Για μελέτη, προσφέρονται οι έννοιες ενός δακτυλίου, ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου και ενός τομέα ακεραιότητας, ομομορφισμού και ισομορφισμού δακτυλίων, υποδακτυλίου, καθώς και ιδιότητες του δακτυλίου των ακεραίων.
ρήτρα 1. Η έννοια του δαχτυλιδιού.
Ορισμός. Η άλγεβρα, όπου είναι δυαδικές πράξεις, είναι μια μονομερής πράξη, ονομάζεται δακτύλιος εάν ικανοποιούνται τα αξιώματα.
Το I. είναι μια ομάδα Abelian.
II. 1) - συσχετισμός πολλαπλασιασμού.
2) διανεμητικοί νόμοι: - αριστερός διανεμητικός νόμος, - δεξιός διανεμητικός νόμος.
Ονομάζεται πρόσθετη ομάδα ενός δακτυλίου.
Ορισμός. Ένα δαχτυλίδι ονομάζεται δαχτυλίδι με ταυτότητα εάν υπάρχει
Ορισμός. Ένα δαχτυλίδι ονομάζεται ανταλλακτική αν
Ορισμός. Τα στοιχεία ονομάζονται διαιρέτες αν
Ορισμός. Ένας δακτύλιος ονομάζεται περιοχή ακεραιότητας εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Το δαχτυλίδι είναι αντικαταστατικό.
Δαχτυλίδι με μονάδα , όπου .
Ο δακτύλιος δεν έχει μηδενικούς διαιρέτες.
Σ.2. Παραδείγματα δαχτυλιδιών.
Ας σκεφτούμε. Οι πράξεις είναι μια δυαδική πράξη στο σύνολο, μια πράξη είναι μια ενιαία πράξη στο σύνολο, και αυτό σημαίνει άλγεβρα. Τα αξιώματα ενός δακτυλίου ικανοποιούνται σε ένα σύνολο, αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών, που σημαίνει ότι είναι ένας δακτύλιος. Αυτό είναι ένα δαχτυλίδι με μονάδα 1, αφού και . Αυτό είναι ένα δαχτυλίδι αντικατάστασης, δεδομένου ότι . Αυτός είναι ένας δακτύλιος χωρίς μηδενικούς διαιρέτες. Ο δακτύλιος των ακεραίων είναι μια περιοχή ακεραιότητας.
Έστω ένα σύνολο ζυγών ακεραίων, - μια άλγεβρα, ένας δακτύλιος χωρίς ενότητα, ανταλλάξιμος, χωρίς μηδενικούς διαιρέτες και όχι τομέας ακεραιότητας.
Ας ελέγξουμε αν το σετ περιέχει δακτύλιο.
Δυαδική λειτουργία σε ένα σύνολο.
Μοναδική λειτουργία σε ένα σύνολο.
Αυτό σημαίνει άλγεβρα.
Τα αξιώματα του δακτυλίου για αυτήν την άλγεβρα ικανοποιούνται, αφού , και τα αξιώματα ικανοποιούνται (από τις ιδιότητες πραγματικούς αριθμούς), που σημαίνει ότι είναι ένα δαχτυλίδι.
Ένας δακτύλιος με ενότητα είναι ένας ανταλλάξιμος δακτύλιος χωρίς μηδενικούς διαιρέτες και είναι τομέας ακεραιότητας.
Αφήστε . Ας ορίσουμε τις πράξεις , ; , .
Δυαδικές πράξεις σε ένα σύνολο
Αυτό σημαίνει ότι είναι μια μοναδική λειτουργία στο σετ.
Αυτό σημαίνει άλγεβρα. Ας ελέγξουμε αν αυτή η άλγεβρα είναι δακτύλιος. Για να γίνει αυτό, ας ελέγξουμε τα αξιώματα του δακτυλίου. Ισότητα - ισότητα συνάρτησης: από τον ορισμό των πράξεων. Ας εξετάσουμε το γινόμενο, υπολογίσουμε τις τιμές της αριστερής και της δεξιάς πλευράς του α) β). Ομοίως, ελέγχεται ότι πληρούνται όλα τα αξιώματα ενός δακτυλίου, που σημαίνει ότι είναι δακτύλιος. Αυτό είναι ένα δαχτυλίδι με μονάδα. Πράγματι, (ιδιότητα της ενότητας). Αυτό είναι ένα δαχτυλίδι αντικατάστασης, δεδομένου ότι . Ας δείξουμε ότι αυτός είναι ένας δακτύλιος με μηδενικούς διαιρέτες. Έστω , , , (μηδενική συνάρτηση). Ας υπολογίσουμε (ίσο με τη συνάρτηση μηδέν). Αυτό σημαίνει ότι , είναι μηδενικοί διαιρέτες, που σημαίνει ότι ο δακτύλιος δεν είναι περιοχή ακεραιότητας.
Σ.3. Οι απλούστερες ιδιότητες ενός δαχτυλιδιού.
