Beseda "vrstni red" se pogosto uporablja v najrazličnejših vprašanjih. Častnik izda ukaz: »Izračunaj po številčnem vrstnem redu«, aritmetične operacije se izvajajo v določenem vrstnem redu, tekmovalci so razvrščeni po višini, vsi vodilni šahisti so razporejeni v določenem vrstnem redu po tako imenovanih Elo koeficientih (ameriški prof. ki je razvil sistemske koeficiente, ki vam omogočajo, da upoštevate vse uspehe in neuspehe igralcev), po prvenstvu so vse nogometne ekipe nameščene v določenem vrstnem redu itd. Obstaja vrstni red operacij pri izdelavi dela, vrstni red besed v stavku (poskusite razumeti, kaj pomeni stavek »na starega« nisem osla podsadil!«
S tem, ko elemente določene množice razporedimo enega za drugim, jih s tem uredimo ali med njimi vzpostavimo neko razmerje v redu. Najenostavnejši primer je naravni vrstni red naravnih števil. Njegova naravnost je v tem, da za poljubni dve naravni števili vemo, katero sledi drugemu ali katero je večje od drugega, zato lahko naravna števila razvrstimo v zaporedje tako, da se večje število nahaja npr. desno od manjšega: 1, 2, 3, ... . Seveda lahko zaporedje elementov pišemo v kateri koli smeri, ne samo od leve proti desni. Sam koncept naravnih števil že vsebuje idejo reda. Z vzpostavitvijo neke relativne razporeditve elementov katerekoli množice s tem na njej definiramo neko binarno relacijo reda, ki ima lahko v vsakem konkretnem primeru svoje ime, na primer »biti manj«, »biti starejši«, »biti biti vsebovan v ", "slediti" itd. Simbolne oznake reda so lahko tudi različne, na primer Í itd.
Glavni znak razmerje reda je prisotnost lastnosti tranzitivnosti. Torej, če imamo opravka z zaporedjem nekaterih predmetov x 1, x 2, ..., x n,..., urejeno npr. po relaciji, nato pa po izvajanem x 1x 2... x str..., bi moralo slediti temu za vsak par x i, x j elementi tega zaporedja so tudi izpolnjeni x ix j:
Za par elementov x ij v relacijskem grafu narišemo puščico iz vrha x i na vrh x j, torej od manjšega elementa k večjemu.
Graf razmerja reda lahko poenostavimo s tako imenovano metodo Hassejevi diagrami. Hassejev diagram je sestavljen na naslednji način. Manjše elemente postavimo nižje, večje pa višje. Ker samo takšno pravilo ni dovolj za upodobitev, so narisane črte, ki kažejo, kateri od obeh elementov je večji in kateri manjši od drugega. V tem primeru je dovolj, da narišete samo črte za elemente, ki sledijo drug drugemu. Primeri Hassejevih diagramov so prikazani na sliki:
V Hassejev diagram vam ni treba vključiti puščic. Hassejev diagram lahko vrtimo v ravnini, vendar ne poljubno. Pri obračanju je potrebno ohraniti relativni položaj (zgoraj - spodaj) oglišč diagrama:
Odnos R v izobilju X klical odnos strogega reda,če je prehodna in nesimetrična.
Množica, v kateri je definirana stroga relacija reda, se imenuje naročeno. Na primer, množica naravnih števil je urejena z razmerjem "manj kot". Toda ta isti niz je urejen tudi z drugo relacijo - "razdeljeno na" in "več".
Graf relacije "manj kot" v množici naravnih števil lahko prikažemo kot žarek:
Odnos R V X imenovano razmerje nestrogi (delni) red, če je tranzitiven in antisimetričen. Vsaka relacija nestriktnega reda je refleksivna.
Epitet "delni" izraža dejstvo, da morda niso vsi elementi niza primerljivi v določenem pogledu.
Tipični primeri relacij delnega reda so relacije "ne večje od", "ne manj kot" in "ne večje od". Delček »ne« v imenih razmerij služi za izražanje njihove refleksivnosti. Relacija "ne več kot" sovpada z relacijo "manj kot ali enako", relacija "ne manj" pa je enaka "večjemu kot ali enako". V zvezi s tem se imenuje tudi delni red ni stroga v redu. Pogosto je delna (nestroga) relacija reda označena s simbolom "".
Delni red je tudi vključitvena relacija Í med podmnožicami določene množice. Očitno nista vsaki dve podmnožici primerljivi v tem pogledu. Spodnja slika prikazuje delni vrstni red vključitve na množici vseh podmnožic množice (1,2,3). Puščice na grafu, ki bi morale biti usmerjene navzgor, niso prikazane.
Množice, na katerih je podan delni vrstni red, se imenujejo delno naročeno, ali preprosto naročeno kompleti.
Elementi X in pri imenujemo delno urejena množica primerjaj z namiče Xpri oz priX. IN drugače niso primerljivi.
Imenuje se urejena množica, v kateri sta katera koli dva elementa primerljiva linearno urejeno in vrstni red je linearen. Linearni red se imenuje tudi popolni red.
Na primer, nabor vseh realna števila z naravnim redom, kot tudi vse njegove podmnožice, so linearno urejene.
Naročiti je mogoče predmete najrazličnejše narave hierarhično. Tukaj je nekaj primerov.
Primer 1: Deli knjige so organizirani tako, da knjiga vsebuje poglavja, poglavja razdelke in razdelki pododdelke.
Primer 2. Mape v računalniškem datotečnem sistemu so ugnezdene druga v drugo in tvorijo razvejano strukturo.
Primer 3. Odnos med starši in otroki lahko prikažemo kot t.i družinsko drevo, ki pokaže, kdo je čigav prednik (ali potomec).
Naj na snemanju A podan delni red. Element X klical največ (najmanj) element množice A, če iz dejstva, da Xpri(priX), sledi enakopravnost X= u. Z drugimi besedami, element X je največji (najmanjši), če je za katerikoli element pri ali to ni res Xpri(priX), ali se izvrši X=u. Tako je največji (minimalni) element večji (manjši) od vseh elementov, ki se razlikujejo od njega, s katerimi je v razmerju.
Element X klical največji (najmanjši),če za koga priÎ A izvedel pri< х (х< у).
