Axiomele inelului. Cele mai simple proprietăți ale inelelor. Clase speciale de inele

Adnotare: Această prelegere discută conceptele de inele. Sunt date definițiile și proprietățile de bază ale elementelor inelare și sunt luate în considerare inelele asociative. Sunt luate în considerare o serie de probleme caracteristice, sunt dovedite principalele teoreme și sunt date probleme pentru examinare independentă

Inele

Se numește o mulțime R cu două operații binare (adunare + și înmulțire). inel asociativ cu unitate, Dacă:

Dacă operația de înmulțire este comutativă, atunci inelul este numit comutativ inel. Inelele comutative sunt unul dintre principalele obiecte de studiu în algebra comutativă și geometria algebrică.

Note 1.10.1.

Exemple 1.10.2 (exemple de inele asociative).

Am văzut deja că grupul de reziduuri (Zn,+)=(C0,C1,...,Cn-1), Ck =k+nZ, modulo n cu operația de adunare, este un grup comutativ (vezi exemplul 1.9.4, 2)).

Să definim operația de înmulțire prin setarea . Să verificăm corectitudinea acestei operațiuni. Dacă C k =C k" , C l =C l" , atunci k"=k+nu , l"=l+nv , și deci C k"l" =C kl .

Deoarece (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, atunci este un inel comutativ asociativ cu unitatea C 1 inel rezidual modulo n).

Proprietățile inelelor (R,+,.)

Lema 1.10.3 (binomul lui Newton). Fie R un inel cu 1 , , . Apoi:

Dovada.

Definiție 1.10.4. Se numește o submulțime S a unui inel R subring, Dacă:

a) S este un subgrup în ceea ce privește adăugarea în grupul (R,+);

b) căci avem ;

c) pentru un inel R cu 1 se presupune că .

Exemple 1.10.5 (exemple de inele secundare).

Problema 1.10.6. Descrieți toate subingelele din inelul rezidual Zn modulo n.

Nota 1.10.7. În inelul Z 10, elementele care sunt multipli de 5 formează un inel cu 1, care nu este un subinel în Z 10 (aceste inele au elemente unitare diferite).

Definiția 1.10.8. Dacă R este un inel și , , ab=0, atunci elementul a se numește divizor de zero din stânga în R, elementul b este numit divizor de zero din dreapta în R.

Nota 1.10.9. În inelele comutative, desigur, nu există nicio diferență între divizorii zero stânga și dreapta.

Exemplul 1.10.10. Nu există divizori zero în Z, Q, R.

Exemplul 1.10.11. Inelul funcțiilor continue C are divizori zero. Într-adevăr, dacă

atunci , , fg=0 .

Exemplul 1.10.12. Dacă n=kl, 1

Lema 1.10.13. Dacă nu există divizori de zero (stânga) în inelul R, atunci de la ab=ac , unde , , rezultă că b=c (adică, capacitatea de a anula printr-un element diferit de zero în stânga dacă nu există divizori zero din stânga; și în dreapta dacă nu există divizori zero drepti).

Dovada. Dacă ab=ac, atunci a(b-c)=0. Deoarece a nu este un divizor de zero din stânga, atunci b-c=0, adică b=c.

Definiția 1.10.14. Elementul este numit nilpotent, dacă x n =0 pentru unii . Cel mai mic număr natural n se numește gradul de nulpotență al unui element .

Este clar că un element nilpotent este un divizor zero (dacă n>1 atunci , ). Afirmația inversă nu este adevărată (nu există elemente nilpotente în Z 6, dar 2, 3, 4 sunt divizori nenuli ai lui zero).

Exercițiul 1.10.15. Inelul Z n conține elemente nilpotente dacă și numai dacă n este divizibil cu m 2 , unde , .

Definiția 1.10.16. Elementul x al inelului R se numește idempotent, dacă x 2 =x . Este clar că 0 2 =0, 1 2 =1. Dacă x 2 =x și , atunci x(x-1)=x 2 -x=0 și, prin urmare, idempotenții netriviali sunt divizori zero.

Prin U(R) notăm mulțimea elementelor inversabile ale inelului asociativ R, adică acelea pentru care există un element invers s=r -1 (adică rr -1 =1=r -1 r ).

Definiție 4.1.1. Inel (K, +, ) este un sistem algebric cu o mulțime nevidă Kși două operații algebrice binare pe el, pe care le vom numi plusȘi multiplicare. Inelul este un grup aditiv abelian, iar înmulțirea și adunarea sunt legate de legile distributivității: ( A + b)  c = A  c + b  cȘi Cu  (A + b) = c  A + c  b pentru arbitrar A, b, c  K.

Exemplu 4.1.1. Să dăm exemple de inele.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – respectiv, inele de numere întregi, raționale, reale și complexe cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Aceste inele sunt numite numeric.

2. (Z/nZ, +, ) – inel de clase de reziduuri modulo n  N cu operatii de adunare si inmultire.

3. O multime de M n (K) toate matricele pătrate de ordin fix n  N cu coeficienți din inel ( K, +, ) cu operaţiile de adunare şi înmulţire a matricei. În special, K poate fi egal Z, Q, R, C sau Z/nZ la n  N.

4. Setul tuturor funcțiilor reale definite pe un interval fix ( A; b) dreapta numerică reală, cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire a funcțiilor.

5. Set de polinoame (polinoame) K[X] cu coeficienți din inel ( K, +, ) dintr-o variabilă X cu operaţii naturale de adunare şi înmulţire de polinoame. În special, inele polinomiale Z[X], Q[X], R[X], C[X], Z/nZ[X] la n  N.

6. Inel de vectori ( V 3 (R), +, ) cu operații de adunare și înmulțire vectorială.

7. Inel ((0), +, ) cu operații de adunare și înmulțire: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Definiție 4.1.2. Distinge finit și infinit inele (în funcție de numărul de elemente ale setului K), dar clasificarea principală se bazează pe proprietățile înmulțirii. Distinge asociativ inele atunci când operația de înmulțire este asociativă (punctele 1–5, 7 din exemplul 4.1.1) și neasociativ inele (punctul 6 din exemplul 4.1.1: aici ,). Inelele de asociere sunt împărțite în inele cu unul(există un element neutru în ceea ce privește înmulțirea) și fara unitate, comutativ(operația de înmulțire este comutativă) și necomutativ.

Teorema4.1.1. Lăsa ( K, +, ) este un inel asociativ cu unu. Apoi multe K* inversabil în ceea ce privește multiplicarea elementelor inelului K– grupa multiplicativă.

Să verificăm îndeplinirea definiției grupului 3.2.1. Lăsa A, b  K*. Să arătăm asta A  b  K * .  (A  b) –1 = b –1  A –1  K. Într-adevăr,

(A  b)  (b –1  A –1) = A  (b  b –1)  A –1 = A  1  A –1 = 1,

(b –1  A –1)  (A  b) = b –1  (A –1  A)  b = b –1  1  b = 1,

Unde A –1 , b –1  K– elemente inverse la AȘi b respectiv.

1) Înmulțirea în K* asociativ, din moment ce K– inel asociativ.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 – element neutru în raport cu înmulțirea în K * .

3) Pentru  A  K * , A –1  K* , deoarece ( A –1)  A = A  (A –1) = 1
(A –1) –1 = A.

Definiție 4.1.3. O multime de K* inversabil în ceea ce privește multiplicarea elementelor inelului ( K, +, ) sunt numite grup inel multiplicativ.

Exemplu 4.1.2. Să dăm exemple de grupuri multiplicative de diferite inele.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = G.L. n (Q), M n (R) * = G.L. n (R), M n (C) * = G.L. n (C).

3. Z/nZ* – set de clase inversabile de reziduuri, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), la n > 1 | Z/nZ * | =  (n), Unde  – Funcția Euler.

4. (0) * = (0), deoarece în în acest caz, 1 = 0.

Definiție 4.1.4. Dacă într-un inel asociativ ( K, +, ) cu grup de unitati K * = K\(0), unde 0 este un element neutru în raport cu adunarea, atunci se numește un astfel de inel corp sau algebră cuDivizia. Corpul comutativ este numit camp.

Din această definiţie este evident că în organism K*   și 1  K* înseamnă 1  0, prin urmare corpul minim, care este un câmp, este format din două elemente: 0 și 1.

Exemplu 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – respectiv câmpuri numerice numere raționale, reale și complexe.

2. (Z/pZ, +, ) – un câmp finit din p elemente dacă p- Număr prim. De exemplu, ( Z/2Z, +, ) – câmpul minim de două elemente.

3. Un corp necomutativ este corp cuaternion- a stabilit cuaternioane, adică expresii ale formei h= A + bi + cj + dk, Unde A, b, c, d  R, i 2 = = j 2 = k 2 = – 1, i  j= k= – j  i, j  k= i= – k  j, i  k= – j= – k  i, cu operațiile de adunare și înmulțire. Cuaternionii se adaugă și se înmulțesc termen cu termen, ținând cont de formulele de mai sus. Pentru toti h 0 cuaternion invers are forma:
.