Ας είναι ένα δαχτυλίδι. Ας γράψουμε και ελέγξουμε τα αξιώματα του δακτυλίου:
Απόδειξη. είναι μια ομάδα Abelian, έχουμε
Απόδειξη. είναι μια ομάδα Abelian, έχουμε .
Αν αν.
Απόδειξη. Σύμφωνα με το νόμο της ακύρωσης σε μια ομάδα που ορίζεται στο σετ.
Αν αν.
Απόδειξη. Ακολουθεί από την ιδιοκτησία 4 ομάδων.
Αν αν.
Απόδειξη. Προκύπτει από 5 ιδιότητες ομάδων.
Απόδειξη. Προκύπτει από 6 ιδιότητες ομάδων.
Απόδειξη. Ας το αποδείξουμε.
Απόδειξη. Ας αποδείξουμε ότι θεωρούμε το άθροισμα . Ομοίως, αποδεικνύεται ότι .
Ονομασία: .
(δεξιός διανεμητικός νόμος), (αριστερός διανεμητικός νόμος).
Απόδειξη. Δεξιός κατανεμητικός νόμος: η αριστερή πλευρά είναι ίση με τη δεξιά πλευρά. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και ο αριστερός διανεμητικός νόμος.
Απόδειξη. Ας υπολογίσουμε το ποσό.
Σ.4. Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί δακτυλίων.
Δίνονται δύο δακτύλιοι και .
Ορισμός. Ο ομομορφισμός ενός δακτυλίου σε έναν δακτύλιο είναι μια συνάρτηση που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Με άλλα λόγια, οι ομομορφισμοί του δακτυλίου είναι χαρτογραφήσεις που διατηρούν όλες τις λειτουργίες του δακτυλίου. Αν είναι ομομορφισμός ενός δακτυλίου σε , τότε είναι ομομορφισμός των ομάδων Abelian στην ομάδα .
Θεώρημα. Έστω και είναι δαχτυλίδια και έχουν τις ιδιότητες:
Τότε είναι ομομορφισμός δακτυλίων.
Απόδειξη. Από την ιδιότητα είναι ομομορφισμός ομάδων και επομένως έχει τις ιδιότητες: , , που σημαίνει εξ ορισμού ότι είναι ομομορφισμός δακτυλίων.
Ορισμός. Μια χαρτογράφηση ονομάζεται ισομορφισμός ενός δακτυλίου, εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Ομομορφισμός δακτυλίων.
Bijection.
Με άλλα λόγια: ένας ισομορφισμός είναι ένας ομομορφισμός που είναι διχασμός.
Σ.5. Υποδακτύλιοι.
Ας είναι ένα δαχτυλίδι, , .
Ορισμός. Το σετ κλείνει κάτω από τη λειτουργία εάν .
Το σετ κλείνει κάτω από τη λειτουργία εάν . Το σετ κλείνει κάτω από τη λειτουργία εάν .
Θεώρημα. Έστω ένας δακτύλιος, , , εάν είναι κλειστός κάτω από τη λειτουργία , τότε είναι ένας δακτύλιος, ο οποίος ονομάζεται υποδακτύλιος του δακτυλίου.
Απόδειξη. - δυαδικές πράξεις, - ενιαία πράξη, αφού είναι κλειστό σύνολο. Αφού το , τότε υπάρχει, αφού είναι κλειστό κάτω από την πράξη , τότε, επομένως, είναι άλγεβρα, αφού τα αξιώματα ικανοποιούνται στο , τότε ικανοποιούνται και στο , επομένως η άλγεβρα είναι δακτύλιος.
Θεώρημα. Έστω ένας αριθμητικός δακτύλιος με μονάδα 1, τότε περιέχει έναν υποδακτύλιο ακεραίων.
Σελ.6. Αξιωματικός ορισμός του δακτυλίου των ακεραίων.
Ένα αλγεβρικό σύστημα, όπου δυαδικές πράξεις, - μια μοναδική πράξη, , , ονομάζεται σύστημα ακεραίων αν ικανοποιούνται τρεις ομάδες αξιωμάτων:
Ι. - δαχτυλίδι.
Ομάδα Άβελ
Προσθετική ομάδα
II. Το σύνολο είναι κλειστό στις πράξεις και το αλγεβρικό σύστημα είναι σύστημα φυσικούς αριθμούς(Σύστημα Peano).
Αξίωμα επαγωγής: ας . Εάν το σύνολο πληροί τις προϋποθέσεις: | , Οπου . Ο αριθμός ονομάζεται μέρισμα, - διαιρέτης, - πηλίκο, - υπόλοιπο όταν διαιρείται με.
Απόδειξη. Ας αποδείξουμε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός ζεύγους αριθμών, . Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε το σετ. Το σύνολο περιέχει αρνητικούς και μη αρνητικούς αριθμούς, ας είναι ο μικρότερος μη αρνητικός αριθμός στο , τότε . Ας το αποδείξουμε, ας υποθέσουμε το αντίθετο. Ας εξετάσουμε τον αριθμό. αντίφαση με την επιλογή. Έχει αποδειχθεί ότι , . Ας αποδείξουμε τη μοναδικότητα των αριθμών και ας . , . Ας το αποδείξουμε, ας υποθέσουμε το αντίθετο. Αφήστε . Έχουμε μια αντίφαση, αφού δεν υπάρχουν αριθμοί διαιρούμενοι με . Έχει αποδειχθεί ότι , αν , τότε , και προκύπτει ότι . Η μοναδικότητα των αριθμών και είναι αποδεδειγμένη.