Delno urejena množica ima lahko več minimalnih in/ali maksimalnih elementov, ne more pa biti več kot en minimalni in maksimalni element. Najmanjši (največji) element je tudi najmanjši (največji), vendar obratno ne drži. Slika na levi prikazuje delni vrstni red z dvema najmanjšima in dvema največjima elementoma, na desni pa delni vrstni red z najmanjšim in največjim elementom:
V končni delno urejeni množici sta vedno najmanjši in največji element.
Imenuje se urejena množica, ki ima največji in najmanjši element omejeno. Slika prikazuje primer neskončne omejene množice. Seveda je nemogoče upodobiti neskončno množico na končni strani, vendar lahko pokažete načelo njegove konstrukcije. Tukaj zanke v bližini oglišč niso prikazane zaradi poenostavitve risbe. Iz istega razloga niso prikazani loki, ki zagotavljajo prikaz lastnosti prehodnosti. Z drugimi besedami, slika prikazuje Hassejev diagram relacije reda.
Neskončne množice morda nimajo največjega ali najmanjšega elementa ali obojega. Na primer, množica naravnih števil (1,2, 3, ...) ima najmanjši element 1, največjega pa nima. Množica vseh realnih števil z naravnim redom nima niti najmanjšega niti največjega elementa. Vendar pa je njegova podmnožica sestavljena iz vseh števil X< 5, ima največji element (število 5), nima pa najmanjšega.
Naj bo R binarna relacija na množici A.
OPREDELITEV. Binarno relacijo R na množici A imenujemo relacija reda na A ali relacija reda na A, če je tranzitivna in antisimetrična.
OPREDELITEV. Relacija reda R na množici A se imenuje nestriktna, če je refleksivna na A, to je za vsakega od A.
Relacija reda R se imenuje stroga (na A), če je antirefleksivna na A, to je za katerega koli od A. Vendar pa iz antirefleksivnosti tranzitivne relacije R sledi, da je antisimetrična. Zato je mogoče podati naslednjo enakovredno definicijo.
OPREDELITEV. Binarno relacijo R na množici A imenujemo strogi red na A, če je na A tranzitivna in antirefleksivna.
Primeri. 1. Naj bo množica vseh podmnožic množice M. Vključitvena relacija na množici je relacija nestriktnega reda.
2. Relacije na množici realnih števil so relacije strogega in nestriktnega reda.
3. Relacija deljivosti v množici naravnih števil je relacija nestriktnega reda.
OPREDELITEV. Binarno relacijo R na množici A imenujemo predvrstna relacija ali predvrstnost na A, če je refleksivna na in tranzitivna.
Primeri. 1. Relacija deljivosti v množici celih števil ni vrstni red. Je pa refleksiven in prehoden, kar pomeni, da je prednaročilo.
2. Relacija logične implikacije je prednaročilo na množici propozicionalnih logičnih formul.
Linearni red. Pomemben poseben primer reda je linearni red.
OPREDELITEV. Relacija reda na množici se imenuje linearna relacija reda ali linearna relacija na, če je povezana na , tj. za vsak x, y iz A
Relacija reda, ki ni linearna, se običajno imenuje relacija delnega reda ali delni red.
Primeri. 1. Relacija »manj kot« na množici realnih števil je relacija linearnega reda.
2. Vrstni red, sprejet v slovarjih ruskega jezika, se imenuje leksikografski. Leksikografski vrstni red na množici besed v ruskem jeziku je linearni vrstni red.
Lastnosti odnosov:
1) refleksivnost;
2) simetrija;
3) prehodnost.
4) povezanost.
Odnos R na setu X klical odsevni,če o vsakem elementu množice X lahko rečemo, da je v zvezi R Z menoj: XRx.Če je relacija refleksivna, potem obstaja zanka na vsakem vozlišču grafa. Nasprotno pa je graf, katerega vsako vozlišče vsebuje zanko, refleksivni relacijski graf.
Primeri refleksivnih relacij so relacija "množica" na množici naravnih števil (vsako število je večkratnik samega sebe) in relacija podobnosti trikotnikov (vsak trikotnik je podoben samemu sebi) in relacija "enakosti" ( vsako število je enako samemu sebi) itd.
Obstajajo relacije, ki nimajo lastnosti refleksivnosti, na primer relacija pravokotnosti segmentov: ab, ba(ni enega segmenta, za katerega bi lahko rekli, da je pravokoten sam nase) . Zato v grafu tega razmerja ni niti ene zanke.
Relacija »daljši« za odseke, »več za 2« za naravna števila itd. nima lastnosti refleksivnosti.
Odnos R na setu X klical antirefleksna, če za kateri koli element iz množice X vedno lažno XRx: .
Obstajajo odnosi, ki niso niti refleksivni niti antirefleksivni. Primer takega odnosa je odnos »točka X simetrično na točko pri relativno naravnost l", definirana na množici točk na ravnini. Dejansko vse točke ravne črte l so simetrične same sebi in točke, ki ne ležijo na premici l, same po sebi niso simetrične.
Odnos R na setu X klical simetrično, če je pogoj izpolnjen: iz dejstva, da element X je v odnosu do elementa l, sledi, da element l je v razmerju R z elementom X:xRyyRx.
Graf simetrične relacije ima naslednjo značilnost: skupaj z vsako puščico, ki prihaja iz X Za l, graf vsebuje puščico, ki gre od l Za X(Slika 35).
Primeri simetričnih odnosov so lahko naslednji: odnos "vzporednosti" segmentov, odnos "pravokotnosti" segmentov, odnos "enakosti" segmentov, odnos podobnosti trikotnikov, odnos "enakosti" segmentov. ulomki itd.
Obstajajo razmerja, ki nimajo lastnosti simetrije.
Dejansko, če segment X daljši od segmenta pri, nato segment pri ne sme biti daljši od segmenta X. Graf tega razmerja ima posebnost: puščica, ki povezuje oglišča, je usmerjena samo v eno smer.
Odnos R klical antisimetrično, če za katerikoli element X in l od resnice xRy bi moralo biti napačno yRx: : xRyyRx.
Poleg »daljše« relacije obstajajo na številnih segmentih še druge antisimetrične relacije. Na primer, relacija "več kot" za števila (če X več pri, To pri ne more biti več X), odnos »več o« itd.
