Numerele naturale nu sunt un inel, deoarece 0 nu este un număr natural și, de asemenea, pentru numerele naturale nu există opuși naturali. Structura formată din numere naturale se numește jumătate de inel. Mai precis,

Jumătate de inel se numește semigrup comutativ față de adunare și semigrup față de înmulțire, în care operațiile de adunare și înmulțire sunt legate prin legi distributive.

Să introducem acum definiții stricte ale numerelor întregi și să le demonstrăm echivalența. Pe baza ideilor despre structurile algebrice și a faptului că mulțimea numerelor naturale este un semicerc, dar nu este un inel, putem introduce următoarea definiție:

Definiția 1. Un inel întreg este un inel minim care conține un semi-inel de numere naturale.

Această definiție nu spune nimic despre aspect asemenea numere. În cursul școlar, numerele întregi sunt definite ca numere naturale, contrariile lor și 0. Această definiție poate fi luată și ca bază pentru construirea unei definiții stricte.

Definiția 2. Un inel de numere întregi este un inel ale cărui elemente sunt numere naturale, opusele lor și 0 (și numai ele).

Teorema 1. Definițiile 1 și 2 sunt echivalente.

Dovada: Să notăm cu Z 1 inelul numerelor întregi în sensul Definiției 1, iar cu Z 2 inelul numerelor întregi în sensul Definiției 2. Mai întâi demonstrăm că Z 2 este inclus în Z 1 . Într-adevăr, toate elementele lui Z 2 sunt fie numere naturale (aparțin lui Z 1, deoarece Z 1 conține un semicerc de numere naturale), fie contrariile lor (aparțin și lui Z 1, deoarece Z 1 este un inel, ceea ce înseamnă pt. fiecare element al acestui inel există un opus, iar pentru fiecare număr natural n О Z 1, –n aparține și lui Z 1), sau 0 (0 О Z 1, deoarece Z 1 este un inel, iar în orice inel există 0), astfel, orice element din Z 2 aparține și lui Z 1, ceea ce înseamnă Z 2 Í Z 1. Pe de altă parte, Z 2 conține un semi-inel de numere naturale, iar Z 1 este un inel minim care conține numere naturale, adică nu poate conține niciun o alta inele care satisfac această condiție. Dar am arătat că conține Z 2, ceea ce înseamnă Z 1 = Z 2. Teorema a fost demonstrată.

Definiția 3. Un inel de numere întregi este un inel ale cărui elemente sunt toate elementele posibile, reprezentabile ca diferența b – a (toate soluțiile posibile ale ecuației a + x = b), unde a și b sunt numere naturale arbitrare.

Teorema 2. Definiția 3 este echivalentă cu cele două anterioare.

Dovada: Să notăm cu Z 3 inelul numerelor întregi în sensul Definiției 3, iar cu Z 1 = Z 2, ca mai înainte, inelul numerelor întregi în sensul Definițiilor 1 și 2 (egalitatea lor a fost deja stabilită). Mai întâi demonstrăm că Z 3 este inclus în Z 2 . Într-adevăr, toate elementele lui Z 3 pot fi reprezentate ca niște diferențe ale numerelor naturale b – a. Pentru oricare două numere naturale, conform teoremei tricotomiei, sunt posibile trei opțiuni:

În acest caz, diferența b – și este, de asemenea, un număr natural și, prin urmare, aparține lui Z 2 .

În acest caz, notăm diferența a două elemente egale prin simbolul 0. Să demonstrăm că acesta este într-adevăr zeroul inelului, adică un element neutru în raport cu adunarea. Pentru a face acest lucru, vom folosi definiția diferenței a – a = x ó a = a + x și vom demonstra că b + x = b pentru orice b natural. Pentru a dovedi, este suficient să adăugați elementul b la părțile din dreapta și din stânga egalității a = a + x și apoi să folosiți legea reducerii (toate aceste acțiuni pot fi efectuate pe baza proprietăților cunoscute ale inelelor). Zero aparține lui Z2.

În acest caz, diferența a – b este un număr natural, notăm

b – a = – (a – b). Să demonstrăm că elementele a – b și b – a sunt într-adevăr opuse, adică însumează zero. De fapt, dacă notăm a – b = x, b – a = y, atunci obținem că a = b + x, b = y + a. Adunând egalitățile rezultate termen cu termen și reducând b, obținem a = x + y + a, adică x + y = a – a = 0. Astfel, a – b = – (b – a) este opusul numărul natural, adică din nou aparține Z2. Astfel, Z 3 Í Z 2 .

Pe de altă parte, Z 3 conține un semicerc de numere naturale, deoarece orice număr natural n poate fi întotdeauna reprezentat ca

n = n / – 1 О Z 3 ,

ceea ce înseamnă Z 1 Í Z 3 , deoarece Z 1 este un inel minim care conține numere naturale. Folosind faptul deja dovedit că Z 2 = Z 1, obținem Z 1 = Z 2 = Z 3. Teorema a fost demonstrată.

Deși la prima vedere poate părea că nu există axiome în definițiile enumerate ale numerelor întregi, aceste definiții sunt axiomatice, deoarece toate cele trei definiții spun că mulțimea numerelor întregi este un inel. Prin urmare, axiomele din teoria axiomatică a numerelor întregi sunt condițiile din definiția unui inel.

Să demonstrăm asta teoria axiomatică a numerelor întregi este consecventă. Pentru a o demonstra, este necesar să construim un model al inelului de numere întregi, folosind o teorie evident consistentă (în cazul nostru, aceasta poate fi doar teoria axiomatică a numerelor naturale).

Conform Definiției 3, fiecare număr întreg poate fi reprezentat ca diferența a două numere naturale z = b – a. Să asociem fiecărui număr întreg z perechea corespunzătoare . Dezavantajul acestei corespondențe este ambiguitatea ei. În special, numărul 2 corespunde perechii<3, 1 >, și un cuplu<4, 2>, precum și multe altele. Numărul 0 corespunde unei perechi<1, 1>, și un cuplu<2,2>, și un cuplu<3, 3>, și așa mai departe. Conceptul ajută la evitarea acestei probleme perechi de echivalență. Să zicem că un cuplu echivalent cuplu , dacă a +d = b + c (notația: @ ).

Relația introdusă este reflexivă, simetrică și tranzitivă (dovada este lăsată la latitudinea cititorului).