Βιβλιογραφία
ΑΥΤΗΝ. Marenich, A.S. Μάρενιτς. Εισαγωγικό μάθημα μαθηματικών. Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο. 2002
V.E. Μάρενιτς. Περιοδικό «Επιχείρημα». Προβλήματα στη θεωρία ομάδων.
Kostrikin A.I. Εισαγωγή στην άλγεβρα. Μέρος 1 Βασικές αρχές της άλγεβρας. - Μ.: Fizmat litera, 2000
Kostrikin A.I. Εισαγωγή στην άλγεβρα. Μέρος 2 Βασικές αρχές της άλγεβρας. - Μ.: Fizmat litera, 2000
Kostrikin A.I. Εισαγωγή στην άλγεβρα. Μέρος 3 Βασικές δομές της άλγεβρας. - Μ.: Fizmat litera, 2000
Kostrikin A.I. Συλλογή προβλημάτων στην άλγεβρα. Εκδ. τρίτη - Μ.: Fizmat litera, 2001
Ορισμός 34.Μη κενό υποσύνολο Hδαχτυλίδια κπου ονομάζεται υποβρύχιοδαχτυλίδια κ, Αν Hείναι ένα δαχτυλίδι κάτω από τις ίδιες λειτουργίες με ένα δαχτυλίδι κ.
Θεώρημα 9(κριτήριο κατάταξης).
Αφήνω κ- δαχτυλίδι, H-μη κενό υποσύνολο K.Hείναι ένας δευτερεύων δακτύλιος του δαχτυλιδιού κεάν και μόνο εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) για οποιαδήποτε η 1, η 2∈H (ω 1 - ω 2)∈H;
2) για οποιαδήποτε η 1, η 2∈Ω 1 ⋅ω 2∈H.
Απόδειξη.Ανάγκη. Αφήνω H- subring του δαχτυλιδιού Κ.Επειτα Ν– δακτύλιος σε σχέση με τις ίδιες λειτουργίες όπως Κ.Που σημαίνει, Νκλείνει με τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, δηλαδή η συνθήκη 2) ικανοποιείται. Επιπλέον, για οποιαδήποτε η 1, η 2∈H∃ -η 2∈HΚαι η 1+(-η 2)=ω 1 - ω 2∈H.
Επάρκεια. Αφήστε τις προϋποθέσεις 1) και 2) να πληρούνται. Ας το αποδείξουμε Ν - subring του δαχτυλιδιού Κ.Με τον ορισμό 34, αρκεί να το ελέγξουμε Ν -δαχτυλίδι.
Εφόσον η συνθήκη 1) ικανοποιείται, τότε, από το Θεώρημα 7", Νείναι μια υποομάδα της ομάδας πρόσθετων κ. Επιπλέον, δεδομένου ότι η λειτουργία της πρόσθεσης είναι ανταλλακτική στις κ, μετά μέσα Νη λειτουργία «+» είναι επίσης αντικαταστατική. Ως εκ τούτου, Νείναι μια προσθετική ομάδα Abelian.
Στη συνέχεια, μέσα κπληρούνται οι διανεμητικοί νόμοι και Ν⊆κ. Έτσι, μέσα Νπληρούνται επίσης οι διανεμητικοί νόμοι. Έτσι το δείξαμε Νείναι ένα δαχτυλίδι, και ως εκ τούτου Ν– subring του δαχτυλιδιού Κ.
Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.
Ορισμός 35.Απεικόνιση φ δαχτυλίδια κστο ρινγκ κπου ονομάζεται ομομορφική χαρτογράφησηή ομομορφισμός, εάν πληρούνται 2 προϋποθέσεις:
1) για οποιαδήποτε ένα, σι∈Κ φ(α+β)=φ (ένα)+φ (σι);
2) για οποιαδήποτε ένα, σι∈Κ φ(α⋅β)=φ (ένα)⋅φ (σι).
Σημείωση 10.Οι ορισμοί του μονομορφισμού, του επιμορφισμού, του ισομορφισμού, του ενδομορφισμού και του αυτομορφισμού των δακτυλίων διατυπώνονται παρόμοια με τους αντίστοιχους ορισμούς για ομάδες.
Σημείωση 11.Η σχέση ισομορφισμού στο σύνολο όλων των δακτυλίων είναι μια σχέση ισοδυναμίας που χωρίζει αυτό το σύνολο σε ασύνδετες τάξεις - τάξεις ισοδυναμίας. Μια κατηγορία θα περιλαμβάνει αυτούς και μόνο εκείνους τους δακτυλίους που είναι ισόμορφοι μεταξύ τους. Οι ισομορφικοί δακτύλιοι έχουν τις ίδιες ιδιότητες. Επομένως, από αλγεβρική άποψη δεν διακρίνονται.
