В различни клонове на математиката, както и в приложението на математиката в технологиите, често възниква ситуация, когато алгебричните операции се извършват не върху числа, а върху обекти от различно естество. Например събиране на матрици, умножение на матрици, събиране на вектори, операции върху полиноми, операции върху линейни трансформации и др.

Определение 1. Пръстенът е набор от математически обекти, в които са дефинирани две действия - „събиране“ и „умножение“, които свързват подредени двойки елементи с техните „сума“ и „продукт“, които са елементи от едно и също множество. Тези действия отговарят на следните изисквания:

1.a+b=b+a(комутативност на събирането).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(асоциативност на добавянето).

3. Има нулев елемент 0 такъв, че а+0=а, за всякакви а.

4. За всеки аима противоположен елемент − атакова, че а+(−а)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(лява дистрибутивност).

5".c(a+b)=ca+cb(дясна дистрибутивност).

Изисквания 2, 3, 4 означават, че множеството от математически обекти образува група, а заедно с точка 1 имаме работа с комутативна (абелева) група по отношение на събирането.

Видно от определението, в обща дефиницияпръстени, не се налагат ограничения върху умноженията, различни от дистрибутивността със събиране. Въпреки това, в различни ситуации става необходимо да се вземат предвид пръстени с допълнителни изисквания.

6. (ab)c=a(bc)(асоциативност на умножението).

7.ab=ba(комутативност на умножението).

8. Съществуването на единичен елемент 1, т.е. такива а·1=1· а=а, за всеки елемент а.

9. За всеки артикул елемент аима обратен елемент а−1 така че аа −1 =а −1 а= 1.

В различни пръстени 6, 7, 8, 9 могат да се изпълняват поотделно или в различни комбинации.

Пръстенът се нарича асоциативен, ако е изпълнено условие 6, комутативен, ако е изпълнено условие 7, комутативен и асоциативен, ако са изпълнени условия 6 и 7. Пръстенът се нарича пръстен с идентичност, ако е изпълнено условие 8.

Примери за пръстени:

1. Набор от квадратни матрици.

Наистина ли. Изпълнението на точки 1-5, 5" е очевидно. Нулевият елемент е нулевата матрица. В допълнение, точка 6 (асоциативност на умножението), точка 8 е изпълнена (единичният елемент е единичната матрица). Точки 7 и 9 не са изпълнени, тъй като в общия случай умножението на квадратни матрици е некомутативно, а също и обратното на квадратна матрица не винаги съществува.

2. Множеството от всички комплексни числа.

3. Много от всички реални числа.

4. Множеството от всички рационални числа.

5. Множеството от всички цели числа.

Определение 2. Всяка система от числа, съдържаща сбора, разликата и произведението на произволни две нейни числа, се нарича пръстен с числа.

Примери 2-5 са числови пръстени. Числови пръстени са също всички четни числа, както и всички цели числа, които се делят без остатък на някакво естествено число n. Имайте предвид, че наборът от нечетни числа не е пръстен, защото сумата от две нечетни числа е четно число.

От курс по програмиране знаем, че едно цяло число може да бъде представено в компютърната памет по различни начини, по-специално това представяне зависи от това как е описано: като стойност от тип integer, или real, или string. Освен това в повечето езици за програмиране целите числа се разбират като числа от много ограничен диапазон: типичен случай е от -2 15 = -32768 до 2 15 - 1 = 32767. системи компютърна алгебраработа с големи цели числа, по-специално, всяка такава система може да изчислява и показва числа от формата 1000 в десетична система! (повече от хиляда знака).

В този курс ще разгледаме представянето на цели числа в символна форма и няма да навлизаме в подробности за това каква памет е разпределена за запис на един знак (бит, байт или друг). Най-често срещаното е да се представят цели числа в позиционни бройни системи. Такава система се определя от избора на числова основа, например 10. Наборът от цели десетични числа обикновено се описва по следния начин:

Писмената дефиниция на цели числа дава недвусмислено представяне на всяко такова число и подобна дефиниция (само, може би с различна основа) се използва в повечето системи компютърна алгебра. С помощта на това представяне е удобно да се изпълняват аритметични операции с цели числа. Освен това събирането и изваждането са сравнително „евтини“ операции, докато умножението и делението са „скъпи“. При оценката на сложността на аритметичните операции трябва да се вземе предвид както цената на елементарна операция (едноцифрена), така и броят на едноцифрените операции за извършване на всяка операция с многоцифрени числа. Сложността на умножението и делението се дължи преди всичко на факта, че с увеличаване на дължината на числото (записването му във всяка бройна система) броят на елементарните операции се увеличава по квадратичен закон, за разлика от линейния закон за събиране и изваждане. В допълнение, това, което обикновено наричаме алгоритъм за деление на многоцифрени числа, всъщност се основава на търсене (често доста значимо) на възможната следваща цифра от частното и не е достатъчно просто да се използват правилата за деление на едноцифрени числа числа. Ако основата на бройната система е голяма (често може да бъде от порядъка на 2 30), този метод е неефективен.

Нека е естествено число (записано в десетичната система). За да вземе рекорда му в числовата система -ary можете да използвате следния алгоритъм (означава цялата част от числото):

Дадено: A-естествено число в десетичната бройна система k > 1-естествено число Необходимо е: A-запис на числото A в k-ичната бройна система Стартирайте i:= 0 цикъл, докато A > 0 bi:= A (mod k ) A:= i:= i + 1 край на цикъл dA:= i - 1 край

За възстановяване на десетично число от последователността на неговата k-арна нотация се използва следният алгоритъм:

Дадено е: k > 1-естествена числова последователност от цифри, представляващи числото A в k-арната система Необходимо е: A-запис на числото A в десетичната бройна система Започнете A:= 0 цикъл до края на редицата b:= следващ елемент от последователността A:= A * k + b край на цикъл Край

1.2. УПРАЖНЕНИЕ. Обяснете защо деленето се използва за преобразуване на число от десетичната система в k-арната система, а умножението се използва за преобразуване от k-арната система в десетичната система.

Умножавайки с „колона” две двуцифрени числа в десетичната бройна система, извършваме следните операции:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

т.е. 4 операции на умножение на едноцифрени числа, 3 операции на събиране и 2 операции на умножение на степен на основата, които се свеждат до смяна. Когато оценявате сложността, можете да вземете предвид всички елементарни операции, без да ги разделяте по тегла (в този пример имаме 9 елементарни операции). С този подход проблемът за оптимизиране на алгоритъма се свежда до минимизиране на общия брой елементарни операции. Може обаче да се счита, че умножението е по-„скъпа“ операция от събирането, което от своя страна е „по-скъпо“ от преместването. Имайки предвид само най-скъпите операции, получаваме това мултипликативенТрудността при умножаване на двуцифрени числа в колона е 4.

В раздел 5 се обсъждат алгоритми за изчисляване на най-големите общи делители и се оценява тяхната сложност.

Разглежданото представяне не е единственото канонично представяне на цели числа. Както вече беше отбелязано, за да изберете канонично представяне, можете да използвате уникалността на разлагането на естествено число на прости множители. Това представяне на цяло число може да се използва в онези задачи, където се използват само операции за умножение и деление, тъй като те стават много „евтини“, но цената на операциите за добавяне и изваждане се увеличава непропорционално, което предотвратява използването на такова представяне. При някои проблеми изоставянето на каноничното представяне дава значителна печалба в производителността; по-специално може да се използва частична факторизация на число. Подобен метод е особено полезен, когато работите не с числа, а с полиноми.

Ако е известно, че по време на работата на програмата всички цели числа, срещани при изчисленията, са ограничени по абсолютна стойност от дадена константа, тогава за дефиниране на такива числа може да се използва тяхната система от остатъци по модул на някои взаимно прости числа, чийто продукт надвишава споменатата константа. Изчисленията с класове на остатъци обикновено са по-бързи от аритметиката с множествена точност. И при този подход аритметиката с множествена точност трябва да се използва само при въвеждане или извеждане на информация.

Имайте предвид, че заедно с каноничните представяния в системите компютърна алгебраИзползват се и други изображения. По-специално, желателно е наличието или отсъствието на знак „+“ пред цяло число да не влияе върху възприемането му от компютъра. Така за положителните числа се получава двусмислено представяне, въпреки че формата на отрицателните числа е еднозначно определена.

Друго изискване е възприемането на числото да не се влияе от наличието на нули преди първата значима цифра.

1.3. УПРАЖНЕНИЯ.