Obstajajo relacije, ki nimajo niti lastnosti simetrije niti lastnosti antisimetrije.
Relacija R na množici X klical prehodno,če iz tega elementa X je v razmerju R z elementom y, in element l je v razmerju R z elementom z, sledi, da element X je v razmerju R z elementom z: xRy in yRzxRz.
Tranzitivni relacijski graf z vsakim parom puščic, ki prihajajo iz X Za l in od l Za z, vsebuje puščico, ki gre od X Za z.
Relacija »daljši« na množici odsekov ima tudi lastnost prehodnosti: če odsek A daljši od segmenta b, segment črte b daljši od segmenta z, nato segment A daljši od segmenta z. Relacija "enakosti" na množici segmentov ima tudi lastnost tranzitivnosti: (a=b, b=c)(a=c).
Obstajajo odnosi, ki nimajo lastnosti tranzitivnosti. Taka relacija je na primer relacija pravokotnosti: če odsek A pravokotno na segment b, in segment b pravokotno na segment z, nato segmente A in z ne pravokotno!
Obstaja še ena lastnost relacij, ki se imenuje lastnost povezanosti, relacija, ki jo ima, pa se imenuje povezana.
Odnos R na setu X klical povezan,če za kakšne elemente X in l iz te množice je izpolnjen naslednji pogoj: če X in l so različni, potem tudi X je v razmerju R z elementom l, ali element l je v razmerju R z elementom X. Z uporabo simbolov lahko to zapišemo takole: xyxRy oz yRx.
Na primer, relacija "več kot" za naravna števila ima lastnost povezanosti: za kateri koli različni števili x in y lahko trdimo bodisi x>y, oz y>x.
Na grafu povezano razmerje poljubni dve točki sta povezani s puščico. Prav tako velja nasprotna trditev.
Obstajajo odnosi, ki nimajo lastnosti povezanosti. Takšna relacija je na primer relacija deljivosti na množici naravnih števil: taka števila lahko imenujemo x in l ne glede na število X ni delitelj števila l, niti številke l ni delitelj števila X(številke 17 in 11 , 3 in 10 itd.) .
Poglejmo si nekaj primerov. Na snemanju X=(1, 2, 4, 8, 12) podana je relacija “število”. X večkratnik števila l" Zgradimo graf tega odnosa in oblikujmo njegove lastnosti.
Relaciji enakosti ulomkov pravimo ekvivalenčna relacija.
Odnos R na setu X klical ekvivalenčno razmerje,če ima hkrati lastnosti refleksivnosti, simetričnosti in tranzitivnosti.
Primeri ekvivalenčnih odnosov vključujejo: relacije enakosti geometrijske oblike, razmerje vzporednosti premic (pod pogojem, da sovpadajoče premice veljajo za vzporedne).
V razmerju »enakosti ulomkov«, obravnavanem zgoraj, množica X razdeljen na tri podmnožice: ( ; ; }, {; } , (). Te podmnožice se ne sekajo in njihova unija sovpada z množico X, tj. imamo razdelitev množice na razrede.
Torej, če je ekvivalenčna relacija podana na množici X, potem generira razdelitev te množice na po parih ločene podmnožice - ekvivalenčne razrede.
Tako smo ugotovili, da je relacija enakosti na množici
X=( ;; ; ; ; ) ustreza razdelitvi tega niza v ekvivalenčne razrede, od katerih je vsak sestavljen iz med seboj enakih ulomkov.
Načelo razdelitve množice v razrede z uporabo neke ekvivalenčne relacije je pomembno načelo matematika. Zakaj?
Prvič, enakovreden pomeni enakovreden, zamenljiv. Zato so elementi istega ekvivalentnega razreda medsebojno zamenljivi. Tako ulomki, ki so v istem ekvivalenčnem razredu (; ; ), se ne razlikujejo z vidika razmerja enakosti in ulomka lahko zamenjate z drugim, npr . In ta zamenjava ne bo spremenila rezultata izračunov.
Drugič, ker ekvivalenčni razred vsebuje elemente, ki jih ni mogoče razlikovati z vidika neke relacije, se domneva, da je ekvivalenčni razred določen s katerim koli od njegovih predstavnikov, tj. poljuben element razreda. Tako lahko vsak razred enakih ulomkov podamo tako, da podamo kateri koli ulomek, ki pripada temu razredu. ekvivalenčni razred po enem predstavniku vam omogoča, da preučujete množico predstavnikov iz ekvivalenčnih razredov namesto vseh elementov množice. Na primer, ekvivalenčna relacija "imeti enako število oglišč", definirana na množici poligonov, ustvari razdelitev te množice na razrede trikotnikov, štirikotnikov, peterokotnikov itd. lastnosti, ki so del določenega razreda, se upoštevajo pri enem od njegovih predstavnikov.
Tretjič, razdelitev nabora v razrede z uporabo ekvivalenčne relacije se uporablja za uvajanje novih konceptov. Na primer, koncept "svežnja črt" je mogoče opredeliti kot skupnega med vzporednimi črtami.
Druga pomembna vrsta razmerja je razmerje naročila. Razmislimo o problemu X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) razmerje »imajo enak ostanek pri deljenju z 3 " Ta relacija generira particijo množice X v razrede: vsa števila bodo padla v eno, če jih delimo z 3 izkaže se, da je ostanek 0 (to so številke 3, 6, 9 ). V drugem - številke, ko jih delimo 3 ostanek je 1 (to so številke 4, 7, 10 ). Tretja bo vsebovala vsa števila, ki jih, ko jih delimo z 3 ostanek je 2 (to so številke 5, 8 ). Dejansko se nastale množice ne sekajo in njihova unija sovpada z množico X. Zato je relacija »ima enak ostanek, ko ga delimo s 3 «, definirano na setu X, je ekvivalenčna relacija.
Če vzamemo drug primer, je veliko učencev v razredu mogoče razvrstiti po višini ali starosti. Upoštevajte, da ima ta relacija lastnosti antisimetrije in tranzitivnosti. Ali pa vsi poznajo vrstni red črk v abecedi. Zagotavlja ga odnos »moral bi«.
Odnos R na setu X klical razmerje strogega reda, če ima hkrati lastnosti antisimetričnosti in tranzitivnosti. Na primer razmerje " X< l».