8. Πεδίο.
Τέλος εργασίας -
Αυτό το θέμα ανήκει στην ενότητα:
Στοιχεία θεωρίας συνόλων Η έννοια του συνόλου. Υποσύνολο. Ορισμός Λειτουργιών
Στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου εξετάστηκαν οι πράξεις στους αριθμούς. Ταυτόχρονα, καθιερώθηκαν μια σειρά από ιδιότητες αυτών των πράξεων. Μαζί με τις πράξεις στους αριθμούς, εξετάστηκε και το σχολικό μάθημα. Ο κύριος στόχος του μαθήματος της άλγεβρας είναι η μελέτη της άλγεβρας και των αλγεβρικών συστημάτων Το μάθημα της άλγεβρας βρίσκει ένα εκτενές..
Εάν χρειάζεστε επιπλέον υλικό για αυτό το θέμα ή δεν βρήκατε αυτό που αναζητούσατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:
Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:
Εάν αυτό το υλικό σας ήταν χρήσιμο, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:
| Τιτίβισμα |
Όλα τα θέματα σε αυτήν την ενότητα:
Διαγράμματα Euler-Venn
Πώς μέσα Καθημερινή ζωή, Έτσι επιστημονική έρευνασυχνά πρέπει να εξετάζουμε συλλογές πραγμάτων, συστήματα αντικειμένων κ.λπ. Σε όλες τις περιπτώσεις, υπονοείται ότι ορισμένοι
Ιδιότητες συνόλου λειτουργιών
Σύμφωνα με τον ορισμό 1, τα σύνολα Α και Β είναι ίσα αν και μόνο αν A⊆B και B⊆A. Θεώρημα 1. Έστω
Άμεσο (καρτεσιανό) γινόμενο συνόλων
Ορισμός 11. Το άμεσο (καρτεσιανό) γινόμενο των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο που συμβολίζεται με ΑΒ (διαβ.
Δυαδικές σχέσεις μεταξύ συνόλων
Ορισμός 14. Δυαδική σχέση είναι οποιοδήποτε σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Στα μαθηματικά, όταν εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ αντικειμένων, χρησιμοποιείται ο όρος «σχέση». Παραδείγματα
Παράγοντα
Ορισμός 27. Δυαδική σχέσηΤο R σε ένα σύνολο Α ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας αν είναι ανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική στο σύνολο Α. Def.
Παραγγελθέν σετ
Ορισμός 30. Μια δυαδική σχέση R σε ένα σύνολο Α ονομάζεται σχέση τάξης εάν είναι αντισυμμετρική και μεταβατική στο Α. Ορισμός 31. Bi
Λειτουργία ως δυαδική σχέση
Ορισμός 41. Μια δυαδική σχέση f μεταξύ των συνόλων Α και Β ονομάζεται συναρτησιακή σχέση αν από τα (a,b)
Θεώρημα για τη συσχέτιση ενός γινομένου συναρτήσεων
Ορισμός 50. Έστω συναρτήσεις f: XY, g: YZ. Η δουλειά
Αντιστρέψιμη χαρτογράφηση
Ορισμός 52. Μια αντιστοίχιση ονομάζεται πανομοιότυπη (ή ταυτότητα) αν
Κριτήριο αντιστρεψιμότητας συναρτήσεων
Θεώρημα 5. Έστω συνάρτηση. Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη f - beek
Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής
Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να εξεταστεί από δύο οπτικές γωνίες. Για παράδειγμα, 3-τρία (ποσότητα), 3 τρίτα (παραγγελία). Στο μάθημα της άλγεβρας μελετούν τη διατακτική θεωρία των φυσικών αριθμών. Στο σετ ℕ bb
Ιδιότητες δυαδικών πράξεων
Ορισμός 1. Μια δυαδική αλγεβρική πράξη σε ένα μη κενό σύνολο M είναι ένας νόμος ή κανόνας σύμφωνα με τον οποίο οποιαδήποτε δύο στοιχεία του συνόλου M
Ημιομάδα με αναγωγή
Ορισμός 10. Ένα μη κενό σύνολο M με δυαδική αλγεβρική πράξη «∗» που ορίζεται πάνω του ονομάζεται ομαδικό. Ορίστηκε
Οι απλούστερες ιδιότητες των ομάδων
Ορισμός 14. Ένα μη κενό σύνολο G κλειστό κάτω από τη δυαδική αλγεβρική πράξη «∗» ονομάζεται ομάδα εάν ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα (αξιώματα ομάδας):
Υποομάδα. Κριτήριο υποομάδας