Există inele cu divizori zero și inele fără divizori zero.

Definiție 4.1.5. Dacă inelul conține elemente diferite de zero AȘi b astfel încât A  b= 0, atunci se numesc divizori zeroși inelul în sine - inel cu separatoare de zero. ÎN in caz contrar inelul este numit inel fără divizori zero.

Exemplu 4.1.4.

1. Inele ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – inele fără divizori de zero.

2. În ring ( V 3 (R), +, ) fiecare element diferit de zero este un divizor al lui zero, deoarece
pentru toți
V 3 (R).

3. În inelul matricei M 3 (Z) exemple de divizori zero sunt matrici
Și
, deoarece A  B = O(matrice zero).

4. În ring ( Z/nZ, +, ) cu compozit n = k  m, unde 1< k, m < n, clase de reziduuri Și sunt divizori zero, deoarece. 

Mai jos vă prezentăm principalele proprietăți ale inelelor și câmpurilor.

Conceptul de inel, cele mai simple proprietăți ale inelelor.

Algebra ( K, +, ∙) se numește inel dacă sunt valabile următoarele axiome:

1. (K, +) – grup comutativ;

2.
A (b+c) = ab+ac (b+c)A = ba+ca;

3. A (bc) = (ab) c.

Dacă operația de înmulțire într-un inel este comutativă, atunci inelul se numește comutativ.

Exemplu. Algebre (Z, +, ∙), ( Q, +, ∙), (R, + ,∙) sunt inele.

Inelul are următoarele proprietăți: există

1) A + b = A => b = 0;

2) A+b = 0 => b = - A;

3) – (- A) = A;

4) 0∙A = A∙0 = 0 (0 – inel zero);

5) (-A)∙b = A∙(-b) = -A∙b;

6) (A – b)∙c = A∙c – b∙c, Unde A– b = A + (-b).

Să demonstrăm proprietatea 6. ( a–b)∙c = (un + (-b))∙c = A∙c+ (-b)∙c = A∙c +(-b∙c)= =A∙c–b∙c.

Lăsa ( K A K se numește subinel al inelului ( K,+,∙) dacă este un inel în raport cu operațiile din inel ( K, +, ∙).

Teorema. Lăsa ( K, +, ∙) – inel. Subset nevid A K, este un subring al inelului LA atunci și numai când
A- b, A∙b
.

Exemplu. Inelul (Q, +, ∙) este un subinel al inelului ( A, +, ∙), unde A = ={A+ b | A, b Q).

Conceptul de câmp. Cele mai simple proprietăți ale câmpurilor.

Definiție. inel comutativ ( R, +, ∙) cu unu, unde zeroul inelului nu coincide cu identitatea inelului, se numește câmp dacă
A≠0 există un element invers A -1 , A∙ A -1 = e, e– unitatea inelului.

Toate proprietățile inelelor sunt valabile pentru câmpuri. Pentru câmp ( R,+,∙) sunt valabile și următoarele proprietăți:

1)
A≠0 ecuație ah =b are o soluție și, în plus, una unică;

2) ab = e |=> A≠0 b =A -1 ;

3)

c≠0 ac = bc => a=b;

4)ab = 0
A = 0 b = 0;

5) ad = bc (b≠0, d≠0);

6)
;

.

Exemplu. Algebre (Q, +, ∙), ( A, +, ∙), unde A = {A+b | A, b Q), ( R, +, ∙) – câmpuri.

Lăsa ( R,+,∙) – câmp. Subset nevid F P, care este un câmp relativ la operațiunea din câmp ( R,+,∙) se numește subcâmp al câmpului R.

Exemplu. Câmpul (Q,+,∙) este un subcâmp al câmpului numerelor reale (R,+,∙).

Probleme de rezolvat independent

1. Arătați că o mulțime în raport cu operația de înmulțire este un grup abelian.

2. Operația este definită pe setul Q\(0) Ab =
. Demonstrați că algebra (Q\(0),) este un grup.

3. Pe mulțimea Z se dă o operație algebrică binară, definită de regulă, Ab = a+b – 2. Aflați dacă algebra (Z,) este un grup.

4. Pe platou A = {(A, b)
) operațiune definită ( A,b) (c, d) = (ac– bd, anunț+ bc). Demonstrați că algebra ( A,) - grup.

5. Lasă T– setul tuturor mapărilor
dat de regulă
, Unde A,bQ, A
Demonstrează asta T este un grup în ceea ce privește compoziția cartografiilor.

6. Lasă A={1,2,…,n). Harta unu-la-unu f:
numită substituție n– o, grad. Substituţie n– oh grad este convenabil să scrieți sub forma unui tabel
, unde Produsul a două substituții
seturi A este definită ca alcătuirea cartografiilor. A-prioriu

Demonstrați că mulțimea tuturor substituțiilor n– o, grad este un grup sub produsul substituțiilor.

7. Aflați dacă inelul se formează în raport cu adunarea și înmulțirea:

A) N; b) mulţimea tuturor numerelor întregi impare; c) mulţimea tuturor numerelor întregi pare; d) set de numere de forma
Unde A,b

8. Un set este un inel? LA={A+b
) privind operaţiile de adunare şi înmulţire.

9. Arată că setul A={A+b) în ceea ce priveşte operaţiile de adunare şi înmulţire există un inel.

10. Pe platou Z sunt definite doua operatii: Ab=A+b+1, ab= ab+ A+ b. Demonstrează că algebra

11. Pe mulţimea claselor de reziduuri modulo m sunt date două operaţii binare: Demonstraţi că algebra
inel comutativ cu identitate.

12 . Descrieți toate abonamentele inelului
.

13. Aflați care dintre următoarele seturi de numere reale sunt câmpuri în raport cu operațiile de adunare și înmulțire:

A) numere raţionale cu numitori impari;

b) numerele formei
cu raţional A,b;

c) numerele formei
cu raţional A, b;

d) numerele formei
cu raţional A, b, c.

§5. Câmpul numerelor complexe. Operații pe complex

numere în formă algebrică

Câmp de număr complex.

Fie două algebre ( A,+,∙), (Ā , ,◦). Afişa f: A in(pe) >Ā , îndeplinind condițiile:
f(A+b) = f(A) f(b) f(A◦b) = f(A) ◦ f(b), se numește homomorfism algebric ( A, +, ∙) în (pe) algebră ( Ā , , ◦).

Definiție. Cartografie omomorfă f algebre ( A, +, ∙) la algebră ( Ā , , ◦) se numește o mapare izomorfă dacă maparea f seturi A pe Ā injectiv. Din punctul de vedere al algebrei, algebrele izomorfe nu se pot distinge, i.e. au aceleasi proprietati.

Deasupra câmpului R ecuația formei X 2 +1 = 0 nu are soluții. Să construim un câmp care conține un subcâmp, izomorf la câmp (R,+,∙), și în care ecuația este de forma X 2 +1 = 0 are o soluție.

Pe multimea C = R× R = {(A, b) | A, b R) introducem operațiile de adunare și înmulțire astfel: ( A, b) (c, d) = (A+ c, b+ d), (A, b) ◦ (c, d) = (ac-bd, anunț+bc). Nu este greu de demonstrat că algebra (C, ,◦) este un inel comutativ cu identitate. Perechea (0,0) este zeroul inelului, (1,0) este unitatea inelului. Să arătăm că inelul ( CU, ,◦) – câmp. Lăsa ( A, b) C, ( A, b) ≠ (0,0) și ( X,y) C este o pereche de numere astfel încât ( A, b)◦(X, y) = (1,0). (A, b)◦(X, y) = (1,0) (topor– de, Ay+ bx) = (1,0)

(1)

De la (1) =>
,
(A, b) -1 =
. Prin urmare (C, +, ∙) este un câmp. Luați în considerare setul R 0 = {(A,0) | A R). Deoarece ( A,0) (b,0) = (A- b,0)R 0 , (A,0)◦(b,0) = (ab,0) R 0 ,
(A,0) ≠ (0,0) (A,0) -1 = (,0) R 0, apoi algebra ( R 0, ,◦) – câmp.

Să construim o mapare f: R
R 0 definit de condiție f(A)=(A,0). Deoarece f – cartografiere bijectivă și f(A+ b)= (A+ b,0) = =(A,0)(b,0) = f(A)f(b), f(A∙b) = (A∙ b,0) = (A,0)◦(b,0) =f(A)◦f(b), Acea f– cartografiere izomorfă. Prin urmare, ( R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – câmp de numere reale.

Să arătăm că o ecuație de formă X 2 +1 = 0 în câmpul (C , , ◦) are soluții. ( X y) 2 + (1,0) = (0,0) (X 2 - y 2 +1, 2X y) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – soluții ale sistemului (2).

Câmpul construit (C , ,◦) se numește câmp al numerelor complexe, iar elementele sale se numesc numere complexe.

Forma algebrică a unui număr complex. Operații pe numere complexe în formă algebrică.