1. Изчислете броя на едноцифрените умножения, използвани при умножаване на m-цифрено число по n-цифрена колона.
2. Покажете, че две двуцифрени числа могат да бъдат умножени само с 3 едноцифрени умножения и увеличаване на броя на събиранията.
3. Намерете алгоритъм за деление на дълги числа, който не изисква много търсене при намиране на първата цифра от частното.
4. Опишете алгоритъма за превод естествени числаот m-арна бройна система към n-арна бройна система.
5. IN Римска номерацияЗа записване на числа се използват следните символи: I - едно, V - пет, X - десет, L - петдесет, C - сто, D - петстотин, M - хиляда. Символът се счита за отрицателен, ако има символ на по-голямо число вдясно от него, и за положителен в противен случай. Например числото 1948 в тази система ще бъде написано така: MCMXLVIII. Формулирайте алгоритъм за преобразуване на число от римски в десетичен и обратно. Приложете получения алгоритъм на един от алгоритмичните езици (например C). Ограничения на изходните данни: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Формулирайте алгоритъм и напишете програма за събиране на естествени числа с римска номерация.
7. Ще кажем, че имаме работа с бройна система с смесена или векторна основа, ако ни е даден вектор от n естествени числа M = (m 1 , . . . , m n) (основание) и записът K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) означава числото k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n)...)). Напишете програма, която на база данни (ден от седмицата, часове, минути, секунди) определя колко секунди са изминали от началото на седмицата (понеделник, 0, 0, 0) = 0, и извършва обратната трансформация.

Примери

a + b i (\displaystyle a+bi)Където a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)рационални числа, i (\displaystyle i)- въображаема единица. Такива изрази могат да се събират и умножават според обичайните правила за операции с комплексни числа и всеки ненулев елемент има обратен, както се вижда от равенството (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.)От това следва, че рационалните гаусови числа образуват поле, което е двумерно пространство над (т.е. квадратично поле).

• По-общо, за всяко цяло число без квадрат d (\displaystyle d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d))))ще бъде разширение на квадратично поле Q (\displaystyle \mathbb (Q) ).
• Кръгово поле Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n)))получен чрез добавяне към Q (\displaystyle \mathbb (Q) )примитивен корен н-та сила на единството. Полето трябва да съдържа всички свои мощности (тоест всички корени нта сила на единството), нейното измерение приключи Q (\displaystyle \mathbb (Q) )е равно на функцията на Ойлер φ (n) (\displaystyle \varphi (n)).
• Реалните и комплексните числа имат безкрайна власт над рационалните числа, така че не са числови полета. Това следва от неизброимостта: всяко числово поле е изброимо.
• Поле на всички алгебрични числа A (\displaystyle \mathbb (A) )не е числово. Въпреки че разширението A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) )алгебрична, тя не е крайна.

Цифрово поле целочислен пръстен

Тъй като числовото поле е алгебрично разширение на полето Q (\displaystyle \mathbb (Q) ), всеки от неговите елементи е корен на някакъв полином с рационални коефициенти (т.е. той е алгебричен). Освен това всеки елемент е корен на полином с цели коефициенти, тъй като всички рационални коефициенти могат да бъдат умножени по произведението на знаменателите. Ако този елемент е корен на някакъв унитарен полином с цели коефициенти, той се нарича цяло число (или алгебрично цяло число). Не всички елементи на числово поле са цели числа: например лесно е да се покаже, че единствените елементи са цели числа Q (\displaystyle \mathbb (Q) )са обикновени цели числа.

Може да се докаже, че сумата и произведението на две алгебрични цели числа отново е алгебрично цяло число, така че целочислените елементи образуват подпръстен на числовото поле K (\displaystyle K), Наречен пръстен от цялполета K (\displaystyle K)и се обозначава с . Полето не съдържа делители на нула и това свойство се наследява при преминаване към подпръстен, така че пръстенът от цели числа е интегрален; частно пръстеновидно поле O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- това е самото поле K (\displaystyle K). Пръстенът от цели числа на произволно числово поле има следните три свойства: той е интегрално затворен, Ньотер и едномерен. Комутативен пръстен с такива свойства се нарича пръстен на Дедекинд, на името на Ричард Дедекинд.

Декомпозиция на праймера и класова група

В произволен пръстен на Дедекинд има уникално разлагане на ненулеви идеали в произведение на прости числа. Въпреки това, не всеки пръстен от цели числа удовлетворява свойството факториалност: вече за пръстена от цели числа на квадратично поле O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))])разлагането не е уникално:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

Чрез въвеждане на норма на този пръстен можем да покажем, че тези разширения наистина са различни, тоест едното не може да бъде получено от другото чрез умножаване по обратим елемент.

