Формули по темата за закона за запазване на енергията. Закон за запазване на механичната енергия. Същността на закона за запазване на енергията

Принципът на запазване на енергията е абсолютно точен, не са регистрирани случаи на неговото нарушаване. Това е основен закон на природата, от който следват други. Ето защо е важно да го разберете правилно и да можете да го прилагате на практика.

Основен принцип

Няма общо определение за понятието енергия. Има различни видове: кинетична, термична, потенциална, химична. Но това не изяснява въпроса. Енергията е определена количествена характеристика, която, независимо какво се случва, остава постоянна за цялата система. Можете да гледате как плъзгащата се шайба спира и да декларирате: енергията се е променила! Всъщност не: механичната енергия се превърна в топлинна енергия, част от която се разсейваше във въздуха, а част от нея отиваше за топене на снега.

ориз. 1. Преобразуване на работата, изразходвана за преодоляване на триенето, в топлинна енергия.

Математикът Еми Ньотер успя да докаже, че постоянството на енергията е проява на еднаквостта на времето. Това количество е инвариантно по отношение на транспорта по времевата координата, тъй като законите на природата не се променят с течение на времето.

Ще разгледаме общата механична енергия (E) и нейните видове - кинетична (T) и потенциална (V). Ако ги съберем, получаваме израз за общата сума механична енергия:

$E = T + V_((q))$

Като записваме потенциалната енергия като $V_((q))$, показваме, че тя зависи единствено от конфигурацията на системата. Под q имаме предвид обобщени координати. Те могат да бъдат x, y, z в правоъгълна декартова координатна система или могат да бъдат всякакви други. Най-често се занимават с декартовата система.

ориз. 2. Потенциална енергия в гравитационното поле.

Математическата формулировка на закона за запазване на енергията в механиката изглежда така:

$\frac (d)(dt)(T+V_((q))) = 0$ – производната по време на общата механична енергия е нула.

В обичайната си интегрална форма формулата на закона за запазване на енергията е написана по следния начин:

В механиката се налагат ограничения върху закона: силите, действащи върху системата, трябва да бъдат консервативни (работата им зависи само от конфигурацията на системата). При наличие на неконсервативни сили, например триене, механичната енергия се преобразува в други видове енергия (топлинна, електрическа).

Термодинамика

Опитите за създаване на вечен двигател са особено характерни за 18-ти и 19-ти век - ерата, когато са направени първите парни машини. Неуспехите обаче доведоха до положителен резултат: първият закон на термодинамиката е формулиран:

$Q = \Delta U + A$ – изразходваната топлина се изразходва за извършване на работа и промяна вътрешна енергия. Това не е нищо повече от закона за запазване на енергията, но за топлинни двигатели.

ориз. 3. Схема на парна машина.

Задачи

Товар с тегло 1 kg, окачен на нишка L = 2 m, се отклонява така, че височината на повдигане се оказва равна на 0,45 m, и се освобождава без начална скорост. Какво ще бъде напрежението на нишката в най-ниската точка?

Решение:

Нека запишем втория закон на Нютон в проекция върху оста y в момента, когато тялото премине долната точка:

$ma = T – mg$, но тъй като $a = \frac (v^2)(L)$, може да се пренапише в нова форма:

$m \cdot \frac (v^2)(L) = T – mg$

Сега нека напишем закона за запазване на енергията, като вземем предвид, че в началната позиция кинетичната енергия е равна на нула, а в най-ниската точка - потенциална енергияравно на нула:

$m \cdot g \cdot h = \frac (m \cdot v^2)(2)$

Тогава силата на опън на нишката е:

$T = \frac (m \cdot 2 \cdot g \cdot h)(L) + mg = 10 \cdot (0,45 + 1) = 14,5 \: H$

Какво научихме?

По време на урока разгледахме фундаментално свойство на природата (еднородност на времето), от което следва законът за запазване на енергията, и разгледахме примери за този закон в различни клонове на физиката. За да осигурим материала, решихме проблема с махало.

Тест по темата

Оценка на доклада

Средна оценка: 4.4. Общо получени оценки: 252.

Този видео урок е предназначен за самостоятелно запознаване с темата „Законът за запазване на механичната енергия“. Първо, нека дефинираме общата енергия и затворената система. След това ще формулираме Закона за запазване на механичната енергия и ще разгледаме в кои области на физиката може да се приложи. Ще дефинираме и работата и ще научим как да я дефинираме, като разгледаме формулите, свързани с нея.

