Θεωρήματα για τον «μεγαλύτερο» και τον «μικρότερο» ακέραιο
Θεώρημα 4 (στον ''μικρότερο'' ακέραιο). Κάθε μη κενό σύνολο ακεραίων αριθμών που οριοθετείται παρακάτω περιέχει το λιγότερο wuslo. (Εδώ, όπως και στην περίπτωση των φυσικών αριθμών, χρησιμοποιείται η λέξη "σύνολο" αντί της λέξης "υποσύνολο"
Απόδειξη. Έστω O A C Z και A οριοθετημένα από κάτω, δηλ. 36; Zva; Α(β< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Έστω τώρα το b A.
Στη συνέχεια, Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ).
Σχηματίζουμε ένα σύνολο Μ από όλους τους αριθμούς της μορφής a - b, όπου το a διατρέχει το σύνολο Α, δηλ. M \u003d (c [ c \u003d a - b, a E A)
Είναι προφανές ότι το σύνολο Μ δεν είναι κενό, αφού το Α 74 0
Όπως σημειώθηκε παραπάνω, M C N. Κατά συνέπεια, από το θεώρημα φυσικών αριθμών (54, Κεφ. III), το σύνολο M περιέχει τον μικρότερο φυσικό αριθμό m. Τότε m = a1 - b για κάποιο αριθμό a1; A, και, αφού το m είναι το μικρότερο στο M, τότε το Va; Στο< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Θεώρημα 5 (στον «μεγαλύτερο» ακέραιο). Οποιοδήποτε μη κενό, οριοθετημένο από το παραπάνω σύνολο ακεραίων περιέχει τον μεγαλύτερο αριθμό.
Απόδειξη. Έστω O 74 A C Z και A οριοθετούνται από πάνω από τον αριθμό b, δηλ. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >β για όλους τους αριθμούς α; ΕΝΑ.
Κατά συνέπεια, το σύνολο M (με r = -a, a? A) δεν είναι κενό και οριοθετείται από κάτω από τον αριθμό (-6). Επομένως, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το σύνολο M περιέχει τον μικρότερο αριθμό, δηλ. άσσος? MUs; Μ (με< с).
Αυτό σημαίνει αχ; Οπως και< -а), откуда Уа? А(-с >ΕΝΑ)
Ζ. Διάφορες μορφέςμέθοδος μαθηματικής επαγωγής για ακέραιους αριθμούς. Θεώρημα διαίρεσης με υπόλοιπο
Θεώρημα 1 (η πρώτη μορφή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής). Έστω P(c) ένα κατηγόρημα μιας θέσης που ορίζεται στο σύνολο Z των ακεραίων, 4 . Τότε αν για κάποιο ΑΡΙΘΜΟ a Z η πρόταση P(o) και για έναν αυθαίρετο ακέραιο K > a από P(K) ακολουθεί P(K -4- 1), τότε η πρόταση P(r) ισχύει για όλους ακέραιοι, t αριθμοί c > a (δηλαδή, στο σύνολο Z, ο ακόλουθος τύπος για τον λογισμό κατηγορήματος είναι αληθής:
P(a) κρεμμύδι > + 1)) Vc > aP(c)
για κάθε σταθερό ακέραιο α
Απόδειξη. Έστω ότι για την πρόταση P(c) όλα όσα λέγονται στην συνθήκη του θεωρήματος είναι αληθή, δηλ.
1) P(a) - true;
2) UK SC σε + ισχύει επίσης.
Από το αντίθετο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός
β > α, ότι RF) - ψευδής. Είναι προφανές ότι το b a, αφού το P(a) είναι αληθές. Σχηματίζουμε το σύνολο M = (z? > a, P(z) είναι ψευδές).
Τότε το σύνολο M 0 , αφού β? Το Μ και το Μ- οριοθετείται από κάτω από τον αριθμό α. Επομένως, με το θεώρημα του ελάχιστου ακέραιου αριθμού (Θεώρημα 4, 2), το σύνολο M περιέχει τον μικρότερο ακέραιο c. Εξ ου και c > a, που με τη σειρά του συνεπάγεται c - 1 > a.
Ας αποδείξουμε ότι το P(c-1) είναι αληθές. Αν c-1 = a, τότε το P(c-1) είναι αληθές λόγω της συνθήκης.
Έστω c-1 > a. Τότε η υπόθεση ότι το P(c - 1) είναι ψευδές υπονοεί την ένταξη με 1; M, το οποίο δεν μπορεί να είναι, αφού ο αριθμός c είναι ο μικρότερος στο σύνολο M.
Έτσι ισχύει c - 1 > a και P(c - 1).
Επομένως, δυνάμει της συνθήκης αυτού του θεωρήματος, η πρόταση Р((с- 1) + 1) είναι αληθής, δηλ. Το R(s) είναι αληθές. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την επιλογή του αριθμού c, αφού c; M Το θεώρημα αποδεικνύεται.
Σημειώστε ότι αυτό το θεώρημα γενικεύει το συμπέρασμα 1 από τα αξιώματα του Peano.
Θεώρημα 2 (η δεύτερη μορφή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής για ακέραιους αριθμούς). Έστω P(c) κάποιο πρόθεμα μιας θέσης που ορίζεται στο σύνολο Z των ακεραίων. Τότε αν η πρόθεση P(c) ισχύει για κάποιο ακέραιο αριθμό K και για έναν αυθαίρετο ακέραιο s K από την εγκυρότητα της πρότασης P(c) για όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν την ανισότητα K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >ΠΡΟΣ ΤΗΝ.
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος επαναλαμβάνει σε μεγάλο βαθμό την απόδειξη ενός παρόμοιου θεωρήματος για φυσικούς αριθμούς (Θεώρημα 1, 55, Κεφ. III).
Θεώρημα 3 (η τρίτη μορφή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής). Έστω P(c) ένα κατηγόρημα μιας θέσης που ορίζεται στο σύνολο Z των ακεραίων. Τότε αν το P(c) είναι αληθές Για όλους τους αριθμούς κάποιου άπειρου υποσυνόλου M του συνόλου των φυσικών αριθμών και για έναν αυθαίρετο ακέραιο αριθμό a, από την αλήθεια του P(a) προκύπτει ότι το P (a - 1) είναι αληθές, τότε η πρόταση P(c) ισχύει για όλους τους ακέραιους αριθμούς.
Η απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη του αντίστοιχου θεωρήματος για τους φυσικούς αριθμούς.
Το προσφέρουμε ως μια ενδιαφέρουσα άσκηση.