Ca orice relație de echivalență, această relație generează o partiție a mulțimii tuturor perechilor posibile de numere naturale în clase de echivalență, pe care le vom nota ca [ ] (fiecare clasă este formată din toate perechile echivalente cu o pereche ). Acum este posibil să se asocieze fiecare număr întreg cu o clasă bine definită de perechi de numere naturale care sunt echivalente între ele. Mulțimea unor astfel de clase de perechi de numere naturale poate fi folosită ca model de numere întregi. Să demonstrăm că toate axiomele inelului sunt satisfăcute în acest model. Pentru a face acest lucru, este necesar să introduceți conceptele de adunare și înmulțire a claselor de perechi. Vom face acest lucru conform următoarelor reguli:

1) [] + [] = [];

Să arătăm că definițiile introduse sunt corecte, adică nu depind de alegerea reprezentanților specifici din clasele de perechi. Cu alte cuvinte, dacă perechile sunt echivalente @ Și @ , atunci sumele și produsele corespunzătoare sunt echivalente @ , precum și @ .

@ ó a + b 1 = b + a 1 (1),

ceea ce este echivalent cu condiția @ .

ceea ce înseamnă că @ (cu alte cuvinte, aici am dovedit că × @ ,× ).

ó @

(aici am dovedit asta × @ ,× ). Folosind proprietatea de tranzitivitate a relației de echivalență a perechilor, ajungem la egalitatea necesară @ condiție echivalentă

× @ ,× .

+ ( +) = + = .

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

Legile rămase sunt verificate într-un mod similar (rețineți că tehnica utila poate servi ca o transformare separată a părților stânga și dreaptă ale egalității necesare în aceeași formă).

De asemenea, este necesar să se dovedească prezența unui element neutru prin adăugare. Ele pot servi ca o clasă de perechi de forma [<с, с>]. Într-adevăr,

[] + [] = [] @ [], deoarece

[] + [] = [] = [] @ [].

[] / = [].

Să verificăm, folosind această regulă, validitatea condițiilor C1 și C2 (din definiția adunării numerelor naturale). Condiția C1 (a + 1 = a /) în în acest caz, va fi rescris ca:

[] + [] =[] / = []. Într-adevăr,

[] + [] = [] = [], deoarece

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].

Sarcini pentru decizie independentă

Nr. 2.1. În coloana din dreapta a tabelului, găsiți perechi echivalente cu perechile date în coloana din stânga a tabelului.

Pentru fiecare pereche, indicați opusul ei.

Nr. 2.2. calculati

A) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; b)[<3, 8>] + [<4, 7>];

V) [<7, 4>] – [<8, 3>]; G) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

e) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; e) [<2, 10>]× [<10, 2>].

Nr. 2.3. Pentru modelul de numere întregi descris în această secțiune, verificați legea comutativă a adunării, legile asociative și comutative ale înmulțirii și legile distributive.

Am văzut că operațiile pe polinoame se reduc la operații pe coeficienții lor. În același timp, pentru a adăuga, scădea și înmulți polinoame sunt suficiente trei operații aritmetice - nu este necesară împărțirea numerelor. Deoarece suma, diferența și produsul a două numere reale sunt din nou numere reale, atunci când se adună, se scad și se înmulțesc polinoame cu coeficienți reali, rezultă polinoame cu coeficienți reali.

Cu toate acestea, nu este întotdeauna necesar să se ocupe de polinoame care au coeficienți reali. Pot exista cazuri când, prin însăși esența problemei, coeficienții ar trebui să aibă numai valori întregi sau doar valori raționale. În funcție de ce valori ale coeficienților sunt considerate acceptabile, proprietățile polinoamelor se modifică. De exemplu, dacă luăm în considerare polinoamele cu orice coeficienți reali, le putem factoriza:

Dacă ne limităm la polinoame cu coeficienți întregi, atunci expansiunea (1) nu are sens și trebuie să considerăm polinomul ca necompunebil în factori.

Aceasta arată că teoria polinoamelor depinde în mod semnificativ de coeficienții considerați admisibili. Nu orice set de coeficienți poate fi acceptat ca acceptabil. De exemplu, luați în considerare toate polinoamele ai căror coeficienți sunt numere întregi impare. Este clar că suma a două astfel de polinoame nu va mai fi un polinom de același tip: la urma urmei, suma numerelor impare este un număr par.

Să ne punem întrebarea: care sunt seturile „bune” de coeficienți? Când suma, diferența, produsul polinoamelor cu coeficienți de acest tip au coeficienți de același tip? Pentru a răspunde la această întrebare, introducem conceptul de inel numeric.

Definiție. Un set nevid de numere se numește inel numeric dacă, împreună cu oricare două numere a și conține suma, diferența și produsul lor. Acest lucru se exprimă pe scurt și spunând că inelul numeric este închis sub operațiile de adunare, scădere și înmulțire.

1) Mulțimea numerelor întregi este un inel numeric: suma, diferența și produsul numerelor întregi sunt numere întregi. Mulțimea numerelor naturale nu este un inel numeric, deoarece diferența numerelor naturale poate fi negativă.

2) Mulțimea tuturor numerelor raționale este un inel numeric, deoarece suma, diferența și produsul numerelor raționale sunt raționale.

3) Formează un inel numeric și mulțimea tuturor numerelor reale.

4) Numerele de forma a, unde a și sunt numere întregi, formează un inel numeric. Aceasta rezultă din relații:

5) Mulțimea numerelor impare nu este un inel numeric, deoarece suma numerelor impare este pară. Setul de numere pare este un inel numeric.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Agenția Federală pentru Educație

Stat instituție educațională studii profesionale superioare

Universitatea Umanitară de Stat Vyatka

Facultatea de Matematică

Departamentul de Analiză și Metode Matematice
predarea matematicii

Munca finală de calificare

pe tema: Inel întreg gaussian.

Efectuat:

elev în anul 5

Facultatea de Matematică

Gnusov V.V.

___________________________

Consilier stiintific:

lector superior al catedrei

algebră și geometrie

Semenov A.N..

___________________________

Referent:

Candidat la Fizică și Matematică Științe, conferențiar

Departamentul de Algebră și Geometrie

Kovyazina E.M.

___________________________

Admis în apărare la Comisia de Atestare de Stat

Cap Departament________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Decanul Facultății _________________ Varankina V.I.

« »________________

Kirov 2005

• Introducere. 2
• 3
• 4
• 1.2 DIVIZIUNEA CU REST. 5
• 1.3 GCD. ALGORITMUL EUCLID. 6
• 9
• 12
• 17
• Concluzie. 23

Introducere.

Inelul numerelor întregi complexe a fost descoperit de Carl Gauss și numit Gaussian în onoarea sa.

