วงแหวนนั้นมีลักษณะไม่เท่ากันของวงแหวน สนามนั้นมีลักษณะไม่เท่ากันของวงแหวน สมบัติของโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน องค์ประกอบของทฤษฎีเซต แนวคิดของเซต เซตย่อย ตั้งค่าการดำเนินการ

สำหรับการศึกษา มีการเสนอแนวคิดของวงแหวน วงแหวนสับเปลี่ยนและขอบเขตของความสมบูรณ์ โฮโมมอร์ฟิซึมและมอร์ฟิซึมของวงแหวน วงแหวนย่อย รวมถึงคุณสมบัติของวงแหวนจำนวนเต็ม

ข้อ 1. แนวคิดเรื่องแหวน

คำนิยาม. พีชคณิตซึ่งมีการดำเนินการแบบทวิภาคเป็นการดำเนินการแบบเอกภาค เรียกว่าวงแหวนหากสัจพจน์เป็นที่พอใจ

I. เป็นกลุ่มอาเบเลียน

ครั้งที่สอง 1) - การเชื่อมโยงของการคูณ

2) กฎการกระจาย: - กฎการกระจายด้านซ้าย - กฎการกระจายที่ถูกต้อง

เรียกว่ากลุ่มสารเติมแต่งของวงแหวน

คำนิยาม. แหวนจะเรียกว่าแหวนที่มีเอกลักษณ์หากมีอยู่

คำนิยาม. วงแหวนเรียกว่าสับเปลี่ยนถ้า

คำนิยาม. องค์ประกอบเรียกว่าตัวหารถ้า

คำนิยาม. วงแหวนจะเรียกว่าขอบเขตความสมบูรณ์หากมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

วงแหวนเป็นแบบสับเปลี่ยน

แหวนพร้อมหน่วยอยู่ที่ไหน

วงแหวนไม่มีตัวหารเป็นศูนย์

ป.2. ตัวอย่างแหวน.

ลองพิจารณาดู การดำเนินการคือการดำเนินการแบบไบนารี่บนเซต การดำเนินการคือการดำเนินการแบบเอกนารีบนเซต และนั่นหมายถึงพีชคณิต สัจพจน์ของวงแหวนเป็นไปตามเซต ซึ่งตามมาจากคุณสมบัติของจำนวนเต็ม ซึ่งหมายความว่ามันคือวงแหวน นี่คือวงแหวนที่มีหน่วยที่ 1 เนื่องจาก และ นี่คือวงแหวนสับเปลี่ยน เนื่องจาก นี่คือวงแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ วงแหวนของจำนวนเต็มเป็นขอบเขตแห่งความสมบูรณ์

อนุญาต เป็นเซตของจำนวนเต็มคู่ - พีชคณิต วงแหวนที่ไม่มีเอกภาพ สับเปลี่ยน ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ และไม่ใช่ขอบเขตของความสมบูรณ์

มาดูกันว่าชุดมีแหวนหรือไม่

การดำเนินการไบนารี่ในชุด

การดำเนินการแบบเอกเทศบนชุด

นั่นหมายถึงพีชคณิต

สัจพจน์วงแหวนสำหรับพีชคณิตนี้เป็นที่พอใจ เนื่องจาก และสัจพจน์เป็นที่พอใจ (จากคุณสมบัติ ตัวเลขจริง) ซึ่งหมายถึงแหวน

วงแหวนที่มีเอกภาพคือวงแหวนสับเปลี่ยนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ และเป็นขอบเขตของความสมบูรณ์

อนุญาต . ให้เรากำหนดการดำเนินการ , ; -

การดำเนินการไบนารี่ในชุด

ซึ่งหมายความว่าเป็นการดำเนินการแบบเอกเทศในชุด

นั่นหมายถึงพีชคณิต ลองตรวจสอบว่าพีชคณิตนี้เป็นวงแหวนหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาตรวจสอบสัจพจน์ของวงแหวนกัน ความเท่าเทียมกัน - ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน: จากคำจำกัดความของการดำเนินการ ลองพิจารณาผลคูณคำนวณค่าด้านซ้ายและด้านขวาของ a) b) ในทำนองเดียวกัน จะมีการตรวจสอบว่าสัจพจน์ทั้งหมดของวงแหวนเป็นไปตามที่ต้องการ ซึ่งหมายความว่าเป็นวงแหวน นี่คือแหวนที่มีหน่วย แท้จริงแล้ว (ทรัพย์สินแห่งความสามัคคี) นี่คือวงแหวนสับเปลี่ยน เนื่องจาก ลองแสดงว่านี่คือวงแหวนที่มีตัวหารเป็นศูนย์ อนุญาต , , , (ฟังก์ชันศูนย์) มาคำนวณกัน (เท่ากับฟังก์ชันศูนย์) ซึ่งหมายความว่า , เป็นตัวหารศูนย์ ซึ่งหมายความว่าวงแหวนไม่ใช่ขอบเขตแห่งความสมบูรณ์