Fie (C, +, ∙) un câmp de numere complexe,
C,
=(A, b). Deoarece ( R 0 ,+, ∙) (R, +, ∙), apoi orice pereche ( A,0) cu care ne identificăm numar real A. Să notăm prin ί = (0,1). Deoarece ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, atunci ί numită unitatea imaginară. Să ne imaginăm un număr complex
=(A,b) sub forma: =( A,b)=(A,0) +(b,0) ◦(0,1)=A+b∙ί. Reprezentarea unui număr complex sub forma = A + bί numită forma algebrică de scriere a numărului. A se numește partea reală a unui număr complex și se notează cu Re, b este partea imaginară a unui număr complex și este notat cu Im.

Adunarea numerelor complexe:

α = a+bί, β = s+dί , α +β = (A,b) + (c, d) = (A+ c, b+ d) = A+ c+ (b+ d)ί.

Înmulțirea numerelor complexe:

α∙β = (A, b)(c, d) = (A∙ c– b∙ d, A∙ d+ b∙ c) = A∙ c - b∙ d + (A∙ d + b∙ c)ί.

Pentru a afla produsul numerelor complexe a+bί Și s+dί , trebuie să înmulțiți a+bί pe s+dί ca binom cu binom, dat fiind că ί 2 = -1.

Coeficientul de împărțire prin β , β ≠ 0 este un număr complex γ astfel încât = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1 . Deoarece
, apoi = ∙β -1 = =(A, b)∙
Prin urmare

Această formulă poate fi obținută dacă numărătorul și numitorul fracției sunt înmulțite cu numărul complex conjugat la numitor, i.e. pe

Cu -dί.

Exemplu. Aflați suma, produsul, câtul numerelor complexe

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Soluţie. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Extracția rădăcinilorn-a-a putere a unui număr complex în formă trigonometrică

Forma trigonometrică a unui număr complex.

Pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, un număr complex

z = A + bί o vom reprezenta sub formă de punct A(A,b) sau vector rază
.

Să reprezentăm un număr complex z = 2 – 3ί .

Definiție. Număr
numit modulul unui număr complex z = A + bίși se notează cu | z |.

Unghiul format între direcția pozitivă a axei O Xși vector rază reprezentând un număr complex z= A+ bί, se numește argumentul numărului z si este desemnat Argz.

Argz definite până la termenul 2π k, .

Argumentul numărului complex z, îndeplinind condiția 0≤< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z si este desemnat arg z.

Din OAA 1 => A=
cos ,b= păcat
. Reprezentarea numerelor complexe z= A+ bί la fel de z= r(cos + ί sin) se numește forma trigonometrică a scrierii unui număr z (r=). Pentru a scrie un număr complex z = A + bίîn formă trigonometrică, trebuie să știți | z| Și Arg z, care sunt determinate din formule
, cos =
păcat =

Lăsa z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί păcat φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί păcat φ 2). Apoi z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cos φ 1 ∙cos φ 2 – păcat φ 1∙sin φ 2)+i]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + i păcat( φ 1+ φ 2)]. Rezultă că | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg – Arg .

Extracția rădăcinilorn-a-a putere a unui număr complex în formă trigonometrică.

Lăsa zC, nN. n – puterea a unui număr complex z lucrarea se numește
este desemnat z n. Lăsa m=- n. Prin definiție presupunem că
z≠0, z 0 = 1, z m = . Dacă z =r(cos φ + ί păcat φ ) , Acea z n =

= r n(cos nφ + ί păcat nφ). La r = 1 avem z n = cos nφ + ί păcat nφ - Formula lui Moivre. Formula lui Moivre este valabilă
.

Rădăcină n z un astfel de număr complex este numit ω , Ce ω n = z. Este o declarație corectă.

Teorema. Există n sensuri diferite ale rădăcinii n-a-a putere a unui număr complex z = r(cos φ + ί păcat φ ). Toate sunt obținute din formula cu k = 0, 1, … , n-1. În această formulă
– rădăcină aritmetică.

Să notăm prin, ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 – valorile rădăcinii n gradul de z, care se obțin cu k = 0, 1, ... , n-1. Din moment ce | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , apoi numere complexe ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 pe plan sunt reprezentate prin puncte ale unui cerc cu raza egala cu
și împărțiți acest cerc în n părti egale.

În ceea ce privește adăugarea;

$\backslash forall\; a\; \backslash in\; R\backslash ;\; \backslash există\; b\; \backslash în\; R\; \backslash left(a\; +\; b\; =\; b\; +\; a\; =\; 0\backslash right)$- existenţa unui element opus faţă de adunare;

$(a\; \backslash times\; b)\; \backslash times\; c=a\; \backslash times\; (b\; \backslash times\; c)$- asociativitatea înmulţirii;

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; a\; \backslash times\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; \backslash times\; b)\; +\; (a\; \backslash times\; c)\; \backslash \backslash \; (b\; +\; c)\; \backslash times\; a\; =\; (b\; \backslash times\; a)\; +\; (\; c\; \backslash times\; a)\; \backslash end(matrice)\backslash right.$- distributivitatea.

În loc de simbol $\backslash times$ simbolul este adesea folosit $\backslash cdot$, sau omite-l cu totul.

Cele mai simple proprietăți

Următoarele proprietăți pot fi derivate direct din axiomele inelului:

Noțiuni de bază

Tipuri de elemente inelare

Fie ca inelul să aibă elemente diferite de zero (inelul nu este banal). Atunci divizorul zero din stânga este un element diferit de zero $A$ inele $R,$ pentru care există un element diferit de zero $b$ inele $R,$ astfel încât $ab=0.$ Divizorul zero drept este determinat în mod similar. În inelele comutative aceste concepte coincid. Exemplu: considerăm un inel de funcții continue pe interval $(-1,\; 1).$ Sa punem $f(x)=\backslash max(0,\; x),$ $g(x)=\backslash max(0,\; -x).$ Apoi $f\backslash ne0,\; g\backslash ne0,\; fg=0,$ acesta este $f,\; g$ sunt divizori zero. Iată condiția $f\backslash ne0$înseamnă că $f$ este o funcție diferită de zero, dar nu înseamnă asta $f$ nu contează nicăieri $0.$

Dacă $A$– un element arbitrar al inelului cu unitate $R,$ apoi elementul invers stâng la $A$ numit $a^(-1)\_(l)$ astfel încât $a^(-1)\_(l)a=1.$ Elementul invers drept este definit în mod similar. Dacă elementul $A$ sunt ambele inverse stânga și dreapta, apoi acestea din urmă coincid și spunem că $A$ are un element invers, care este determinat și notat în mod unic $a^(-1).$ Elementul în sine se numește element inversabil.

Subring

Subset $A\backslash subset\; R$ numit subring $R,$ Dacă $A$ este el însuși un inel în raport cu operațiunile definite în $R.$În același timp, ei spun că $R$– extinderea inelului $A.$ Cu alte cuvinte, un subset nevid $A\backslash subset\; R$ este un subring dacă

• $A$ este un subgrup aditiv al inelului $R,$ adică pentru orice $x,\; y\; \backslash in\; A:\; x+y,\; -x\; \backslash in\; A,$
• $A$ este închis la înmulțire, adică pentru orice $x,\; y\; \backslash in\; A:\; xy\; \backslash in\; A.$

Un subinel moștenește proprietatea comutativității.

Subset nevid $eu$ inele $R$ numit idealul de stânga, Dacă:

• $eu$ este un subgrup aditiv al unui inel, adică suma oricăror două elemente din $eu$ aparține $eu,$și $a\backslash în\; I\backslash Rightarrow\; -a\backslash în\; I.$

• I este închis sub înmulțirea stângă cu un element arbitrar al inelului, adică pentru oricare $a\backslash în\; eu,$ $r\backslash în\; R$ dreapta $ra\backslash in\; I.$

Prima proprietate implică, de asemenea, că I este închis sub înmulțire în interiorul său, astfel încât I este un subinel.

Un ideal drept care este închis prin înmulțire cu un element al inelului din dreapta este definit în mod similar.
Ideal cu două fețe(sau pur și simplu ideal) inele $R$- orice submulțime nevidă care este atât un ideal de stânga, cât și unul de dreapta.

De asemenea, inelul ideal $R$ poate fi definit ca nucleul unui homomorfism $f:\; R\; \backslash la\; R”.$

Dacă $X$- element inel $R,$ apoi setul de elemente ale formei $Rx$(respectiv, $xR$) se numește idealul principal stânga (respectiv, dreapta) generat de $X.$ Dacă inelul $R$ comutativ, aceste definiții coincid și idealul principal este generat $X,$ notat cu $(X).$ De exemplu, mulțimea tuturor numerelor pare formează un ideal în inelul numerelor întregi, acest ideal este generat de elementul 2. Se poate dovedi că toate idealurile din inelul întregilor sunt principale.

Un ideal al unui inel care nu coincide cu întregul inel este numit simplu dacă inelul coeficient al acestui ideal nu are divizori zero.
Un ideal al unui inel care nu coincide cu întregul inel și nu este conținut într-un ideal mai mare care nu este egal cu inelul se numește maxim.

