Теореми за „най-голямото” и „най-малкото” цели числа
Теорема 4 (за „най-малкото“ цяло число). Всеки непразен набор от цели числа, ограничен отдолу, съдържа най-малкото число. (Тук, както в случая с естествените числа, се използва думата „множество“ вместо думата „подмножество“ E
Доказателство. Нека O A C Z и A са ограничени отдолу, т.е. 36? ZVa? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Нека сега b A.
След това Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >ОТНОСНО).
Нека образуваме множество M от всички числа от формата a - b, където a преминава през множеството A, т.е. M = (c [ c = a - b, a E A)
Очевидно множеството M не е празно, тъй като A 74 0
Както беше отбелязано по-горе, M C N. Следователно по теоремата за естествените числа (54, гл.III) в множеството M има най-малкото естествено число m. Тогава m = a1 - b за някое число a1? A, и тъй като m е най-малкото в M, тогава Ua? A(t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Теорема 5 (за „най-голямото” цяло число). Всеки непразен ограничен набор от цели числа съдържа най-голямото число.
Доказателство. Нека O 74 A C Z и A са ограничени отгоре с числото b, т.е. ? ZVa и A(a< Ь). Тогда -а >b за всички числа a? А.
Следователно множеството M (с r = -a, a? A) не е празно и е ограничено отдолу с числото (-6). Следователно, съгласно предишната теорема, най-малкото число се среща в множеството M, т.е. асо? МУ? Г-ца< с).
Това означава ли Wah? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >а)
З. Различни формиметод на математическа индукция за цели числа. Теорема за деление с остатък
Теорема 1 (първа форма на метода на математическата индукция). Нека P(c) е едноместен предикат, дефиниран върху множеството Z от цели числа, 4. Тогава, ако за някакво ЧИСЛО a Z предложението P(o) и за произволно цяло число K > a от P(K) следва P(K -4- 1), тогава предложението P(r) е валидно за всички цели числа, t числа c > a (т.е. следната формула за изчисляване на предикатите е вярна в множеството Z:
Р(а) лък > + 1)) Ус > аР(с)
за всяко фиксирано цяло число a
Доказателство. Нека всичко казано в условията на теоремата е вярно за изречението P (c), т.е.
1) P(a) - вярно;
2) UK Shch k + също е вярно.
От обратното. Да предположим, че има такова число
b > a, че RF) е невярно. Очевидно b a, тъй като P(a) е вярно. Нека формираме множеството M = (z ? > a, P(z) е невярно).
Тогава множеството M 0, тъй като b? M и M- са ограничени отдолу с числото a. Следователно, съгласно теоремата за най-малкото цяло число (теорема 4, 2), в множеството M има най-малко цяло число c. Следователно c > a, което от своя страна предполага c - 1 > a.
Нека докажем, че P(c-1) е вярно. Ако c-1 = a, тогава P (c-1) е вярно по силата на условието.
Нека c- 1 > a. Тогава предположението, че P(c- 1) е невярно, води до принадлежност към 1? M, което не може да бъде, тъй като числото c е най-малкото в множеството M.
Следователно c - 1 > a и P(c - 1) е вярно.
Следователно, по силата на условията на тази теорема, изречението P((c- 1) + 1) е вярно, т.е. R(s) - вярно. Това противоречи на избора на число c, тъй като c? M Теоремата е доказана.
Обърнете внимание, че тази теорема обобщава следствие 1 от аксиомите на Пеано.
Теорема 2 (втора форма на метода на математическата индукция за цели числа). Нека P(c) е някакъв едноместен предикат, дефиниран върху множеството Z от цели числа. Тогава, ако предложението P(c) е валидно за някакво цяло число K и за произволно цяло число s K от валидността на предложението P(c) За всички цели числа, удовлетворяващи неравенството K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >ДА СЕ.
Доказателството на тази теорема до голяма степен повтаря доказателството на подобна теорема за естествените числа (теорема 1, 55, глава III).
Теорема 3 (трета форма на метода на математическата индукция). Нека P(c) е едноместен предикат, дефиниран върху множеството Z от цели ЧИСЛА. Тогава, ако P(c) е вярно за всички числа от някакво безкрайно подмножество M на множеството от естествени числа и за произволно цяло число a, истинността на P(a) предполага истинността на P(a - 1), тогава предложението P(c) е валиден за всички цели числа.
Доказателството е подобно на доказателството на съответната теорема за естествените числа.
Предлагаме го като интересно упражнение.
Имайте предвид, че на практика третата форма на математическа индукция е по-рядко срещана от останалите. Това се обяснява с факта, че за прилагането й е необходимо да се познава безкрайното подмножество M на множеството от естествени числа, което се обсъжда в теоремата. Намирането на такъв комплект може да бъде трудна задача.
Но предимството на третата форма пред останалите е, че с нейна помощ твърдението P(c) може да бъде доказано за всички цели числа.
По-долу предоставяме интересен примерприлагане на третата форма." Но първо, нека дадем една много важна концепция.
Определение. Абсолютната стойност на цяло число a е число, определено от правилото
0, ако a O a, ако a > O
И, ако a< 0.
Така, ако 0, тогава ? Н.
Каним читателя, като упражнение, да докаже следните свойства с абсолютна стойност:
Теорема (за делението с остатък). За всякакви цели числа a и b, където b = 0, съществува и освен това само една двойка числа q U m, така че a r: bq + T L D.
Доказателство.
1. Наличие на двойка (q, m).
Нека a, b? Z и 0. Нека покажем, че има двойка числа q и отговарящи на условията
Провеждаме доказателството чрез индукция в трета форма върху числото a за фиксирано число b.
M = (mlm= n lbl,n? N).
Очевидно е, че M C е преобразуване f: N M, дефинирано от правилото f(n) = nlbl за всяко n? N, е биекция. Това означава, че M N, т.е. М- безкрайно.
Нека докажем, че за произволно число a? Твърдението M (и b-фиксирано) на теоремата за съществуването на двойка числа q и m е вярно.
Наистина, нека a (- M. Тогава a pf! за някои n? N.
Ако b > 0, тогава a = n + O. Сега задавайки q = n и m O, получаваме търсената двойка числа q и m, ако b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Нека сега направим едно индуктивно предположение. Да приемем, че за произволно цяло число c (и произволно фиксирано b 0) твърдението на теоремата е вярно, т.е. има двойка числа (q, m), така че
Нека докажем, че е вярно и за числото (с 1). От равенството c = bq -4- следва, че bq + (m - 1). (1)
Може да има случаи.
1) m > 0. Тогава 7" - 1 > 0. В този случай, поставяйки - m - 1, получаваме c - 1 - bq + Tl, където двойката (q, 7"1,) очевидно удовлетворява условието
0. Тогава c - 1 bq1 + 711 , където q1
Лесно можем да докажем, че 0< < Д.
По този начин твърдението е вярно и за двойка числа
Първата част на теоремата е доказана.
П. Уникалност на двойката q и др.
Да предположим, че за числата a и b 0 има две двойки числа (q, m) и (q1, тогава, отговарящи на условията (*)
Нека докажем, че те съвпадат. Така че нека
и bq1 L O< Д.
Това означава, че b(q1 -q) m- 7 1 1. От това равенство следва, че
Ако сега приемем, че q ql, тогава q - q1 0, откъдето lq - q1l 1. Умножавайки тези неравенства член по член по числото lbl, получаваме φ! - q11 D. (3)
В същото време от неравенствата 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Упражнения:
1. Попълнете доказателствата на теореми 2 и 3 от 5 1.
2. Докажете следствие 2 от теорема 3, 1.
3. Докажете, че подмножеството H C Z, състоящо се от всички числа на формата< п + 1, 1 >(n? N), затворен за събиране и умножение.
4. Нека H означава същото множество като в упражнение 3. Докажете, че отображението ј : M удовлетворява условията:
1) ј - биекция;
2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) и j(nm) = ј(n) j(m) за всякакви числа n, m (т.е. ј осъществява изоморфизъм на алгебрите (N , 4 и (Н, + ,).
5. Завършете доказателството на теорема 1 от 2.
6. Докажете, че за всякакви цели числа a, b, c са валидни следните импликации:
7. Докажете втората и третата теорема от Z.
8. Докажете, че пръстенът Z от цели числа не съдържа делители на нула.
Литература
1. Бурбаки Н. Теория на множествата. М.: Мир, 1965.
2. Виноградов И. М. Основи на теорията на числата. М.: Наука, 1972. З. Демидов И. Т. Основи на аритметиката. М.: Учпедгиз, 1963.
4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основи на теорията на групите.
М.: Наука, 1972.
5. Кострикин А.И. Въведение в алгебрата. М.: Наука, 1994.
b. Куликов Л. Я. Алгебра и теория на числата. М.: По-високо. училище, 1979г.
7. Курош А.Г. Курс по висша алгебра. М.: Наука, 1971.
8. Любецки В. А. Основни понятия на училищната математика. М.: Образование, 1987.
9. Ляпин ЕС. и други. Упражнения по теория на групите. М.: Наука, 1967.
10. Малцев А.И. Алгебрични системи. М.: Наука, 1970.
11. МенДелсън Е. Въведение в математическата логика. М.: Наука, 1971.
12. Нечаев V.I. М.: Образование, 1975.
13. Новиков П.С. Елементи на математическата логика. М. Наука, 1973.
14. Петрова В. Т. Лекции по алгебра и геометрия.: На 2 часа.
CHL. М.: Владос, 1999.
15. Съвременни основиучилищен курс по математика Автор. Кол.: Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Каллцнин Л.А., Столяр А.А. М.: Образование, 1980.
16. Скорняков Л. А. Елементи на алгебрата. М.: Наука, 1980.
17. Стом Р.Р. Множество, логика, аксиоматични теории. М.; Просвещение, 1968г.
18. Столяр А. А. Логическо въведение в математиката. Минск: НАЙ-ВИСОКИ. училище, 1971г.
19. Филипов В.П. Алгебра и теория на числата. Волгоград: ВГПИ, 1975.
20. Френкел А., Бар-Хилел И. Основи на теорията на множествата. М.: Мир, 1966.
21. Fuchs L. Частично подредени системи. М.: Мир, 1965.
Учебно издание Изд
Владимир Константинович Карташов
НАЧАЛЕН КУРС ПО МАТЕМАТИКА
Редакционна подготовка от О. И. Молоканова Оригиналното оформление е изготвено от А. П. Бощенко
„PR 020048 от 20.12.96 г
Подписан за печат 28 август 1999 г. Формат 60х84/16. Офис печат Бум. Тип. М 2. Уел. фурна л. 8.2. Академично изд. л. 8.3. Тираж 500 бр. Поръчай 2
Издателство "Перемена"
За държавен изпит по спец
1. Линейно (векторно) пространство над полето. Примери. Подпространства, най-прости свойства. Линейна зависимост и независимост на векторите.
2. Базис и размерност на векторното пространство. Координатна матрица на векторна система. Преход от една основа към друга. Изоморфизъм на векторни пространства.
3. Алгебрична затвореност на полето от комплексни числа.
4. Пръстен от цели числа. Подреждане на цели числа. Теореми за „най-голямото” и „най-малкото” цели числа.
5. Група, примери за групи. Най-простите свойства на групите. Подгрупи. Хомоморфизъм и изоморфизъм на групите.
6. Основни свойства на делимост на цели числа. Прости числа. Безкрайността на множеството прости числа. Канонично разлагане на съставно число и неговата уникалност.
7. Теорема на Кронекер-Капели (критерий за съгласуваност на система от линейни уравнения).
8. Основни свойства на сравненията. Пълни и редуцирани системи от извадки по модул. Пръстен от клас модулно остатък. Теореми на Ойлер и Ферма.
9. Приложение на теорията на сравненията за извеждане на критерии за делимост. Преобразуване на дроб в десетичен знак и определяне на дължината на нейния период.
10. Съпряжение на въображаеми корени на полином с реални коефициенти. Нередуцируеми над поле реални числаполиноми.
11. Линейни сравнения с една променлива (критерий за разрешимост, методи за решаване).
12. Еквивалентни системи линейни уравнения. Метод за последователно елиминиране на неизвестни.
13. Пръстен. Примери за пръстени. Най-простите свойства на пръстените. Подпръстен. Хомоморфизми и изоморфизми на пръстени. Поле. Примери за полета. Най-простите свойства. Минималност на полето на рационалните числа.
14. Естествени числа (основи на аксиоматичната теория на естествените числа). Теореми за “най-големите” и “най-малките” естествени числа.
15. Полиноми над поле. Теорема за деление с остатък. Най-големият общ делител на два многочлена, неговите свойства и методи за намиране.
16. Бинарни отношения. Отношение на еквивалентност. Класове на еквивалентност, набор от фактори.
17. Математическа индукция за естествени и цели числа.
18. Свойства на условно простите числа. Най-малкото общо кратно на цели числа, неговите свойства и методи за намиране.
19. Поле от комплексни числа, числови полета. Геометрично представяне и тригонометрична форма на комплексно число.
20. Теорема за деление с остатък при цели числа. Най-голям общ делител на цели числа, неговите свойства и методи за намиране.
21. Линейни оператори на векторно пространство. Ядро и изображение на линеен оператор. Алгебра на линейните оператори във векторно пространство. Собствени стойности и собствени вектори на линеен оператор.
22. Афинни трансформации на равнината, техните свойства и методи за уточняване. Група афинни трансформации на равнината и нейните подгрупи.
23. Многоъгълници. Площ на многоъгълник. Теорема за съществуване и уникалност.
24. Еднакъв размер и еднакъв състав на многоъгълници.
25. Геометрия на Лобачевски. Съгласуваност на системата от аксиоми на геометрията на Лобачевски.
26. Концепцията за паралелизъм в геометрията на Лобачевски. Относителното разположение на линиите в равнината на Лобачевски.
27. Формули за движение. Класификация на равнинните движения. Приложения за решаване на проблеми.
28. Относителното положение на две равнини, права линия и равнина, две прави линии в пространството (в аналитично представяне).
29. Проективни трансформации. Теорема за съществуване и уникалност. Формули за проективни трансформации.
30. Скаларни, векторни и смесени произведения на вектори, приложението им при решаване на задачи.
31. Системата от аксиоми на Вейл за тримерното евклидово пространство и нейното съдържание.
32. Движения на равнината и техните свойства. Група равнинни движения. Теорема за съществуване и единственост на движението.
33. Проективна равнина и нейните модели. Проективни трансформации, техните свойства. Група проективни трансформации.
34. Преобразувания на равнинно подобие, техните свойства. Група от трансформации на равнинно подобие и нейните подгрупи.
35. Гладки повърхности. Първата квадратна форма на повърхност и нейните приложения.
36. Паралелен дизайн и неговите свойства. Изображение на плоски и пространствени фигури в паралелна проекция.
37. Гладки линии. Кривина на пространствена крива и нейното изчисляване.
38. Елипса, хипербола и парабола като конични сечения. Канонични уравнения.
39. Директорско свойство на елипса, хипербола и парабола. Полярни уравнения.
40. Двойно отношение на четири точки на права, неговите свойства и изчисляване. Хармонично разделяне на двойки точки. Пълен четириъгълник и неговите свойства. Приложение за решаване на строителни проблеми.
41. Теореми на Паскал и Брианшон. Полюси и поляри.
Примерни въпроси по математически анализ
Както знаете, наборът от естествени числа може да бъде подреден чрез връзката „по-малко от“. Но правилата за конструиране на аксиоматична теория изискват тази връзка да бъде не само дефинирана, но и направена въз основа на понятия, които вече са дефинирани в тази теория. Това може да стане чрез дефиниране на връзката „по-малко от“ чрез добавяне.
Определение. Числото a е по-малко от числото b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
При тези условия се казва още, че броят bПовече ▼ Аи пиши b > a.
Теорема 12.За всякакви естествени числа АИ bима едно и само едно от трите отношения: a = b, a > b, А < b.
Пропускаме доказателството на тази теорема.. От тази теорема следва, че ако
a¹ b,или А< b, или a > b,тези. отношението "по-малко" има свойството на свързаност.
Теорема 13.Ако А< b И b< с. Че А< с.
Доказателство. Тази теорема изразява свойството транзитивност на отношението „по-малко от“.
защото А< b И b< с. тогава, по дефиницията на отношението „по-малко от“, има естествени числа Да сеКакво от това? b = a + k и c = b + I.Но след това c = (a + k)+ / и въз основа на свойството за асоциативност на добавянето получаваме: c = a + (k +/). Тъй като к + аз -естествено число, тогава според дефиницията на „по-малко от“, А< с.
Теорема 14. Ако А< b, това не е вярно b< а. Доказателство. Тази теорема изразява свойството антисиметрия"по-малко" връзка.
Нека първо докажем, че за нито едно естествено число Ане ти-!>! ■ )нейното отношение А< А.Да приемем обратното, т.е. Какво А< а възниква. Тогава, по дефиницията на връзката „по-малко от“, има естествено число с,Какво А+ с= а,и това противоречи на теорема 6.
Нека сега докажем, че ако А< b, тогава не е вярно това b < А.Да приемем обратното, т.е. какво ако А< b , Че b< а изпълнени. Но от тези равенства, по Теорема 12 имаме А< а, което е невъзможно.
Тъй като определената от нас релация „по-малко от” е антисиметрична и транзитивна и има свойството на свързаност, то тя е релация линеен ред, и множеството от естествени числа линейно подредено множество.
От определението за „по-малко от“ и неговите свойства можем да изведем известните свойства на набора от естествени числа.
Теорема 15.От всички естествени числа едно е най-малкото число, т.е. аз< а для любого натурального числа a¹1.
Доказателство. Позволявам А -всяко естествено число. Тогава са възможни два случая: а = 1 и a¹ 1. Ако а = 1, тогава има естествено число б,следван от a: a = b " = b + I = 1 + б,т.е. по дефиницията на отношението „по-малко от“, 1< А.Следователно всяко естествено число е равно на 1 или по-голямо от 1. Или едно е най-малкото естествено число.
Отношението „по-малко от“ се свързва със събирането и умножаването на числа чрез свойствата на монотонността.
Теорема 16.
a = b => a + c = b + c и a c = b c;
А< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c и ac > bc.
Доказателство. 1) Валидността на това твърдение следва от уникалността на събирането и умножението.
2) Ако А< b,
тогава има такова естествено число к,Какво А
+ k = b.
Тогава b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Да се)= (a + c) + k.Равенство b+ c = (a + c) + kозначава, че a + c< b
+ с.
По същия начин се доказва, че А< b =>ак< bс.
3) Доказателството е подобно.
Теорема 17(обратното на теорема 16).
1) А+ c = b + cили ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с или ак< пр.н.еÞ А< Ь:
3) a + c > b+ с или ac > bcÞ a > b.
Доказателство. Нека докажем например, че от ак< bс Трябва А< b Да приемем обратното, т.е. че заключението на теоремата не е в сила. Тогава не може да е така a = b.тъй като тогава равенството ще бъде изпълнено ac = bс(теорема 16); не може да бъде А> б,защото тогава би било ac > bс(Теорема!6). Следователно, съгласно теорема 12, А< b.
От теореми 16 и 17 можем да извлечем добре познатите правила за почленно събиране и умножение на неравенства. Изпускаме ги.
Теорема 18. За всякакви естествени числа АИ b; има естествено число n такова, че p b> a.
Доказателство. За всеки Аима такъв номер П, Какво n > a.За да направите това е достатъчно да вземете n = a + 1. Умножаване на неравенства член по член П> АИ b> 1, получаваме pb > А.
От разгледаните свойства на отношението „по-малко от” следва, че важни функциинабори от естествени числа, които представяме без доказателство.
1. Не за всяко естествено число Аняма такова естествено число П,Какво А< п < а +
1. Това свойство се нарича Имот
дискретностнабори от естествени числа и числа АИ а + 1 се нарича съседни.
2.
Всяко непразно подмножество от естествени числа съдържа
най-малкото число.
3. Ако М- непразно подмножество на множеството от естествени числа
и има такъв номер б,че за всички числа x от Мне е изпълнено
равенство x< б,тогава в изобилие Ме най-голямото число.
Нека илюстрираме свойства 2 и 3 с пример. Позволявам М- набор от двуцифрени числа. защото Ме подмножество от естествени числа и за всички числа в това множество неравенството x< 100, то в множестве Ме най-голямото число 99. Най-малкото число, съдържащо се в даден набор М, -номер 10.
По този начин връзката „по-малко от“ направи възможно разглеждането (а в някои случаи и доказването) на значителен брой свойства на набора от естествени числа. По-специално, той е линейно подреден, дискретен и има най-малкото число 1.
Децата от началното училище се запознават с връзката „по-малко от” („по-голямо от”) за естествените числа в самото начало на своето обучение. И често, заедно с неговата теоретико-множествена интерпретация, имплицитно се използва определението, дадено от нас в рамките на аксиоматичната теория. Например учениците могат да обяснят, че 9 > 7, защото 9 е 7+2. Косвеното използване на свойствата на монотонност на събиране и умножение също е често срещано. Например, децата обясняват, че „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Упражнения
1, Защо наборът от естествени числа не може да бъде подреден чрез връзката „незабавно следване“?
Определете отношението a > bи докажете, че е транзитивна и антисиметрична.
3. Докажете, че ако a, b, cса естествени числа, тогава:
а) А< b Þ ас < bс;
б) А+ с< b + сÞ> А< Ь.
4. Какви теореми за монотонността на събирането и умножението могат
използване от по-млади ученици при изпълнение на задачата „Сравнете, без да правите изчисления“:
а) 27 + 8 ... 27 + 18;
б) 27- 8 ... 27 -18.
5. Какви свойства на набора от естествени числа се използват имплицитно от учениците в началното училище при изпълнение на следните задачи:
А) Запишете числата, които са по-големи от 65 и по-малки от 75.
Б) Назовете предходните и следващите числа спрямо числото 300 (800 609 999).
В) Назовете най-малкото и най-голямото трицифрено число.
Изваждане
В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа изваждането обикновено се определя като обратна операция на събиране.
Определение. Изваждането на естествените числа a и b е операция, която удовлетворява условието: a - b = c тогава и само ако b + c = a.
Номер а - бсе нарича разлика между числата a и б,номер А– умалимо, число б-самоучастие.
Теорема 19.Разлика на естествените числа А- bсъществува тогава и само ако b< а.
Доказателство. Нека разликата А- bсъществува. Тогава, по дефиницията на разликата, има естествено число с,Какво b + c = a,което означава, че b< а.
Ако b< а, тогава, по дефиницията на връзката „по-малко от“, има естествено число c такова, че b + c = a.Тогава, по дефиницията на разликата, c = a - b,тези. разлика а - бсъществува.
Теорема 20. Ако разликата на естествените числа АИ bсъществува, значи е уникален.
Доказателство. Да предположим, че има две различни стойности на разликата между числата АИ b;: а – б= s₁И а - б= s₂, и s₁ ¹ s₂.Тогава, по дефиниция на разликата, имаме: a = b + c₁,И a = b + c₂ : .Следва, че b+ c ₁ = b + c₂ :и въз основа на теорема 17 заключаваме, с₁ = с₂..Стигнахме до противоречие с предположението, което означава, че е невярно, но тази теорема е вярна.
Въз основа на определението за разликата на естествените числа и условията за нейното съществуване е възможно да се обосноват добре известните правила за изваждане на число от сбор и сбор от число.
Теорема 21. Позволявам А. bИ с- цели числа.
и ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b.
б) Ако b > c. след това (a + b) - c - a + (b - c).
в) Ако a > c и b > c.тогава можете да използвате всяка от тези формули.
Доказателство. В случай а) разликата на числата АИ ° Ссъществува, защото a > s.Нека го обозначим с x: a - c = x.където a = c + x. Ако (А+ b) - c = y.тогава, по дефиницията на разликата, А+ b = с+ при. Вместо това нека заместим в това равенство Аизразяване c + x:(c + x) + b = c + y.Нека използваме свойството за асоциативност на събирането: c + (x + b) = c+ при. Нека преобразуваме това равенство въз основа на свойството монотонност на събирането и получаваме:
x + b = u..Заменяйки x в това равенство с израза а - в,ще има (А - G) + b = y.Така доказахме, че ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b
Доказателството се извършва по подобен начин в случай b).
Доказаната теорема може да бъде формулирана под формата на правило, което е удобно за запомняне: за да извадите число от сума, достатъчно е да извадите това число от един член на сумата и да добавите друг член към получения резултат.
Теорема 22.Позволявам a, b и c -цели числа. Ако a > b+ s, тогава А- (b + c) = (a - b) - cили a - (b + c) = (a - c) - b.
Доказателството на тази теория е подобно на доказателството на теорема 21.
Теорема 22 може да се формулира като правило: за да се извади сумата от числа от число, достатъчно е да се извади от това число всеки член един по един.
IN начално образованиематематическа дефиниция на изваждането като обратна на събирането в общ изглед, като правило, не се дава, но се използва постоянно, като се започне с извършване на операции с едноцифрени числа. Учениците трябва ясно да разберат, че изваждането е свързано със събирането и да използват тази връзка в изчисленията. Изваждайки например числото 16 от числото 40, учениците разсъждават по следния начин: „Изваждането на числото 16 от 40 означава да се намери такова число, че когато се добави към числото 16, резултатът е 40; това число ще бъде 24, тъй като 24 + 16 = 40. И така. 40 - 16 = 24."
Правилата за изваждане на число от сбор и сбор от число в основния курс по математика са теоретична основаразлични методи за изчисление. Например стойността на израза (40 + 16) - 10 може да се намери не само чрез изчисляване на сумата в скоби и след това изваждане на числото 10 от нея, но и по този начин;
а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Упражнения
1. Вярно ли е, че всяко естествено число се получава от непосредствено следващото чрез изваждане на единица?
2. Какво е особеното в логическата структура на теорема 19? Може ли да се формулира с думите „необходимо и достатъчно“?
3. Докажете, че:
и ако b > c,Че (a + b) - c = a + (b - c);
б) ако a > b + c, Че а - (б+ в) = (a - b) - c.
4. Възможно ли е без извършване на изчисления да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:
а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14 ),
б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.
а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;
б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;
в) (50 - 16) - 14; д) 50 - 16-14.
5. Какви свойства на изваждането са теоретичната основа за следните изчислителни техники, изучавани в началния курс по математика:
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 = 16-6 - P;
в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;
г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Опишете възможни начиниизчисляване на стойността на израз на формата. а - б- си ги илюстрирайте с конкретни примери.
7. Докажете, че когато b< а и всяко естествено c равенството е вярно (a – b) c = ac - bc.
Забележка. Доказателството се основава на аксиома 4.
8. Определяне на стойността на израз без извършване на писмени изчисления. Обосновете отговорите си.
а) 7865 × 6 – 7865 × 5: б) 957 × 11 – 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.
дивизия
В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа делението обикновено се определя като обратна операция на умножението.
Определение. Деленето на естествените числа a и b е операция, която удовлетворява условието: a: b = c тогава и само акоДа се когато б× c = a.
Номер а:бНаречен частенчисла АИ б,номер Аделимо, число b- делител.
Както е известно, деление върху множеството от естествени числа не винаги съществува и няма такъв удобен признак за съществуването на частно, както съществува за разлика. Има само необходимо условиесъществуването на частното.
Теорема 23.За да има частно от две естествени числа АИ b, необходимо е това b< а.
Доказателство. Нека частното на естествените числа АИ bсъществува, т.е. има естествено число c такова, че bc = a.Тъй като за всяко естествено число 1 неравенството 1 £ с,след това умножете двете му части по естествено число b, получаваме b£ пр.н.е.Но bc = a,следователно, b£ А.
Теорема 24.Ако частното на естествените числа АИ bсъществува, значи е уникален.
Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теоремата за единствеността на разликата на естествените числа.
Въз основа на дефиницията на частното на естествените числа и условията за неговото съществуване е възможно да се обосноват добре известните правила за разделяне на сума (разлика, продукт) на число.
Теорема 25.Ако числата АИ bсе делят на число с,тогава тяхната сума a + bразделено на c, и частното, получено чрез разделяне на сумата А+ bна брой с,равна на сумата от частните, получени при разделянето АНа сИ bНа с, т.е. (a + b):c = a:c + b:с.
Доказателство. Тъй като броят Аразделена на с,тогава има естествено число x = А;това е a = cx.По същия начин има такова естествено число y = b:с,Какво
b= су.Но след това a + b = cx+ cy = - c(x + y).Означава, че a + bсе разделя на c, а частното, получено чрез разделяне на сумата А+ bпо числото c, равно на x + y,тези. брадва + b: c.
Доказаната теорема може да се формулира като правило за разделяне на сбор на число: за да се раздели сборът на число, достатъчно е всеки член да се раздели на това число и да се съберат получените резултати.
Теорема 26.Ако естествените числа АИ bсе делят на число сИ a > b,тогава разликата а - бе разделено на c, а частното, получено чрез разделяне на разликата на числото c, е равно на разликата на частните, получени чрез разделяне АНа сИ bна c, т.е. (a - b):c = a:c - b:c.
Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на предишната теорема.
Тази теорема може да се формулира като правило за разделяне на разликата с число: ЗаЗа да разделите разликата на число, достатъчно е да разделите умаляваното и изважданото на това число и да извадите второто от първото частно.
Теорема 27.Ако естествено число Асе дели на естествено число c, то за всяко естествено число bработа абразделен на s. В този случай частното, получено чрез разделяне на продукта абкъм номер s , равно на произведението на частното, получено чрез разделяне АНа с,и числа b: (a × b): c - (a: c) × b.
Доказателство. защото Аразделена на с,тогава има естествено число x такова, че a:c= x, където a = cx.Умножавайки двете страни на равенството по б,получаваме ab = (cx)b.Тъй като умножението е асоциативно, тогава (cx) b = c(x b).Оттук (a b):c = x b= (a:c) b.Теоремата може да се формулира като правило за разделяне на продукт на число: за да се раздели продукт на число, достатъчно е да се раздели един от факторите на това число и полученият резултат да се умножи по втория фактор.
В началното обучение по математика определението за деление като обратна операция на умножението по правило не се дава в общ вид, но се използва постоянно, като се започне от първите уроци на запознаване с деленето. Учениците трябва ясно да разберат, че делението е свързано с умножението и да използват тази връзка, когато правят изчисления. Когато делят например 48 на 16, учениците разсъждават така: „Да се раздели 48 на 16 означава да се намери число, което, умножено по 16, дава 48; такова число би било 3, тъй като 16×3 = 48. Следователно, 48: 16 = 3.
Упражнения
1. Докажете, че:
а) ако частното на естествените числа а и бсъществува, значи е уникален;
б) ако числата а и бсе разделят на сИ a > b,Че (a - b): c = a: c - b: c.
2. Може ли да се каже, че всички тези равенства са верни:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;
в) 850:170 =850:10:17.
Кое правило обобщава тези случаи? Формулирайте го и го докажете.
3. Какви свойства на разделянето са теоретичната основа за
изпълняване на следните задачи, предлагани на учениците начални класове:
Възможно ли е, без да се извършва деление, да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:
а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;
б) (30 + 16):3; g)(21+27):3; е) 48:2;
Верни ли са равенствата:
а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);
в) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Опишете възможните начини за изчисляване на стойността на израз
Тип:
а) (А+ b):c;б) А:b: С; V) ( a × b): С .
Илюстрирайте предложените методи с конкретни примери.
5. Намерете смисъла на израза по рационален начин; техен
оправдайте действията си:
а) (7 × 63):7; в) (15 × 18):(5× 6);
б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.
6. Обосновете следните методи за деление на двуцифрено число:
а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Без да разделяте с ъгъл, намерете най-рационалното
частно; Обосновете избрания метод:
а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;
6) 425:85; г) 225:9; д) 455:65.
Лекция 34. Свойства на множеството от цели неотрицателни числа
1. Множеството от неотрицателни цели числа. Свойства на множеството от неотрицателни цели числа.
2. Концепцията за сегмент от естествена редица от числа и броене на елементи от крайно множество. Редни и кардинални естествени числа.
