Sätze über die „größten“ und „kleinsten“ ganzen Zahlen
Satz 4 (über die „kleinste“ ganze Zahl). Jede nichtleere, nach unten begrenzte Menge ganzer Zahlen enthält die kleinste Zahl. (Hier wird wie bei den natürlichen Zahlen das Wort „Menge“ anstelle des Wortes „Teilmenge“ E verwendet
Nachweisen. Seien O A C Z und A nach unten beschränkt, d. h. 36? ZVa? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Sei nun b A.
Dann Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >UM).
Bilden wir eine Menge M aller Zahlen der Form a - b, wobei a durch die Menge A verläuft, d.h. M = (c [ c = a - b, a E A)
Offensichtlich ist die Menge M nicht leer, da A 74 0 ist
Wie oben erwähnt, M C N . Folglich gibt es nach dem Satz der natürlichen Zahlen (54, Kap. III) in der Menge M die kleinste natürliche Zahl m. Dann ist m = a1 - b für eine Zahl a1? A, und da m das kleinste in M ist, dann Ua? Bei< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Satz 5 (über die „größte“ ganze Zahl). Jede nicht leere, begrenzte Menge ganzer Zahlen enthält die größte Zahl.
Nachweisen. Seien O 74 A C Z und A von oben durch die Zahl b begrenzt, d.h. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b für alle Zahlen a? A.
Folglich ist die Menge M (mit r = -a, a? A) nicht leer und wird nach unten durch die Zahl (-6) begrenzt. Daher kommt nach dem vorherigen Satz die kleinste Zahl in der Menge M vor, d.h. As? MUs? MS< с).
Bedeutet das Wah? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >A)
Z. Verschiedene Formen Methode der mathematischen Induktion für ganze Zahlen. Divisionssatz mit Rest
Satz 1 (erste Form der Methode der mathematischen Induktion). Sei P(c) ein einstelliges Prädikat, das auf der Menge Z der ganzen Zahlen 4 definiert ist. Wenn dann für eine ZAHL a Z der Satz P(o) und für eine beliebige ganze Zahl K > a aus P(K) P(K -4- 1) folgt, dann gilt der Satz P(r) für alle ganze Zahlen, t Zahlen c > a (d. h. die folgende Formel der Prädikatenrechnung gilt für die Menge Z:
Р(а) Bogen > + 1)) Ус > аР(с)
für jede feste ganze Zahl a
Nachweisen. Alles, was in den Bedingungen des Satzes gesagt wird, sei für den Satz P (c) wahr, d.h.
1) P(a) – wahr;
2) UK Shch k + ist auch wahr.
Vom Gegenteil. Angenommen, es gibt eine solche Zahl
b > a, dass RF) falsch ist. Offensichtlich b a, da P(a) wahr ist. Bilden wir die Menge M = (z ? > a, P(z) ist falsch).
Dann ist die Menge M 0, da b? M und M- werden von unten durch die Zahl a begrenzt. Folglich gibt es nach dem Satz über die kleinste ganze Zahl (Satz 4, 2) eine kleinste ganze Zahl c in der Menge M. Daher ist c > a, was wiederum c - 1 > a impliziert.
Beweisen wir, dass P(c-1) wahr ist. Wenn c-1 = a, dann ist P (c-1) aufgrund der Bedingung wahr.
Sei c- 1 > a. Dann bedeutet die Annahme, dass P(c- 1) falsch ist, die Zugehörigkeit zu 1? M, was nicht sein kann, da die Zahl c die kleinste in der Menge M ist.
Somit ist c - 1 > a und P(c - 1) wahr.
Daher ist aufgrund der Bedingungen dieses Theorems der Satz P((c- 1) + 1) wahr, d.h. R(s) – wahr. Dies widerspricht der Wahl der Zahl c, da c? M Der Satz ist bewiesen.
Beachten Sie, dass dieser Satz Korollar 1 von Peanos Axiomen verallgemeinert.
Satz 2 (zweite Form der Methode der mathematischen Induktion für ganze Zahlen). Sei P(c) ein einstelliges Prädikat, das auf der Menge Z von ganzen Zahlen definiert ist. Dann gilt, wenn der Satz P(c) für eine ganze Zahl K und für eine beliebige ganze Zahl s K gültig ist, aus der Gültigkeit des Satzes P(c) für alle ganzen Zahlen, die die Ungleichung K erfüllen< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >ZU.
Der Beweis dieses Satzes wiederholt weitgehend den Beweis eines ähnlichen Satzes für natürliche Zahlen (Satz 1, 55, Kapitel III).