Če ima relacija lastnosti refleksivnosti, antisimetričnosti in tranzitivnosti, potem bo taka tudi bila nestrogo razmerje. Na primer razmerje " Xl».
Primeri vrstnih relacij vključujejo: relacijo "manj kot" na množici naravnih števil, relacijo "krajše" na množici segmentov. Če ima razmerje reda tudi lastnost povezanosti, potem pravimo, da je razmerje linearnega reda. Na primer relacija "manj kot" na množici naravnih števil.
Kup X klical urejen,če je na njem navedena relacija reda.
Na primer, mnogi X={2, 8, 12, 32 ) lahko naročite z relacijo »manj kot« (slika 41) ali pa z relacijo »večkratnik« (slika 42). Ker pa sta relaciji reda, relaciji "manj kot" in "večkratnik" na različne načine urejata niz naravnih števil. Relacija "manj kot" vam omogoča primerjavo katerih koli dveh števil iz niza X, vendar relacija "multiple" nima te lastnosti. V redu, nekaj številk. 8 in 12 ni povezan z relacijo »mnogo«: tega ni mogoče reči 8 večkraten 12 oz 12 večkraten 8.
Ne smemo misliti, da se vsa razmerja delijo na razmerja enakovrednosti in razmerja reda. Obstaja ogromno relacij, ki niso niti ekvivalenčne relacije niti relacije reda.
Pomembna vrsta binarne relacije- razmerja reda. Strogo razmerje reda - binarno razmerje, ki je antirefleksivno, antisimetrično in tranzitivno:
oznaka - (A pred tem b). Primeri vključujejo
razmerja »več«, »manj«, »starejši« itd. Za številke so običajni zapisi znaki "<", ">".
Nestrogo razmerje reda - binarno refleksivno, antisimetrično in tranzitivno razmerje. Poleg naravnih primerov nestriktnih neenakosti za števila je lahko primer relacija med točkami ravnine ali prostora, »da so bližje izhodišču koordinat«. Nestrogo neenakost za cela in realna števila lahko obravnavamo tudi kot disjunkcijo odnosov enakosti in strogega reda.
Če športni turnir ne predvideva delitve mest (t.j. vsak udeleženec prejme določeno, samo jesti/dodeljeno mesto), potem je to primer strogega reda; sicer pa ni stroga.
Odnosi reda so vzpostavljeni na množici, ko je za nekatere ali vse pare njenih elementov relacija
prednost . Naloga - za množico neke relacije reda se imenuje njegovo "urejanje, in "nabor sam" kot rezultat tega postane naročeno. Relacije reda lahko uvedemo na različne načine. Za končno množico vsaka permutacija njenih elementov »določi nekatere strog red. Neskončno množico lahko uredimo na neskončno veliko načinov. Zanimiva so le tista naročila, ki imajo smiseln pomen.
Če za relacijo reda R na setu .M in nekateri različni elementi imajo vsaj eno od relacij
aRb oz bRa, potem elementi A in b se imenujejo primerljiv, drugače - neprimerljivo.
Popolnoma (ali linearno) urejena množica M -
množica, na kateri je podana relacija reda, in poljubna dva elementa množice M primerljiv; delno urejen komplet- enaki, vendar so dovoljeni pari neprimerljivih elementov.
Linearno urejena je množica točk na premici z relacijo »bolj desno«, množica celih števil, racionalnih števil, realnih števil z relacijo »večje kot« itd.
Primer delno urejenega niza bi bili tridimenzionalni vektorji, če je vrstni red podan, kot sledi, če
To pomeni, da če se prednost izvaja vzdolž vseh treh koordinat, so vektorji (2, 8, 5) in (6, 9, 10) primerljivi, vektorji (2, 8, 5) in (12, 7, 40) nista primerljiva. To metodo razvrščanja je mogoče razširiti na vektorje katere koli dimenzije: vektor
je pred jektorjem, če
In končano
Upoštevamo lahko še druge primere urejanja na množici vektorjev.
1) delno naročilo: 
, Če
Tisti. po dolžini vektorja; vektorji enake dolžine so neprimerljivi.
2) linearni vrstni red: 
, Če a
Zadnji primer uvaja koncept abecednega reda.
Abeceda je nabor po parih različnih znakov, imenovanih črke abecede. Primer je abeceda katerega koli evropskega jezika, pa tudi abeceda 10 arabskih številk Na računalniku tipkovnica in nekatera podporna orodja določajo abecedo veljavnih znakov.
Beseda v abecediA - nabor znakov abecede A. Beseda je zapisana z abecednimi znaki v vrsti, od leve proti desni, brez presledkov Naravno število je beseda v digitalni abecedi. Formula ni vedno beseda zaradi nelinearne razporeditve simbolov, prisotnosti nadnapisnih (eksponentov) in podnapisov (indeksi spremenljivk, baze logaritmov), simbolov, ulomkov, radikalnih znakov itd. ; po nekaterih dogovorih pa ga lahko zapišemo v niz, ki se uporablja na primer v računalniškem programiranju (npr. znak za potenciranje je zapisan kot 2 znaka za množenje v vrsti: 5**3 pomeni tretjo potenco številka 5.
Leksikografsko (abecedno) urejanje - za različne besede v abecedi z urejenim
simboli določajo vrstni red: , če
možna uvedba 
, pri kateri bodisi
(podbeseda je lahko prazna), ali - prazna podbeseda
V tej definiciji - predpona (začetna podbeseda), ki je enaka za obe besedi - ali pa sta prvi na levi različni
znakov, bodisi - zadnji znak v besedi - rep
podbesede.
Tako je abecedni vrstni red besed določen s prvim simbolom na levi, ki jih razlikuje (na primer, beseda KONUS je pred besedo KOSIN, ker se najprej razlikujejo v tretji črki, in N pred S v ruski abecedi). Za presledek velja tudi, da je pred katerim koli znakom abecede - v primeru, ko je ena od besed predpona druge (na primer CON in CONE)
telovadba. Preverite, ali abecedni vrstni red naravnih števil, ki imajo enako število decimalnih mest, sovpada z njihovim vrstnim redom po velikosti.