Ορισμός 20. Ένα μη κενό υποσύνολο H μιας ομάδας G ονομάζεται υποομάδα του G εάν το H είναι μια ομάδα σε σχέση με την ίδια πράξη με την ομάδα G, και
Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί ομάδων
Θεώρημα 8. Έστω (Hi | i∈I) κάποια συλλογή υποομάδων της ομάδας G. Τότε A=i
Οι απλούστερες ιδιότητες των δαχτυλιδιών
Ορισμός 27. Ένα μη κενό σύνολο Κ με δυαδικές αλγεβρικές πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού που ορίζονται σε αυτό ονομάζεται δακτύλιος εάν ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα (ac
Οι απλούστερες ιδιότητες των πεδίων
Ορισμός 36. Ένα σύνολο P που περιέχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, κλειστά με τις πράξεις «+» και «⋅», ονομάζεται πεδίο εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις: 1) P
Ισομορφισμός πεδίου
Ορισμός 37. Ένα μη κενό υποσύνολο H του πεδίου P που περιέχει τουλάχιστον δύο στοιχεία ονομάζεται υποπεδίο του πεδίου P εάν το H είναι ένα πεδίο ως προς το m
Πεδία μιγαδικών αριθμών
Στο πεδίο ℝ, μια εξίσωση της μορφής x2+1=0 δεν έχει λύσεις. Επομένως, υπάρχει ανάγκη να χτιστεί ένα πεδίο που θα ήταν
μιγαδικός αριθμός
Έστω z=(a, b)∈ℂ, και (x, 0)=x για οποιοδήποτε x∈ℝ. Ας πάρουμε μια άλλη μορφή για τον μιγαδικό αριθμό z=(a, b)
μιγαδικός αριθμός
Έστω z=a+bi μιγαδικός αριθμός, a, b∈ℝ. Ας παραστήσουμε τον αριθμό z ως σημείο στο επίπεδο M(a, b).
Σε τριγωνομετρική μορφή
Θεώρημα 4. Κατά τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή, οι ενότητες τους πολλαπλασιάζονται και προστίθενται τα ορίσματά τους. Απόδειξη. Έστω z1
Η φόρμουλα του Moivre
Είναι βολικό να κάνετε πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση μιγαδικών αριθμών σε αλγεβρική μορφή. Εντούτοις, εκθετικότητα και εξαγωγή ρίζας βαθμού n≥3
Η φόρμουλα του Moivre
Ορισμός 11. Έστω n∈ℕ. Ρίζα ου βαθμούαπό έναν μιγαδικό αριθμό z είναι ένας μιγαδικός αριθμός z1 τέτοιος ώστε z1
Αρχέγονες ρίζες
Σύμφωνα με το Θεώρημα 7, η ν η ρίζα της ενότητας έχει ακριβώς n τιμές. Αφού 1=1⋅(cos 0+isin 0), τότε,
Δακτύλιος πολυωνύμων σε μία μεταβλητή
Από το μάθημα των σχολικών μαθηματικών και από το μάθημα της μαθηματικής ανάλυσης είναι γνωστό ότι πολυώνυμο είναι μια ολόκληρη ορθολογική συνάρτηση της μορφής f(x)=a0+a1x+a2
Ιδιότητες του βαθμού πολυωνύμου
Ορισμός 19. Έστω K ένας συνειρμικός-αντιθετικός δακτύλιος με ταυτότητα, (
Πάνω από την περιοχή ακεραιότητας
Θεώρημα 13. Εάν το K είναι πεδίο ακεραιότητας, τότε το K[x] είναι πεδίο ακεραιότητας. Απόδειξη. Έστω Κ μια περιοχή ακεραιότητας. Ας το δείξουμε
Βήμα Matrix
Ορισμός 10. Ένας πίνακας μεγέθους m×n πάνω από ένα πεδίο P είναι ένας ορθογώνιος πίνακας που αποτελείται από n γραμμές και m στήλες, της ακόλουθης μορφής:
Μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων
(μέθοδος Gauss). Ας εξετάσουμε μια από τις κύριες μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, η οποία ονομάζεται μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ή αλλιώς
Και οι κύριες ιδιότητές τους
1. Πρόσθεση πινάκων. Ορισμός 16. Έστω A=(aij), B=(bij) πίνακες μεγέθους m×n πάνω από το πεδίο P. Άθροισμα
Εξισώσεις μήτρας
Ορισμός 22. Ένας πίνακας νης τάξης της φόρμας ονομάζεται πίνακας ταυτότητας. Παρατήρηση 9. Αν Α –
Θεώρημα ισοτιμίας μετάθεσης
Ορισμός 27. Έστω M=(1,2,…,n). Μια μετάθεση σε ένα σύνολο M ή μια μετάθεση του ν ου βαθμού είναι ένα σύνολο M με μια δεδομένη θέση των στοιχείων του.