Satz 3 (dritte Form der Methode der mathematischen Induktion). Sei P(c) ein einstelliges Prädikat, das auf der Menge Z ganzzahliger ZAHLEN definiert ist. Wenn dann P(c) für alle Zahlen einer unendlichen Teilmenge M der Menge der natürlichen Zahlen und für eine beliebige ganze Zahl a wahr ist, impliziert die Wahrheit von P(a) die Wahrheit von P(a - 1), dann gilt der Satz P(c) gilt für alle ganzen Zahlen.
Der Beweis ähnelt dem Beweis des entsprechenden Satzes für natürliche Zahlen.
Wir bieten es als interessante Übung an.
Beachten Sie, dass die dritte Form der mathematischen Induktion in der Praxis weniger verbreitet ist als die anderen. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass es für seine Anwendung notwendig ist, die unendliche Teilmenge M der Menge der natürlichen Zahlen zu kennen, die im Satz diskutiert wird. Ein solches Set zu finden ist möglicherweise keine leichte Aufgabe.
Der Vorteil der dritten Form gegenüber den anderen besteht jedoch darin, dass mit ihrer Hilfe der Satz P(c) für alle ganzen Zahlen bewiesen werden kann.
Nachfolgend stellen wir zur Verfügung interessantes Beispiel Anwendung der dritten Form.“ Aber lassen Sie uns zunächst ein sehr wichtiges Konzept erläutern.
Definition. Der Absolutwert einer ganzen Zahl a ist eine durch die Regel bestimmte Zahl
0, wenn a O a, wenn a > O
Und wenn a< 0.
Wenn also eine 0, dann ? N.
Wir laden den Leser ein, als Übung die folgenden Eigenschaften von absolutem Wert zu beweisen:
Satz (über Division mit Rest). Für alle ganzen Zahlen a und b, wobei b 0 ist, existiert und darüber hinaus nur ein Zahlenpaar q U m mit a r: bq + T L D.
Nachweisen.
1. Existenz des Paares (q, m).
Lassen Sie a, b? Z und 0. Zeigen wir, dass es ein Zahlenpaar q gibt, das die Bedingungen erfüllt
Wir führen den Beweis durch Induktion in der dritten Form über die Zahl a für eine feste Zahl b durch.
M = (mlm= n lbl,n? N).
Es ist offensichtlich, dass M C eine Abbildung f: N M ist, definiert durch die Regel f(n) = nlbl für jedes n? N ist eine Bijektion. Das bedeutet, dass M N, d.h. M-unendlich.
Beweisen wir, dass für eine beliebige Zahl a? Die M- (und b-feste) Aussage des Satzes über die Existenz eines Zahlenpaares q und m ist wahr.
In der Tat sei ein (- M. Dann ein pf! für einige n? N.
Wenn b > 0, dann a = n + O. Wenn wir nun q = n und m O setzen, erhalten wir das erforderliche Zahlenpaar q und m< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Machen wir nun eine induktive Annahme. Nehmen wir an, dass für eine beliebige ganze Zahl c (und ein beliebiges festes b 0) die Aussage des Satzes wahr ist, d.h. Es gibt ein Zahlenpaar (q, m), so dass
Beweisen wir, dass dies auch für die Zahl (mit 1) gilt. Aus der Gleichheit c = bq -4- folgt bq + (t - 1). (1)
Es kann Fälle geben.
1) m > 0. Dann ist 7" - 1 > 0. Wenn wir in diesem Fall - m - 1 setzen, erhalten wir c - 1 - bq + Tl, wobei das Paar (q, 7"1,) offensichtlich die Bedingung erfüllt
0. Dann c - 1 bq1 + 711 , wobei q1
Wir können leicht beweisen, dass 0< < Д.
Somit gilt die Aussage auch für ein Zahlenpaar
Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.
P. Einzigartigkeit des Paares q usw.
Angenommen, für die Zahlen a und b 0 gibt es zwei Zahlenpaare (q, m) und (q1, die dann die Bedingungen (*) erfüllen
Beweisen wir, dass sie übereinstimmen. Also lass
und ein bq1 L O< Д.
Dies impliziert, dass b(q1 -q) m- 7 1 1. Aus dieser Gleichheit folgt Folgendes
Wenn wir nun annehmen, dass q ql, dann q - q1 0, woraus lq - q1l 1. Wenn wir diese Ungleichungen Term für Term mit der Zahl lbl multiplizieren, erhalten wir φ! - q11 D. (3)
Gleichzeitig aus Ungleichungen 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Übungen:
1. Vervollständigen Sie die Beweise der Sätze 2 und 3 aus 5 1.
2. Beweisen Sie Korollar 2 aus Satz 3, 1.
3. Beweisen Sie, dass die Teilmenge H C Z aus allen Zahlen der Form besteht< п + 1, 1 >(n? N), geschlossen unter Addition und Multiplikation.