Pustiti A - delno urejen niz. Element se imenuje maksimum V A,če ni elementa, za katerega A< b. Element A klical Največji V A,če za vsakogar drugačen od A element dokončan b<а-
Določeno simetrično minimalen in najmanjši elementi. Koncepti največjih in največjih (oziroma najmanjših in minimalnih) elementov so različni - glej. primer na sliki 14. Komplet na sl. 14,a ima največji element R, je tudi največ, obstajata dva minimalna elementa: s in t, najmanjšega ni. Na sliki 14b, nasprotno, obstaja množica z dvema največjima elementoma / in j, ni največjega, najmanjšega ali najmanjšega - enega: T.
Na splošno velja, da če ima množica največji (oziroma najmanjši) element, potem obstaja samo eden (lahko ga ni).
Maksimalnih in minimalnih elementov je lahko več (lahko jih sploh ni - v neskončni množici; v končnem primeru - jih mora biti).
Poglejmo si še dva primera. - relacija na množici n:
"Y deli X", oz "X je delitelj števila Y"(Na primer,
) je refleksivna in prehodna. Razmislimo o tem na končnem nizu deliteljev števila 30.
Relacija je relacija delnega reda (nestroga)
in je predstavljen z naslednjo matriko reda 8, ki vsebuje 31 znakov
Ustrezno vezje z 8 vozlišči mora vsebovati 31 povezav. . Vendar pa bo bolj priročno za ogled, če izključimo 8
veznikov-zank, ki prikazujejo refleksivnost razmerja (diagonalni elementi matrice) in prehodnih veznikov, t.j. vezi
Če obstaja vmesno število Z, tako da
(na primer veznik odkar). Nato v shemi
12 ligamentov bo ostalo (slika 15); manjkajoče povezave so implicirane "s prehodnostjo". Število 1 je najmanjše, število 30 pa
največji elementi v . Če iz števila 30 izvzamemo in
upoštevajte enak delni vrstni red na nizu, potem
največjega elementa ni, obstajajo pa 3 največji elementi: 6, 10, 15
Sedaj pa zgradimo isto vezje za relacijo na logični vrednosti
(množica vseh podmnožic) trielementne množice
Vsebuje 8 elementov:
Preverite, ali se elementi ujemajo a, b, c,številke 2, 3, 5 in operacije združevanja množic so množenje ustreznih števil (tj. podmnožica ustreza npr.
produkt 2 5 = 10), potem bo relacijska matrika točno takšna
enako kot za odnos ; diagrama teh dveh odnosov z opisanimi
okrajšave zank in prehodnih veznikov sovpadajo do zapisa (glej sliko 16). Najmanjši element je
In največji -
Binarna razmerja R na setu A in S na setu IN se imenujejo izomorfen,če med A in B je mogoče vzpostaviti korespondenco ena proti ena G, v kateri, če (tj.
elementi so v razmerju R), potem (slike
ti elementi so v razmerju S).
Tako so delno urejene množice izomorfne.
Obravnavani primer omogoča posploševanje.
Logična relacija je delni red. če
Tisti. kup E vsebuje p elementov, nato vsak
ustreza podnaboru p-dimenzionalni vektor z
komponente , kjer je značilna funkcija
nastavite A/. Množico vseh takih vektorjev lahko obravnavamo kot množico točk p-dimenzionalni aritmetični prostor s koordinatami 0 ali 1 ali z drugimi besedami kot vozlišča p- dimenzionalni
enotska kocka, označena z , tj. kocka z robovi enotne dolžine. Za n = 1, 2, 3 označene točke predstavljajo konce segmenta, oglišča kvadrata in kocke - od tod tudi splošno ime. Za /7=4 je grafični prikaz tega razmerja na sliki 17. Blizu vsakega vrha 4-dimenzionalne kocke je ustrezen
podmnožica 4-elementnega niza in štiridimenzionalne
vektor, ki predstavlja karakteristično funkcijo te podmnožice. Točke, ki ustrezajo podmnožicam, ki se razlikujejo po prisotnosti točno enega elementa, so med seboj povezane.
Na sliki 17 je prikazana štiridimenzionalna kocka tako, da je na eni
ravni se neprimerljivi elementi nahajajo v parih, ki vsebujejo enako število enot v zapisu (od 0 do 4), ali z drugimi besedami, enako število elementov v predstavljenih podmnožicah.
Na sl. 18a, b - drugi vizualni prikazi 4-dimenzionalne kocke;
na sliki 18a os prve spremenljivke OH usmerjen navzgor (namerno odstopanje od navpičnice, da se različni robovi kocke ne združijo):
v tem primeru 3-dimenzionalna podkocka, ki ustreza X= 0 se nahaja spodaj in za X= 1 - višje. Na sl. 186 ista os OH usmerjena od notranjosti kocke navzven; notranja podkocka ustreza X= Oh, in zunanji je X = 1.
IN 
Datoteka z materiali prikazuje sliko 5-dimenzionalne enotske kocke (str. 134).
2) relacijo na množici X imenujemo relacija strogo v redu, če je antisimetrična in tranzitivna. Razmerje se imenuje antisimetrično, če iz dejstva, da je a v odnosu do c v, ne sledi, da je b v odnosu do a (a, v ∈ X in R v → v R a) R – biti v razmerju. Razmerje se imenuje prehodno, če za kateri koli element a, b, c iz dejstva, da je a R v in v R c → da je a R c, a, b, c ∈ X. Na primer: relacija “več, manj”. Množica, na kateri je definirana stroga relacija reda, se imenuje naročeno veliko.
3) relacijo na množici X imenujemo relacija ne v strogem vrstnem redu, če je refleksivna, asimetrična in prehodna. Na primer: razmerje ≥ ≤. Če ima relacija reda lastnost povezanosti, potem rečemo, da je relacija linearni red. Razmerje se imenuje povezano na množici X, če je za poljubna elementa x in y izpolnjen pogoj: iz dejstva, da je x ≠ y, sledi, da je x R y ali y R x. Če je na množici podana linearna relacija reda, potem linearno ureja dano množico.