K. Gauss a venit la ideea posibilității și necesității extinderii conceptului de număr întreg în legătură cu căutarea algoritmilor pentru rezolvarea comparațiilor de gradul doi. El a transferat conceptul de număr întreg la numere de formă, unde - sunt numere întregi arbitrare și - este rădăcina ecuației Pe o mulțime dată, K. Gauss a construit mai întâi o teorie a divizibilității, similară cu teoria divizibilității. numere întregi. El a fundamentat validitatea proprietăților de bază ale divizibilității; a arătat că în inelul numerelor complexe există doar patru elemente inversabile: ; a demonstrat validitatea teoremei despre împărțirea cu rest, teorema despre unicitatea factorizării; a arătat care numere prime naturale vor rămâne prime într-un inel; a descoperit natura numerelor întregi simple și a numerelor complexe.

Teoria dezvoltată de K. Gauss, descrisă în lucrarea sa Studii aritmetice, a fost o descoperire fundamentală pentru teoria numerelor și algebrei.

În lucrarea finală au fost stabilite următoarele obiective:

1. Dezvoltați teoria divizibilității în inelul numerelor gaussiene.

2. Aflați natura numerelor prime gaussiene.

3. Arătați utilizarea numerelor gaussiene în rezolvarea problemelor obișnuite diofantine.

CAPITOLUL 1. DIVIZIUNEA ÎN INELUL NUMERELOR GAUSS.

Să luăm în considerare mulțimea numerelor complexe. Prin analogie cu mulțimea numerelor reale, în ea se poate distinge o anumită submulțime de numere întregi. Un set de numere de forma, unde le numim numere întregi complexe sau numere gaussiene. Este ușor de verificat dacă axiomele inelului sunt valabile pentru acest set. Astfel, acest set de numere complexe este un inel și se numește inel de numere întregi gaussiene . Să o notăm ca, deoarece este o prelungire a inelului prin elementul: .

Deoarece inelul numerelor gaussiene este un subset de numere complexe, unele definiții și proprietăți ale numerelor complexe sunt valabile pentru el. Deci, de exemplu, fiecărui număr gaussian îi corespunde un vector cu un început într-un punct și un sfârșit la. Prin urmare, modul sunt numere gaussiene. Rețineți că în mulțimea luată în considerare, expresia submodulară este întotdeauna un întreg nenegativ. Prin urmare, în unele cazuri este mai convenabil de utilizat norma , adică pătratul modulului. Prin urmare. Se pot distinge următoarele proprietăți ale normei. Pentru orice numere gaussiene este adevărată următoarea:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Valabilitatea acestor proprietăți este verificată trivial folosind modulul. În treacăt, observăm că (2), (3), (5) sunt valabile și pentru orice numere complexe.

Inelul numerelor gaussiene este un inel comutativ fără divizori 0, deoarece este un subinel al câmpului numerelor complexe. Aceasta implică contractilitatea multiplicativă a inelului, adică

1.1 ELEMENTE REVERSIBILE ȘI CONEXE.

Să vedem ce numere gaussiene vor fi inversabile. Neutru în înmulțire este. Dacă un număr gaussian reversibil , atunci, prin definiție, există așa încât. Trecând la norme, conform proprietății 3, obținem. Dar aceste norme sunt naturale, prin urmare. Aceasta înseamnă, prin proprietatea 4, . În schimb, toate elementele unei mulțimi date sunt inversabile, deoarece. În consecință, numerele cu normă egală cu unu vor fi inversabile, adică .

După cum puteți vedea, nu toate numerele gaussiene vor fi inversabile. Prin urmare, este interesant să luăm în considerare problema divizibilității. Ca de obicei, spunem asta acțiuni pe, dacă există astfel încât pentru orice numere gaussiene, precum și pentru cele inversabile, proprietățile sunt valide.

(7)

(8)

(9)

(10)

, unde (11)

(12)

Se verifică ușor (8), (9), (11), (12). Justiția (7) decurge de la (2) și (10) de la (6). Datorită proprietății (9), elementele mulțimii se comportă în raport cu divizibilitatea exact în același mod ca și, și se numesc aliat Cu. Prin urmare, este firesc să luăm în considerare divizibilitatea numerelor gaussiene până la unire. Geometric, pe plan complex, numerele conjunctive vor diferi unele de altele prin rotirea cu un unghi multiplu.

1.2 DIVIZIUNEA CU REST.

Să fie necesar să se împartă prin, dar este imposibil să se împartă complet. Trebuie să primim și, în același timp, trebuie să fie „nu suficient”. Apoi vom arăta ce să luăm ca un coeficient incomplet atunci când împărțim cu un rest în mulțimea numerelor gaussiene.

Lema 1. La împărțirea cu rest.

În ring Este posibilă împărțirea cu un rest în care restul este mai mic decât împărțitorul prin normă. Mai precis, pentru orice Și vor exista astfel încât . La fel de puteți lua cel mai aproape de numărul complex număr gaussian.

Dovada.

Să împărțim cu în mulțimea numerelor complexe. Acest lucru este posibil deoarece mulțimea numerelor complexe este un câmp. Lasa. Să rotunjim numerele reale și la numere întregi și obținem, respectiv. Să punem. Apoi

.

Acum înmulțind ambele părți ale inegalității cu, obținem, datorită multiplicativității normei numerelor complexe, că. Astfel, ca un coeficient incomplet putem lua un număr gaussian, care, după cum este ușor de observat, este cel mai apropiat.

C.T.D.

1.3 GCD. ALGORITMUL EUCLID.

Folosim definiția obișnuită a celui mai mare divizor comun pentru inele. GCD"ohm Două numere gaussiene se numesc divizor comun care este divizibil cu orice alt divizor comun.

Ca și în mulțimea numerelor întregi, în mulțimea numerelor gaussiene se folosește algoritmul euclidian pentru a găsi GCD.

Mai mult, datele să fie numere gaussiene. Împărțiți cu restul la. Dacă restul este diferit de 0, atunci vom împărți cu acest rest și vom continua împărțirea secvențială a resturilor atâta timp cât este posibil. Obținem un lanț de egalități:

, Unde

, Unde

, Unde

……………………….

, Unde

Acest lanț nu poate continua la infinit, deoarece avem o succesiune descrescătoare de norme, iar normele sunt numere întregi nenegative.

Teorema 2. Despre existența GCD.

În algoritmul lui Euclid aplicat numerelor gaussiene Și ultimul rest diferit de zero este gcd( ).

Dovada.

Să demonstrăm că în algoritmul euclidian obținem de fapt GCD.

1. Să luăm în considerare egalitățile de jos în sus.

Din ultima egalitate este clar că, în consecință, ca suma numerelor divizibile cu. Din moment ce și, linia următoare va da. Și așa mai departe. Astfel, este clar că... Adică este divizorul comun al numerelor și.