4. H bedeute die gleiche Menge wie in Aufgabe 3. Beweisen Sie, dass die Abbildung ј : M die Bedingungen erfüllt:
1) ј - Bijektion;
2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) und j(nm) = ј(n) j(m) für beliebige Zahlen n, m (d. h. ј führt einen Isomorphismus der Algebren (N) durch , 4, und (H, + ,).
5. Vervollständigen Sie den Beweis von Satz 1 von 2.
6. Beweisen Sie, dass für alle ganzen Zahlen a, b, c die folgenden Implikationen gelten:
7. Beweisen Sie den zweiten und dritten Satz von Z.
8. Beweisen Sie, dass der Ring Z der ganzen Zahlen keine Nullteiler enthält.
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BildungspublikationAusgabe
Wladimir Konstantinowitsch Kartaschow
EINFÜHRUNGSKURS IN DIE MATHEMATIK
Redaktionelle Vorbereitung von O. I. Molokanova. Das ursprüngliche Layout wurde von A. P. Boshchenko erstellt
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Unterzeichnet zur Veröffentlichung am 28. August 1999. Format 60x84/16. Bürodruck Boom. Typ. M 2. Uel. Ofen l. 8.2. Akademische Hrsg. l. 8.3. Auflage 500 Exemplare. Bestellung 2
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1. Linearer (Vektor-)Raum über dem Feld. Beispiele. Unterräume, einfachste Eigenschaften. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren.
2. Basis und Dimension des Vektorraums. Koordinatenmatrix eines Vektorsystems. Übergang von einer Basis zur anderen. Isomorphismus von Vektorräumen.
3. Algebraische Geschlossenheit des Körpers komplexer Zahlen.
4. Ring der ganzen Zahlen. Reihenfolge von ganzen Zahlen. Sätze über die „größten“ und „kleinsten“ ganzen Zahlen.
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14. Natürliche Zahlen (Grundlagen der axiomatischen Theorie der natürlichen Zahlen). Sätze über die „größten“ und „kleinsten“ natürlichen Zahlen.
15. Polynome über einem Körper. Satz über die Division mit Rest. Der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome, seine Eigenschaften und Ermittlungsmethoden.
16. Binäre Beziehungen. Äquivalenzbeziehung. Äquivalenzklassen, Faktorsatz.
17. Mathematische Induktion für natürliche und ganze Zahlen.
18. Eigenschaften relativer Primzahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ganzer Zahlen, seine Eigenschaften und Methoden zum Finden.
19. Körper komplexer Zahlen, Zahlenkörper. Geometrische Darstellung und trigonometrische Form einer komplexen Zahl.
20. Satz über die Division mit Rest für ganze Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler ganzer Zahlen, seine Eigenschaften und Ermittlungsmethoden.
21. Lineare Operatoren des Vektorraums. Kernel und Bild eines linearen Operators. Algebra linearer Operatoren im Vektorraum. Eigenwerte und Eigenvektoren eines linearen Operators.
22. Affine Transformationen der Ebene, ihre Eigenschaften und Spezifizierungsmethoden. Gruppe affiner Transformationen der Ebene und ihrer Untergruppen.
23. Polygone. Fläche eines Polygons. Existenz- und Einzigartigkeitssatz.
24. Gleiche Größe und gleiche Zusammensetzung der Polygone.
25. Geometrie von Lobatschewski. Konsistenz des Axiomensystems der Lobatschewski-Geometrie.
26. Das Konzept der Parallelität in der Lobatschewski-Geometrie. Die relative Position der Linien auf der Lobatschewski-Ebene.
27. Bewegungsformeln. Klassifizierung von Flugzeugbewegungen. Anwendungen zur Problemlösung.
28. Die relative Lage zweier Ebenen, einer Geraden und einer Ebene, zwei Geraden im Raum (in analytischer Darstellung).
29. Projektive Transformationen. Existenz- und Einzigartigkeitssatz. Formeln für projektive Transformationen.
30. Skalare, Vektor- und gemischte Vektorprodukte, ihre Anwendung zur Problemlösung.
31. Das Weyl-Axiomsystem des dreidimensionalen euklidischen Raums und seine inhaltliche Konsistenz.
32. Bewegungen des Flugzeugs und ihre Eigenschaften. Gruppe von Flugzeugbewegungen. Satz der Existenz und Einzigartigkeit der Bewegung.