Σημειώστε ότι στην πράξη, η τρίτη μορφή μαθηματικής επαγωγής είναι λιγότερο κοινή από τις άλλες. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι για την εφαρμογή του είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ένα άπειρο υποσύνολο M του συνόλου των φυσικών αριθμών ", το οποίο αναφέρεται στο θεώρημα. Η εύρεση ενός τέτοιου σετ μπορεί να είναι δύσκολη υπόθεση.
Όμως το πλεονέκτημα της τρίτης μορφής έναντι των άλλων είναι ότι με τη βοήθειά της αποδεικνύεται η πρόταση P(c) για όλους τους ακέραιους αριθμούς.
Παρακάτω παρουσιάζουμε ενδιαφέρον παράδειγμααίτηση του τρίτου εντύπου. Αλλά πρώτα, ας δώσουμε μια πολύ σημαντική ιδέα.
Ορισμός. Η απόλυτη τιμή ενός ακέραιου αριθμού a είναι ο αριθμός που καθορίζεται από τον κανόνα
0 αν a O a αν a > O
Και αν α< 0.
Έτσι, αν το a είναι 0, τότε ; Ν.
Προσκαλούμε τον αναγνώστη ως άσκηση να αποδείξει τις ακόλουθες ιδιότητες απόλυτης τιμής:
Θεώρημα (για διαίρεση με υπόλοιπο). Για οποιουσδήποτε ακέραιους αριθμούς a και b, όπου b 0, υπάρχει, και επιπλέον, μόνο ένα ζεύγος αριθμών q U m έτσι ώστε a r: bq + T A D.
Απόδειξη.
1. Ύπαρξη ζεύγους (q, m).
Έστω α, β; Ζ και 0. Ας δείξουμε ότι υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών q και ικανοποιεί τις προϋποθέσεις
Η απόδειξη πραγματοποιείται με επαγωγή στην τρίτη μορφή στον αριθμό α για έναν σταθερό αριθμό β.
Μ = (mlm = n lbl, η? Ν).
Προφανώς, το M C lt είναι μια αντιστοίχιση f: N M που ορίζεται από τον κανόνα f(n) = nlbl για οποιοδήποτε n; Το Ν, είναι μια διχογνωμία. Αυτό σημαίνει ότι το Μ Ν, δηλ. Το Μ είναι ατελείωτο.
Ας αποδείξουμε ότι για έναν αυθαίρετο αριθμό α; M (και b-σταθερό) ο ισχυρισμός του θεωρήματος για την ύπαρξη ζεύγους αριθμών q και m είναι αληθής.
Πράγματι, έστω ένα (- M. Τότε ένα pf! για κάποιους n? N.
Αν b > 0, τότε a = n + 0. Τώρα θέτοντας q = n και m 0, λαμβάνουμε το απαιτούμενο ζεύγος αριθμών q και m. Αν b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Ας κάνουμε τώρα μια επαγωγική υπόθεση. Ας υποθέσουμε ότι για έναν αυθαίρετο ακέραιο c (και έναν αυθαίρετο σταθερό b 0) ο ισχυρισμός του θεωρήματος είναι αληθής, δηλ. υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών (q, m) τέτοιοι ώστε
Ας αποδείξουμε ότι ισχύει και για τον αριθμό (με 1) . Η ισότητα c = bq -4- συνεπάγεται bq + (m - 1). (1)
Είναι πιθανές περιπτώσεις.
1) m > 0. Τότε 7" - 1 > 0. Σε αυτή την περίπτωση, ρυθμίζοντας - m - 1, λαμβάνουμε c - 1 - bq + Tl, όπου το ζεύγος (q, 7" 1,) ικανοποιεί προφανώς τη συνθήκη
0. Τότε с - 1 bq1 + 711 , όπου q1
Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι το 0< < Д.
Έτσι, η πρόταση ισχύει και για το ζεύγος των αριθμών
Το πρώτο μέρος του θεωρήματος αποδεικνύεται.
Π. Η μοναδικότητα του ζεύγους q κ.λπ.
Ας υποθέσουμε ότι για τους αριθμούς a και b 0 υπάρχουν δύο ζεύγη αριθμών (q, m) και (q1, οπότε πληρούν τις προϋποθέσεις (*)
Ας αποδείξουμε ότι συμπίπτουν. Ας λοιπόν
και ένα bq1 L O< Д.
Αυτό σημαίνει ότι b(q1 -q) m - 7 1 1. Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι
Αν τώρα υποθέσουμε ότι q ql , τότε q - q1 0, απ' όπου lq - q1l 1. Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις ανισώσεις όρο προς όρο με τον αριθμό lbl, παίρνουμε φ! - q11 D. (3)
Ταυτόχρονα, από τις ανισώσεις 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Γυμνάσια:
1. Συμπληρώστε τις αποδείξεις των θεωρημάτων 2 και 3 από 5 1.
2. Να αποδείξετε το συμπέρασμα 2 του Θεωρήματος 3, 1.
3. Να αποδείξετε ότι το υποσύνολο H ⊂ Z, που αποτελείται από όλους τους αριθμούς της μορφής< п + 1, 1 >(η? Ν), κλείνει με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό.
4. Έστω H το ίδιο σύνολο όπως στην Άσκηση 3. Να αποδείξετε ότι η αντιστοίχιση j : M ικανοποιεί τις προϋποθέσεις:
1) j - bijection;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) και j(nm) = j(n) j(m) για οποιουσδήποτε αριθμούς n, m (δηλαδή, το j εκτελεί έναν ισομορφισμό των άλγεβρων ( Ν, 4, και (Η, +,).
5. Συμπληρώστε την απόδειξη του Θεωρήματος 1 από 2.
6. Να αποδείξετε ότι για τυχόν ακέραιους αριθμούς a, b, c ισχύουν οι ακόλουθες συνέπειες:
7. Να αποδείξετε το δεύτερο και τρίτο θεωρήματα από το 3.
8. Να αποδείξετε ότι ο δακτύλιος Z των ακεραίων αριθμών δεν περιέχει μηδενικούς διαιρέτες.
Βιβλιογραφία
1. Μπουρμπάκη Ν. Θεωρία συνόλων. Μ.: Μιρ, 1965.
2. I. M. Vinogradov, Fundamentals of Number Theory. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov, I. T. Foundations of arithmetic. Μόσχα: Uchpedgiz, 1963.
4. M. I. Kargapolov και Yu. I. Merzlyakov, Fundamentals of Group Theory.
Μόσχα: Nauka, 1972.