Să arătăm că acesta este cel mai mare divizor comun, adică este divizibil cu orice alt divizor comun.

2. Luați în considerare egalitățile de sus în jos.

Fie un divizor comun arbitrar al numerelor și. Apoi, deoarece diferența numerelor divizibile cu, este într-adevăr din prima egalitate. Din a doua egalitate obținem asta. Astfel, reprezentând restul din fiecare egalitate ca diferență de numere divizibil cu, obținem din penultima egalitate ceea ce este divizibil cu.

C.T.D.

Lema 3. Despre reprezentarea GCD.

Dacă GCD( , )= , atunci există astfel de numere întregi gaussiene Și , Ce .

Dovada.

Să considerăm de jos în sus lanțul de egalități obținut în algoritmul euclidian. Substituind în mod constant expresiile lor prin resturile anterioare în loc de resturi, le vom exprima prin și.

Numărul gaussian este numit simplu , dacă nu poate fi reprezentat ca un produs al doi factori ireversibili. Următoarea afirmație este evidentă.

Afirmația 4.

Când înmulțiți un număr prim gaussian cu un număr inversabil, obțineți din nou un număr prim gaussian.

Afirmația 5.

Dacă luăm un divizor ireversibil cu cea mai mică normă dintr-un număr Gaussian, atunci acesta va fi un Gaussian simplu.

Dovada.

Fie un astfel de divizor un număr compus. Atunci, unde și sunt numere gaussiene ireversibile. Să trecem la norme și conform (3) obținem asta. Deoarece aceste norme sunt naturale, avem că, și în virtutea lui (12), este un divizor ireversibil număr dat Gauss, care contrazice alegerea.

Afirmația 6.

Dacă nu este divizibil cu un număr prim gaussian , apoi GCD( , )=1.

Dovada.

Într-adevăr, un număr prim divizibil numai prin numere conjunctive cu 1 sau cu . Și din moment ce nu este divizibil cu , apoi aliaților cu nici nu împărtășește. Aceasta înseamnă că divizorii lor comuni vor fi doar numere inversabile.

Lema 7. Lema lui Euclid.

Dacă produsul numerelor gaussiene este divizibil cu un număr prim gaussian , atunci cel puțin unul dintre factori este divizibil cu .

Dovada.

Pentru a dovedi, este suficient să luăm în considerare cazul în care produsul conține doar doi factori. Adică vom arăta că dacă este divizibil cu , apoi este fie împărțit la , sau impartit de .

Să nu fie împărțit de , apoi GCD(, )=1. Prin urmare, există numere gaussiene și așa că. Înmulțiți ambele părți ale egalității cu , obținem că, rezultă că, ca suma numerelor divizibile cu .

1.4 TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ARITMETICII.

Orice număr gaussian diferit de zero poate fi reprezentat ca un produs al numerelor gaussiene prime, iar această reprezentare este unică până la conjuncția și ordinea factorilor.

Nota 1.

Un număr reversibil are zero factori primi în expansiunea sa, adică se reprezintă pe sine.

Nota 2.

Mai precis, unicitatea este formulată după cum urmează. Dacă există două factorizări în factori Gaussieni simpli, adică , Acea și puteți renumerota numerele astfel , Ce va fi in liga cu , în fața tuturor de la 1 la inclusiv.

Dovada.

Efectuăm dovada prin inducție pe normă.

Baza. Pentru un număr cu normă unitară afirmația este evidentă.

Să fie acum un număr gaussian ireversibil diferit de zero și pentru toate numerele gaussiene cu o normă mai mică, afirmația este dovedită.

Să arătăm posibilitatea descompunerii în factori primi. Pentru a face acest lucru, notăm cu divizorul ireversibil care are cea mai mică normă. Acest divizor trebuie să fie un număr prim prin Enunțul 5. Atunci. Astfel, avem și, prin ipoteză inductivă, putem fi reprezentate ca un produs al numerelor prime. Aceasta înseamnă că poate fi descompus în produsul acestor simple și.

Să arătăm unicitatea descompunerii în factori primi. Pentru a face acest lucru, luăm două expansiuni arbitrare:

Conform lemei lui Euclid, într-un produs unul dintre factori trebuie să fie divizibil cu. Putem presupune că este divizibil cu, altfel vom renumerota. Deoarece sunt simple, unde este reversibil. Reducând ambele părți ale egalității noastre cu, obținem o descompunere în factori primi a unui număr a cărui normă este mai mică decât.

Prin ipoteză inductivă, și este posibilă renumerotarea numerelor astfel încât să fie conjunctivă cu, cu, ..., cu. Apoi, cu această numerotare este conjunctiv cu pentru toți de la 1 la inclusiv. Aceasta înseamnă că factorizarea în factori primi este unică.

Un exemplu de un inel generat pestefara OTA.

Sa luam in considerare. Elementele acestui inel sunt numere de forma, unde și sunt numere întregi arbitrare. Să arătăm că teorema fundamentală a aritmeticii nu este valabilă în ea. Să definim norma unui număr din acest inel astfel: . Aceasta este într-adevăr norma, deoarece nu este greu de verificat. Lăsați-l să fie. Apoi

Observa asta.

Să arătăm că numerele din inelul luat în considerare sunt prime. Într-adevăr, să fie unul dintre ei. Atunci avem: Deoarece nu există numere cu norma 2 în acest inel, atunci sau. Elementele inversabile vor fi numere cu normă de unitate și numai ele. Aceasta înseamnă că într-o factorizare arbitrară există un factor inversabil, prin urmare, este simplu.

CAPITOLUL 2. PRIME GAUSS.

Pentru a înțelege care numere gaussiene sunt prime, luați în considerare o serie de afirmații.

Teorema 8.

Fiecare prim gaussian este un divizor al exact unui număr natural prim.

Dovada.

Să fie un simplu gaussian, atunci. Conform teoremei fundamentale a aritmeticii numerelor naturale, aceasta este descompusă într-un produs al numerelor naturale simple. Și conform lemei lui Euclid, cel puțin unul dintre ele este divizibil cu.

Să arătăm acum că un prim gaussian nu poate împărți două numere prime naturale diferite. Într-adevăr, chiar dacă există diverse numere naturale simple divizibile cu. Deoarece GCD() = 1, atunci prin teorema privind reprezentarea GCD în numere întregi există și numere întregi astfel încât. Prin urmare, ceea ce contrazice simplitatea.

Astfel, prin descompunerea fiecărui natural simplu în gaussieni simpli, vom enumera toți gaussienii simpli, fără repetare.

