สัจพจน์ของแหวน คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน คลาสพิเศษของแหวน

คำอธิบายประกอบ: การบรรยายครั้งนี้จะกล่าวถึงแนวคิดเรื่องวงแหวน ให้คำจำกัดความพื้นฐานและคุณสมบัติต่างๆ ขององค์ประกอบของวงแหวน และพิจารณาวงแหวนที่เชื่อมโยงกัน มีการพิจารณาปัญหาลักษณะเฉพาะจำนวนหนึ่ง ทฤษฎีบทหลักได้รับการพิสูจน์ และมีการมอบปัญหาสำหรับการพิจารณาอย่างอิสระ

แหวน

เรียกเซต R ที่มีการดำเนินการไบนารี่สองตัว (การบวก + และการคูณ) วงแหวนเชื่อมโยงกับหน่วย, ถ้า:

ถ้าการดำเนินการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน วงแหวนจะถูกเรียก สับเปลี่ยนแหวน. วงแหวนสลับเป็นหนึ่งในวัตถุหลักของการศึกษาพีชคณิตสับเปลี่ยนและเรขาคณิตพีชคณิต

หมายเหตุ 1.10.1.

ตัวอย่าง 1.10.2 (ตัวอย่างวงแหวนเชื่อมโยง).

เราได้เห็นแล้วว่ากลุ่มของสารตกค้าง (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, แบบโมดูโล n ที่มีการดำเนินการบวก คือกลุ่มสับเปลี่ยน (ดูตัวอย่าง 1.9.4, 2))

ให้เรากำหนดการดำเนินการคูณโดยตั้งค่า มาตรวจสอบความถูกต้องของการดำเนินการนี้กัน ถ้า C k =C k" , C l =C l" แล้ว k"=k+nu , l"=l+nv และดังนั้น C k"l" =C kl

เพราะ (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C mจากนั้นคือวงแหวนสับเปลี่ยนสัมพันธ์กับวงแหวนโมดูโล n ของเรซิดิวหน่วย C 1

คุณสมบัติของวงแหวน (R,+,.)

บทแทรก 1.10.3 (ทวินามของนิวตัน)- ให้ R เป็นวงแหวนที่มี 1 , , . แล้ว:

การพิสูจน์.

คำจำกัดความ 1.10.4- เรียกสับเซต S ของวงแหวน R ซับริง, ถ้า:

a) S เป็นกลุ่มย่อยที่เกี่ยวข้องกับการบวกในกลุ่ม (R,+)

ข) เพราะเรามี ;

c) สำหรับวงแหวน R ที่มี 1 ให้สันนิษฐานว่า

ตัวอย่างที่ 1.10.5 (ตัวอย่างวงแหวนย่อย).

ปัญหา 1.10.6- อธิบายวงย่อยทั้งหมดในวงแหวนตกค้าง Zn modulo n

หมายเหตุ 1.10.7- ในวงแหวน Z 10 องค์ประกอบที่เป็นผลคูณของ 5 จะรวมกันเป็นวงแหวนที่มี 1 ซึ่งไม่ใช่วงแหวนย่อยใน Z 10 (วงแหวนเหล่านี้มีองค์ประกอบหน่วยต่างกัน)

คำจำกัดความ 1.10.8- ถ้า R เป็นวงแหวน และ , , ab=0 ดังนั้นองค์ประกอบ a จะเรียกว่าตัวหารศูนย์ด้านซ้ายใน R องค์ประกอบ b จะเรียกว่าตัวหารศูนย์ด้านขวาใน R

หมายเหตุ 1.10.9- แน่นอนว่าในวงแหวนสับเปลี่ยน แน่นอนว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างตัวหารศูนย์ซ้ายและขวา

ตัวอย่าง 1.10.10- ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ใน Z, Q, R

ตัวอย่าง 1.10.11- วงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่อง C มีตัวหารเป็นศูนย์ จริงๆ แล้วถ้า.

แล้ว , , fg=0 .

ตัวอย่าง 1.10.12- ถ้า n=kl , 1

เลมมา 1.10.13- หากไม่มีตัวหารศูนย์ (ซ้าย) ในวงแหวน R ดังนั้นจาก ab=ac โดยที่ , , จะเป็นไปตามนั้น b=c (นั่นคือ ความสามารถในการยกเลิกด้วยองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทางด้านซ้ายหากไม่มีตัวหารที่เป็นศูนย์ด้านซ้าย และทางด้านขวาหากไม่มีตัวหารที่เป็นศูนย์ทางขวา)

การพิสูจน์. ถ้า ab=ac แล้ว a(b-c)=0 เนื่องจาก a ไม่ใช่ตัวหารซ้ายเป็นศูนย์ ดังนั้น b-c=0 คือ b=c

คำจำกัดความ 1.10.14- องค์ประกอบที่เรียกว่า ไม่มีอำนาจถ้า xn =0 สำหรับบางคน - เรียกว่าจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด n ระดับความไม่มีกำลังขององค์ประกอบ .

เห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบไม่มีโพเทนต์เป็นตัวหารที่เป็นศูนย์ (ถ้า n>1 แล้ว - ข้อความตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง (ไม่มีองค์ประกอบที่ไม่มีอำนาจใน Z 6 แต่ 2, 3, 4 เป็นตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ของศูนย์)

แบบฝึกหัดที่ 1.10.15- วงแหวน Z n มีองค์ประกอบที่ไม่มีอำนาจ ก็ต่อเมื่อ n หารด้วย m 2 ลงตัว โดยที่ ,

คำจำกัดความ 1.10.16- เรียกว่าองค์ประกอบ x ของวงแหวน R idempotent, ถ้า x 2 =x . เป็นที่ชัดเจนว่า 0 2 =0, 1 2 =1 ถ้า x 2 =x และ แล้ว x(x-1)=x 2 -x=0 ดังนั้น ตัวระบุที่ไม่ไม่สำคัญจึงเป็นตัวหารเป็นศูนย์

ให้ U(R) แทนเซตขององค์ประกอบที่ผันกลับได้ของวงแหวนเชื่อมโยง R กล่าวคือ องค์ประกอบที่มีองค์ประกอบผกผัน s=r -1 (เช่น rr -1 =1=r -1 r )

คำนิยาม 4.1.1. แหวน (เค, +, ) เป็นระบบพีชคณิตที่มีเซตไม่ว่าง เคและการดำเนินการพีชคณิตไบนารีสองรายการซึ่งเราจะเรียกว่า ส่วนที่เพิ่มเข้าไปและ การคูณ- วงแหวนเป็นกลุ่มบวกแบบอาบีเลียน และการคูณและการบวกมีความสัมพันธ์กันตามกฎการกระจายตัว: ( ก + ข)  ค = ก  ค + ข  คและ กับ  (ก + ข) = ค  ก + ค  ขโดยพลการ ก, ข, ค  เค.

ตัวอย่าง 4.1.1. เรามายกตัวอย่างแหวนกันดีกว่า

1. (ซี, +, ), (ถาม, +, ), (ร, +, ), (ค, +, ) – วงแหวนของจำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ตามลำดับ โดยมีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณ วงแหวนเหล่านี้เรียกว่า ตัวเลข.

2. (ซี/nซี, +, ) – วงแหวนของคลาสสารตกค้างแบบโมดูโล n  เอ็นด้วยการบวกและการคูณ

3. พวงของ ม n (เค) เมทริกซ์จตุรัสทั้งหมดของลำดับคงที่ n  เอ็นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( เค, +, ) โดยมีการดำเนินการของการบวกและการคูณเมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, เคอาจจะเท่ากัน ซี, ถาม, ร, คหรือ ซี/nซีที่ n  เอ็น.

4. เซตของฟังก์ชันจริงทั้งหมดที่กำหนดในช่วงเวลาคงที่ ( ก; ข) เส้นจำนวนจริง โดยมีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณฟังก์ชัน

5. เซตของพหุนาม (พหุนาม) เค[x] โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( เค, +, ) จากตัวแปรตัวหนึ่ง xด้วยการดำเนินการตามธรรมชาติของการบวกและการคูณพหุนาม โดยเฉพาะวงแหวนพหุนาม ซี[x], ถาม[x], ร[x], ค[x], ซี/nซี[x] ที่ n  เอ็น.

6. วงแหวนของเวกเตอร์ ( วี 3 (ร), +, ) ด้วยการดำเนินการบวกและการคูณเวกเตอร์

7. วงแหวน ((0), +, ) พร้อมการดำเนินการบวกและการคูณ: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

คำนิยาม 4.1.2. แยกแยะ มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุดแหวน (ตามจำนวนองค์ประกอบของชุด เค) แต่การจำแนกประเภทหลักจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ แยกแยะ เชื่อมโยงดังขึ้นเมื่อการดำเนินการคูณเป็นแบบเชื่อมโยง (จุดที่ 1–5, 7 ของตัวอย่างที่ 4.1.1) และ ไม่เกี่ยวข้องแหวน (จุดที่ 6 ของตัวอย่าง 4.1.1: ที่นี่ ,) วงแหวนสมาคมแบ่งออกเป็น แหวนด้วยอันหนึ่ง(มีองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณ) และ โดยไม่มีหน่วย, สับเปลี่ยน(การดำเนินการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน) และ ไม่สับเปลี่ยน.

ทฤษฎีบท4.1.1. อนุญาต ( เค, +, ) เป็นวงแหวนที่เกี่ยวข้องกับหนึ่ง แล้วมากมาย เค* กลับด้านได้ด้วยการคูณองค์ประกอบวงแหวน เค– กลุ่มการคูณ

เรามาตรวจสอบการปฏิบัติตามคำจำกัดความของกลุ่ม 3.2.1 กัน อนุญาต ก, ข  เค- มาแสดงกันเถอะ ก  ข  เค * .  (ก  ข) –1 = ข –1  ก –1  เค- จริงหรือ,

(ก  ข)  (ข –1  ก –1) = ก  (ข  ข –1)  ก –1 = ก  1  ก –1 = 1,

(ข –1  ก –1)  (ก  ข) = ข –1  (ก –1  ก)  ข = ข –1  1  ข = 1,

ที่ไหน ก –1 , ข –1  เค– องค์ประกอบผกผันถึง กและ ขตามลำดับ

1) การคูณใน เค* ร่วมกันตั้งแต่นั้นมา เค– แหวนเชื่อมโยง.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  เค* , 1 – องค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณเข้า เค * .

3) สำหรับ  ก  เค * , ก –1  เค* , เพราะ ( ก –1)  ก = ก  (ก –1) = 1
(ก –1) –1 = ก.

คำนิยาม 4.1.3. พวงของ เค* กลับด้านได้ด้วยการคูณองค์ประกอบของวงแหวน ( เค, +, ) เรียกว่า กลุ่มวงแหวนคูณ.

ตัวอย่าง 4.1.2. เราจะยกตัวอย่างกลุ่มการคูณของวงแหวนต่างๆ

1. ซี * = {1, –1}.

2. ม n (ถาม) * = ก.ล. n (ถาม), ม n (ร) * = ก.ล. n (ร), ม n (ค) * = ก.ล. n (ค).

3. ซี/nซี* - ชุดของคลาสสารตกค้างที่ผันกลับได้ ซี/nซี * = { | (เค, n) = 1, 0  เค < n), ที่ n > 1 | ซี/nซี * | =  (n), ที่ไหน  - ฟังก์ชันออยเลอร์

4. (0) * = (0) ตั้งแต่ใน ในกรณีนี้ 1 = 0.

คำนิยาม 4.1.4. หากอยู่ในวงแหวนเชื่อมโยง ( เค, +, ) กับกลุ่มยูนิต เค * = เค\(0) โดยที่ 0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเทียบกับการบวก ดังนั้นวงแหวนดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ร่างกายหรือ พีชคณิตด้วยแผนก- ร่างกายสับเปลี่ยนเรียกว่า สนาม.

จากคำจำกัดความนี้จะเห็นได้ชัดเจนว่าในร่างกาย เค*   และ 1  เค* หมายถึง 1  0 ดังนั้นส่วนน้อยที่สุดซึ่งเป็นสนามประกอบด้วยสององค์ประกอบ: 0 และ 1

ตัวอย่าง 4.1.3.

1. (ถาม, +, ), (ร, +, ), (ค, +, ) – ตามลำดับ ช่องตัวเลขจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน

2. (ซี/พีซี, +, ) – ฟิลด์จำกัดจาก พีองค์ประกอบถ้า พี- จำนวนเฉพาะ. ตัวอย่างเช่น, ( ซี/2ซี, +, ) – ฟิลด์ขั้นต่ำของสององค์ประกอบ

3. ร่างกายที่ไม่สับเปลี่ยนคือ ร่างกายควอเทอร์เนียน- ชุด ควอเทอร์เนียนนั่นคือการแสดงออกของแบบฟอร์ม ชม.= ก + สอง + ซีเจ + ดีเค, ที่ไหน ก, ข, ค, ง  ร, ฉัน 2 = = เจ 2 = เค 2 = – 1, ฉัน  เจ= เค= – เจ  ฉัน, เจ  เค= ฉัน= – เค  เจ, ฉัน  เค= – เจ= – เค  ฉันด้วยการดำเนินการบวกและการคูณ ควอเทอร์เนียนจะถูกบวกและคูณทีละเทอม โดยคำนึงถึงสูตรข้างต้น สำหรับทุกคน ชม. 0 ควอเทอร์เนียนผกผันมีรูปแบบ:
.

