Думата „ред“ често се използва в голямо разнообразие от проблеми. Офицерът дава команда: „Изчисли в числов ред“, аритметичните операции се извършват в определен ред, състезателите се класират по височина, всички водещи шахматисти се подреждат в определен ред според така наречените Ело коефициенти (американски проф. който е разработил коефициентите на системата, позволявайки ви да вземете предвид всички успехи и неуспехи на играчите), след шампионата всички футболни отбори са разположени в определен ред и т.н. Има ред на операциите при производството на част, ред на думите в изречението (опитайте се да разберете какво означава изречението „на стареца“ не съм посадил магарето!“
Като подреждаме елементите на определен набор един след друг, ние ги подреждаме или установяваме някаква връзка между тях в ред.Най-простият пример е естественият ред на естествените числа. Неговата естественост се крие във факта, че за всеки две естествени числа знаем кое следва другото или кое е по-голямо от другото, така че можем да подредим естествените числа в последователност, така че по-голямото число да се намира например до вдясно от по-малкото: 1, 2, 3, ... . Разбира се, последователността от елементи може да бъде написана във всяка посока, а не само отляво надясно. Самата концепция за естествени числа вече съдържа идеята за ред. Установявайки някакво относително подреждане на елементите на всяко множество, ние по този начин дефинираме върху него някакво отношение на двоичен ред, което във всеки конкретен случай може да има собствено име, например „да бъде по-малко“, „да бъде по-стар“, „да се съдържа в ", "следвайте" и т.н. Символните обозначения на реда също могат да бъдат различни, например Í и т.н.
Основен отличителен белегвръзката на реда е наличието на свойството транзитивност. Така че, ако имаме работа с последователност от някои обекти x 1, x 2, ..., x n,..., подредени, например, по отношение, след това от това, което се изпълнява х 1х 2... x n..., трябва да следва това за всеки чифт x i, x jелементи от тази последователност също е изпълнен x ix j:
За чифт елементи x iйв релационния график рисуваме стрелка от върха x iкъм върха x j, т.е. от по-малкия елемент към по-големия.
Графиката на връзката на поръчката може да бъде опростена с помощта на така наречения метод Диаграми на Хасе.Диаграмата на Хасе се изгражда по следния начин. По-малките елементи се поставят по-ниско, а по-големите - по-високо. Тъй като само такова правило не е достатъчно за изобразяване, начертават се линии, показващи кой от двата елемента е по-голям и кой по-малък от другия. В този случай е достатъчно да нарисувате само линии за елементите непосредствено един след друг. Примери за диаграми на Хасе са показани на фигурата:
Не е необходимо да включвате стрелки в диаграма на Хасе. Диаграмата на Хасе може да се върти в равнина, но не произволно. При завъртане е необходимо да се поддържа относителната позиция (горе - долу) на върховете на диаграмата:
Отношение Рв изобилие Xнаречен отношение на строг ред,ако е преходен и несиметричен.
Извиква се множество, в което е дефинирана строга релация на ред поръчан.Например наборът от естествени числа е подреден чрез отношението „по-малко от“. Но същото това множество е подредено и от друго отношение - „разделено на“ и „повече“.
Графиката на връзката „по-малко от“ в множеството от естествени числа може да се изобрази като лъч:
Отношение Р V Xнаречено отношение нестрог (частичен) ред, ако е транзитивна и антисиметрична. Всяко отношение от нестрог ред е рефлексивно.
Епитетът "частичен" изразява факта, че може би не всички елементи на набор са сравними в дадено отношение.
Типични примери за отношения на частичен ред са отношенията „не по-голямо от“, „не по-малко от“ и „не по-голямо от“. Частицата „не“ в наименованията на отношенията служи за изразяване на тяхната рефлексивност. Отношението „не повече от“ съвпада с отношението „по-малко или равно на“, а отношението „не по-малко от“ е същото като „по-голямо или равно на“. В тази връзка се нарича и частичен ред не е строгв ред. Често частична (нестрога) връзка на реда се обозначава със символа "".
Отношението на включване Í между подмножествата на определено множество също е частичен ред. Очевидно не всеки две подгрупи са сравними в това отношение. Фигурата по-долу показва реда на частично включване в множеството на всички подмножества на множеството (1,2,3). Стрелките на графиката, които трябва да сочат нагоре, не са показани.
Набори, на които е даден частичен ред, се наричат частично поръчан,или просто поръчанкомплекти.
Елементи XИ присе нарича частично подредено множество сравнете с насАко Xприили приX. IN иначене са сравними.
Нарича се подредено множество, в което всеки два елемента са сравними линейно подредени, а редът е линеен ред. Линейният ред се нарича още перфектен ред.
Например наборът от всички реални числас естествения ред, както и всички негови подмножества, са линейно подредени.
Могат да се поръчват обекти от най-разнообразен характер йерархично.Ето някои примери.
Пример 1: Частите на книга са организирани така, че книгата съдържа глави, главите съдържат раздели, а разделите съдържат подраздели.
Пример 2. Папките в компютърната файлова система са вложени една в друга, образувайки разклонена структура.
Пример 3. Отношенията между родители и деца могат да бъдат изобразени като т.нар родословно дърво,което показва кой чий е прародител (или потомък).
Нека на снимачната площадка Адава се частичен ред. елемент Xнаречен максимум (минимум)елемент от множество А, ако от факта, че Xпри(приX),следва равенството X= u.С други думи, елементът Xе максимално (минимум), ако за всеки елемент приили това не е вярно Xпри(приX), или се изпълнява X=u.По този начин максималният (минималният) елемент е по-голям (по-малък) от всички елементи, различни от него, с които той е във връзка.
елемент Xнаречен най-голям (най-малък),ако за някой приÎ Абягане при< х (х< у).
