จำนวนธรรมชาติไม่ใช่วงแหวน เนื่องจาก 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ และสำหรับจำนวนธรรมชาติก็ไม่มีสิ่งที่ตรงกันข้ามตามธรรมชาติเช่นกัน โครงสร้างที่เกิดจากจำนวนธรรมชาติเรียกว่า ครึ่งแหวนแม่นยำยิ่งขึ้น

ครึ่งแหวนเรียกว่ากลุ่มกึ่งสับเปลี่ยนสำหรับการบวก และกลุ่มกึ่งกลุ่มเกี่ยวกับการคูณ ซึ่งการดำเนินการของการบวกและการคูณมีความสัมพันธ์กันตามกฎการกระจาย

ตอนนี้เราขอแนะนำคำจำกัดความที่เข้มงวดของจำนวนเต็มและพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน จากแนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิตและข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแบบครึ่งวงกลม แต่ไม่ใช่วงแหวน เราสามารถให้คำจำกัดความต่อไปนี้ได้

คำจำกัดความ 1.วงแหวนจำนวนเต็มคือวงแหวนขั้นต่ำที่มีการแบ่งครึ่งของจำนวนธรรมชาติ

คำจำกัดความนี้ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับ รูปร่างตัวเลขดังกล่าว ในหลักสูตรของโรงเรียน จำนวนเต็มถูกกำหนดให้เป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งตรงกันข้ามกับ 0 คำจำกัดความนี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างคำจำกัดความที่เข้มงวดได้

คำจำกัดความ 2วงแหวนของจำนวนเต็มคือวงแหวนที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งอยู่ตรงข้ามกัน และเป็น 0 (และมีเฉพาะพวกมันเท่านั้น)

ทฤษฎีบท 1- คำจำกัดความ 1 และ 2 เทียบเท่ากัน

การพิสูจน์: ให้เราแสดงวงแหวนของจำนวนเต็มตามคำจำกัดความ 1 ด้วย Z 1 และโดย Z 2 แทนวงแหวนของจำนวนเต็มในแง่ของคำจำกัดความ 2 ก่อนอื่น เราพิสูจน์ว่า Z 2 รวมอยู่ใน Z 1 ด้วย แท้จริงแล้ว องค์ประกอบทั้งหมดของ Z 2 เป็นจำนวนธรรมชาติ (เป็นของ Z 1 เนื่องจาก Z 1 มีเลขครึ่งวงกลม) หรือสิ่งที่ตรงกันข้าม (เป็นของ Z 1 ด้วย เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวน ซึ่งหมายถึง แต่ละองค์ประกอบของวงแหวนนี้มีสิ่งตรงกันข้ามและสำหรับจำนวนธรรมชาติทุก ๆ ตัว n О Z 1, –n ก็เป็นของ Z 1 เช่นกัน) หรือ 0 (0 О Z 1 เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวนและในวงแหวนใด ๆ ก็จะมี 0) ดังนั้น องค์ประกอบใดๆ จาก Z 2 ก็เป็นของ Z 1 เช่นกัน ซึ่งหมายถึง Z 2 Í Z 1 ในทางกลับกัน Z 2 มีการแบ่งครึ่งของจำนวนธรรมชาติ และ Z 1 เป็นวงแหวนขั้นต่ำที่มีจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือ ไม่สามารถมีได้ อื่นแหวนที่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ แต่เราแสดงแล้วว่ามันมี Z 2 ซึ่งหมายถึง Z 1 = Z 2 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำจำกัดความ 3วงแหวนของจำนวนเต็มคือวงแหวนที่มีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งแสดงเป็นผลต่าง b – a (คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ a + x = b) โดยที่ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ

ทฤษฎีบท 2- คำจำกัดความ 3 เทียบเท่ากับสองคำก่อนหน้า

การพิสูจน์: ให้เราแสดงวงแหวนของจำนวนเต็มตามคำจำกัดความ 3 ด้วย Z 3 และโดย Z 1 = Z 2 ดังเช่นเมื่อก่อน วงแหวนของจำนวนเต็มในแง่ของคำจำกัดความ 1 และ 2 (ความเท่าเทียมกันได้ถูกกำหนดไว้แล้ว) ก่อนอื่นเราพิสูจน์ว่า Z 3 รวมอยู่ใน Z 2 แท้จริงแล้ว องค์ประกอบทั้งหมดของ Z 3 สามารถแสดงเป็นผลต่างของจำนวนธรรมชาติ b – a ได้ สำหรับจำนวนธรรมชาติสองตัวใดๆ ตามทฤษฎีบทไตรโคโตมี มีสามตัวเลือกที่เป็นไปได้:

ในกรณีนี้ ผลต่าง b – และยังเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย ดังนั้นจึงเป็นของ Z 2

ในกรณีนี้ เราแทนค่าผลต่างขององค์ประกอบที่เท่ากันสองตัวด้วยสัญลักษณ์ 0 ขอให้เราพิสูจน์ว่านี่คือศูนย์ของวงแหวนจริงๆ ซึ่งก็คือองค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเทียบกับการบวก ในการทำสิ่งนี้ เราจะใช้คำจำกัดความของความแตกต่าง a – a = x ó a = a + x และพิสูจน์ว่า b + x = b สำหรับ b ใดๆ ตามธรรมชาติ เพื่อพิสูจน์มันก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มองค์ประกอบ b ทางด้านขวาและซ้ายของความเท่าเทียมกัน a = a + x จากนั้นใช้กฎการลดขนาด (การกระทำทั้งหมดนี้สามารถทำได้ตามคุณสมบัติที่ทราบของวงแหวน) ศูนย์เป็นของ Z 2

ในกรณีนี้ ผลต่าง a – b เป็นจำนวนธรรมชาติ เราแสดงว่า

ข – ก = – (ก – ข) ขอให้เราพิสูจน์ว่าองค์ประกอบ a – b และ b – a นั้นตรงกันข้ามกันจริงๆ นั่นคือพวกมันรวมกันได้เป็นศูนย์ ที่จริงแล้ว ถ้าเราแสดงว่า a – b = x, b – a = y เราจะได้ a = b + x, b = y + a เมื่อบวกความเท่าเทียมกันที่ได้รับทีละเทอมและลด b เราจะได้ a = x + y + a นั่นคือ x + y = a – a = 0 ดังนั้น a – b = – (b – a) จึงตรงกันข้ามกับ จำนวนธรรมชาติ นั่นคือ มันเป็นของ Z2 อีกครั้ง ดังนั้น Z 3 Í Z 2 .

ในทางกลับกัน Z 3 มีการแบ่งครึ่งของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติใดๆ n สามารถแสดงเป็นได้เสมอ

n = n / – 1 О Z 3 ,

ซึ่งหมายถึง Z 1 Í Z 3 เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวนขนาดเล็กที่ประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติ จากข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วว่า Z 2 = Z 1 เราได้รับ Z 1 = Z 2 = Z 3 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แม้ว่าเมื่อดูเผินๆ อาจดูเหมือนไม่มีสัจพจน์ในคำจำกัดความของจำนวนเต็มที่แสดงไว้ แต่คำจำกัดความเหล่านี้เป็นสัจพจน์ เนื่องจากทั้งสามคำจำกัดความบอกว่าเซตของจำนวนเต็มคือวงแหวน ดังนั้นสัจพจน์ในทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มจึงเป็นเงื่อนไขจากนิยามของวงแหวน

มาพิสูจน์กัน ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มมีความสอดคล้องกัน- เพื่อพิสูจน์ จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองวงแหวนของจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีที่สอดคล้องกันอย่างเห็นได้ชัด (ในกรณีของเรา นี่อาจเป็นเพียงทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น)

ตามคำจำกัดความที่ 3 จำนวนเต็มแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นผลต่างของจำนวนธรรมชาติสองตัว z = b – a ให้เราเชื่อมโยงแต่ละจำนวนเต็ม z กับคู่ที่สอดคล้องกัน - ข้อเสียของจดหมายฉบับนี้คือความคลุมเครือ โดยเฉพาะเลข 2 ตรงกับคู่นี้<3, 1 >และอีกสองสามคน<4, 2>เช่นเดียวกับคนอื่นๆ อีกมากมาย หมายเลข 0 ตรงกับคู่<1, 1>และอีกสองสามคน<2,2>และอีกสองสามคน<3, 3>และอื่นๆ แนวคิดนี้ช่วยหลีกเลี่ยงปัญหานี้ คู่ที่เท่าเทียมกัน- เอาเป็นว่าคู่นี้. เทียบเท่าคู่ , ถ้า a +d = b + c (สัญกรณ์: @ ).

ความสัมพันธ์ที่แนะนำคือการสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา (หลักฐานเหลืออยู่ที่ผู้อ่าน)

เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันใดๆ ความสัมพันธ์นี้จะสร้างพาร์ติชันของเซตของคู่จำนวนธรรมชาติที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้เป็นคลาสที่เท่าเทียมกัน ซึ่งเราจะแสดงว่าเป็น [ ] (แต่ละคลาสประกอบด้วยคู่ทั้งหมดเทียบเท่ากับคู่หนึ่ง - ตอนนี้เราสามารถเชื่อมโยงจำนวนเต็มแต่ละตัวกับคลาสที่กำหนดไว้อย่างดีของคู่จำนวนธรรมชาติที่เทียบเท่ากัน เซตของคลาสคู่ของจำนวนธรรมชาติดังกล่าวสามารถใช้เป็นแบบจำลองของจำนวนเต็มได้ ให้เราพิสูจน์ว่ารุ่นนี้เป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดของแหวน ในการทำเช่นนี้มีความจำเป็นต้องแนะนำแนวคิดของการบวกและการคูณคลาสของคู่ เราจะดำเนินการตามกฎต่อไปนี้:

1) [] + [] = [];

ให้เราแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความที่แนะนำนั้นถูกต้องนั่นคือไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทนเฉพาะจากคลาสของคู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งหากคู่นั้นเท่ากัน @ และ @ จากนั้นผลรวมและผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน @ เช่นเดียวกับ @ .