5. Množica realnih števil. Njegove lastnosti. Razširitev nabora racionalnih števil je vodila potreba po merjenju dolžin segmentov, površin itd. Osnova vsake meritve je isti princip: merjeni objekt primerjamo z etalonom (predmetom ali pojavom), katerega vrednost ima številčno vrednost enako 1, vendar segment enote ni vedno vgrajen v merjeni objekt. Zato se pri merjenju uporabljata dve predpostavki, ki ju v matematiki definiramo kot aksioma: 1) En sam standard je mogoče razdeliti na poljubno število enakih deležev ali delov. 2) Izbrani standard lahko uporabite za merjenje poljubno velikega predmeta. Za odseke je te aksiome oblikoval Arhimed: Ne glede na to, kako majhen je odsek AB in ne glede na to, kako velik je odsek CD, obstaja naravno število N, tako da je N*AB>CD, če izmerjeni odsek CD vsebuje enako število odsekov AB, potem je dolžina odseka CD izražena z naravnim številom. Če je v izmerjenem segmentu CD segment AB postavljen neenako število krat, potem je AB razdeljen na 10 enakih segmentov, imenovanih desetine standardov. Po potrebi lahko desetino razdelimo na 10 enakih delov itd. Če enako število 10, 100 itd. ustreza segmentu CD. ulomkov odsekov AB, potem je dolžina odseka CD izražena z racionalnim številom. Vendar dolžine segmenta ni vedno mogoče izraziti kot naravno ali racionalno število. Obstajajo nesorazmerni segmenti, tj. odseke, katerih dolžina ni izražena z racionalnim številom. (izreki glej vprašanje 32)
Števila, ki jih lahko predstavimo kot neskončne decimalne neperiodične ulomke, imenujemo iracionalna. Unija množice racionalnih števil in množice iracionalnih števil je množica realnih števil ().
Lastnosti množice realnih števil. 1). Množica točk na številski premici je enaka množici realnih števil.
0 M 1 Vzemite katero koli točko M na odseku od 0 do 1,
D nariši polkrog s središčem v
Razpolovna točka tega segmenta in polmer
K O S enako polovici. Narišimo pravokotnico iz M do sekanja s polkrogom. Dobimo D. Ta točka je edinstvena, saj se polkrog in premica sekata le v eni točki. Od sredine tega segmenta narišite ravno črto skozi D, dokler se ne preseka s številsko osjo. Dobimo K, ki je določen na edinstven način, saj se premice sekajo samo v eni točki. Z izbiro druge poljubne točke na danem odseku in ponovitvijo celotnega postopka dobimo, da vsaka točka na odseku od 0 do 1 ustreza eni točki na številski premici. Če sklepamo v obratnem vrstnem redu, lahko pokažemo, da vsaka točka na številski premici ustreza tudi eni točki od 0 do 1. Če poljubna točka E pripada številski premici, potem lahko skozi točki M in E potegnemo samo eno premico ki seka polkrog. Iz polkroga lahko spustiš pravokotno na dani segment. Tako se med točkami odseka od 0 do 1 in točkami številske premice vzpostavi medsebojno enaka preslikava, tj. so enako močni.
2) množica realnih števil ni števna, tj. ni enaka množici naravnih števil.
3). Množica realnih števil je zvezna množica. Kontinuiteta množice realnih števil je, da je med katerima koli dvema realnima številoma neskončna množica samo realnih števil
6. Razdelitev množice v razrede. Primeri razvrščanja. Ekvivalenčna relacija, njene lastnosti. Razmerje med ekvivalenčno relacijo in razdelitvijo množice na razrede. Poglejmo si primer. Naj bo podana množica M (množica konveksnih poligonov), sestavimo vse podmnožice te množice: A 1 – množica trikotnikov; A2 – niz štirikotnikov; A3 – komplet peterokotnikov; Ak je niz k-kotnikov. Šteje se, da je niz M razdeljen na razrede, če so izpolnjeni naslednji pogoji:
- vsaka podmnožica A ni prazna
- presečišče poljubnih dveh podmnožic je prazna množica
- unija vseh podmnožic je dana množica M
Razdelitev niza v razrede se imenuje razvrstitev.
Odnos na množici X se imenuje enakovreden , če je refleksivna, simetrična in prehodna. Razmerje se imenuje odsevni, če je katerikoli element iz množice X v razmerju sam s seboj a ∈ X, in R a (R je v razmerju). Razmerje se imenuje simetrično, če za katera koli dva elementa množice X (a in b) iz dejstva, da je a v razmerju z b, sledi, da je b v razmerju z a (a, b ∈ X in R b → v R a). Razmerje se imenuje prehodno, če za katerikoli element a, b, c iz dejstva, da je a R in in v R c → da je a R c, a, b, c ∈ X. Na grafu ekvivalenčnih odnosov so zanke, medsebojno inverzne puščice in trikotniki puščice. Ekvivalenčna relacija in samo ona je povezana z razdelitvijo množice na razrede. To izjavo lahko formuliramo kot izreki: Če je na množici X podana ekvivalenčna relacija, potem ta relacija razdeli množico X na razrede, in obratno, če je množica X razdeljena na razrede, potem je ekvivalenčna relacija izpolnjena na dani množici. Na primer. Naj bo odnos dan - živeti v isti hiši. Pokažimo, da bo množica stanovalcev v hiši razdeljena na razrede. In vsak razred je ločeno stanovanje. Za to delitev bodo izvedene vse potrebne pogoje razdelitev množice na razrede: a) vsak razred ni prazen, ker v vsakem stanovanju je prijavljena vsaj 1 oseba, b) razredi se ne prekrivajo (1 oseba ni prijavljena v dveh različnih stanovanjih), c) zveza vseh razredov, t.j. stanovalcev vsakega stanovanja in sestavlja množico stanovalcev hiše.
18 . Teoretski pristop k izgradnji teorije nenegativnih celih števil. Razmerja enakosti, več (manj). Dve množici A in B se imenujeta enakovredni ali enako močni, če je med njima mogoče vzpostaviti korespondenco ena proti ena, to je, če je vsak element množice A povezan z enim elementom množice B in obratno. Potenca ali kardinalno število je lastnost, ki je lastna kateri koli množici B, ki je enakovredna množici A, in ni lastna nobeni drugi množici, ki ni enaka množici A. A~B n (A) = a je potencija. Relacija enake moči je ekvivalenčna relacija, tj. lastnosti refleksivnosti, simetrije in tranzitivnosti so zanj izpolnjene. Ekvivalenčna relacija razdeli množico vseh množic v ekvivalenčne razrede. Če želite definirati koncept naravnega števila in ničle, razmislite o razdelitvi vseh končnih množic.