Степента на нарушение на свойството факториалност се измерва с помощта на групата от идеални класове; тази група за пръстен от цели числа е винаги крайна и нейният ред се нарича брой класове.

Числови полеви бази

Цяла основа

Цяла основачислово поле Естепени н- това е много

б = {b 1 , …, b n}

от нелементи на пръстена от целочислени полета Е, така че всеки елемент от пръстена от цели числа НАполета ЕЕдинственият начин да го напиша е като З-линейна комбинация от елементи б; тоест за всеки хот НАима само едно разлагане

х = м 1 b 1 + … + m n b n,

Където m i- обикновени цели числа. В този случай всеки елемент Еможе да се напише като

м 1 b 1 + … + m n b n,

Където m i- рационални числа. След това са цели елементи Есе отличават със свойството, че това са точно онези елементи, за които всичко m iцяло.

Използвайки инструменти като локализация и ендоморфизъм на Фробениус, човек може да конструира такава основа за всяко числово поле. Конструкцията му е вградена функция в много системи за компютърна алгебра.

Силова основа

Позволявам Е- числово поле за степен н. Сред всички възможни бази Е(Как Q-векторно пространство), има мощностни бази, тоест основи на формата

Bx = {1, х, х 2 , …, х н−1 }

за някои х ∈ Е. Според теоремата за примитивните елементи, такива хвинаги съществува, нарича се примитивен елементтова разширение.

Норма и следа

Алгебричното числово поле е крайномерно векторно пространство над Q (\displaystyle \mathbb (Q) )(означаваме неговото измерение като n (\displaystyle n)), а умножението по произволен полеви елемент е линейна трансформация на това пространство. Позволявам e 1 , e 2 , … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- някаква основа Е, след това трансформацията x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x)съответства на матрицата A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), определени от условието

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j, a i j ∈ Q. (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

Елементите на тази матрица зависят от избора на основа, но всички инварианти на матрицата, като детерминанта и следа, не зависят от нея. В контекста на алгебричните разширения се нарича детерминантата на матрицата за умножение на елемента нормататози елемент (обозначен N (x) (\displaystyle N(x))); матрична следа - следващ елемент(означено Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

Следата на елемент е линеен функционал върху Е:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (y))И Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Нормата е мултипликативна и хомогенна функция:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y))И N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Можете да изберете целочислена основа като начална база; умножението по цяло число (т.е. по елемент от пръстена от цели числа) в тази основа ще съответства на матрица с цели числа. Следователно следата и нормата на всеки елемент от пръстена от цели числа са цели числа.

Пример за използване на норма

Позволявам d (\displaystyle d)- - цяло число, тъй като е коренът на редуцирания полином x 2 − d (\displaystyle x^(2)-d)). В тази основа умножението по a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d)))съответства на матрицата

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

следователно N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). На елементите на пръстена тази норма приема цели числа. Нормата е хомоморфизъм на мултипликативната група Z [ d ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))])на мултипликативна група Z (\displaystyle \mathbb (Z) ), следователно нормата на обратимите елементи на пръстена може да бъде равна само на 1 (\displaystyle 1)или − 1 (\displaystyle -1). За решаване на уравнението на Пел a 2 − d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1), достатъчно е да се намерят всички обратими елементи на пръстена от цели числа (наричан още пръстеновидни единици) и идентифицирайте сред тях тези с норма 1 (\displaystyle 1). Според теоремата за единство на Дирихле всички обратими елементи на даден пръстен са степени на един елемент (до умножение по − 1 (\displaystyle -1)), следователно, за да намерите всички решения на уравнението на Пел, е достатъчно да намерите едно фундаментално решение.