5. A. I. Kostrikin, Εισαγωγή στην Άλγεβρα. Μόσχα: Nauka, 1994.
σι. Kulikov L. Ya. Άλγεβρα και θεωρία αριθμών. Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1979.
7. Kurosh A.G. Πορεία ανώτερης άλγεβρας. Μόσχα: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Βασικές έννοιες των σχολικών μαθηματικών. Μ.: Διαφωτισμός, 1987.
9. Lyapin Ε.Ε. και άλλες ασκήσεις στη θεωρία ομάδων. Μόσχα: Nauka, 1967.
10. A. I. Maltsev, Algebraic Systems. Μόσχα: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Εισαγωγή στη μαθηματική λογική. Μόσχα: Nauka, 1971.
12. Nechaev V. I. Αριθμητικά συστήματα. Μ.: Εκπαίδευση, 1975.
13. Novikov P.S. Στοιχεία μαθηματικής λογικής. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Lectures on Algebra and Geometry.: Στις 2 μ.μ.
CHL. Μ.: Βλάδος, 1999.
15. Σύγχρονα Βασικάσχολικό μάθημα μαθηματικών Avt. συνεργάτης: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. Μόσχα: Εκπαίδευση, 1980.
16. L. A. Skornyakov, Elements of Algebra. Μόσχα: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Σύνολο, λογική, αξιωματικές θεωρίες. Μ.; Διαφωτισμός, 1968.
18. Stolyar A. A. Λογική εισαγωγή στα μαθηματικά. Μινσκ: VYSHEYSH. σχολείο, 1971.
19. V. P. Filippov, Algebra and Number Theory. Volgograd: vgpi, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Θεμέλια της θεωρίας συνόλων. Μ.: Μιρ, 1966.
21. Fuchs L. Μερικώς παραγγελθέντα συστήματα. Μ.: Μιρ, 1965.
Εκπαιδευτική έκδοση
Vladimir Konstantinovich Kartashov
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Εκδοτική προετοιμασία από τον O. I. Molokanova Πρωτότυπη διάταξη που έχει ετοιμάσει ο A. P. Boshchenko
«PR 020048 με ημερομηνία 20.12.96
Υπογραφή για δημοσίευση στις 28 Αυγούστου 1999. Μορφή 60x84/16. Εκτύπωση γραφείου. Κεραία. τύπος. Μ 2. Ουέλ. φούρνος μεγάλο. 8.2. Uch.-ed. μεγάλο. 8.3. Κυκλοφορία 500 αντίτυπα. Παραγγελία 2
Εκδοτικός οίκος "Αλλαγή"
Για τις κρατικές εξετάσεις στην ειδικότητα
1. Γραμμικός (διανυσματικός) χώρος πάνω από ένα πεδίο. Παραδείγματα. Υποχώροι, οι απλούστερες ιδιότητες. Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία διανυσμάτων.
2. Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου. Πίνακας συντεταγμένων ενός συστήματος διανυσμάτων. Μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη. Ισομορφισμός διανυσματικών χώρων.
3. Αλγεβρικό κλείσιμο του πεδίου των μιγαδικών αριθμών.
4. Δακτύλιος ακεραίων. Η διάταξη των ακεραίων. Θεωρήματα για τον «μεγαλύτερο» και τον «μικρότερο» ακέραιο.
5. Ομάδα, παραδείγματα ομάδων. Οι απλούστερες ιδιότητες των ομάδων. Υποομάδες. Ομομορφισμός και ισομορφισμός ομάδων.
6. Βασικές ιδιότητες της διαιρετότητας των ακεραίων. Απλοί αριθμοί. Το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθμών. Κανονική αποσύνθεση ενός σύνθετου αριθμού και η μοναδικότητά του.
7. Θεώρημα Kronecker-Capelli (κριτήριο συμβατότητας συστήματος γραμμικών εξισώσεων).
8. Βασικές ιδιότητες των συγκρίσεων. Ολοκληρωμένα και μειωμένα συστήματα modulo καταλοίπων. Δαχτυλίδι κατηγορίας υπολειμμάτων Modulo. Θεωρήματα Euler και Fermat.
9. Εφαρμογή της θεωρίας των συγκρίσεων στην εξαγωγή κριτηρίων διαιρετότητας. Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό και προσδιορισμός της διάρκειας της περιόδου του.
10. Σύζευξη φανταστικών ριζών πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές. Αμετάβλητο πάνω από το γήπεδο πραγματικούς αριθμούςπολυώνυμα.
11. Γραμμικές συγκρίσεις με μία μεταβλητή (κριτήριο επιλύσεως, μέθοδοι επίλυσης).
12. Ισοδύναμα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων.
13. Δαχτυλίδι. παραδείγματα δαχτυλιδιών. Οι απλούστερες ιδιότητες των δαχτυλιδιών. Subring. Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί δακτυλίων. Πεδίο. Παραδείγματα πεδίου. Οι απλούστερες ιδιότητες. Ελαχιστοποίηση του πεδίου των ρητών αριθμών.
14. Φυσικοί αριθμοί (βασικές αρχές της αξιωματικής θεωρίας των φυσικών αριθμών). Θεωρήματα για τον «μεγαλύτερο» και τον «μικρότερο» φυσικό αριθμό.
15. Πολυώνυμα πάνω από ένα χωράφι. Θεώρημα διαίρεσης με υπόλοιπο. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων, οι ιδιότητες και οι μέθοδοι εύρεσης του.
16. δυαδικές σχέσεις. Σχέση ισοδυναμίας. Κατηγορίες ισοδυναμίας, σύνολο παραγόντων.
17. Μαθηματική επαγωγή για φυσικούς και ακέραιους αριθμούς.
18. Ιδιότητες σχετικά πρώτων αριθμών. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο ακεραίων, οι ιδιότητες και οι μέθοδοι εύρεσης του.
19. Πεδίο μιγαδικών αριθμών, αριθμητικά πεδία. Γεωμετρική παράσταση και τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού.
20. Θεώρημα διαίρεσης με υπόλοιπο για ακέραιους αριθμούς. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης ακεραίων, οι ιδιότητες και οι μέθοδοι εύρεσης του.
21. Γραμμικοί τελεστές διανυσματικού χώρου. Πυρήνας και εικόνα γραμμικού τελεστή. Άλγεβρα γραμμικών τελεστών διανυσματικού χώρου. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα ενός γραμμικού τελεστή.