Următoarea teoremă arată că pentru fiecare număr natural simplu există cel mult două simple gaussiene.

Teorema 9.

Dacă un număr natural prim este descompus în produsul a trei prime gaussiene, atunci cel puțin unul dintre factori este inversabil.

Dovada.

Lăsa -- un simplu natural astfel încât . Trecând la norme, obținem:

.

Din această egalitate în numere naturale rezultă că cel puțin una dintre norme este egală cu 1. Prin urmare, cel puțin unul dintre numere - reversibile.

Lema 10.

Dacă un număr gaussian este divizibil cu un număr natural prim, atunci și.

Dovada.

Lăsa , acesta este . Apoi , , acesta este , .

C.T.D.

Lema 11.

Pentru un număr natural prim de formă, există un număr natural astfel încât.

Dovada.

Teorema lui Wilson afirmă că un număr întreg este prim dacă și numai dacă. Dar, de aici. Să extindem și să transformăm factorialul:

De aici obținem asta, adică .

Deci am prins asta , Unde = .

Acum suntem gata să descriem toate numerele prime gaussiene.

Teorema 12.

Toți gaussienii simpli pot fi împărțiți în trei grupuri:

1). Tipurile naturale simple sunt simple gaussiene;

2). Doi este conjugal cu pătratul unui prim gaussian;

3). Tipurile naturale simple sunt descompuse în produsul a doi Gaussieni simple conjugați.

Dovada.

1). Să presupunem că primul natural drăguț nu este un simplu gaussian. Apoi , și Și . Să trecem la norme: . Ținând cont de aceste inegalități, obținem , acesta este -- suma pătratelor a două numere întregi. Dar suma pătratelor întregi nu poate lăsa un rest de 3 când este împărțită la 4.

2). observa asta

.

Număr -- Gaussian prim, deoarece altfel cei doi s-ar descompune în trei factori ireversibili, ceea ce contrazice teorema 9.

3). Să fie simplu aspect natural , apoi după Lema 11 există un număr întreg astfel încât . Lăsa -- Gaussian simplu. Deoarece , apoi prin lema euclidiană asupra cel puțin unul dintre factori este divizibil. Lăsa , atunci există un număr gaussian astfel încât . Echivalând coeficienții părților imaginare, obținem că . Prin urmare, , ceea ce contrazice presupunerea noastră de simplitate . Mijloace -- un Gaussian compus, reprezentabil ca produsul a doi Gaussieni conjugați simple.

C.T.D.

Afirmație.

Un număr gaussian conjugat cu un prim este el însuși prim.

Dovada.

Fie un număr prim gaussian. Dacă presupunem că este compus, adică. Apoi luați în considerare conjugatul:, adică prezentat sub forma unui produs a doi factori ireversibili, care nu pot fi.

Afirmație.

Un număr gaussian a cărui normă este un număr prim natural este un număr prim gaussian.

Dovada.

Să fie un număr compus, atunci. Să ne uităm la norme.

Adică am constatat că norma este un număr compus, dar prin condiție este un număr prim. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă și există un număr prim.

Afirmație.

Dacă un număr natural prim nu este un prim gaussian, atunci el poate fi reprezentat ca suma a două pătrate.

Dovada.

Fie ca un număr natural prim să nu fie un gaussian prim. Apoi. Deoarece numerele sunt egale, normele lor sunt de asemenea egale. Adică o luăm de aici.

Există două cazuri posibile:

1). , adică prezentat ca sumă a două pătrate.

2). , adică înseamnă un număr reversibil, care nu poate fi, ceea ce înseamnă că acest caz nu ne satisface.

CAPITOLUL 3. APLICAREA NUMERELOR GAUSS.

Afirmație.

Produsul numerelor care poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate poate fi reprezentat și ca o sumă a două pătrate.

Dovada.

Să demonstrăm acest fapt în două moduri, folosind numere gaussiene și fără a folosi numere gaussiene.

1. Fie numere naturale reprezentabile ca suma a două pătrate. Apoi, și. Să considerăm produsul, adică prezentat sub forma unui produs a două numere gaussiene conjugate, care este reprezentat ca suma a două pătrate de numere naturale.

2. Să, . Apoi

Afirmație.

Dacă, unde este o formă naturală simplă, atunci și.

Dovada.

Din condiția ca în acest caz să fie un simplu Gaussian. Apoi, conform lemei lui Euclid, unul dintre factori este divizibil cu. Fie, atunci prin Lema 10 avem că și.

Să descriem forma generala numere naturale reprezentabile ca sumă a două pătrate.

Teorema lui Fermat de Crăciun sau Teorema lui Fermat--Euler.

Un număr natural diferit de zero poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate dacă și numai dacă în expansiunea canonică toți factorii primi sunt de forma sunt incluse în grade pare.

Dovada.

Rețineți că 2 și toate numerele prime ale formei pot fi reprezentate ca sumă a două pătrate. Fie descompunerea canonică a unui număr să aibă factori primi de forma care apar într-un grad impar. Să punem între paranteze toți factorii care pot fi reprezentați ca sumă a două pătrate, apoi vom rămâne cu factori de formă, toți în prima putere. Să arătăm că produsul acestor factori nu poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate. Într-adevăr, dacă presupunem că, atunci avem că unul dintre factorii sau trebuie să împartă, dar dacă unul dintre aceste numere gaussiene se împarte, atunci trebuie să împartă și pe celălalt, ca conjugat. Adică și, dar atunci ar trebui să fie în gradul doi, dar este în primul. În consecință, produsul oricărui număr de factori primi de gradul întâi nu poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate. Aceasta înseamnă că presupunerea noastră nu este adevărată și toți factorii primi ai formei în extinderea canonică a unui număr apar în puteri pare.

Sarcina 1.

Să ne uităm la aplicarea acestei teorii folosind exemplul de rezolvare a ecuației Diafantine.

Rezolvați în numere întregi.

Rețineți că partea dreaptă poate fi reprezentată ca un produs al numerelor gaussiene conjugate.

Acesta este. Să fie divizibil cu un număr prim Gaussian, iar conjugatul său să fie divizibil cu acesta, adică. Dacă luăm în considerare diferența acestor numere gaussiene, care trebuie să fie divizibile cu, obținem că trebuie împărțit 4. Dar, adică, este conjunctiv cu.