มีวงแหวนที่มีตัวหารเป็นศูนย์และวงแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์

คำนิยาม 4.1.5. หากวงแหวนมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ กและ ขดังนั้น ก  ข= 0 จากนั้นจะถูกเรียก ตัวหารศูนย์และแหวนเองก็- แหวนที่มีตัวแบ่งเป็นศูนย์- ใน มิฉะนั้นแหวนนั้นเรียกว่า วงแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์.

ตัวอย่าง 4.1.4.

1. แหวน ( ซี, +, ), (ถาม, +, ), (ร, +, ), (ค, +, ) – วงแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์

2. ในวงแหวน ( วี 3 (ร), +, ) ทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นตัวหารของศูนย์ เนื่องจาก
สำหรับทุกอย่าง
วี 3 (ร).

3. ในวงแหวนเมทริกซ์ ม 3 (ซี) ตัวอย่างของตัวหารศูนย์คือเมทริกซ์
และ
, เพราะ ก  บี = โอ(เมทริกซ์ศูนย์)

4. ในวงแหวน ( ซี/nซี, +, ) ด้วยคอมโพสิต n = เค  มที่ไหน 1< เค, ม < n,ชั้นสารตกค้าง และ เป็นตัวหารศูนย์ เนื่องจาก 

ด้านล่างนี้เรานำเสนอคุณสมบัติหลักของวงแหวนและฟิลด์

แนวคิดของแหวน คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของแหวน

พีชคณิต ( เค, +, ∙) เรียกว่าวงแหวนหากสัจพจน์ต่อไปนี้ยังคงอยู่:

1. (เค, +) – กลุ่มสับเปลี่ยน;

2.
ก (บี+ซี) = เอบี+เอซี (บี+ซี)ก = บริติชแอร์เวย์;

3. ก (ก่อนคริสต์ศักราช) = (เกี่ยวกับ) ค.

ถ้าการดำเนินการคูณในวงแหวนเป็นแบบสลับสับเปลี่ยน วงแหวนนั้นเรียกว่าสับเปลี่ยน

ตัวอย่าง.พีชคณิต (Z, +, ∙), ( ถาม, +, ∙), (ร, + ,∙) คือวงแหวน

แหวนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: มี

1) ก + ข = ก => ข = 0;

2) ก+ข = 0 => ข = - ก;

3) – (- ก) = ก;

4) 0∙ก = ก∙0 = 0 (0 – วงแหวนศูนย์);

5) (-ก)∙ข = ก∙(-ข) = -ก∙ข;

6) (ก – ข)∙ค = ก∙ค – ข∙ค, ที่ไหน ก–ข = ก + (-ข).

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติ 6. ( ก-ข)∙ค = (+ (-ข))∙ค = ก∙ค+ (-ข)∙ค = ก∙ค +(-ข∙ค)= =ก∙ค-ข∙ค.

อนุญาต ( เค ก เคเรียกว่าวงแหวนย่อยของวงแหวน ( เค,+,∙) หากเป็นวงแหวนที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการในวงแหวน ( เค, +, ∙).

ทฤษฎีบท.อนุญาต ( เค, +, ∙) – แหวน เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า ก เค, เป็นอนุพันธ์ของวงแหวน ถึงแล้วและเมื่อเท่านั้น
ก- ข, ก∙ข
.

ตัวอย่าง.วงแหวน (Q, +, ∙) เป็นวงแหวนย่อยของวงแหวน ( ก, +, ∙) โดยที่ ก = ={ก+ ข | ก, ขถาม)

แนวคิดเรื่องสนาม คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของเขตข้อมูล.

คำนิยาม.แหวนสลับ ( ร, +, ∙) ด้วย 1 โดยที่ศูนย์ของวงแหวนไม่ตรงกับเอกลักษณ์ของวงแหวน เรียกว่าฟิลด์ ถ้า
ก≠0 มีองค์ประกอบผกผัน ก -1 , ก∙ ก -1 = จ, จ– หน่วยของแหวน

คุณสมบัติทั้งหมดของวงแหวนใช้ได้กับฟิลด์ สำหรับสนาม ( ร,+,∙) คุณสมบัติต่อไปนี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:

1)
ก≠0 สมการ อา =ขมีวิธีแก้ปัญหาและยิ่งไปกว่านั้นคือวิธีที่ไม่เหมือนใคร

2) เอบี = อี |=> ก≠0 ข =ก -1 ;

3)

ค≠0 เอซี = พ.ศ => ก=ข;

4)เกี่ยวกับ = 0
ก = 0 ข = 0;

5) โฆษณา = พ.ศ (ข≠0, ง≠0);

6)
;

.

ตัวอย่าง.พีชคณิต (Q, +, ∙), ( ก, +, ∙) โดยที่ ก = {ก+ข | ก, ขถาม) ( ร, +, ∙) – ฟิลด์

อนุญาต ( ร,+,∙) – สนาม เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า เอฟ ปซึ่งเป็นฟิลด์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการในฟิลด์ ( ร,+,∙) เรียกว่าฟิลด์ย่อยของฟิลด์ ร.

ตัวอย่าง.ช่อง (Q,+,∙) เป็นช่องย่อยของช่องจำนวนจริง (R,+,∙)

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. จงแสดงว่าเซตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการคูณคือหมู่อาเบเลียน

2. การดำเนินการถูกกำหนดไว้บนเซต Q\(0) กข =
- พิสูจน์ว่าพีชคณิต (Q\(0),) เป็นกลุ่ม

3. บนเซต Z จะมีการดำเนินการพีชคณิตแบบไบนารี ซึ่งกำหนดโดยกฎ กข = เอ+ข – 2. ค้นหาว่าพีชคณิต (Z,) เป็นกลุ่มหรือไม่

4. บนกองถ่าย ก = {(ก, ข)
) การดำเนินการที่กำหนดไว้ ( เอ,ข) (ค, ง) = (เครื่องปรับอากาศ– ข, โฆษณา+ ก่อนคริสต์ศักราช- พิสูจน์พีชคณิตนั้น ( เอ,) - กลุ่ม.

5. ให้ ต– ชุดของการแมปทั้งหมด
กำหนดโดยกฎ
, ที่ไหน เอ,ขถาม ก
พิสูจน์ว่า ตเป็นกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของการแมป

6. ให้ ก={1,2,…,n- การทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ฉ:
เรียกว่าการทดแทน n– โอ้ ปริญญา การแทน n– โอ้ องศา สะดวกในการเขียนเป็นตาราง
โดยที่ผลคูณของการทดแทนสองครั้ง
ชุด กถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบของการแมป A-ไพรเออรี่

พิสูจน์ว่าเซตของการแทนที่ทั้งหมด n– โอ้ ปริญญา เป็นกลุ่มภายใต้ผลคูณของการทดแทน

7. ค้นหาว่าวงแหวนมีความสัมพันธ์กับการบวกและการคูณหรือไม่:

ก) เอ็น; ข) เซตของจำนวนเต็มคี่ทั้งหมด c) เซตของจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด ง) ชุดตัวเลขของแบบฟอร์ม
ที่ไหน เอ,ข

8.ชุดคือแหวนใช่ไหม? ถึง={ก+ข
) เกี่ยวกับการดำเนินการบวกและการคูณ

9.แสดงว่าชุด ก={ก+ข) ในส่วนของการดำเนินการบวกและการคูณจะมีวงแหวน

10. บนกองถ่าย ซีมีการกำหนดการดำเนินการสองรายการ: กข=ก+ข+1, เกี่ยวกับ= เกี่ยวกับ+ ก+ ข- พิสูจน์พีชคณิตนั้น

11. ในชุดของคลาสโมดูโลตกค้าง มให้การดำเนินการไบนารี่สองครั้ง: พิสูจน์พีชคณิตนั้น
วงแหวนสับเปลี่ยนที่มีตัวตน

12 . อธิบายวงย่อยทั้งหมดของวงแหวน
.

13. ค้นหาว่าชุดของจำนวนจริงใดต่อไปนี้เป็นช่องที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบวกและการคูณ:

ก) จำนวนตรรกยะที่มีตัวหารเป็นคี่

ข) ตัวเลขของแบบฟอร์ม
มีเหตุผล เอ,ข;

ค) ตัวเลขของแบบฟอร์ม
มีเหตุผล ก, ข;

ง) ตัวเลขของแบบฟอร์ม
มีเหตุผล ก, ข, ค.

§5 สนามของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินงานบนคอมเพล็กซ์

ตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต

ช่องจำนวนเชิงซ้อน.

ให้พีชคณิตสองตัว ( ก,+,∙), (Ā , ,). แสดง ฉ: ก ใน (บน) >Ā เป็นไปตามเงื่อนไข:
ฉ(ก+ข) = ฉ(ก) ฉ(ข) ฉ(ก◦ข) = ฉ(ก) ◦ ฉ(ข) เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิต ( ก, +, ∙) ลงใน (เปิด) พีชคณิต ( Ā , , ◦).

คำนิยาม.การทำแผนที่โฮโมมอร์ฟิก ฉพีชคณิต ( ก, +, ∙) ถึงพีชคณิต ( Ā , , ◦) เรียกว่าการแมปแบบไอโซมอร์ฟิก หากการแมป ฉชุด กบน Ā แบบฉีด จากมุมมองของพีชคณิต พีชคณิตแบบไอโซมอร์ฟิกนั้นแยกไม่ออกนั่นคือ มีคุณสมบัติเหมือนกัน

เหนือสนาม รสมการของแบบฟอร์ม x 2 +1 = 0 ไม่มีทางแก้ มาสร้างฟิลด์ที่มีฟิลด์ย่อยกัน isomorphic ไปยังสนาม (ร,+,∙) และสมการอยู่ในรูป x 2 +1 = 0 มีคำตอบ

บนเซต C = ร× ร = {(ก, ข) | ก, ข ร) เราแนะนำการดำเนินการของการบวกและการคูณดังนี้: ( ก, ข) (ค, ง) = (ก+ ค, ข+ ง), (ก, ข) ◦ (ค, ง) = (เครื่องปรับอากาศ-ข, โฆษณา+ก่อนคริสต์ศักราช- ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่าพีชคณิต (C, , ◦) เป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว คู่ (0,0) คือศูนย์ของวงแหวน (1,0) คือหน่วยของวงแหวน ให้เราแสดงว่าแหวน ( กับ, , ◦) – สนาม อนุญาต ( ก, ข) ค, ( ก, ข) ≠ (0,0) และ ( x,ย) C คือคู่ของตัวเลขที่ ( ก, ข)◦(x, ย) = (1,0). (ก, ข)◦(x, ย) = (1,0) (ขวาน– โดย, ใช่+ บีเอ็กซ์) = (1,0)

(1)

จาก (1) =>
,
(ก, ข) -1 =
- ดังนั้น (C, +, ∙) คือฟิลด์ พิจารณาชุด ร 0 = {(ก,0) | ก ร- เพราะ ( ก,0) (ข,0) = (ก- ข,0)ร 0 , (ก,0)◦(ข,0) = (เกี่ยวกับ,0) ร 0 ,
(ก,0) ≠ (0,0) (ก,0) -1 = (,0) ร 0 จากนั้นพีชคณิต ( ร 0, ,◦) – สนาม

มาสร้างแผนที่กันเถอะ ฉ: ร
ร 0 กำหนดโดยเงื่อนไข ฉ(ก)=(ก,0) . เพราะ ฉ – การทำแผนที่เชิงอัตนัยและ ฉ(ก+ ข)= (ก+ ข,0) = =(ก,0)(ข,0) = ฉ(ก)ฉ(ข), ฉ(ก∙ข) = (ก∙ ข,0) = (ก,0)◦(ข,0) =ฉ(ก)◦ฉ(ข), ที่ ฉ– การทำแผนที่ไอโซมอร์ฟิก เพราะฉะนั้น, ( ร , +,∙)
(ร 0, ,◦). (ร 0, ,◦) – สนามของจำนวนจริง

ให้เราแสดงสมการของรูปแบบนั้น เอ็กซ์ 2 +1 = 0 ในช่อง (C , , ◦) มีคำตอบ - เอ็กซ์, ย) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - ย 2 +1, 2เอ็กซ์ซี) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – คำตอบของระบบ (2)

ฟิลด์ที่สร้างขึ้น (C , ,°) เรียกว่าฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน และองค์ประกอบต่างๆ ของฟิลด์นี้เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

ให้ (C, +, ∙) เป็นช่องของจำนวนเชิงซ้อน
ค,
=(ก, ข- เพราะ ( ร 0 ,+, ∙) (ร, +, ∙) จากนั้นคู่ใดๆ ( ก,0) เราระบุด้วย เบอร์จริง ก- ให้เราแสดงโดย ί = (0,1) เพราะ ί 2 = (0.1)∙(0.1) = (-1.0) = -1 จากนั้น ί เรียกว่าหน่วยจินตภาพ ลองจินตนาการถึงจำนวนเชิงซ้อน
=(ก,ข) ในรูปแบบ: =( ก,ข)=(ก,0) +(ข,0) ◦(0,1)=ก+ข∙ί. การแทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ = ก + ขί เรียกว่าการเขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต กเรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย Re ขเป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย Im

การบวกจำนวนเชิงซ้อน:

α = เอ+บี, β = ส+งί , α +β = (เอ,ข) + (ค, ง) = (ก+ ค, ข+ ง) = ก+ ค+ (ข+ ง)ί.