Omomorfism

Homomorfism inel (homomorfism inel) este o mapare care păstrează operațiile de adunare și înmulțire. Și anume, un homomorfism din inel $R$în ring $S$ este o funcție $f:\; R\backslash la\; S,$ astfel încât

1. $f(a\; +\; b)\; =\; f(a)\; +\; f(b),$
2. $f(a\; \backslash cdot\; b)\; =\; f(a)\; \backslash cdot\; f(b),\; ~\backslash forall\; a,\; b\; \backslash in\; ~R.$

În cazul inelelor cu unitate, uneori sunt necesare și condițiile $f(1)\; =\; 1$ .

Un homomorfism al inelelor se numește izomorfism, dacă există un homomorfism invers al inelelor. Orice homomorfism bijectiv al inelelor este un izomorfism. Un automorfism este un homomorfism de la un inel la sine, care este un izomorfism. Exemplu: maparea identității unui inel pe sine este un automorfism.

Dacă $f:R\backslash la\; S$- homomorfismul inelelor, multimea elementelor $R,$ mersul la zero se numește nucleu $f$(notat $\backslash mathrm(ker)f$). Miezul oricărui homomorfism este un ideal cu două fețe. Pe de altă parte, imaginea $f$ nu este întotdeauna un ideal, ci este un subring $S$(notat $\backslash mathrm(im)f$).

Inel factor

Definiția unui inel coeficient prin ideal este similară cu definiția unui grup de coeficient. Mai exact, inelul factor al inelului $R$ conform idealului cu două laturi $eu$ este mulțimea de clase ale unui grup aditiv $R$ pe subgrup de aditivi $eu$ cu urmatoarele operatii:

• $(a\; +\; I)\; +\; (b\; +\; I)\; =\; (a\; +\; b)\; +\; I,$
• $(a\; +\; I)(b\; +\; I)\; =\; (ab)\; +\; I.$

Similar cu cazul grupurilor, există un homomorfism canonic $p:\; R\backslash la\; R/I,$ dat ca $x\; \backslash mapsto\; x\; +\; I.$ Miezul este idealul $eu.$

Similar cu teorema despre homomorfismul grupurilor, există o teoremă despre homomorfismul inelelor: fie $f:\; R\backslash la\; R",$ Apoi $\backslash mathrm(Im)\; f$ izomorf la inelul coeficient în raport cu miezul homomorfismului $\backslash mathrm(Im)\; f\; \backslash simeq\; A/\backslash mathrm(Ker)\; f.$

Câteva clase speciale de inele

Exemple

• $\backslash \{\; 0\backslash \}$- un inel banal format dintr-un zero. Acesta este singurul inel în care zero este o unitate multiplicativă. Este util să considerăm acest exemplu banal ca un inel din punctul de vedere al teoriei categoriilor, deoarece în acest caz ia naștere un obiect terminal în categoriile de inele.
• $\backslash mathbb(Z)$- numere întregi (cu adunări și înmulțiri regulate). Acesta este cel mai important exemplu de inel, deoarece orice inel poate fi considerat ca o algebră peste $\backslash Z$. Acesta este și obiectul de pornire din categorie Inel inele cu unitate.
• $\backslash mathbb(Z)\_n$- inel de resturi modulo numar natural n. Acestea sunt exemple clasice de inele din teoria numerelor. Inelul rezidual este un câmp dacă și numai dacă numărul n este prim. Câmpurile corespunzătoare sunt punctul de plecare pentru construirea teoriei câmpurilor finite. Inelele reziduale sunt, de asemenea, importante în studierea structurii grupurilor abeliene generate finit și pot fi folosite și pentru a construi numere p-adice.
• $\backslash mathbb(Q)$- inel de numere raționale, care este un câmp. Acesta este cel mai simplu domeniu al caracteristicii 0. Este principalul obiect de studiu în teoria numerelor. Completarea acestuia după diverse norme neechivalente dă câmpurile numerelor reale $\backslash R$și numere p-adice $\backslash Q\_p,$ unde p este un număr prim arbitrar.
• Pentru un inel comutativ arbitrar $R$ puteți construi un inel de polinoame în n variabile $R$ cu cote în $R.$În special, $R[x][y]=R.$ Inelul polinomial cu coeficienți întregi este un inel polinomial universal, în sensul că toate inelele polinomiale sunt exprimate în termeni de produs tensor: $R\; =\; R\backslash de\; multe\; ori\backslash stanga(\backslash Z\backslash dreapta).$
• Inel de submulțimi ale unui set $X$ este un inel ale cărui elemente sunt submulțimi în $X$. Operația de adunare este o diferență simetrică, iar înmulțirea este intersecția mulțimilor:

$A\; +\; B\; =\; A\; \backslash Delta\; B\; =\; (A\backslash setminus\; B)\; \backslash cup\; (B\; \backslash setminus\; A),$ $A\backslash cdot\; B\; =\; A\backslash cap\; B.$ Axiomele inelului sunt ușor de verificat. Elementul zero este setul gol, elementul identitate este totul. $X.$ Toate elementele inelului sunt idempotente, adică $A\backslash cdot\; A\; =\; A.$ Orice element este inversul său prin adunare: $A+A=0.$ Inelul de submulțimi este important în teoria algebrelor booleene și în teoria măsurării, în special în construcția teoriei probabilităților.

Constructii

Produs direct

Fie R și S inele. Apoi produsul $R\backslash time\; S$ poate fi prevăzut cu o structură inelar naturală. Operatiile sunt precizate astfel: pentru oricare $r\_1,r\_2\backslash în\; R$, $s\_1,s\_2\backslash în\; S:$

• $(r\_1,s\_1)+(r\_2,s\_2)=(r\_1+r\_2,s\_1+s\_2),$
• $(r\_1,s\_1)\backslash cdot\; (r\_2,s\_2)=(r\_1r\_2,s\_1s\_2).$

O construcție similară există pentru produsul unei familii arbitrare de inele (adunarea și înmulțirea sunt specificate pe componente).

Inel de endomorfism

Fie A un grup abelian (operația de grup este scrisă aditiv în cele ce urmează). Apoi, mulțimea de homomorfisme ale acestui grup în sine (adică endomorfisme) formează un inel, notat cu End( A). Suma a două homomorfisme se determină componente: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ iar produsul este ca o compoziție de homomorfisme: $(fg)(x)=f(g(x)).$ Dacă A este un grup care nu este abelian, atunci $f+g,$în general, nu este la fel $g+f,$în timp ce adăugarea într-un inel trebuie să fie comutativă.

Câmpul de coeficienti și inelul de coeficienti

Fie R un inel integral, atunci următoarea construcție ne permite să construim cel mai mic câmp care îl conține. Câmpul coeficient al inelului R este mulțimea claselor de echivalență ale fracțiilor formale $p/q,\backslash ;\; p,q\backslash în\; R$ prin următoarea relație de echivalență:

$(p\_1\; \backslash over\; q\_1)\backslash sim\; (p\_2\; \backslash over\; q\_2)$ atunci și numai când $(p\_1q\_2)=\; (p\_2q\_1),$

cu operațiuni normale: $\backslash scriptstyle(a\; \backslash over\; b)+(c\; \backslash over\; d)=(ad+bc\; \backslash over\; bd),\backslash quad\; (a\; \backslash over\; b)\backslash cdot\; (c\; \backslash over\; d)=(ac\; \backslash over\; bd).$

Nu este în întregime evident că relația dată este într-adevăr o relație de echivalență: pentru a o dovedi trebuie să folosiți integritatea inelului. Există o generalizare a acestei construcții la inele comutative arbitrare. Și anume, să fie S un sistem închis multiplicativ într-un inel comutativ R (adică o submulțime care conține unul și nu conține zero; produsul a oricăror două elemente din submulțime îi aparține din nou). Apoi inelul coeficientilor $S^(-1)R$ este mulțimea claselor de echivalență ale fracțiilor formale $r/s,\backslash ;\; r\backslash în\; R,\; s\backslash în\; S$ prin relație de echivalență:

$(r\_1\; \backslash over\; s\_1)\backslash sim\; (r\_2\; \backslash over\; s\_2)$ dacă și numai dacă există $s"\backslash în\; S$, astfel încât $s"(r\_1s\_2-r\_2s\_1)=\; 0.$

Acest design este numit și localizarea inelului(deoarece în geometria algebrică permite studierea proprietăților locale ale unei varietăți în punctul său individual). Exemplu: inelul fracțiilor zecimale este localizarea inelului numerelor întregi conform sistemului multiplicativ $S=\backslash (10^n|n\backslash geqslant\; 0\backslash ).$

Există o cartografiere naturală $R\; \backslash la\; S^(-1)R,\; \backslash ,\; r\; \backslash mapstor\; /\; 1.$ Nucleul său este format din următoarele elemente r, pentru care există s ∈ S, astfel încât $rs\; =\; 0.$În special pentru întreg inelul această mapare este injectivă.