Едно частично подредено множество може да има няколко минимални и/или максимални елемента, но не може да има повече от един минимален и максимален елемент. Най-малкият (най-големият) елемент е и минимален (максимален), но обратното не е вярно. Фигурата вляво показва частичен ред с два минимални и два максимални елемента, а вдясно частичен ред с най-малкия и най-големия елемент:
В крайно частично подредено множество винаги има минимални и максимални елементи.
Нарича се подредено множество, което има най-големия и най-малкия елемент ограничен.Фигурата показва пример за безкрайно ограничено множество. Разбира се, невъзможно е да се изобрази безкраен набор на крайна страница, но можете да покажете принципа на неговото изграждане. Тук примките близо до върховете не са показани, за да се опрости чертежа. По същата причина не се показват дъгите, които осигуряват показване на свойството транзитивност. С други думи, фигурата показва диаграмата на Хасе на отношението на реда.
Безкрайните набори може да нямат максимални или минимални елементи, или и двете. Например наборът от естествени числа (1,2, 3, ...) има най-малък елемент от 1, но няма максимум. Множеството от всички реални числа с естествен ред няма нито най-малък, нито най-голям елемент. Въпреки това, неговото подмножество, състоящо се от всички числа X< 5, има най-големия елемент (числото 5), но няма най-малкия.
Нека R е двоично отношение в множеството A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарна релация R върху множество A се нарича релация на ред върху A или връзка на ред върху A, ако е транзитивна и антисиметрична.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение от ред R върху множество A се нарича нестриктно, ако е рефлексивно върху A, тоест за всяко от A.
Отношение на ред R се нарича строго (върху A), ако е антирефлексивно върху A, т.е. за всяко от A. Но от антирефлексивността на транзитивното отношение R следва, че то е антисиметрично. Следователно може да се даде следното еквивалентно определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарно отношение R върху множество A се нарича строг ред върху A, ако е транзитивно и антирефлексивно върху A.
Примери. 1. Нека е множеството от всички подмножества на множеството M. Отношението на включване върху множество е отношение от нестрог ред.
2. Отношенията върху множеството от реални числа са съответно отношения от строг и нестрог ред.
3. Релацията на делимост в множеството от естествени числа е релация от нестрог ред.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарна релация R върху множество A се нарича релация на предварителен ред или преднаредба на A, ако е рефлексивна и транзитивна.
Примери. 1. Отношението на делимост в множеството от цели числа не е ред. Той обаче е рефлексивен и транзитивен, което означава, че е предварителен.
2. Отношението на логическата импликация е предварителен ред върху множеството от пропозиционални логически формули.
Линеен ред. Важен специален случай на ред е линейният ред.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение на ред върху множество се нарича линейно отношение на ред или линеен ред на ако е свързано на , т.е. за всяко x, y от A
Отношение на реда, което не е линейно, обикновено се нарича отношение на частичен ред или частичен ред.
Примери. 1. Отношението „по-малко от“ върху множеството от реални числа е отношение от линеен ред.
2. Редът, възприет в речниците на руски език, се нарича лексикографски. Лексикографският ред на набора от думи в руския език е линеен ред.
Свойства на отношенията:
1) рефлексивност;
2) симетрия;
3) преходност.
4) свързаност.
Отношение Рна снимачна площадка Xнаречен отразяващ,ако за всеки елемент от множеството Xможем да кажем, че той е във връзка Рсъс себе си: XRx.Ако релацията е рефлексивна, тогава във всеки връх на графиката има цикъл. Обратно, граф, чийто всеки връх съдържа цикъл, е рефлексивна релационна графа.
Примери за рефлексивни отношения са отношението „кратно“ върху множеството от естествени числа (всяко число е кратно на себе си), и отношението на подобие на триъгълници (всеки триъгълник е подобен на себе си), и отношението на „равенство“ ( всяко число е равно на себе си) и т.н.
Има отношения, които нямат свойството рефлексивност, например отношението на перпендикулярност на сегментите: аб, ба(няма нито един сегмент, който може да се каже, че е перпендикулярен на себе си) . Следователно в графиката на тази връзка няма нито един цикъл.
Отношението „по-дълъг” за отсечки, „по-голям с 2” за естествени числа и т.н. няма свойството рефлексивност.
Отношение Рна снимачна площадка Xнаречен антирефлекс, ако за всеки елемент от множеството Xвинаги невярно XRx: .
Има връзки, които не са нито рефлексивни, нито антирефлексивни. Пример за такава връзка е връзката „точка Xсиметричен на точката приотносително прав л“, определени върху множество точки от равнината. Наистина, всички точки на една права линия лса симетрични на себе си и точки, които не лежат на права линия л,сами по себе си не са симетрични.
Отношение Рна снимачна площадка Xнаречен симетричен, ако е изпълнено условието: от факта, че елементът Xе във връзка с елемента г, следва, че елементът ге във връзка Рс елемент X:xRyyRx.
Графиката на симетрична връзка има следната характеристика: заедно с всяка стрелка, идваща от Xдо г, графиката съдържа стрелка, тръгваща от гдо X(фиг. 35).
Примери за симетрични отношения могат да бъдат следните: отношението на „успоредност” на отсечките, отношението на „перпендикулярността” на отсечките, отношението на „равенството” на отсечките, отношението на подобие на триъгълниците, отношението на „равенството” на дроби и др.
Има отношения, които нямат свойството симетрия.
Наистина, ако сегментът Xпо-дълъг от сегмента при, след това сегмента прине може да бъде по-дълъг от сегмента X. Графикът на тази връзка има една особеност: стрелката, свързваща върховете, е насочена само в една посока.
Отношение Рнаречен антисиметричен, ако за някакви елементи XИ гот истината xRyтрябва да е невярно yRx: : xRyyRx.
В допълнение към „по-дългата“ връзка, има други антисиметрични отношения на много сегменти. Например връзката „по-голямо от“ за числа (ако Xповече при, Това прине може да има повече X), отношението „повече за“ и т.н.
Има отношения, които нямат нито свойството симетрия, нито свойството антисиметрия.
Отношение R върху множество Xнаречен преходен,ако от този елемент Xе във връзка Рс елемент y,и елемент ге във връзка Рс елемент z, следва, че елементът Xе във връзка Рс елемент z: xRyИ yRzxRz.
Графика на транзитивна връзка с всяка двойка стрелки, идващи от Xдо ги от гдо z, съдържа стрелка, тръгваща от Xдо z.
Отношението „по-дълго“ върху набор от сегменти също има свойството транзитивност: ако сегментът Апо-дълъг от сегмента b, сегмент bпо-дълъг от сегмента с, след това сегмента Апо-дълъг от сегмента с.Отношението на „равенство“ върху набор от сегменти също има свойството на транзитивност: (а=b, b=c)(a=c).
Има отношения, които не притежават свойството преходност. Такава връзка е например връзката на перпендикулярност: ако сегмент Аперпендикулярна на сегмента b, и сегмента bперпендикулярна на сегмента с, след това сегментите АИ сне перпендикулярно!
Има друго свойство на отношенията, което се нарича свойство на свързаност, а отношение, което го притежава, се нарича свързано.
Отношение Рна снимачна площадка Xнаречен свързан,ако за някакви елементи XИ гот това множество е изпълнено следното условие: ако XИ гса различни, тогава или Xе във връзка Рс елемент г, или елемент ге във връзка Рс елемент X. С помощта на символи това може да се напише по следния начин: xyxRyили yRx.
Например отношението „по-голямо от“ за естествени числа има свойството на свързаност: за всякакви различни числа x и y може да се каже, или x>y, или y>x.
На графиката свързана връзкавсеки два върха са свързани със стрелка. Обратното твърдение също е вярно.
Има отношения, които нямат свойството на свързаност. Такава връзка, например, е връзката на делимост върху множеството от естествени числа: можем да назовем такива числа x и гкаквото и да е числото Xне е делител на число г, нито номер гне е делител на число X(числа 17 И 11 , 3 И 10 и т.н.) .
Нека да разгледаме няколко примера. На снимачната площадка X=(1, 2, 4, 8, 12)дадено е отношението “число”. Xкратно на числото г" Нека да построим графика на тази зависимост и да формулираме нейните свойства.
Отношението на равенство на дроби се нарича отношение на еквивалентност.
Отношение Рна снимачна площадка Xнаречен отношение на еквивалентност,ако едновременно притежава свойствата рефлексивност, симетрия и транзитивност.
Примерите за отношения на еквивалентност включват: отношения на равенство геометрични форми, връзката на паралелност на прави (при условие, че съвпадащите прави се считат за успоредни).
В отношението на „равенството на дробите“, обсъдено по-горе, множеството Xразделена на три подгрупи: ( ; ; }, {; } , (). Тези подмножества не се пресичат и обединението им съвпада с множеството X, т.е. имаме разделяне на множеството на класове.
така че ако релация на еквивалентност е дадена на множество X, тогава тя генерира разделяне на това множество на двойки несвързани подмножества - класове на еквивалентност.
Така установихме, че отношението на равенство на множеството
X=( ;; ; ; ; ) съответства на разделянето на това множество на класове на еквивалентност, всеки от които се състои от равни една на друга дроби.
Принципът за разделяне на набор на класове, използвайки някакво отношение на еквивалентност, е важен принципматематика. защо
Първо, еквивалент означава еквивалентен, взаимозаменяем. Следователно елементите от един и същ клас на еквивалентност са взаимозаменяеми. Така дроби, които са в един и същ клас на еквивалентност (; ; ), са неразличими от гледна точка на отношението на равенство и дроб може да се замени с друг, напр . И тази замяна няма да промени резултата от изчисленията.
Второ, тъй като класът на еквивалентност съдържа елементи, които са неразличими от гледна точка на някакво отношение, се смята, че класът на еквивалентност се определя от всеки от неговите представители, т.е. произволен елемент от класа. По този начин всеки клас от равни дроби може да бъде специфициран чрез посочване на всяка дроб, принадлежаща към този клас. клас на еквивалентност по един представител ви позволява да изучавате набор от представители от класове на еквивалентност вместо всички елементи на набора. Например връзката на еквивалентност „да имаш еднакъв брой върхове“, дефинирана върху набор от многоъгълници, генерира разделяне на този набор на класове от триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и т.н. свойствата, присъщи на определен клас, се разглеждат на един от неговите представители.
Трето, разделянето на набор на класове с помощта на релация на еквивалентност се използва за въвеждане на нови концепции. Например понятието „пакет от линии“ може да се дефинира като общото между успоредните линии.
Друг важен тип връзка е връзката на поръчката. Нека разгледаме проблема на снимачната площадка X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) връзката „имат същия остатък, когато са разделени на 3 " Тази връзка генерира дял на множеството Xв класове: всички числа ще попаднат в едно, когато се разделят на 3 се оказва остатъкът 0 (това са числа 3, 6, 9 ). Във втория - числа, когато се делят на 3 остатъкът е 1 (това са числа 4, 7, 10 ). Третият ще съдържа всички числа, които, когато са разделени на 3 остатъкът е 2 (това са числа 5, 8 ). Наистина, получените множества не се пресичат и обединението им съвпада с множеството X. Следователно връзката „има същия остатък, когато се дели на 3 “, определени на снимачната площадка X, е отношение на еквивалентност.
За да вземем друг пример, многото ученици в клас могат да бъдат подредени по височина или възраст. Обърнете внимание, че тази връзка има свойствата на антисиметрия и транзитивност. Или всеки знае реда на буквите в азбуката. Осигурява се от отношението „трябва“.
Отношение Рна снимачна площадка Xнаречен отношение на строг ред, ако едновременно притежава свойствата на антисиметрия и транзитивност. Например отношението " X< г».
Ако релацията притежава свойствата на рефлексивност, антисиметричност и транзитивност, тогава тя ще бъде такава нестрога връзка. Например отношението " Xг».
Примерите за порядъчни отношения включват: релацията „по-малко от“ на множеството от естествени числа, релацията „по-късо“ на множеството от сегменти. Ако едно отношение на реда също има свойството на свързаност, тогава се казва, че е такова връзка на линейния ред. Например отношението „по-малко от“ върху множеството от естествени числа.
много Xнаречен подреден,ако върху него е указано отношение на поръчка.
Например мн X={2, 8, 12, 32 ) могат да бъдат подредени с помощта на връзката „по-малко от“ (фиг. 41) или това може да се направи с помощта на връзката „множество“ (фиг. 42). Но тъй като са отношения на реда, отношенията „по-малко от“ и „кратно“ подреждат набора от естествени числа по различни начини. Отношението „по-малко от“ ви позволява да сравнявате произволни две числа от набор X, но отношението „множество“ няма това свойство. Добре, няколко числа. 8 И 12 не е свързано с отношението „множество“: не може да се каже, че 8 множество 12 или 12 множество 8.
Не трябва да се мисли, че всички отношения се делят на отношения на еквивалентност и отношения на ред. Има огромен брой отношения, които не са нито отношения на еквивалентност, нито отношения на ред.
Важен тип бинарни отношения- отношения на ред. Строга връзка на реда -бинарна връзка, която е антирефлексивна, антисиметрична и транзитивна:
обозначение - (Апредхожда б).Примерите включват
отношения „повече“, „по-малко“, „по-стари“ и др. За числата обичайната нотация е знаците "<", ">".
Нестрога връзка на реда -бинарна рефлексивна, антисиметрична и транзитивна връзка. Наред с естествените примери за нестроги неравенства за числа, пример може да бъде връзката между точки на равнина или пространство, „да бъде по-близо до началото на координатите“. Нестрогото неравенство за цели и реални числа може също да се разглежда като дизюнкция на отношенията на равенство и строг ред.
Ако спортен турнир не предвижда разделяне на местата (т.е. всеки участник получава определено, само яде/наградено място), тогава това е пример за строг ред; иначе не е строго.
Отношенията на реда се установяват върху множество, когато за някои или всички двойки от неговите елементи отношението
предимство . Извиква се задачата - за набор от някакво отношение на ред неговото "подреждане,и "самият комплект" в резултат на това става поръчан.Отношенията на реда могат да бъдат въведени по различни начини. За крайно множество всяка пермутация на неговите елементи „специфицира някои строг ред. Едно безкрайно множество може да бъде подредено по безкраен брой начини. Интерес представляват само тези подреждания, които имат смислено значение.
Ако за отношението на поръчката Рна снимачна площадка .Ми някои различни елементи поддържат поне една от връзките
aRbили bRaслед това елементите АИ bсе наричат сравним,иначе - несравним.
Напълно (или линейно) подредено множество М -
множество, на което е определено отношение на реда, и всеки два елемента от множеството Мсъпоставим; частично подреден набор- еднакви, но се допускат двойки несравними елементи.
Линейно подредено е множеството от точки на права с отношението „по-надясно“, множеството от цели числа, рационални числа, реални числа с отношението „по-голямо от“ и т.н.
Пример за частично подредено множество биха били триизмерни вектори, ако редът е даден по следния начин, ако
Тоест, ако приоритетът се извършва по трите координати, векторите (2, 8, 5) и (6, 9, 10) са сравними, но векторите (2, 8, 5) и (12, 7, 40) не са сравними. Този метод на подреждане може да се разшири до вектори с произволно измерение: вектор
предшества вектора if
И готово
Можем да разгледаме други примери за подреждане върху набора от вектори.
1) частична поръчка: 
, Ако
Тези. по дължина на вектора; вектори с еднаква дължина са несравними.
2) линеен ред: 
, Ако а
Последният пример въвежда концепцията за азбучен ред.
Азбукае набор от двойки различни знаци, наречени букви от азбуката. Пример за това е азбуката на който и да е европейски език, както и азбуката от 10 арабски цифри На компютъра клавиатурата и някои помощни инструменти определят азбуката на валидните знаци.
Дума в азбукатаА -кортеж от азбучни знаци А.Думата се изписва с азбучен ред, отляво надясно, без интервали Естествено числое дума в цифровата азбука. Формулата не винаги е дума поради нелинейното подреждане на символите, наличието на горни индекси (експоненти) и долни индекси (индекси на променливи, основи на логаритми) символи, дробна черта, радикални знаци и др. ; въпреки това, според някои конвенции той може да бъде записан в низ, който се използва например в компютърното програмиране (например знакът за степенуване се записва като 2 знака за умножение в един ред: 5**3 означава третата степен на номер 5.
Лексикографско (азбучно) подреждане -за различни думи в азбуката с подредени
символите определят реда: , ако
възможно представяне 
, при което или
(поддумата може да е празна), или - празна поддума
В тази дефиниция - префикс (начална поддума), който е еднакъв и за двете думи - или първите отляво са различни
знаци, или - последния знак в думата - опашка
поддуми.
По този начин азбучното подреждане на думите се определя от първия символ отляво, който ги отличава (например думата KONUS предшества думата COSINE, защото те първо се различават в третата буква, а N предхожда S в руската азбука). Счита се също, че интервалът предхожда всеки знак от азбуката - за случая, когато една от думите е префикс на друга (например CON и CONE)
Упражнение.Проверете дали подреждането по азбучен ред на естествените числа, които имат еднакъв брой десетични знаци, съвпада с подреждането им по големина.
Нека А -частично подреден набор. Елементът се нарича максимум V а,ако няма елемент, за който А< b. елемент Анаречен най-големият V а,ако за всеки различен от Аелемент завършен b<а-
Определя се симетрично минимален и най-малъкелементи. Понятията най-голям и максимален (съответно най-малък и минимален) елементи са различни – вж. пример на фиг. 14. Комплектът на фиг. 14,а има най-големия елемент п,това е и максимумът, има два минимални елемента: s и t,няма най-малък. На фиг. 14b, напротив, има множество с два максимални елемента / и j,няма най-голям, минимален, известен още като най-малък - един: Т.
По принцип, ако едно множество има най-големия (съответно най-малкия) елемент, то има само един (може и да няма).
Може да има няколко максимални и минимални елемента (може и да няма изобщо - в безкрайно множество; в краен случай - трябва да има).
Нека разгледаме още два примера. - отношение върху множество Н:
„Йразделя X",или „Хе делител на число Y"(Например,
) е рефлексивен и преходен. Нека го разгледаме върху краен набор от делители на числото 30.
Връзката е релация на частичен ред (нестрога)
и се представя от следната матрица от порядък 8, съдържаща 31 знака
Съответната верига с 8 върха трябва да съдържа 31 връзки. . Въпреки това ще бъде по-удобно за гледане, ако изключим 8
конективи-примки, изобразяващи рефлексивността на отношението (диагонални елементи на матрицата) и преходни конективи, т.е. връзки
Ако има междинно число Z такова, че
(например съединителната тъй като). След това в схемата
12 връзки ще останат (фиг. 15); липсващите връзки се подразбират "чрез транзитивност". Числото 1 е най-малкото, а числото 30
най-големите елементи в . Ако изключим от числото 30 и
разгледайте същия частичен ред на множеството, тогава
няма максимален елемент, но има 3 максимални елемента: 6, 10, 15
Сега нека изградим същата верига за релация на булево
(множеството от всички подмножества) на множество от три елемента
Съдържа 8 елемента:
Проверете дали отговаряте на елементите а, б, в,съответно числата 2, 3, 5 и операциите за комбиниране на множества са умножение на съответните числа (т.е. например подмножеството съответства
продукт 2 5 = 10), тогава релационната матрица ще бъде точно такава
същото като за връзката; диаграми на тези две връзки с описаните
съкращенията на циклите и преходните съединители съвпадат до нотация (виж фиг. 16). Най-малкият елемент е
И най-великият -
Бинарни отношения Рна снимачна площадка АИ Сна снимачна площадка INсе наричат изоморфен,ако между А и Бвъзможно е да се установи едно-към-едно съответствие Г, в което, ако (т.е.
елементите са във връзка R),след това (изображения
тези елементи са във връзка S).
По този начин частично подредените множества са изоморфни.
Разгледаният пример дава възможност за обобщение.
Булева релация е частичен ред. Ако
Тези. много дсъдържа пелементи, след това всеки
съответства на подмножеството п-размерен вектор с
компоненти , където е характеристичната функция
набор A/ . Наборът от всички такива вектори може да се разглежда като набор от точки п-мерно аритметично пространство с координати 0 или 1, или, с други думи, като върхове п-измерителен
единичен куб, означен с , т.е. куб с ръбове с единична дължина. За n = 1, 2, 3 посочени точки представляват съответно краищата на отсечка, върховете на квадрат и куб - оттук и общоприетото име. За /7=4, графично представяне на тази връзка е на фиг. 17. Близо до всеки връх на 4-измерен куб съответният
подмножество от 4-елементно множество и четириизмерно
вектор, представящ характеристичната функция на това подмножество. Върховете, съответстващи на подмножества, които се различават по наличието на точно един елемент, са свързани помежду си.
На фиг. 17 е изобразен четириизмерен куб по такъв начин, че на една
ниво, несравнимите елементи са разположени по двойки, съдържащи еднакъв брой единици в записа (от 0 до 4), или, с други думи, еднакъв брой елементи в представените подмножества.
На фиг. 18а, b - други визуални изображения на 4-измерен куб;
на Фиг. 18а оста на първата променлива ОХнасочен нагоре (умишлено отклонение от вертикалата, така че различните ръбове на куба да не се сливат):
в този случай триизмерният подкуб, съответстващ на X= 0 се намира отдолу, а за X= 1 - по-високо. На фиг. 186 същата ос ОХнасочен от вътрешната страна на куба навън; вътрешният подкуб съответства на X= О, и външната е X = 1.
IN 
Файлът с материали показва изображение на 5-измерен единичен куб (стр. 134).
2) релация върху множеството X се нарича релация строго по ред, ако е антисиметричен и транзитивен. Отношението се нарича антисиметричен, ако от факта, че a е по отношение на c в не следва, че b е по отношение на a (a, в ∈ X, и R в → в R a) R – да бъде във връзка.Отношението се нарича преходен, ако за произволни елементи a, b, c от факта, че a R in и в R c → че a R c, a, b, c ∈ X. Например: отношението „повече, по-малко“. Извиква се множество, върху което е дефинирана строга релация на ред поръчанмного.
3) релация върху множеството X се нарича релация не в строг ред, ако е рефлексивен, асиметричен и преходен. Например: отношение ≥ ≤. Ако едно отношение на реда има свойството на свързаност, тогава се казва, че е отношение линеен ред. Отношението се нарича свързанивърху множеството X, ако за произволни елементи x и y е изпълнено следното условие: от това, че x ≠ y следва, че x R y или y R x. Ако връзката на линейния ред е дадена на набор, тогава тя линейно подрежда дадения набор.
5. Множеството от реални числа. Неговите свойства. Разширяването на набора от рационални числа беше водено от необходимостта да се измерват дължините на сегменти, площи и т.н. В основата на всяко измерване е същият принцип: измерваният обект се сравнява с еталон (обект или явление), чиято стойност има числова стойност, равна на 1, но единичният сегмент не винаги е вграден в измервания обект. Следователно при измерването се правят 2 допускания, които в математиката се определят като аксиоми: 1) Единичен стандарт може да бъде разделен на произволен брой равни дялове или части. 2) Избраният стандарт може да се използва за измерване на всеки обект с големина, колкото желаете. За сегментите тези аксиоми са формулирани от Архимед: Без значение колко малък е сегментът AB и колкото и голям да е сегментът CD, има естествено число N, такова че N*AB>CD, ако измереният сегмент CD съдържа равно брой отсечки AB, тогава дължината на отсечката CD се изразява като естествено число. Ако в измерената отсечка CD отсечката AB е поставена неравен брой пъти, то AB се разделя на 10 еднакви отсечки, наречени десети от стандартите. Ако е необходимо, една десета може да се раздели на 10 равни части и т.н. Ако равното число 10, 100 и т.н. се вписва в сегмента CD. части от отсечки AB, тогава дължината на отсечката CD се изразява с рационално число. Дължината на сегмента обаче не винаги може да бъде изразена като естествено или рационално число. Има несъизмерими сегменти, т.е. отсечки, чиято дължина не е изразена с рационално число. (теореми вижте въпрос 32)
Числата, които могат да бъдат представени като безкрайни десетични непериодични дроби, се наричат ирационални. Обединението на множеството от рационални числа и множеството от ирационални числа е множеството от реални числа ().
Свойства на множеството от реални числа. 1). Множеството от точки на числовата права е равно на множеството от реални числа.
0 M 1 Вземете всяка точка M от отсечката от 0 до 1,
D начертайте полукръг с център в
Средната точка на този сегмент и радиуса
K O S равно на половината от него. Нека начертаем перпендикуляр от М, докато се пресече с полуокръжността. Получаваме D. Тази точка е уникална, тъй като полуокръжността и правата се пресичат само в една точка. От средата на този сегмент начертайте права линия през D, докато се пресече с числовата ос. Получаваме K, което се определя по уникален начин, тъй като правите се пресичат само в една точка. Избирайки друга произволна точка от даден сегмент и повтаряйки целия процес, получаваме, че всяка точка от сегмента от 0 до 1 съответства на една точка от числовата ос. Разсъждавайки в обратен ред, можем да покажем, че всяка точка от числовата права също съответства на една точка от 0 до 1. Ако произволна точка E принадлежи на числовата права, тогава през точките M и E може да се начертае само една права който пресича полукръга. От полукръг можете да спуснете перпендикуляр към даден сегмент. Така между точките на отсечката от 0 до 1 и точките на числовата права се установява взаимно идентично преобразуване, т.е. те са еднакво мощни.
2) множеството от реални числа не е изброимо, т.е. не е равно на множеството от естествени числа.
3). Наборът от реални числа е непрекъснат набор. Непрекъснатостта на набора от реални числа е, че между всеки две реални числа има безкраен набор само от реални числа
6. Разделяне на множество на класове. Примери за класификация. Отношение на еквивалентност, неговите свойства. Връзката между релацията на еквивалентност и разделянето на множество на класове.
- Нека разгледаме един пример. Нека е дадено множество M (множество от изпъкнали многоъгълници), образуваме всички подмножества на това множество: A 1 – множество от триъгълници; A2 – набор от четириъгълници; A3 – набор от петоъгълници; Ak е набор от k-ъгълници. Счита се, че множество M е разделено на класове, ако са изпълнени следните условия:
- всяко подмножество A не е празно
- пресечната точка на всеки две подмножества е празното множество
обединението на всички подмножества е даденото множество M Разделянето на набор на класове се нарича.
класификацияОтношение на множеството X се нарича еквивалент , ако е рефлексивен, симетричен и преходен. Отношението се наричаотразяващ симетричен, ако за всеки два елемента от множеството X (a и b) от факта, че a е във връзка с b, ще следва, че b е във връзка с a (a, b ∈ X и R b → в R а). Отношението се нарича преходен, ако за всякакви елементи a, b, c от факта, че a R в и в R c → че a R c, a, b, c ∈ X. На графиката на отношенията на еквивалентност има цикли, взаимно обратни стрелки и триъгълник стрелки. Отношението на еквивалентност и само то е свързано с разделянето на множество на класове. Това твърдение може да се формулира като теореми: Ако отношението на еквивалентност е определено за множество X, тогава това отношение разделя множеството X на класове и обратно, ако множеството X е разделено на класове, тогава отношението на еквивалентност е изпълнено върху даденото множество. например. Нека се даде отношението - да живеем в една къща. Нека покажем, че наборът от обитатели в къщата ще бъде разделен на класове. И всеки клас е отделен апартамент. За това разделение всички ще бъдат изпълнени необходими условияразделяне на множество на класове: а) всеки клас не е празен, т.к във всеки апартамент е регистриран поне 1 човек, б) класовете не се припокриват (1 човек не е регистриран в два различни апартамента), в) обединението на всички класове, т.е. обитатели на всеки апартамент и съставлява съвкупността от обитатели на къщата.
18 . Теоретико-множествен подход за изграждане на теорията на неотрицателните цели числа. Отношения на равенство, повече (по-малко). Две множества A и B се наричат еквивалентни или еднакво силни, ако между тях може да се установи едно-към-едно съответствие, т.е. ако всеки елемент от множество A е свързан с един елемент от множество B и обратно. Степен или кардинално число е свойство, което е присъщо на всяко множество B, което е еквивалентно на множество A и не е присъщо на друго множество, което не е равно на множество A. A~B n (A) = a е степен. Отношението на равна мощност е отношение на еквивалентност, т.е. за него са изпълнени свойствата рефлексивност, симетрия и транзитивност. Отношението на еквивалентност разделя множеството от всички множества на класове на еквивалентност. За да дефинирате концепцията за естествено число и нула, разгледайте разделянето на всички крайни множества.
Нека M е множеството от всички крайни множества. M = K 0 Ka Kv, където Ko е класът на празните множества, Ka е множество, съдържащо равни множества a 1, a 2, a 3 и т.н., Kv е множество. Съдържащи набори с еднаква кардиналност в 1, в 2, в 3 и т.н. Множеството M може също да съдържа други подмножества K от различно естество, които се състоят от множества с еднаква мощност. Общото за всеки клас на еквивалентност K е, че те се състоят от еднакъв брой елементи; От гледна точка на теорията на множествата неотрицателното цяло число е общо свойство на класа от крайни множества с еднаква кардиналност. Естественото число е общо свойство на класа от непразни крайни множества с еднаква мощност. На всеки клас се присвоява кардинален номер (кардиналност). На класовото празно множество се присвоява координатно число 0. На класа, състоящ се от множества, които имат 1 елемент, се присвоява номер 1. На клас, състоящ се от множества с 2 елемента, се присвоява номер 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Отношение на равенство. Неотрицателните цели числа a и b се наричат равни, ако множествата A и B, чийто брой изразяват, са равни (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( A)=n(B) a=c).
Теорема: отношението на равенство в множеството от неотрицателни цели числа е отношение на еквивалентност. Доказателство. Нека докажем, че отношението на равенство има свойствата симетрия, транзитивност и рефлексивност.
защото свойствата рефлексивност, симетрия и транзитивност са удовлетворени, тогава отношението на равенство е отношение на еквивалентност.
Съотношението е по-малко. Неотрицателно цяло число a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Теорема: отношението по-малко от в множеството от неотрицателни цели числа е отношение със строг ред. Доказателство: Нека докажем, че отношението по-малко има свойствата на антисиметрия и транзитивност. C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Събиране и изваждане в количествената теория на целите неотрицателни числа. Техните свойства. Сумадве цели неотрицателни числа a и b се нарича цяло неотрицателно число c, което е мощността на обединението на две несвързани множества A и B, чиито мощности са съответно равни на a и b. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B). Свойства на добавянето. 1. Добавяне в набор от неотрицателни цели числа винаги съществува и се дефинира по уникален начин. Нека докажем, че сумата винаги съществува. Да разгледаме A и B, така че тяхното пресичане е празното множество и броят на елементите на A е a, а кардиналността на B е b. нека намерим обединението на A и B. Тъй като обединението на две несвързани множества винаги съществува, това означава, че сборът също съществува, а от дефиницията на сбора следва, че събирането винаги съществува. Нека докажем, че сумата се определя по уникален начин. Има C 1 и C 2 – цели неотрицателни числа. C 1 = a + b и C 2 = a + b. Сумата на числата a и b не зависи от това кои множества A и B сме избрали от класа на множествата с еднаква степен и следователно обединението на A и B, взето от класа на множествата с еднаква степен, не зависи от избора на множества A и B, тъй като мощността във всеки клас е еднаква, тогава C 1 = C 2. 2. Комутативно събиране. За всяко неотрицателно число a и b е в сила свойството a+b=b+a. От теорията на множествата знаем, че за АУВ = ВУА. Ако наборите са равни, техните числени стойности са равни. n(АУВ)=n(ВУА). От теорията на множествата знаем, че силата на един съюз е равна на сбора от мощностите. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Свойство на асоциативност. За всякакви числа a, b, c е валидно следното свойство: a+(b+c)=(a+b)+c. От теорията на множествата е известно, че за обединяване на множества е изпълнено свойството за асоциативност: АU(ВУС)=(АУВ)UC, ако множествата са равни, то техните числени стойности са равни, n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC). От теорията на множествата е известно, че силата на един съюз е равна на сумата от мощностите на тези множества, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. По разликанеотрицателни цели числа a и b се нарича неотрицателно цяло число c, което е степента на допълнението на множеството B към множеството A, така че B принадлежи на A, n(A)=a, n(B) =б. Свойства на разликата. 1. За да съществува разликата на целите неотрицателни числа, е необходимо и достатъчно a да е по-голямо или равно на b. Нека докажем: 1) достатъчно условие за наличие на различие. Дадено е: a - b = c, докажете: a c. От дефиницията на разликата следва, че има допълнение на множество B към множество A и това допълнение има мощност, което може да се намери от равенството, известно от теорията на множествата. n() = n(A)-n(B). От факта, че B е подмножество на A, следва, че броят на елементите в B е по-малък от броя на елементите на A. n (B) 2). Необходимо условие. Като се има предвид c. докажете съществуването на разлика (a-c). Ако a>b, по дефиницията на връзката „по-малко от“, има набор A 1 такъв, че A 1 е включен в A и A 1 ~B. Нека направим разликата между A и A 1. Тази разлика винаги съществува (A - A 1 = C) и следователно съществува C, което е тази разлика. От тези условия следва, че C е допълнението на A 1 към A. C = 1A Степента на C е степента на допълнението на A 1 към A. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1), тъй като A 1 ~ B, тогава n(A 1)=n(B), следователно n(C)=n(A)-n(B), следователно c=a-b. 2. Разликата на неотрицателните цели числа се намира по уникален начин, тъй като разликата е степента на допълнението на подмножествата към набор, а допълнението се определя по уникален начин, тогава разликата на неотрицателните цели числа е определени по уникален начин. 3. Свойствата комутативност и асоциативност не са изпълнени за изваждане. 4. Изваждане на сума от число. a-(b+c)=(a-c)-c. От теорията на множествата е известно A\(BUC)=(A\B)\C, и B Ì A; S Ì A; БУСКА. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Изваждане на число от разликата (a-c)-c=(a-c)-c. Доказателството се основава на свойството на разликата на множества (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Изваждане на число от сбора (a+b)-c=(a-c)+c. Доказателството се базира на свойството на множествата (АУВ)\С=(А\С) УВ. Свойства на числовите функции. 1. Всяка функция има дефиниционна област и набор от стойности. 2. Функцията може да бъде нарастваща или намаляваща. Казва се, че функция нараства в интервала a b, ако за всяко x1 и x2 x1 > x2 следва f (x1) > f (x2). Функция се нарича намаляваща на интервала a b, ако за всеки x1 и x2 от този интервал, от факта, че x1 > x2 следва f (x1) Дори не дори< f (x0). В практиката често срещаме функции, които не са нито четни, нито нечетни. 7. дадена функция може да има точки на прекъсване, т.е. тези стойности на променливата x, в които y не съществува (функции на обратната пропорционалност). y = ,ако x = 0 Търсене в сайта: Деактивирайте adBlock!
7. Концепцията за кортеж от подредена двойка. Декартово произведение на множества и неговите свойства. Броят на елементите в конкретно произведение на множества. За да въведете концепцията за декартово произведение на множества, разгледайте концепцията кортеж. Това понятие, подобно на понятието множество, е основно неопределено понятие. За кортеж редът на елементите е важен. Елементите в кортежа могат да се повтарят. Броят на елементите в даден кортеж се нарича неговата дължина. Кортеж с дължина 2 се нарича подредена двойка. Картата е обозначена с () или< >. × е обозначение за декартово произведение на множества. (a,b,a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Декартово произведение на множества A и B е множество, състоящо се от всички подредени двойки, в които първият компонент е елемент от първото множество, а вторият компонент е елемент от второто множество. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) Свойство на декартовото произведение на множествата (DPM). DPM няма свойството комутативност и асоциативност: A×B≠B×A. Разпределителните свойства на DPM са изпълнени: 1) по отношение на обединението на множества A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) по отношение на пресечната точка на множества A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). За да намерите броя на елементите в DP в две или повече групи, трябва да знаете броя на елементите във всяка група. Ако броят на елементите е n. Ако n(A)=n и n(B)=m, тогава n(A×B)=n*m. Нека A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Нека съставим DPM A и B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) Във всеки ред има em-двойки, такива редове en, това означава, че общият брой изброени елементи е em на en двойки, следователно броят на елементите в DPM A и B е равен на произведението на броя на елементите в набор A и броя на елементите в комплект B. 8. Концепцията за съответствие между множества. Методи за определяне на съответствието. Видове кореспонденции. Съответствието ef между елементите на множествата X и Y се нарича тройка множества (X;U; G f (ji от ef), ji от ef е подмножество на DP (декартово произведение). Множеството X се нарича областта на заминаване, множеството Y се нарича област на пристигане ji от ef - се нарича графика на това съответствие. Областта на определяне на съответствието ef е множеството от тези елементи на първото множество (т.е. област на заминаване) към. на които съответстват елементите от второто множество (т.е. множеството от стойности на съответствието ef е множеството от елементи на района на пристигане, които са присвоени в съответствие с някои елементи от зоната на заминаване). Методи за уточняване на съответствия: изброяване на неговите елементи, използване на графика, използване на графика, използване на таблица, устно, алгебрично, т.е. уравнение, неравенство. Видове кореспонденции. Съответствията се наричатнавсякъде определени , ако областта на изпращане съвпада с тази на дефиницията. В графиката на такова съответствие поне една стрелка се отклонява от всеки елемент от първия набор. Съответствие се нарича, ако неговият набор от стойности съвпада с региона на пристигане. В графика на такова съответствие поне 1 стрелка съответства на всеки елемент от 2-ро множество. Съответствие се нарича инжективен, ако няма различни елементи от 1-вото множество, съответстващо на същия елемент от 2-рото множество. В графика на такова съответствие нито един елемент от 2-рото множество не отговаря на повече от 1 стрелка. Съответствие се нарича функционален, ако всеки елемент от 1-вото множество съответства на не повече от 1 елемент от 2-рото множество. На графика на такова съответствие, ако има само 1 стрелка, излизаща от всеки елемент от 1-вото множество. Функционална кореспонденция се нарича функция. Сред всички функционални съответствия има универсално определящи съответствия, които се наричат дисплей. Съответствие се нарича едно към едно, ако са изпълнени следните условия: 1) всеки два различни елемента от множеството X съответстват на различни елементи от множеството Y, 2) всеки елемент от множеството Y съответства на поне един елемент от множеството X. Две съответствия между множества X и Y се наричат противоположност, ако техните графики взаимно допълват декартовото произведение на X и Y. Съответствието се нарича обратенкъм дадено съответствие, ако дадено съответствие е валидно тогава и само ако е валидно обратното. Ако дадено съответствие е подмножество на декартовото произведение на множествата X и Y, тогава обратното съответствие е подмножество на декартовото произведение на множествата X и Y. За да се получи обратното съответствие на даденото. На неговата графика е необходимо да промените посоката на стрелките.
9.Функционално съответствие. Свойства на числовите функции. Съответствие се нарича функционален, ако всеки елемент от 1-вото множество съответства на не повече от 1 елемент от 2-рото множество. На графика на такова съответствие, ако има само 1 стрелка, излизаща от всеки елемент от 1-вото множество. Функционално съответствие, дефинирано върху числово множество, се нарича числово функция.< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
2015-2020 уебсайт - Контакти - Последно допълнение
наистина необходимо