Toți factorii primi din descompunerea unui număr sunt incluși în puteri de multipli de trei, iar factorii de formă sunt în puteri de multipli de șase, deoarece un număr gaussian prim se obține din descompunerea în gaussieni primi 2, dar, prin urmare. De câte ori apare în descompunerea în factori primi a unui număr este de același număr de ori când apare în descompunerea în factori primi a unui număr. În virtutea faptului că este divizibil cu dacă și numai dacă este divizibil cu. Dar în unire cu. Adică vor fi distribuite în mod egal, ceea ce înseamnă că vor fi incluse în expansiunile acestor numere în puteri de multipli de trei. Toți ceilalți factori primi incluși în extinderea unui număr vor apărea numai în extinderea unui număr sau a unui număr. Aceasta înseamnă că în descompunerea în factori gaussieni simpli a unui număr, toți factorii vor apărea în puteri divizibile cu trei. Prin urmare, numărul este un cub. Deci avem asta. De aici obținem că, adică trebuie să fie un divizor al lui 2. Deci, sau. De unde obținem patru variante care ne mulțumesc.

1. , . Unde găsim asta, .

2. . De aici, .

3. . De aici, .

4. , . De aici, .

Sarcina 2.

Rezolvați în numere întregi.

Să ne imaginăm partea stângă ca produsul a două numere gaussiene, adică. Să descompunăm fiecare dintre numere în factori gaussieni simpli. Printre cele simple se vor număra cele care sunt în expansiune și. Să grupăm toți astfel de factori și să desemnăm produsul rezultat. Atunci doar acei factori care nu sunt în expansiune vor rămâne în expansiune. Toți factorii Gaussieni primi incluși în expansiune sunt în puteri pare. Cei care nu sunt incluși în vor fi prezenți fie numai în, fie în. Deci numărul este un pătrat. Acesta este. Echivalând părțile reale și imaginare, obținem că, .

Sarcina 3.

Numărul de reprezentări ale unui număr natural ca sumă a două pătrate.

Problema este echivalentă cu problema reprezentării unui număr natural dat sub forma normei unui anumit număr Gauss. Fie un număr Gauss a cărui normă este egală cu. Să o împărțim în factori naturali simpli.

Unde sunt numere prime de formă și sunt numere prime de formă. Apoi, pentru a fi reprezentabil ca sumă a două pătrate, este necesar ca toate să fie pare. Atunci, să factorizăm numărul în factori gaussieni simpli

unde sunt numere prime gaussiene în care sunt extinse.

Compararea unei norme cu un număr duce la următoarele relații, care sunt necesare și suficiente pentru:

Numărul de vizualizări este numărat din numărul total de opțiuni pentru selectarea indicatorilor. Pentru exponenți există o posibilitate, deoarece numărul poate fi împărțit în doi termeni nenegativi în următorul mod:

Pentru câțiva indicatori există o opțiune și așa mai departe. Prin combinarea în toate modurile posibile a valorilor permise pentru indicatori, obținem un total de valori diferite pentru produsul numerelor gaussiene simple, cu o normă de formă sau 2. Indicatorii sunt aleși în mod unic. În fine, inversibilului i se pot da patru semnificații: Astfel, pentru un număr există doar posibilități și, prin urmare, un număr sub forma normei unui număr gaussian, adică în formă poate fi reprezentat în moduri.

În acest calcul, toate soluțiile ecuației sunt considerate diferite. Cu toate acestea, unele soluții pot fi văzute ca definind aceeași reprezentare în sumă a două pătrate. Deci, dacă sunt soluții la o ecuație, atunci pot fi indicate încă șapte soluții care determină aceeași reprezentare a unui număr ca o sumă a două pătrate: .

Evident, din opt soluții corespunzătoare unei reprezentări, pot rămâne doar patru diferite dacă și numai dacă fie, fie. Reprezentări similare sunt posibile dacă există un pătrat complet sau un pătrat dublu perfect și, în plus, poate exista o singură astfel de reprezentare: .

Astfel, avem următoarele formule:

Dacă nu toate sunt egale şi

Dacă toate sunt egale.

Concluzie.

În această lucrare, a fost studiată teoria divizibilității în inelul numerelor întregi gaussiene, precum și natura numerelor prime gaussiene. Aceste probleme sunt abordate în primele două capitole.

Al treilea capitol discută aplicațiile numerelor Gauss la rezolvarea unor probleme clasice binecunoscute, cum ar fi:

· Întrebare despre posibilitatea reprezentării unui număr natural ca sumă a două pătrate;

· Sarcina de a afla numărul de reprezentări ale unui număr natural sub forma unei sume a două pătrate;

· Găsirea de soluții generale la ecuația lui Pitagora nedefinită;

și de asemenea la soluția ecuației diafantine.

De asemenea, observ că lucrarea a fost finalizată fără utilizarea literaturii suplimentare.

Documente similare

Proprietăți de divizibilitate a numerelor întregi în algebră. Caracteristicile împărțirii cu rest. Proprietățile de bază ale numerelor prime și compuse. Semne de divizibilitate după o serie de numere. Concepte și metode pentru calcularea celui mai mare divizor comun (MCD) și cel mai mic multiplu comun (LCM).

prelegere, adăugată 05.07.2013


Trecerea în revistă a formulelor de cuadratură gaussiană, definiția lor, construcții integrale, exemple care descriu clar cuadraturile gaussiene. Caracteristici ale utilizării unor algoritmi care vă permit să urmăriți progresul soluțiilor la probleme folosind formule de cuadratura gaussiene.

test, adaugat 16.12.2015


Adunarea și înmulțirea numerelor întregi p-adice, definite ca adunare și înmulțire termen cu termen de secvențe. Inel de numere întregi p-adice, studiul proprietăților împărțirii lor. Explicarea numerelor date prin introducerea de noi obiecte matematice.

lucrare curs, adăugată 22.06.2015


Conceptul de matrice. metoda Gauss. Tipuri de matrice. Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor liniare. Operatii pe matrici: adunare, inmultire. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Transformări elementare ale sistemelor. Transformări matematice.

prelegere, adăugată 06/02/2008


Legea conservării numărului de numere din seria Joint în seria naturală a numerelor ca principiu de feedback al numerelor în matematică. Structura seriei naturale de numere. Proprietăți izomorfe serie de numere pare și impare. Natura fractală a distribuției numerelor prime.

monografie, adăugată 28.03.2012


Johann Carl Friedrich Gauss este cel mai mare matematician al tuturor timpurilor. Formule de interpolare gaussiene, care dau o expresie aproximativă a funcției y=f(x) folosind interpolarea. Domenii de aplicare ale formulelor gaussiene. Principalele dezavantaje ale formulelor de interpolare ale lui Newton.

test, adaugat 12.06.2014


Algoritm euclidian extins, utilizat pentru a găsi cel mai mare divizor comun al numerelor naturale prin intermediul resturilor de diviziune. Problema calendarului matematic. Inele euclidiene - analogi ai numerelor Fibonacci din inelul polinoamelor, proprietățile lor.