Descrierea categorică

Inelele, împreună cu homomorfismele inelelor, formează o categorie, de obicei desemnată Inel(uneori așa se notează categoria inelelor cu o unitate, iar categoria inelelor obișnuite se notează Rng). Categoria inelelor cu identitate are multe proprietăți benefice: în special, este complet și complet. Aceasta înseamnă că toate limitele și colimitele mici există în el (de exemplu, produse, coproduse, sâmburi și co-sâmburi). Categoria inelelor cu unul are un obiect inițial (ring $\backslash mathbb\; Z$) și un obiect terminal (inel zero).

Putem da următoarea definiție categorială a unui inel: un inel asociativ cu identitate este un monoid din categoria grupărilor abeliene (grupurile abeliene formează o categorie monoidală în raport cu operația produsului tensor). Acțiune de sunet R pe un grup abelian (un inel considerat ca monoid în înmulțire) transformă grupul abelian în R-modul Conceptul de modul generalizează conceptul de spațiu vectorial: în general, un modul este un „spațiu vectorial peste un inel”.

Clase speciale de inele

Structuri deasupra inelelor

Scrieți o recenzie despre articolul „Inel (matematică)”

Note

1. , Cu. 17-19.
2. Belsky A., Sadovsky L. Quantum nr. 2, 1974.
3. Erich Reck// The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 01-01-2012.
4. , Cu. 9.
5. , Cu. 18-19.
6. , Cu. 273-275.
7. , Cu. 51-53.
8. , Cu. unsprezece.
9. , Cu. 359.
10. , Cu. 407.
11. , Cu. 110-111.
12. , Cu. 21.
13. , Cu. 437.
14. , Cu. 64.
15. , Cu. 153.
16. , Cu. 430-431.
17. , Cu. 406.
18. , Cu. 10.
19. , Cu. 388.
20. , Cu. 107-108.
21. , Cu. 432.
22. , Cu. 387-390.
23. , Cu. 523.
24. , Cu. 152.
25. , Cu. 430.
26. , Cu. 118.
27. .
28. , Cu. 266.
29. , Cu. 28-34.
30. , Cu. 509-512.
31. , Cu. 33.
32. , Cu. 173.
33. , Cu. 450-452.
34. , Cu. 305-311.

Literatură

• M. Atiyah, I. McDonald. Introducere în algebra comutativă. - M.: Mir, 1972. - 160 p.
• Belsky A., Sadovsky L. Quantum nr. 2, 1974.
• Van der Waerden B.L. Algebră. - M.: Mir, 1975. - 623 p.
• Vinberg E.B. Curs de algebră. - Ediție nouă, revizuită. și suplimentare.. - M.: MTsNMO, 2011. - 592 p.
• Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala: clasele IX-X. Manual pentru profesori - Ediție nouă, revizuită. şi suplimentare.. - M.: Educaţie, 1983. - 351 p.
• Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Logica matematică. Algebră. Teoria numerelor. Teoria probabilității. - M.: Nauka, 1978. - 255 p.
• Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor: manual. manual pentru institutele pedagogice. - M.: Mai sus. şcoală, 1979. - 559 p.
• Kurosh A.G. Curs de algebră superioară.. - M.: Nauka, 1968. - 431 p.
• Fața K. Algebră. Inele, module, categorii.. - M.: Mir, 1977. - T. 1. - 688 p.
• Fața K. Algebră. Inele, module, categorii.. - M.: Mir, 1979. - T. 2. - 464 p.
• Herstein I. Inele necomutative. - M.: Mir, 1972. - 190 p.

Extras care caracterizează Inelul (matematică)