Вижте също

Литература

• Х. Кох.Алгебрична теория на числата. - М.: ВИНИТИ, 1990. - Т. 62. - 301 с. - (Резултати от науката и технологиите. Серия “Съвременни проблеми на математиката. Фундаментални направления.”).
• Чеботарев Н.Г.Основи на теорията на Галоа. Част 2. - М.: Редакция URSS, 2004.
• Уейл Г.Алгебрична теория на числата. пер. от английски - М.: Едиториал УРСС, 2011.
• Серж Ланг, Алгебрична теория на числата, второ издание, Springer, 2000 г

Пръстен, в който е въведено съотношението „да бъде по-голямо от нула“ (означено с a > 0), се нарича разположен пръстен, ако за всеки елемент от този пръстен са изпълнени две условия:

1) едно и само едно от условията е вярно

a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

Множество, в което е въведено някакво отношение на ред - нестриктно (рефлексивно, антисиметрично и транзитивно) или строго (антирефлексивно и транзитивно) се нарича поръчан. Ако законът за трихотомията е изпълнен, тогава наборът се нарича линеенпоръчан. Ако разглеждаме не произволно множество, а някаква алгебрична система, например пръстен или поле, тогава за подреждането на такава система въвеждаме и изисквания за монотонност по отношение на въведените в тази система операции (алгебрична структура). Така подреден пръстен/полее ненулев пръстен/поле, в което е въведена връзка на линейния ред (a > b), която отговаря на две условия:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => a c > b c;

Теорема 1.Всеки разположен пръстен е подредена система (пръстен).

Наистина, ако отношението „да бъде по-голямо от 0“ е въведено в пръстен, тогава отношението по-голямо от за два произволни елемента може да бъде въведено, ако приемем, че

a > b  a – b > 0.

Това отношение е строго отношение, линеен ред.

Тази връзка „по-голямо от“ е антирефлексивна, тъй като условието a > a е еквивалентно на условието a – a > 0, последното противоречи на факта, че a – a = 0 (според първото условие на разположения пръстен, елемент не може да бъде едновременно по-голям от 0 и равен на 0) . По този начин твърдението a > a е невярно за всеки елемент a, така че връзката е антирефлексивна.

Нека докажем транзитивността: ако a > b и b > c, тогава a > c. По дефиниция от условията на теоремата следва, че a – b > 0 и b – c > 0. Събирайки тези два елемента, по-големи от нула, отново получаваме елемент, по-голям от нула (според второто условие на разположената пръстен):

a – b + b – c = a – c > 0.

Последното означава, че a > c. Така въведената релация е релация със строг ред. Освен това, тази връзка е връзка от линеен ред, тоест за множеството от естествени числа, теорема за трихотомия:

За всеки две естествени числа едно и само едно от следните три твърдения е вярно:

Наистина (поради първото условие на разположения пръстен) за числото a – b е вярно едно и само едно от условията:

1) a – b > 0 = > a > b

2) – (a – b) = b – a > 0 => b > a

3) a – b = 0 = > a = b.

Свойствата на монотонност също важат за всеки разположен пръстен. Наистина ли

1) a > b => a – b > 0 = > a + c – c – b > 0 = > a + c > b + c;

2) a > b /\ c > 0 => a – b > 0 => (според второто условие на разположения пръстен) (a – b)c > 0 => ac – bc > 0 => ac > bc .

Така доказахме, че всеки подреден пръстен е подреден пръстен (подредена система).

За всеки локализиран пръстен следните свойства също ще бъдат валидни:

а) a + c > b + c => a > b;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

в) a > b /\ c< 0=>ac< bc;

Същите свойства се срещат и при други знаци<, , .

Нека докажем, например, свойство (c). По дефиниция от условието a > b следва, че a – b > 0, а от условието c< 0 (0 >в) следва, че 0 – c > 0, и следователно числото – c > 0, умножете две положителни числа (a – b)(–c). Резултатът ще бъде положителен и според второто условие на локализирания пръстен, т.е

(a – b)(–c) > 0 => –ac + bc > 0 => bc – ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

Q.E.D.

г) aa = a 2  0;

Доказателство: Съгласно първото условие на разположения пръстен, или a > 0, или –a > 0, или a = 0. Нека разгледаме тези случаи отделно:

1) a > 0 => aa > 0 (според второто условие на разположения пръстен) => a 2 > 0.

2) –а > 0 => (–а)(–а) > 0, но по свойството на пръстена (–а)(–а) = аа = a 2 > 0.

3) a = 0 => aa = a 2 = 0.

Така и в трите случая a 2 е или по-голямо от нула, или равно на 0, което просто означава, че a 2 ≥ 0 и свойството е доказано (обърнете внимание, че ние също доказахме, че квадратът на елемент от разположен пръстен е 0 тогава и само ако самият елемент е 0).

