistem persamaan linear yang homogen, dan dalam hal ini menyiratkan bahwa polinomial tersebut tidak memiliki konstanta plus.

Misalnya: – bentuk linier dua variabel

Sekarang bentuknya kuadrat. Bentuk kuadrat variabel ditelepon homogen polinomial derajat 2, setiap istilahnya berisi kuadrat variabel atau ganda produk variabel. Jadi, misalnya bentuk kuadrat dua variabel memiliki bentuk sebagai berikut:

Perhatian! Ini adalah entri standar dan tidak perlu mengubah apa pun! Meskipun tampilannya "menakutkan", semuanya sederhana di sini - subskrip ganda dari konstanta memberi sinyal variabel mana yang termasuk dalam suku mana:
– istilah ini berisi produk dan (persegi);
- inilah pekerjaannya;
- dan inilah pekerjaannya.

– Saya segera mengantisipasi kesalahan besar ketika mereka kehilangan “minus” suatu koefisien, tanpa memahami bahwa itu mengacu pada suatu istilah:

Terkadang ada pilihan desain “sekolah” dalam semangatnya, tapi hanya kadang-kadang. Ngomong-ngomong, perhatikan bahwa konstanta tidak memberi tahu kita apa pun di sini, dan oleh karena itu lebih sulit untuk mengingat “notasi mudah”. Apalagi jika variabelnya lebih banyak.

Dan bentuk kuadrat tiga variabel sudah memuat enam suku:

...mengapa “dua” faktor ditempatkan dalam istilah “campuran”? Ini nyaman, dan alasannya akan segera menjadi jelas.

Namun, mari kita tuliskan rumus umumnya; akan lebih mudah untuk menuliskannya dalam “lembar”:

– kami mempelajari setiap baris dengan cermat – tidak ada yang salah dengan itu!

Bentuk kuadrat berisi suku-suku dengan kuadrat variabel-variabelnya dan suku-suku dengan hasil kali berpasangannya (cm. rumus kombinasi kombinatorial) . Tidak lebih - tidak ada "kesepian X" dan tidak ada konstanta tambahan (maka Anda tidak akan mendapatkan bentuk kuadrat, tapi heterogen polinomial derajat 2).

Notasi matriks bentuk kuadrat

Bergantung pada nilainya, bentuk yang dimaksud dapat bernilai positif dan negatif, dan hal yang sama berlaku untuk semua bentuk linier - jika setidaknya salah satu koefisiennya berbeda dari nol, maka koefisiennya bisa positif atau negatif (tergantung pada nilai).

Bentuk ini disebut tanda bergantian. Dan jika semuanya transparan dengan bentuk linier, maka dengan bentuk kuadrat segalanya menjadi lebih menarik:

Jelas sekali bahwa bentuk ini dapat mempunyai arti tanda apa pun bentuk kuadrat juga bisa bergantian.

Ini mungkin bukan:

– selalu, kecuali secara bersamaan sama dengan nol.

- untuk siapa pun vektor kecuali nol.

Dan secara umum, jika untuk siapa pun bukan nol vektor , , maka bentuk kuadratnya disebut pasti positif; jika demikian maka pasti negatif.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi kepastian bentuk kuadrat hanya terlihat dalam contoh sederhana, dan visibilitas ini hilang bahkan dengan sedikit komplikasi:
– ?

Kita mungkin berasumsi bahwa bentuknya pasti positif, tapi benarkah demikian? Bagaimana jika ada nilai yang kurang dari nol?

Ada sebuah dalil: Jika semua orang nilai eigen matriks bentuk kuadrat adalah positif * , maka itu pasti positif. Jika semuanya negatif, maka negatif.

* Telah dibuktikan secara teori bahwa semua nilai eigen matriks simetris nyata sah

Mari kita tulis matriks dari bentuk di atas:
dan dari Persamaan. mari kita temukan dia nilai eigen:

Mari kita selesaikan masalah lama yang baik persamaan kuadrat:

, yang artinya bentuk didefinisikan secara positif, yaitu. untuk nilai apa pun yang bukan nol, nilainya lebih besar dari nol.