X
După înmormântarea tatălui ei, prințesa Marya s-a închis în camera ei și nu a lăsat pe nimeni să intre. O fată a venit la uşă să spună că Alpatych venise să ceară ordin de plecare. (Aceasta a fost chiar înainte de conversația lui Alpatych cu Dron.) Prințesa Marya s-a ridicat de pe canapeaua pe care stătea întinsă și a spus prin ușa închisă că nu va merge niciodată nicăieri și a cerut să fie lăsată singură.
Ferestrele camerei în care zăcea prințesa Marya erau orientate spre vest. S-a întins pe canapea cu fața la perete și, pipăind nasturii de pe perna de piele, a văzut doar această pernă, iar gândurile ei vagi erau concentrate pe un singur lucru: se gândea la ireversibilitatea morții și la acea urâciune spirituală a ei, care ea nu a știut până acum și care a apărut în timpul bolii tatălui ei. Ea a vrut, dar nu a îndrăznit să se roage, nu a îndrăznit, în starea sufletească în care se afla, să se întoarcă la Dumnezeu. Ea a stat mult timp în această poziție.
Soarele apunea de cealaltă parte a casei și razele oblice ale serii prin ferestrele deschise au luminat camera și o parte din perna maroc la care se uita prințesa Marya. Trenul ei de gânduri s-a oprit brusc. Ea s-a ridicat inconștient, și-a îndreptat părul, s-a ridicat și s-a dus la fereastră, inspirând involuntar răcoarea unei seri senine, dar cu vânt.
„Da, acum este convenabil pentru tine să admiri seara! A plecat deja și nimeni nu te va deranja”, își spuse ea și, afundându-se pe un scaun, căzu cu capul întâi pe pervaz.
Cineva a sunat-o cu o voce blândă și liniștită din marginea grădinii și a sărutat-o ​​pe cap. Ea se uită înapoi. Era Mlle Bourienne, într-o rochie neagră și pline. S-a apropiat în liniște de prințesa Marya, a sărutat-o ​​cu un oftat și a început imediat să plângă. Prințesa Marya se uită înapoi la ea. Toate ciocnirile anterioare cu ea, gelozia față de ea, au fost amintite de prințesa Marya; Mi-am amintit, de asemenea, că el se schimbase recent față de Mlle Bourienne, nu o putea vedea și, prin urmare, cât de nedrepte erau reproșurile pe care prințesa Marya i-a făcut în sufletul ei. „Și eu, care voiam moartea lui, să condamn pe cineva? - ea credea.
Prințesa Marya și-a imaginat în mod viu poziția lui Bourienne, care fusese recent îndepărtată de societatea ei, dar în același timp dependentă de ea și locuind în casa altcuiva. Și îi era milă de ea. Ea a privit-o blând întrebător și și-a întins mâna. Mlle Bourienne a început imediat să plângă, a început să-i sărute mâna și să vorbească despre durerea care s-a abătut pe prințesă, făcându-se participant la această durere. Ea a spus că singura consolare în durerea ei a fost că prințesa i-a permis să o împartă cu ea. Ea a spus că toate neînțelegerile anterioare ar trebui distruse înaintea unei mari dureri, că se simte curată în fața tuturor și că de acolo îi poate vedea dragostea și recunoștința. Prințesa o asculta, neînțelegându-i cuvintele, dar din când în când uitându-se la ea și ascultând sunetele vocii ei.
— Situația ta este de două ori îngrozitoare, dragă prințesă, spuse doamna Bourienne, după o pauză. – Înțeleg că nu poți și nu te poți gândi la tine; dar sunt obligat să fac asta cu dragostea mea pentru tine... Alpatych a fost cu tine? Ți-a vorbit despre plecare? - ea a intrebat.
Prințesa Marya nu răspunse. Ea nu înțelegea unde și cine trebuia să meargă. „Era posibil să faci ceva acum, să mă gândesc la ceva? Nu contează? Ea nu a răspuns.
„Știi, chere Marie”, spuse doamna Bourienne, „știi că suntem în pericol, că suntem înconjurați de francezi; Este periculos să călătorești acum. Dacă mergem, aproape sigur vom fi capturați și Dumnezeu știe...
Prințesa Marya se uită la prietena ei, fără să înțeleagă ce spunea.
„Oh, dacă ar ști cineva cât de mult nu-mi pasă acum”, a spus ea. - Desigur, nu aș vrea să-l părăsesc niciodată... Alpatych mi-a spus ceva despre plecare... Vorbește cu el, nu pot face nimic, nu vreau nimic...
- Am vorbit cu el. El speră că vom avea timp să plecăm mâine; dar cred că acum ar fi mai bine să rămâi aici”, a spus Mlle Bourienne. - Pentru că, vezi tu, chere Marie, a cădea în mâinile soldaților sau a bărbaților răscoale pe drum ar fi groaznic. - Mlle Bourienne a scos din reticulul ei un anunț pe o hârtie extraordinară non-rusă de la generalul francez Rameau că locuitorii nu ar trebui să-și părăsească casele, că li se va acorda protecția cuvenită de către autoritățile franceze și l-a înmânat prințesei.
„Cred că este mai bine să-l contactați pe acest general”, a spus doamna Bourienne, „și sunt sigur că vi se va acorda respectul cuvenit”.
Prințesa Marya a citit ziarul și hohote uscate i-au scuturat fața.
-Prin cine ai făcut asta? - ea a spus.
— Probabil că au aflat că mă numesc francez, spuse Mlle Bourienne roșind.
Prințesa Marya, cu o hârtie în mână, se ridică de la fereastră și față palidă Ea a părăsit camera și s-a dus la fostul birou al Prințului Andrei.
„Dunyasha, sună-mi pe Alpatych, Dronushka, pe cineva”, a spus prințesa Marya, „și spune-i Amalyei Karlovna să nu vină la mine”, a adăugat ea, auzind vocea lui Bourienne. - Grăbește-te și pleacă! Du-te repede! – spuse prințesa Marya, îngrozită de gândul că ar putea rămâne în puterea francezilor.
„Pentru ca prințul Andrei să știe că este în puterea francezilor! Pentru ca ea, fiica prințului Nikolai Andreich Bolkonsky, îi cere domnului general Rameau să-i ofere protecție și să se bucure de beneficiile lui! „Acest gând a îngrozit-o, a făcut-o să se cutremure, să se înroșească și să simtă atacuri de furie și mândrie pe care nu le experimentase încă. Tot ceea ce era dificil și, cel mai important, ofensator în poziția ei, i-a fost imaginat viu. „Ei, francezii, se vor stabili în această casă; Domnul general Rameau va ocupa biroul principelui Andrei; Va fi distractiv să sortați și să îi citiți scrisorile și lucrările. M lle Bourienne lui fera les honneurs de Bogucharovo. [Mademoiselle Bourien îl va primi cu onoruri la Bogucharovo.] Îmi vor da o cameră din milă; soldații vor distruge mormântul proaspăt al tatălui lor pentru a îndepărta crucile și stelele de pe el; îmi vor povesti despre victoriile asupra rușilor, își vor preface simpatie pentru durerea mea... - se gândi prințesa Marya nu cu propriile gânduri, ci simțindu-se obligată să gândească pentru ea însăși cu gândurile tatălui și ale fratelui ei. Pentru ea personal, nu a contat unde a stat și indiferent ce i s-a întâmplat; dar în același timp se simțea ca un reprezentant al regretatului ei tată și al principelui Andrei. Ea a gândit involuntar cu gândurile lor și i-a simțit cu sentimentele lor. Orice ar spune ei, orice ar face acum, asta a simțit ea necesar să facă. Ea s-a dus la biroul prințului Andrei și, încercând să-i pătrundă gândurile, s-a gândit la situația ei.
Cerințele vieții, pe care le considera distruse odată cu moartea tatălui ei, au apărut brusc cu o forță nouă, încă necunoscută, înaintea Prințesei Marya și au copleșit-o. Emoționată, cu fața roșie, se plimbă prin cameră, cerându-i mai întâi pe Alpatych, apoi pe Mihail Ivanovici, apoi pe Tihon, apoi pe Dron. Dunyasha, bona și toate fetele nu au putut spune nimic despre măsura în care ceea ce a anunțat Mlle Bourienne era corect. Alpatych nu era acasă: se dusese să-și vadă superiorii. Chematul Mihail Ivanovici, arhitectul, care a venit la Prințesa Marya cu ochii adormiți, nu a putut să-i spună nimic. Cu exact același zâmbet de acord cu care fusese obișnuit de cincisprezece ani să răspundă, fără să-și exprime părerea, la apelurile bătrânului prinț, a răspuns întrebărilor prințesei Marya, astfel încât din răspunsurile lui nu se putea deduce nimic cert. Bătrânul valet chemat Tikhon, cu o față scufundată și slăbită, purtând amprenta unei dureri incurabile, a răspuns „Ascult cu” la toate întrebările Prințesei Marya și cu greu se putea abține să nu plângă, privind-o.
În cele din urmă, bătrânul Dron a intrat în cameră și, făcându-se cu o plecăciune în fața prințesei, s-a oprit la buiandrug.
Prințesa Marya ocoli prin cameră și se opri în fața lui.
„Dronushka”, a spus Prințesa Marya, care a văzut în el o prietenă fără îndoială, aceeași Dronushka care, din călătoria sa anuală la târgul din Vyazma, i-a adus de fiecare dată turta dulce specială și a servit-o zâmbind. „Dronushka, acum, după nenorocirea noastră”, a început ea și a tăcut, incapabil să mai vorbească.
„Toți umblăm sub Dumnezeu”, a spus el oftând. Au tăcut.
- Dronushka, Alpatych a plecat undeva, nu am la cine să apelez. Este adevărat că ei îmi spun că nu pot pleca?
„De ce nu te duci, Excelență, poți să pleci”, a spus Dron.
„Mi-au spus că este periculos din partea inamicului”. Dragă, nu pot face nimic, nu înțeleg nimic, nu e nimeni cu mine. Cu siguranță vreau să merg seara sau mâine dimineață devreme. – Drona a tăcut. Se uită la Prințesa Marya de sub sprâncene.
„Nu există cai”, a spus el, „i-am spus și eu lui Yakov Alpatych”.
- De ce nu? – spuse prințesa.
„Totul este de la pedeapsa lui Dumnezeu”, a spus Dron. „Ce cai existau au fost demontați pentru a fi folosiți de trupe și care au murit, în ce an este astăzi.” Nu este ca și cum ai hrăni caii, ci să ne asigurăm că nu murim de foame! Și stau așa trei zile fără să mănânce. Nu există nimic, sunt complet distruși.
Prințesa Marya a ascultat cu atenție ce i-a spus el.
- Bărbații sunt distruși? Nu au pâine? - ea a intrebat.
„Ei mor de foame”, a spus Dron, „nu ca cărucioarele...”
- De ce nu mi-ai spus, Dronushka? Nu poți ajuta? Voi face tot ce pot... - Era ciudat pentru Prințesa Marya să creadă că acum, într-un asemenea moment, când o asemenea durere îi umplea sufletul, puteau fi bogați și săraci și că bogații nu-i pot ajuta pe săraci. Ea știa și auzea vag că există pâinea stăpânului și că era dată țăranilor. De asemenea, știa că nici fratele ei, nici tatăl ei nu vor refuza nevoile țăranilor; îi era doar frică să nu greșească cumva în cuvintele ei despre această împărțire a pâinii către țărani, de care voia să dispună. S-a bucurat că i s-a prezentat o scuză pentru îngrijorare, una pentru care nu i-a fost rușine să-și uite durerea. Ea a început să-i ceară lui Dronushka detalii despre nevoile bărbaților și despre ceea ce era domnitor în Bogucharovo.
– La urma urmei, avem pâinea stăpânului, frate? - ea a intrebat.
„Pâinea stăpânului este toată intactă”, a spus Dron mândru, „prințul nostru nu a ordonat să fie vândută”.
„Dă-l țăranilor, dă-i tot ce au nevoie: îți dau permisiunea în numele fratelui meu”, a spus Prințesa Marya.
Drona nu spuse nimic și trase adânc aer în piept.
„Dă-le această pâine dacă le este de ajuns.” Dă totul departe. Vă poruncesc în numele fratelui meu și le spun: ce este al nostru este și al lor. Nu vom cruța nimic pentru ei. Deci spune-mi.
Drona se uită atent la prințesă în timp ce ea vorbea.
„Dă-mă afară, mamă, pentru numele lui Dumnezeu, spune-mi să accept cheile”, a spus el. „Am slujit douăzeci și trei de ani, nu am făcut nimic rău; lasa-ma in pace, pentru numele lui Dumnezeu.
Prințesa Marya nu a înțeles ce voia de la ea și de ce a cerut să se demisioneze. Ea i-a răspuns că nu s-a îndoit niciodată de devotamentul lui și că este gata să facă totul pentru el și pentru bărbați.