ป.3 คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของแหวน

ปล่อยให้มันเป็นแหวน ลองเขียนและตรวจสอบสัจพจน์ของวงแหวน:

การพิสูจน์. เป็นกลุ่มอาเบเลียนเราก็มี

การพิสูจน์. เป็นกลุ่มอาเบเลียน เรามี

ถ้าถ้า

การพิสูจน์. ตามกฎแห่งการยกเลิกในกลุ่มที่กำหนดไว้ในฉาก

ถ้าถ้า

การพิสูจน์. ตามมาจากทรัพย์สินทั้ง 4 กลุ่ม

ถ้าถ้า

การพิสูจน์. เป็นไปตามคุณสมบัติของกลุ่ม 5 ประการ

การพิสูจน์. เป็นไปตามคุณสมบัติของกลุ่ม 6 ประการ

การพิสูจน์. มาพิสูจน์กันว่า.

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ว่าเราพิจารณาผลรวม เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า

การกำหนด: .

(กฎการกระจายไปทางขวา) (กฎการกระจายไปทางซ้าย)

การพิสูจน์. กฎการกระจายที่ถูกต้อง: ด้านซ้ายเท่ากับด้านขวา กฎการกระจายด้านซ้ายได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

การพิสูจน์. มาคำนวณจำนวนเงินกัน

ป.4 โฮโมมอร์ฟิซึมและมอร์ฟิซึมของวงแหวน

ให้แหวนสองวงและ.

คำนิยาม. โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนในวงแหวนเป็นฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนคือการแมปที่รักษาการทำงานทั้งหมดของวงแหวนไว้ ถ้า เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเข้า ก็แสดงว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาบีเลียนเข้าเป็นกลุ่ม

ทฤษฎีบท. ให้และเป็นแหวนและมีคุณสมบัติ:

จากนั้นก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน

การพิสูจน์. จากคุณสมบัติ มันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึ่มของกลุ่มดังนั้นจึงมีคุณสมบัติ: , ซึ่งหมายความว่าตามคำจำกัดความแล้ว มันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึ่มของวงแหวน.

คำนิยาม. การแมปจะเรียกว่ามอร์ฟิซึมของวงแหวนหากมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน

ไบเจ็กชัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: isomorphism คือ homomorphism ที่เป็น bijection

ป.5 วงแหวนย่อย

ให้เป็นแหวน, , .

คำนิยาม. ชุดจะปิดภายใต้การดำเนินการถ้า

ชุดจะปิดภายใต้การดำเนินการถ้า ชุดจะปิดภายใต้การดำเนินการถ้า

ทฤษฎีบท. อนุญาต เป็นวงแหวน , , ถ้าปิดภายใต้การดำเนินการ ก็ให้เป็นวงแหวน ซึ่งเรียกว่าวงแหวนย่อยของวงแหวน

การพิสูจน์. - การดำเนินการแบบไบนารี - การดำเนินการแบบเอกภาคเนื่องจากเป็นเซตปิด เนื่องจาก มีอยู่จริง เนื่องจาก ถูกปิดภายใต้การดำเนินการ ดังนั้น จึงเป็นพีชคณิต เนื่องจากสัจพจน์มีความพึงพอใจ ดังนั้น พวกเขาก็พอใจเช่นกัน ดังนั้นพีชคณิตจึงเป็นวงแหวน

ทฤษฎีบท. กำหนดให้ เป็นวงแหวนตัวเลขที่มีหน่วย 1 แล้วจะมีวงแหวนย่อยของจำนวนเต็ม

ป.6 คำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของวงแหวนของจำนวนเต็ม

ระบบพีชคณิต โดยที่การดำเนินการแบบทวิภาคเป็นการดำเนินการแบบเอกภาค เรียกว่าระบบจำนวนเต็มหากกลุ่มสัจพจน์สามกลุ่มเป็นไปตามความเป็นจริง:

I. - แหวน

กลุ่มอาเบล

กลุ่มสารเติมแต่ง

ครั้งที่สอง ชุดปิดภายใต้การดำเนินการและระบบพีชคณิตเป็นระบบ ตัวเลขธรรมชาติ(ระบบพีอาโน)

สัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ: ให้ . หากชุดเป็นไปตามเงื่อนไข: | , ที่ไหน . ตัวเลขนี้เรียกว่าเงินปันผล - ตัวหาร - ผลหาร - เศษเมื่อหารด้วย

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์การมีอยู่ของตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งคู่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาชุด เซตนี้มีทั้งจำนวนลบและไม่เป็นลบ โดยกำหนดให้เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุดใน แล้ว ให้เราพิสูจน์ว่าสมมุติว่าตรงกันข้าม ลองพิจารณาจำนวนกัน ขัดแย้งกับทางเลือก ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า . ให้เราพิสูจน์เอกลักษณ์ของตัวเลข และ , ให้ . - ให้เราพิสูจน์ว่าสมมุติว่าตรงกันข้าม อนุญาต . เรามีความขัดแย้ง เนื่องจากไม่มีตัวเลขที่หารด้วย . ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า ถ้า แล้ว และเป็นไปตามนั้น ความเป็นเอกลักษณ์ของตัวเลขและได้รับการพิสูจน์แล้ว