การคูณจำนวนเชิงซ้อน:

α∙β = (ก, ข)(ค, ง) = (ก∙ ค– ข∙ ง, ก∙ ง+ ข∙ ค) = ก∙ ค - ข∙ ง + (ก∙ ง + ข∙ ค)ί.

การหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน เอ+บี และ ส+งί คุณต้องคูณ เอ+บีบน ส+งί เป็นแบบทวินามคูณทวินาม เมื่อพิจารณาจากค่านั้น ί 2 = -1.

ผลหารของการหารด้วย β , β ≠ 0 เป็นจำนวนเชิงซ้อน γ โดยที่ = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1 . เพราะ
แล้ว = ∙β -1 = =(ก, ข)∙
ดังนั้น

สูตรนี้สามารถหาได้หากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่ผันเข้ากับตัวส่วน เช่น บน

กับ -ดี.

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวม ผลคูณ ผลหารของจำนวนเชิงซ้อน

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

สารละลาย. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6 การสกัดรากn- กำลังของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน

z = ก + บีเราจะแสดงมันเป็นจุด ก(เอ,ข) หรือเวกเตอร์รัศมี
.

ลองแทนจำนวนเชิงซ้อนกัน z = 2 – 3ί .

คำนิยาม.ตัวเลข
เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z = ก + บีและเขียนแทนด้วย | z |.

มุมที่เกิดขึ้นระหว่างทิศทางบวกของแกน O เอ็กซ์และเวกเตอร์รัศมีแทนจำนวนเชิงซ้อน z= ก+ บีเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ตัวเลข zและถูกกำหนดไว้ เรื่องz.

อาร์กซนิยามจนถึงคำว่า 2π เค, .

อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน zเป็นไปตามเงื่อนไข 0≤< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа zและถูกกำหนดไว้ หาเรื่อง z.

จาก โอเอเอ 1 => ก=
เพราะ ,ข= บาป
- การแสดงจำนวนเชิงซ้อน z= ก+ บีเช่น z= ร(เพราะ + ί sin) เรียกว่าการเขียนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ z (ร- ในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน z = ก + บีในรูปแบบตรีโกณมิติคุณต้องรู้ | z- และ เรื่อง zซึ่งกำหนดได้จากสูตร
, คอส =
บาป =

อนุญาต z 1 = ร 1 (คอส φ 1 + ί บาป φ 1), z 2 = ร 2 (คอส φ 2 + ί บาป φ 2). แล้ว z 1∙ z 2 = =ร 1∙ ร 2 [(คอส φ 1 ∙คอส φ 2 – บาป φ 1∙บาป φ 2)+ฉัน]= ร 1∙ ร 2 [(คอส (φ 1+ φ 2) + ฉันบาป ( φ 1+ φ 2)]. ตามนั้น | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, เรื่อง z 1 ∙z 2 = เรื่อง z 1 + เรื่อง z 2 .

เรื่อง
เรื่อง –หาเรื่อง .

การสกัดรากn- กำลังของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

อนุญาต zค, nเอ็น. n – กำลัง th ของจำนวนเชิงซ้อน z งานนี้เรียกว่า
มันถูกกำหนดไว้ z n- อนุญาต ม=- n- ตามคำจำกัดความเราถือว่า
z≠0, z 0 = 1, z ม = - ถ้า z =ร(เพราะ φ + ί บาป φ ) , ที่ z n =

= ร n(เพราะ nφ + ί บาป nφ- ที่ ร = 1 เรามี z n = เพราะ nφ + ί บาป nφ - สูตรมูฟวร์ สูตรของ Moivre ยึดถือ
.

ราก n zเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนเช่นนั้น ω , อะไร ω n = z- นั่นเป็นคำพูดที่ยุติธรรม

ทฤษฎีบท.มีอยู่ nความหมายที่แตกต่างกันของราก n- ยกกำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน z = ร(เพราะ φ + ί บาป φ - ทั้งหมดได้มาจากสูตรที่มี เค = 0, 1, … , n-1. ในสูตรนี้
– รากเลขคณิต

ให้เราแสดงโดย ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 – ค่ารูท nระดับของ zซึ่งได้รับมาพร้อมกับ เค = 0, 1, ... , n-1. ตั้งแต่ | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

หาเรื่อง ω 0 = , ω 1 = หาเรื่อง ω 0 +
, … , หาเรื่อง ω n -1 = หาเรื่อง ω n - 2 + แล้วจำนวนเชิงซ้อน ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 บนระนาบแสดงด้วยจุดของวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ
และแบ่งวงกลมนี้ออกเป็น nส่วนที่เท่ากัน

เกี่ยวกับการบวก;

$\backslash forall\; a\; \backslash in\; R\backslash ;\; \backslash exists\; b\; \backslash in\; R\; \backslash left(a\; +\; b\; =\; b\; +\; a\; =\; 0\backslash right)$- การมีอยู่ขององค์ประกอบตรงข้ามที่สัมพันธ์กับการบวก

$(a\; \backslash times\; b)\; \backslash times\; c=a\; \backslash times\; (b\; \backslash times\; c)$- ความสัมพันธ์ของการคูณ

$\backslash left\backslash (\backslash begin(เมทริกซ์)\; a\; \backslash times\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; \backslash times\; b)\; +\; (a\; \backslash times\; c)\; \backslash \backslash \; (b\; +\; c)\; \backslash times\; a\; =\; (b\; \backslash times\; a)\; +\; (\; c\; \backslash times\; a)\; \backslash end(เมทริกซ์)\backslash right$- การกระจายสินค้า

แทนที่จะเป็นสัญลักษณ์ $\backslash ครั้ง$มักใช้สัญลักษณ์ $\backslash cdot$หรือละเว้นไปเลย

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

คุณสมบัติต่อไปนี้สามารถได้รับโดยตรงจากสัจพจน์ของวงแหวน:

แนวคิดพื้นฐาน

ประเภทขององค์ประกอบวงแหวน

ปล่อยให้แหวนมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ (แหวนไม่สำคัญ) จากนั้นตัวหารศูนย์ด้านซ้ายจะเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ $ก$แหวน $อาร์$ซึ่งมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ $ข$แหวน $อาร์$ดังนั้น $ab=0.$ตัวหารศูนย์ทางขวาจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ในวงแหวนสับเปลี่ยนแนวคิดเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกัน ตัวอย่าง: พิจารณาวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา $(-1,\; 1).$เอาล่ะใส่ $ฉ(x)=\backslash สูงสุด(0,\; x)$ $ก.(x)=\backslash สูงสุด(0,\; -x)$แล้ว $f\backslash ne0,\; g\backslash ne0,\; fg=0,$นั่นคือ $ฉ\; ก$เป็นตัวหารเป็นศูนย์ นี่คือเงื่อนไข $ฉ\backslash n0$หมายความว่า $ฉ$เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้น $ฉ$ไม่สำคัญที่ไหน $0.$

ถ้า $ก$– องค์ประกอบตามอำเภอใจของวงแหวนที่มีความสามัคคี $อาร์$จากนั้นองค์ประกอบผกผันด้านซ้ายถึง $ก$เรียกว่า $ก^(-1)\_(ล.)$ดังนั้น $ก^(-1)\_(ล)ก=1.$องค์ประกอบผกผันด้านขวาถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ถ้าธาตุ $ก$มีทั้งอินเวอร์สซ้ายและขวา จากนั้นอันหลังก็ตรงกัน และเราพูดอย่างนั้น $ก$มีองค์ประกอบผกผันซึ่งถูกกำหนดและแสดงไว้โดยเฉพาะ $เอ^(-1)$องค์ประกอบนั้นเรียกว่าองค์ประกอบที่พลิกกลับได้

ซูริง

เซตย่อย $A\backslash เซตย่อย\; R$เรียกว่า ซับริง $อาร์$ถ้า $ก$เป็นตัววงแหวนที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการที่กำหนดไว้ $ร.$ในขณะเดียวกันพวกเขาก็พูดอย่างนั้น $ร$- การขยายตัวของวงแหวน $ก.$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า $A\backslash เซตย่อย\; R$เป็นวงย่อยถ้า

• $ก$เป็นกลุ่มย่อยของการบวกของวงแหวน $อาร์$นั่นคือเพื่อสิ่งใดสิ่งหนึ่ง $x,\; y\; \backslash ใน\; A:\; x+y,\; -x\; \backslash ใน\; A,$
• $ก$ถูกปิดภายใต้การคูณ นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ $x,\; y\; \backslash in\; A:\; xy\; \backslash in\; A$

วงแหวนย่อยสืบทอดคุณสมบัติของการสับเปลี่ยน

เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า $ฉัน$แหวน $ร$เรียกว่า ทิ้งอุดมคติไว้, ถ้า:

• $ฉัน$เป็นกลุ่มย่อยของการบวกของวงแหวน นั่นคือผลรวมขององค์ประกอบสองตัวใดๆ จาก $ฉัน$เป็นของ $ฉัน,$และ $a\backslash in\; I\backslash ลูกศรขวา\; -a\backslash in\; I.$

• ฉันถูกปิดภายใต้การคูณทางซ้ายโดยองค์ประกอบที่กำหนดเองของวงแหวนนั่นคือสำหรับค่าใดก็ได้ $\backslash \; ในฉัน$ $ร\backslash ในอาร์$ขวา $รา\backslash อิน\; ฉัน$

คุณสมบัติข้อแรกยังบอกเป็นนัยว่า I ถูกปิดด้วยการคูณภายในตัวมันเอง ดังนั้น I จึงเป็นวงย่อย

อุดมคติที่ถูกต้องซึ่งปิดด้วยการคูณด้วยองค์ประกอบของวงแหวนทางด้านขวาก็ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน
อุดมคติสองด้าน(หรือเพียงแค่ ในอุดมคติ) แหวน $ร$- สับเซตที่ไม่ว่างใดๆ ที่เป็นทั้งอุดมคติทางซ้ายและขวา

แหวนในอุดมคติด้วย $ร$สามารถกำหนดได้ว่าเป็นแก่นของโฮโมมอร์ฟิซึมบางชนิด $ฉ:\; R\; \backslash ถึง\; R"$

ถ้า $x$- องค์ประกอบแหวน $อาร์$แล้วเซตขององค์ประกอบของแบบฟอร์ม $รับ$(ตามลำดับ $เอ็กซ์อาร์$) เรียกว่าอุดมคติหลักทางซ้าย (ตามลำดับ ขวา) ที่สร้างโดย $x.$ถ้าเป็นแหวน $ร$คำจำกัดความเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกันและเกิดอุดมคติหลักขึ้น $เอ็กซ์,$แสดงโดย $(เอ็กซ์).$ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนคู่ทั้งหมดก่อให้เกิดอุดมคติในวงแหวนของจำนวนเต็ม อุดมคตินี้ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่ 2 สามารถพิสูจน์ได้ว่าอุดมคติทั้งหมดในวงแหวนของจำนวนเต็มนั้นเป็นหลักการ

อุดมคติของวงแหวนที่ไม่ตรงกับวงแหวนทั้งหมดเรียกว่าแบบง่าย ถ้าวงแหวนผลหารของอุดมคตินี้ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์
อุดมคติของวงแหวนที่ไม่ตรงกับวงแหวนทั้งหมดและไม่มีอยู่ในอุดมคติที่ใหญ่กว่าและไม่เท่ากับวงแหวนเรียกว่าสูงสุด

โฮโมมอร์ฟิซึม

โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน (โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน)เป็นการแมปที่คงการดำเนินการบวกและการคูณไว้ กล่าวคือเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากวงแหวน $ร$ในวงแหวน $ส$เป็นฟังก์ชัน $f:\; R\backslash ถึงS,$ดังนั้น

1. $ฉ(ก\; +\; ข)\; =\; ฉ(ก)\; +\; ฉ(ข)$
2. $f(a\; \backslash cdot\; b)\; =\; f(a)\; \backslash cdot\; f(b),\; ~\backslash forall\; a,\; b\; \backslash in\; ~R$

ในกรณีของวงแหวนที่มีเอกภาพ บางครั้งจำเป็นต้องมีเงื่อนไขด้วย $ฉ(1)\; =\; 1$ .

เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน มอร์ฟิซึมหากมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบผกผันของวงแหวน โฮโมมอร์ฟิซึ่มแบบ bijective ใดๆ ของวงแหวนถือเป็นมอร์ฟิซึม ออโตมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมจากวงแหวนถึงตัวมันเอง ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึม ตัวอย่าง: การแมปเอกลักษณ์ของวงแหวนบนตัวมันเองนั้นเป็นออโตมอร์ฟิซึม

ถ้า $f:R\backslash ถึงเอส$- โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน, เซตขององค์ประกอบ $อาร์$การไปสู่ศูนย์เรียกว่าเคอร์เนล $ฉ$(แสดง $\backslash mathrm(ker)\; f$- แกนกลางของโฮโมมอร์ฟิซึมใด ๆ นั้นเป็นอุดมคติสองด้าน ในทางกลับกันรูปภาพ $ฉ$ไม่ใช่อุดมคติเสมอไป แต่เป็นส่วนย่อย $ส$(แสดง $\backslash mathrm(im)f$).