33. Projektive Ebene und ihre Modelle. Projektive Transformationen, ihre Eigenschaften. Gruppe projektiver Transformationen.
34. Ebenenähnliche Transformationen, ihre Eigenschaften. Gruppe ebener Ähnlichkeitstransformationen und ihre Untergruppen.
35. Glatte Oberflächen. Die erste quadratische Form einer Fläche und ihre Anwendungen.
36. Paralleles Design und seine Eigenschaften. Abbildung flacher und räumlicher Figuren in Parallelprojektion.
37. Glatte Linien. Krümmung einer Raumkurve und ihre Berechnung.
38. Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte. Kanonische Gleichungen.
39. Richtungseigenschaft von Ellipse, Hyperbel und Parabel. Polargleichungen.
40. Doppelverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden, seine Eigenschaften und Berechnung. Harmonische Trennung von Punktpaaren. Vollständiges Viereck und seine Eigenschaften. Anwendung zur Lösung von Bauproblemen.
41. Sätze von Pascal und Brianchon. Pole und Polaren.
Beispielfragen zur mathematischen Analyse
Wie Sie wissen, kann die Menge der natürlichen Zahlen mithilfe der „Kleiner-als“-Beziehung geordnet werden. Aber die Regeln für die Konstruktion einer axiomatischen Theorie erfordern, dass diese Beziehung nicht nur definiert wird, sondern auch auf der Grundlage von Konzepten erfolgt, die bereits in dieser Theorie definiert sind. Dies kann erreicht werden, indem die „Kleiner-als“-Beziehung durch Addition definiert wird.
Definition. Die Zahl a ist kleiner als die Zahl b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = B.
Unter diesen Voraussetzungen spricht man auch von der Zahl B mehr A und schreibe b > a.
Satz 12. Für alle natürlichen Zahlen A Und B Es gilt nur eine von drei Beziehungen: a = b, a > b, A < B.
Auf den Beweis dieses Theorems verzichten wir.. Aus diesem Satz folgt, dass if
a¹ b, entweder A< b, oder a > b, diese. die Relation „weniger“ hat die Eigenschaft der Verbundenheit.
Satz 13. Wenn A< b Und B< с. Das A< с.
Nachweisen. Dieser Satz drückt die Transitivitätseigenschaft der „Kleiner-als“-Relation aus.
Als A< b Und B< с. dann gibt es nach der Definition der „Kleiner-als“-Relation natürliche Zahlen Zu Na und b = a + k und c = b + I. Aber dann c = (a + k)+ / und basierend auf der assoziativen Additionseigenschaft erhalten wir: c = a + (k +/). Weil das k + I - natürliche Zahl, also nach der Definition von „weniger“, A< с.
Satz 14. Wenn A< b, das stimmt nicht B< а. Nachweisen. Dieser Satz drückt die Eigenschaft aus Antisymmetrie„weniger“ Beziehung.
Beweisen wir das zunächst für keine einzige natürliche Zahl A nicht du-!>! ■ )ihre Einstellung A< A. Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. Was A< а tritt ein. Dann gibt es nach der Definition der „Kleiner-als“-Beziehung eine natürliche Zahl Mit, Was A+ Mit= A, und dies widerspricht Satz 6.
Lassen Sie uns nun beweisen, dass wenn A< B, dann stimmt das nicht B < A. Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. was ist, wenn A< b , Das B< а durchgeführt. Aber aus diesen Gleichheiten haben wir nach Satz 12 A< а, was unmöglich ist.
Da die von uns definierte „Kleiner-als“-Beziehung antisymmetrisch und transitiv ist und die Eigenschaft der Verbundenheit hat, handelt es sich um eine Beziehung lineare Ordnung und die Menge der natürlichen Zahlen linear geordnete Menge.
Aus der Definition von „kleiner als“ und seinen Eigenschaften können wir die bekannten Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen ableiten.
Satz 15. Von allen natürlichen Zahlen ist eine die kleinste Zahl, d. h. ICH< а для любого натурального числа a¹1.
Nachweisen. Lassen A - jede natürliche Zahl. Dann sind zwei Fälle möglich: a = 1 und a¹ 1. Wenn a = 1, dann gibt es eine natürliche Zahl B, gefolgt von a: a = b " = b + Ich = 1 + B, d. h. per Definition der „Kleiner-als“-Beziehung 1< A. Daher ist jede natürliche Zahl gleich 1 oder größer als 1. Oder eins ist die kleinste natürliche Zahl.
Die Relation „kleiner als“ ist mit der Addition und Multiplikation von Zahlen durch die Eigenschaften der Monotonie verbunden.
Satz 16.
a = b => a + c = b + c und a c = b c;
A< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c und ac > bc.