@ ó a + b 1 = b + a 1 (1)

ซึ่งเท่ากับสภาพ @ .

ซึ่งหมายความว่า @ (หรืออีกนัยหนึ่ง ที่นี่เราได้พิสูจน์แล้ว × @ ,× ).

ó @

(ที่นี่เราพิสูจน์แล้ว × @ ,× - การใช้คุณสมบัติการผ่านของความสัมพันธ์สมมูลของคู่ต่างๆ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ต้องการ @ สภาพที่เทียบเท่า

× @ ,× .

+ ( +) = + = .

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

กฎหมายที่เหลือมีการตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน (โปรดทราบว่า เทคนิคที่เป็นประโยชน์อาจทำหน้าที่แยกการเปลี่ยนแปลงด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันที่ต้องการให้เป็นแบบฟอร์มเดียวกัน)

นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องพิสูจน์การมีอยู่ขององค์ประกอบที่เป็นกลางด้วยการเติม พวกมันสามารถทำหน้าที่เป็นคลาสของคู่ในรูปแบบ [<с, с>- จริงหรือ,

[] + [] = [] @ [], เพราะ

[] + [] = [] = [] @ [].

[] / = [].

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของเงื่อนไข C1 และ C2 โดยใช้กฎนี้ (จากคำจำกัดความของการบวกจำนวนธรรมชาติ) เงื่อนไข C1 (a + 1 = a /) นิ้ว ในกรณีนี้จะถูกเขียนใหม่เป็น:

[] + [] =[] / = [- จริงหรือ,

[] + [] = [] = [], เพราะ

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].

งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ

ลำดับที่ 2.1. ในคอลัมน์ด้านขวาของตาราง ให้ค้นหาคู่ที่เทียบเท่ากับคู่ที่ระบุในคอลัมน์ด้านซ้ายของตาราง

สำหรับแต่ละคู่ ให้ระบุตรงกันข้าม

ลำดับที่ 2.2. คำนวณ

ก) [<1, 5>] + [ <3, 2>- ข)[<3, 8>] + [<4, 7>];

วี) [<7, 4>] – [<8, 3>- ช) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

จ) [<1, 5>] × [ <2, 2>- จ) [<2, 10>]× [<10, 2>].

ลำดับที่ 2.3. สำหรับแบบจำลองของจำนวนเต็มที่อธิบายไว้ในส่วนนี้ ให้ตรวจสอบกฎการสับเปลี่ยนของการบวก กฎการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยนของการคูณ และกฎการกระจาย

เราได้เห็นแล้วว่าการดำเนินการกับพหุนามลดลงเหลือเพียงการดำเนินการกับสัมประสิทธิ์เท่านั้น ในเวลาเดียวกัน หากต้องการบวก ลบ และคูณพหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์สามรายการก็เพียงพอแล้ว - ไม่จำเป็นต้องหารตัวเลข เนื่องจากผลรวม ผลต่าง และผลคูณของจำนวนจริงสองตัวนั้นเป็นจำนวนจริงอีกครั้ง เมื่อบวก ลบ และคูณพหุนามด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนจริง ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง

อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องจัดการกับพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงเสมอไป อาจมีบางกรณีที่โดยสาระสำคัญของเรื่อง ค่าสัมประสิทธิ์ควรมีเฉพาะจำนวนเต็มหรือค่าตรรกยะเท่านั้น คุณสมบัติของพหุนามจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ที่ถือว่ายอมรับได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงใดๆ เราสามารถแยกตัวประกอบพวกมันได้:

หากเราจำกัดตัวเองให้อยู่ในพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม การขยายตัว (1) ก็ไม่มีเหตุผล และเราต้องพิจารณาว่าพหุนามนั้นไม่สามารถแยกย่อยออกเป็นตัวประกอบได้

นี่แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีพหุนามขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ที่ยอมรับได้อย่างมีนัยสำคัญ ไม่สามารถยอมรับค่าสัมประสิทธิ์ทุกชุดได้ว่ายอมรับได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาพหุนามทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มคี่ เห็นได้ชัดว่าผลรวมของพหุนามสองตัวดังกล่าวจะไม่เป็นพหุนามประเภทเดียวกันอีกต่อไป เพราะผลรวมของเลขคี่จะเป็นเลขคู่

ให้เราตั้งคำถาม: ชุดสัมประสิทธิ์ "ดี" คืออะไร? เมื่อผลรวม ผลต่าง ผลคูณของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ ประเภทนี้มีค่าสัมประสิทธิ์ประเภทเดียวกันหรือไม่? เพื่อตอบคำถามนี้ เราขอแนะนำแนวคิดเรื่องวงแหวนตัวเลข

คำนิยาม. ชุดตัวเลขที่ไม่ว่างจะเรียกว่าวงแหวนตัวเลข เมื่อรวมกับตัวเลข a สองตัวแล้ว และประกอบด้วยผลรวม ผลต่าง และผลิตภัณฑ์ นอกจากนี้ยังแสดงไว้สั้นๆ โดยบอกว่าวงแหวนตัวเลขปิดอยู่ภายใต้การดำเนินการบวก ลบ และคูณ

1) เซตของจำนวนเต็มคือวงแหวนตัวเลข ผลรวม ผลต่าง และผลคูณของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม เซตของจำนวนธรรมชาติไม่ใช่วงแหวนของตัวเลข เนื่องจากผลต่างของจำนวนธรรมชาติอาจเป็นลบได้

2) เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดคือวงแหวนของตัวเลข เนื่องจากผลรวม ผลต่าง และผลคูณของจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนตรรกยะ

3) สร้างวงแหวนตัวเลขและเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

4) ตัวเลขในรูปแบบ a โดยที่ a และ เป็นจำนวนเต็ม รวมกันเป็นวงแหวนตัวเลข ตามมาจากความสัมพันธ์:

5) เซตของเลขคี่ไม่ใช่วงแหวนของตัวเลข เนื่องจากผลรวมของเลขคี่เป็นเลขคู่ เซตของเลขคู่คือวงแหวนตัวเลข

ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา

สถานะ สถาบันการศึกษาการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

มหาวิทยาลัยมนุษยธรรมแห่งรัฐ Vyatka

คณะคณิตศาสตร์

ภาควิชาการวิเคราะห์และวิธีการทางคณิตศาสตร์
การสอนคณิตศาสตร์

งานคัดเลือกรอบสุดท้าย

ในหัวข้อ: วงแหวนจำนวนเต็มเกาส์เซียน

สมบูรณ์:

นักศึกษาชั้นปีที่ 5

คณะคณิตศาสตร์

กนูซอฟ วี.วี.

___________________________

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

อาจารย์อาวุโสของภาควิชา

พีชคณิตและเรขาคณิต

เซเมนอฟ เอ.เอ็น..

___________________________

ผู้วิจารณ์:

ผู้สมัครสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์, รองศาสตราจารย์

ภาควิชาพีชคณิตและเรขาคณิต

โคฟยาซินา อี.เอ็ม.

___________________________

เข้ารับการแก้ต่างที่สำนักงานคณะกรรมการรับรองหลักฐานแห่งรัฐ

ศีรษะ แผนก________________ Vechtomov E.M.

« »________________

คณบดีคณะ ___________________ วารันคินา วี.ไอ.

« »________________

คิรอฟ 2548

• การแนะนำ. 2
• 3
• 4
• 1.2 การแบ่งส่วนกับส่วนที่เหลือ 5
• 1.3 จีซีดี อัลกอริทึม EUCLID 6
• 9
• 12
• 17
• บทสรุป. 23

การแนะนำ.