La o oră după aceasta, Dunyasha a venit la prințesă cu vestea că Dron a sosit și toți bărbații, la ordinul prințesei, s-au adunat la hambar, vrând să discute cu stăpâna.
„Da, nu i-am sunat niciodată”, a spus Prințesa Marya, „I-am spus doar lui Dronushka să le dea pâine”.
„Numai pentru numele lui Dumnezeu, prințesă mamă, poruncește-le și nu te duce la ei.” Totul este doar o minciună”, a spus Dunyasha, „și Yakov Alpatych va veni și noi vom merge... și dacă vă rog...
- Ce fel de înșelăciune? – întrebă prințesa surprinsă
- Da, știu, doar ascultă-mă, pentru numele lui Dumnezeu. Întrebați-o pe dădacă. Ei spun că nu sunt de acord să plece la ordinele tale.
- Spui ceva greșit. Da, nu am ordonat niciodată să plec... - a spus Prințesa Marya. - Sună-l pe Dronushka.
Dronul sosit a confirmat cuvintele lui Dunyasha: oamenii au venit la ordinele prințesei.
„Da, nu i-am sunat niciodată”, a spus prințesa. „Probabil că nu le-ai transmis corect.” Ți-am spus doar să le dai pâinea.
Drona oftă fără să răspundă.
„Dacă comandați, vor pleca”, a spus el.
„Nu, nu, mă voi duce la ei”, a spus Prințesa Marya
În ciuda descurajării lui Dunyasha și a bonei, prințesa Marya a ieșit pe verandă. Dron, Dunyasha, bona și Mihail Ivanovici au urmat-o. „Probabil cred că le ofer pâine pentru ca ei să rămână la locul lor, iar eu mă voi părăsi, abandonându-i în mila francezilor”, a gândit Prințesa Marya. – O să le promit o lună într-un apartament lângă Moscova; Sunt sigură că Andre ar fi făcut și mai mult în locul meu”, se gândi ea, apropiindu-se de mulțimea care stătea pe pășunea de lângă hambar în amurg.
Mulțimea, înghesuită, a început să se miște, iar pălăriile li s-au desprins repede. Prințesa Marya, cu ochii în jos și picioarele încurcate în rochie, s-a apropiat de ei. Atâția ochi diferiți, bătrâni și tineri, erau ațintiți asupra ei și erau atât de mulți persoane diferite că prințesa Marya nu văzuse o singură față și, simțind nevoia să vorbească brusc cu toată lumea, nu știa ce să facă. Dar din nou conștiința că era reprezentantul tatălui și al fratelui ei i-a dat putere și ea și-a început cu îndrăzneală discursul.
„Sunt foarte bucuroasă că ai venit”, a început prințesa Marya, fără să-și ridice ochii și să simtă cât de repede și de puternic îi bătea inima. „Dronushka mi-a spus că ai fost ruinat de război”. Aceasta este durerea noastră comună și nu voi cruța nimic pentru a vă ajuta. Mă duc eu, pentru că deja e periculos aici și inamicul e aproape... pentru că... eu vă dau totul, prieteni, și vă rog să ne luați totul, toată pâinea noastră, ca să nu aveți orice nevoie. Și dacă ți-au spus că îți dau pâine ca să poți sta aici, atunci nu este adevărat. Dimpotrivă, vă rog să plecați cu toate proprietățile în regiunea noastră Moscova și acolo îmi iau asupra mea și vă promit că nu veți avea nevoie. Îți vor da case și pâine. - Prințesa sa oprit. În mulțime s-au auzit doar suspine.
„Nu fac asta singură”, a continuat prințesa, „fac asta în numele regretatului meu tată, care a fost un bun stăpân pentru tine și pentru fratele meu și fiul său”.
S-a oprit din nou. Nimeni nu i-a întrerupt tăcerea.
- Durerea noastră este comună și vom împărți totul în jumătate. „Tot ceea ce este al meu este al tău”, a spus ea, privind în jur la fețele care stăteau în fața ei.
Toți ochii o priveau cu aceeași expresie, al cărei sens nu-l putea înțelege. Fie că era vorba de curiozitate, devotament, recunoștință sau frică și neîncredere, expresia de pe toate fețele era aceeași.
„Mulți oameni sunt mulțumiți de mila ta, dar nu trebuie să luăm pâinea stăpânului”, a spus o voce din spate.
- De ce nu? – spuse prințesa.
Nimeni nu a răspuns, iar prințesa Marya, privind în jurul mulțimii, a observat că acum toți ochii pe care i-a întâlnit au căzut imediat.
- De ce nu vrei? – a întrebat ea din nou.
Nimeni nu a raspuns.
Prințesa Marya se simțea grea de această tăcere; a încercat să prindă privirea cuiva.
- De ce nu vorbesti? - prințesa se întoarse către bătrân, care, sprijinindu-se într-un băț, stătea în fața ei. - Spune-mi dacă crezi că este nevoie de altceva. — Voi face totul, spuse ea, surprinzându-i privirea. Dar el, parcă supărat din cauza asta, a lăsat capul în jos complet și a spus:
- De ce să fii de acord, nu avem nevoie de pâine.
- Ei bine, ar trebui să renunțăm la toate? Nu sunt de acord. Nu suntem de acord... Nu suntem de acord. Ne pare rău pentru tine, dar nu suntem de acord. Du-te singur, singur...” s-a auzit în mulțime cu laturi diferite. Și din nou aceeași expresie a apărut pe toate fețele acestei mulțimi, iar acum probabil că nu mai era o expresie de curiozitate și recunoștință, ci o expresie de hotărâre amară.
„Nu ai înțeles, corect”, a spus prințesa Marya cu un zâmbet trist. - De ce nu vrei să mergi? Promit să te adăpostesc și să te hrănesc. Și aici inamicul te va ruina...
Dar glasul ei a fost înecat de vocile mulțimii.
„Nu avem acordul nostru, lasă-l să-l strice!” Nu vă luăm pâinea, nu avem acordul nostru!
Prințesa Marya a încercat din nou să prindă privirea cuiva din mulțime, dar nici măcar o privire nu a fost îndreptată către ea; ochii o evitau evident. Se simțea ciudată și stânjenită.
- Vezi, ea m-a învățat inteligent, urmează-o până la cetate! Distruge-ți casa și intră în robie și pleacă. De ce! Îți dau pâinea, spun ei! – s-au auzit voci în mulțime.
Prințesa Marya, coborând capul, a părăsit cercul și a intrat în casă. După ce i-a repetat ordinul lui Drona ca să fie cai pentru plecare mâine, s-a dus în camera ei și a rămas singură cu gândurile ei.

Multă vreme în acea noapte a stat prințesa Marya deschide fereastraîn camera ei, ascultând sunetele bărbaţilor care vorbeau venind din sat, dar nu se gândea la ele. Simțea că, indiferent cât de mult s-ar gândi la ei, nu le poate înțelege. Ea s-a tot gândit la un lucru - la durerea ei, care acum, după pauza provocată de grijile legate de prezent, devenise deja trecută pentru ea. Acum își putea aminti, putea plânge și se putea ruga. Când soarele apunea, vântul s-a stins. Noaptea a fost liniștită și proaspătă. La ora douăsprezece vocile au început să se stingă, cocoșul a cântat, luna plină a început să iasă din spatele teiilor, o ceață proaspătă, albă, de rouă se ridica și liniștea domnea peste sat și peste casă.
Una după alta, i-au apărut imagini ale trecutului apropiat - boala și ultimele minute ale tatălui ei. Iar cu o bucurie tristă ea stătea acum asupra acestor imagini, alungând de ea însăși cu groază doar o ultimă imagine a morții lui, pe care - simțea ea - nu era în stare să o contemplă nici măcar în imaginația ei la această oră liniștită și misterioasă a nopții. Iar aceste poze i-au apărut cu atâta claritate și cu atâta detaliu încât i se păreau acum realitatea, acum trecutul, acum viitorul.
Apoi și-a imaginat viu acel moment în care a avut un atac cerebral și a fost târât afară din grădina din Munții Cheli de brațe, iar el a mormăit ceva cu o limbă neputincioasă, și-a zvâcnit sprâncenele cenușii și a privit-o neliniştit și timid.
„Chiar și atunci a vrut să-mi spună ce mi-a spus în ziua morții sale”, se gândi ea. „Întotdeauna a vrut să spună ceea ce mi-a spus.” Și așa și-a amintit în toate detaliile ei de noaptea aceea în Munții Cheli, în ajunul loviturii care i s-a întâmplat, când prințesa Marya, simțind necazuri, a rămas cu el împotriva voinței lui. Nu a dormit și noaptea a coborât în ​​vârful picioarelor și, urcând la ușa florăriei unde a petrecut noaptea tatăl ei, i-a ascultat vocea. I-a spus ceva lui Tikhon cu o voce obosită și obosită. Evident că voia să vorbească. „Și de ce nu m-a sunat? De ce nu mi-a permis să fiu aici în locul lui Tikhon? - se gândi prințesa Marya atunci și acum. „Nu va spune nimănui acum tot ce era în sufletul lui.” Acest moment nu se va mai întoarce niciodată pentru el și pentru mine, când el ar spune tot ce voia să spună, iar eu, și nu Tihon, l-am asculta și înțelege. De ce nu am intrat atunci în cameră? - ea credea. „Poate că mi-ar fi spus atunci ce a spus în ziua morții sale”. Chiar și atunci, într-o conversație cu Tikhon, a întrebat despre mine de două ori. A vrut să mă vadă, dar am stat aici, în fața ușii. Era trist, era greu să vorbesc cu Tikhon, care nu-l înțelegea. Îmi amintesc cum i-a vorbit despre Lisa, de parcă ar fi în viață - a uitat că a murit, iar Tikhon i-a amintit că nu mai era acolo și a strigat: „Prostule”. I-a fost greu. Am auzit din spatele ușii cum s-a întins pe pat, gemând și a strigat cu voce tare: „Doamne, de ce nu m-am ridicat atunci?” Ce mi-ar face? Ce aș avea de pierdut? Și poate că atunci s-ar fi consolat, mi-ar fi spus acest cuvânt.” Și prințesa Marya spuse cu voce tare Sweet Nothing, pe care i-a spus-o în ziua morții sale. „Dragă! - Prințesa Marya a repetat acest cuvânt și a început să plângă cu lacrimi care i-au uşurat sufletul. Acum îi văzu chipul în fața ei. Și nu chipul pe care îl cunoștea de când își amintea și pe care îl văzuse mereu de departe; și acea față este timidă și slabă, pe care în ultima zi, aplecându-se spre gura lui să audă ce spunea, ea l-a examinat de aproape pentru prima dată cu toate ridurile și detaliile ei.
— Dragă, repetă ea.
„La ce s-a gândit când a spus acel cuvânt? La ce se gândește acum? - deodată i-a venit o întrebare, iar ca răspuns la aceasta l-a văzut în fața ei cu aceeași expresie pe față pe care o avea în sicriu, pe fața legată cu o eșarfă albă. Iar groaza care a cuprins-o când l-a atins și s-a convins că nu numai că nu era el, ci ceva misterios și respingător, o cuprinse acum. Voia să se gândească la alte lucruri, voia să se roage, dar nu putea face nimic. E mare cu ochii deschisi privi lumina și umbrele lunii, așteptând în fiecare secundă să-l vadă fata moartași simțea că tăcerea care stătea peste casă și în casă o înlănțuia.
- Dunyasha! - ea a șoptit. - Dunyasha! – țipă ea cu o voce sălbatică și, rupând din tăcere, a fugit în camera fetelor, spre dădacă și fetele alergând spre ea.