Темата на урока е един от основните закони на природата - закон за запазване на механичната енергия.

Преди това говорихме за потенциала и кинетична енергия, както и че едно тяло може да има както потенциална, така и кинетична енергия. Преди да говорим за закона за запазване на механичната енергия, нека си припомним какво обща енергия. Обща механична енергияе сумата от потенциалната и кинетичната енергия на тялото.

Също така помнете какво се нарича затворена система. Затворена система- това е система, в която има строго определен брой взаимодействащи помежду си тела и никакви други тела отвън не действат върху тази система.

Когато дефинираме понятието пълна енергия и затворена система, можем да говорим за закона за запазване на механичната енергия. така че общата механична енергия в затворена система от тела, взаимодействащи помежду си чрез гравитационни сили или еластични сили (консервативни сили), остава непроменена по време на всяко движение на тези тела.

Вече проучихме закона за запазване на импулса (LCM):

Често се случва поставените проблеми да бъдат решени само с помощта на законите за запазване на енергията и импулса.

Удобно е да се разгледа запазването на енергията, като се използва примерът за свободно падане на тяло от определена височина. Ако определено тяло е в покой на определена височина спрямо земята, тогава това тяло има потенциална енергия. Веднага щом тялото започне да се движи, височината на тялото намалява и потенциалната енергия намалява. В същото време скоростта започва да се увеличава и се появява кинетична енергия. Когато тялото се доближи до земята, височината на тялото е 0, потенциалната енергия също е 0, а максимумът ще бъде кинетичната енергия на тялото. Тук се вижда трансформацията на потенциалната енергия в кинетична (фиг. 1). Същото може да се каже и за движението на тялото в обратна посока, отдолу нагоре, когато тялото е хвърлено вертикално нагоре.

ориз. 1. Свободно падане на тяло от определена височина

Допълнителна задача 1. „При падане на тяло от определена височина“

Проблем 1

Състояние

Тялото е на височина от повърхността на Земята и започва да пада свободно. Определете скоростта на тялото в момента на контакт със земята.

Решение 1:

Начална скорост на тялото. Трябва да го намеря.

Нека разгледаме закона за запазване на енергията.

ориз. 2. Движение на тялото (задача 1)

В горната точка тялото има само потенциална енергия: . Когато тялото се приближи до земята, височината на тялото над земята ще бъде равна на 0, което означава, че потенциалната енергия на тялото е изчезнала, тя се е превърнала в кинетична енергия:

Според закона за запазване на енергията можем да напишем:

Телесното тегло е намалено. Преобразувайки горното уравнение, получаваме: .

Крайният отговор ще бъде:. Ако заместим цялата стойност, получаваме: .

отговор: .

Пример за решаване на проблем:

ориз. 3. Примерно решение на задача №1

Този проблем може да се реши по друг начин, като вертикално движение с ускорение на свободното падане.

Решение 2 :

Нека напишем уравнението на движението на тялото в проекция върху оста:

Когато тялото се приближи до повърхността на Земята, неговата координата ще бъде равна на 0:

Гравитационното ускорение се предхожда от знак „-“, защото е насочено срещу избраната ос.

Замествайки известните стойности, откриваме, че тялото е паднало с времето. Сега нека напишем уравнението за скоростта:

Ако приемем, че ускорението на свободното падане е равно, получаваме:

Знакът минус означава, че тялото се движи срещу посоката на избраната ос.

отговор: .

Пример за решаване на задача №1 по втория метод.

ориз. 4. Пример за решение на задача № 1 (метод 2)

Също така, за да разрешите този проблем, можете да използвате формула, която не зависи от времето:

Разбира се, трябва да се отбележи, че разгледахме този пример, като взехме предвид липсата на сили на триене, които в действителност действат във всяка система. Нека се обърнем към формулите и да видим как е написан законът за запазване на механичната енергия:

Допълнителна задача 2

Тялото пада свободно от високо. Определете на каква височина кинетичната енергия е равна на една трета от потенциалната енергия ().

ориз. 5. Илюстрация към задача No2

Решение:

Когато едно тяло е на височина, то има потенциална енергия и само потенциална енергия. Тази енергия се определя по формулата: . Това ще бъде общата енергия на тялото.