22. Αφινικοί μετασχηματισμοί του επιπέδου, οι ιδιότητές τους και οι μέθοδοι αντιστοίχισης. Η ομάδα συγγενικών μετασχηματισμών του επιπέδου και των υποομάδων του.
23. Πολύγωνα. Το εμβαδόν του πολυγώνου. Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας.
24. Ισοδύναμα και ίσου μεγέθους πολύγωνα.
25. Γεωμετρία Λομπατσέφσκι. Συνέπεια του συστήματος αξιωμάτων της γεωμετρίας του Lobachevsky.
26. Η έννοια του παραλληλισμού στη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι. Αμοιβαία διάταξη ευθειών γραμμών στο επίπεδο Lobachevsky.
27. Τύποι κινήσεων. Ταξινόμηση των κινήσεων του επιπέδου. Εφαρμογές για την επίλυση προβλημάτων.
28. Αμοιβαία διάταξη δύο επιπέδων, μιας ευθείας και ενός επιπέδου, δύο ευθειών στο χώρο (σε αναλυτική παρουσίαση).
29. Προβολικοί μετασχηματισμοί. Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας. Τύποι για προβολικούς μετασχηματισμούς.
30. Βαθμώδη, διανυσματικά και μικτά γινόμενα διανυσμάτων, εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων.
31. Το σύστημα των αξιωμάτων του Weyl του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου και η ουσιαστική συνοχή του.
32. Επίπεδες κινήσεις και οι ιδιότητές τους. Ομάδα κινήσεων αεροπλάνου. Το θεώρημα της ύπαρξης και της μοναδικότητας της κίνησης.
33. Προβολικό επίπεδο και τα μοντέλα του. Προβολικοί μετασχηματισμοί, οι ιδιότητές τους. Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών.
34. Μετασχηματισμοί ομοιότητας επιπέδου, οι ιδιότητές τους. Ομάδα μετασχηματισμού ομοιότητας επιπέδου και οι υποομάδες της.
35. Λείες επιφάνειες. Η πρώτη τετραγωνική μορφή επιφάνειας και οι εφαρμογές της.
36. Παράλληλος σχεδιασμός και οι ιδιότητές του. Η εικόνα επίπεδων και χωρικών μορφών σε παράλληλη προβολή.
37. Λείες γραμμές. Καμπυλότητα χωρικής καμπύλης και υπολογισμός της.
38. Έλειψη, υπερβολή και παραβολή ως κωνικές τομές. Κανονικές εξισώσεις.
39. Ιδιότητα καταλόγου της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. Πολικές εξισώσεις.
40. Διπλός λόγος τεσσάρων σημείων ευθείας, οι ιδιότητες και ο υπολογισμός της. Αρμονικός διαχωρισμός ζευγών σημείων. Πλήρες τετράπλευρο και οι ιδιότητές του. Εφαρμογή στην επίλυση κατασκευαστικών προβλημάτων.
41. Θεωρήματα Pascal και Brianchon. Πολωνοί και πολικοί.
Δείγματα ερωτήσεων για τον λογισμό
Όπως γνωρίζετε, το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να ταξινομηθεί χρησιμοποιώντας τη σχέση "λιγότερο από". Αλλά οι κανόνες για την κατασκευή μιας αξιωματικής θεωρίας απαιτούν αυτή η σχέση όχι μόνο να ορίζεται, αλλά και να γίνεται με βάση τις έννοιες που έχουν ήδη καθοριστεί στη δεδομένη θεωρία. Αυτό μπορεί να γίνει ορίζοντας την αναλογία "λιγότερο από" μέσω της πρόσθεσης.
Ορισμός. Ο αριθμός α είναι μικρότερος από τον αριθμό β (α< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = σι.
Υπό αυτές τις συνθήκες λέγεται επίσης ότι ο αριθμός σιπερισσότερο ΕΝΑκαι γράψε β > α.
Θεώρημα 12.Για τυχόν φυσικούς αριθμούς ΕΝΑΚαι σιλαμβάνει χώρα μία και μόνο μία από τις ακόλουθες τρεις σχέσεις: a = b, a > b, ΕΝΑ < σι.
Παραλείπουμε την απόδειξη αυτού του θεωρήματος.. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι αν
a ¹ b,είτε ΕΝΑ< b, ή α > βεκείνοι. η σχέση «λιγότερο από» έχει την ιδιότητα της συνδεσιμότητας.
Θεώρημα 13.Αν ΕΝΑ< b Και σι< с. Οτι ΕΝΑ< с.
Απόδειξη. Αυτό το θεώρημα εκφράζει την ιδιότητα της μεταβατικότητας της σχέσης «λιγότερο από».
Επειδή ΕΝΑ< b Και σι< с. τότε, με τον ορισμό της σχέσης «λιγότερο από», υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί Προς τηνΚαι λοιπόν b = a + k και c = b + I.Αλλά στη συνέχεια c = (a + k)+ / και με βάση την ιδιότητα συσχέτισης της πρόσθεσης παίρνουμε: c = a + (k +/). Επειδή η k + I -φυσικός αριθμός, λοιπόν, σύμφωνα με τον ορισμό του "λιγότερο από", ΕΝΑ< с.
Θεώρημα 14. Αν ΕΝΑ< b, δεν είναι αλήθεια ότι σι< а. Απόδειξη. Αυτό το θεώρημα εκφράζει την ιδιότητα αντισυμμετρία«λιγότερη» σχέση.
Ας το αποδείξουμε πρώτα για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ΕΝΑόχι εσύ-!>! ■ )τη στάση της ΕΝΑ< ΕΝΑ.Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. Τι ΕΝΑ< а λαμβάνει χώρα. Τότε, με τον ορισμό της σχέσης «λιγότερο από», υπάρχει ένας τέτοιος φυσικός αριθμός Με,Τι ΕΝΑ+ Με= ΕΝΑ,και αυτό έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα 6.
Ας αποδείξουμε τώρα ότι αν ΕΝΑ< σι, τότε δεν είναι αλήθεια ότι σι < ΕΝΑ.Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. κι αν ΕΝΑ< b , Οτι σι< а εκτελούνται. Αλλά από αυτές τις ισότητες, από το Θεώρημα 12, έχουμε ΕΝΑ< а, που είναι αδύνατο.
Δεδομένου ότι η σχέση «λιγότερο από» που ορίσαμε είναι αντισυμμετρική και μεταβατική και έχει την ιδιότητα συνδεσιμότητας, είναι η σχέση γραμμική σειρά, και το σύνολο των φυσικών αριθμών γραμμικά διατεταγμένο σύνολο.