แหวนปัจจัย

คำจำกัดความของวงแหวนผลหารตามอุดมคตินั้นคล้ายคลึงกับคำจำกัดความของกลุ่มผลหาร แม่นยำยิ่งขึ้นคือวงแหวนตัวประกอบของวงแหวน $ร$ตามอุดมคติสองด้าน $ฉัน$คือเซตของโคเซตของกลุ่มสารบวก $ร$โดยกลุ่มย่อยการบวก $ฉัน$ด้วยการดำเนินการดังต่อไปนี้:

• $(ก\; +\; ฉัน)\; +\; (ข\; +\; ฉัน)\; =\; (ก\; +\; ข)\; +\; ฉัน$
• $(ก\; +\; ฉัน)(ข\; +\; ฉัน)\; =\; (ab)\; +\; ฉัน$

เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่ม มีโฮโมมอร์ฟิซึมที่เป็นที่ยอมรับ $p:\; R\backslash ถึง\; R/I$ให้ไว้เป็น $x\; \backslash mapsto\; x\; +\; I.$แกนกลางคืออุดมคติ $ฉัน.$

คล้ายกับทฤษฎีบทว่าด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม มีทฤษฎีบทว่าด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน: อนุญาต $ฉ:\; R\backslash ถึง\; R",$แล้ว $\backslash mathrm(Im)\; f$ isomorphic กับวงแหวนผลหารเทียบกับเคอร์เนลโฮโมมอร์ฟิซึม $\backslash mathrm(Im)\; f\; \backslash simeq\; A/\backslash mathrm(Ker)\; f.$

แหวนคลาสพิเศษบางประเภท

ตัวอย่าง

• $\backslash \{\; 0\backslash \}$- วงแหวนเล็กน้อยที่ประกอบด้วยศูนย์หนึ่งตัว นี่เป็นวงแหวนเดียวที่ศูนย์เป็นหน่วยคูณ การพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ นี้เป็นวงแหวนจากมุมมองของทฤษฎีหมวดหมู่จะมีประโยชน์ เนื่องจากในกรณีนี้วัตถุปลายทางจะเกิดขึ้นในประเภทของวงแหวน
• $\backslash คณิตศาสตร์(Z)$- จำนวนเต็ม (ด้วยการบวกและการคูณปกติ) นี่เป็นตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของวงแหวน เนื่องจากวงแหวนใดๆ ก็ถือเป็นพีชคณิตได้ $\backslash Z$- นี่คือออบเจ็กต์เริ่มต้นในหมวดหมู่ด้วย แหวนแหวนพร้อมหน่วย
• $\backslash mathbb(Z)\_n$- วงแหวนของสารตกค้างแบบโมดูโล จำนวนธรรมชาติ n. นี่เป็นตัวอย่างคลาสสิกของวงแหวนจากทฤษฎีจำนวน วงแหวนตกค้างจะเป็นสนามก็ต่อเมื่อตัวเลข n เป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น ฟิลด์ที่เกี่ยวข้องเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างทฤษฎีของฟิลด์จำกัด วงแหวนตกค้างยังมีความสำคัญในการศึกษาโครงสร้างของหมู่อะบีเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด และยังสามารถนำมาใช้สร้างตัวเลข p-adic ได้อีกด้วย
• $\backslash mathbb(Q)$- วงแหวนของจำนวนตรรกยะซึ่งเป็นสนาม นี่เป็นฟิลด์ที่ง่ายที่สุดของคุณลักษณะ 0 ซึ่งเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาในทฤษฎีจำนวน การกรอกข้อมูลให้เสร็จสิ้นตามมาตรฐานที่ไม่เท่ากันจะทำให้ได้ฟิลด์ของจำนวนจริง $\backslash อาร์$และหมายเลขพี-เอดิค $\backslash Q\_p,$โดยที่ p คือจำนวนเฉพาะใดๆ
• สำหรับวงแหวนสับเปลี่ยนตามอำเภอใจ $ร$คุณสามารถสร้างวงแหวนของพหุนามในตัวแปร n ตัวได้ $ร$ด้วยอัตราต่อรองใน $ร.$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, $R[x][y]=ร.$วงแหวนพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มคือวงแหวนพหุนามสากล ในแง่ที่ว่าวงแหวนพหุนามทั้งหมดแสดงในรูปของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์: $R\; =\; R\backslash otimes\backslash left(\backslash Z\backslash right)$
• วงแหวนของเซตย่อยของเซต $เอ็กซ์$เป็นวงแหวนที่มีธาตุย่อยอยู่ด้วย $เอ็กซ์$- การดำเนินการบวกคือผลต่างสมมาตร และการคูณคือจุดตัดของเซต:

$A\; +\; B\; =\; A\; \backslash Delta\; B\; =\; (A\backslash setminus\; B)\; \backslash cup\; (B\; \backslash setminus\; A)$ $A\backslash cdot\; B\; =\; A\backslash cap\; B$สัจพจน์ของวงแหวนนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ องค์ประกอบศูนย์คือเซตว่าง องค์ประกอบเอกลักษณ์คือทุกสิ่ง $เอ็กซ์$องค์ประกอบทั้งหมดของวงแหวนเป็นแบบ idempotent กล่าวคือ $A\backslash cดอท\; A\; =\; A$องค์ประกอบใด ๆ ที่มีการบวกจะกลับกัน: $เอ+เอ=0.$วงแหวนของเซตย่อยมีความสำคัญในทฤษฎีพีชคณิตแบบบูลและทฤษฎีการวัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสร้างทฤษฎีความน่าจะเป็น

การก่อสร้าง

สินค้าตรง

ให้ R และ S เป็นวงแหวน แล้วสินค้า $R\backslash คูณ\; S$สามารถจัดให้มีโครงสร้างวงแหวนธรรมชาติได้ การดำเนินการมีดังต่อไปนี้: สำหรับรายการใดรายการหนึ่ง $r\_1,r\_2\backslash ในอาร์$, $s\_1,s\_2\backslash ในเอส:$

• $(r\_1,s\_1)+(r\_2,s\_2)=(r\_1+r\_2,s\_1+s\_2),$
• $(r\_1,s\_1)\backslash cdot\; (r\_2,s\_2)=(r\_1r\_2,s\_1s\_2)$

มีโครงสร้างที่คล้ายกันสำหรับผลิตภัณฑ์ของตระกูลวงแหวนตามอำเภอใจ (ระบุการบวกและการคูณเป็นส่วนประกอบ)

วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม

ให้ A เป็นกลุ่ม Abelian (การดำเนินการกลุ่มจะถูกเขียนเพิ่มเติมในส่วนต่อไปนี้) จากนั้นชุดของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มนี้เข้าสู่ตัวมันเอง (นั่นคือเอนโดมอร์ฟิซึม) ก่อตัวเป็นวงแหวนซึ่งแสดงโดย End( ก- ผลรวมของโฮโมมอร์ฟิซึมสองตัวถูกกำหนดเป็นส่วนประกอบ: $(ฉ+ก)(x)=ฉ(x)+ก(x)$และผลิตภัณฑ์ก็เหมือนกับองค์ประกอบของโฮโมมอร์ฟิซึม: $(ฉ)(x)=ฉ(ก(x))$ถ้า A เป็นกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน ดังนั้น $ฉ+ก,$โดยทั่วไปแล้วมันไม่เหมือนกัน $ก+ฉ$ในขณะที่การบวกในวงแหวนจะต้องเป็นการสับเปลี่ยน

สาขาผลหารและวงแหวนของผลหาร

ให้ R เป็นวงแหวนอินทิกรัล จากนั้นโครงสร้างต่อไปนี้ช่วยให้เราสามารถสร้างสนามที่เล็กที่สุดที่บรรจุมันได้ สนามผลหารของวงแหวน R คือเซตของคลาสความเท่าเทียมกันของเศษส่วนทางการ $พี/คิว,\backslash ;\; p,q\backslash ใน\; R$โดยความสัมพันธ์สมมูลดังต่อไปนี้:

$(p\_1\; \backslash เกิน\; q\_1)\backslash sim\; (p\_2\; \backslash เกิน\; q\_2)$แล้วและเมื่อเท่านั้น $(p\_1q\_2)=\; (p\_2q\_1)$

โดยมีการดำเนินงานปกติ: $\backslash scriptstyle(a\; \backslash over\; b)+(c\; \backslash over\; d)=(ad+bc\; \backslash over\; bd),\backslash quad\; (a\; \backslash over\; b)\backslash cdot\; (c\; \backslash over\; d)=(ac\; \backslash over\; bd)$

ไม่ชัดเจนว่าความสัมพันธ์ที่ให้มานั้นเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันจริงๆ เพื่อพิสูจน์ว่าเราต้องใช้ความสมบูรณ์ของวงแหวน มีลักษณะทั่วไปของโครงสร้างนี้กับวงแหวนสับเปลี่ยนตามอำเภอใจ กล่าวคือ ให้ S เป็นระบบปิดแบบคูณในวงแหวนสับเปลี่ยน R (นั่นคือ เซตย่อยที่มีหนึ่งและไม่มีศูนย์ ผลคูณของสององค์ประกอบใดๆ จากเซตย่อยอีกครั้งจะเป็นของมัน) แล้วก็วงแหวนแห่งความฉลาดทาง $ส^(-1)ร$คือเซตของคลาสที่เท่ากันของเศษส่วนทางการ $r/s,\backslash ;\; r\backslash ใน\; R,\; s\backslash ใน\; S$โดยความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน:

$(r\_1\; \backslash over\; s\_1)\backslash sim\; (r\_2\; \backslash over\; s\_2)$ถ้าและถ้ามีอยู่ $s"\backslash ในเอส$, ดังนั้น $ส"(r\_1s\_2-r\_2s\_1)=\; 0.$

การออกแบบนี้เรียกอีกอย่างว่า การแปลแหวน(เนื่องจากในเรขาคณิตพีชคณิตทำให้สามารถศึกษาคุณสมบัติเฉพาะของความหลากหลาย ณ จุดแต่ละจุดได้) ตัวอย่าง: วงแหวนของเศษส่วนทศนิยมคือการแปลวงแหวนของจำนวนเต็มตามระบบคูณ $S=\backslash (10^n|n\backslash geqslant\; 0\backslash )$

มีการทำแผนที่ตามธรรมชาติ $R\; \backslash ถึง\; S^(-1)R,\; \backslash ,\; r\; \backslash mapstor\; /\; 1$แกนกลางประกอบด้วยองค์ประกอบดังต่อไปนี้ รซึ่งมีอยู่ ส ∈ ส, ดังนั้น $อาร์เอส\; =\; 0.$โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ แหวนทั้งหมดการทำแผนที่นี้เป็นแบบฉีด

คำอธิบายหมวดหมู่

วงแหวน ร่วมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน ก่อให้เกิดหมวดหมู่ ซึ่งมักจะแสดงแทน แหวน(บางครั้งนี่คือวิธีการแสดงประเภทของแหวนที่มีหน่วยและประเภทของแหวนธรรมดาจะแสดงแทน รง- ประเภทของแหวนที่มีเอกลักษณ์มีมากมาย คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์: โดยเฉพาะมีความสมบูรณ์และครบถ้วน ซึ่งหมายความว่ามีขีดจำกัดและโคลิมิตเล็กๆ ทั้งหมดอยู่ในนั้น (เช่น ผลิตภัณฑ์ ผลิตภัณฑ์ร่วม เมล็ดพืช และโคเคอร์เนล) ประเภทของวงแหวนที่มีหนึ่งมีวัตถุเริ่มต้น (ring $\backslash mathbb\; Z$) และวัตถุเทอร์มินัล (วงแหวนว่าง)

เราสามารถให้คำนิยามที่เป็นหมวดหมู่ของวงแหวนได้ดังต่อไปนี้: วงแหวนที่เชื่อมโยงซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวคือโมโนอยด์ในหมวดหมู่ของกลุ่มอะบีเลียน (กลุ่มอะบีเลียนสร้างหมวดหมู่แบบโมโนไอด์โดยคำนึงถึงการทำงานของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์) การกระทำของแหวน รบนหมู่อาบีเลียน (วงแหวนที่ถือว่าเป็นโมโนดด์ภายใต้การคูณ) เปลี่ยนหมู่อาบีเลียนให้เป็น ร-โมดูล แนวคิดของโมดูลทำให้แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์เป็นภาพรวม พูดง่ายๆ ก็คือ โมดูลคือ "ปริภูมิเวกเตอร์เหนือวงแหวน"

คลาสพิเศษของแหวน

โครงสร้างเหนือวงแหวน

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "แหวน (คณิตศาสตร์)"

หมายเหตุ

1. , กับ. 17-19.
2. เบลสกี้ เอ., ซาดอฟสกี้ แอล.ควอนตัมหมายเลข 2, 1974
3. อีริช เรค// สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด / Edward N. Zalta - 01-01-2555.
4. , กับ. 9.
5. , กับ. 18-19.
6. , กับ. 273-275.
7. , กับ. 51-53.
8. , กับ. สิบเอ็ด
9. , กับ. 359.
10. , กับ. 407.
11. , กับ. 110-111.
12. , กับ. 21.
13. , กับ. 437.
14. , กับ. 64.
15. , กับ. 153.
16. , กับ. 430-431.
17. , กับ. 406.
18. , กับ. 10.
19. , กับ. 388.
20. , กับ. 107-108.
21. , กับ. 432.
22. , กับ. 387-390.
23. , กับ. 523.
24. , กับ. 152.
25. , กับ. 430.
26. , กับ. 118.
27. .
28. , กับ. 266.
29. , กับ. 28-34.
30. , กับ. 509-512.
31. , กับ. 33.
32. , กับ. 173.
33. , กับ. 450-452.
34. , กับ. 305-311.