Metode yang dipertimbangkan tampaknya berhasil, tetapi ada satu TAPI yang besar. Untuk matriks tiga kali tiga, mencari bilangan yang tepat adalah tugas yang panjang dan tidak menyenangkan; dengan kemungkinan besar Anda akan mendapatkan polinomial derajat 3 dengan akar irasional.

Apa yang harus saya lakukan? Ada cara yang lebih mudah!

Kriteria Sylvester

Bukan, bukan Sylvester Stallone :) Pertama, izinkan saya mengingatkan Anda apa itu sudut anak di bawah umur matriks. Ini kualifikasi yang “tumbuh” dari pojok kiri atas:

dan yang terakhir sama persis dengan determinan matriks.

Sekarang, sebenarnya, kriteria:

1) Bentuk kuadrat didefinisikan secara positif jika dan hanya jika SEMUA minor sudutnya lebih besar dari nol: .

2) Bentuk kuadrat didefinisikan negatif jika dan hanya jika minor sudutnya bergantian tanda, dengan minor pertama kurang dari nol: , , jika – genap atau , jika – ganjil.

Jika paling sedikit satu sudut minor bertanda berlawanan, maka bentuknya tanda bergantian. Jika minor sudut bertanda "kanan", tetapi ada angka nol di antara mereka, maka ini adalah kasus khusus, yang akan saya bahas nanti, setelah kita melihat contoh yang lebih umum.

Mari kita menganalisis minor sudut matriks :

Dan ini segera memberi tahu kita bahwa bentuk tidak didefinisikan secara negatif.

Kesimpulan: semua minor sudut lebih besar dari nol yang artinya bentuk didefinisikan secara positif.

Apakah ada perbedaan dengan metode nilai eigen? ;)

Mari kita menulis matriks bentuk dari Contoh 1:

yang pertama adalah minor sudutnya, dan yang kedua , yang berarti bahwa bentuknya bergantian tanda, yaitu. tergantung pada nilainya, ini dapat mengambil nilai positif dan negatif. Namun, hal ini sudah jelas.

Mari kita ambil bentuk dan matriksnya Contoh 2:

Tidak ada cara untuk mengetahui hal ini tanpa wawasan. Namun dengan kriteria Sylvester kami tidak peduli:
, oleh karena itu, bentuknya pasti tidak negatif.

, dan jelas tidak positif (karena semua minor sudut harus positif).

Kesimpulan: bentuknya bergantian.

Contoh pemanasan untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 4

Selidiki bentuk kuadrat untuk kepastian tanda

A)

Dalam contoh-contoh ini semuanya lancar (lihat akhir pelajaran), tetapi pada kenyataannya, untuk menyelesaikan tugas seperti itu Kriteria Sylvester mungkin tidak cukup.

Maksudnya ada kasus “edge” yaitu: if for any bukan nol vektor, maka bentuknya ditentukan non-negatif, jika kemudian negatif. Bentuk-bentuk ini punya bukan nol vektor yang .

Di sini Anda dapat mengutip “akordeon” berikut:

Menyoroti persegi sempurna, kita langsung melihatnya non-negatif bentuk: , dan sama dengan nol untuk setiap vektor yang koordinatnya sama, misalnya: .

Contoh "Cermin". negatif bentuk tertentu:

dan contoh yang lebih sepele lagi:
– di sini bentuknya sama dengan nol untuk vektor apa pun, dengan bilangan sembarang.

Bagaimana cara mengidentifikasi bentuk non-negatif atau non-positif?

Untuk itu diperlukan konsep anak di bawah umur besar matriks. Minor mayor adalah minor yang tersusun atas unsur-unsur yang terletak pada perpotongan baris dan kolom yang bilangannya sama. Jadi, matriks tersebut memiliki dua minor utama orde pertama:
(elemen terletak pada perpotongan baris ke-1 dan kolom ke-1);
(elemen berada pada perpotongan baris ke-2 dan kolom ke-2),

dan satu mayor minor orde ke-2:
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2, dan kolom ke-1, ke-2.