Когато тялото започне да се движи надолу, потенциалната енергия намалява, но в същото време кинетичната енергия се увеличава. На височината, която трябва да се определи, тялото вече ще има определена скорост V. За точката, съответстваща на височината h, кинетичната енергия има формата:

Потенциалната енергия на тази височина ще бъде означена, както следва: .

Съгласно закона за запазване на енергията, цялата ни енергия се запазва. Тази енергия остава постоянна стойност. За точка можем да запишем следната връзка: (според Z.S.E.).

Спомняйки си, че кинетичната енергия според условията на задачата е , можем да напишем следното: .

Моля, обърнете внимание: масата и ускорението на гравитацията са намалени, след прости трансформации откриваме, че височината, при която тази връзка е изпълнена, е .

отговор:

Пример за задача 2.

ориз. 6. Формализация на решението на задача No2

Представете си, че тяло в определена референтна система има кинетична и потенциална енергия. Ако системата е затворена, тогава при всяка промяна е настъпило преразпределение, трансформация на един вид енергия в друг, но общата енергия остава същата по стойност (фиг. 7).

ориз. 7. Закон за запазване на енергията

Представете си ситуация, при която кола се движи по хоризонтален път. Шофьорът изключва двигателя и продължава да кара с изключен двигател. Какво се случва в този случай (фиг. 8)?

ориз. 8. Движение на автомобила

IN в този случайколата има кинетична енергия. Но вие много добре знаете, че след време колата ще спре. Къде отиде енергията в този случай? В края на краищата потенциалната енергия на тялото в този случай също не се промени; това беше някаква постоянна стойност спрямо Земята. Как се случи енергийната промяна? В този случай енергията се използва за преодоляване на силите на триене. Ако в дадена система възникне триене, то също влияе върху енергията на тази система. Нека да видим как се записва промяната в енергията в този случай.

Енергията се променя и тази промяна в енергията се определя от работата срещу силата на триене. Можем да определим работата на силата на триене по формулата, която е известна от 7 клас (силата и преместването са насочени в противоположни посоки):

Така че, когато говорим за енергия и работа, трябва да разберем, че всеки път трябва да вземем предвид факта, че част от енергията се изразходва за преодоляване на силите на триене. Работи се за преодоляване на силите на триене. Работата е величина, която характеризира промяната в енергията на тялото.

В заключение на урока бих искал да кажа, че работата и енергията са по същество свързани величини чрез действащи сили.

Допълнителна задача 3

Две тела - блок с маса и пластилинова топка с маса - се движат едно към друго с еднакви скорости (). След сблъсъка топката от пластилин залепва за блока, двете тела продължават да се движат заедно. Определете каква част от механичната енергия се е превърнала във вътрешна енергия на тези тела, като вземете предвид факта, че масата на блока е 3 пъти по-голяма от масата на пластилиновата топка ().

Решение:

Промяната във вътрешната енергия може да се означи с . Както знаете, има няколко вида енергия. В допълнение към механичната енергия има и топлинна, вътрешна енергия.

Законът за запазване на енергията гласи, че енергията на тялото никога не изчезва или се появява отново, тя може само да се трансформира от един вид в друг. Този закон е универсален. Той има своя собствена формулировка в различни клонове на физиката. Класическата механика разглежда закона за запазване на механичната енергия.

Общата механична енергия на затворена система от физически тела, между които действат консервативни сили, е постоянна величина. Така е формулиран законът на Нютон за запазване на енергията.

За затворена или изолирана физическа система се счита тази, която не се влияе от външни сили. Няма обмен на енергия с околното пространство, а собствената енергия, която притежава, остава непроменена, тоест се запазва. В такава система действат само вътрешни сили, а телата взаимодействат помежду си. В него може да се случи само трансформацията на потенциалната енергия в кинетична и обратно.

Най-простият пример за затворена система е снайперска пушка и куршум.

Видове механични сили

Силите, които действат вътре в механичната система, обикновено се разделят на консервативни и неконсервативни.

Консервативнасе разглеждат сили, чиято работа не зависи от траекторията на тялото, към което са приложени, а се определя само от началното и крайното положение на това тяло. Наричат ​​се още консервативни сили потенциал. Работата, извършена от такива сили по затворен контур, е нула. Примери за консервативни сили – гравитация, еластична сила.