Από τον ορισμό του «λιγότερο από» και τις ιδιότητές του, μπορεί κανείς να συναγάγει τις γνωστές ιδιότητες του συνόλου των φυσικών αριθμών.
Θεώρημα 15.Από όλους τους φυσικούς αριθμούς, ένας είναι ο μικρότερος αριθμός, δηλ. Εγώ< а для любого натурального числа a¹1.
Απόδειξη. Αφήνω ΕΝΑ -οποιοδήποτε φυσικό αριθμό. Τότε είναι δυνατές δύο περιπτώσεις: α = 1 και ένα ¹ 1. Αν α = 1, τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός σι,ακολουθούμενη από a: a \u003d b " \u003d b + I = 1 + σι,δηλ. με τον ορισμό του "λιγότερο από", 1< ΕΝΑ.Επομένως, κάθε φυσικός αριθμός είναι ίσος με 1 ή μεγαλύτερος από 1. Ή, το ένα είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός.
Η σχέση «λιγότερο από» συνδέεται με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των αριθμών με τις ιδιότητες της μονοτονίας.
Θεώρημα 16.
a = b => a + c = b + c και a c = b c;
ΕΝΑ< b =>α + γ< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c και ac > bc.
Απόδειξη. 1) Η εγκυρότητα αυτής της δήλωσης προκύπτει από τη μοναδικότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
2) Αν ΕΝΑ< b,
τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός κ,Τι ΕΝΑ
+ k = β.
Επειτα σι+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Προς την)= (α + γ) + κ.Ισότητα σι+ c = (a + c) + kσημαίνει ότι α + γ< b
+ Με.
Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι ΕΝΑ< b =>άσσος< bс.
3) Η απόδειξη είναι παρόμοια.
Θεώρημα 17(αντίστροφα με το Θεώρημα 16).
1) ΕΝΑ+ c = b + cή ac ~ bc-Þ α = β
2) α + γ< Ь + с ή άσσος< προ ΧΡΙΣΤΟΥÞ ΕΝΑ< Ь:
3) α + γ > β+ με ή ac > bcÞ α > β.
Απόδειξη. Ας το αποδείξουμε, για παράδειγμα, αυτό άσσος< bс πρέπει ΕΝΑ< b Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. ότι το συμπέρασμα του θεωρήματος δεν ισχύει. Τότε δεν μπορεί να είναι α = β.γιατί τότε θα ίσχυε η ισότητα ακ = π.χ(Θεώρημα 16); δεν μπορεί να είναι ΕΝΑ> σι,γιατί τότε θα ήταν ac > bc(Θεώρημα!6). Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 12, ΕΝΑ< b.
Από τα θεωρήματα 16 και 17, μπορεί κανείς να συναγάγει τους γνωστούς κανόνες για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των ανισώσεων ανά όρο. Τα ρίχνουμε.
Θεώρημα 18. Για τυχόν φυσικούς αριθμούς ΕΝΑΚαι σι; υπάρχει ένας φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε n β> α.
Απόδειξη. Για οποιονδηποτε ΕΝΑυπάρχει τέτοιος αριθμός Π, Τι n > α.Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε n = a + 1. Πολλαπλασιάζοντας όρο προς όρο τις ανισότητες Π> ΕΝΑΚαι σι> 1, παίρνουμε pb > ΕΝΑ.
Από τις εξεταζόμενες ιδιότητες της σχέσης "λιγότερο από" ακολουθούν σημαντικά χαρακτηριστικάσύνολα φυσικών αριθμών, που δίνουμε χωρίς απόδειξη.
1. Όχι για κανένα φυσικό αριθμό ΕΝΑδεν υπάρχει τέτοιος φυσικός αριθμός Π,Τι ΕΝΑ< п < а +
1. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ιδιοκτησία
διακριτικότητασύνολα φυσικών αριθμών και οι αριθμοί ΕΝΑΚαι ένα + 1 κάλεσε γειτονικός.
2.
Οποιοδήποτε μη κενό υποσύνολο φυσικών αριθμών περιέχει
ο μικρότερος αριθμός.
3. Αν Μ- μη κενό υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών
και υπάρχει ένας αριθμός σι,ότι για όλους τους αριθμούς x από Μδεν εκτελείται
ισότητα x< σι,μετά στο πλήθος Μείναι ο μεγαλύτερος αριθμός.
Ας επεξηγήσουμε τις ιδιότητες 2 και 3 με ένα παράδειγμα. Αφήνω Μείναι ένα σύνολο διψήφιων αριθμών. Επειδή Μείναι ένα υποσύνολο φυσικών αριθμών και για όλους τους αριθμούς αυτού του συνόλου η ανίσωση x< 100, то в множестве Μείναι ο μεγαλύτερος αριθμός 99. Ο μικρότερος αριθμός που περιέχεται στο δεδομένο σύνολο Μ, -αριθμός 10.
Έτσι, η σχέση "λιγότερο από" μας επέτρεψε να εξετάσουμε (και σε ορισμένες περιπτώσεις να αποδείξουμε) έναν σημαντικό αριθμό ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών. Συγκεκριμένα, είναι γραμμικά διατεταγμένο, διακριτό, έχει τον μικρότερο αριθμό 1.
Με την αναλογία "λιγότερο" ("μεγαλύτερο") για τους φυσικούς αριθμούς, οι νεότεροι μαθητές εξοικειώνονται από την αρχή της εκπαίδευσης. Και συχνά, μαζί με τη θεωρητική ερμηνεία των συνόλων, χρησιμοποιείται σιωπηρά ο ορισμός που δίνουμε στο πλαίσιο της αξιωματικής θεωρίας. Για παράδειγμα, οι μαθητές μπορούν να εξηγήσουν ότι 9 > 7 επειδή το 9 είναι 7+2. Συχνή και σιωπηρή χρήση των ιδιοτήτων μονοτονίας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, τα παιδιά εξηγούν ότι «6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Γυμνάσια
1 Γιατί το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν μπορεί να ταξινομηθεί με τη σχέση «ακολουθεί αμέσως»;
Διατυπώστε έναν ορισμό μιας σχέσης α > βκαι να αποδείξετε ότι είναι μεταβατικό και αντισυμμετρικό.
3. Να αποδείξετε ότι αν α, β, γείναι φυσικοί αριθμοί, τότε:
ΕΝΑ) ΕΝΑ< b Þ ас < bс;
σι) ΕΝΑ+ Με< b + su> ΕΝΑ< Ь.