วงแหวนของจำนวนเต็มเชิงซ้อนถูกค้นพบโดยคาร์ล เกาส์ และตั้งชื่อเกาส์เซียนเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

K. Gauss มาถึงแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้และความจำเป็นในการขยายแนวคิดของจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาอัลกอริธึมสำหรับการแก้ไขการเปรียบเทียบระดับที่สอง เขาย้ายแนวคิดเรื่องจำนวนเต็มไปเป็นตัวเลขในรูปแบบ โดยที่ - เป็นจำนวนเต็มตามใจชอบ และ - เป็นรากของสมการ บนเซตที่กำหนด เค. เกาส์ได้สร้างทฤษฎีการหารลงตัวเป็นครั้งแรก ซึ่งคล้ายกับทฤษฎีการหารลงตัวของ จำนวนเต็ม เขายืนยันความถูกต้องของคุณสมบัติพื้นฐานของการหารลงตัว แสดงให้เห็นว่าในวงแหวนของจำนวนเชิงซ้อนมีองค์ประกอบที่กลับด้านได้เพียงสี่องค์ประกอบเท่านั้น: ; พิสูจน์ความถูกต้องของทฤษฎีบทเรื่องการหารด้วยเศษ ทฤษฎีบทเรื่องเอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบ แสดงว่าจำนวนธรรมชาติเฉพาะใดที่จะยังคงเป็นจำนวนเฉพาะในวงแหวน ค้นพบธรรมชาติของจำนวนเต็มเชิงเดี่ยวและจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีที่พัฒนาโดย K. Gauss ซึ่งอธิบายไว้ในงาน Arithmetic Studies ของเขา ถือเป็นการค้นพบพื้นฐานสำหรับทฤษฎีตัวเลขและพีชคณิต

เป้าหมายต่อไปนี้ถูกกำหนดไว้ในงานขั้นสุดท้าย:

1. พัฒนาทฤษฎีการหารลงตัวในวงแหวนของจำนวนเกาส์เซียน

2. ค้นหาธรรมชาติของจำนวนเฉพาะแบบเกาส์เซียน

3. แสดงการใช้เลขเกาส์เซียนในการแก้ปัญหาไดโอแฟนไทน์ทั่วไป

บทที่ 1 การแบ่งวงแหวนของตัวเลขเกาส์

ลองพิจารณาเซตของจำนวนเชิงซ้อนกัน โดยการเปรียบเทียบกับเซตของจำนวนจริง สามารถแยกแยะเซตย่อยของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งได้ ชุดตัวเลขของแบบฟอร์มโดยที่ ลองเรียกพวกมันว่าจำนวนเต็มเชิงซ้อนหรือตัวเลขเกาส์เซียน มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าสัจพจน์ของวงแหวนยังคงอยู่สำหรับชุดนี้ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนชุดนี้จึงเป็นวงแหวนและถูกเรียกว่า วงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียน - ให้เราแสดงว่ามันเป็น เนื่องจากมันเป็นส่วนขยายของวงแหวนด้วยองค์ประกอบ: .

เนื่องจากวงแหวนของจำนวนเกาส์เซียนเป็นเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน คำจำกัดความและคุณสมบัติบางประการของจำนวนเชิงซ้อนจึงสามารถใช้ได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนเกาส์เซียนแต่ละจำนวนจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดหนึ่งและจุดสิ้นสุดที่ เพราะฉะนั้น, โมดูล มีตัวเลขเกาส์เซียน โปรดทราบว่าในชุดที่กำลังพิจารณา นิพจน์ submodular จะเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้นในบางกรณีจะสะดวกกว่าในการใช้งาน บรรทัดฐาน นั่นคือกำลังสองของโมดูลัส ดังนั้น. สามารถแยกแยะคุณสมบัติของบรรทัดฐานต่อไปนี้ได้ สำหรับตัวเลขเกาส์เซียนใดๆ ต่อไปนี้จะเป็นจริง:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

ความถูกต้องของคุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการตรวจสอบเล็กน้อยโดยใช้โมดูล ในการผ่าน เราสังเกตว่า (2), (3), (5) ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เช่นกัน

วงแหวนของจำนวนเกาส์เซียนเป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่ไม่มีตัวหาร 0 เนื่องจากเป็นวงแหวนย่อยของสนามของจำนวนเชิงซ้อน นี่แสดงถึงความหดตัวแบบทวีคูณของวงแหวนนั่นคือ

1.1 องค์ประกอบที่สามารถย้อนกลับได้และเป็นพันธมิตร

มาดูกันว่าตัวเลขเกาส์เซียนตัวไหนจะกลับด้านได้ เป็นกลางในการคูณคือ ถ้าเป็นเลขเกาส์เซียน ย้อนกลับได้ แล้วตามคำนิยามก็มีเช่นนั้น เราได้รับบรรทัดฐานตามคุณสมบัติ 3 แต่บรรทัดฐานเหล่านี้จึงเป็นเรื่องธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าโดยคุณสมบัติ 4, ในทางกลับกัน องค์ประกอบทั้งหมดของเซตที่กำหนดจะกลับด้านได้ เนื่องจาก ดังนั้น ตัวเลขที่มีบรรทัดฐานเท่ากับ 1 จะสามารถกลับด้านได้ กล่าวคือ

อย่างที่คุณเห็น ไม่ใช่ว่าตัวเลขเกาส์เซียนทั้งหมดจะกลับด้านได้ การพิจารณาประเด็นความแตกแยกจึงเป็นเรื่องน่าสนใจ ตามปกติเราจะพูดอย่างนั้น หุ้น ถ้ามีอยู่เช่นนั้น สำหรับจำนวนเกาส์เซียนใดๆ รวมถึงจำนวนที่กลับด้านได้ คุณสมบัตินั้นจะใช้ได้

(7)

(8)

(9)

(10)

ที่ไหน (11)

(12)

ตรวจสอบได้ง่าย (8), (9), (11), (12) ความยุติธรรม (7) ตามมาจาก (2) และ (10) ตามมาจาก (6) เนื่องจากคุณสมบัติ (9) องค์ประกอบของเซตจึงมีพฤติกรรมเกี่ยวกับการหารลงตัวในลักษณะเดียวกับ และ และถูกเรียกว่า พันธมิตร กับ. ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะต้องพิจารณาการหารจำนวนเกาส์เซียนจนลงตัว ในเชิงเรขาคณิต บนระนาบเชิงซ้อน จำนวนที่เชื่อมต่อกันจะแตกต่างกันโดยการหมุนหลายมุม

1.2 การแบ่งส่วนกับส่วนที่เหลือ

ก็ให้ต้องหารแต่จะแบ่งให้หมดไม่ได้ เราต้องได้รับและในขณะเดียวกันก็ต้องมี “ไม่พอ” จากนั้นเราจะแสดงสิ่งที่ต้องใช้เป็นผลหารที่ไม่สมบูรณ์เมื่อหารด้วยเศษในชุดตัวเลขแบบเกาส์เซียน

บทแทรก 1. การหารด้วยเศษ.

ในวงแหวน การหารด้วยเศษสามารถทำได้โดยที่เศษน้อยกว่าตัวหารตามปกติ แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับสิ่งใด ๆ และ จะมี ดังนั้น - เช่น คุณสามารถหาจำนวนเชิงซ้อนที่ใกล้เคียงที่สุดได้ เลขเกาส์เซียน

การพิสูจน์.

ลองหารด้วยเซตของจำนวนเชิงซ้อนกัน. สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากเซตของจำนวนเชิงซ้อนคือเขตข้อมูล ปล่อยให้เป็น. ลองปัดเศษจำนวนจริงและจำนวนเต็มแล้วเราจะได้ตามลำดับ เอาเป็นว่า แล้ว

.

ตอนนี้เราคูณอสมการทั้งสองข้างด้วย เนื่องจากการคูณของบรรทัดฐานของจำนวนเชิงซ้อน นั่นก็คือค่านั้น ดังนั้น เนื่องจากผลหารที่ไม่สมบูรณ์ เราจึงหาจำนวนเกาส์เซียนได้ ซึ่งมองเห็นได้ง่ายว่าใกล้เคียงที่สุด

ซี.ที.ดี.

1.3 จีซีดี อัลกอริทึม EUCLID

เราใช้คำจำกัดความปกติของตัวหารร่วมมากสำหรับวงแหวน จีซีดี"โอม. จำนวนเกาส์เซียนสองตัวเรียกว่าตัวหารร่วมซึ่งหารด้วยตัวหารร่วมอื่นๆ ลงตัวได้

เช่นเดียวกับเซตของจำนวนเต็ม ในชุดของตัวเลขเกาส์เซียนนั้น อัลกอริธึมแบบยุคลิดใช้ในการค้นหา GCD

ให้ข้อมูลเป็นตัวเลขเกาส์เซียนด้วย หารด้วยเศษ. หากเศษเหลือแตกต่างจาก 0 เราจะหารด้วยเศษนี้ และเราจะทำการหารเศษตามลำดับต่อไปตราบเท่าที่เป็นไปได้ เราได้รับห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:

, ที่ไหน

, ที่ไหน

, ที่ไหน

……………………….

, ที่ไหน

สายโซ่นี้ไม่สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด เนื่องจากเรามีลำดับของบรรทัดฐานที่ลดลง และบรรทัดฐานนั้นเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

ทฤษฎีบท 2 เกี่ยวกับการมีอยู่ของ GCD

ในอัลกอริทึมของ Euclid ใช้กับตัวเลขแบบเกาส์เซียน และ เศษที่เหลือที่ไม่ใช่ศูนย์สุดท้ายคือ gcd( ).

การพิสูจน์.

ให้เราพิสูจน์ว่าในอัลกอริทึมแบบยุคลิดเราได้รับ GCD จริงๆ

1. ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันจากล่างขึ้นบน

จากความเสมอภาคครั้งล่าสุดจะเห็นได้ชัดว่า ผลรวมของตัวเลขหารด้วย ตั้งแต่ และ บรรทัดถัดไปจะให้ และอื่นๆ จึงเป็นที่ชัดเจนว่า... นั่นคือมันเป็นตัวหารร่วมของตัวเลขและ

ลองแสดงว่านี่คือตัวหารร่วมมาก นั่นคือหารด้วยตัวหารร่วมตัวอื่นๆ ลงตัว.

2. พิจารณาความเท่าเทียมกันจากบนลงล่าง

อนุญาต เป็นตัวหารร่วมทั่วไปของตัวเลขและ. ดังนั้น เนื่องจากผลต่างของตัวเลขที่หารด้วยลงตัว จึงมาจากความเท่าเทียมกันประการแรก จากความเท่าเทียมกันประการที่สอง เราได้สิ่งนั้นมา ดังนั้น เมื่อแทนเศษในแต่ละความเท่าเทียมกันเป็นผลต่างของตัวเลขที่หารด้วย เราจะได้ค่าที่หารด้วยจากความเสมอภาคสุดท้าย

ซี.ที.ดี.