Naj bo M množica vseh končnih množic. M = K 0 Ka Kv, kjer je Ko razred praznih množic, Ka je množica, ki vsebuje enake množice a 1, a 2, a 3 itd., Kv je množica. Vsebuje nize enake kardinalnosti v 1, v 2, v 3 itd. Množica M lahko vsebuje tudi druge podmnožice K različnih narav, ki so sestavljene iz množic enakih moči. Vsakemu enakovrednemu razredu K je skupno, da sta sestavljena iz enakega števila elementov; Nenegativno celo število je s teoretičnega vidika množic splošna lastnost razreda končnih množic enakih moči. Naravno število je splošna lastnost razreda nepraznih končnih množic enake kardinalnosti. Vsakemu razredu je dodeljena kardinalna številka (kardinalnost). Prazni množici razreda priredimo koordinatno število 0. Razredu, ki ga sestavljajo množice, ki imajo 1 element, priredimo številko 1. Razredu, sestavljenemu iz množic z 2 elementoma, pripišemo številko 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Razmerje enakosti. Pravimo, da sta nenegativni celi števili a in b enaki, če sta množici A in B, katerih število izražata, enaki (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( A)=n(B) a=c).
Izrek: relacija enakosti v množici nenegativnih celih števil je ekvivalenčna relacija. Dokaz. Dokažimo, da ima relacija enakosti lastnosti simetrije, tranzitivnosti in refleksivnosti.
Ker lastnosti refleksivnosti, simetrije in tranzitivnosti zadoščene, potem je enakostna relacija ekvivalenčna relacija.
Razmerje je manjše. Nenegativno celo število a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Izrek: relacija manj kot v množici nenegativnih celih števil je relacija striktno urejena. Dokaz: Dokažimo, da ima relacija manj lastnosti antisimetričnosti in tranzitivnosti. C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Seštevanje in odštevanje v kvantitativni teoriji nenegativnih celih števil. Njihove lastnosti. Znesek dveh nenegativnih celih števil a in b imenujemo nenegativno celo število c, ki je kardinalnost unije dveh disjunktnih množic A in B, katerih kardinalnosti sta enaki a in b. a+b=c, n(C)=n(АУВ), n(АУВ)=n(А)+n(В). Lastnosti dodajanja. 1. Seštevanje v množici nenegativnih celih števil vedno obstaja in je definirano na edinstven način. Dokažimo, da vsota vedno obstaja. Vzemimo A in B tako, da je njuno presečišče prazna množica in je število elementov A a, kardinalnost B pa b. poiščimo unijo A in B. Ker unija dveh disjunktnih množic vedno obstaja, to pomeni, da obstaja tudi vsota, iz definicije vsote pa sledi, da seštevek vedno obstaja. Dokažimo, da je vsota določena na edinstven način. Obstajata C 1 in C 2 – nenegativni celi števili. C 1 = a + b in C 2 = a + b. Vsota števil a in b ni odvisna od tega, kateri množici A in B smo izbrali iz razreda enakopotenčnih množic, zato unija A in B, vzeta iz razreda enakopotenčnih množic, ni odvisna od izbire množici A in B, ker sta moči v vsakem razredu enaki, potem je C 1 = C 2. 2. Komutativno seštevanje. Za vsa nenegativna cela števila a in b velja lastnost a+b=b+a. Iz teorije množic vemo, da je za АУВ = ВУА. Če so nizi enaki, so njihove številske vrednosti enake. n(АУВ)=n(ВУА). Iz teorije množic vemo, da je moč unije enaka vsoti moči. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Lastnost asociativnosti. Za poljubna števila a, b, c velja lastnost: a+(b+c)=(a+b)+c. Iz teorije množic je znano, da je za združevanje množic izpolnjena lastnost asociativnosti: АU(ВУС)=(АУВ)UC, če so množice enake, so njihove številske vrednosti enake, n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC). Iz teorije množic je znano, da je moč unije enaka vsoti moči teh množic, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. Z razliko nenegativni celi števili a in b imenujemo nenegativno celo število c, ki je potenca komplementa množice B z množico A, tako da B pripada A, n(A)=a, n(B) =b. Lastnosti razlike. 1. Za obstoj razlike nenegativnih celih števil je nujno in dovolj, da je a večji ali enak b. Dokažimo: 1) zadosten pogoj za obstoj razlike. Podano je: a - b = c, dokaži: a c. Iz definicije razlike sledi, da obstaja komplement množice B k množici A in ta komplement ima moč, kar lahko ugotovimo iz enakosti, znane iz teorije množic. n() = n(A)-n(B). Iz dejstva, da je B podmnožica A, sledi, da je število elementov v B manjše od števila elementov A. n (B) 2). Nujen pogoj. Glede na c. dokažite obstoj razlike (a-c). Če je a>b, po definiciji relacije »manj kot« obstaja množica A 1 taka, da je A 1 vključena v A in A 1 ~B. Naredimo razliko med A in A 1. Ta razlika vedno obstaja (A - A 1 = C), zato obstaja C, ki je ta razlika. Iz teh pogojev sledi, da je C komplement A 1 proti A. C = 1A Potencija C je potenca komplementa A 1 proti A. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1), ker je A 1 ~ B, potem je n(A 1)=n(B), torej n(C)=n(A)-n(B), torej c=a-b. 2. Razliko nenegativnih celih števil najdemo na edinstven način, saj je razlika potenca komplementa podmnožic v množici in je komplement določen na edinstven način, potem je razlika nenegativnih celih števil določen na edinstven način. 3. Za odštevanje nista izpolnjeni lastnosti komutativnosti in asociativnosti. 4. Odštevanje zneska od števila. a-(b+c)=(a-c)-c. Iz teorije množic je znano A\(BUC)=(A\B)\C in B Ì A; S Ì A; BUSCA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Odštevanje števila od razlike (a-c)-c=(a-c)-c. Dokaz temelji na lastnosti razlike množic (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Odštevanje števila od vsote (a+b)-c=(a-c)+c. Dokaz temelji na lastnosti množic (АУВ)\С=(А\С) УВ. Tudi niti ne V praksi se pogosto srečujemo s funkcijami, ki niso niti sode niti lihe. 4. Funkcije so lahko periodične. Funkcija se imenuje periodična, če obstaja število T tako, da je izpolnjen pogoj f(x+T)=f(x). Vse trigonometrične funkcije (sinus, kosinus, tangens) so periodične. 5. funkcije imajo lahko singularne točke. To so presečišča s koordinatnimi osemi in točke ekstremov, tj. minimalne in maksimalne točke. Točka x0 se imenuje točka minimuma funkcije, če so za vse X iz okolice x0 izpolnjeni pogoji f (x) > f (x0). Točka x0 se imenuje največja točka funkcije, če je za vse x v bližini x0 f(x)< f (x0). 6. funkcije imajo lahko intervale znakov konstantnosti, tj. To so tiste podmnožice, domene definicije, katerih elementi obrnejo funkcijo samo pozitivno ali samo negativno. 7. funkcija ima lahko prelomne točke, tj. tiste vrednosti spremenljivke x, v katerih y ne obstaja (funkcije obratne sorazmernosti). y = ,če je x = 0 Iskanje na spletnem mestu: Onemogoči adBlock!