Ορίζοντες δεύτερης και τρίτης τάξης
Έστω A= ένας πίνακας nης τάξης στο πεδίο P. Από τα στοιχεία του πίνακα A θα συνθέσουμε όλα τα πιθανά γινόμενα
Σύνδεση αλγεβρικών συμπληρωμάτων με μικρά
Έστω Δ = = . Ορισμός 31. Αν στην ορίζουσα Δ cgr
Ορίζουσα του γινομένου πινάκων
Θεώρημα 9. Έστω Α και Β πίνακες νης τάξης στο πεδίο P. Τότε |AB|=|A|∙|B|, δηλ. η ορίζουσα του γινομένου των πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζόντων
Τύπος για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα
Θεώρημα 10. Έστω A= ένας πίνακας nης τάξης πάνω από το πεδίο P. Αν η ορίζουσα
Οι τύποι του Cramer
Θεώρημα 11. Έστω (1) ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους στο πεδίο P, A=
Ορισμός 1.7.ας ( ΕΝΑ, ) Και ( σι, ) – ομάδες. Απεικόνιση : ΕΝΑ σι που ονομάζεται ομαδικός ομομορφισμός, εάν αποθηκεύσει τη λειτουργία, π.χ. Χ, y ΕΝΑ (Χ y) = (Χ) (y).
Ορισμός 1.8.Αν (ΕΝΑ, + , ) Και ( σι, , ) – δαχτυλίδια και μετά η χαρτογράφηση : ΕΝΑ σι που ονομάζεται ομομορφισμός δακτυλίου, εάν αποθηκεύει και τις δύο λειτουργίες, π.χ.
Χ,yΕΝΑ (x+y) = (Χ) (y), Χ, y ΕΝΑ (Χ y) = (Χ) (y).
Ορισμός 1.9.Οι ενεστικοί ομομορφισμοί ονομάζονται μονομορφισμοίή επενδύσεις, υποκειμενικοί ομομορφισμοί – επιμορφισμούςή επικαλύψεις, και διευθυντικά – ισομορφισμούς.
Ορισμός 1.10.Αν υπάρχει ομομορφισμός ομάδων ή δακτυλίων : ΕΝΑ σι, μετά ομάδες ή δαχτυλίδια ΕΝΑ, ΣΕπου ονομάζεται ισομορφική.
Η έννοια του ισομορφισμού είναι ότι δημιουργεί μια αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων των ισομορφικών αντικειμένων, γεγονός που δείχνει ότι από την άποψη των διατηρημένων αλγεβρικών πράξεων, τα ισομορφικά αντικείμενα είναι δυσδιάκριτα.
Παραδείγματα: 1.Ισομορφισμός ταυτότητας Εγώ: ΕΝΑ ΕΝΑ , Χ ΕΝΑ Εγώ (Χ) = Χ. (ΕΝΑ – ομάδα ή δαχτυλίδι).
2. Μονάδαή μηδενικό επιμορφισμός: Αν μι = {μι} – αντικείμενο singleton (ομάδα μονάδων ή μηδενικός δακτύλιος), μετά για οποιαδήποτε ομάδα ( ΕΝΑ, ) ή δαχτυλίδια ορίζεται ο επιμορφισμός Ο : ΕΝΑ μι, Χ ΕΝΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ (Χ) = μι.
3. Φυσικές ενσωματώσεις ομάδων και δακτυλίων: Ζ Q R ντο.
Ιδιότητες ομομορφισμών
Αν : (ΕΝΑ, ) (σι, ) – ομομορφισμός ομάδων λοιπόν
1 0 . (μι ΕΝΑ) = μι σι , εκείνοι. μετατρέπει ένα μεμονωμένο στοιχείο σε ένα μόνο στοιχείο.
2 0 . ένα ΕΝΑ (ένα – 1) = (ένα) – 1 , εκείνοι. μεταφράζει το αντίστροφο στοιχείο σε ΕΝΑαντίστροφα σε ( ΕΝΑ).
τριάντα. : (ΕΝΑ, + , ) (σι, , ) Στην περίπτωση ομομορφισμού δακτυλίου (0 ΕΝΑ) = 0 ΣΕ , (– ένα) = – (ένα).
4 0 . παίρνουμε : (ΕΝΑ, +, ) (σι, , ) Για ομομορφισμό δακτυλίου
Χ, y ΕΝΑ (Χ – y) = (Χ) – (y).
5 0 . σωστά: : (ΕΝΑ, + , ) (σι, , ) Ομομορφισμός πεδίου
είτε μηδενική είτε ένθετη.
60. Αν : u V και : V w είναι δύο ομομορφισμοί ομάδων ή δακτυλίων, τότε η σύνθεσή τους ○ : u w θα είναι ομομορφισμός ομάδων ή δακτυλίων.
Ο ισομορφισμός (ή ισομορφισμός) είναι μια από τις θεμελιώδεις έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών. Δύο μαθηματικά αντικείμενα (ή δομές) του ίδιου τύπου ονομάζονται ισόμορφα εάν υπάρχει αντιστοίχιση ενός προς ένα του ενός από αυτά στο άλλο, έτσι ώστε αυτό και το αντίστροφό του να διατηρούν τη δομή των αντικειμένων, δηλ. στοιχεία που βρίσκονται σε μια ορισμένη σχέση μεταφράζονται σε στοιχεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη σχέση.