4. Ποια θεωρήματα για τη μονοτονία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μπορούν
χρήση από νεότερους μαθητές κατά την ολοκλήρωση της εργασίας «Σύγκριση χωρίς εκτέλεση υπολογισμών»:
α) 27 + 8 ... 27 + 18;
β) 27-8 ... 27-18.
5. Ποιες ιδιότητες του συνόλου των φυσικών αριθμών χρησιμοποιούνται σιωπηρά από τους νεότερους μαθητές όταν εκτελούν τις ακόλουθες εργασίες:
Α) Να γράψετε τους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 65 και μικρότεροι του 75.
Β) Να ονομάσετε τον προηγούμενο και τους επόμενους αριθμούς σε σχέση με τον αριθμό 300 (800.609.999).
Γ) Ποιος είναι ο μικρότερος και ο μεγαλύτερος τριψήφιος αριθμός.
Αφαίρεση
Στην αξιωματική κατασκευή της θεωρίας των φυσικών αριθμών, η αφαίρεση συνήθως ορίζεται ως η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης.
Ορισμός. Η αφαίρεση των φυσικών αριθμών a και b είναι μια πράξη που ικανοποιεί την προϋπόθεση: a - b \u003d c αν και μόνο εάν b + c \u003d a.
Αριθμός α - βονομάζεται η διαφορά μεταξύ των αριθμών α και σι,αριθμός ΕΝΑ- φθίνουσα, αριθμός σι-αφαιρέσιμο.
Θεώρημα 19.Διαφορά φυσικών αριθμών ΕΝΑ- σιυπάρχει αν και μόνο αν σι< а.
Απόδειξη. Αφήστε τη διαφορά ΕΝΑ- σιυπάρχει. Τότε, με τον ορισμό της διαφοράς, υπάρχει ένας φυσικός αριθμός Με,Τι β + γ = α,και αυτό σημαίνει ότι σι< а.
Αν σι< а, τότε, με τον ορισμό της σχέσης «λιγότερο από», υπάρχει ένας φυσικός αριθμός c τέτοιος ώστε β + γ = α.Στη συνέχεια, με τον ορισμό της διαφοράς, c \u003d a - b,εκείνοι. διαφορά α - βυπάρχει.
Θεώρημα 20. Αν η διαφορά φυσικών αριθμών ΕΝΑΚαι σιυπάρχει, τότε είναι μοναδικό.
Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικές τιμές της διαφοράς μεταξύ των αριθμών ΕΝΑΚαι σι;: α - β= c1Και α - β= c2, και c1 1 c2.Τότε, εξ ορισμού της διαφοράς, έχουμε: a = b + c1,Και a = b + c2 : .Ως εκ τούτου προκύπτει ότι σι+ c 1 = b + c2 :και με βάση το Θεώρημα 17 συμπεραίνουμε, c1 = c2..Ήρθαμε σε αντίφαση με την υπόθεση, που σημαίνει ότι είναι ψευδής, και αυτό το θεώρημα είναι αληθές.
Με βάση τον ορισμό της διαφοράς των φυσικών αριθμών και τις προϋποθέσεις ύπαρξής της, είναι δυνατόν να τεκμηριωθούν οι γνωστοί κανόνες για την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα και ενός αθροίσματος από έναν αριθμό.
Θεώρημα 21. Αφήνω ΕΝΑ. σιΚαι Με- ακέραιοι αριθμοί.
κι αν a > c, τότε (a + b) - c = (a - c) + b.
β) Αν β > γ. τότε (α + β) - γ - α + (β - γ).
γ) Αν α > γ και β > γ.τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους.
Απόδειξη. Στην περίπτωση α) η διαφορά αριθμών ΕΝΑΚαι ντουπάρχει γιατί α > γ.Ας το χαρακτηρίσουμε με x: a - c \u003d x.που a = c + x. Αν (ΕΝΑ+ β) - c = y.τότε, με τον ορισμό της διαφοράς, ΕΝΑ+ σι = Με+ στο. Ας υποκαταστήσουμε αυτήν την ισότητα αντί για ΕΝΑέκφραση c + x:(c + x) + b = c + y.Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα συσχέτισης της πρόσθεσης: γ + (χ + β) = γ+ στο. Μετασχηματίζουμε αυτήν την ισότητα με βάση την ιδιότητα της μονοτονίας της πρόσθεσης, παίρνουμε:
x + β = y..Αντικατάσταση του x σε αυτή την εξίσωση με την παράσταση μετα Χριστον,θα έχω (ΕΝΑ -ΣΟΛ) + b = y.Έτσι, αποδείξαμε ότι αν a > c, τότε (a + b) - c = (a - c) + b
Η απόδειξη διενεργείται ομοίως στην περίπτωση β).
Το αποδεδειγμένο θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας που είναι εύκολο να θυμόμαστε: για να αφαιρέσουμε έναν αριθμό από το άθροισμα, αρκεί να αφαιρέσουμε αυτόν τον αριθμό από έναν όρο του αθροίσματος και να προσθέσουμε έναν άλλο όρο στο αποτέλεσμα που προκύπτει.
Θεώρημα 22.Αφήνω α, β και γ -ακέραιοι αριθμοί. Αν α > β+ c, λοιπόν ΕΝΑ- (β + γ) = (α - β) - γή α - (β + γ) \u003d (α - γ) - β.
Η απόδειξη αυτής της θεωρίας είναι παρόμοια με την απόδειξη του Θεωρήματος 21.
Το θεώρημα 22 μπορεί να διατυπωθεί κατά κανόνα, για να αφαιρέσουμε το άθροισμα των αριθμών από έναν αριθμό, αρκεί να αφαιρέσουμε από αυτόν τον αριθμό διαδοχικά κάθε όρος ο ένας μετά τον άλλο.
ΣΕ πρωτοβάθμια εκπαίδευσημαθηματικά ορισμός της αφαίρεσης ως το αντίστροφο της πρόσθεσης, στο γενική εικόνα, κατά κανόνα, δεν δίνεται, αλλά χρησιμοποιείται συνεχώς, ξεκινώντας με την εκτέλεση πράξεων σε μονοψήφιους αριθμούς. Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν καλά ότι η αφαίρεση σχετίζεται με την πρόσθεση και να χρησιμοποιούν αυτή τη σχέση κατά τον υπολογισμό. Αφαιρώντας, για παράδειγμα, τον αριθμό 16 από τον αριθμό 40, οι μαθητές αιτιολογούν ως εξής: «Αφαιρέστε τον αριθμό 16 από το 40 - τι σημαίνει να βρείτε έναν αριθμό που, όταν προστεθεί στον αριθμό 16, δίνει 40; αυτός ο αριθμός θα είναι 24, αφού 24 + 16 = 40. Άρα. 40 - 16 = 24".