д) ab = 0  a = 0 \/ b = 0.

Доказателство: Приемете обратното (ab =0, но нито a, нито b са равни на нула). Тогава са възможни само две опции за a, или a > 0, или a > 0 (опцията a = 0 е изключена от нашето предположение). Всеки от тези два случая се разделя на още два случая в зависимост от b (или b > 0, или – b > 0). След това има 4 опции:

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a >0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 – b > 0 => ab > 0.

Както виждаме, всеки от тези случаи противоречи на условието ab = 0. Свойството е доказано.

Последното свойство означава, че разположеният пръстен е област на интегритет, което също е задължително свойство на подредените системи.

Теорема 1 показва, че всеки разположен пръстен е подредена система. Обратното също е вярно - всеки подреден пръстен се намира. Наистина, ако един пръстен има отношение a > b и всеки два елемента от пръстена са сравними един с друг, тогава 0 е сравнимо с всеки елемент a, тоест или a > 0, или a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. За да докажем последното, прилагаме свойството за монотонност на подредените системи: към дясната и лявата страна на неравенството a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

Второто условие за разположен пръстен следва от свойствата монотонност и транзитивност:

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a +b >0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.

Теорема 2.Пръстенът от цели числа е подреден пръстен (подредена система).

Доказателство:Нека използваме дефиниция 2 на пръстена от цели числа (виж 2.1). Според тази дефиниция всяко цяло число е или естествено число (числото n е дадено като [ ], или обратното на естественото (– n съответства на класа [<1, n / >] или 0 (клас [<1, 1>]). Нека въведем определението за „да бъде по-голямо от нула“ за цели числа съгласно правилото:

a > 0  a  N

Тогава първото условие на локализирания пръстен се изпълнява автоматично за цели числа: ако a е естествено число, то е по-голямо от 0, ако a е обратното на естествено число, тогава –a е естествено число, т.е. по-голямо от 0, опцията a = 0 също е възможна, което също прави истинска дизюнкция в първото условие на разположения пръстен. Валидността на второто условие на разположения пръстен следва от факта, че сумата и произведението на две естествени числа (цели числа, по-големи от нула) отново е естествено число и следователно е по-голямо от нула.

Така всички свойства на разположените пръстени се прехвърлят автоматично към всички цели числа. В допълнение, теоремата за дискретност е в сила за цели числа (но не и за произволно подредени пръстени):

Теорема за дискретност.Не можете да вмъкнете никакво цяло число между две съседни цели числа:

( a, x  З) .

Доказателство: ще разгледаме всички възможни случаи за a и ще приемем обратното, тоест, че съществува x ​​такъв, че

А< x < a +1.

1) ако a е естествено число, то a + 1 е естествено число. Тогава, съгласно теоремата за дискретност за естествените числа, между a и a / = a + 1 не може да се постави естествено число x, т.е. x във всеки случай не може да бъде естествено число. Ако приемем, че x = 0, тогава нашето допускане е това

А< x < a +1

ще ни доведе до условие a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. Тогава a + 1 = 1. Ако условието a е изпълнено< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a е отрицателно (–a > 0), тогава a + 1  0. Ако a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

тоест стигаме до ситуацията, разгледана в първия случай (тъй като –a–1 и –a са естествени), от което – x не може да бъде цяло число и следователно x не може да бъде цяло число. Ситуацията, когато a + 1 = 0 означава, че a = –1, т.е

–1 < x < 0.

Като умножим това неравенство по (–1), стигаме до случай 2. По този начин теоремата е валидна във всички ситуации.

Кулата на Архимед.За всяко цяло число a и цяло b > 0 съществува естествено число n, такова че a< bn.

За естествено a теоремата вече е доказана, тъй като условието b > 0 означава, че числото b е естествено. За a  0 теоремата също е очевидна, тъй като дясната страна bn е естествено число, тоест също по-голямо от нула.

В пръстен от цели числа (както във всеки локализиран пръстен), можем да въведем концепцията за модул:

|a| = .

Свойствата на модулите са справедливи:

1) |a + b|  |a| + |b|;

2) |a – b|  |a| – |b|;

3) |a  b| = |a|  |b|.