7. Pojem tuple urejenega para. Kartezični produkt množic in njegove lastnosti. Število elementov v dekretnem produktu množic. Za uvedbo koncepta kartezičnega produkta množic razmislite o konceptu povorka vozil. Ta koncept je tako kot koncept množice osnovni nedoločen koncept. Za tuple je pomemben vrstni red elementov. Elementi v tulu se lahko ponavljajo. Število elementov v danem nizu se imenuje njegova dolžina. Tulko dolžine 2 imenujemo urejen par. Kartica je označena z () oz< >. × je oznaka za kartezični produkt množic. (a,b,a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Kartezični produkt množic A in B je množica, sestavljena iz vseh urejenih parov, v katerih je prva komponenta element prve množice, druga komponenta pa element druge množice. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) Lastnost kartezičnega produkta množic (DPM). DPM nima lastnosti komutativnosti in asociativnosti: A×B≠B×A. Distributivne lastnosti DPM so izpolnjene: 1) glede na unijo množic A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) glede presečišča množic A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). Če želite najti število elementov v DP v dveh ali več nizih, morate poznati število elementov v vsakem nizu. Če je število elementov n. Če je n(A)=n in n(B)=m, potem je n(A×B)=n*m. Naj bo A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Sestavimo DPM A in B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) V vsaki vrstici obstajajo em-pari, takšne vrstice en, to pomeni, da je skupno število elementov na seznamu em na en parih, zato je število elementov v DPM A in B enako zmnožku števila elementov v nizu A in število elementov v množici B. 8. Pojem korespondence med množicami. Metode za določanje skladnosti. Vrste korespondenc. Ustreznost ef med elementoma množic X in Y imenujemo trojka množic (X;U; G f (ji iz ef), ji iz ef je podmnožica DP (kartezični produkt). Množica X se imenuje območje odhoda, se množica Y imenuje območje prihoda ji iz ef - se imenuje graf te korespondence. Domena določitve ujemanja ef je množica tistih elementov prvega niza (tj. območja odhoda) do. kateremu ustrezajo elementi drugega niza (tj. množica vrednosti korespondence ef je množica elementov regije prihoda, ki so dodeljeni v skladu z nekaterimi elementi območja odhoda). Metode za določanje korespondenc: naštevanje njegovih elementov, uporaba grafa, uporaba grafa, uporaba tabele, verbalno, algebraično, t.j. enačba, neenakost. Vrste korespondenc. Dopisi se imenujejo povsod definiran, če območje pošiljanja sovpada z območjem definicije. V grafu takšne korespondence vsaj ena puščica odstopa od vsakega elementa prvega niza. Skladnost se imenuje surjektivno, če njegov niz vrednosti sovpada z regijo prihoda. V grafu takšne korespondence se vsaj 1 puščica ujema z vsakim elementom 2. niza. Skladnost se imenuje injektivno, če noben različni element 1. niza ne ustreza istemu elementu 2. niza. V grafu takšne korespondence se nobenemu elementu 2. niza ne ujema več kot ena puščica. Skladnost se imenuje delujoč, če vsak element 1. niza ustreza največ 1 elementu 2. niza. Na grafu takšne korespondence, če obstaja samo 1 puščica, ki odhaja iz vsakega elementa 1. niza. Funkcionalna korespondenca se imenuje funkcijo. Med vsemi funkcionalnimi korespondencami obstajajo univerzalno definirajoče korespondence, ki se imenujejo zaslon. Skladnost se imenuje ena proti ena, če so izpolnjeni naslednji pogoji: 1) katera koli dva različna elementa množice X ustrezata različnim elementom množice Y, 2) katerikoli element množice Y ustreza vsaj enemu elementu množice X. Dve korespondenci med imenujemo množici X in Y nasprotje, če se njuna grafa dopolnjujeta, je kartezični produkt X in Y. Korespondenca se imenuje vzvratno na dano korespondenco, če dana korespondenca velja, če in samo če velja obratno. Če je dana korespondenca podmnožica kartezičnega produkta množic X in Y, potem je inverzna korespondenca podmnožica kartezičnega produkta množic X in Y. Za pridobitev inverzne korespondence z dano. Na njegovem grafu je treba spremeniti smer puščic.
9. Funkcionalna skladnost. Lastnosti numeričnih funkcij. Skladnost se imenuje delujoč, če vsak element 1. niza ustreza največ 1 elementu 2. niza. Na grafu takšne korespondence, če obstaja samo 1 puščica, ki odhaja iz vsakega elementa 1. niza. Funkcionalna korespondenca, definirana na numeričnem nizu, se imenuje numerična funkcijo. Lastnosti numeričnih funkcij. 1. Vsaka funkcija ima domeno definicije in niz vrednosti. 2. Funkcija je lahko naraščajoča ali padajoča. Pravimo, da funkcija narašča na intervalu a b, če za kateri koli x1 in x2 sledi x1 > x2 f (x1) > f (x2). Funkcija se imenuje padajoča na intervalu a b, če za kateri koli x1 in x2 iz tega intervala iz dejstva, da x1 > x2 sledi f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
Spletna stran 2015-2020 - Kontakti - Zadnji dodatek
zelo potrebno