Nachweisen. 1) Die Gültigkeit dieser Aussage ergibt sich aus der Einzigartigkeit von Addition und Multiplikation.
2) Wenn A< b,
dann gibt es so eine natürliche Zahl k, Was A
+ k = b.
Dann B+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Zu)= (a + c) + k. Gleichwertigkeit B+ c = (a + c) + k bedeutet, dass a + c< b
+ Mit.
Genauso ist es auch bewiesen A< b =>ac< bс.
3) Der Beweis ist ähnlich.
Satz 17(die Umkehrung von Satz 16).
1) A+ c = b + c oder ac ~ vc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с oder ac< v. ChrÞ A< Ь:
3) a + c > b+ mit oder ac > vcÞ a > b.
Nachweisen. Beweisen wir zum Beispiel das aus ac< bс sollen A< b Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. dass die Schlussfolgerung des Theorems nicht gilt. Dann kann es das nicht sein a = b. denn dann wäre die Gleichheit erfüllt ac = v. Chr(Satz 16); das kann nicht sein A> B, denn dann wäre es so ac > bс(Satz!6). Daher gilt nach Satz 12: A< b.
Aus den Sätzen 16 und 17 können wir die bekannten Regeln für die termweise Addition und Multiplikation von Ungleichungen ableiten. Wir lassen sie weg.
Satz 18. Für alle natürlichen Zahlen A Und B; Es gibt eine natürliche Zahl n, so dass p b> a.
Nachweisen. Für jeden A es gibt so eine Nummer P, Was n > a. Dazu genügt die Einnahme n = a + 1. Termweise Multiplikation von Ungleichungen P> A Und B> 1, wir bekommen pb > A.
Aus den betrachteten Eigenschaften der „Kleiner-als“-Beziehung folgt dies wichtige Funktionen Mengen natürlicher Zahlen, die wir ohne Beweis präsentieren.
1. Nicht für irgendeine natürliche Zahl A Es gibt keine solche natürliche Zahl P, Was A< п < а +
1. Diese Eigenschaft heißt Eigentum
Diskretion Mengen natürlicher Zahlen und Zahlen A Und ein + 1 heißt benachbart.
2.
Jede nicht leere Teilmenge natürlicher Zahlen enthält
kleinste Zahl.
3. Wenn M- nicht leere Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen
und es gibt so eine Zahl B, das für alle Zahlen x aus M nicht ausgeführt
Gleichheit x< B, dann im Überfluss M ist die größte Zahl.
Lassen Sie uns die Eigenschaften 2 und 3 anhand eines Beispiels veranschaulichen. Lassen M- eine Reihe zweistelliger Zahlen. Als M ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und für alle Zahlen in dieser Menge gilt die Ungleichung x< 100, то в множестве M ist die größte Zahl 99. Die kleinste in einer gegebenen Menge enthaltene Zahl M, - Nummer 10.
Somit ermöglichte die „Kleiner-als“-Relation die Berücksichtigung (und in einigen Fällen den Nachweis) einer erheblichen Anzahl von Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen. Insbesondere ist es linear geordnet, diskret und hat die kleinste Zahl 1.
Grundschüler werden gleich zu Beginn ihrer Schulzeit mit der „Kleiner-als“-Relation („größer als“) für natürliche Zahlen vertraut gemacht. Und oft wird neben der mengentheoretischen Interpretation implizit auch die von uns im Rahmen der axiomatischen Theorie gegebene Definition verwendet. Beispielsweise können die Schüler erklären, dass 9 > 7 ist, weil 9 7+2 ist. Auch die implizite Verwendung der Monotonieeigenschaften der Addition und Multiplikation ist üblich. Kinder erklären zum Beispiel: „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Übungen
1. Warum kann die Menge der natürlichen Zahlen nicht mit der „sofort folgen“-Relation geordnet werden?
Haltung definieren a > b und beweisen Sie, dass es transitiv und antisymmetrisch ist.
3. Beweisen Sie, dass wenn a, b, c sind natürliche Zahlen, dann:
A) A< b Þ ас < bс;
B) A+ Mit< b + сÞ> A< Ь.
4. Welche Sätze zur Monotonie von Addition und Multiplikation können
Verwendung durch jüngere Schüler beim Lösen der Aufgabe „Vergleichen ohne zu rechnen“:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27 -18.
5. Welche Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen werden von Grundschulkindern implizit genutzt, wenn sie die folgenden Aufgaben lösen:
A) Notieren Sie die Zahlen, die größer als 65 und kleiner als 75 sind.
B) Benennen Sie die vorherige und nachfolgende Zahl im Verhältnis zur Zahl 300 (800.609.999).