วรรณกรรม

• เอ็ม. อติยาห์, ไอ. แมคโดนัลด์.พีชคณิตสับเปลี่ยนเบื้องต้น - อ.: มีร์ 2515 - 160 น.
• เบลสกี้ เอ., ซาดอฟสกี้ แอล.ควอนตัมหมายเลข 2, 1974
• ฟาน เดอร์ แวร์เดน บี.แอล.พีชคณิต. - อ.: มีร์ 2518 - 623 หน้า
• วินเบิร์ก อี.บี.หลักสูตรพีชคณิต - ฉบับใหม่แก้ไขแล้ว และเพิ่มเติม.. - อ.: MTsNMO, 2554. - 592 หน้า
• เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน: เกรด IX-X คู่มือครู-ฉบับปรับปรุงใหม่ และเพิ่มเติม.. - อ.: การศึกษา, 2526. - 351 น.
• Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (เอ็ด)คณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 19 ตรรกะทางคณิตศาสตร์ พีชคณิต. ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีความน่าจะเป็น - อ.: Nauka, 2521. - 255 น.
• คูลิคอฟ แอล. ยา.พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียน. คู่มือสำหรับสถาบันการสอน - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2522 - 559 น.
• คูรอช เอ.จี.หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง.. - อ.: Nauka, 2511. - 431 น.
• ใบหน้าเคพีชคณิต. วงแหวน โมดูล หมวดหมู่.. - M.: Mir, 1977. - T. 1. - 688 p.
• ใบหน้าเคพีชคณิต. วงแหวน โมดูล หมวดหมู่.. - M.: Mir, 1979. - T. 2. - 464 p.
• เฮอร์สไตน์ ไอ.วงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยน - อ.: มีร์ 2515 - 190 น.

ข้อความที่ตัดตอนมาจากลักษณะวงแหวน (คณิตศาสตร์)

เอ็กซ์
หลังจากงานศพของบิดาของเธอ เจ้าหญิงมารียาขังตัวเองอยู่ในห้องของเธอและไม่อนุญาตให้ใครเข้ามา มีหญิงสาวคนหนึ่งมาที่ประตูเพื่อบอกว่าอัลปาติชมาขอคำสั่งให้ออกไป (นี่เป็นก่อนที่ Alpatych จะสนทนากับ Dron ด้วยซ้ำ) เจ้าหญิง Marya ลุกขึ้นจากโซฟาที่เธอนอนอยู่และพูดผ่านประตูที่ปิดอยู่ว่าเธอจะไม่ไปไหนเลยและขอให้ถูกทิ้งให้อยู่ตามลำพัง
หน้าต่างห้องที่เจ้าหญิงมารียานอนหันหน้าไปทางทิศตะวันตก เธอนอนบนโซฟาหันหน้าไปทางผนังแล้วใช้นิ้วกดปุ่มบนหมอนหนังเห็นเพียงหมอนใบนี้และความคิดที่คลุมเครือของเธอก็จดจ่ออยู่กับสิ่งหนึ่ง: เธอกำลังคิดถึงความตายที่ไม่อาจย้อนกลับได้และความน่าสะอิดสะเอียนทางจิตวิญญาณของเธอซึ่ง เธอไม่รู้มาก่อนจนกระทั่งบัดนี้และได้ปรากฏตัวขึ้นระหว่างที่พ่อเธอป่วย เธอต้องการแต่ไม่กล้าสวดภาวนา ไม่กล้าหันไปหาพระเจ้าในสภาพจิตใจที่เธอเป็นอยู่ เธอนอนอยู่ในตำแหน่งนี้เป็นเวลานาน
พระอาทิตย์ตกที่อีกฟากหนึ่งของบ้านและแสงยามเย็นที่ส่องผ่านหน้าต่างที่เปิดอยู่ทำให้ห้องและหมอนโมร็อกโกส่วนหนึ่งที่เจ้าหญิงมารียาจ้องมองอยู่ ความคิดของเธอหยุดกะทันหัน เธอลุกขึ้นยืนโดยไม่รู้ตัว ยืดผม ยืนขึ้นแล้วเดินไปที่หน้าต่าง สูดความเย็นของยามเย็นที่แจ่มใสแต่มีลมแรงโดยไม่ตั้งใจ
“ใช่แล้ว ตอนนี้มันสะดวกสำหรับคุณที่จะชื่นชมในตอนเย็น! เขาไปแล้ว และจะไม่มีใครมารบกวนคุณ” เธอพูดกับตัวเอง แล้วทรุดตัวลงนั่งบนเก้าอี้ เธอก็ล้มศีรษะลงบนขอบหน้าต่างก่อน
มีคนเรียกเธอด้วยเสียงอ่อนโยนและเงียบสงบจากด้านข้างของสวนแล้วจูบเธอที่หัว เธอมองย้อนกลับไป นั่นคือ Mlle Bourienne ในชุดเดรสสีดำและกระโปรงยาว เธอเข้าหาเจ้าหญิงมารีอาอย่างเงียบ ๆ จูบเธอด้วยการถอนหายใจและเริ่มร้องไห้ทันที เจ้าหญิงมารีอามองย้อนกลับไปที่เธอ การปะทะกันครั้งก่อน ๆ กับเธอ ความอิจฉาริษยาต่อเธอ เป็นที่จดจำของเจ้าหญิงมารีอา ฉันยังจำได้ว่าเขาเปลี่ยนมาเป็น Bourienne เมื่อเร็ว ๆ นี้มองไม่เห็นเธอได้อย่างไรดังนั้นการตำหนิที่เจ้าหญิง Marya ทำกับเธอในจิตวิญญาณของเธอจึงไม่ยุติธรรมเลย “และฉันที่อยากให้เขาตายควรประณามใครไหม? - เธอคิดว่า.
เจ้าหญิงแมรียาจินตนาการถึงตำแหน่งของแม่บูเรียนซึ่งเพิ่งอยู่ห่างจากสังคมของเธอเมื่อไม่นานมานี้ แต่ในขณะเดียวกันก็ขึ้นอยู่กับเธอและอาศัยอยู่ในบ้านของคนอื่น และเธอก็รู้สึกเสียใจแทนเธอ เธอมองเธออย่างถ่อมตัวอย่างสงสัยและยื่นมือออกไป Mlle Bourienne เริ่มร้องไห้ทันที เริ่มจูบมือของเธอและพูดคุยเกี่ยวกับความเศร้าโศกที่เกิดขึ้นกับเจ้าหญิง ทำให้ตัวเองมีส่วนร่วมในความเศร้าโศกนี้ เธอบอกว่าสิ่งเดียวที่ปลอบใจในความโศกเศร้าของเธอคือการที่เจ้าหญิงอนุญาตให้เธอแบ่งปันเรื่องนี้กับเธอ เธอกล่าวว่าความเข้าใจผิดในอดีตทั้งหมดควรถูกทำลายก่อนจะโศกเศร้าครั้งใหญ่ ว่าเธอรู้สึกบริสุทธิ์ต่อหน้าทุกคน และจากที่นั่นเขาจะได้เห็นความรักและความกตัญญูของเธอ เจ้าหญิงฟังเธอไม่เข้าใจคำพูดของเธอ แต่บางครั้งก็มองดูเธอและฟังเสียงของเธอ
“สถานการณ์ของคุณเลวร้ายเป็นสองเท่า เจ้าหญิงที่รัก” Mlle Bourienne กล่าวหลังจากหยุดไปครู่หนึ่ง – ฉันเข้าใจว่าคุณไม่สามารถและไม่สามารถคิดถึงตัวเองได้ แต่ฉันจำเป็นต้องทำเช่นนี้ด้วยความรักที่ฉันมีต่อคุณ... Alpatych อยู่กับคุณไหม? เขาคุยกับคุณเรื่องการจากไปหรือเปล่า? - เธอถาม.
เจ้าหญิงมารีอาไม่ตอบ เธอไม่เข้าใจว่าควรจะไปที่ไหนและใคร “ ตอนนี้เป็นไปได้ไหมที่จะทำอะไรเพื่อคิดอะไร? มันไม่สำคัญเหรอ? เธอไม่ตอบ
“คุณรู้ไหม เชียร์มารี” บูเรียนกล่าว “คุณรู้ไหมว่าเรากำลังตกอยู่ในอันตราย ว่าเราถูกฝรั่งเศสล้อมรอบ การเดินทางตอนนี้มันอันตราย หากเราไป เราจะถูกจับกุมอย่างแน่นอน และพระเจ้าก็รู้...
เจ้าหญิงมารีอามองดูเพื่อนของเธอโดยไม่เข้าใจว่าเธอพูดอะไร
“โอ้ ถ้ามีคนรู้ว่าตอนนี้ฉันไม่สนใจมากแค่ไหน” เธอกล่าว - แน่นอน ฉันไม่อยากทิ้งเขาไป... อัลปาติชบอกฉันบางอย่างเกี่ยวกับการจากไป... คุยกับเขาสิ ฉันทำอะไรไม่ได้ ฉันไม่ต้องการอะไรเลย...
– ฉันคุยกับเขา. เขาหวังว่าเราจะมีเวลาออกเดินทางพรุ่งนี้ แต่ฉันคิดว่าตอนนี้มันคงจะดีกว่าถ้าอยู่ที่นี่” บูเรียนกล่าว - เพราะคุณเห็นไหมว่าเชียร์มารีการตกอยู่ในมือของทหารหรือคนก่อการจลาจลบนท้องถนนคงจะแย่มาก - Mlle Bourienne หยิบเอาการประกาศในเอกสารพิเศษที่ไม่ใช่ของรัสเซียจากนายพล Rameau ชาวฝรั่งเศสว่าผู้อยู่อาศัยไม่ควรออกจากบ้าน โดยบอกว่าพวกเขาจะได้รับการคุ้มครองตามสมควรจากทางการฝรั่งเศส และส่งมอบให้กับเจ้าหญิง
“ฉันคิดว่าเป็นการดีกว่าที่จะติดต่อกับนายพลคนนี้” Mlle Bourienne กล่าว “และฉันแน่ใจว่าคุณจะได้รับความเคารพ”
เจ้าหญิงแมรียาอ่านหนังสือพิมพ์ และร้องไห้สะอื้นจนส่ายหน้า
- คุณผ่านเรื่องนี้มาจากใคร? - เธอพูด.
“พวกเขาคงพบว่าฉันเป็นคนฝรั่งเศสในชื่อ” บูเรียนกล่าวพร้อมหน้าแดง
เจ้าหญิงแมรียาถือกระดาษอยู่ในมือ ทรงลุกขึ้นจากหน้าต่างและ ใบหน้าซีดเธอออกจากห้องและไปที่ห้องทำงานเดิมของเจ้าชายอังเดร
“ Dunyasha โทรหา Alpatych, Dronushka ใครสักคนให้ฉัน” เจ้าหญิง Marya กล่าว“ และบอก Amalya Karlovna ว่าอย่ามาหาฉัน” เธอกล่าวเสริมเมื่อได้ยินเสียงของ M lle Bourienne - รีบไปซะ! ไปเร็ว ๆ! - เจ้าหญิงแมรียากล่าวด้วยความตกใจกับความคิดที่ว่าเธอจะยังคงอยู่ในอำนาจของฝรั่งเศสได้
“ เพื่อให้เจ้าชายอังเดรรู้ว่าเธออยู่ในอำนาจของฝรั่งเศส! ดังนั้นเธอซึ่งเป็นลูกสาวของเจ้าชาย Nikolai Andreich Bolkonsky จึงขอให้นายพล Rameau มอบความคุ้มครองให้เธอและรับผลประโยชน์ของเขา! “ความคิดนี้ทำให้เธอหวาดกลัว ทำให้เธอตัวสั่น หน้าแดง และรู้สึกถึงความโกรธและความภาคภูมิใจที่เธอยังไม่เคยสัมผัสมาก่อน ทุกสิ่งที่ยากและที่สำคัญที่สุดคือน่ารังเกียจในตำแหน่งของเธอถูกจินตนาการไว้อย่างชัดเจนสำหรับเธอ “พวกเขาซึ่งเป็นชาวฝรั่งเศสจะตั้งถิ่นฐานอยู่ในบ้านหลังนี้ นายพล Rameau จะเข้ารับตำแหน่งเจ้าชาย Andrei; การจัดเรียงและอ่านจดหมายและเอกสารของเขาคงจะสนุกดี M lle Bourienne lui fera les honneurs de Bogucharovo. [Mademoiselle Bourien จะต้อนรับเขาด้วยเกียรติใน Bogucharovo] พวกเขาจะมอบห้องแห่งความเมตตาแก่ฉัน ทหารจะทำลายหลุมศพใหม่ของพ่อเพื่อเอาไม้กางเขนและดวงดาวออกไปจากเขา พวกเขาจะบอกฉันเกี่ยวกับชัยชนะเหนือรัสเซีย พวกเขาจะแสร้งทำเป็นเห็นอกเห็นใจต่อความเศร้าโศกของฉัน... - เจ้าหญิงแมรียาไม่ได้คิดด้วยความคิดของเธอเอง แต่รู้สึกผูกพันที่จะต้องคิดเองตามความคิดของพ่อและพี่ชายของเธอ สำหรับเธอเป็นการส่วนตัว มันไม่สำคัญว่าเธอจะอยู่ที่ไหนและไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับเธอ แต่ในขณะเดียวกันเธอก็รู้สึกเหมือนเป็นตัวแทนของพ่อผู้ล่วงลับและเจ้าชายอังเดร เธอคิดโดยไม่สมัครใจกับความคิดของพวกเขาและรู้สึกถึงพวกเขาด้วยความรู้สึกของพวกเขา ไม่ว่าพวกเขาจะพูดอะไร ไม่ว่าพวกเขาจะทำตอนนี้ นั่นคือสิ่งที่เธอรู้สึกว่าจำเป็นต้องทำ เธอไปที่ห้องทำงานของเจ้าชายอังเดรและพยายามเจาะลึกความคิดของเขาและไตร่ตรองสถานการณ์ของเธอ
ความต้องการแห่งชีวิตซึ่งเธอคิดว่าถูกทำลายพร้อมกับการตายของพ่อของเธอ จู่ๆ ก็เกิดขึ้นพร้อมกับพลังใหม่ที่ยังไม่เป็นที่รู้จักต่อหน้าเจ้าหญิงมารียาและครอบงำเธอ เธอเดินไปรอบ ๆ ห้องด้วยความตื่นเต้นและหน้าแดงโดยเรียกร้อง Alpatych ก่อนจากนั้นก็ Mikhail Ivanovich จากนั้น Tikhon จากนั้น Dron Dunyasha พี่เลี้ยงเด็กและเด็กผู้หญิงทุกคนไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับขอบเขตที่สิ่งที่ Mlle Bourienne ประกาศนั้นยุติธรรม อัลปาติชไม่อยู่บ้าน เขาไปพบผู้บังคับบัญชาแล้ว มิคาอิลอิวาโนวิชสถาปนิกผู้ถูกเรียกตัวซึ่งมาหาเจ้าหญิงมารีอาด้วยสายตาง่วงนอนไม่สามารถพูดอะไรกับเธอได้ ด้วยรอยยิ้มแบบเดียวกับที่เขาคุ้นเคยมาเป็นเวลาสิบห้าปีในการตอบสนองต่อคำอุทธรณ์ของเจ้าชายชราโดยไม่แสดงความคิดเห็น เขาได้ตอบคำถามของเจ้าหญิงมารียา เพื่อที่จะไม่สามารถสรุปคำตอบที่แน่นอนจากคำตอบของเขาได้ คนรับใช้เก่า Tikhon ที่ถูกอัญเชิญมาซึ่งมีใบหน้าทรุดโทรมและซีดเซียวมีรอยแห่งความเศร้าโศกที่รักษาไม่หายตอบว่า "ฉันรับฟัง" สำหรับคำถามทั้งหมดของเจ้าหญิงแมรียาและแทบจะไม่สามารถยับยั้งตัวเองจากการสะอื้นเมื่อมองดูเธอ
ในที่สุดผู้เฒ่าดรอนก็เข้ามาในห้องและโค้งคำนับเจ้าหญิงแล้วมาหยุดที่ทับหลัง
เจ้าหญิงมารีอาเดินไปรอบๆ ห้องและหยุดตรงข้ามเขา
“ Dronushka” เจ้าหญิง Marya ผู้เห็นเพื่อนที่ไม่ต้องสงสัยในตัวเขากล่าว Dronushka คนเดียวกับที่จากการเดินทางไปงานประจำปีใน Vyazma ทุกปีได้นำขนมปังขิงพิเศษของเขามาให้เธอทุกครั้งและเสิร์ฟเธอด้วยรอยยิ้ม “ Dronushka หลังจากโชคร้ายของเรา” เธอเริ่มและเงียบลงไม่สามารถพูดต่อไปได้
“เราทุกคนเดินอยู่ใต้พระเจ้า” เขากล่าวพร้อมกับถอนหายใจ พวกเขาเงียบ
- Dronushka, Alpatych ไปที่ไหนสักแห่งฉันไม่มีใครให้หันไปหา จริงหรือที่พวกเขาบอกฉันว่าฉันไปไม่ได้?
“เหตุใดท่านไม่ไป ฯพณฯ ท่านไปได้แล้ว” ดรอนกล่าว
“พวกเขาบอกฉันว่ามันอันตรายจากศัตรู” ที่รัก ฉันทำอะไรไม่ได้เลย ฉันไม่เข้าใจอะไรเลย ไม่มีใครอยู่กับฉันเลย ฉันอยากไปตอนกลางคืนหรือเช้าตรู่พรุ่งนี้อย่างแน่นอน – เสียงพึมพำเงียบ เขาเหลือบมองเจ้าหญิงมารีอาจากใต้คิ้วของเขา
“ ไม่มีม้า” เขากล่าว“ ฉันก็บอก Yakov Alpatych ด้วย”
- ทำไมจะไม่ล่ะ? - เจ้าหญิงกล่าว
“ทั้งหมดนี้มาจากการลงโทษของพระเจ้า” Dron กล่าว “ม้าตัวไหนที่ถูกรื้อถอนเพื่อใช้ในกองทหาร ตัวไหนตาย วันนี้ปีอะไร” มันไม่เหมือนกับการให้อาหารม้า แต่ต้องแน่ใจว่าเราจะไม่ตายด้วยความหิวโหย! และพวกเขาก็นั่งอย่างนั้นเป็นเวลาสามวันโดยไม่รับประทานอาหาร ไม่มีอะไรเลย พวกมันเสียหายไปหมดแล้ว
เจ้าหญิงมารีอาตั้งใจฟังสิ่งที่เขาบอกเธออย่างตั้งใจ
- ผู้ชายถูกทำลายหรือเปล่า? พวกเขาไม่มีขนมปังเหรอ? - เธอถาม.
“พวกมันกำลังจะตายด้วยความอดอยาก” ดรอนพูด “ไม่เหมือนเกวียน…”
- ทำไมคุณไม่บอกฉัน Dronushka? ช่วยไม่ได้เหรอ? ฉันจะทำทุกอย่างที่ทำได้... - เป็นเรื่องแปลกที่เจ้าหญิงแมรียาคิดว่าในเวลานี้ เมื่อความเศร้าโศกท่วมท้นในจิตวิญญาณของเธอ อาจมีทั้งคนรวยและคนจน และคนรวยไม่สามารถช่วยเหลือคนจนได้ เธอรู้และได้ยินมาอย่างคลุมเครือว่ามีขนมปังของนายและถูกแจกให้กับชาวนา เธอรู้ด้วยว่าทั้งพี่ชายและพ่อของเธอจะไม่ปฏิเสธความต้องการของชาวนา เธอเพียงกลัวว่าจะทำผิดในคำพูดของเธอเกี่ยวกับการแจกขนมปังให้กับชาวนาซึ่งเธอต้องการจะกำจัดทิ้ง เธอดีใจที่ได้รับข้อแก้ตัวสำหรับความกังวล ซึ่งเธอไม่ละอายใจที่จะลืมความโศกเศร้าของเธอ เธอเริ่มขอรายละเอียดเกี่ยวกับความต้องการของผู้ชาย Dronushka และสิ่งที่สูงส่งใน Bogucharovo
– ในที่สุดเราก็มีขนมปังของอาจารย์แล้วน้องชาย? - เธอถาม.
“ขนมปังของนายไม่เสียหายเลย” ดรอนพูดอย่างภาคภูมิใจ “เจ้าชายของเราไม่ได้สั่งให้ขาย”
“ มอบเขาให้กับชาวนามอบทุกสิ่งที่พวกเขาต้องการ: ฉันอนุญาตคุณในนามของพี่ชายของฉัน” เจ้าหญิงมารีอากล่าว
โดรนไม่ได้พูดอะไรและหายใจเข้าลึกๆ
“คุณให้ขนมปังนี้แก่พวกเขาถ้ามันเพียงพอสำหรับพวกเขา” ทิ้งทุกสิ่งทุกอย่างไป ฉันสั่งคุณในนามของพี่ชายของฉันและบอกพวกเขาว่าของเราอะไรก็เป็นของพวกเขาเช่นกัน เราจะไม่เหลืออะไรให้พวกเขา ดังนั้นบอกฉัน.
เสียงพึมพำมองดูเจ้าหญิงอย่างตั้งใจขณะที่เธอพูด
“ปล่อยฉันเถอะแม่ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า บอกให้ฉันรับกุญแจด้วย” เขากล่าว “ฉันรับใช้มายี่สิบสามปี ฉันไม่ได้ทำอะไรไม่ดี ปล่อยฉันไว้คนเดียวเพื่อเห็นแก่พระเจ้า
เจ้าหญิงแมรียาไม่เข้าใจว่าเขาต้องการอะไรจากเธอ และทำไมเขาถึงขอไล่ตัวเองออก เธอตอบเขาว่าเธอไม่เคยสงสัยในความทุ่มเทของเขาและเธอพร้อมที่จะทำทุกอย่างเพื่อเขาและเพื่อผู้ชาย