rezumat, adăugat 25.09.2009


Vivchennya puteri ale numerelor naturale. Multiplicitate infinită de numere prime. Sita lui Eratosthenes. Investigarea ulterioară a teoremei fundamentale a aritmeticii. Legea asimptotică pentru împărțirea numerelor prime. Caracteristicile algoritmului de găsire a numărului de numere prime pe interval.

lucrare curs, adăugată 27.07.2015


Calculați valorile numerelor complexe în forme algebrice, trigonometrice și exponențiale. Determinarea distanței dintre punctele din planul complex. Rezolvarea unei ecuații pe o mulțime de numere complexe. Metode Cramer, matrice inversă și Gauss.

test, adaugat 11.12.2012


Baza teoretică a numărului pentru construirea RNS. Teorema despre împărțirea cu rest. algoritmul lui Euclid. Teorema chineză a restului și rolul său în reprezentarea numerelor în RNS. Modele de reprezentare modulară și procesare paralelă a informațiilor. Operații modulare.

Definiție:

Suma și produsul numerelor întregi p-adice definite de secvențele și sunt numite numere întregi p-adice definite respectiv de secvențele și.

Pentru a fi siguri de corectitudinea acestei definiții, trebuie să dovedim că șirurile definesc unele numere întregi - numere adice și că aceste numere depind doar de, și nu de alegerea șirurilor care le definesc. Ambele proprietăți pot fi dovedite prin verificare evidentă.

Este evident că, odată cu definiția dată a operațiilor asupra numerelor întregi adice, ele formează un inel comunicativ care conține inelul numerelor întregi raționale ca subinel.

Divizibilitatea numerelor întregi adic este definită în același mod ca în orice alt inel: dacă există un număr adic întreg astfel încât

Pentru a studia proprietățile diviziunii, este important să știm care sunt acele numere întregi - numere adice pentru care există numere întregi inverse - numere adice. Astfel de numere se numesc factori unitari sau unități. Le vom numi unități adic.

Teorema 1:

Un număr întreg este un număr adic definit de o secvență dacă și numai dacă este o unitate când.

Dovada:

Fie unul, atunci există un număr întreg - un număr adic astfel încât. Dacă este determinată de o secvență, atunci condiția înseamnă că. În special, și deci, Dimpotrivă, să Se decurgă ușor din condiția că, astfel încât. Prin urmare, pentru orice n se poate găsi astfel încât comparația să fie validă. De când și, atunci. Aceasta înseamnă că secvența definește un număr întreg - un număr adic. care este o unitate.

Din teorema demonstrată rezultă că întregul este un număr rațional. Fiind considerat ca un element al unui inel, dacă și numai dacă este o unitate când. Dacă această condiție este îndeplinită, atunci este conținută în. Rezultă că orice număr întreg rațional b este divizibil cu un astfel de in, i.e. că orice număr rațional de forma b/a, unde a și b sunt numere întregi și, este conținut în Numerele raționale de această formă se numesc -numere întregi. Ele formează un inel evident. Rezultatul nostru poate fi acum formulat după cum urmează:

Consecinţă:

Inelul numerelor întregi adice conține un subinel izomorf cu inelul numerelor întregi raționale.

Numere p-adice fracționale

Definiție:

O fracție de forma, k >= 0 definește un număr p-adic fracțional sau pur și simplu un număr p-adic. Două fracții și, definiți același număr p-adic dacă c.

Colecția tuturor numerelor p-adice este notă cu p. Este ușor de verificat că operațiile de adunare și înmulțire continuă de la p la p și transformă p într-un câmp.

2.9. Teorema. Fiecare număr p-adic poate fi reprezentat în mod unic în formă

unde m este un număr întreg și este unitatea inelului p.

2.10. Teorema. Orice număr p-adic diferit de zero poate fi reprezentat în mod unic în formă

Proprietăți: Câmpul numerelor p-adice conține câmpul numerelor raționale. Nu este dificil de demonstrat că orice număr întreg p-adic care nu este un multiplu al lui p este inversabil în inelul p, iar un multiplu al lui p este scris în mod unic sub forma în care x nu este un multiplu al lui p și, prin urmare, este inversabil, a . Prin urmare, orice element diferit de zero al câmpului p poate fi scris sub forma în care x nu este un multiplu al lui p, iar m este arbitrar; dacă m este negativ, atunci, pe baza reprezentării numerelor p-adice întregi ca șir de cifre în sistemul numeric p-ari, putem scrie un astfel de număr p-adic ca șir, adică să-l reprezentăm formal ca o fracție p-ară cu un număr finit de cifre după virgulă zecimală și, eventual, un număr infinit de cifre diferite de zero înainte de virgulă zecimală. Împărțirea unor astfel de numere se poate face, de asemenea, în mod similar cu regula „școală”, dar pornind de la cifrele inferioare, mai degrabă decât cele mai mari, ale numărului.

Dintr-un curs de programare știm că un număr întreg poate fi reprezentat în memoria computerului în diferite moduri, în special, această reprezentare depinde de modul în care este descris: ca valoare de tipul întreg, sau real, sau șir. Mai mult, în majoritatea limbajelor de programare, numerele întregi sunt înțelese ca fiind numere dintr-un interval foarte limitat: un caz tipic este de la -2 15 = -32768 la 2 15 - 1 = 32767. Sisteme algebră computerizată se ocupă cu numere întregi mari, în special, orice astfel de sistem poate calcula și afișa numere de forma 1000 în notație zecimală! (mai mult de o mie de caractere).

În acest curs, vom lua în considerare reprezentarea numerelor întregi în formă simbolică și nu vom intra în detaliu despre ce memorie este alocată pentru înregistrarea unui caracter (bit, octet sau altul). Cel mai comun este reprezentarea numerelor întregi în sisteme de numere poziționale. Un astfel de sistem este determinat de alegerea bazei numerice, de exemplu, 10. Setul de numere întregi zecimale este de obicei descris după cum urmează:

Definiția scrisă a numerelor întregi oferă o reprezentare fără ambiguitate a fiecărui astfel de număr, iar o definiție similară (doar, poate, cu o bază diferită) este utilizată în majoritatea sistemelor algebră computerizată. Folosind această reprezentare, este convenabil să se implementeze operații aritmetice pe numere întregi. În plus, adunarea și scăderea sunt operații relativ „ieftine”, în timp ce înmulțirea și împărțirea sunt „costisitoare”. Atunci când se evaluează complexitatea operațiilor aritmetice, ar trebui să se țină seama atât de costul unei operații elementare (cu o singură cifră), cât și de numărul de operații cu o singură cifră pentru a efectua orice operație pe numere cu mai multe cifre. Complexitatea înmulțirii și împărțirii se datorează, în primul rând, faptului că pe măsură ce lungimea unui număr crește (înregistrarea lui în orice sistem numeric), numărul operațiilor elementare crește conform unei legi pătratice, spre deosebire de cea liniară. legea adunării și scăderii. În plus, ceea ce numim de obicei un algoritm pentru împărțirea numerelor cu mai multe cifre se bazează de fapt pe o căutare (deseori destul de semnificativă) a posibilei cifre următoare a coeficientului și nu este suficient să folosim pur și simplu regulile de împărțire a unei singure cifre. numere. Dacă baza sistemului numeric este mare (adesea poate fi de ordinul 2-30), această metodă este ineficientă.