C) Nennen Sie die kleinste und größte dreistellige Zahl.
Subtraktion
In der axiomatischen Konstruktion der Theorie der natürlichen Zahlen wird die Subtraktion üblicherweise als die Umkehroperation der Addition definiert.
Definition. Die Subtraktion der natürlichen Zahlen a und b ist eine Operation, die die Bedingung a – b = c genau dann erfüllt, wenn b + c = a.
Nummer a - b heißt die Differenz zwischen den Zahlen a und B, Nummer A– Minuendible, Zahl B- Selbstbehalt.
Satz 19. Differenz natürlicher Zahlen A- B existiert genau dann, wenn B< а.
Nachweisen. Lassen Sie den Unterschied A- B existiert. Dann gibt es nach der Definition der Differenz eine natürliche Zahl Mit, Was b + c = a, was bedeutet, dass B< а.
Wenn B< а, Dann gibt es nach der Definition der Beziehung „kleiner als“ eine natürliche Zahl c, so dass b + c = a. Dann ist per Definition der Differenz c = a - b, diese. Unterschied a - b existiert.
Satz 20. Wenn die Differenz natürlicher Zahlen A Und B existiert, dann ist es einzigartig.
Nachweisen. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche Werte der Differenz zwischen Zahlen A Und B;: a – b= s₁ Und a - b= s₂, Und с₁ ¹ с₂ . Dann haben wir per Definition der Differenz: a = b + c₁, Und a = b + c₂ : . Es folgt dem B+ c₁ = b + c₂ : und basierend auf Satz 17 schließen wir: с₁ = с₂.. Wir sind mit der Annahme auf einen Widerspruch gestoßen, was bedeutet, dass sie falsch ist, aber dieser Satz ist richtig.
Basierend auf der Definition der Differenz natürlicher Zahlen und den Bedingungen ihrer Existenz lassen sich die bekannten Regeln zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe und einer Summe von einer Zahl begründen.
Satz 21. Lassen A. B Und Mit- ganze Zahlen.
und wenn a > c, dann ist (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Wenn b > c. dann (a + b) – c – a + (b – c).
c) Wenn a > c und b > c. Dann können Sie jede dieser Formeln verwenden.
Nachweisen. Im Fall a) die Differenz der Zahlen A Und C existiert, weil a > s. Bezeichnen wir es mit x: a - c = x. Wo a = c + x. Wenn (A+ b) - c = y. dann, per Definition der Differenz, A+ B = Mit+ bei. Lassen Sie uns stattdessen in diese Gleichheit einsetzen A Ausdruck c + x:(c + x) + b = c + y. Nutzen wir die Assoziativitätseigenschaft der Addition: c + (x + b) = c+ bei. Lassen Sie uns diese Gleichheit basierend auf der Eigenschaft der Monotonie der Addition transformieren und erhalten:
x + b = u..Ersetzen von x in dieser Gleichung durch den Ausdruck a - c, werde haben (A - G) + b = y. Damit haben wir bewiesen, dass if a > c, dann ist (a + b) - c = (a - c) + b
Der Beweis erfolgt analog im Fall b).
Der bewährte Satz lässt sich in Form einer leicht zu merkenden Regel formulieren: Um eine Zahl von einer Summe zu subtrahieren, reicht es aus, diese Zahl von einem Term der Summe zu subtrahieren und zum resultierenden Ergebnis einen weiteren Term hinzuzufügen.
Satz 22. Lassen a, b und c - ganze Zahlen. Wenn a > b+ s also A- (b + c) = (a - b) - c oder a - (b + c) = (a - c) - b.
Der Beweis dieser Theorie ähnelt dem Beweis von Satz 21.
Satz 22 lässt sich als Regel formulieren: Um die Summe der Zahlen von einer Zahl zu subtrahieren, reicht es aus, jeden Term einzeln von dieser Zahl zu subtrahieren.
IN Grundschulbildung Mathematik-Definition der Subtraktion als Umkehrung der Addition in Gesamtansicht, ist in der Regel nicht gegeben, wird aber ständig verwendet, beginnend mit der Durchführung von Operationen an einstelligen Zahlen. Die Schüler sollten klar verstehen, dass die Subtraktion mit der Addition zusammenhängt, und diese Beziehung in Berechnungen verwenden. Wenn Schüler beispielsweise die Zahl 16 von der Zahl 40 subtrahieren, argumentieren sie folgendermaßen: „Die Zahl 16 von 40 zu subtrahieren bedeutet, eine Zahl zu finden, deren Addition zur Zahl 16 das Ergebnis 40 ergibt; diese Zahl wird 24 sein, da 24 + 16 = 40. Also. 40 - 16 = 24.“
Die Regeln zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe und einer Summe von einer Zahl in einem Grundkurs Mathematik sind: theoretische Basis verschiedene Berechnungsmethoden. Beispielsweise kann der Wert des Ausdrucks (40 + 16) - 10 nicht nur durch Berechnen der Summe in Klammern und anschließendes Subtrahieren der Zahl 10 davon ermittelt werden, sondern auch auf diese Weise;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Übungen