Matriksnya adalah “tiga kali tiga” Ada tujuh anak di bawah umur utama, dan di sini Anda harus melenturkan otot bisep Anda:
– tiga anak di bawah umur dari urutan pertama,
tiga anak di bawah umur urutan ke-2:
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2 dan kolom ke-1, ke-2;
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-3 dan kolom ke-1, ke-3;
– terdiri dari elemen baris ke-2, ke-3 dan kolom ke-2, ke-3,
dan satu minor orde ke-3:
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2, ke-3, dan kolom ke-1, ke-2, dan ke-3.
Latihan untuk pemahaman: tuliskan semua minor mayor dari matriks tersebut .
Kami memeriksa di akhir pelajaran dan melanjutkan.

Kriteria Schwarzenegger:

1) Bentuk kuadrat bukan nol* ditentukan non-negatif jika dan hanya jika SEMUA minor mayornya non-negatif(lebih besar atau sama dengan nol).

* Bentuk kuadrat nol (merosot) memiliki semua koefisien sama dengan nol.

2) Bentuk kuadrat bukan nol dengan matriks didefinisikan negatif jika dan hanya jika:
– anak di bawah umur besar dari urutan pertama non-positif(kurang dari atau sama dengan nol);
– anak di bawah umur besar dari urutan ke-2 non-negatif;
– anak di bawah umur besar dari urutan ke-3 non-positif(pergantian dimulai);
…
– mayor minor orde ke-th non-positif, jika – ganjil atau non-negatif, jika bahkan.

Jika sekurang-kurangnya satu anak di bawah umur bertanda kebalikannya, maka bentuknya adalah tanda bolak-balik.

Mari kita lihat cara kerja kriteria pada contoh di atas:

Mari kita membuat matriks bentuk, dan Pertama Mari kita hitung sudut minor - bagaimana jika didefinisikan secara positif atau negatif?

Nilai yang diperoleh tidak memenuhi kriteria Sylvester, melainkan minor kedua tidak negatif, dan ini mengharuskan untuk memeriksa kriteria ke-2 (dalam hal kriteria ke-2 tidak akan terpenuhi secara otomatis, yaitu segera diambil kesimpulan tentang pergantian tanda bentuk).

Anak di bawah umur utama dari urutan pertama:
– positif,
mayor minor orde 2:
– tidak negatif.

Jadi, SEMUA minor mayor tidak negatif yang artinya bentuknya non-negatif.

Mari kita tulis matriks bentuknya , yang kriteria Sylvester jelas tidak terpenuhi. Namun kami juga tidak menerima tanda yang berlawanan (karena kedua minor sudut sama dengan nol). Oleh karena itu, kami memeriksa pemenuhan kriteria non-negatif/non-positif. Anak di bawah umur utama dari urutan pertama:
– tidak positif,
mayor minor orde 2:
– tidak negatif.

Jadi, menurut kriteria Schwarzenegger (poin 2), bentuknya terdefinisi secara non-positif.

Sekarang mari kita lihat lebih dekat masalah yang lebih menarik:

Contoh 5

Periksa bentuk kuadrat untuk mengetahui kepastian tanda

Formulir ini dihiasi dengan urutan “alpha”, yang dapat sama dengan bilangan real apa pun. Tapi itu hanya akan lebih menyenangkan kami memutuskan.

Pertama, mari kita tuliskan matriks formulirnya; banyak orang mungkin sudah terbiasa melakukan ini secara lisan: aktif diagonal utama Kami menempatkan koefisien untuk kuadrat, dan di tempat yang simetris kami menempatkan setengah koefisien dari produk "campuran" yang sesuai:

Mari kita hitung anak di bawah umur sudut:

Saya akan memperluas determinan ketiga pada baris ke-3:

Polinomial homogen berderajat 2 pada beberapa variabel disebut bentuk kuadrat.

Bentuk kuadrat variabel terdiri dari dua jenis suku: kuadrat variabel dan hasil kali berpasangannya dengan koefisien tertentu. Bentuk kuadrat biasanya dituliskan sebagai diagram persegi berikut:

Pasangan suku-suku yang sejenis ditulis dengan koefisien yang sama, sehingga masing-masing suku tersebut merupakan setengah koefisien dari hasil kali variabel-variabel yang bersesuaian. Jadi, setiap bentuk kuadrat secara alami berhubungan dengan matriks koefisiennya, yang simetris.