Pe 17 august, Rostov și Ilyin, însoțiți de Lavrushka, care tocmai se întorsese din captivitate, și de husarul principal, din tabăra lor de la Yankovo, la cincisprezece verste din Bogucharovo, au mers călare - pentru a încerca un nou cal cumpărat de Ilyin și pentru a află dacă a fost fân în sate.
Bogucharovo fusese amplasat în ultimele trei zile între două armate inamice, astfel încât ariergarda rusă ar fi putut pătrunde acolo la fel de ușor ca avangarda franceză și, prin urmare, Rostov, în calitate de comandant de escadrilă grijuliu, a vrut să profite de proviziile care mai rămăseseră. în Bogucharovo înaintea francezilor.
Rostov și Ilyin erau în cea mai veselă dispoziție. Pe drumul către Bogucharovo, către moșia domnească cu o moșie, unde sperau să găsească servitori mari și fete drăguțe, fie l-au întrebat pe Lavrushka despre Napoleon și au râs de poveștile lui, fie au condus, încercând calul lui Ilyin.
Rostov nici nu știa și nici nu credea că acest sat în care călătorea era moșia aceluiași Bolkonsky, care era logodnicul surorii sale.
Rostov și Ilyin au lăsat caii să iasă pentru ultima oară pentru a-i împinge în târâul din fața lui Bogucharov, iar Rostov, după ce l-a depășit pe Ilyin, a fost primul care a galopat pe strada satului Bogucharov.
— Ai luat conducerea, spuse Ilyin înroșit.
„Da, totul este înainte, și înainte în pajiște, și aici”, a răspuns Rostov, mângâindu-și fundul avântat cu mâna.
„Și în franceză, Excelența Voastră”, a spus Lavrushka din spate, numindu-și cântărețul de sanie francez, „aș fi depășit, dar pur și simplu nu am vrut să-l fac de rușine”.
Au mers până la hambar, lângă care stătea o mulțime mare de oameni.

DEFINIȚIA ȘI EXEMPLE DE GRUP.

Odr1.Fie G o mulţime nevidă de elemente de natură arbitrară. G este numit grup

1) Bao ° este dat pe mulțimea G.

2) bao ° este asociativ.

3) Există un element neutru nÎG.

4) Pentru orice element al lui G, un element simetric cu acesta există întotdeauna și aparține și lui G.

Exemplu. Setul de numere Z – cu operația +.

Odr2.Grupul este numit Abelian, dacă este comutativă față de un bao° dat.

Exemple de grupuri:

1) Z,R,Q „+” (Z+)

Cele mai simple proprietăți ale grupurilor

Există un singur element neutru în grup

Într-un grup, pentru fiecare element există un singur element simetric cu acesta

Fie G un grup cu bao °, apoi ecuații de forma:

a°x=b și x°a=b (1) sunt rezolvabile și au o soluție unică.

Dovada. Să considerăm ecuațiile (1) pentru x. Evident, pentru un $! a". Întrucât operaţia ° este asociativă, atunci evident x=b°a" este singura soluţie.

34. PARITATEA SUBSTAȚIEI*

Definiția 1. Inlocuirea se numeste chiar, dacă este descompus într-un produs al unui număr par de transpoziții, iar în caz contrar impar.

Teza 1.Substituţie

Este chiar<=>- chiar permutare. Prin urmare, numărul de substituții pare

din n numere este egal cu n!\2.

Propozitia 2. Substituțiile f și f - 1 au același caracter de paritate.

> Este suficient să verificăm că dacă este un produs al transpozițiilor, atunci<

Exemplu:

SUBGRUP. CRITERIU DE SUBGRUP.

Def. Fie G un grup cu bao° și o submulțime nevidă a lui HÌG, atunci H se numește subgrup al lui G dacă H este un subgrup în raport cu bao° (adică ° este un bao pe H. Și H cu această operație este un grup).

Teorema (criteriul subgrupului). Fie G un grup în raport cu operația°, ƹHÎG. H este un subgrup<=>"h 1 ,h 2 ОH condiția h 1 °h 2 "ОH este îndeplinită (unde h 2 " este un element simetric față de h 2).

Doc. =>: Fie H un subgrup (trebuie să demonstrați că h 1 °h 2 "ОH). Luați h 1 ,h 2 ОH, apoi h 2 "ОH și h 1 °h" 2 ОH (deoarece h" 2 este un element simetric la h 2).

<=: (trebuie să demonstrați că H este un subgrup).

Deoarece H¹Æ , atunci există cel puțin un element acolo. Să luăm hÎH, n=h°h"ОH, adică elementul neutru nОH. Pentru h 1 luăm n, iar pentru h 2 luăm h apoi h"ОH Þ " hОH elementul simetric lui h aparține și lui H.

Să demonstrăm că compoziția oricăror elemente din H îi aparține lui H.

Să luăm h 1, iar ca h 2 luăm h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

Exemplu. G=S n , n>2, α - un element din X=(1,…,n). Ca H luăm mulțimea nevide H= S α n =(fО S n ,f(α)=α), sub acțiunea mapării din S α n α rămâne în loc. Verificăm după criterii. Să luăm orice h 1 ,h 2 ОH. Produs h 1. h 2 "ОH, adică H este un subgrup, care se numește subgrupul staționar al elementului α.

INEL, CÂMP. EXEMPLE.

Def. Lăsa LA o mulțime nevidă cu două operații algebrice: adunarea și înmulțirea. LA numit inel, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) LA - Grup abelian (commutativ în raport cu un bao dat) în ceea ce privește adăugarea;

2) înmulțirea este asociativă;

3) înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea().

Dacă înmulțirea este comutativă, atunci LA numit inel comutativ. Dacă există un element neutru relativ la înmulțire, atunci LA numit suna cu unul.

Exemple.

1) Mulțimea Z de numere întregi formează un inel în raport cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Acest inel este comutativ, asociativ și are identitate.

2) Mulțimile Q de numere raționale și R de numere reale sunt câmpuri

relativ la operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire a numerelor.

Cele mai simple proprietăți ale inelelor.

1. Din moment ce LA este un grup abelian în curs de adunare, atunci LA se transferă cele mai simple proprietăţi ale grupurilor.

2. Înmulțirea este distributivă în raport cu diferența: a(b-c)=ab-ac.

Dovada. Deoarece ab-ac+ac=ab și a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, apoi a(b-c)=ab-ac.

3. Inelul poate avea divizori zero, i.e. ab=0, dar de aici nu rezultă că a=0 b=0.

De exemplu, într-un inel de matrice de dimensiunea 2´2, există elemente care nu sunt egale cu zero, astfel încât produsul lor să fie zero: , unde - joacă rolul elementului zero.

4. a·0=0·а=0.

Dovada. Fie 0=b-b. Atunci a(b-b)=ab-ab=0. În mod similar 0·a=0.

5. a(-b)=(-a) b=-ab.

Dovada: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Dacă în ring LA există o unitate și constă din mai mult de un element, atunci unitatea nu este egală cu zero, unde 1─ este un element neutru la înmulțire; 0 ─ element neutru atunci când este adăugat.

7. Lasă LA inel cu identitate, apoi setul de elemente inversabile ale inelului formează un grup în raport cu înmulțirea, care se numește grupul multiplicativ al inelului K si denota K*.

Def. Un inel comutativ cu identitate, care conține cel puțin două elemente, în care orice element diferit de zero este inversabil, se numește camp.

Cele mai simple proprietăți ale unui câmp

1. Pentru că câmpul este un inel, apoi toate proprietățile inelelor sunt transferate în câmp.

2. Nu există divizori zero în câmp, adică. dacă ab=0, atunci a=0 sau b=0.

Dovada.

Dacă a¹0, atunci $ a -1. Considerăm a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 și dacă a¹0 , atunci b=0, în mod similar dacă b¹0

3. O ecuație de forma a´x=b, a¹0, b – oricare, din câmp are o soluție unică x= a -1 b, sau x=b/a.

Soluția acestei ecuații se numește soluție parțială.

Exemple. 1)PÌC, P - câmp numeric. 2)P=(0;1);