Τα ισομορφικά αντικείμενα μπορεί να έχουν διαφορετικές φύσεις στοιχείων και σχέσεις μεταξύ τους, αλλά είναι απολύτως εξίσου αφηρημένα δομημένα και χρησιμεύουν ως αντίγραφα το ένα του άλλου. Ο ισομορφισμός είναι η «αφηρημένη ισότητα» αντικειμένων του ίδιου τύπου. Για παράδειγμα, η προσθετική ομάδα των κατηγοριών υπολειμμάτων modulo n είναι ισόμορφη στην πολλαπλασιαστική ομάδα σύνθετων ριζών n-ο βαθμός από 1.
Η σχέση ισομορφίας σε οποιαδήποτε κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων του ίδιου τύπου, ως σχέση ισοδυναμίας, διαιρεί την αρχική κατηγορία αντικειμένων σε ισομορφικές τάξεις - κατηγορίες ισομορφικών αντικειμένων κατά ζεύγη. Επιλέγοντας ένα αντικείμενο από κάθε κλάση ισομορφίας, λαμβάνουμε μια πλήρη αφηρημένη επισκόπηση αυτής της κατηγορίας μαθηματικών αντικειμένων. Η ιδέα του ισομορφισμού είναι να αναπαραστήσει ή να περιγράψει αντικείμενα μιας δεδομένης τάξης μέχρι ισομορφισμού.
Για κάθε δεδομένη κατηγορία αντικειμένων υπάρχει πρόβλημα ισομορφισμού. Είναι ισόμορφα δύο αυθαίρετα αντικείμενα από μια δεδομένη κλάση; Πώς ανακαλύπτεται αυτό; Για να αποδειχθεί ο ισομορφισμός δύο αντικειμένων, κατά κανόνα, κατασκευάζεται ένας συγκεκριμένος ισομορφισμός μεταξύ τους. Ή διαπιστώνεται ότι και τα δύο αντικείμενα είναι ισόμορφα σε κάποιο τρίτο αντικείμενο. Για να ελέγξετε ότι δύο αντικείμενα δεν είναι ισόμορφα, αρκεί να υποδείξετε μια αφηρημένη ιδιότητα που έχει το ένα από τα αντικείμενα, αλλά το άλλο όχι.
ΜΕΘΟΔΟΣ 11.Ο Yu.M Kolyagin διακρίνει δύο τύπους εξωσχολικής εργασίας στα μαθηματικά.
Εργασία με φοιτητές που υστερούν σε σχέση με άλλους στις σπουδές τους υλικό προγράμματος, δηλ. επιπλέον μαθήματα στα μαθηματικά.
Εργασία με μαθητές που ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά.
Μπορούμε όμως να διακρίνουμε και ένα τρίτο είδος εργασίας.
Συνεργασία με μαθητές για την ανάπτυξη ενδιαφέροντος για την εκμάθηση των μαθηματικών.
Υπάρχουν οι ακόλουθες μορφές εξωσχολικών δραστηριοτήτων:
Μαθηματικός κύκλος.
Προαιρετικός.
Ολυμπιακοί αγώνες, κουίζ.
Μαθηματικές Ολυμπιάδες.
Μαθηματικές συζητήσεις.
Μαθηματική εβδομάδα.
Εκτύπωση μαθηματικών σχολείου και τάξης.
Παραγωγή μαθηματικών μοντέλων.
Μαθηματικές εκδρομές.
Αυτές οι μορφές συχνά τέμνονται και ως εκ τούτου είναι δύσκολο να χαράξουμε αιχμηρά όρια μεταξύ τους. Επιπλέον, στοιχεία πολλών μορφών μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατά την οργάνωση της εργασίας σε οποιαδήποτε από αυτές. Για παράδειγμα, όταν διοργανώνετε μια βραδιά μαθηματικών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαγωνισμούς, διαγωνισμούς, εκθέσεις κ.λπ.
Στάδια οργάνωσης.
Προετοιμασία
Οργανωτικός
τόνωση του ενδιαφέροντος για εξωσχολικές δραστηριότητες.
συμμετοχή σε δημόσιες εκδηλώσεις και ατομικούς διαγωνισμούς·
Διδακτικός
βοήθεια στην υπέρβαση των δυσκολιών?
διατήρηση του αναδυόμενου ενδιαφέροντος για πρόσθετες δραστηριότητες·
επιθυμία να ασχοληθεί με τη μαθηματική αυτοεκπαίδευση
Βασικός
Δημιουργήστε μια βάση για κάθε μαθητή για περαιτέρω προσωπική επιτυχία.
βοηθούν τους μαθητές να κατανοήσουν την κοινωνική, πρακτική και προσωπική σημασία των εξωσχολικών δραστηριοτήτων.