บรรณานุกรม

ของเธอ. มาเรนิช, A.S. มาเรนิช. หลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี. 2002

วี.อี. มาเรนิช. นิตยสาร "อาร์กิวเมนต์" ปัญหาในทฤษฎีกลุ่ม

Kostrikin A.I. พีชคณิตเบื้องต้น ส่วนที่ 1 พีชคณิตพื้นฐาน - ม.: Fizmat litera, 2000

Kostrikin A.I. พีชคณิตเบื้องต้น ส่วนที่ 2 พีชคณิตพื้นฐาน - ม.: Fizmat litera, 2000

Kostrikin A.I. พีชคณิตเบื้องต้น ส่วนที่ 3 โครงสร้างพื้นฐานของพีชคณิต - ม.: Fizmat litera, 2000

Kostrikin A.I. การรวบรวมปัญหาในพีชคณิต เอ็ด ที่สาม - ม.: Fizmat litera, 2544

คำนิยาม 34เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า ชมแหวน เคเรียกว่า ซับริงแหวน เค, ถ้า ชมเป็นวงแหวนภายใต้การดำเนินการเดียวกันกับวงแหวน เค.

ทฤษฎีบท 9(เกณฑ์ย่อย)

อนุญาต เค- แหวน, ชม-เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า เค.เอชเป็นอนุพันธ์ของวงแหวน เคหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) สำหรับใด ๆ ชั่วโมง 1, ชั่วโมง 2∈ชม (ชั่วโมง 1 - ชั่วโมง 2)∈ชม;

2) สำหรับใด ๆ ชั่วโมง 1, ชั่วโมง 2∈ชั่วโมง ชั่วโมง 1 ⋅ ชั่วโมง 2∈ชม.

การพิสูจน์.ความจำเป็น. อนุญาต ชม-วงแหวนย่อย เค.แล้ว เอ็น– วงแหวนที่เกี่ยวข้องกับการทำงานเดียวกันกับ เค.วิธี, เอ็นปิดภายใต้การดำเนินการบวกและคูณ นั่นคือ เงื่อนไข 2) เป็นที่พอใจ นอกจากนี้สำหรับการใดๆ ชั่วโมง 1, ชั่วโมง 2∈ชม∃ -h 2∈ชมและ ชั่วโมง 1+(-h 2)=ชั่วโมง 1 - ชั่วโมง 2∈ชม.

ความเพียงพอ ให้เป็นไปตามเงื่อนไข 1) และ 2) มาพิสูจน์กัน ยังไม่มี -วงแหวนย่อย เค.ตามคำจำกัดความที่ 34 ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบได้ว่า ยังไม่มี -แหวน.

เนื่องจากเงื่อนไข 1) เป็นไปตามทฤษฎีบทที่ 7" เอ็นเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสารเติมแต่ง เค- ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากการดำเนินการของการบวกเป็นแบบสับเปลี่ยน เคแล้วเข้า เอ็นการดำเนินการ “+” เป็นการสลับเช่นกัน เพราะฉะนั้น, เอ็นเป็นกลุ่มสารเติมแต่งอาบีเลียน

ต่อไปใน เคปฏิบัติตามกฎหมายการแจกจ่ายและ เอ็น⊆เค- ดังนั้นใน เอ็นกฎหมายการกระจายก็เป็นไปตามเช่นกัน ดังนั้นเราจึงแสดงให้เห็นว่า เอ็นเป็นแหวนและด้วยเหตุนี้ เอ็น– ซับริงของวงแหวน เค.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม 35แสดง φ แหวน เคในวงแหวน เคเรียกว่า การทำแผนที่โฮโมมอร์ฟิกหรือ โฮโมมอร์ฟิซึมหากตรงตามเงื่อนไข 2 ข้อ:

1) สำหรับใด ๆ ก, ข∈เค ฟา(ก+ข)=φ (ก)+φ (ข);

2) สำหรับใด ๆ ก, ข∈เค ฟา(ก⋅ข)=φ (ก)⋅φ (ข).

หมายเหตุ 10คำจำกัดความของ monomorphism, epimorphism, isomorphism, endomorphism และ automorphism ของวงแหวนมีการกำหนดสูตรคล้ายกับคำจำกัดความที่สอดคล้องกันสำหรับกลุ่ม

หมายเหตุ 11ความสัมพันธ์แบบมอร์ฟิซึ่มบนเซตของวงแหวนทั้งหมดเป็นความสัมพันธ์ที่เท่ากันซึ่งแบ่งเซตนี้ออกเป็นคลาสที่ไม่เป็นสมาชิกร่วม - คลาสที่เทียบเท่า คลาสหนึ่งจะรวมวงแหวนเหล่านั้นเท่านั้นที่มีรูปร่างสมส่วนซึ่งกันและกัน วงแหวนไอโซมอร์ฟิกมีคุณสมบัติเหมือนกัน ดังนั้นจากมุมมองพีชคณิตจึงแยกไม่ออก

8. สนาม.