บทแทรก 3. เกี่ยวกับการเป็นตัวแทนของ GCD

ถ้า GCD( , )= ก็มีจำนวนเต็มเกาส์เซียนอยู่ และ , อะไร .

การพิสูจน์.

ให้เราพิจารณาจากล่างขึ้นบนถึงห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันที่ได้รับในอัลกอริทึมแบบยุคลิด แทนนิพจน์เหล่านี้อย่างสม่ำเสมอด้วยเศษก่อนหน้าแทนที่จะเป็นเศษ เราจะเขียนผ่าน และ

เรียกเลขเกาส์เซียน เรียบง่าย หากไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยสองประการที่เปลี่ยนกลับไม่ได้ คำสั่งต่อไปที่ชัดเจน

คำชี้แจง 4

เมื่อจำนวนเกาส์เซียนเฉพาะคูณด้วยจำนวนที่แปลงกลับได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเกาส์เซียนจำนวนเฉพาะอีกครั้ง

คำชี้แจงที่ 5

หากเราหาตัวหารที่ผันกลับไม่ได้โดยมีบรรทัดฐานน้อยที่สุดจากจำนวนเกาส์เซียน มันจะเป็นตัวหารเกาส์เซียนธรรมดา

การพิสูจน์.

ให้ตัวหารนั้นเป็นจำนวนประกอบ แล้วที่ไหน และ เป็นตัวเลขเกาส์เซียนที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ มาดูบรรทัดฐานกันดีกว่า และตาม (3) เราเข้าใจแล้ว เนื่องจากบรรทัดฐานเหล่านี้เป็นไปตามธรรมชาติ เราจึงมีตัวหารที่ผันกลับไม่ได้ และโดยอาศัยข้อ (12) หมายเลขที่กำหนด Gauss ซึ่งขัดแย้งกับทางเลือก

คำชี้แจง 6

ถ้า หารด้วยจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนไม่ได้ จากนั้น GCD( , )=1.

การพิสูจน์.

จริงๆแล้วเป็นจำนวนเฉพาะ หารด้วยตัวเลขที่เชื่อมกับ 1 หรือด้วยเท่านั้น - และเนื่องจากหารด้วยไม่ได้ แล้วให้พันธมิตรด้วย ไม่แบ่งปันเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมจะเป็นตัวเลขที่แปลงกลับได้เท่านั้น

บทแทรกที่ 7 บทแทรกของยุคลิด

ถ้าผลคูณของเลขเกาส์เซียนหารด้วยเลขเกาส์เซียนเฉพาะ แล้วมีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวที่หารด้วยได้ .

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์ก็เพียงพอที่จะพิจารณากรณีที่ผลิตภัณฑ์มีเพียงสองปัจจัยเท่านั้น นั่นคือเราจะแสดงว่าถ้ามันหารด้วย แล้วจึงหารด้วย , หรือ หารด้วย .

อย่าให้แตกแยกเลย. จากนั้น GCD(, )=1. จึงมีเลขเกาส์เซียนอะไรแบบนั้น คูณทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย เราเข้าใจแล้ว มันตามมา เมื่อผลรวมของตัวเลขหารด้วย .

1.4 ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต

จำนวนเกาส์เซียนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเกาส์เซียนเฉพาะได้ และการแทนค่านี้มีความเฉพาะตัวขึ้นอยู่กับการเชื่อมและลำดับของตัวประกอบ

หมายเหตุ 1.

จำนวนที่พลิกกลับได้จะมีตัวประกอบเฉพาะเป็นศูนย์ในการขยายตัว กล่าวคือ ตัวเลขนี้แสดงถึงตัวมันเอง

โน้ต 2.

แม่นยำยิ่งขึ้นมีการกำหนดเอกลักษณ์ดังนี้ หากมีการแยกตัวประกอบสองตัวเป็นปัจจัยเกาส์เซียนอย่างง่าย นั่นก็คือ , ที่ และคุณสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้เช่นนี้ , อะไร จะอยู่ในลีกด้วย ต่อหน้าทุกคน ตั้งแต่ 1 ถึง รวมอยู่ด้วย

การพิสูจน์.

เราดำเนินการพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำตามมาตรฐาน

ฐาน. สำหรับตัวเลขที่มีบรรทัดฐานของหน่วย ข้อความนั้นชัดเจน

ปล่อยให้เป็นจำนวนเกาส์เซียนที่ไม่สามารถเปลี่ยนกลับเป็นศูนย์ได้ และสำหรับตัวเลขเกาส์เซียนทั้งหมดที่มีบรรทัดฐานน้อยกว่า ข้อความนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราแสดงความเป็นไปได้ของการสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญ ในการทำเช่นนี้ ขอให้เราแสดงด้วยตัวหารที่ผันกลับไม่ได้ซึ่งมีบรรทัดฐานที่เล็กที่สุด ตัวหารนี้ต้องเป็นจำนวนเฉพาะตามข้อ 5 แล้ว ดังนั้นเราจึงมี และโดยสมมติฐานอุปนัย เราสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ซึ่งหมายความว่ามันสามารถย่อยสลายเป็นผลิตภัณฑ์ที่เรียบง่ายเหล่านี้ได้และ

ให้เราแสดงเอกลักษณ์ของการสลายตัวให้เป็นปัจจัยเฉพาะ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เราขยายสองส่วนตามใจชอบ:

ตามบทแทรกของ Euclid ในผลิตภัณฑ์จะต้องหารด้วยปัจจัยหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่าหารด้วยลงตัว ไม่เช่นนั้นเราจะกำหนดหมายเลขใหม่ เนื่องจากเป็นแบบเรียบง่าย ซึ่งสามารถย้อนกลับได้ที่ไหน การลดความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านลงโดยเราจะได้การสลายตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มีค่าบรรทัดฐานน้อยกว่า

ตามสมมติฐานอุปนัย คุณสามารถกำหนดหมายเลขใหม่เพื่อให้เชื่อมโยงกับ, กับ, ..., กับได้ จากนั้น และ ด้วยการกำหนดหมายเลขนี้ จะต้องเชื่อมต่อกับ สำหรับทุกรายการตั้งแต่ 1 ถึง รวม ซึ่งหมายความว่าการแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะจะไม่ซ้ำกัน

ตัวอย่างของวงแหวนที่สร้างขึ้นเพียงครั้งเดียวไม่มีโอตะ

ลองพิจารณาดู องค์ประกอบของวงแหวนนี้คือตัวเลขในรูปแบบ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็มใดก็ได้ ให้เราแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตไม่อยู่ในนั้น ให้เรากำหนดบรรทัดฐานของตัวเลขในวงแหวนนี้ดังนี้: นี่เป็นบรรทัดฐานอย่างแน่นอน เนื่องจากการตรวจสอบได้ไม่ยาก ช่างมัน. แล้ว

สังเกตว่า.

ให้เราแสดงว่าตัวเลขในวงแหวนที่พิจารณานั้นเป็นจำนวนเฉพาะ จริงสิ ให้มันเป็นหนึ่งในนั้น จากนั้นเราก็มี: เนื่องจากไม่มีตัวเลขที่มีบรรทัดฐาน 2 ในวงแหวนนี้ ดังนั้น หรือ องค์ประกอบที่กลับด้านได้จะเป็นตัวเลขที่มีบรรทัดฐานของหน่วยและมีเพียงตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในการแยกตัวประกอบตามอำเภอใจจะมีปัจจัยที่ผันกลับได้ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่าย

บทที่ 2 ไพรม์เกาส์

เพื่อทำความเข้าใจว่าจำนวนเกาส์เซียนใดเป็นจำนวนเฉพาะ ให้พิจารณาข้อความจำนวนหนึ่ง

ทฤษฎีบท 8

จำนวนเฉพาะแบบเกาส์เซียนทุกตัวเป็นตัวหารของจำนวนธรรมชาติเฉพาะจำนวนหนึ่งเท่านั้น

การพิสูจน์.

ปล่อยให้มันเป็นเกาส์เซียนธรรมดาๆ ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติ มันถูกแบ่งออกเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติอย่างง่าย และตามบทแทรกของยุคลิด อย่างน้อยก็มีอันหนึ่งที่หารด้วยลงตัว

ให้เราแสดงว่าไพรม์แบบเกาส์เซียนไม่สามารถแบ่งไพรม์ธรรมชาติที่แตกต่างกันสองตัวได้ จริงๆ แล้ว แม้ว่าจะมีจำนวนธรรมชาติธรรมดาหลายๆ ตัวที่หารด้วยก็ตาม เนื่องจาก GCD() = 1 ดังนั้นตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแทน GCD ในจำนวนเต็ม จึงมีจำนวนเต็มเช่นนั้นด้วย ดังนั้นสิ่งที่ขัดแย้งกับความเรียบง่าย

ดังนั้น โดยการแยกย่อยธรรมชาติแบบธรรมดาแต่ละรายการให้เป็นแบบเกาส์เซียนแบบธรรมดา เราจะแจกแจงแบบเกาส์เซียนแบบธรรมดาทั้งหมดโดยไม่ต้องทำซ้ำ

ทฤษฎีบทถัดไปแสดงให้เห็นว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติเชิงเดี่ยวแต่ละตัว จะมีจำนวนเกาส์เซียนธรรมดาไม่เกินสองตัว

ทฤษฎีบท 9

หากจำนวนธรรมชาติเฉพาะถูกสลายไปเป็นผลคูณของจำนวนไพรม์เกาส์เซียน 3 ตัว จะมีตัวประกอบอย่างน้อย 1 ตัวที่แปลงกลับได้

การพิสูจน์.