Доказателство: 1) Отбележете, че от определението е очевидно, че |a| е величина, която винаги е неотрицателна (в първия случай |a| = a ≥ 0, във втория |a| = –a, но a< 0, откуда –а >0). Неравенствата |a| ≥ a, |a| ≥ –a (модулът е равен на съответния израз, ако е неотрицателен, и по-голям от него, ако е отрицателен). Подобни неравенства са валидни за b: |b| ≥ b, |b| ≥ –b. Събирайки съответните неравенства и прилагайки свойство (b) на подредени пръстени, получаваме

|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

Според дефиницията на модула

|a+b| =
,

но и двата израза от дясната страна на равенството, както е показано по-горе, не превишават |a| + |b|, което доказва първото свойство на модулите.

2) Заменете a в първото свойство с a – b. Получаваме:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|а | ≤ |a – b| + |b|

Да преместим |b| от дясната страна наляво с обратен знак

|a| – | б| ≤ |a – b| =>|a – b|  |a| – |b|.

Доказателството за свойство 3 е оставено на читателя.

Задача:Решете уравнението в цели числа

2y 2 + 3xy – 2x 2 + x – 2y = 5.

Решение: Нека разложим лявата страна на множители. За да направите това, представете си термина 3xy = – xy + 4xy

2y 2 + 3xy – 2x 2 + x – 2y = 2y 2 – xy + 4xy – 2x 2 + x – 2y =

Y(2y – x) + 2x(2y – x) – (2y – x) = (y + 2x – 1)(2y – x).

Така нашето уравнение може да бъде пренаписано като

(y + 2x – 1)(2y – x) = 5.

Тъй като трябва да го решим в цели числа, x и y трябва да са цели числа, което означава, че факторите от лявата страна на нашето уравнение също са цели числа. Числото 5 от дясната страна на нашето уравнение може да бъде представено като произведение на цели числа само по 4 начина:

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Следователно са възможни следните опции:

1)
2)
3)
4)

Сред изброените системи само (4) има цяло число:

x = 1, y = –2.

Задачи за самостоятелно решаване

№ 2.4. За елементи a, b, c, d от произволно разположен пръстен докажете свойствата:

а) a + c > b + c => a > b; b) a > b /\ c > d => a + c > b + d.

№ 2.5. Решете уравненията в цели числа:

а) y 2 – 2xy – 2x = 6; б) 2x 2 – 11xy + 12y 2 = 17; в) 35xy + 5x – 7y = 1; г) x 2 – 3xy + 2y 2 = 3; д) ;

е) xy + 3x – 5y + 3 = 0; g) 2xy – 3y 2 – 4y + 2x = 2; з) ху 2 + х = 48; и) 1! + 2! + 3! + … + n! = y 2 ; j) x 3 – 2y 3 – 4z 3 = 0

№ 2.6. Намерете четирицифрено число, което е точен квадрат и е такова, че първите му две цифри са равни, а последните му две цифри са равни.

№ 2.7. Намерете двуцифрено число, равно на сбора от неговите десетици и квадрата на неговите единици.

№ 2.8. Намерете двуцифрено число, което е равно на удвоения продукт на неговите цифри.

№ 2.9. Докажете, че разликата между трицифрено число и число, записано със същите цифри в обратен ред, не може да бъде квадрат на естествено число.

№ 2.10. Намерете всички естествени числа, завършващи на 91, които след зачеркване на тези цифри се намаляват с цяло число.

№ 2.11. Намерете двуцифрено число, равно на квадрата на неговите единици, добавени към куба на неговите десетици.

№ 2.12. Намерете шестцифрено число, започващо с цифрата 2, която се увеличава 3 пъти, когато тази цифра се премести в края на числото.

№ 2.13. Има повече от 40, но по-малко от 48 цели числа, написани на дъската. Средноаритметичното на всички тези числа е – 3, средноаритметичното на положителните е 4, а средноаритметичното на отрицателните е – 8. Колко числа са написани на дъската? Кои числа са по-големи, положителни или отрицателни? Какъв е максималният възможен брой положителни числа?

№ 2.14. Може ли частното на трицифрено число и сбора от неговите цифри да бъде равно на 89? Може ли този коефициент да е равен на 86? Каква е максималната възможна стойност на този коефициент?

Федерална агенция за образование

състояние образователна институциявисше професионално образование

Вятски държавен хуманитарен университет

Факултет по математика

Катедра по математически анализ и методи
преподаване на математика

Окончателна квалификационна работа

по темата: Гаусов пръстен с цели числа.