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

องค์ประกอบของทฤษฎีเซต แนวคิดของเซต เซตย่อย ตั้งค่าการดำเนินการ

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ได้มีการพิจารณาการดำเนินการเกี่ยวกับตัวเลข ในเวลาเดียวกัน ได้มีการกำหนดคุณสมบัติหลายประการของการดำเนินการเหล่านี้.. นอกเหนือจากการดำเนินการเกี่ยวกับตัวเลขแล้ว หลักสูตรของโรงเรียนยังพิจารณาอีกด้วย.. เป้าหมายหลักของหลักสูตรพีชคณิตคือ การศึกษาพีชคณิตและระบบพีชคณิต หลักสูตรพีชคณิต ครอบคลุมเนื้อหาท..

หากคุณต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา เราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

แผนภาพออยเลอร์-เวนน์
เข้ายังไง. ชีวิตประจำวัน, ดังนั้น การวิจัยทางวิทยาศาสตร์บ่อยครั้งเราต้องคำนึงถึงการสะสมของสิ่งของ ระบบของวัตถุ ฯลฯ ในทุกกรณีก็บอกเป็นนัยว่าบางส่วน

คุณสมบัติของการดำเนินการชุด
ตามคำจำกัดความ 1 เซต A และ B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ A⊆B และ B⊆A เท่านั้น ทฤษฎีบท 1. อนุญาต

ผลคูณโดยตรง (คาร์ทีเซียน) ของเซต
คำจำกัดความ 11. ผลคูณโดยตรง (คาร์ทีเซียน) ของเซต A และ B คือเซตที่เขียนแทนด้วย AB (อ่าน

ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ระหว่างเซต
คำจำกัดความ 14. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่คือชุดของคู่ลำดับใดๆ ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ จะใช้คำว่า "ความสัมพันธ์" ตัวอย่าง

แฟกเตอร์เซต
คำนิยาม 27 ความสัมพันธ์แบบไบนารี R บนเซต A เรียกว่าความสัมพันธ์สมมูลหากเป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร สกรรมกริยาบนเซต A Def

สั่งชุด
คำจำกัดความ 30. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R บนเซต A เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับถ้ามันเป็นความสัมพันธ์แบบแอนติสมมาตรและสกรรมกริยาบนเซต A คำจำกัดความ 31. Bi

ทำหน้าที่เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี
คำจำกัดความ 41. ความสัมพันธ์แบบไบนารี f ระหว่างเซต A และ B เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ถ้าจาก (a,b)

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเชื่อมโยงของผลคูณของฟังก์ชัน
คำจำกัดความ 50. ให้ f: XY, g: YZ เป็นฟังก์ชัน การทำงาน

การทำแผนที่แบบย้อนกลับ
คำจำกัดความ 52. การทำแผนที่เรียกว่าเหมือนกัน (หรือเอกลักษณ์) ถ้า

เกณฑ์การกลับด้านของฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท 5 อนุญาต เป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชัน f สามารถพลิกกลับได้ f - beek

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถมองได้จากสองมุมมอง ตัวอย่างเช่น 3-สาม (ปริมาณ) 3-สาม (ลำดับ) ในหลักสูตรพีชคณิต นักเรียนจะศึกษาทฤษฎีลำดับของจำนวนธรรมชาติ ในชุด ℕ bb

คุณสมบัติของการดำเนินการไบนารี
คำจำกัดความ 1. การดำเนินการพีชคณิตไบนารีบนเซต M ที่ไม่ว่างนั้นเป็นกฎหรือกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบของเซต M

กึ่งกลุ่มที่มีการลดลง
คำจำกัดความ 10. เซต M ที่ไม่ว่างซึ่งมีการดำเนินการพีชคณิตไบนารี “∗” ที่กำหนดไว้บนเซตนั้น เรียกว่า กรุ๊ปออยด์ กำหนด -

ด้านหลัง
คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่ม

คำจำกัดความ 14. เซต G ที่ไม่ว่างซึ่งถูกปิดภายใต้การดำเนินการพีชคณิตไบนารี “∗” จะถูกเรียกว่าหมู่หากเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้ (สัจพจน์กลุ่ม)
กลุ่มย่อย. เกณฑ์กลุ่มย่อย

คำจำกัดความ 20. สับเซต H ที่ไม่ว่างของกลุ่ม G เรียกว่ากลุ่มย่อยของ G ถ้า H เป็นกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเดียวกันกับกลุ่ม G และ
โฮโมมอร์ฟิซึมและมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

ทฤษฎีบท 8 ให้ (สวัสดี | i∈I) เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม G จากนั้น A=i
คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน

คำจำกัดความ 27. เซต K ที่ไม่ว่างซึ่งมีการดำเนินการพีชคณิตไบนารีของการบวกและการคูณที่กำหนดไว้บนเซตนั้น เรียกว่าวงแหวน หากเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้ (ac
คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของเขตข้อมูล

คำจำกัดความ 36. เซต P ที่มีองค์ประกอบอย่างน้อยสององค์ประกอบ ปิดภายใต้การดำเนินการ “+” และ “⋅” เรียกว่าฟิลด์หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: 1) P
คำจำกัดความ 37. เซตย่อย H ที่ไม่ว่างของฟิลด์ P ที่มีองค์ประกอบอย่างน้อยสององค์ประกอบจะเรียกว่าฟิลด์ย่อยของฟิลด์ P ถ้า H เป็นฟิลด์ที่เกี่ยวข้องกับ m

ช่องจำนวนเชิงซ้อน
ในสนาม ℝ สมการในรูปแบบ x2+1=0 ไม่มีทางแก้ได้ ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้องสร้างสนามที่จะเป็น

จำนวนเชิงซ้อน
กำหนดให้ z=(a, b)∈ℂ, และ (x, 0)=x สำหรับ x∈ℝ ใดๆ ขอให้เราได้อีกรูปแบบหนึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน z=(a, b)

จำนวนเชิงซ้อน
ให้ z=a+bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน, a, b∈ℝ ให้เราแสดงตัวเลข z เป็นจุดบนระนาบ M(a, b)

ในรูปแบบตรีโกณมิติ
ทฤษฎีบท 4 เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของพวกมัน การพิสูจน์. ให้ z1

สูตรมูฟวร์
สะดวกในการบวก ลบ คูณ หารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต อย่างไรก็ตาม การยกกำลังและการแยกรากของระดับ n≥3

สูตรมูฟวร์
คำจำกัดความ 11. ให้ n∈ℕ ราก ระดับที่ nจากจำนวนเชิงซ้อน z คือจำนวนเชิงซ้อน z1 โดยที่ z1

รากเริ่มแรก
ตามทฤษฎีบทที่ 7 รากที่ n ของความสามัคคีมีค่า n ค่าพอดี เนื่องจาก 1=1⋅(cos 0+isin 0) ดังนั้น

วงแหวนของพหุนามในตัวแปรเดียว
จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและจากหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เป็นที่ทราบกันว่าพหุนามเป็นฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมดในรูปแบบ f(x)=a0+a1x+a2

คุณสมบัติของดีกรีของพหุนาม
คำจำกัดความ 19. ให้ K เป็นวงแหวนที่เชื่อมโยง-สับเปลี่ยนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว (

เหนือพื้นที่สมบูรณ์
ทฤษฎีบท 13 ถ้า K เป็นโดเมนแห่งความสมบูรณ์ แล้ว K[x] ก็คือโดเมนแห่งความสมบูรณ์ การพิสูจน์. ให้ K เป็นขอบเขตแห่งความสมบูรณ์ มาแสดงกันเถอะ

ขั้นตอนเมทริกซ์
คำจำกัดความ 10. เมทริกซ์ขนาด m×n เหนือช่อง P คือตารางสี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วย n แถวและ m คอลัมน์ โดยมีรูปแบบดังนี้

วิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ
(วิธีเกาส์) ลองพิจารณาหนึ่งในวิธีการหลักในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งเรียกว่าวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับหรืออย่างอื่น

และคุณสมบัติหลักของพวกเขา
1. การบวกเมทริกซ์ คำจำกัดความ 16. ให้ A=(aij), B=(bij) เป็นเมทริกซ์ขนาด m×n เหนือสนาม P ผลรวม

สมการเมทริกซ์
คำจำกัดความ 22. เมทริกซ์ลำดับที่ n ของแบบฟอร์มเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ หมายเหตุ 9. ถ้า A –

ทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของการเรียงสับเปลี่ยน
คำจำกัดความ 27. ให้ M=(1,2,…,n) การเรียงสับเปลี่ยนบนเซต M หรือการเรียงสับเปลี่ยนระดับที่ n คือเซต M ที่มีตำแหน่งขององค์ประกอบที่กำหนด

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองและสาม
ให้ A= เป็นเมทริกซ์ลำดับที่ n เหนือฟิลด์ P จากองค์ประกอบของเมทริกซ์ A เราจะเขียนผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมด

การเชื่อมโยงการเติมเต็มพีชคณิตกับผู้เยาว์
ให้ Δ = = . คำจำกัดความ 31. ถ้าอยู่ในดีเทอร์มิแนนต์ Δ cgr

ปัจจัยกำหนดผลคูณของเมทริกซ์
ทฤษฎีบท 9 ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ลำดับที่ n เหนือสนาม P จากนั้น |AB|=|A|∙|B| เช่น ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์เท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์

สูตรคำนวณเมทริกซ์ผกผัน
ทฤษฎีบท 10 ให้ A= เป็นเมทริกซ์ลำดับที่ n ส่วนสนาม P ถ้าดีเทอร์มิแนนต์

สูตรของแครมเมอร์
ทฤษฎีบท 11 ให้ (1) เป็นระบบของสมการเชิงเส้น n สมการที่ไม่มีค่าไม่ทราบค่าในสนาม P, A=

คำจำกัดความ 1.7อนุญาต ( ก, ) และ ( บี, ) – กลุ่ม แสดง  : ก  บี เรียกว่า โฮโมมอร์ฟิซึมแบบกลุ่มถ้ามันบันทึกการดำเนินการเช่น  x, ย  ก  (x  ย) =  (x) (ย).