Lebih mudah untuk merepresentasikan bentuk kuadrat dalam notasi matriks berikut. Mari kita nyatakan dengan X kolom variabel melalui X - sebuah baris, yaitu matriks yang ditransposisikan dengan X. Kemudian

Bentuk kuadrat ditemukan di banyak cabang matematika dan penerapannya.

Dalam teori bilangan dan kristalografi, bentuk kuadrat dianggap dengan asumsi bahwa variabel hanya mengambil nilai bilangan bulat. Dalam geometri analitik, bentuk kuadrat adalah bagian dari persamaan keteraturan kurva (atau permukaan). Dalam mekanika dan fisika, bentuk kuadrat muncul untuk menyatakan energi kinetik suatu sistem melalui komponen kecepatan umum, dll. Namun, selain itu, studi tentang bentuk kuadrat juga diperlukan dalam analisis ketika mempelajari fungsi banyak variabel, dalam pertanyaan oleh karena itu penting untuk mengetahui bagaimana fungsi ini di lingkungan suatu titik tertentu menyimpang dari fungsi linier yang mendekatinya. Contoh soal jenis ini adalah studi tentang suatu fungsi maksimum dan minimum.

Misalnya, masalah mempelajari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dua variabel yang mempunyai turunan parsial kontinu hingga orde. Syarat yang diperlukan suatu titik untuk menghasilkan fungsi maksimum atau minimum adalah bahwa turunan parsial orde pada titik tersebut sama dengan nol. Mari kita berikan kenaikan kecil pada variabel x dan y dan k dan pertimbangkan kenaikan fungsi yang sesuai Menurut rumus Taylor, kenaikan ini, hingga orde kecil yang lebih tinggi, sama dengan bentuk kuadrat di mana adalah nilai turunan kedua. dihitung pada titik Jika bentuk kuadrat ini positif untuk semua nilai dan k (kecuali ), maka fungsi tersebut mempunyai nilai minimum pada titik tersebut; jika negatif, maka fungsi tersebut mempunyai nilai maksimum; Terakhir, jika suatu bentuk mempunyai nilai positif dan negatif, maka tidak akan ada maksimum atau minimum. Fungsi dari sejumlah besar variabel dipelajari dengan cara yang sama.

Studi tentang bentuk kuadrat terutama terdiri dari mempelajari masalah kesetaraan bentuk terhadap satu atau beberapa himpunan transformasi linier variabel. Dua bentuk kuadrat dikatakan ekuivalen jika salah satunya dapat diubah menjadi bentuk lainnya melalui salah satu transformasi suatu himpunan tertentu. Yang erat kaitannya dengan masalah kesetaraan adalah masalah reduksi bentuk, yaitu. mengubahnya menjadi bentuk yang mungkin paling sederhana.

Dalam berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan bentuk kuadrat, berbagai himpunan transformasi variabel yang dapat diterima juga dipertimbangkan.

Dalam pertanyaan analisis, setiap transformasi variabel non-khusus digunakan; untuk keperluan geometri analitik, transformasi ortogonal adalah yang paling menarik, yaitu transformasi yang berhubungan dengan transisi dari satu sistem koordinat kartesius variabel ke sistem lainnya. Akhirnya, dalam teori bilangan dan kristalografi, transformasi linier dengan koefisien bilangan bulat dan determinan sama dengan satu dipertimbangkan.

Kita akan membahas dua permasalahan berikut: pertanyaan tentang mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk paling sederhana melalui transformasi nonsingular dan pertanyaan yang sama untuk transformasi ortogonal. Pertama-tama, mari kita cari tahu bagaimana matriks berbentuk kuadrat ditransformasikan selama transformasi variabel linier.

Misalkan , dimana A adalah matriks simetris dengan koefisien bentuk, X adalah kolom variabel.