Fie un număr natural (scris în sistem zecimal). Pentru a-și obține dosarul în sistemul de numere -ary, puteți utiliza următorul algoritm (indică partea întreagă a numărului):

Dat: A-număr naturalîn sistemul numeric zecimal k > 1-număr natural Necesar: A-înregistrarea numărului A în sistemul numeric k-ary Start i:= 0 ciclu până la A > 0 bi:= A (mod k) A:= i: = i + 1 sfârșit de ciclu dA:= i - 1 sfârșit

Pentru a restabili un număr zecimal din secvența notației sale k-ary, se folosește următorul algoritm:

Dat: k > 1-secvență de cifre naturale reprezentând numărul A în sistemul k-ary Necesar: A-înregistrarea numărului A în sistemul numeric zecimal Început A:= 0 ciclu până la sfârșitul secvenței b:= următorul element al secvenței A:= A * k + b sfârșitul buclei Sfârșitul

1.2. EXERCIȚIU. Explicați de ce se utilizează împărțirea pentru a converti un număr din sistemul zecimal în sistemul k-ary, iar înmulțirea este folosită pentru a converti din sistemul k-ary la sistemul zecimal.

Înmulțind cu o „coloană” două numere din două cifre în sistemul numeric zecimal, efectuăm următoarele operații:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

adică 4 operații de înmulțire a numerelor cu o singură cifră, 3 operații de adunare și 2 operații de înmulțire cu o putere a radicei, care sunt reduse la o deplasare. La evaluarea complexității, puteți lua în considerare toate operațiile elementare fără a le împărți la ponderi (în acest exemplu avem 9 operații elementare). Cu această abordare, problema optimizării algoritmului se reduce la minimizarea numărului total de operații elementare. Totuși, se poate considera că înmulțirea este o operație mai „costisitoare” decât adunarea, care, la rândul ei, este „mai scumpă” decât schimbarea. Luând în considerare doar cele mai scumpe operațiuni, obținem asta multiplicativ Dificultatea de a înmulți numerele din două cifre într-o coloană este 4.

Secțiunea 5 discută algoritmi pentru calcularea celor mai mari divizori comuni și evaluează complexitatea acestora.

Reprezentarea luată în considerare nu este singura reprezentare canonică a numerelor întregi. După cum s-a menționat deja, pentru a alege o reprezentare canonică, puteți utiliza unicitatea descompunerii unui număr natural în factori primi. Această reprezentare a unui număr întreg poate fi folosită în acele sarcini în care se folosesc doar operațiuni de înmulțire și împărțire, deoarece devin foarte „ieftine”, dar costul operațiilor de adunare și scădere crește disproporționat, ceea ce împiedică utilizarea unei astfel de reprezentări. În unele probleme, abandonarea reprezentării canonice oferă un câștig semnificativ în performanță, în special, poate fi utilizată factorizarea parțială a unui număr. O metodă similară este utilă în special atunci când se lucrează nu cu numere, ci cu polinoame.

Dacă se știe că în timpul funcționării programului, toate numerele întregi întâlnite în calcule sunt limitate în valoare absolută de o constantă dată, atunci pentru a defini astfel de numere, se poate folosi sistemul lor de reziduuri modulo unele numere coprime, al căror produs depășește constanta amintită. Calculele cu clase de reziduuri sunt în general mai rapide decât aritmetica cu precizie multiplă. Și cu această abordare, aritmetica cu precizie multiplă ar trebui utilizată numai atunci când introduceți sau scoateți informații.

Rețineți că, împreună cu reprezentările canonice în sisteme algebră computerizată Sunt folosite și alte reprezentări. În special, este de dorit ca prezența sau absența unui semn „+” în fața unui număr întreg să nu afecteze percepția computerului despre acesta. Astfel, pentru numerele pozitive se obține o reprezentare ambiguă, deși forma numerelor negative este determinată în mod unic.

O altă cerință este ca percepția unui număr să nu fie afectată de prezența zerourilor înainte de prima cifră semnificativă.

1.3. EXERCIȚII.

1. Estimați numărul de înmulțiri cu o singură cifră utilizate la înmulțirea unui număr de m cifre cu o coloană de n cifre.
2. Arătați că două numere din două cifre pot fi înmulțite folosind doar 3 înmulțiri cu o singură cifră și crescând numărul de adunări.
3. Găsiți un algoritm pentru împărțirea numerelor lungi care nu necesită multă căutare atunci când găsiți prima cifră a coeficientului.
4. Descrieți un algoritm pentru conversia numerelor naturale din sistemul numeric m-ary în sistemul numeric n-ary.
5. ÎN numerotarea romana Următoarele simboluri sunt folosite pentru a scrie numere: I - unu, V - cinci, X - zece, L - cincizeci, C - o sută, D - cinci sute, M - mii. Un simbol este considerat negativ dacă există un simbol al unui număr mai mare în dreapta acestuia, iar pozitiv în caz contrar. De exemplu, numărul 1948 din acest sistem va fi scris astfel: MCMXLVIII. Formulați un algoritm pentru conversia unui număr din roman în zecimal și înapoi. Implementați algoritmul rezultat într-unul dintre limbajele algoritmice (de exemplu, C). Limitări privind datele sursă: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Formulați un algoritm și scrieți un program de adunare a numerelor naturale în numerație romană.
7. Vom spune că avem de-a face cu un sistem numeric cu pe bază mixtă sau vectorială, dacă ni se dă un vector de n numere naturale M = (m 1 , . . . , m n) (radix) și notația K = (k 0 , k 1 , . . . . , k n) denotă numărul k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n)...)). Scrieți un program care, pe baza datelor (ziua săptămânii, ore, minute, secunde), determină câte secunde au trecut de la începutul săptămânii (Luni, 0, 0, 0) = 0, și efectuează transformarea inversă.