อนุญาต -- ธรรมดาๆ ตามธรรมชาติแบบนั้น - ไปสู่บรรทัดฐานเราได้รับ:

.

จากความเท่าเทียมกันของจำนวนธรรมชาตินี้ จะตามมาว่าอย่างน้อยหนึ่งในบรรทัดฐานจะเท่ากับ 1 ดังนั้น อย่างน้อยหนึ่งในตัวเลข - ย้อนกลับได้

บทแทรก 10.

ถ้าจำนวนเกาส์เซียนหารด้วยจำนวนธรรมชาติเฉพาะ แล้ว และ

การพิสูจน์.

อนุญาต , นั่นคือ - แล้ว , , นั่นคือ , .

ซี.ที.ดี.

เลมมา 11.

สำหรับจำนวนธรรมชาติเฉพาะของแบบฟอร์ม จะมีจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น

การพิสูจน์.

ทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อเท่านั้น แต่จากนี้ไป.. มาขยายและแปลงแฟกทอเรียลกัน:

จากที่นี่เราเข้าใจแล้วว่านั่นคือ -

ดังนั้นเราจึงได้สิ่งนั้น , ที่ไหน = .

ตอนนี้เราพร้อมที่จะอธิบายจำนวนเฉพาะแบบเกาส์เซียนแล้ว

ทฤษฎีบท 12

Gaussians แบบง่ายทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม:

1). ประเภทธรรมชาติที่เรียบง่ายคือแบบเกาส์เซียนแบบธรรมดา

2). สองเป็นการสมรสกับกำลังสองของนายกเกาส์เซียน

3). ประเภทธรรมชาติที่เรียบง่ายจะถูกสลายเป็นผลคูณของเกาส์เซียนคอนจูเกตแบบง่ายสองตัว

การพิสูจน์.

1). สมมติว่าเป็นไพรม์ธรรมชาติ ใจดี ไม่ใช่แบบเกาส์เซียนธรรมดา แล้ว , และ และ - มาดูบรรทัดฐานกันดีกว่า: - เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ , นั่นคือ --ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัว แต่ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มไม่สามารถเหลือเศษ 3 ได้เมื่อหารด้วย 4

2). สังเกตว่า

.

ตัวเลข -- ไพรม์เกาส์เซียน เนื่องจากไม่เช่นนั้นทั้งสองจะสลายตัวเป็นปัจจัยสามประการที่เปลี่ยนกลับไม่ได้ ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 9

3). ปล่อยให้มันเป็นเรื่องง่าย ดูเป็นธรรมชาติ จากนั้นบทแทรก 11 จะเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น - อนุญาต -- เกาส์เซียนแบบง่าย เพราะ แล้วตามด้วยบทแทรกแบบยุคลิดบน มีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวที่หารลงตัวได้ อนุญาต แล้วจะมีเลขเกาส์เซียน ดังนั้น - เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนจินตภาพ เราก็จะได้สิ่งนั้น - เพราะฉะนั้น, ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานเรื่องความเรียบง่ายของเรา - วิธี -- เกาส์เซียนคอมโพสิต ซึ่งแสดงเป็นผลคูณของเกาส์เซียนคอนจูเกตธรรมดาสองตัว

ซี.ที.ดี.

คำแถลง.

จำนวนเกาส์ที่ผันกับจำนวนเฉพาะก็คือจำนวนเฉพาะนั่นเอง

การพิสูจน์.

ให้มันเป็นจำนวนเกาส์เซียนเฉพาะ. ถ้าเราคิดว่ามันเป็นแบบประกอบนั่นคือ จากนั้นให้พิจารณาคอนจูเกต: นั่นคือนำเสนอในรูปแบบของผลคูณของปัจจัยสองประการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ซึ่งไม่สามารถเป็นได้

คำแถลง.

จำนวนเกาส์เซียนที่มีบรรทัดฐานเป็นจำนวนธรรมชาติเฉพาะคือจำนวนเฉพาะแบบเกาส์เซียน

การพิสูจน์.

ให้มันเป็นจำนวนประกอบแล้ว. ลองดูที่บรรทัดฐาน

นั่นคือ เราพบว่าบรรทัดฐานนั้นเป็นจำนวนประกอบ แต่ตามเงื่อนไขแล้ว มันเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้องและมีจำนวนเฉพาะ

คำแถลง.

ถ้าจำนวนธรรมชาติเฉพาะไม่ใช่จำนวนเฉพาะแบบเกาส์เซียน ก็สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองสองจำนวนได้

การพิสูจน์.

ให้จำนวนธรรมชาติเฉพาะไม่ใช่จำนวนเฉพาะแบบเกาส์เซียน แล้ว. เนื่องจากตัวเลขเท่ากัน บรรทัดฐานจึงเท่ากันเช่นกัน นั่นคือเราได้มาจากที่นี่

มีสองกรณีที่เป็นไปได้:

1). นั่นคือแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองสองอัน

2). คือหมายถึงตัวเลขที่ย้อนกลับได้ซึ่งไม่สามารถเป็นได้ซึ่งหมายความว่ากรณีนี้ไม่พอใจเรา

บทที่ 3 การใช้หมายเลข GAUSS

คำแถลง.

ผลคูณของตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมสองช่องก็สามารถแสดงเป็นผลรวมของช่องสองช่องได้เช่นกัน

การพิสูจน์.

ลองพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ด้วยสองวิธี โดยใช้ตัวเลขเกาส์เซียน และไม่ใช้ตัวเลขเกาส์เซียน

1. อนุญาต ตัวเลขธรรมชาติแทนผลรวมของสองกำลังสอง. แล้วและ. ลองพิจารณาผลคูณซึ่งแสดงอยู่ในรูปผลคูณของเลขเกาส์เซียนคอนจูเกตสองตัว ซึ่งแสดงเป็นผลรวมของเลขธรรมชาติกำลังสอง

2. ให้, . แล้ว

คำแถลง.

ถ้า ที่ไหน เป็นรูปแบบธรรมชาติที่เรียบง่าย แล้ว และ

การพิสูจน์.

เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าในกรณีนี้คือแบบเกาส์เซียนธรรมดา จากนั้น ตามบทแทรกของยุคลิด ปัจจัยหนึ่งที่หารด้วยลงตัว สมมุติว่าภายในบทแทรก 10 เรามีอันนั้นและ

มาอธิบายกันดีกว่า แบบฟอร์มทั่วไปจำนวนธรรมชาติที่แทนผลรวมของสองกำลังสองได้

ทฤษฎีบทคริสต์มาสของแฟร์มาต์หรือทฤษฎีบทของแฟร์มาต์--ออยเลอร์.

จำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นศูนย์สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองได้ก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดอยู่ในรูปแบบในการขยายตามรูปแบบบัญญัติ จะรวมอยู่ในองศาคู่ด้วย

การพิสูจน์.

โปรดทราบว่า 2 และจำนวนเฉพาะทั้งหมดของแบบฟอร์มสามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองสองอันได้ ปล่อยให้การสลายตัวตามบัญญัติของตัวเลขมีตัวประกอบเฉพาะของรูปแบบที่ปรากฏในระดับคี่ ให้เราใส่ตัวประกอบทั้งหมดที่สามารถแทนผลรวมของกำลังสองสองรูปในวงเล็บ จากนั้นเราจะเหลือตัวประกอบในรูปแบบ ซึ่งทั้งหมดอยู่ในยกกำลังแรก ให้เราแสดงว่าผลคูณของปัจจัยดังกล่าวไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของสองกำลังสองได้ อันที่จริง ถ้าเราสมมุติว่า เรามีตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งหรือต้องหาร แต่ถ้าตัวเลขเกาส์เซียนตัวใดตัวหนึ่งหารกัน ก็จะต้องหารอีกตัวด้วยเพื่อเป็นการผันกัน นั่นคือและ แต่ควรอยู่ในระดับที่สอง แต่ควรอยู่ในระดับแรก ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะใดๆ ในระดับแรกจำนวนเท่าใดจึงไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองได้ ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่เป็นความจริง และปัจจัยเฉพาะทั้งหมดของรูปแบบในการขยายจำนวนตามรูปแบบบัญญัติจะปรากฏเป็นเลขยกกำลังคู่

ภารกิจที่ 1

ลองดูการประยุกต์ใช้ทฤษฎีนี้โดยใช้ตัวอย่างการแก้สมการไดแฟนไทน์

แก้เป็นจำนวนเต็ม.

โปรดทราบว่าทางด้านขวามือสามารถแสดงเป็นผลคูณของเลขเกาส์เซียนคอนจูเกตได้

นั่นคือ. ปล่อยให้มันหารด้วยจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนบางจำนวน และให้สังยุคของมันหารด้วยจำนวนนั้นเอง ก็คือ. ถ้าเราพิจารณาผลต่างของจำนวนเกาส์เซียนเหล่านี้ ซึ่งต้องหารด้วย เราก็จะได้ว่าต้องหาร 4 แต่นั่นคือ มันเชื่อมกับ.

ตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดในการสลายตัวของจำนวนจะรวมอยู่ในกำลังของตัวคูณของสาม และตัวประกอบของรูปแบบนั้นอยู่ในกำลังของตัวคูณของ 6 เนื่องจากจำนวนเกาส์เซียนเฉพาะนั้นได้มาจากการสลายตัวไปเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียน 2 ดังนั้น จำนวนครั้งที่ปรากฏในการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนหนึ่งคือจำนวนครั้งที่ปรากฏในการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของตัวเลข โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่ามันหารด้วยก็ต่อเมื่อหารด้วยเท่านั้น แต่อยู่ร่วมกับ. นั่นคือจะกระจายเท่าๆ กัน ซึ่งหมายความว่าจะรวมไว้ในส่วนขยายของตัวเลขเหล่านี้ด้วยกำลังทวีคูณของสาม ปัจจัยเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขจะปรากฏเฉพาะในการขยายตัวเลขหรือตัวเลขเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในการสลายตัวเป็นตัวประกอบเกาส์เซียนอย่างง่ายของตัวเลข ตัวประกอบทั้งหมดจะปรากฏเป็นกำลังที่หารด้วยสามลงตัว ดังนั้นจำนวนจึงเป็นลูกบาศก์ ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้น จากตรงนี้ เราได้แล้วว่า นั่นคือ ต้องเป็นตัวหารของ 2. งั้น, หรือ. จากที่เราได้รับสี่ตัวเลือกที่ทำให้เราพึงพอใจ

1. , . เราจะพบสิ่งนั้นได้ที่ไหน, .

2. . จากที่นี่, .

3. . จากที่นี่, .

4. , . จากที่นี่, .

ภารกิจที่ 2

แก้เป็นจำนวนเต็ม.

ลองจินตนาการว่าด้านซ้ายเป็นผลคูณของเลขเกาส์เซียนสองตัว ให้เราแยกตัวเลขแต่ละตัวออกเป็นตัวประกอบเกาส์เซียนอย่างง่าย ในบรรดาสิ่งที่เรียบง่ายนั้นจะมีสิ่งที่อยู่ในส่วนขยายและ ให้เราจัดกลุ่มปัจจัยดังกล่าวทั้งหมดและแสดงถึงผลลัพธ์ที่ได้ จากนั้นจะมีเฉพาะปัจจัยที่ไม่อยู่ในการขยายตัวเท่านั้นที่จะยังคงอยู่ในการขยายตัว ตัวประกอบเกาส์เซียนเฉพาะทั้งหมดที่รวมอยู่ในการขยายตัวจะมีกำลังเท่ากัน สิ่งที่ไม่รวมอยู่ในนั้นจะปรากฏเฉพาะในหรือในเท่านั้น ดังนั้นจำนวนจึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ. เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราก็จะได้ว่า

ภารกิจที่ 3

จำนวนการแทนจำนวนธรรมชาติเป็นผลรวมของกำลังสองสองกำลังสอง

ปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหาในการแทนจำนวนธรรมชาติที่กำหนดในรูปของบรรทัดฐานของจำนวนเกาส์จำนวนหนึ่ง อนุญาต เป็นจำนวนเกาส์ที่มีบรรทัดฐานเท่ากับ มาแยกย่อยออกเป็นปัจจัยทางธรรมชาติง่ายๆ กัน

โดยที่ จำนวนเฉพาะของแบบฟอร์ม คือ จำนวนเฉพาะของแบบฟอร์ม จากนั้น เพื่อที่จะแทนผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปได้ จำเป็นที่ทุกรูปจะเป็นเลขคู่ ให้เราแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเกาส์เซียนอย่างง่ายแล้ว

โดยที่ตัวเลขเกาส์เซียนหลักๆ ที่จะขยายเข้าไปนั้นอยู่ที่ไหน

การเปรียบเทียบบรรทัดฐานกับตัวเลขจะนำไปสู่ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ซึ่งมีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับ:

จำนวนการดูนับจากจำนวนตัวเลือกทั้งหมดสำหรับการเลือกตัวบ่งชี้ สำหรับเลขยกกำลังนั้นมีโอกาส เนื่องจากตัวเลขสามารถแบ่งออกเป็นสองพจน์ที่ไม่เป็นลบได้ดังนี้:

สำหรับตัวบ่งชี้บางตัวจะมีตัวเลือกและอื่นๆ ด้วยการรวมค่าที่อนุญาตสำหรับตัวบ่งชี้เข้าด้วยกันด้วยวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเราได้รับค่าที่แตกต่างกันทั้งหมดสำหรับผลคูณของตัวเลขเกาส์เซียนอย่างง่ายโดยมีบรรทัดฐานของแบบฟอร์มหรือ 2 ตัวบ่งชี้จะถูกเลือกโดยไม่ซ้ำกัน ในที่สุด การกลับด้านสามารถให้ความหมายได้สี่ประการ: ดังนั้นสำหรับจำนวนหนึ่งจึงมีเพียงความเป็นไปได้เท่านั้น ดังนั้น ตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบของบรรทัดฐานของจำนวนเกาส์เซียน กล่าวคือ ในรูปแบบสามารถแสดงได้หลายวิธี

ในการคำนวณนี้ คำตอบของสมการทั้งหมดถือว่าแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาบางอย่างอาจมองว่าเป็นการนิยามผลรวมของสองกำลังสองที่เท่ากัน ดังนั้น หากเป็นคำตอบของสมการ ก็สามารถระบุคำตอบได้อีก 7 ข้อที่กำหนดการแทนตัวเลขที่เหมือนกันเป็นผลรวมของกำลังสองสองอัน:

แน่นอนว่าจากแปดวิธีแก้ปัญหาที่สอดคล้องกับการเป็นตัวแทนเพียงแบบเดียว มีเพียงสี่แบบที่แตกต่างกันเท่านั้นที่สามารถคงอยู่ได้ก็ต่อเมื่ออย่างใดอย่างหนึ่ง หรือเท่านั้น การแสดงที่คล้ายกันนี้เป็นไปได้หากมีกำลังสองสมบูรณ์หรือกำลังสองสมบูรณ์ และยิ่งไปกว่านั้น สามารถมีได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรดังต่อไปนี้:

หากไม่ทั้งหมดเท่ากันและ

หากทุกอย่างเท่ากัน

บทสรุป.

ในงานนี้ ได้มีการศึกษาทฤษฎีการหารลงตัวในวงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียน รวมถึงธรรมชาติของจำนวนไพรม์เกาส์เซียนด้วย ปัญหาเหล่านี้ได้รับการแก้ไขในสองบทแรก

บทที่สามกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ตัวเลขเกาส์ในการแก้ปัญหาคลาสสิกที่รู้จักกันดี เช่น

· คำถามเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการแทนจำนวนธรรมชาติเป็นผลรวมของกำลังสองสอง

· งานค้นหาจำนวนการแทนจำนวนธรรมชาติในรูปของผลรวมของสองกำลังสอง

· ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการพีทาโกรัสไม่แน่นอน

และการแก้สมการไดแฟนไทน์ด้วย

ฉันยังทราบด้วยว่างานเสร็จสมบูรณ์โดยไม่ต้องใช้วรรณกรรมเพิ่มเติม

เอกสารที่คล้ายกัน

คุณสมบัติการหารจำนวนเต็มลงตัวในพีชคณิต ลักษณะการหารด้วยเศษ คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ สัญญาณของการหารด้วยชุดตัวเลข แนวคิดและวิธีการคำนวณตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

การบรรยายเพิ่มเมื่อ 05/07/2013


ทบทวนสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเกาส์เซียน คำจำกัดความ โครงสร้างอินทิกรัล ตัวอย่างที่อธิบายการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเกาส์เซียนอย่างชัดเจน คุณสมบัติของการใช้อัลกอริธึมบางตัวที่ช่วยให้คุณติดตามความคืบหน้าของการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเกาส์

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 12/16/2558


การบวกและการคูณของจำนวนเต็ม p-adic หมายถึงการบวกทีละเทอมและการคูณลำดับ วงแหวนของจำนวนเต็ม p-adic ศึกษาคุณสมบัติของการหาร อธิบายตัวเลขที่กำหนดโดยแนะนำวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 22/06/2558


แนวคิดของเมทริกซ์ วิธีเกาส์ ประเภทของเมทริกซ์ วิธีแครเมอร์สำหรับการแก้ระบบเชิงเส้น การดำเนินการกับเมทริกซ์: การบวก การคูณ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบ การแปลงทางคณิตศาสตร์

การบรรยายเพิ่มเมื่อ 06/02/2551


กฎการอนุรักษ์จำนวนตัวเลขของอนุกรมร่วมในชุดตัวเลขธรรมชาติซึ่งเป็นหลักการป้อนกลับของตัวเลขในคณิตศาสตร์ โครงสร้างของอนุกรมตัวเลขตามธรรมชาติ คุณสมบัติไอโซมอร์ฟิกอนุกรมของเลขคู่และเลขคี่ ลักษณะแฟร็กทัลของการแจกแจงของจำนวนเฉพาะ

เอกสารเพิ่มเมื่อ 28/03/2555


Johann Carl Friedrich Gauss เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล สูตรการประมาณค่าแบบเกาส์เซียน ซึ่งให้นิพจน์โดยประมาณของฟังก์ชัน y=f(x) โดยใช้การประมาณค่า พื้นที่การประยุกต์ใช้สูตรเกาส์เซียน ข้อเสียเปรียบหลักของสูตรการประมาณค่าของนิวตัน