δημιουργούν θετικά κίνητρα για συμμετοχή σε εξωσχολικές δραστηριότητες
Τελικός
Διεξαγωγή διαγνωστικών και προβληματισμού για εξωσχολικές δραστηριότητες·
συνοψίζουν και ενθαρρύνουν τους μαθητές που συμμετείχαν ενεργά
Το γεγονός ότι η έννοια του ισομορφισμού εκφράζει πραγματικά την ομοιότητα όλων των ιδιοτήτων των υπό εξέταση συνόλων μπορεί να διατυπωθεί με τη μορφή της ακόλουθης πρότασης:
Αν τα σετ ΜΚαι Μ"είναι ισόμορφα ως προς κάποιο σύστημα σχέσεων μικρό, τότε οποιαδήποτε ιδιότητα του συνόλου Μ, διατυπωμένο με όρους συστημικών σχέσεων μικρό(και, επομένως, σχέσεις που ορίζονται μέσα από τις σχέσεις του συστήματος μικρό), μεταφέρεται στο σετ Μ", και πίσω.
Ας εξετάσουμε αυτήν την κατάσταση χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
Αφήστε σε σετ ΜΚαι Μ"ορίζεται η σχέση «μεγαλύτερη» και είναι ισόμορφα ως προς αυτή τη σχέση. τότε αν Μπαρήγγειλε, δηλ. αν μπει Μοι ιδιότητες 1) και 2) από την ενότητα ικανοποιούνται, τότε ικανοποιούνται και σε Μ".
Ας αποδείξουμε την ιδιότητα 1). Αφήνω ένα"Και σι"- στοιχεία Μ"Και έναΚαι σι- σχετικά στοιχεία Μ. Λόγω της κατάστασης 1) σε Μμία από τις σχέσεις είναι ικανοποιημένη ένα = σι, ένα > σι, σι > ένα. Απεικόνιση Μεπί Μ"διατηρεί τη σχέση «περισσότερο». Αυτό σημαίνει ότι μία από τις σχέσεις είναι ικανοποιημένη ένα" = σι", ένα" > σι", σι" > ένα". Αν μέσα Μ"εκτελέστηκαν περισσότερα από ένα από αυτά, μετά από διατήρηση της σχέσης "περισσότερο από" κατά την εμφάνιση Μ"επί Μθα ήταν απαραίτητο να εκτελέσετε περισσότερες από μία σχέσεις για έναΚαι σι, που έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση 1).
Ας αποδείξουμε την ιδιότητα 2). Αν ένα" > σι"Και σι" > ντο", τότε επίσης ένα > σιΚαι σι > ντο. Στην πραγματικότητα, σε Μπρέπει να υπάρχει ένα > ντο. Που σημαίνει, ένα" > ντο".
Ας ασχοληθούμε τώρα με τον ισομορφισμό ομάδων δακτυλίων και πεδίων. Λόγω του ότι υπάρχει σχέση ένα + σι = ντοΚαι αβ = ντοπληρούν πρόσθετες απαιτήσεις που για οποιαδήποτε έναΚαι σιυπάρχει ένα και μοναδικό ντο, για το οποίο ένα + σι = ντοή αβ = ντο(αυτές οι δύο απαιτήσεις είναι ουσιαστικά δύο πρόσθετα αξιώματα) και αυτές οι απαιτήσεις θεωρείται ότι ικανοποιούνται όπως στο Μ, και στο Μ", ο ορισμός του ισομορφισμού ομάδων δακτυλίων και πεδίων μπορεί να απλοποιηθεί σε σύγκριση με τον ορισμό του , δηλαδή, να απαιτείται η διατήρηση των βασικών σχέσεων μόνο κατά τη μετάβαση από ΜΠρος την Μ". Περιορίζοντας τους εαυτούς μας στην περίπτωση των δακτυλίων και των πεδίων, που θα χρειαστούν αργότερα στον ορισμό των αριθμητικών τομέων (η περίπτωση των ομάδων διαφέρει από αυτήν που εξετάζεται μόνο στο ότι υπάρχει μία πράξη αντί για δύο), λαμβάνουμε:
Δαχτυλίδι (ή πεδίο) Rπου ονομάζεται ισόμορφο στο δαχτυλίδι(αντίστοιχα πεδίο) R"(καταγραφή) εάν υπάρχει αντιστοίχιση ένας προς έναν Rεπί R", στο οποίο το άθροισμα και το γινόμενο οποιωνδήποτε στοιχείων Rαντιστοιχούν στο άθροισμα και το γινόμενο των αντίστοιχων στοιχείων R".
Ας δείξουμε ότι αυτός ο ορισμός είναι μια ειδική περίπτωση γενικός ορισμός. Για να γίνει αυτό, πρέπει απλώς να βεβαιωθείτε ότι η αντίστροφη αντιστοίχιση R"επί Rαποθηκεύει επίσης άθροισμα και προϊόν. Αφήνω μέσα R"έχουμε: ένα" + σι" = ντο"και στοιχεία ένα", σι", ντο"όταν εμφανίζεται αντίστροφα αντιστοιχεί σε ένα, σι, ντοαπό R. Πρέπει να το αποδείξουμε ένα + σι = ντο. Αλλα αν ένα + σι = ρε ≠ ντο, τότε από τον ορισμό που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο θα ακολουθούσε ένα" + σι" = ρε" ≠ ντο", το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τη μοναδικότητα της λειτουργίας προσθήκης στο R"