Mari kita buat transformasi linear variabel, tuliskan disingkat . Di sini C menunjukkan matriks koefisien transformasi ini, X adalah kolom variabel baru. Maka dan oleh karena itu, matriks bentuk kuadrat yang ditransformasikan adalah

Matriks secara otomatis menjadi simetris, sehingga mudah untuk diperiksa. Jadi, soal mereduksi suatu bentuk kuadrat ke bentuk yang paling sederhana sama dengan soal mereduksi suatu matriks simetris ke bentuk yang paling sederhana dengan cara mengalikannya ke kiri dan ke kanan dengan matriks-matriks yang saling ditransposisikan.

Bentuk kuadrat

Bentuk kuadrat f(x 1, x 2,...,x n) dari n variabel adalah penjumlahan yang masing-masing sukunya merupakan kuadrat salah satu variabel, atau hasil kali dua variabel berbeda, diambil dengan koefisien tertentu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matriks A yang tersusun dari koefisien-koefisien ini disebut matriks berbentuk kuadrat. Selalu simetris matriks (yaitu matriks yang simetris terhadap diagonal utama, a ij = a ji).

Dalam notasi matriks, bentuk kuadratnya adalah f(X) = X T AX, dimana

Memang

Misalnya kita menulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kita menemukan matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien variabel kuadrat, dan elemen sisanya sama dengan setengah koefisien bentuk kuadrat yang bersesuaian. Itu sebabnya

Misalkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, dimana C adalah matriks nonsingular orde ke-n. Kemudian bentuk kuadrat
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Jadi, dengan transformasi linier tak berdegenerasi C, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A* = C T AC.

Misalnya, cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2), yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 melalui transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(Memiliki pandangan kanonik), jika semua koefisiennya a ij = 0 untuk i ≠ j, yaitu
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matriksnya berbentuk diagonal.

Dalil(bukti tidak diberikan di sini). Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier tak merosot.

Misalnya, mari kita reduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama pilih persegi lengkap dengan variabel x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sekarang kita pilih persegi lengkap dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Maka transformasi linier tak berdegenerasi y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 dan y 3 = x 3 menjadikan bentuk kuadrat ini menjadi bentuk kanonik f(y 1, y 2 , kamu 3) = 2kamu 1 2 - 5kamu 2 2 - (1/20)kamu 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat ditentukan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang berbeda). Namun, bentuk kanonik yang diperoleh dengan berbagai metode memiliki sejumlah sifat yang sama. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada metode pengurangan bentuk menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Properti ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan membawa bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasi dengan variabel x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (kamu 1 , kamu 2 , kamu 3) = -3kamu 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, dimana y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dan kamu 3 = x 1 . Di sini terdapat koefisien positif 2 pada y 3 dan dua koefisien negatif (-3) pada y 1 dan y 2 (dan dengan menggunakan metode lain kita mendapatkan koefisien positif 2 pada y 1 dan dua koefisien negatif - (-5) pada y 2 dan (-1 /20) pada y 3).

Perlu juga diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat disebut peringkat bentuk kuadrat, sama dengan jumlah koefisien bukan nol dalam bentuk kanonik dan tidak berubah pada transformasi linier.

Bentuk kuadrat f(X) disebut secara positif (negatif) yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak simultan sama dengan nol, bernilai positif, yaitu f(X) > 0 (negatif, mis.
f(x)< 0).

Misalnya bentuk kuadrat f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 adalah pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 adalah pasti negatif, karena menyatakannya dapat direpresentasikan sebagai f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dalam sebagian besar situasi praktis, agak lebih sulit untuk menetapkan tanda pasti suatu bentuk kuadrat, jadi untuk ini kami menggunakan salah satu teorema berikut (kami akan merumuskannya tanpa bukti).

Dalil. Suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Teorema (kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Utama (sudut) minor Matriks A orde ke-k dari orde ke-n disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama matriks A().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, mari kita periksa bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk mengetahui kepastian tanda.

= (2 - aku)*
*(3 - aku) – 4 = (6 - 2l - 3l + aku 2) – 4 = aku 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Mari kita periksa bentuk kuadrat lainnya untuk mengetahui kepastian tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (-2 - aku)*
*(-3 - aku) – 4 = (6 + 2l + 3l + aku 2) – 4 = aku 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif.