In verschiedenen Bereichen der Mathematik sowie bei der Anwendung der Mathematik in der Technik kommt es häufig vor, dass algebraische Operationen nicht an Zahlen, sondern an Objekten anderer Art durchgeführt werden. Zum Beispiel Matrixaddition, Matrixmultiplikation, Vektoraddition, Operationen an Polynomen, Operationen an linearen Transformationen usw.

Definition 1. Ein Ring ist eine Menge mathematischer Objekte, in denen zwei Aktionen definiert sind – „Addition“ und „Multiplikation“, die geordnete Elementpaare mit ihrer „Summe“ und ihrem „Produkt“ verknüpfen, die Elemente derselben Menge sind. Diese Aktionen erfüllen die folgenden Anforderungen:

1.a+b=b+a(Kommutativität der Addition).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(Assoziativität der Addition).

3. Es gibt ein Nullelement 0, so dass A+0=A, für jeden A.

4. Für jeden A Es gibt ein Gegenelement − A so dass A+(−A)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(Linksverteilung).

5".c(a+b)=ca+cb(Rechtsdistributivität).

Die Anforderungen 2, 3, 4 bedeuten, dass die Menge der mathematischen Objekte eine Gruppe bildet, und zusammen mit Punkt 1 haben wir es bezüglich der Addition mit einer kommutativen (abelschen) Gruppe zu tun.

Wie aus der Definition ersichtlich ist, in allgemeine Definition Ringen gibt es für Multiplikationen außer der Distributivität mit Addition keine Einschränkungen. In verschiedenen Situationen ist es jedoch erforderlich, Ringe mit zusätzlichen Anforderungen in Betracht zu ziehen.

6. (ab)c=a(bc)(Assoziativität der Multiplikation).

7.ab=ba(Kommutativität der Multiplikation).

8. Die Existenz eines einzelnen Elements 1, d.h. solch A·1=1· a=a, für jedes Element A.

9. Für jedes Elementelement A Es gibt ein inverses Element A−1 so dass aa −1 =A −1 a= 1.

In verschiedenen Ringen 6, 7, 8, 9 können entweder einzeln oder in verschiedenen Kombinationen ausgeführt werden.

Ein Ring heißt assoziativ, wenn Bedingung 6 erfüllt ist, kommutativ, wenn Bedingung 7 erfüllt ist, kommutativ und assoziativ, wenn Bedingung 6 und 7 erfüllt sind. Ein Ring heißt Ring mit Identität, wenn Bedingung 8 erfüllt ist.

Beispiele für Ringe:

1. Satz quadratischer Matrizen.

Wirklich. Die Erfüllung der Punkte 1-5, 5" liegt auf der Hand. Das Nullelement ist die Nullmatrix. Außerdem ist Punkt 6 (Assoziativität der Multiplikation), Punkt 8 erfüllt (das Einheitselement ist die Einheitsmatrix). Punkte 7 und 9 sind nicht erfüllt, da die Multiplikation quadratischer Matrizen im allgemeinen Fall nicht kommutativ ist und auch die Umkehrung einer quadratischen Matrix nicht immer existiert.

2. Die Menge aller komplexen Zahlen.

3. Viele von allen reale Nummern.

4. Die Menge aller rationalen Zahlen.

5. Die Menge aller ganzen Zahlen.

Definition 2. Jedes Zahlensystem, das die Summe, Differenz und das Produkt zweier seiner Zahlen enthält, heißt Zahlenring.

Beispiele 2-5 sind Zahlenringe. Zahlenringe sind auch alle geraden Zahlen sowie alle ganzen Zahlen, die ohne Rest durch eine natürliche Zahl n teilbar sind. Beachten Sie, dass die Menge der ungeraden Zahlen kein Ring ist, weil Die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl.

Aus einem Programmierkurs wissen wir, dass eine Ganzzahl im Computerspeicher auf unterschiedliche Weise dargestellt werden kann. Diese Darstellung hängt insbesondere davon ab, wie sie beschrieben wird: als Wert vom Typ Ganzzahl, reell oder Zeichenfolge. Darüber hinaus werden in den meisten Programmiersprachen unter Ganzzahlen Zahlen aus einem sehr begrenzten Bereich verstanden: Ein typischer Fall ist von -2 15 = -32768 bis 2 15 - 1 = 32767. Systeme Computeralgebra Wenn Sie große ganze Zahlen verarbeiten, kann jedes dieser Systeme insbesondere Zahlen der Form 1000 in Dezimalschreibweise berechnen und anzeigen! (mehr als tausend Zeichen).

In diesem Kurs betrachten wir die Darstellung von ganzen Zahlen in symbolischer Form und gehen nicht näher darauf ein, welcher Speicher für die Aufzeichnung eines Zeichens (Bit, Byte oder anderes) zugewiesen wird. Am gebräuchlichsten ist die Darstellung ganzer Zahlen in Positionszahlensysteme. Ein solches System wird durch die Wahl der Zahlenbasis bestimmt, zum Beispiel 10. Die Menge der dezimalen ganzen Zahlen wird normalerweise wie folgt beschrieben:

Die schriftliche Definition von ganzen Zahlen liefert eine eindeutige Darstellung jeder dieser Zahlen, und in den meisten Systemen wird eine ähnliche Definition (nur vielleicht auf einer anderen Basis) verwendet Computeralgebra. Mithilfe dieser Darstellung ist es praktisch, arithmetische Operationen für ganze Zahlen zu implementieren. Darüber hinaus sind Addition und Subtraktion relativ „billige“ Operationen, während Multiplikation und Division „teuer“ sind. Bei der Beurteilung der Komplexität arithmetischer Operationen sollten sowohl die Kosten einer Elementaroperation (einstellige Zahl) als auch die Anzahl der einstelligen Operationen zur Durchführung einer Operation mit mehrstelligen Zahlen berücksichtigt werden. Die Komplexität der Multiplikation und Division ist vor allem darauf zurückzuführen, dass mit zunehmender Länge einer Zahl (ihrer Aufnahme in ein beliebiges Zahlensystem) die Zahl der Elementaroperationen nach einem quadratischen Gesetz im Gegensatz zum linearen Gesetz zunimmt Gesetz für Addition und Subtraktion. Darüber hinaus basiert das, was wir normalerweise als Algorithmus zum Dividieren mehrstelliger Zahlen bezeichnen, in Wirklichkeit auf einer Suche (oft ziemlich aussagekräftig) nach der möglichen nächsten Ziffer des Quotienten, und es reicht nicht aus, einfach die Regeln zum Dividieren einstelliger Zahlen zu verwenden Zahlen. Wenn die Basis des Zahlensystems groß ist (oft kann sie in der Größenordnung von 2 30 liegen), ist diese Methode wirkungslos.

Sei eine natürliche Zahl (geschrieben im Dezimalsystem). Um seinen Rekord zu bekommen im -ären Zahlensystem können Sie den folgenden Algorithmus verwenden (bezeichnet den ganzzahligen Teil der Zahl):

Gegeben: A-natürliche Zahl im dezimalen Zahlensystem k > 1-natürliche Zahl Benötigt: A-Aufzeichnung der Zahl A im k-ären Zahlensystem Starte i:= 0-Zyklus bis A > 0 bi:= A (mod k ) A:= i:= i + 1 Ende des Zyklus dA:= i - 1 Ende

Um eine Dezimalzahl aus der Folge ihrer k-ary-Notation wiederherzustellen, wird der folgende Algorithmus verwendet:

Gegeben: k > 1 – natürliche Zahlenfolge von Ziffern, die die Zahl A im k-ären System darstellen. Erforderlich: A-Aufzeichnung der Zahl A im dezimalen Zahlensystem. Start A:= 0-Zyklus bis zum Ende der Folge b:= nächstes Element der Sequenz A:= A * k + b Ende der Schleife Ende

1.2. ÜBUNG. Erklären Sie, warum die Division zum Umwandeln einer Zahl vom Dezimalsystem in das k-äre System und die Multiplikation zum Umwandeln vom k-ären System in das Dezimalsystem verwendet wird.

Indem wir zwei zweistellige Zahlen im Dezimalzahlensystem mit einer „Spalte“ multiplizieren, führen wir die folgenden Operationen durch:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

d.h. 4 Multiplikationsoperationen einstelliger Zahlen, 3 Additionsoperationen und 2 Multiplikationsoperationen mit einer Potenz der Basiszahl, die auf eine Verschiebung reduziert werden. Bei der Bewertung der Komplexität können Sie alle Elementaroperationen berücksichtigen, ohne sie durch Gewichte zu dividieren (in diesem Beispiel haben wir 9 Elementaroperationen). Mit diesem Ansatz wird das Problem der Optimierung des Algorithmus auf die Minimierung der Gesamtzahl der Elementaroperationen reduziert. Es kann jedoch davon ausgegangen werden, dass die Multiplikation eine „teurere“ Operation ist als die Addition, die wiederum „teurer“ als die Verschiebung ist. Wenn wir nur die teuersten Operationen betrachten, verstehen wir das multiplikativ Die Schwierigkeit, zweistellige Zahlen in einer Spalte zu multiplizieren, beträgt 4.

In Abschnitt 5 werden Algorithmen zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers erörtert und deren Komplexität bewertet.

Die betrachtete Darstellung ist nicht die einzige kanonische Darstellung ganzer Zahlen. Wie bereits erwähnt, können Sie zur Auswahl einer kanonischen Darstellung die Eindeutigkeit der Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primfaktoren nutzen. Diese Darstellung einer ganzen Zahl kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen nur Multiplikations- und Divisionsoperationen verwendet werden, da diese sehr „billig“ werden, die Kosten für Additions- und Subtraktionsoperationen jedoch überproportional steigen, was die Verwendung einer solchen Darstellung verhindert. Bei einigen Problemen führt der Verzicht auf die kanonische Darstellung zu einem erheblichen Leistungsgewinn; insbesondere kann die teilweise Faktorisierung einer Zahl verwendet werden. Eine ähnliche Methode ist besonders nützlich, wenn nicht mit Zahlen, sondern mit Polynomen gearbeitet wird.

Wenn bekannt ist, dass während der Ausführung des Programms alle in Berechnungen vorkommenden ganzen Zahlen in ihrem Absolutwert durch eine bestimmte Konstante begrenzt sind, kann man zur Definition solcher Zahlen ihr Restsystem modulo einiger Koprimzahlen verwenden, deren Produkt größer ist die erwähnte Konstante. Berechnungen mit Restklassen sind im Allgemeinen schneller als Arithmetik mit mehrfacher Genauigkeit. Und bei diesem Ansatz sollte die Arithmetik mit mehrfacher Genauigkeit nur bei der Eingabe oder Ausgabe von Informationen verwendet werden.

Beachten Sie dies zusammen mit kanonischen Darstellungen in Systemen Computeralgebra Es werden auch andere Darstellungen verwendet. Insbesondere ist es wünschenswert, dass das Vorhandensein oder Fehlen eines „+“-Zeichens vor einer Ganzzahl keinen Einfluss auf die Wahrnehmung des Computers hat. Somit erhält man für positive Zahlen eine mehrdeutige Darstellung, obwohl die Form negativer Zahlen eindeutig bestimmt ist.

Eine weitere Anforderung besteht darin, dass die Wahrnehmung einer Zahl nicht durch das Vorhandensein von Nullen vor der ersten signifikanten Ziffer beeinträchtigt werden darf.

1.3. ÜBUNGEN.

1. Schätzen Sie die Anzahl der einstelligen Multiplikationen, die beim Multiplizieren einer m-stelligen Zahl mit einer n-stelligen Spalte verwendet werden.
2. Zeigen Sie, dass zwei zweistellige Zahlen mit nur drei einstelligen Multiplikationen und einer Erhöhung der Anzahl der Additionen multipliziert werden können.
3. Finden Sie einen Algorithmus zum Dividieren langer Zahlen, der beim Finden der ersten Ziffer des Quotienten nicht viel Suchen erfordert.
4. Beschreiben Sie den Übersetzungsalgorithmus natürliche Zahlen vom m-ären Zahlensystem zum n-ären Zahlensystem.
5. IN Römische Nummerierung Zum Schreiben von Zahlen werden folgende Symbole verwendet: I – eins, V – fünf, X – zehn, L – fünfzig, C – einhundert, D – fünfhundert, M – tausend. Ein Symbol gilt als negativ, wenn sich rechts davon ein Symbol mit einer größeren Zahl befindet, andernfalls als positiv. Beispielsweise wird die Zahl 1948 in diesem System folgendermaßen geschrieben: MCMXLVIII. Formulieren Sie einen Algorithmus zum Umwandeln einer Zahl von der römischen in die dezimale Zahl und zurück. Implementieren Sie den resultierenden Algorithmus in einer der algorithmischen Sprachen (z. B. C). Einschränkungen für Quelldaten: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Formulieren Sie einen Algorithmus und schreiben Sie ein Programm zum Addieren natürlicher Zahlen im römischen Zahlensystem.
7. Wir werden sagen, dass wir es mit einem Zahlensystem zu tun haben gemischte oder Vektorbasis, wenn wir einen Vektor von n natürlichen Zahlen M = (m 1 , . . . , m n) (Basis) erhalten und die Notation K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) die Zahl bezeichnet k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n)...)). Schreiben Sie ein Programm, das anhand von Daten (Wochentag, Stunden, Minuten, Sekunden) ermittelt, wie viele Sekunden seit Wochenbeginn vergangen sind (Montag, 0, 0, 0) = 0 und führt die umgekehrte Transformation durch.

Beispiele

a + b i (\displaystyle a+bi) Wo ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b) Rationale Zahlen, ich (\displaystyle i)- imaginäre Einheit. Solche Ausdrücke können nach den üblichen Regeln für Operationen mit komplexen Zahlen addiert und multipliziert werden, und jedes von Null verschiedene Element hat eine Umkehrung, wie aus der Gleichheit ersichtlich ist (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.) Daraus folgt, dass die rationalen Gaußschen Zahlen ein Feld bilden, das einen zweidimensionalen Raum (also ein quadratisches Feld) darstellt.

• Allgemeiner gesagt, für jede quadratfreie ganze Zahl d (\displaystyle d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d)))) wird eine quadratische Felderweiterung sein Q (\displaystyle \mathbb (Q) ).
• Kreisförmiges Feld Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n))) erhalten durch Addition zu Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) primitive Wurzel N-te Kraft der Einheit. Das Feld muss alle seine Kräfte (also alle Wurzeln) enthalten N Kraft der Einheit), ihre Dimension ist vorbei Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) entspricht der Euler-Funktion φ (n) (\displaystyle \varphi (n)).
• Reelle und komplexe Zahlen haben eine unendliche Potenz gegenüber rationalen Zahlen und sind daher keine Zahlenkörper. Dies folgt aus der Unabzählbarkeit: Jedes Zahlenfeld ist abzählbar.
• Körper aller algebraischen Zahlen A (\displaystyle \mathbb (A) ) ist nicht numerisch. Obwohl die Erweiterung A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) ) algebraisch ist es nicht endlich.

Zahlenfeld-Ganzzahlring

Da der Zahlenkörper eine algebraische Erweiterung des Körpers ist Q (\displaystyle \mathbb (Q) ), jedes seiner Elemente ist die Wurzel eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten (d. h. es ist algebraisch). Darüber hinaus ist jedes Element die Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten, da alle rationalen Koeffizienten mit dem Produkt der Nenner multipliziert werden können. Wenn ein bestimmtes Element die Wurzel eines einheitlichen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, wird es als ganzzahliges Element (oder algebraische ganze Zahl) bezeichnet. Nicht alle Elemente eines Zahlenfeldes sind ganze Zahlen: Beispielsweise lässt sich leicht zeigen, dass die einzigen ganzzahligen Elemente sind Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) sind gewöhnliche ganze Zahlen.

Es lässt sich beweisen, dass die Summe und das Produkt zweier algebraischer Ganzzahlen wiederum eine algebraische Ganzzahl ist, sodass die ganzzahligen Elemente einen Unterring des Zahlenkörpers bilden K (\displaystyle K), angerufen ein Ring des Ganzen Felder K (\displaystyle K) und bezeichnet mit . Das Feld enthält keine Nullteiler und diese Eigenschaft wird bei der Übergabe an einen Unterring vererbt, sodass der Ring aus ganzen Zahlen ganzzahlig ist; privates Ringfeld O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- das ist das Feld selbst K (\displaystyle K). Der Ring ganzer Zahlen eines beliebigen Zahlenkörpers hat die folgenden drei Eigenschaften: Er ist ganzzahlig geschlossen, noethersch und eindimensional. Ein kommutativer Ring mit solchen Eigenschaften wird nach Richard Dedekind Dedekind-Ring genannt.

Primerzerlegung und Klassengruppe

In einem beliebigen Dedekind-Ring gibt es eine eindeutige Zerlegung von Idealen ungleich Null in ein Produkt von Primzahlen. Allerdings erfüllt nicht jeder Ring ganzer Zahlen die Fakultätseigenschaft: bereits für den Ring ganzer Zahlen eines quadratischen Körpers O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))]) Die Zerlegung ist nicht eindeutig:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

Indem wir eine Norm für diesen Ring einführen, können wir zeigen, dass diese Entwicklungen tatsächlich unterschiedlich sind, das heißt, dass die eine nicht aus der anderen durch Multiplikation mit einem invertierbaren Element erhalten werden kann.

Der Grad der Verletzung der Fakultätseigenschaft wird anhand der Gruppe idealer Klassen gemessen; diese Gruppe für einen Ring von ganzen Zahlen ist immer endlich und ihre Ordnung wird als Anzahl der Klassen bezeichnet.

Zahlenfeldbasen

Ganze Basis

Ganze Basis Zahlenfeld F Grad N- das ist viel

B = {B 1 , …, b n}

aus N Elemente des Rings ganzzahliger Felder F, so dass jedes Element des Ringes der ganzen Zahlen VON Felder F Die einzige Möglichkeit, es zu schreiben, ist als Z-lineare Kombination von Elementen B; das heißt, für jeden X aus VON es gibt nur eine Zerlegung

X = M 1 B 1 + … + m n b n,

Wo m i- gewöhnliche ganze Zahlen. In diesem Fall jedes Element F kann geschrieben werden als

M 1 B 1 + … + m n b n,

Wo m i- Rationale Zahlen. Danach kommen ganze Elemente F zeichnen sich durch die Eigenschaft aus, dass dies genau die Elemente sind, für die alles gilt m i ganz.

Mit Werkzeugen wie Lokalisierung und Frobenius-Endomorphismus kann man eine solche Basis für jeden Zahlenkörper konstruieren. Seine Konstruktion ist eine integrierte Funktion in vielen Computeralgebrasystemen.

Machtbasis

Lassen F- numerisches Gradfeld N. Unter allen möglichen Basen F(Wie Q-Vektorraum) gibt es Potenzbasen, also Basen der Form

Bx = {1, X, X 2 , …, X N−1 }

für einige X ∈ F. Nach dem Satz der primitiven Elemente, z X existiert immer, heißt es primitives Element diese Erweiterung.

Norm und Spur

Ein algebraischer Zahlenkörper ist ein endlichdimensionaler Vektorraum Q (\displaystyle \mathbb (Q) )(Wir bezeichnen seine Dimension als n (\displaystyle n)) und die Multiplikation mit einem beliebigen Feldelement ist eine lineare Transformation dieses Raumes. Lassen e 1 , e 2 , … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- eine gewisse Grundlage F, dann die Transformation x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x) entspricht Matrix A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), bestimmt durch die Bedingung

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

Die Elemente dieser Matrix hängen von der Wahl der Basis ab, aber alle Invarianten der Matrix, wie Determinante und Spur, hängen nicht davon ab. Im Zusammenhang mit algebraischen Erweiterungen wird die Determinante einer Elementmultiplikationsmatrix genannt Die Norm dieses Element (bezeichnet N. (x) (\displaystyle N(x))); Matrixspur - nächstes Element(bezeichnet Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

Die Spur eines Elements ist eine lineare Funktion F:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (y)) Und Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Die Norm ist eine multiplikative und homogene Funktion:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)) Und N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Sie können eine ganzzahlige Basis als Ausgangsbasis wählen; die Multiplikation mit einer ganzzahligen algebraischen Zahl (d. h. mit einem Element des Ganzzahlrings) in dieser Basis entspricht einer Matrix mit ganzzahligen Elementen. Daher sind die Spur und die Norm jedes Elements des Rings der ganzen Zahlen ganze Zahlen.

Beispiel für die Verwendung einer Norm

Lassen d (\displaystyle d)- - ein ganzzahliges Element, da es die Wurzel des reduzierten Polynoms ist x 2 − d (\displaystyle x^(2)-d)). Auf dieser Basis ist die Multiplikation mit a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d))) entspricht Matrix

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

Somit, N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). Auf Elementen des Rings nimmt diese Norm ganzzahlige Werte an. Die Norm ist ein Homomorphismus der multiplikativen Gruppe Z [ d ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))]) pro multiplikative Gruppe Z (\displaystyle \mathbb (Z) ), daher kann die Norm der invertierbaren Elemente des Rings nur gleich sein 1 (\displaystyle 1) oder − 1 (\displaystyle -1). So lösen Sie die Pell-Gleichung a 2 − d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1), reicht es aus, alle invertierbaren Elemente des Ringes der ganzen Zahlen (auch genannt) zu finden Ringeinheiten) und identifizieren Sie unter ihnen diejenigen, die die Norm haben 1 (\displaystyle 1). Nach dem Einheitssatz von Dirichlet sind alle invertierbaren Elemente eines gegebenen Rings Potenzen eines Elements (bis zur Multiplikation mit). − 1 (\displaystyle -1)), um alle Lösungen der Pell-Gleichung zu finden, reicht es daher aus, eine grundlegende Lösung zu finden.

siehe auch

Literatur

• H. Koch. Algebraische Zahlentheorie. - M.: VINITI, 1990. - T. 62. - 301 S. - (Ergebnisse von Wissenschaft und Technologie. Reihe „Moderne Probleme der Mathematik. Grundlegende Richtungen.“).
• Tschebotarew N.G. Grundlagen der Galois-Theorie. Teil 2. - M.: Editorial URSS, 2004.
• Weil G. Algebraische Zahlentheorie. Pro. aus dem Englischen. - M.: Editorial URSS, 2011.
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, zweite Auflage, Springer, 2000

Ein Ring, in dem die Beziehung „größer als Null sein“ (bezeichnet mit a > 0) eingeführt wird, heißt Ring gelegen, wenn für irgendwelche Elemente dieses Rings zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) Eine und nur eine der Bedingungen ist wahr

a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

Eine Menge, in der eine Ordnungsbeziehung eingeführt wird – nicht streng (reflexiv, antisymmetrisch und transitiv) oder streng (antireflexiv und transitiv) wird genannt bestellt. Wenn das Gesetz der Trichotomie erfüllt ist, wird die Menge aufgerufen linear bestellt. Wenn wir keine beliebige Menge betrachten, sondern ein algebraisches System, zum Beispiel einen Ring oder ein Feld, dann führen wir für die Ordnung eines solchen Systems auch Monotonieanforderungen hinsichtlich der in diesem System eingeführten Operationen ein (algebraische Struktur). Also geordneter Ring/Feld ist ein Ring/Feld ungleich Null, in dem eine lineare Ordnungsbeziehung (a > b) eingeführt wird, die zwei Bedingungen erfüllt:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => a c > b c;

Satz 1. Jeder lokalisierte Ring ist ein geordnetes System (Ring).

In der Tat, wenn die Beziehung „größer als 0 sein“ in einem Ring eingeführt wird, dann kann die Beziehung größer als für zwei beliebige Elemente eingeführt werden, wenn wir das annehmen

a > b  a – b > 0.

Diese Haltung ist eine strenge Haltung, lineare Ordnung.

Diese „Größer-als“-Relation ist antireflexiv, da die Bedingung a > a äquivalent zur Bedingung a – a > 0 ist, letztere widerspricht der Tatsache, dass a – a = 0 (gemäß der ersten Bedingung des lokalisierten Rings, Ein Element kann nicht sowohl größer als 0 als auch gleich 0 sein. Somit ist die Aussage a > a für jedes Element a falsch, die Beziehung ist also antireflexiv.

Beweisen wir die Transitivität: Wenn a > b und b > c, dann ist a > c. Per Definition folgt aus den Bedingungen des Satzes, dass a – b > 0 und b – c > 0. Durch Addition dieser beiden Elemente größer Null erhalten wir wiederum ein Element größer Null (gemäß der zweiten Bedingung des Lokalisierten). Ring):

a – b + b – c = a – c > 0.

Letzteres bedeutet, dass a > c. Somit ist die eingeführte Relation eine Relation strenger Ordnung. Darüber hinaus ist diese Beziehung eine Beziehung linearer Ordnung, d. h. für die Menge der natürlichen Zahlen gilt: Trichotomie-Theorem:

Für zwei beliebige natürliche Zahlen ist nur eine der folgenden drei Aussagen wahr:

Tatsächlich ist (aufgrund der ersten Bedingung des lokalisierten Rings) für die Zahl a – b nur eine der Bedingungen wahr:

1) a – b > 0 = > a > b

2) – (a – b) = b – a > 0 => b > a

3) a – b = 0 = > a = b.

Die Monotonieeigenschaften gelten auch für jeden lokalisierten Ring. Wirklich

1) a > b => a – b > 0 = > a + c – c – b > 0 = > a + c > b + c;

2) a > b /\ c > 0 => a – b > 0 => (gemäß der zweiten Bedingung des lokalisierten Rings) (a – b)c > 0 => ac – bc > 0 => ac > bc .

Damit haben wir bewiesen, dass jeder angeordnete Ring ein geordneter Ring (ein geordnetes System) ist.

Für jeden gefundenen Ring gelten außerdem die folgenden Eigenschaften:

a) a + c > b + c => a > b;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

c) a > b /\ c< 0=>ac< bc;

Die gleichen Eigenschaften treten auch bei anderen Zeichen auf<, , .

Beweisen wir zum Beispiel die Eigenschaft (c). Per Definition folgt aus der Bedingung a > b, dass a – b > 0, und aus der Bedingung c< 0 (0 >c) Daraus folgt, dass 0 – c > 0 und daher die Zahl – c > 0, zwei positive Zahlen (a – b)(–c) multiplizieren. Das Ergebnis wird auch gemäß der zweiten Bedingung des lokalisierten Rings positiv sein, d. h

(a – b)(–c) > 0 => –ac + bc > 0 => bc – ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

Q.E.D.

d) aa = a 2  0;

Nachweisen: Durch die erste Bedingung des lokalisierten Rings entweder a > 0 oder –a > 0 oder a = 0. Betrachten wir diese Fälle getrennt:

1) a > 0 => aa > 0 (gemäß der zweiten Bedingung des lokalisierten Rings) => a 2 > 0.

2) –а > 0 => (–а)(–а) > 0, aber aufgrund der Eigenschaft des Rings (–а)(–а) = аа = a 2 > 0.

3) a = 0 => aa = a 2 = 0.

Somit ist a 2 in allen drei Fällen entweder größer als Null oder gleich 0, was lediglich bedeutet, dass a 2 ≥ 0 und die Eigenschaft bewiesen ist (beachten Sie, dass wir das auch bewiesen haben). Das Quadrat eines Elements eines lokalisierten Rings ist genau dann 0, wenn das Element selbst 0 ist).

e) ab = 0  a = 0 \/ b = 0.

Nachweisen: Nehmen Sie das Gegenteil an (ab =0, aber weder a noch b sind gleich Null). Dann sind für a nur zwei Optionen möglich, entweder a > 0 oder a > 0 (die Option a = 0 ist durch unsere Annahme ausgeschlossen). Jeder dieser beiden Fälle teilt sich abhängig von b (entweder b > 0 oder – b > 0) in zwei weitere Fälle auf. Dann gibt es 4 Möglichkeiten:

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a >0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 –b > 0 => ab > 0.

Wie wir sehen, widerspricht jeder dieser Fälle der Bedingung ab = 0. Die Eigenschaft ist bewiesen.

Die letzte Eigenschaft bedeutet, dass der lokalisierte Ring ein Integritätsbereich ist, was auch eine zwingende Eigenschaft geordneter Systeme ist.

Satz 1 zeigt, dass jeder lokalisierte Ring ein geordnetes System ist. Das Umgekehrte gilt auch: Jeder geordnete Ring wird lokalisiert. Wenn ein Ring tatsächlich eine Beziehung a > b hat und zwei beliebige Elemente des Rings miteinander vergleichbar sind, dann ist 0 mit jedem Element a vergleichbar, d. h. entweder a > 0 oder a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Um Letzteres zu beweisen, wenden wir die Eigenschaft der Monotonie geordneter Systeme an: auf die rechte und linke Seite der Ungleichung a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

Die zweite Bedingung für einen lokalisierten Ring folgt aus den Eigenschaften der Monotonie und Transitivität:

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a +b >0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.

Satz 2. Der Ring der ganzen Zahlen ist ein geordneter Ring (ein geordnetes System).

Nachweisen: Verwenden wir Definition 2 des Ringes der ganzen Zahlen (siehe 2.1). Nach dieser Definition ist jede ganze Zahl entweder eine natürliche Zahl (die Zahl n ist gegeben als [ ] oder das Gegenteil von natürlich (– n entspricht der Klasse [<1, n / >] oder 0 (Klasse [<1, 1>]). Lassen Sie uns die Definition von „größer als Null sein“ für ganze Zahlen gemäß der Regel einführen:

a > 0  a  N

Dann ist die erste Bedingung des lokalisierten Rings automatisch für ganze Zahlen erfüllt: Wenn a eine natürliche Zahl ist, dann ist sie größer als 0, wenn a das Gegenteil einer natürlichen Zahl ist, dann ist –a eine natürliche Zahl, also auch größer als 0 ist auch die Option a = 0 möglich, die auch im ersten Zustand des lokalisierten Rings echte Disjunktion ermöglicht. Die Gültigkeit der zweiten Bedingung des lokalisierten Rings ergibt sich aus der Tatsache, dass die Summe und das Produkt zweier natürlicher Zahlen (ganze Zahlen größer als Null) wiederum eine natürliche Zahl und daher größer als Null ist.

Somit werden alle Eigenschaften der gefundenen Ringe automatisch auf alle ganzen Zahlen übertragen. Darüber hinaus gilt der Diskretheitssatz für ganze Zahlen (nicht jedoch für beliebig angeordnete Ringe):

Diskretheitssatz. Sie können keine Ganzzahl zwischen zwei benachbarten Ganzzahlen einfügen:

( a, x  Z) .

Nachweisen: Wir werden alle möglichen Fälle für a betrachten und das Gegenteil annehmen, das heißt, dass es ein x gibt, so dass

A< x < a +1.

1) Wenn a eine natürliche Zahl ist, dann ist a + 1 eine natürliche Zahl. Dann kann nach dem Diskretheitssatz für natürliche Zahlen zwischen a und a / = a + 1 keine natürliche Zahl x eingefügt werden, d. h. x kann auf keinen Fall eine natürliche Zahl sein. Wenn wir annehmen, dass x = 0 ist, dann ist dies unsere Annahme

A< x < a +1

führt uns zu Bedingung a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. Dann ist a + 1 = 1. Wenn Bedingung a erfüllt ist< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a ist negativ (–a > 0), dann ist a + 1  0. Wenn a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

Das heißt, wir kommen zu der im ersten Fall betrachteten Situation (da sowohl –a–1 als auch –a natürlich sind), aus der hervorgeht, dass –x keine ganze Zahl sein kann und daher x keine ganze Zahl sein kann. Die Situation, wenn a + 1 = 0 bedeutet, dass a = –1, das heißt

–1 < x < 0.

Indem wir diese Ungleichung mit (–1) multiplizieren, gelangen wir zu Fall 2. Somit ist der Satz in allen Situationen gültig.

Turm des Archimedes. Für jede ganze Zahl a und b > 0 gibt es eine natürliche Zahl n mit a< bn.

Für ein natürliches a ist der Satz bereits bewiesen, da die Bedingung b > 0 bedeutet, dass die Zahl b natürlich ist. Für a  0 ist der Satz auch offensichtlich, da die rechte Seite bn eine natürliche Zahl ist, also auch größer als Null.

In einem Ring aus ganzen Zahlen (wie in jedem lokalisierten Ring) können wir das Konzept eines Moduls einführen:

|a| = .

Die Eigenschaften der Module sind fair:

1) |a + b|  |a| + |b|;

2) |a – b|  |a| – |b|;

3) |a  b| = |a|  |b|.

Nachweisen: 1) Beachten Sie, dass aus der Definition offensichtlich ist, dass |a| ist eine Größe, die immer nicht negativ ist (im ersten Fall |a| = a ≥ 0, im zweiten |a| = –a, aber a< 0, откуда –а >0). Die Ungleichungen |a| ≥ a, |a| ≥ –a (der Modul ist gleich dem entsprechenden Ausdruck, wenn er nicht negativ ist, und größer als dieser, wenn er negativ ist). Ähnliche Ungleichungen gelten für b: |b| ≥ b, |b| ≥ –b. Addiert man die entsprechenden Ungleichungen und wendet die Eigenschaft (b) angeordneter Ringe an, erhält man:

|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

Gemäß der Moduldefinition

|a+b| =
,

aber beide Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichheit überschreiten, wie oben gezeigt, nicht |a| + |b|, was die erste Eigenschaft von Modulen beweist.

2) Ersetzen Sie a in der ersten Eigenschaft durch a – b. Wir bekommen:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|a | ≤ |a – b| + |b|

Bewegen wir |b| von rechts nach links mit umgekehrtem Vorzeichen

|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a – b|  |a| – |b|.

Der Beweis von Eigenschaft 3 bleibt dem Leser überlassen.

Aufgabe: Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen

2y 2 + 3xy – 2x 2 + x – 2y = 5.

Lösung: Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren. Stellen Sie sich dazu den Term 3xy = – xy + 4xy vor

2y 2 + 3xy – 2x 2 + x – 2y = 2y 2 – xy + 4xy – 2x 2 + x – 2y =

Y(2y – x) + 2x(2y – x) – (2y – x) = (y + 2x – 1)(2y – x).

Somit kann unsere Gleichung umgeschrieben werden als

(y + 2x – 1)(2y – x) = 5.

Da wir es in ganzen Zahlen lösen müssen, müssen x und y ganze Zahlen sein, was bedeutet, dass die Faktoren auf der linken Seite unserer Gleichung ebenfalls ganze Zahlen sind. Die Zahl 5 auf der rechten Seite unserer Gleichung kann auf nur vier Arten als Produkt ganzzahliger Faktoren dargestellt werden:

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Daher sind folgende Optionen möglich:

1)
2)
3)
4)

Von den aufgeführten Systemen hat nur (4) eine ganzzahlige Lösung:

x = 1, y = –2.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Nr. 2.4. Beweisen Sie für die Elemente a, b, c, d eines beliebig angeordneten Rings die Eigenschaften:

a) a + c > b + c => a > b; b) a > b /\ c > d => a + c > b + d.

Nr. 2.5. Lösen Sie die Gleichungen in ganzen Zahlen:

a) y 2 – 2xy – 2x = 6; b) 2x 2 – 11xy + 12y 2 = 17; c) 35xy + 5x – 7y = 1; d) x 2 – 3xy + 2y 2 = 3; D) ;

f) xy + 3x – 5y + 3 = 0; g) 2xy – 3y 2 – 4y + 2x = 2; h) xy 2 + x = 48; i) 1! + 2! + 3! + … + n! = y 2 ; j) x 3 – 2y 3 – 4z 3 = 0

Nr. 2.6. Finden Sie eine vierstellige Zahl, die ein perfektes Quadrat ist und deren erste beiden Ziffern gleich sind und deren letzte beiden Ziffern gleich sind.

Nr. 2.7. Finden Sie eine zweistellige Zahl, die der Summe ihrer Zehner und dem Quadrat ihrer Einer entspricht.

Nr. 2.8. Finden Sie eine zweistellige Zahl, die dem doppelten Produkt ihrer Ziffern entspricht.

Nr. 2.9. Beweisen Sie, dass der Unterschied zwischen einer dreistelligen Zahl und einer mit denselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge geschriebenen Zahl nicht das Quadrat einer natürlichen Zahl sein kann.

Nr. 2.10. Finden Sie alle natürlichen Zahlen, die auf 91 enden und nach dem Streichen dieser Ziffern um einen ganzzahligen Faktor reduziert werden.

Nr. 2.11. Finden Sie eine zweistellige Zahl, die dem Quadrat ihrer Einheiten plus der Potenz ihrer Zehner entspricht.

Nr. 2.12. Finden Sie eine sechsstellige Zahl, die mit der Ziffer 2 beginnt und sich um das Dreifache erhöht, wenn diese Ziffer an das Ende der Zahl verschoben wird.

Nr. 2.13. Auf der Tafel stehen mehr als 40, aber weniger als 48 ganze Zahlen. Das arithmetische Mittel aller dieser Zahlen ist – 3, das arithmetische Mittel der positiven Zahlen ist 4 und das arithmetische Mittel der negativen ist – 8. Wie viele Zahlen stehen an der Tafel? Welche Zahlen sind größer, positiv oder negativ? Was ist die maximal mögliche Anzahl positiver Zahlen?

Nr. 2.14. Kann der Quotient aus einer dreistelligen Zahl und der Summe ihrer Ziffern gleich 89 sein? Könnte dieser Quotient gleich 86 sein? Was ist der maximal mögliche Wert dieses Quotienten?

Bundesamt für Bildung

Zustand Bildungseinrichtung höhere Berufsausbildung

Staatliche Humanitäre Universität Wjatka

Fakultät für Mathematik

Abteilung für Mathematische Analyse und Methoden
Mathematik unterrichten

Abschließende Qualifizierungsarbeit

zum Thema: Gaußscher Ganzzahlring.

Vollendet:

Student im 5. Jahr

Fakultät für Mathematik

Gnusov V.V.

___________________________

Wissenschaftlicher Leiter:

Oberdozent der Abteilung

Algebra und Geometrie

Semenov A. N..

___________________________

Rezensent:

Kandidat für Physik und Mathematik Naturwissenschaften, außerordentlicher Professor

Abteilung für Algebra und Geometrie

Kovyazina E.M.

___________________________

Zur Verteidigung bei der State Attestation Commission zugelassen

Kopf Abteilung________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Dekan der Fakultät ___________________ Varankina V.I.

Einführung.

Ring komplexer Ganzzahlen

wurde von Carl Gauss entdeckt und ihm zu Ehren Gauß-Gauß genannt.

Auf die Idee der Möglichkeit und Notwendigkeit einer Erweiterung des Ganzzahlbegriffs kam K. Gauß im Zusammenhang mit der Suche nach Algorithmen zur Lösung von Vergleichen zweiten Grades. Er übertrug den Begriff einer ganzen Zahl auf Zahlen der Form

, wobei es sich um beliebige ganze Zahlen handelt und die Wurzel der Gleichung ist. Auf einer gegebenen Menge war K. Gauss der erste, der eine Teilbarkeitstheorie aufstellte, ähnlich der Theorie der Teilbarkeit ganzer Zahlen. Er begründete die Gültigkeit der Grundeigenschaften der Teilbarkeit; zeigte, dass es im Ring der komplexen Zahlen nur vier invertierbare Elemente gibt: ; bewies die Gültigkeit des Satzes über die Division mit Rest, des Satzes über die Eindeutigkeit der Faktorisierung; zeigte, welche natürlichen Primzahlen in einem Ring Primzahlen bleiben; entdeckte die Natur einfacher Ganzzahlen und komplexer Zahlen.

Die von K. Gauß entwickelte und in seinem Werk „Arithmetische Studien“ beschriebene Theorie war eine grundlegende Entdeckung für die Zahlentheorie und die Algebra.

In der Abschlussarbeit wurden folgende Ziele festgelegt:

1. Entwickeln Sie die Theorie der Teilbarkeit im Ring der Gaußschen Zahlen.

2. Finden Sie die Natur der Primzahl-Gauß-Zahlen heraus.

3. Zeigen Sie die Verwendung von Gaußschen Zahlen zur Lösung gewöhnlicher diophantischer Probleme.

KAPITEL 1. DIVISION IM RING DER GAUSS-ZAHLEN.

Betrachten wir die Menge der komplexen Zahlen. In Analogie zur Menge der reellen Zahlen lässt sich darin eine bestimmte Teilmenge der ganzen Zahlen unterscheiden. Satz von Zahlen des Formulars

, Wo wir nennen sie komplexe ganze Zahlen oder Gaußsche Zahlen. Es ist leicht zu überprüfen, ob die Ringaxiome für diese Menge gelten. Somit ist diese Menge komplexer Zahlen ein Ring und heißt Ring der Gaußschen ganzen Zahlen . Bezeichnen wir es als , da es eine Erweiterung des Rings um das Element ist: .

Da der Ring der Gaußschen Zahlen eine Teilmenge komplexer Zahlen ist, gelten für ihn einige Definitionen und Eigenschaften komplexer Zahlen. Also zum Beispiel für jede Gaußsche Zahl

entspricht einem Vektor mit einem Anfang an einem Punkt und einem Ende bei . Somit, Modul Es gibt Gaußsche Zahlen. Beachten Sie, dass in der betrachteten Menge der submodulare Ausdruck immer eine nicht negative ganze Zahl ist. Daher ist die Verwendung in manchen Fällen bequemer Die Norm , also das Quadrat des Moduls. Auf diese Weise . Folgende Eigenschaften der Norm können unterschieden werden. Für alle Gaußschen Zahlen gilt: (1) (2) (3) (4) (5) – die Menge der natürlichen Zahlen, also der positiven ganzen Zahlen.

Die Gültigkeit dieser Eigenschaften wird mithilfe des Moduls trivial überprüft. Nebenbei bemerken wir, dass (2), (3), (5) auch für beliebige komplexe Zahlen gelten.

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist ein kommutativer Ring ohne Teiler 0, da er ein Unterring des Körpers der komplexen Zahlen ist. Dies impliziert die multiplikative Kontraktilität des Rings

, das ist (6)

1.1 REVERSIBLE UND VERBUNDENE ELEMENTE.

Mal sehen, welche Gaußschen Zahlen invertierbar sind. Multiplikation neutral ist

. Wenn eine Gaußsche Zahl reversibel , dann existiert per Definition so etwas. Wenn wir zu den Normen übergehen, erhalten wir gemäß Eigenschaft 3 . Aber diese Normen sind daher natürlich. Dies bedeutet nach Eigenschaft 4, . Umgekehrt sind alle Elemente dieser Menge invertierbar, da . Folglich sind Zahlen mit einer Norm gleich eins invertierbar, d. h. , .

Wie Sie sehen, sind nicht alle Gaußschen Zahlen invertierbar. Daher ist es interessant, sich mit der Frage der Teilbarkeit auseinanderzusetzen. Wie immer sagen wir das

Anteile auf , wenn es so etwas gibt. Für alle Gaußschen Zahlen sowie für invertierbare Zahlen gelten die Eigenschaften. (7) (8) (9) (10) , wobei (11) (12)

Leicht zu überprüfen (8), (9), (11), (12). Gerechtigkeit (7) folgt aus (2) und (10) folgt aus (6). Aufgrund der Eigenschaft (9) sind die Elemente der Menge