หนึ่งชั่วโมงหลังจากนั้น Dunyasha มาหาเจ้าหญิงพร้อมกับข่าวว่า Dron มาถึงแล้วและผู้ชายทุกคนตามคำสั่งของเจ้าหญิงก็มารวมตัวกันที่โรงนาเพื่อต้องการคุยกับนายหญิง
“ ใช่ ฉันไม่เคยโทรหาพวกเขาเลย” เจ้าหญิงมารีอากล่าว“ ฉันแค่บอก Dronushka ให้มอบขนมปังให้พวกเขาเท่านั้น”
“เพื่อเห็นแก่พระเจ้าเท่านั้น องค์หญิงแม่ โปรดสั่งพวกเขาออกไปและอย่าไปหาพวกเขา” ทั้งหมดมันเป็นเรื่องโกหก” Dunyasha กล่าว “แล้ว Yakov Alpatych จะมาและเราจะไป... และถ้าคุณกรุณา...
- การหลอกลวงแบบไหน? - เจ้าหญิงถามด้วยความประหลาดใจ
- ใช่ ฉันรู้ แค่ฟังฉันเพื่อเห็นแก่พระเจ้า ลองถามพี่เลี้ยงดูสิ พวกเขาบอกว่าพวกเขาไม่ตกลงที่จะออกคำสั่งของคุณ
- คุณกำลังพูดอะไรผิดไป ใช่ ฉันไม่เคยสั่งให้ออกไป... - เจ้าหญิงมารีอากล่าว - โทรหา Dronushka
Dron ที่มาถึงยืนยันคำพูดของ Dunyasha: คนเหล่านี้มาตามคำสั่งของเจ้าหญิง
“ใช่ ฉันไม่เคยโทรหาพวกเขาเลย” เจ้าหญิงกล่าว “คุณคงไม่ถ่ายทอดให้พวกเขาฟังอย่างถูกต้อง” ฉันแค่บอกให้คุณเอาขนมปังให้พวกเขา
โดรนถอนหายใจโดยไม่ตอบ
“ถ้าคุณสั่ง พวกเขาจะออกไป” เขากล่าว
“ไม่ ไม่ ฉันจะไปหาพวกเขา” เจ้าหญิงมารีอากล่าว
แม้จะห้าม Dunyasha และพี่เลี้ยงเด็ก แต่เจ้าหญิง Marya ก็ออกไปที่ระเบียง Dron, Dunyasha, พี่เลี้ยงเด็กและ Mikhail Ivanovich ติดตามเธอ “ พวกเขาอาจคิดว่าฉันกำลังเสนอขนมปังให้พวกเขาเพื่อที่พวกเขาจะได้อยู่ในที่ของพวกเขาและฉันจะจากไปโดยละทิ้งพวกเขาให้อยู่ในความเมตตาของชาวฝรั่งเศส” เจ้าหญิงมารียาคิด - ฉันจะสัญญากับพวกเขาหนึ่งเดือนในอพาร์ตเมนต์ใกล้มอสโกว ฉันแน่ใจว่าอังเดรคงจะทำแทนฉันมากกว่านี้” เธอคิดขณะเดินเข้าไปหาฝูงชนที่ยืนอยู่ในทุ่งหญ้าใกล้โรงนาในเวลาพลบค่ำ
ฝูงชนที่หนาแน่นเริ่มปั่นป่วนและหมวกของพวกเขาก็หลุดออกมาอย่างรวดเร็ว เจ้าหญิงแมรียามีดวงตาตกต่ำและเท้าพันกันในชุดของเธอ เข้ามาใกล้พวกเขา ดวงตาที่แตกต่างกันมากมายทั้งเด็กและผู้ใหญ่จับจ้องไปที่เธอและมีมากมาย บุคคลที่แตกต่างกันเจ้าหญิงมารีอาไม่เคยเห็นหน้าเลยและรู้สึกว่าจำเป็นต้องพูดคุยกับทุกคนอย่างกะทันหันจึงไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร แต่การตระหนักรู้อีกครั้งว่าเธอเป็นตัวแทนของพ่อและพี่ชายของเธอทำให้เธอเข้มแข็งขึ้นและเธอก็เริ่มพูดอย่างกล้าหาญ
“ ฉันดีใจมากที่คุณมา” เจ้าหญิงแมรียาเริ่มโดยไม่ละสายตาและรู้สึกว่าหัวใจของเธอเต้นเร็วและแรงแค่ไหน “ Dronushka บอกฉันว่าคุณถูกทำลายโดยสงคราม” นี่เป็นความโศกเศร้าร่วมกันของเรา และฉันจะไม่ละเว้นสิ่งใดที่จะช่วยคุณ ฉันจะไปเองเพราะมันอันตรายที่นี่แล้วและศัตรูก็ใกล้เข้ามาแล้ว ... เพราะ... ฉันให้ทุกอย่างแก่คุณเพื่อน ๆ และฉันขอให้คุณเอาทุกอย่างขนมปังของเราทั้งหมดเพื่อที่คุณจะได้ไม่มี ความต้องการใด ๆ และถ้าพวกเขาบอกคุณว่าฉันจะให้ขนมปังแก่คุณเพื่อที่คุณจะได้อยู่ที่นี่ ก็ไม่เป็นความจริง ในทางตรงกันข้าม ฉันขอให้คุณทิ้งทรัพย์สินทั้งหมดของคุณไปยังภูมิภาคมอสโกของเรา และที่นั่น ฉันก็รับไว้เองและสัญญากับคุณว่าคุณจะไม่ขัดสน พวกเขาจะมอบบ้านและขนมปังแก่คุณ - เจ้าหญิงหยุด ได้ยินเพียงเสียงถอนหายใจในฝูงชน
“ฉันไม่ได้ทำสิ่งนี้ด้วยตัวเอง” เจ้าหญิงกล่าวต่อ “ฉันกำลังทำสิ่งนี้ในนามของพ่อผู้ล่วงลับของฉัน ซึ่งเป็นเจ้านายที่ดีสำหรับคุณ และเพื่อน้องชายของฉันและลูกชายของเขา”
เธอหยุดอีกครั้ง ไม่มีใครขัดขวางความเงียบของเธอ
- ความโศกเศร้าของเราเป็นเรื่องปกติ และเราจะแบ่งทุกอย่างออกเป็นสองส่วน “ทุกสิ่งที่เป็นของฉันเป็นของคุณ” เธอพูดโดยมองไปรอบ ๆ ใบหน้าที่ยืนอยู่ตรงหน้าเธอ
ทุกสายตามองเธอด้วยสีหน้าเดียวกัน ความหมายที่เธอไม่เข้าใจ ไม่ว่าจะเป็นความอยากรู้อยากเห็น การอุทิศตน ความกตัญญู หรือความกลัวและไม่ไว้วางใจ การแสดงออกบนใบหน้าของทุกคนก็เหมือนกัน
“หลายคนพอใจกับความเมตตาของคุณ แต่เราไม่จำเป็นต้องรับขนมปังของนาย” เสียงหนึ่งดังมาจากด้านหลัง
- ทำไมจะไม่ล่ะ? - เจ้าหญิงกล่าว
ไม่มีใครตอบ และเจ้าหญิงแมรียาเมื่อมองไปรอบๆ ฝูงชนก็สังเกตเห็นว่าตอนนี้ดวงตาทั้งหมดที่เธอพบก็ลดลงทันที
- ทำไมคุณไม่ต้องการ? เธอถามอีกครั้ง
ไม่มีใครตอบ
เจ้าหญิงมารีอารู้สึกหนักใจจากความเงียบนี้ เธอพยายามสบตาใครบางคน
- ทำไมคุณไม่พูด? - เจ้าหญิงหันไปหาชายชราที่ยืนพิงไม้อยู่ตรงหน้าเธอ - บอกฉันหากคุณคิดว่าจำเป็นต้องมีสิ่งอื่นอีก “ฉันจะทำทุกอย่าง” เธอพูดพร้อมกับจ้องมองเขา แต่ราวกับโกรธเขาก็ก้มหัวลงจนสุดแล้วพูดว่า:
- ตกลงทำไมเราไม่ต้องการขนมปัง
- เราควรยอมแพ้ทั้งหมดไหม? ไม่เห็นด้วย. เราไม่เห็นด้วย... เราไม่เห็นด้วย เรารู้สึกเสียใจสำหรับคุณ แต่เราไม่เห็นด้วย ไปคนเดียวคนเดียว...” ก็ได้ยินเสียงฝูงชนด้วย ด้านที่แตกต่างกัน- และอีกครั้งที่การแสดงออกแบบเดียวกันนี้ปรากฏบนใบหน้าของฝูงชนเหล่านี้ และตอนนี้มันอาจไม่ใช่การแสดงออกถึงความอยากรู้อยากเห็นและความกตัญญูอีกต่อไป แต่เป็นการแสดงออกถึงความมุ่งมั่นอันขมขื่น
“คุณไม่เข้าใจใช่ไหม” เจ้าหญิงมารีอากล่าวด้วยรอยยิ้มเศร้าๆ - ทำไมคุณถึงไม่อยากไป? ฉันสัญญาว่าจะเลี้ยงคุณและเลี้ยงอาหารคุณ และที่นี่ศัตรูจะทำลายคุณ...
แต่เสียงของเธอกลับถูกกลบด้วยเสียงของฝูงชน
“เราไม่ได้รับความยินยอม ปล่อยให้เขาทำลายมัน!” เราไม่รับขนมปังของคุณ เราไม่ได้รับความยินยอมจากเรา!
เจ้าหญิงแมรียาพยายามจับตาดูใครบางคนจากฝูงชนอีกครั้ง แต่ไม่มีการมองมาที่เธอเลยแม้แต่ครั้งเดียว ดวงตาเห็นได้ชัดว่าหลีกเลี่ยงเธอ เธอรู้สึกแปลกและเคอะเขิน
- ดูสิเธอสอนฉันอย่างชาญฉลาด ตามเธอไปที่ป้อมปราการ! ทำลายบ้านของคุณและเข้าสู่ความเป็นทาสแล้วไป ทำไม! ฉันจะให้ขนมปังแก่คุณพวกเขาพูด! – ได้ยินเสียงในฝูงชน
เจ้าหญิงมารีอาก้มศีรษะลงแล้วออกจากวงกลมแล้วเข้าไปในบ้าน หลังจากสั่งโดรนนาซ้ำว่าพรุ่งนี้ควรมีม้าออกเดินทาง เธอจึงไปที่ห้องของเธอและทิ้งความคิดไว้ตามลำพัง