Завършено:

5 курсист

Факултет по математика

Гнусов В.В.

___________________________

Научен ръководител:

старши преподавател на катедрата

алгебра и геометрия

Семенов А.Н.

___________________________

Рецензент:

Кандидат на физико-математическите науки науки, ст.н.с

Катедра по алгебра и геометрия

Ковязина Е.М.

___________________________

Допуснат до защита в Държавната атестационна комисия

Глава Отдел________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Декан на факултета ___________________ Варанкина В.И.

Въведение.

Пръстен от комплексни цели числа

е открит от Карл Гаус и наречен Гаус в негова чест.

К. Гаус стигна до идеята за възможността и необходимостта от разширяване на концепцията за цяло число във връзка с търсенето на алгоритми за решаване на сравнения от втора степен. Той прехвърли концепцията за цяло число към числа от формата

, където са произволни цели числа, а е коренът на уравнението Върху дадено множество К. Гаус е първият, който изгражда теория за делимостта, подобна на теорията за делимостта на целите числа. Той обосновава валидността на основните свойства на делимостта; показа, че в пръстена от комплексни числа има само четири обратими елемента: ; доказа валидността на теоремата за деление с остатък, теоремата за единствеността на факторизацията; показа кои прости естествени числа ще останат прости в пръстен; откри природата на простите цели и сложните числа.

Теорията, разработена от К. Гаус, описана в неговия труд „Аритметични изследвания“, е фундаментално откритие за теорията на числата и алгебрата.

В крайната работа бяха поставени следните цели:

1. Развийте теорията за делимостта в пръстена на числата на Гаус.

2. Открийте природата на простите числа на Гаус.

3. Покажете използването на числата на Гаус при решаването на обикновени диофантови задачи.

ГЛАВА 1. ДЕЛЕНИЕ В ПРЪСТЕНА ОТ ЧИСЛАТА НА ГАУС.

Нека разгледаме множеството от комплексни числа. По аналогия с множеството от реални числа в него може да се разграничи определено подмножество от цели числа. Набор от числа на формуляра

, Където ние ги наричаме комплексни цели числа или числа на Гаус. Лесно е да се провери дали аксиомите на пръстена са валидни за това множество. По този начин този набор от комплексни числа е пръстен и се нарича пръстен от цели числа на Гаус . Нека го обозначим като , тъй като е продължение на пръстена чрез елемента: .

Тъй като пръстенът от числа на Гаус е подмножество от комплексни числа, някои дефиниции и свойства на комплексните числа са валидни за него. Така, например, за всяко число на Гаус

съответства на вектор с начало в точка и край в . следователно модул има числа на Гаус. Обърнете внимание, че в разглеждания набор субмодулният израз винаги е неотрицателно цяло число. Следователно в някои случаи е по-удобно да се използва нормата , тоест квадратът на модула. По този начин . Могат да се разграничат следните свойства на нормата. За всички гаусови числа е вярно следното: (1) (2) (3) (4) (5) - набор от естествени числа, тоест положителни цели числа.

Валидността на тези свойства се проверява тривиално с помощта на модула. Между другото отбелязваме, че (2), (3), (5) също са валидни за всякакви комплексни числа.

Пръстенът от Гаусови числа е комутативен пръстен без делители 0, тъй като е подпръстен на полето от комплексни числа. Това предполага мултипликативната контрактилност на пръстена

, тоест (6)

1.1 ОБРАТНИ И СЪЮЗНИ ЕЛЕМЕНТИ.

Да видим кои числа на Гаус ще бъдат обратими. Умножението е неутрално

. Ако Гаусово число обратими , тогава по дефиниция съществува такова, че . Преминавайки към нормите, съгласно свойство 3 получаваме . Но тези норми са естествени, следователно. Това означава, че чрез свойство 4, . Обратно, всички елементи на това множество са обратими, тъй като . Следователно числата с норма, равна на единица, ще бъдат обратими, т.е.

Както можете да видите, не всички числа на Гаус ще бъдат обратими. Следователно е интересно да се разгледа въпросът за делимостта. Както обикновено, казваме това

акции на , ако има такова, че . За всякакви числа на Гаус, както и за обратими, са валидни свойствата. (7) (8) (9) (10) , където (11) (12)

Лесно се проверява (8), (9), (11), (12). Справедливостта (7) следва от (2), а (10) следва от (6). Поради свойството (9), елементите на множеството