Οι κανόνες για την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα και ενός αθροίσματος από έναν αριθμό σε ένα μάθημα στοιχειωδών μαθηματικών είναι θεωρητική βάσηδιάφορες μεθόδους υπολογισμού. Για παράδειγμα, η τιμή της παράστασης (40 + 16) - 10 μπορεί να βρεθεί όχι μόνο με τον υπολογισμό του αθροίσματος σε αγκύλες και, στη συνέχεια, την αφαίρεση του αριθμού 10 από αυτό, αλλά και με αυτόν τον τρόπο.
α) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
β) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Γυμνάσια
1. Είναι αλήθεια ότι κάθε φυσικός αριθμός προκύπτει από τον αμέσως επόμενο αφαιρώντας έναν;
2. Ποια είναι η ιδιαιτερότητα της λογικής δομής του Θεωρήματος 19; Μπορεί να διατυπωθεί χρησιμοποιώντας τις λέξεις «αναγκαίο και επαρκές»;
3. Αποδείξτε ότι:
κι αν β > γ,Οτι (a + b) - c \u003d a + (b - c);
β) εάν α > β + γ, Οτι α - (β+ γ) = (α - β) - γ.
4. Είναι δυνατόν, χωρίς να κάνουμε υπολογισμούς, να πούμε ποιες εκφράσεις θα είναι ίσες:
α) (50 + 16) - 14; δ) 50 + (16 -14 ),
β) (50 - 14) + 16; ε) 50 - (16 - 14);
γ) (50 - 14) - 16, στ) (50 + 14) - 16.
α) 50 - (16 + 14); δ) (50 - 14) + 16;
β) (50 - 16) + 14; ε) (50 - 14) - 16;
γ) (50 - 16) - 14; ε) 50 - 16 - 14.
5. Ποιες ιδιότητες της αφαίρεσης αποτελούν τη θεωρητική βάση των ακόλουθων μεθόδων υπολογισμού που μελετήθηκαν στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών:
12 - 2-3 12 -5 = 7
β) 16-7 \u003d 16-6 - P;
γ) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
δ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Περιγράψτε πιθανούς τρόπουςαξιολόγηση της αξίας μιας έκφρασης της φόρμας. α - β- Μεκαι να τα επεξηγήσετε με συγκεκριμένα παραδείγματα.
7. Αποδείξτε ότι για σι< а και κάθε φυσική γ την ισότητα (α - β) γ \u003d ac - bc.
Εντολή. Η απόδειξη βασίζεται στο αξίωμα 4.
8. Προσδιορίστε την τιμή της παράστασης χωρίς να κάνετε γραπτούς υπολογισμούς. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις.
α) 7865 × 6 - 7865 × 5: β) 957 × 11 - 957; γ) 12 × 36 - 7 × 36.
Διαίρεση
Στην αξιωματική κατασκευή της θεωρίας των φυσικών αριθμών, η διαίρεση συνήθως ορίζεται ως η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.
Ορισμός. Η διαίρεση των φυσικών αριθμών a και b είναι μια πράξη που ικανοποιεί την προϋπόθεση: a: b = c αν και μόνο αν,Προς την όταν β× γ = α.
Αριθμός α:βπου ονομάζεται ιδιωτικόςαριθμοί ΕΝΑΚαι σι,αριθμός ΕΝΑδιαιρετέος, αριθμός σι- διαχωριστικό.
Όπως είναι γνωστό, η διαίρεση στο σύνολο των φυσικών αριθμών δεν υπάρχει πάντα και δεν υπάρχει τόσο βολικό κριτήριο για την ύπαρξη ενός πηλίκου όπως υπάρχει για μια διαφορά. Υπάρχει μόνο απαραίτητη προϋπόθεσηιδιωτική ύπαρξη.
Θεώρημα 23.Για να υπάρχει πηλίκο δύο φυσικών αριθμών ΕΝΑΚαι σι, είναι απαραίτητο ότι σι< а.
Απόδειξη. Έστω το πηλίκο των φυσικών αριθμών ΕΝΑΚαι σιυπάρχει, δηλ. υπάρχει ένας φυσικός αριθμός c τέτοιος ώστε bc = α.Αφού για κάθε φυσικό αριθμό 1 η ανίσωση 1 £ Με,στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη του με έναν φυσικό αριθμό σι, παίρνουμε σι£ προ ΧΡΙΣΤΟΥ.Αλλά π.Χ. \u003d α,ως εκ τούτου, σι£ ΕΝΑ.
Θεώρημα 24.Αν το πηλίκο των φυσικών αριθμών ΕΝΑΚαι σιυπάρχει, τότε είναι μοναδικό.
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι παρόμοια με την απόδειξη του θεωρήματος για τη μοναδικότητα της διαφοράς των φυσικών αριθμών.
Με βάση τον ορισμό των μερικών φυσικών αριθμών και τις προϋποθέσεις ύπαρξής του, είναι δυνατό να τεκμηριωθούν οι γνωστοί κανόνες για τη διαίρεση ενός αθροίσματος (διαφορά, γινόμενο) με έναν αριθμό.
Θεώρημα 25.Αν αριθμοί ΕΝΑΚαι σιδιαιρούμενο με τον αριθμό Με,τότε το άθροισμά τους α + βδιαιρείται με το c και το πηλίκο που προκύπτει διαιρώντας το άθροισμα ΕΝΑ+ σιανά αριθμό Με,ισούται με το άθροισμα των πηλίκων που λαμβάνονται με διαίρεση ΕΝΑεπί ΜεΚαι σιεπί Με, δηλ. (α + β):c \u003d a: c + b:Με.
Απόδειξη. Από τον αριθμό ΕΝΑδιαιρείται με Με,τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός x = ΕΝΑ;με αυτό a = cx.Ομοίως, υπάρχει ένας φυσικός αριθμός y = β:Με,Τι
σι= su.Αλλά στη συνέχεια a + b = cx+ su = - c(x + y).Αυτό σημαίνει ότι α + βδιαιρείται με το c και το πηλίκο που προκύπτει διαιρώντας το άθροισμα ΕΝΑ+ σιστον αριθμό c, ισούται με x + y,εκείνοι. τσεκούρι + β: γ.