คืนนั้นเจ้าหญิงมารียานั่งเป็นเวลานาน เปิดหน้าต่างในห้องของเธอฟังเสียงผู้ชายคุยกันมาจากหมู่บ้าน แต่เธอก็ไม่ได้คิดถึงพวกเขา เธอรู้สึกว่าไม่ว่าเธอคิดถึงพวกเขามากแค่ไหนเธอก็ไม่สามารถเข้าใจพวกเขาได้ เธอเอาแต่คิดถึงสิ่งหนึ่ง - เกี่ยวกับความเศร้าโศกของเธอ ซึ่งตอนนี้หลังจากหยุดพักเนื่องจากความกังวลเกี่ยวกับปัจจุบัน ก็กลายเป็นอดีตสำหรับเธอแล้ว ตอนนี้เธอจำได้แล้ว เธอร้องไห้ได้ และเธออธิษฐานได้ เมื่อพระอาทิตย์ตกดิน ลมก็สงบลง ค่ำคืนนั้นเงียบสงบและสดชื่น เมื่อเวลาสิบสองนาฬิกาเสียงเริ่มจางลง ไก่ก็ขัน พระจันทร์เต็มดวงเริ่มโผล่ออกมาจากด้านหลังต้นลินเด็น หมอกน้ำค้างสีขาวสดชื่นปรากฏขึ้น และความเงียบก็ปกคลุมไปทั่วหมู่บ้านและบ้าน
ภาพอดีตอันใกล้ปรากฏแก่เธอทีละภาพ - ความเจ็บป่วยและนาทีสุดท้ายของพ่อของเธอ และด้วยความยินดีอันน่าเศร้า ตอนนี้เธอหมกมุ่นอยู่กับภาพเหล่านี้ และขับรถออกไปจากตัวเธอเองด้วยความสยดสยองเพียงภาพสุดท้ายของการตายของเขา ซึ่งเธอรู้สึกได้ เธอไม่สามารถไตร่ตรองได้แม้แต่ในจินตนาการของเธอในช่วงเวลาอันเงียบสงบและลึกลับของค่ำคืนนี้ และภาพเหล่านี้ปรากฏแก่เธอด้วยความชัดเจนและมีรายละเอียดมากจนดูเหมือนกับความเป็นจริง ตอนนี้เป็นอดีต และอนาคต
จากนั้นเธอก็จินตนาการได้อย่างแจ่มชัดถึงช่วงเวลาที่เขาเป็นโรคหลอดเลือดสมองและถูกลากออกจากสวนในเทือกเขาหัวโล้นด้วยแขน และเขาก็พึมพำอะไรบางอย่างด้วยลิ้นไร้สมรรถภาพ ขมวดคิ้วสีเทาแล้วมองดูเธออย่างกระสับกระส่ายและขี้อาย
“ถึงกระนั้นเขาก็อยากจะบอกฉันในสิ่งที่เขาบอกฉันในวันที่เขาเสียชีวิต” เธอคิด “เขาหมายถึงสิ่งที่เขาบอกฉันเสมอ” ดังนั้นเธอจึงจำรายละเอียดทั้งหมดได้ในคืนนั้นในเทือกเขาหัวโล้นก่อนเกิดเหตุการณ์ระเบิดที่เกิดขึ้นกับเขาเมื่อเจ้าหญิงมารีอารู้สึกถึงปัญหาและยังคงอยู่กับเขาโดยขัดกับความประสงค์ของเขา เธอนอนไม่หลับ และในตอนกลางคืนเธอก็ย่อตัวลงมาชั้นล่าง และขึ้นไปที่ประตูร้านดอกไม้ที่พ่อของเธอพักค้างคืนนั้นเพื่อฟังเสียงของเขา เขาพูดอะไรบางอย่างกับ Tikhon ด้วยน้ำเสียงเหนื่อยล้าและเหนื่อยล้า เห็นได้ชัดว่าเขาต้องการพูดคุย “แล้วทำไมเขาไม่โทรหาฉันล่ะ? ทำไมเขาถึงไม่อนุญาตให้ฉันอยู่ที่นี่แทน Tikhon? - เจ้าหญิงมารีอาคิดแล้วและตอนนี้ “เขาจะไม่มีวันบอกทุกสิ่งที่อยู่ในจิตวิญญาณของเขาให้ใครฟัง” ช่วงเวลานี้จะไม่มีวันกลับมาหาเขาและสำหรับฉันอีก เมื่อเขาจะพูดทุกสิ่งที่เขาต้องการจะพูด และฉันจะฟังและเข้าใจเขา ไม่ใช่ Tikhon ทำไมฉันถึงไม่เข้าห้องล่ะ? - เธอคิดว่า. “บางทีเขาอาจจะบอกฉันแล้วถึงสิ่งที่เขาพูดในวันที่เขาเสียชีวิต” ถึงอย่างนั้นในการสนทนากับ Tikhon เขาก็ถามเกี่ยวกับฉันสองครั้ง เขาต้องการพบฉัน แต่ฉันยืนอยู่ที่นี่นอกประตู เขาเศร้ายากที่จะคุยกับ Tikhon ที่ไม่เข้าใจเขา ฉันจำได้ว่าเขาพูดกับเขาเกี่ยวกับลิซ่าราวกับว่าเธอยังมีชีวิตอยู่ - เขาลืมไปว่าเธอเสียชีวิตและ Tikhon ก็เตือนเขาว่าเธอไม่อยู่ที่นั่นอีกต่อไปแล้วเขาก็ตะโกนว่า: "คนโง่" มันยากสำหรับเขา ฉันได้ยินจากด้านหลังประตูว่าเขานอนบนเตียงคร่ำครวญและตะโกนเสียงดัง:“ พระเจ้า! ทำไมฉันถึงไม่ลุกขึ้น?” เขาจะทำอะไรกับฉัน? ฉันจะต้องสูญเสียอะไร? และบางทีตอนนั้นเขาคงจะสบายใจแล้ว เขาคงจะพูดคำนี้กับฉัน” และเจ้าหญิงมารีอาก็พูดออกมาดัง ๆ หวานเป็นลมซึ่งเขาบอกเธอในวันที่เขาเสียชีวิต "ที่รัก! – เจ้าหญิงมารีอาพูดซ้ำคำนี้และเริ่มสะอื้นด้วยน้ำตาที่ปลอบประโลมจิตใจ ตอนนี้เธอเห็นใบหน้าของเขาต่อหน้าเธอ ไม่ใช่ใบหน้าที่เธอรู้จักตั้งแต่จำความได้และที่เธอเคยเห็นมาแต่ไกล และใบหน้านั้นก็ขี้อายและอ่อนแอซึ่งในวันสุดท้ายก้มลงไปที่ปากของเขาเพื่อฟังสิ่งที่เขาพูดเธอตรวจดูอย่างใกล้ชิดเป็นครั้งแรกด้วยรอยย่นและรายละเอียดทั้งหมด
“ที่รัก” เธอพูดซ้ำ
“เขาคิดอะไรอยู่ตอนที่พูดคำนั้น? ตอนนี้เขากำลังคิดอะไรอยู่? - ทันใดนั้นมีคำถามเกิดขึ้นกับเธอ และเพื่อตอบคำถามนี้ เธอเห็นเขาอยู่ตรงหน้าเธอด้วยสีหน้าของเขาแบบเดียวกับที่เขาอยู่ในโลงศพ บนใบหน้าของเขาผูกด้วยผ้าพันคอสีขาว และความสยดสยองที่เกาะกุมเธอเมื่อเธอสัมผัสเขาและมั่นใจว่าไม่ใช่เพียงเขาเท่านั้น แต่ยังมีบางสิ่งลึกลับและน่ารังเกียจที่เกาะกุมเธออยู่ตอนนี้ เธออยากคิดเรื่องอื่น อยากสวดมนต์ แต่ก็ทำอะไรไม่ได้ เธอใหญ่ ด้วยดวงตาที่เปิดกว้างมองแสงจันทร์และเงารอคอยทุกวินาทีที่จะพบเขา ใบหน้าที่ตายแล้วและรู้สึกว่าความเงียบที่ปกคลุมบ้านและในบ้านกำลังพันธนาการเธออยู่
- ดุนยาชา! – เธอกระซิบ - ดุนยาชา! - เธอกรีดร้องด้วยเสียงดุร้าย และออกจากความเงียบ แล้ววิ่งไปที่ห้องเด็กผู้หญิง ไปหาพี่เลี้ยงเด็ก และเด็กผู้หญิงก็วิ่งมาหาเธอ