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 12/06/2014


อัลกอริทึมแบบยูคลิดแบบขยาย ใช้เพื่อค้นหาตัวหารร่วมมากของจำนวนธรรมชาติโดยการหารเศษ ปัญหาปฏิทินทางคณิตศาสตร์ วงแหวนแบบยุคลิด - อะนาล็อกของตัวเลขฟีโบนัชชีในวงแหวนของพหุนามคุณสมบัติของพวกมัน

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 25/09/2552


พลังวิฟเชนยาของจำนวนธรรมชาติ การคูณจำนวนอนันต์ของจำนวนเฉพาะ ตะแกรงเอราทอสเธเนส การตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต กฎซีมโทติคสำหรับการหารจำนวนเฉพาะ ลักษณะของอัลกอริธึมในการค้นหาจำนวนเฉพาะต่อช่วง

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 27/07/2558


คำนวณค่าของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง การกำหนดระยะห่างระหว่างจุดบนระนาบเชิงซ้อน การแก้สมการบนเซตของจำนวนเชิงซ้อน วิธีแครมเมอร์ เมทริกซ์ผกผัน และเกาส์

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 11/12/2555


พื้นฐานทางทฤษฎีจำนวนสำหรับการสร้าง RNS ทฤษฎีบทเรื่องการหารด้วยเศษ อัลกอริธึมของยุคลิด ทฤษฎีบทเศษของจีนและบทบาทของทฤษฎีบทนี้ในการแทนตัวเลขใน RNS แบบจำลองการนำเสนอแบบโมดูลาร์และการประมวลผลข้อมูลแบบขนาน การดำเนินงานแบบโมดูลาร์

คำนิยาม:

ผลรวมและผลคูณของจำนวนเต็ม p-adic ที่กำหนดโดยลำดับ และเรียกว่า จำนวนเต็ม p-adic ที่กำหนดตามลำดับโดยลำดับ และ

เพื่อให้แน่ใจในความถูกต้องของคำจำกัดความนี้ เราต้องพิสูจน์ว่าลำดับต่างๆ กำหนดจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง - ตัวเลขเอดิก และตัวเลขเหล่านี้ขึ้นอยู่กับลำดับที่กำหนดเท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกของลำดับที่กำหนด คุณสมบัติทั้งสองนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการตรวจสอบที่ชัดเจน

เห็นได้ชัดว่าด้วยคำจำกัดความของการดำเนินการกับจำนวนเต็มเอดิก พวกมันจะก่อตัวเป็นวงแหวนสื่อสารที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มตรรกยะเป็นวงแหวนย่อย

การหารจำนวนเต็ม - เลขอาดิกถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับวงแหวนอื่น: หากมีจำนวนเต็ม - เลขเอดิกเช่นนั้น

เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการหาร สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าจำนวนเต็มเหล่านั้นคืออะไร - เลขเอดิกซึ่งมีจำนวนเต็มผกผัน - เลขเอดิก จำนวนดังกล่าวเรียกว่าตัวประกอบหน่วยหรือหน่วย เราจะเรียกพวกมันว่าหน่วยเอดิค

ทฤษฎีบท 1:

จำนวนเต็มคือตัวเลข adic ที่กำหนดโดยลำดับก็ต่อเมื่อเป็นหน่วยเมื่อใด

การพิสูจน์:

ให้เป็นหนึ่ง แล้วจะมีจำนวนเต็มอยู่ - เลขอาดิกเช่นนั้น หากกำหนดโดยลำดับ เงื่อนไขจะหมายถึงสิ่งนั้น โดยเฉพาะและด้วยเหตุนั้น ในทางกลับกัน ให้เป็นไปตามเงื่อนไขว่าอย่างนั้นอย่างง่ายดาย ดังนั้น สำหรับใครก็ตาม ย่อมไม่มีใครพบว่าการเปรียบเทียบนั้นถูกต้อง ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ซึ่งหมายความว่าลำดับจะกำหนดจำนวนเต็ม - ตัวเลข adic การเปรียบเทียบแสดงให้เห็นว่า ซึ่งเป็นหน่วย

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว จะเป็นไปตามว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ โดยถือเป็นองค์ประกอบของวงแหวนหากเป็นหน่วยเมื่อใด หากตรงตามเงื่อนไขนี้แสดงว่ามีอยู่ใน ตามมาว่าจำนวนเต็มตรรกยะใดๆ b หารด้วย in ดังกล่าวได้ นั่นคือ จำนวนตรรกยะใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ b/a โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และอยู่ในจำนวนตรรกยะของรูปแบบนี้ เรียกว่า -จำนวนเต็ม พวกมันก่อตัวเป็นวงแหวนที่ชัดเจน ผลลัพธ์ของเราสามารถกำหนดได้ดังนี้:

ผลที่ตามมา:

วงแหวนของจำนวนเต็มเอดิกจะมีวงแหวนย่อยที่มีลักษณะสมมาตรกับวงแหวนของจำนวนเต็มตรรกยะ

เลขเศษส่วน p-adic

คำนิยาม:

เศษส่วนของรูปแบบ k >= 0 กำหนดจำนวน p-adic ที่เป็นเศษส่วนหรือเพียงจำนวน p-adic เศษส่วนสองจำนวน และให้นิยามจำนวน p-adic ที่เหมือนกันถ้า c

การรวบรวมตัวเลข p-adic ทั้งหมดเขียนแทนด้วย p เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการดำเนินการของการบวกและการคูณดำเนินต่อไปจาก p ถึง p และเปลี่ยน p ลงในช่อง

2.9. ทฤษฎีบท. จำนวน p-adic ทุกตัวสามารถแสดงได้ไม่ซ้ำกันในแบบฟอร์ม

โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและเป็นหน่วยของวงแหวน p

2.10. ทฤษฎีบท. จำนวน p-adic ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันในแบบฟอร์ม

คุณสมบัติ:ฟิลด์ของจำนวน p-adic ประกอบด้วยฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่าจำนวนเต็ม p-adic ใดๆ ที่ไม่ใช่ผลคูณของ p นั้นสามารถแปลงกลับได้ในวงแหวน p และผลคูณของ p เขียนในรูปแบบเฉพาะ โดยที่ x ไม่ใช่ผลคูณของ p และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแปลงกลับได้ a . ดังนั้น องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ของสนาม p สามารถเขียนได้ในรูปแบบโดยที่ x ไม่ใช่ผลคูณของ p และ m เป็นค่าใดก็ได้ ถ้า m เป็นลบ ดังนั้น ตามการแทนจำนวนเต็ม p-adic เป็นลำดับของหลักในระบบจำนวน p-ary เราสามารถเขียนจำนวน p-adic นั้นเป็นลำดับได้ กล่าวคือ เขียนแทนอย่างเป็นทางการเป็น เศษส่วน p-ary ที่มีจำนวนหลักจำกัดหลังจุดทศนิยม และอาจเป็นจำนวนอนันต์ของหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ก่อนจุดทศนิยม การหารตัวเลขดังกล่าวสามารถทำได้คล้ายกับกฎ "โรงเรียน" แต่เริ่มจากตัวเลขล่างแทนที่จะเป็นตัวเลขสูงสุด

จากหลักสูตรการเขียนโปรแกรม เรารู้ว่าสามารถแสดงจำนวนเต็มในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ได้หลายวิธี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแสดงนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการอธิบาย: เป็นค่าประเภทจำนวนเต็ม หรือจำนวนจริง หรือสตริง ยิ่งไปกว่านั้น ในภาษาการเขียนโปรแกรมส่วนใหญ่ จำนวนเต็มเข้าใจว่าเป็นตัวเลขจากช่วงที่จำกัดมาก กรณีทั่วไปคือตั้งแต่ -2 15 = -32768 ถึง 2 15 - 1 = 32767 ระบบ พีชคณิตคอมพิวเตอร์จัดการกับจำนวนเต็มขนาดใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระบบใดๆ ก็ตามสามารถคำนวณและแสดงตัวเลขในรูปแบบ 1,000 ในรูปแบบทศนิยมได้! (มากกว่าหนึ่งพันตัวอักษร)

ในหลักสูตรนี้ เราจะพิจารณาการแสดงจำนวนเต็มในรูปแบบสัญลักษณ์ และจะไม่ลงรายละเอียดเกี่ยวกับจำนวนหน่วยความจำที่จัดสรรไว้สำหรับการบันทึกอักขระตัวหนึ่ง (บิต ไบต์ หรืออื่นๆ) วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการแสดงจำนวนเต็ม ระบบตัวเลขตำแหน่ง- ระบบดังกล่าวถูกกำหนดโดยการเลือกฐานตัวเลข เช่น 10 ชุดของจำนวนเต็มทศนิยมมักจะอธิบายได้ดังนี้:

คำจำกัดความที่เป็นลายลักษณ์อักษรของจำนวนเต็มให้การแสดงจำนวนแต่ละจำนวนอย่างชัดเจน และคำจำกัดความที่คล้ายกัน (อาจใช้พื้นฐานต่างกันเท่านั้น) ถูกนำมาใช้ในระบบส่วนใหญ่ พีชคณิตคอมพิวเตอร์- การใช้การแทนค่านี้จะสะดวกในการนำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไปใช้กับจำนวนเต็ม นอกจากนี้ การบวกและการลบเป็นการดำเนินการที่ค่อนข้าง "ถูก" ในขณะที่การคูณและการหารมี "ราคาแพง" เมื่อประเมินความซับซ้อนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เราควรพิจารณาทั้งต้นทุนของการดำเนินการเบื้องต้น (หลักเดียว) และจำนวนการดำเนินการหลักเดียวในการดำเนินการใดๆ กับตัวเลขหลายหลัก ความซับซ้อนของการคูณและการหารนั้นเกิดจากความจริงที่ว่าเมื่อความยาวของตัวเลขเพิ่มขึ้น (การบันทึกในระบบตัวเลขใด ๆ ) จำนวนการดำเนินการเบื้องต้นจะเพิ่มขึ้นตามกฎกำลังสองตรงกันข้ามกับเส้นตรง กฎหมายสำหรับการบวกและการลบ นอกจากนี้ สิ่งที่เรามักเรียกว่าอัลกอริทึมสำหรับการหารตัวเลขหลายหลักนั้น จริงๆ แล้วขึ้นอยู่กับการค้นหา (ซึ่งมักจะค่อนข้างสำคัญ) ของเลขหลักถัดไปที่เป็นไปได้ของผลหาร และการใช้กฎสำหรับการหารเลขหลักเดียวเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ ตัวเลข หากฐานของระบบตัวเลขมีขนาดใหญ่ (มักจะอยู่ในลำดับ 2 30) วิธีนี้ก็ใช้ไม่ได้ผล

อนุญาต เป็นจำนวนธรรมชาติ (เขียนในระบบทศนิยม). เพื่อให้ได้บันทึกของเขา ในระบบตัวเลข -ary คุณสามารถใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้ (หมายถึงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข):

ที่ให้ไว้: A-จำนวนธรรมชาติในระบบเลขฐานสิบ k > 1-จำนวนธรรมชาติ จำเป็น: การบันทึก A ของตัวเลข A ในระบบเลข k-ary เริ่มต้น i:= 0 วนจนกระทั่ง A > 0 bi:= A (mod k) A:= i: = i + 1 สิ้นสุดรอบ dA:= i - 1 สิ้นสุด

ในการคืนค่าเลขฐานสิบจากลำดับของสัญกรณ์ k-ary จะใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

ให้ไว้: k > 1- ลำดับตัวเลขธรรมชาติของหลักที่แทนตัวเลข A ในระบบ k-ary ที่ต้องการ: การบันทึก A ของตัวเลข A ในระบบเลขฐานสิบ เริ่มต้น A:= 0 วนจนกระทั่งสิ้นสุดลำดับ b:= องค์ประกอบถัดไปของลำดับ A:= A * k + b สิ้นสุดของลูป สิ้นสุด

1.2. ออกกำลังกาย. อธิบายว่าเหตุใดจึงใช้การหารเพื่อแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบเคอารี และการคูณใช้ในการแปลงจากระบบเคอารีเป็นระบบทศนิยม

โดยการคูณด้วย "คอลัมน์" ตัวเลขสองหลักสองตัวในระบบเลขฐานสิบเราจะดำเนินการต่อไปนี้:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(โฆษณา + bc) + bd,

นั่นคือ การดำเนินการ 4 รายการของการคูณตัวเลขหลักเดียว การดำเนินการบวก 3 รายการ และการคูณด้วยกำลังของฐาน 2 ครั้ง ซึ่งลดลงเป็นกะ เมื่อประเมินความซับซ้อน คุณสามารถคำนึงถึงการดำเนินการเบื้องต้นทั้งหมดโดยไม่ต้องหารด้วยน้ำหนัก (ในตัวอย่างนี้ เรามีการดำเนินการเบื้องต้น 9 รายการ) ด้วยวิธีนี้ ปัญหาในการเพิ่มประสิทธิภาพอัลกอริทึมจะลดลงเหลือเพียงการลดจำนวนการดำเนินการเบื้องต้นทั้งหมดให้เหลือน้อยที่สุด อย่างไรก็ตาม อาจถือได้ว่าการคูณเป็นการดำเนินการที่ "แพง" มากกว่าการบวก ซึ่งในทางกลับกันก็ "แพงกว่า" มากกว่ากะ เมื่อพิจารณาเฉพาะการดำเนินการที่แพงที่สุดเท่านั้น เราก็เข้าใจได้ การคูณความยากของการคูณตัวเลขสองหลักในคอลัมน์เดียวคือ 4

ส่วนที่ 5 กล่าวถึงอัลกอริทึมในการคำนวณตัวหารร่วมที่มากที่สุดและประเมินความซับซ้อน

การเป็นตัวแทนที่พิจารณาไม่ได้เป็นเพียงการแสดงจำนวนเต็มตามรูปแบบบัญญัติเท่านั้น ตามที่ระบุไว้แล้ว ในการเลือกการแทนตามรูปแบบบัญญัติ คุณสามารถใช้ลักษณะเฉพาะของการสลายตัวของจำนวนธรรมชาติให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้ การแทนจำนวนเต็มนี้สามารถนำไปใช้ในงานเหล่านั้นที่ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณและการหารเท่านั้น เนื่องจากมี "ราคาถูก" มาก แต่ค่าใช้จ่ายในการบวกและการลบเพิ่มขึ้นอย่างไม่เป็นสัดส่วน ซึ่งทำให้ไม่สามารถใช้การแทนดังกล่าวได้ ในปัญหาบางอย่าง การละทิ้งการแสดงแบบบัญญัติจะทำให้ประสิทธิภาพเพิ่มขึ้นอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถใช้การแยกตัวประกอบตัวเลขบางส่วนได้ วิธีการที่คล้ายกันนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อไม่ได้ทำงานกับตัวเลข แต่ใช้กับพหุนาม

หากทราบว่าในระหว่างการทำงานของโปรแกรม จำนวนเต็มทั้งหมดที่พบในการคำนวณจะถูกจำกัดด้วยค่าสัมบูรณ์ด้วยค่าคงที่ที่กำหนด ดังนั้นเพื่อกำหนดจำนวนดังกล่าว เราสามารถใช้ระบบของสารตกค้างแบบโมดูโลจำนวนโคไพรม์บางตัว ซึ่งผลคูณของค่าที่เกินกว่านั้น ค่าคงที่ดังกล่าว โดยทั่วไปการคำนวณด้วยคลาสเรซิดิวจะเร็วกว่าการคำนวณแบบพหุคูณ และด้วยวิธีนี้ ควรใช้เลขคณิตที่มีความแม่นยำสูงเฉพาะเมื่อป้อนหรือส่งออกข้อมูลเท่านั้น

โปรดทราบว่า พร้อมด้วยการแสดงแบบบัญญัติในระบบ พีชคณิตคอมพิวเตอร์ยังใช้คำแทนอื่นๆ อีกด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นที่พึงประสงค์ว่าการมีหรือไม่มีเครื่องหมาย "+" หน้าจำนวนเต็มจะไม่ส่งผลต่อการรับรู้ของคอมพิวเตอร์ ดังนั้น สำหรับจำนวนบวก จะได้การเป็นตัวแทนที่ไม่ชัดเจน แม้ว่าจะกำหนดรูปแบบของจำนวนลบโดยเฉพาะก็ตาม

ข้อกำหนดอีกประการหนึ่งคือการรับรู้ตัวเลขไม่ควรได้รับผลกระทบจากการมีศูนย์ก่อนเลขนัยสำคัญตัวแรก

1.3. การออกกำลังกาย.

1. ประมาณจำนวนการคูณหลักเดียวที่ใช้เมื่อคูณตัวเลข m หลักด้วยคอลัมน์ n หลัก
2. แสดงว่าตัวเลขสองหลักสองตัวสามารถคูณได้โดยใช้การคูณเลขหลักเดียวเพียง 3 หลักและเพิ่มจำนวนการบวก
3. ค้นหาอัลกอริธึมสำหรับการหารจำนวนยาวที่ไม่ต้องใช้การค้นหามากนักเมื่อค้นหาหลักแรกของผลหาร
4. อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแปลงจำนวนธรรมชาติจากระบบจำนวน m-ary ไปเป็นระบบจำนวน n-ary
5. ใน เลขโรมันสัญลักษณ์ต่อไปนี้ใช้ในการเขียนตัวเลข: I - หนึ่ง, V - ห้า, X - สิบ, L - ห้าสิบ, C - หนึ่งร้อย, D - ห้าร้อย, M - พัน สัญลักษณ์จะถือเป็นลบหากมีสัญลักษณ์ที่มีจำนวนมากกว่าทางด้านขวาของสัญลักษณ์นั้น และมิฉะนั้นจะถือว่าเป็นค่าบวก ตัวอย่างเช่น หมายเลข 1948 ในระบบนี้จะถูกเขียนดังนี้: MCMXLVIII กำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากโรมันเป็นทศนิยมและกลับ ใช้อัลกอริทึมผลลัพธ์ในภาษาอัลกอริทึมภาษาใดภาษาหนึ่ง (เช่น C) ข้อจำกัดเกี่ยวกับแหล่งข้อมูล: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. กำหนดอัลกอริทึมและเขียนโปรแกรมสำหรับการบวกจำนวนธรรมชาติในการเลขโรมัน
7. เราจะบอกว่าเรากำลังจัดการกับระบบตัวเลขด้วย พื้นฐานผสมหรือเวกเตอร์ถ้าเราได้รับเวกเตอร์ของจำนวนธรรมชาติ n M = (m 1 , . . . , m n) (รัศมี) และสัญลักษณ์ K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) หมายถึงตัวเลข k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n)...))- เขียนโปรแกรมโดยอาศัยข้อมูล (วันในสัปดาห์ ชั่วโมง นาที วินาที) กำหนดจำนวนวินาทีที่ผ่านไปนับตั้งแต่ต้นสัปดาห์ (วันจันทร์ 0, 0, 0) = 0และดำเนินการแปลงกลับ