1. Stimmt es, dass jede natürliche Zahl von der unmittelbar nächsten durch Subtraktion von eins erhalten wird?
2. Was ist das Besondere an der logischen Struktur von Satz 19? Kann man es mit den Worten „notwendig und ausreichend“ formulieren?
3. Beweisen Sie Folgendes:
und wenn b > c, Das (a + b) - c = a + (b - c);
b) wenn a > b + c, Das a - (geb+ c) = (a - b) - c.
4. Ist es möglich, ohne Berechnungen zu sagen, welche Ausdrücke die gleichen Werte haben:
a) (50 + 16)- 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 – (16 – 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Welche Eigenschaften der Subtraktion bilden die theoretische Grundlage für die folgenden Rechentechniken, die im Mathematik-Grundkurs erlernt werden:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6 - P;
c) 48 – 30 = (40 + 8) – 30 = 40 + 8 =18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Beschreiben Sie mögliche Wege Berechnen des Werts eines Ausdrucks der Form. a - b- Mit und veranschaulichen sie anhand konkreter Beispiele.
7. Beweisen Sie das wann B< а und jedes natürliche c ist die Gleichheit wahr (a – b) c = ac – vc.
Notiz: Der Beweis basiert auf Axiom 4.
8. Bestimmen Sie den Wert eines Ausdrucks, ohne schriftliche Berechnungen durchzuführen. Begründen Sie Ihre Antworten.
a) 7865 × 6 – 7865 ×5: b) 957 × 11 – 957; c) 12 × 36 – 7 × 36.
Aufteilung
In der axiomatischen Konstruktion der Theorie der natürlichen Zahlen wird die Division üblicherweise als die Umkehroperation der Multiplikation definiert.
Definition. Die Division der natürlichen Zahlen a und b ist eine Operation, die die Bedingung erfüllt: a: b = c genau dann, wenn Zu wenn b× c = a.
Nummer a:b angerufen Privat Zahlen A Und B, Nummer A teilbar, Zahl B- Teiler.
Wie bekannt ist, gibt es eine Division in der Menge der natürlichen Zahlen nicht immer, und es gibt kein so praktisches Zeichen für die Existenz eines Quotienten wie für eine Differenz. Da ist nur notwendige Bedingung Existenz des Privaten.
Satz 23. Damit es einen Quotienten zweier natürlicher Zahlen gibt A Und B, es ist nötig dass B< а.
Nachweisen. Sei der Quotient der natürlichen Zahlen A Und B existiert, d.h. Es gibt eine natürliche Zahl c, so dass bc = a. Denn für jede natürliche Zahl 1 gilt die Ungleichung 1 £ Mit, Dann werden beide Teile mit einer natürlichen Zahl multipliziert B, wir bekommen B£ v. Chr. Aber bc = a, somit, B£ A.
Satz 24. Wenn der Quotient der natürlichen Zahlen A Und B existiert, dann ist es einzigartig.
Der Beweis dieses Satzes ähnelt dem Beweis des Satzes über die Eindeutigkeit der Differenz natürlicher Zahlen.
Basierend auf der Definition des Quotienten natürlicher Zahlen und den Bedingungen seiner Existenz lassen sich die bekannten Regeln zur Division einer Summe (Differenz, Produkt) durch eine Zahl begründen.
Satz 25. Wenn die Zahlen A Und B durch eine Zahl teilbar Mit, dann ihre Summe a + b dividiert durch c und der durch Division der Summe erhaltene Quotient A+ B pro Nummer Mit, gleich der Summe der durch Division erhaltenen Quotienten A An Mit Und B An Mit, d.h. (a + b):c = a:c + b:Mit.
Nachweisen. Da die Nummer A geteilt durch Mit, dann gibt es eine natürliche Zahl x = A; Das ist es a = cx. Ebenso gibt es eine solche natürliche Zahl y = b:Mit, Was
B= su. Aber dann a + b = cx+ cy = - c(x + y). Das bedeutet es a + b wird durch c dividiert und der Quotient wird durch Division der Summe erhalten A+ B durch die Zahl c, gleich x + ja, diese. Axt + b: c.