เมื่อวันที่ 17 สิงหาคม Rostov และ Ilyin พร้อมด้วย Lavrushka ซึ่งเพิ่งกลับมาจากการถูกจองจำและเสือชั้นนำจากค่าย Yankovo ​​​​ของพวกเขาสิบห้าบทจาก Bogucharovo ไปขี่ม้า - เพื่อลองม้าตัวใหม่ที่ Ilyin ซื้อและ ค้นหาว่ามีหญ้าแห้งในหมู่บ้านหรือไม่
Bogucharovo อยู่ระหว่างสามวันที่ผ่านมาระหว่างกองทัพศัตรูทั้งสอง ดังนั้นกองหลังของรัสเซียจึงสามารถเข้าไปที่นั่นได้อย่างง่ายดายพอๆ กับกองหน้าฝรั่งเศส ดังนั้น Rostov ในฐานะผู้บัญชาการฝูงบินที่เอาใจใส่ ต้องการใช้ประโยชน์จากเสบียงที่เหลืออยู่ ใน Bogucharovo ก่อนฝรั่งเศส
Rostov และ Ilyin มีอารมณ์ร่าเริงที่สุด ระหว่างทางไป Bogucharovo ไปยังที่ดินของเจ้าชายซึ่งมีที่ดินซึ่งพวกเขาหวังว่าจะได้พบคนรับใช้ตัวใหญ่และสาวสวยพวกเขาถาม Lavrushka เกี่ยวกับนโปเลียนและหัวเราะกับเรื่องราวของเขาหรือขับรถไปรอบ ๆ ลองใช้ม้าของ Ilyin
Rostov ไม่รู้หรือคิดว่าหมู่บ้านที่เขาเดินทางไปนี้เป็นที่ดินของ Bolkonsky คนเดียวกันซึ่งเป็นคู่หมั้นของน้องสาวของเขา
Rostov และ Ilyin ปล่อยม้าออกไปเป็นครั้งสุดท้ายเพื่อขับม้าเข้าไปในลากหน้า Bogucharov และ Rostov เมื่อแซงหน้า Ilyin ได้เป็นคนแรกที่ควบม้าไปตามถนนของหมู่บ้าน Bogucharov
“ คุณเป็นผู้นำ” อิลลินหน้าแดงกล่าว
“ ใช่ทุกอย่างไปข้างหน้าและข้างหน้าในทุ่งหญ้าและที่นี่” Rostov ตอบพร้อมใช้มือลูบก้นทะยานของเขา
“ และในภาษาฝรั่งเศส ฯพณฯ ของคุณ” Lavrushka พูดจากด้านหลังเรียกรถลากเลื่อนของเขาว่าฝรั่งเศส“ ฉันคงจะแซงไปแล้ว แต่ฉันแค่ไม่อยากทำให้เขาลำบากใจ”
พวกเขาเดินขึ้นไปที่โรงนา ใกล้ ๆ ซึ่งมีผู้ชายจำนวนมากยืนอยู่

คำจำกัดความและตัวอย่างของกลุ่ม

อ๊อด1. ให้ G เป็นเซตขององค์ประกอบที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีลักษณะตามอำเภอใจ จีเรียกว่า กลุ่ม

1) ให้ Bao ° บนเซต G

2) bao °มีความเชื่อมโยง

3) มีธาตุที่เป็นกลาง nÎG.

4) สำหรับองค์ประกอบใดๆ ของ G จะมีองค์ประกอบที่สมมาตรกับองค์ประกอบนั้นอยู่เสมอและเป็นของ G ด้วย

ตัวอย่าง.เซตของ Z – ตัวเลขที่มีการดำเนินการ +

อ๊อด2.กลุ่มนี้มีชื่อว่า อาเบเลี่ยนถ้าเป็นการสับเปลี่ยนด้วยความเคารพต่อ bao° ที่กำหนด

ตัวอย่างของกลุ่ม:

1) Z,R,Q “+” (Z+)

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่ม

มีองค์ประกอบที่เป็นกลางเพียงองค์ประกอบเดียวในกลุ่ม

ในกลุ่ม แต่ละองค์ประกอบจะมีองค์ประกอบเดียวที่มีความสมมาตร

ให้ G เป็นกลุ่มที่มี bao ° จากนั้นสมการของรูปแบบ:

a°x=b และ x°a=b (1) แก้ได้และมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

การพิสูจน์- ลองพิจารณาสมการ (1) สำหรับ x แน่นอนสำหรับ $! a" เนื่องจากการดำเนินการ ° เป็นการเชื่อมโยง ดังนั้นเห็นได้ชัดว่า x=b°a" จึงเป็นทางออกเดียว

34. ความเท่าเทียมกันของสถานีย่อย*

คำจำกัดความ 1- เรียกว่าการทดแทน สม่ำเสมอถ้ามันสลายตัวเป็นผลคูณของการขนย้ายเป็นจำนวนคู่และเป็นเลขคี่

ประโยคที่ 1.การแทน

เป็นคู่กัน<=>- แม้กระทั่งการเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้นจำนวนการแทนที่คู่

ของจำนวน n เท่ากับ n!\2

ประโยคที่ 2- การแทนที่ f และ f - 1 มีอักขระพาริตีเหมือนกัน

> ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าเป็นผลคูณของการขนย้ายแล้ว<

ตัวอย่าง:

กลุ่มย่อย เกณฑ์กลุ่มย่อย

Def.ให้ G เป็นกลุ่มที่มี bao° และเซตย่อยที่ไม่ว่างของ HÌG จากนั้น H จะถูกเรียกว่ากลุ่มย่อยของ G ถ้า H เป็นกลุ่มย่อยเทียบกับ bao° (นั่นคือ ° คือ bao บน H และ H ด้วยการดำเนินการนี้คือ กลุ่ม)

ทฤษฎีบท (เกณฑ์กลุ่มย่อย)ให้ G เป็นกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการ°, ƹHÎG H เป็นกลุ่มย่อย<=>"h 1 ,h 2 ОH เงื่อนไข h 1 °h 2 "ОH เป็นที่พอใจ (โดยที่ h 2 " เป็นองค์ประกอบสมมาตรของ h 2)

หมอ -ให้ H เป็นกลุ่มย่อย (คุณต้องพิสูจน์ว่า h 1 °h 2 "ОH) เอา h 1 ,h 2 ОH จากนั้น h 2 "ОH และ h 1 °h" 2 ОH (เนื่องจาก h" 2 เป็นองค์ประกอบสมมาตร ถึงชั่วโมง 2)

<=: (คุณต้องพิสูจน์ว่า H เป็นกลุ่มย่อย)

เนื่องจาก H¹Æ มีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งรายการอยู่ที่นั่น สมมติว่า hÎH, n=h°h"ОH นั่นคือองค์ประกอบที่เป็นกลาง nОH สำหรับ h 1 เรารับ n และสำหรับ h 2 เรารับ h จากนั้น h"ОH Þ " hОH องค์ประกอบสมมาตรของ h ก็เป็นของ H เช่นกัน

ให้เราพิสูจน์ว่าองค์ประกอบขององค์ประกอบใดๆ จาก H เป็นของ H

เอา h 1 มาใช้ และเหมือน h 2 เราก็เอา h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

ตัวอย่าง. G=S n , n>2, α - องค์ประกอบบางส่วนจาก X=(1,…,n) เมื่อ H เราใช้เซตที่ไม่ว่าง H= S α n =(fО S n ,f(α)=α) ภายใต้การกระทำของการแมปจาก S α n α ยังคงอยู่ที่เดิม เราตรวจสอบตามเกณฑ์ ลองหา h 1 ,h 2 OH กัน สินค้า ชั่วโมง 1. ชั่วโมง 2 "ОH เช่น H เป็นกลุ่มย่อยซึ่งเรียกว่ากลุ่มย่อยที่อยู่กับที่ขององค์ประกอบ α

ริง, ฟิลด์ ตัวอย่าง.

Def.อนุญาต ถึงเซตที่ไม่ว่างซึ่งมีการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต 2 แบบ ได้แก่ การบวกและการคูณ ถึงเรียกว่า แหวนหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) ถึง - กลุ่ม Abelian (สับเปลี่ยนด้วยความเคารพต่อ bao °ที่กำหนด) เกี่ยวกับการบวก;

2) การคูณมีความสัมพันธ์กัน

3) การคูณเป็นการแจกแจงด้วยความเคารพต่อการบวก()

หากการคูณเป็นการสับเปลี่ยนแล้ว ถึงเรียกว่า วงแหวนสลับ- หากมีองค์ประกอบที่เป็นกลางสัมพันธ์กับการคูณแล้ว ถึงเรียกว่า แหวนด้วยอันหนึ่ง.

ตัวอย่าง.

1) เซต Z ของจำนวนเต็มจะสร้างวงแหวนโดยสัมพันธ์กับการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณ วงแหวนนี้สับเปลี่ยน เชื่อมโยง และมีเอกลักษณ์

2) เซต Q ของจำนวนตรรกยะและ R ของจำนวนจริงคือฟิลด์

สัมพันธ์กับการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณตัวเลข

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน

1. ตั้งแต่ ถึงเป็นกลุ่มอาบีเลียนที่เสริมเข้ามาแล้ว ถึงคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่มจะถูกถ่ายโอน

2. การคูณเป็นแบบกระจายโดยคำนึงถึงผลต่าง: a(b-c)=ab-ac

การพิสูจน์. เพราะ ab-ac+ac=ab และ a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab จากนั้น a(b-c)=ab-ac

3. แหวนอาจมีตัวหารเป็นศูนย์ได้ เช่น ab=0 แต่ต่อจากนี้ไปไม่ได้ว่า a=0 b=0

ตัวอย่างเช่น ในวงแหวนของเมทริกซ์ขนาด 2'2 มีองค์ประกอบที่ไม่เท่ากับศูนย์ซึ่งผลคูณของพวกมันจะเป็นศูนย์ โดยที่ - มีบทบาทเป็นองค์ประกอบที่เป็นศูนย์

4. ก·0=0·คือ=0.

การพิสูจน์. ให้ 0=b-b จากนั้น a(bb)=ab-ab=0 ในทำนองเดียวกัน 0·a=0

5. ก(-b)=(-ก) ข=-ab

พิสูจน์: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0

6. ถ้าอยู่ในสังเวียน ถึงมีหน่วยหนึ่งและประกอบด้วยมากกว่าหนึ่งองค์ประกอบ ดังนั้นหน่วยจะไม่เท่ากับศูนย์ โดยที่ 1─ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางในระหว่างการคูณ 0 ─องค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเพิ่ม

7. ให้ ถึงวงแหวนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว จากนั้นเซตขององค์ประกอบที่ผันกลับได้ของวงแหวนจะก่อตัวเป็นกลุ่มโดยคำนึงถึงการคูณ ซึ่งเรียกว่ากลุ่มการคูณของวงแหวน เคและแสดงถึง เค*.

Def.วงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวซึ่งมีองค์ประกอบอย่างน้อยสององค์ประกอบ โดยที่องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะกลับด้านได้ เรียกว่า สนาม.

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของสนาม

1. เพราะ สนามคือวงแหวน จากนั้นคุณสมบัติของวงแหวนทั้งหมดจะถูกถ่ายโอนไปยังสนาม

2. ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ในฟิลด์ เช่น ถ้า ab=0 แล้ว a=0 หรือ b=0

การพิสูจน์.

ถ้า a¹0 แล้ว $ a -1 พิจารณา a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 และถ้า a¹0 ดังนั้น b=0 ในทำนองเดียวกันถ้า b¹0

3. สมการในรูปแบบ a´x=b, a¹0, b – ใดๆ ในสนามนี้มีคำตอบเฉพาะ x= a -1 b หรือ x=b/a

การแก้สมการนี้เรียกว่าการแก้สมการบางส่วน

ตัวอย่าง. 1)PÌC, P - ฟิลด์ตัวเลข 2)พี=(0;1);