คำจำกัดความ 1.8ถ้า (ก, + ,  ) และ ( บี, , ) – ดังขึ้น จากนั้นจึงทำแผนที่  : ก  บี เรียกว่า โฮโมมอร์ฟิซึมของแหวนถ้ามันบันทึกการดำเนินการทั้งสองนั่นคือ

 x,ยก (x+y) =  (x)  (ย), x, ย ก (x ย) =  (x)   (ย).

คำจำกัดความ 1.9เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีด monomorphismsหรือ การลงทุน, โฮโมมอร์ฟิซึ่มเชิงผ่าตัด – คำวิเศษณ์หรือ ภาพซ้อนทับและอคติ – มอร์ฟิซึม.

คำจำกัดความ 1.10หากมีการโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มหรือวงแหวน  : ก บีจากนั้นจัดกลุ่มหรือส่งเสียงกริ่ง ก, ในเรียกว่า ไอโซมอร์ฟิก.

ความหมายของไอโซมอร์ฟิกคือสร้างความสอดคล้องระหว่างองค์ประกอบของวัตถุไอโซมอร์ฟิก ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจากมุมมองของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่สงวนไว้ วัตถุไอโซมอร์ฟิกนั้นแยกไม่ออก

ตัวอย่าง: 1.อัตลักษณ์มอร์ฟิซึ่ม ฉัน: ก  ก , x  ก ฉัน (x) = x. (ก – กลุ่มหรือวงแหวน)

2. หน่วยหรือ โมฆะ คำวิเศษณ์: ถ้า อี = {จ} – วัตถุซิงเกิลตัน (กลุ่มหน่วยหรือวงแหวนศูนย์) จากนั้นสำหรับกลุ่มใดๆ ( ก, ) หรือวงแหวนที่ epimorphism O ถูกกำหนดไว้ : ก  อี,  x  ก เกี่ยวกับ (x) = จ.

3. การฝังกลุ่มและวงแหวนตามธรรมชาติ: ซี ถาม  ร  ค.

คุณสมบัติของโฮโมมอร์ฟิซึม

ถ้า  : (ก,  )  (บี,  ) – โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มแล้ว

1 0 .  (จ ก) = จ บี , เหล่านั้น.  แปลงองค์ประกอบเดียวให้เป็นองค์ประกอบเดียว

2 0 .  ก  ก  (ก – 1) =  (ก) – 1 , เหล่านั้น.  แปลองค์ประกอบผกผันเป็น กผกผันกับ  ( ก).

สามสิบ  : (ก, + ,  )  (บี,  ,  ) ในกรณีของโฮโมมอร์ฟิซึมแบบวงแหวน  (0 ก) = 0 ใน ,  (– ก) = –  (ก).

4 0 . เราได้รับ  : (ก, +, )  (บี, , ) สำหรับแหวนโฮโมมอร์ฟิซึม

 x, ย  ก  (x – ย) =  (x) –  (ย).

5 0 . ขวา:  : (ก, + ,  )  (บี,  ,  ) โฮโมมอร์ฟิซึมภาคสนาม

เป็นโมฆะหรือซ้อนกัน

60. ถ้า  : u  V และ : V  w เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมสองแบบของกลุ่มหรือวงแหวน ดังนั้นองค์ประกอบ  ○  : u  w จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มหรือวงแหวน

มอร์ฟิซึ่ม (หรือมอร์ฟิซึม) เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ วัตถุทางคณิตศาสตร์ (หรือโครงสร้าง) สองชิ้นที่เป็นประเภทเดียวกันจะเรียกว่าไอโซมอร์ฟิก หากมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวัตถุหนึ่งกับอีกวัตถุหนึ่ง โดยที่วัตถุและสิ่งที่ตรงกันข้ามจะรักษาโครงสร้างของวัตถุไว้ กล่าวคือ องค์ประกอบที่อยู่ในความสัมพันธ์บางอย่างจะถูกแปลเป็นองค์ประกอบที่อยู่ในความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน

วัตถุไอโซมอร์ฟิกอาจมีธรรมชาติขององค์ประกอบและความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเหล่านั้นต่างกัน แต่มีโครงสร้างที่เป็นนามธรรมเท่ากันทุกประการและทำหน้าที่เป็นสำเนาของกันและกัน มอร์ฟิซึมคือ "ความเท่าเทียมกันเชิงนามธรรม" ของวัตถุประเภทเดียวกัน ตัวอย่างเช่น กลุ่มสารเติมแต่งของคลาสสารตกค้างแบบโมดูโล n จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มการคูณของรากเชิงซ้อน n- องศาตั้งแต่ 1

ความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟีบนคลาสใดๆ ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทเดียวกัน ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่เท่ากัน จะแบ่งคลาสดั้งเดิมของวัตถุออกเป็นคลาสไอโซมอร์ฟิก - คลาสของวัตถุไอโซมอร์ฟิกแบบคู่ โดยการเลือกหนึ่งวัตถุจากแต่ละคลาสไอโซมอร์ฟี เราจะได้ภาพรวมเชิงนามธรรมที่สมบูรณ์ของวัตถุทางคณิตศาสตร์คลาสนี้ แนวคิดของ isomorphism คือการนำเสนอหรืออธิบายวัตถุของคลาสที่กำหนด จนถึงมอร์ฟิซึม

สำหรับวัตถุแต่ละประเภทที่กำหนดจะมีอยู่ ปัญหามอร์ฟิซึม- มีวัตถุสองชิ้นโดยพลการจากคลาส isomorphic ที่กำหนดหรือไม่ สิ่งนี้ค้นพบได้อย่างไร? ตามกฎแล้วเพื่อพิสูจน์มอร์ฟิซึ่มของวัตถุทั้งสอง จึงมีการสร้างมอร์ฟิซึ่มเฉพาะขึ้นมาระหว่างวัตถุทั้งสอง หรือมีการกำหนดไว้ว่าวัตถุทั้งสองนั้นมีลักษณะไม่เท่ากันกับวัตถุที่สาม ในการตรวจสอบว่าวัตถุสองชิ้นนั้นไม่ใช่ isomorphic ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุคุณสมบัตินามธรรมที่วัตถุตัวหนึ่งมี แต่อีกวัตถุหนึ่งไม่มี

วิธีที่ 11 Yu.M. Kolyagin แยกแยะงานนอกหลักสูตรสองประเภทในวิชาคณิตศาสตร์

การทำงานร่วมกับนักเรียนที่ตามหลังคนอื่นๆ ในการเรียน วัสดุโปรแกรม, เช่น. ชั้นเรียนเพิ่มเติมในวิชาคณิตศาสตร์

ร่วมงานกับนักเรียนที่สนใจวิชาคณิตศาสตร์

แต่เรายังสามารถแยกแยะงานประเภทที่สามได้

ทำงานร่วมกับนักเรียนเพื่อพัฒนาความสนใจในการเรียนรู้คณิตศาสตร์

กิจกรรมนอกหลักสูตรมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

วงกลมทางคณิตศาสตร์

ไม่จำเป็น.

การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกแบบทดสอบ

คณิตศาสตร์โอลิมปิก.

การอภิปรายทางคณิตศาสตร์

สัปดาห์คณิตศาสตร์

การพิมพ์คณิตศาสตร์ของโรงเรียนและห้องเรียน

การผลิตแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ทัศนศึกษาคณิตศาสตร์

แบบฟอร์มเหล่านี้มักจะตัดกันดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากที่จะวาดขอบเขตที่คมชัดระหว่างสิ่งเหล่านี้ นอกจากนี้ยังสามารถใช้องค์ประกอบหลายรูปแบบในการจัดงานใดงานหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อจัดงานคณิตตอนเย็น คุณสามารถใช้การแข่งขัน การแข่งขัน รายงาน ฯลฯ

ขั้นตอนขององค์กร

เตรียมการ

องค์กร

กระตุ้นความสนใจในกิจกรรมนอกหลักสูตร

มีส่วนร่วมในการมีส่วนร่วมในกิจกรรมสาธารณะและการแข่งขันรายบุคคล

การสอน

ช่วยในการเอาชนะความยากลำบาก

รักษาความสนใจในกิจกรรมเพิ่มเติม;

ความปรารถนาที่จะมีส่วนร่วมในการศึกษาด้วยตนเองทางคณิตศาสตร์

ขั้นพื้นฐาน

สร้างพื้นฐานสำหรับนักเรียนแต่ละคนเพื่อความสำเร็จส่วนบุคคลต่อไป

ช่วยให้นักเรียนเข้าใจถึงความสำคัญทางสังคม การปฏิบัติ และส่วนบุคคลของกิจกรรมนอกหลักสูตร

สร้างแรงจูงใจเชิงบวกในการมีส่วนร่วมในกิจกรรมนอกหลักสูตร

สุดท้าย

ดำเนินการวินิจฉัยและการไตร่ตรองกิจกรรมนอกหลักสูตร

สรุปและให้กำลังใจนักเรียนที่เข้าร่วมอย่างแข็งขัน

ข้อเท็จจริงที่ว่าแนวคิดเรื่องมอร์ฟิซึ่มแสดงออกถึงความเหมือนกันของคุณสมบัติทั้งหมดของเซตที่กำลังพิจารณานั้นสามารถกำหนดได้ในรูปแบบของข้อเสนอต่อไปนี้:

ถ้าเป็นชุด มและ เอ็ม"เป็น isomorphic เมื่อเทียบกับระบบความสัมพันธ์บางระบบ สแล้วสมบัติใดๆ ของเซต มกำหนดในแง่ของความสัมพันธ์ของระบบ ส(และดังนั้น ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยความสัมพันธ์ของระบบ ส) จะถูกถ่ายโอนไปยังเซต เอ็ม"และกลับมา

ให้เราตรวจสอบสถานการณ์นี้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ให้เป็นชุด มและ เอ็ม"ความสัมพันธ์ “มากกว่า” ถูกกำหนดไว้ และพวกมันเป็นแบบมอร์ฟิกเมื่อเทียบกับความสัมพันธ์นี้ แล้วถ้า มสั่งคือถ้าเข้า มคุณสมบัติ 1) และ 2) จากส่วนพอใจแล้วจึงพอใจด้วย เอ็ม".

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติ 1) อนุญาต ก"และ ข"- องค์ประกอบ เอ็ม"และ กและ ข- องค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง ม- เนื่องจากเงื่อนไข 1) ใน มความสัมพันธ์อันหนึ่งเป็นที่พอใจ ก = ข, ก > ข, ข > ก- แสดง มบน เอ็ม"ยังคงรักษาความสัมพันธ์ที่ "มากขึ้น" ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์อันใดอันหนึ่งเป็นที่พอใจ ก" = ข", ก" > ข", ข" > ก"- ถ้าเข้า. เอ็ม"มีการดำเนินการมากกว่าหนึ่งรายการ จากนั้นจึงรักษาความสัมพันธ์ "มากกว่า" เมื่อแสดง เอ็ม"บน มจำเป็นต้องแสดงความสัมพันธ์มากกว่าหนึ่งความสัมพันธ์ กและ ขซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ 1)

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติ 2) ถ้า ก" > ข"และ ข" > ค"แล้วก็ด้วย ก > ขและ ข > ค- ที่จริงแล้วใน มจะต้องมี ก > ค- วิธี, ก" > ค".

ตอนนี้เรามาดูเรื่องมอร์ฟิซึ่มของกลุ่มวงแหวนและทุ่งนากันดีกว่า เนื่องจากมีความสัมพันธ์กัน ก + ข = คและ เกี่ยวกับ = คตอบสนองความต้องการเพิ่มเติมสำหรับสิ่งใด ๆ กและ ขมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ค, ซึ่ง ก + ข = คหรือ เกี่ยวกับ = ค(ข้อกำหนดทั้งสองนี้เป็นสัจพจน์เพิ่มเติมสองประการโดยพื้นฐานแล้ว) และข้อกำหนดเหล่านี้ถือว่าได้รับการตอบสนองเช่นเดียวกับใน ม, และใน เอ็ม"คำจำกัดความของมอร์ฟิซึ่มของกลุ่มวงแหวนและฟิลด์สามารถทำให้ง่ายขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับคำจำกัดความของ กล่าวคือ ต้องการให้รักษาความสัมพันธ์พื้นฐานเฉพาะเมื่อผ่านจาก มถึง เอ็ม"- การจำกัดตัวเราเองไว้เฉพาะในกรณีของวงแหวนและฟิลด์ ซึ่งจะต้องใช้ในภายหลังในคำจำกัดความของโดเมนตัวเลข (กรณีของกลุ่มแตกต่างจากที่พิจารณาเพียงว่ามีการดำเนินการเดียวแทนที่จะเป็นสอง) เราจึงได้รับ:

แหวน (หรือสนาม) รเรียกว่า ไอโซมอร์ฟิกกับวงแหวน(ตามลำดับ สนาม) อาร์"(บันทึก) หากมีการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง รบน อาร์"ซึ่งผลรวมและผลคูณขององค์ประกอบใดๆ รสอดคล้องกับผลรวมและผลคูณขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง อาร์".

ให้เราแสดงว่าคำจำกัดความนี้เป็นกรณีพิเศษ คำจำกัดความทั่วไป- ในการทำเช่นนี้ คุณเพียงแค่ต้องแน่ใจว่าการแมปผกผัน อาร์"บน รยังเก็บผลรวมและผลิตภัณฑ์ ให้เข้า อาร์"เรามี: ก" + ข" = ค"และองค์ประกอบ ก", ข", ค"เมื่อแสดงกลับกันจะสอดคล้องกับ ก, ข, คจาก ร- เราต้องพิสูจน์สิ่งนั้น ก + ข = ค- แต่ถ้า ก + ข = ง ≠ คแล้วจากคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าที่แล้วก็จะเป็นไปตามนั้น ก" + ข" = ง" ≠ ค"ซึ่งขัดแย้งกับเอกลักษณ์ของการดำเนินการบวกใน อาร์"