Der bewährte Satz lässt sich als Regel zum Teilen einer Summe durch eine Zahl formulieren: Um die Summe durch eine Zahl zu teilen, genügt es, jeden Term durch diese Zahl zu dividieren und die resultierenden Ergebnisse zu addieren.
Satz 26. Wenn natürliche Zahlen A Und B durch eine Zahl teilbar Mit Und a > b, dann der Unterschied a - b wird durch c dividiert, und der Quotient, der durch Division der Differenz durch die Zahl c erhalten wird, ist gleich der Differenz der durch Division erhaltenen Quotienten A An Mit Und B auf c, d.h. (a - b):c = a:c - b:c.
Der Beweis dieses Satzes ähnelt dem Beweis des vorherigen Satzes.
Dieser Satz lässt sich als Regel zur Division der Differenz durch eine Zahl formulieren: Für Um die Differenz durch eine Zahl zu dividieren, genügt es, den Minuend und den Subtrahend durch diese Zahl zu dividieren und den zweiten vom ersten Quotienten zu subtrahieren.
Satz 27. Wenn eine natürliche Zahl A ist durch eine natürliche Zahl c teilbar, dann für jede natürliche Zahl B arbeiten ab geteilt durch s. In diesem Fall der Quotient, der sich durch Division des Produkts ergibt ab s nummerieren , gleich dem Produkt des durch Division erhaltenen Quotienten A An Mit, und Zahlen b: (a × b):c – (a:c) × b.
Nachweisen. Als A geteilt durch Mit, dann gibt es eine natürliche Zahl x, so dass a:c= x, wo a = cx. Beide Seiten der Gleichheit mit multiplizieren B, wir bekommen ab = (cx)b. Da die Multiplikation also assoziativ ist (cx) b = c(x b). Von hier (a b):c = x b= (a:c) b. Der Satz lässt sich als Regel zur Division eines Produkts durch eine Zahl formulieren: Um ein Produkt durch eine Zahl zu dividieren, genügt es, einen der Faktoren durch diese Zahl zu dividieren und das resultierende Ergebnis mit dem zweiten Faktor zu multiplizieren.
Im Mathematikunterricht der Grundschule wird die Definition der Division als Umkehroperation der Multiplikation in der Regel nicht in allgemeiner Form gegeben, sondern ab den ersten Lektionen der Einarbeitung in die Division ständig verwendet. Die Schüler sollten klar verstehen, dass Division mit Multiplikation zusammenhängt, und diese Beziehung bei Berechnungen verwenden. Wenn Schüler beispielsweise 48 durch 16 dividieren, argumentieren sie folgendermaßen: „48 durch 16 dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 16 multipliziert wird, 48 ergibt; eine solche Zahl wäre 3, da 16×3 = 48. Daher ist 48: 16 = 3.
Übungen
1. Beweisen Sie Folgendes:
a) wenn der Quotient der natürlichen Zahlen A und B existiert, dann ist es einzigartig;
b) wenn die Zahlen A und B sind geteilt in Mit Und a > b, Das (a - b): c = a: c - b: c.
2. Kann man sagen, dass alle diese Gleichheiten wahr sind:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 =850:10:17.
Welche Regel verallgemeinert diese Fälle? Formulieren Sie es und beweisen Sie es.
3. Welche Teilungseigenschaften bilden die theoretische Grundlage?
Erledigung der folgenden Aufgaben, die Schülern angeboten werden Grundschulklassen:
Ist es möglich, ohne eine Division durchzuführen, zu sagen, welche Ausdrücke die gleiche Bedeutung haben:
a) (40+ 8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;
b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;
Sind die Gleichheiten wahr:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Beschreiben Sie mögliche Methoden zur Berechnung des Werts eines Ausdrucks
Typ:
A) (A+ b):c; B) A:B: Mit; V) ( a × b): Mit .
Veranschaulichen Sie die vorgeschlagenen Methoden anhand konkreter Beispiele.
5. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks auf rationale Weise; ihre
Begründen Sie Ihr Handeln:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Begründen Sie die folgenden Methoden zur Division durch eine zweistellige Zahl:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 – 18): 18 = 900:18 – 18:18 = 50 – 1 =49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Finden Sie das Rationalste, ohne durch eine Ecke zu teilen
auf Quotientenart; Begründen Sie die gewählte Methode:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Vorlesung 34. Eigenschaften der Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen
1. Die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen. Eigenschaften der Menge nicht negativer Ganzzahlen.
2. Das Konzept eines Segments einer natürlichen Reihe von Zahlen und Zählelementen einer endlichen Menge. Ordinale und kardinale natürliche Zahlen.