Το αποδεδειγμένο θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας για τη διαίρεση ενός αθροίσματος με έναν αριθμό: για να διαιρέσουμε το άθροισμα με έναν αριθμό, αρκεί να διαιρέσουμε κάθε όρο με αυτόν τον αριθμό και να προσθέσουμε τα αποτελέσματα.
Θεώρημα 26.Αν φυσικοί αριθμοί ΕΝΑΚαι σιδιαιρούμενο με τον αριθμό ΜεΚαι α > βτότε η διαφορά α - βδιαιρείται με το c, και το πηλίκο που προκύπτει διαιρώντας τη διαφορά με τον αριθμό c είναι ίσο με τη διαφορά των πηλίκων που προκύπτει με τη διαίρεση ΕΝΑεπί ΜεΚαι σιέως γ, δηλ. (a - b):c \u003d a:c - b:c.
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος πραγματοποιείται παρόμοια με την απόδειξη του προηγούμενου θεωρήματος.
Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας για τη διαίρεση μιας διαφοράς με έναν αριθμό: ΓιαΓια να διαιρέσουμε τη διαφορά με έναν αριθμό, αρκεί να διαιρέσουμε το minuend και το subtrahend με αυτόν τον αριθμό και να αφαιρέσουμε το δεύτερο από το πρώτο πηλίκο.
Θεώρημα 27.Αν ένας φυσικός αριθμός ΕΝΑδιαιρείται με έναν φυσικό αριθμό c, τότε για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό σιδουλειά αβχωρίζεται σε σ. Στην περίπτωση αυτή, το πηλίκο που προκύπτει διαιρώντας το γινόμενο αβστον αριθμό από , ισούται με το γινόμενο του πηλίκου που προκύπτει με διαίρεση ΕΝΑεπί Με,και αριθμοί β: (α × β): γ - (α: γ) × β.
Απόδειξη. Επειδή ΕΝΑδιαιρείται με Με,τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός x τέτοιος ώστε όπως και= x, από όπου a = cx.Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με σι,παίρνουμε ab = (cx)b.Αφού λοιπόν ο πολλαπλασιασμός είναι συνειρμικός (cx) b = c(x b).Από εδώ (α β): c \u003d x b \u003d (α: γ) β.Το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας για τη διαίρεση ενός γινομένου με έναν αριθμό: για να διαιρέσουμε ένα γινόμενο με έναν αριθμό, αρκεί να διαιρέσουμε έναν από τους παράγοντες με αυτόν τον αριθμό και να πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα με τον δεύτερο παράγοντα.
Στη στοιχειώδη μαθηματική εκπαίδευση, ο ορισμός της διαίρεσης ως της λειτουργίας του αντιστρόφου του πολλαπλασιασμού, κατά κανόνα, δεν δίνεται σε γενική μορφή, αλλά χρησιμοποιείται συνεχώς, ξεκινώντας από τα πρώτα μαθήματα εξοικείωσης με τη διαίρεση. Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν καλά ότι η διαίρεση σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό και να χρησιμοποιούν αυτή τη σχέση στους υπολογισμούς. Όταν διαιρούν, για παράδειγμα, το 48 με το 16, οι μαθητές συλλογίζονται ως εξής: «Η διαίρεση του 48 με το 16 σημαίνει ότι βρίσκουμε έναν αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με το 16, θα είναι 48. αυτός ο αριθμός θα είναι 3, αφού 16 × 3 = 48. Επομένως, 48: 16 = 3.
Γυμνάσια
1. Αποδείξτε ότι:
α) αν το πηλίκο των φυσικών αριθμών α και βυπάρχει, τότε είναι μοναδικό.
β) εάν αριθμοί α και βχωρίζονται σε ΜεΚαι α > βΟτι (α - β): γ \u003d α: γ - β: γ.
2. Είναι δυνατόν να ισχυριστεί κανείς ότι όλη η δεδομένη ισότητα είναι αληθινή:
α) 48:(2×4) = 48:2:4; β) 56:(2×7) = 56:7:2;
γ) 850:170 = 850:10:17.
Ποιος κανόνας είναι μια γενίκευση αυτών των περιπτώσεων; Διατυπώστε το και αποδείξτε το.
3. Ποιες ιδιότητες της διαίρεσης αποτελούν τη θεωρητική βάση
εκπλήρωση των ακόλουθων εργασιών που προσφέρονται στους μαθητές δημοτικό σχολείο:
είναι δυνατόν, χωρίς διαίρεση, να πούμε ποιες εκφράσεις θα έχουν τις ίδιες τιμές:
α) (40+ 8): 2; γ) 48:3; ε) (20+ 28): 2;
β) (30 + 16):3; δ)(21+27):3; στ) 48:2;
Αληθεύουν οι ισότητες:
α) 48:6:2 = 48:(6:2); β) 96:4:2 = 96:(4-2);
γ) (40 - 28): 4 = 10-7;
4. Περιγράψτε πιθανούς τρόπους υπολογισμού της τιμής μιας παράστασης
τύπος:
ΕΝΑ) (ΕΝΑ+ προ ΧΡΙΣΤΟΥ;σι) ΕΝΑ:σι: Με; V) ( α × β): Με .
Εικονογραφήστε τις προτεινόμενες μεθόδους με συγκεκριμένα παραδείγματα.
5. Βρείτε τις τιμές της έκφρασης με ορθολογικό τρόπο. δικα τους
δικαιολογούν πράξεις:
α) (7 × 63):7; γ) (15 × 18):(5× 6);
β) (3 × 4× 5): 15; δ) (12 × 21): 14.
6. Να αιτιολογήσετε τις ακόλουθες μεθόδους διαίρεσης με διψήφιο αριθμό:
α) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
β) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
γ) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
δ) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.
7. Χωρίς να διαιρείτε με γωνία, βρείτε το πιο ορθολογικό
ιδιωτικός τρόπος? αιτιολογήστε την επιλεγμένη μέθοδο:
α) 495:15; c) 455:7; ε) 275:55;
6) 425:85; δ) 225:9; ε) 455:65.
Διάλεξη 34. Ιδιότητες του συνόλου των μη αρνητικών ακεραίων
1. Το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων. Ιδιότητες του συνόλου των μη αρνητικών ακεραίων.
2. Η έννοια του τμήματος της φυσικής σειράς των αριθμών και η μέτρηση των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου. Τακτικοί και ποσοτικοί φυσικοί αριθμοί.