Всички други сили се наричат неконсервативен. Те включват сила на триене и сила на съпротивление. Те също се наричат разсейващсили. Тези сили при всякакви движения в затворена механична система извършват отрицателна работа и под действието им общата механична енергия на системата намалява (разсейва). Тя се превръща в други, немеханични форми на енергия, например в топлина. Следователно законът за запазване на енергията в затворена механична система може да бъде изпълнен само ако в нея няма неконсервативни сили.

Общата енергия на механичната система се състои от кинетична и потенциална енергия и е тяхната сума. Тези видове енергии могат да се трансформират една в друга.

Потенциална енергия

Потенциална енергия се нарича енергията на взаимодействие на физическите тела или техните части помежду си. Определя се от взаимното им разположение, тоест разстоянието между тях, и е равно на работата, която трябва да се извърши, за да се премести тялото от референтната точка до друга точка в полето на действие на консервативните сили.

Всяко неподвижно физическо тяло, повдигнато на някаква височина, има потенциална енергия, тъй като върху него действа гравитацията, която е консервативна сила. Такава енергия притежава вода на ръба на водопад и шейна на планински връх.

Откъде дойде тази енергия? Докато физическото тяло беше издигнато на височина, се извършваше работа и се изразходваше енергия. Именно тази енергия се съхранява в повдигнатото тяло. И сега тази енергия е готова да върши работа.

Количеството потенциална енергия на едно тяло се определя от височината, на която се намира тялото спрямо някакво начално ниво. Можем да вземем всяка точка, която изберем, като отправна точка.

Ако разгледаме положението на тялото спрямо Земята, тогава потенциалната енергия на тялото на земната повърхност е нула. И отгоре ч изчислява се по формулата:

E p = m ɡ ч ,

Къде м – телесно тегло

ɡ - ускорение на свободно падане

ч – височината на центъра на масата на тялото спрямо Земята

ɡ = 9,8 m/s 2

При падане на тяло от високо з 1 до височина ч 2 гравитацията работи. Тази работа е равна на изменението на потенциалната енергия и има отрицателна стойност, тъй като количеството потенциална енергия намалява, когато тялото пада.

A = - ( E p2 – E p1) = - ∆ E стр ,

Къде E p1 – потенциална енергия на тялото на височина з 1 ,

E p2 - потенциална енергия на тялото на височина ч 2 .

Ако тялото се повдигне на определена височина, тогава се извършва работа срещу силите на гравитацията. В този случай има положителна стойност. И количеството потенциална енергия на тялото се увеличава.

Еластично деформирано тяло (натисната или разтегната пружина) също има потенциална енергия. Стойността му зависи от твърдостта на пружината и от дължината, до която е била компресирана или разтегната, и се определя по формулата:

E p = k·(∆x) 2 /2 ,

Къде к – коефициент на твърдост,

∆x – удължаване или притискане на тялото.

Потенциалната енергия на една пружина може да върши работа.

Кинетична енергия

В превод от гръцки "кинема" означава "движение". Енергията, която физическото тяло получава в резултат на своето движение, се нарича кинетичен. Стойността му зависи от скоростта на движение.

Търкаляне през полето футболна топка, шейна, която се търкаля от планината и продължава да се движи, стрела, изстреляна от лък - всички те имат кинетична енергия.

Ако тялото е в покой, кинетичната му енергия е нула. Веднага щом сила или няколко сили действат върху тялото, то ще започне да се движи. И тъй като тялото се движи, силата, действаща върху него, действа. Работата на силата, под въздействието на която тяло от състояние на покой преминава в движение и променя скоростта си от нула до ν , наречена кинетична енергия телесна маса м .

Ако в началния момент тялото вече е било в движение и скоростта му е имала значение ν 1 , а в последния момент беше равно на ν 2 , тогава работата, извършена от силата или силите, действащи върху тялото, ще бъде равна на увеличението на кинетичната енергия на тялото.

∆ E k = E k 2 - Ек 1

Ако посоката на силата съвпада с посоката на движение, тогава се извършва положителна работа и кинетичната енергия на тялото нараства. И ако силата е насочена в посока, обратна на посоката на движение, тогава се извършва отрицателна работа и тялото отдава кинетична енергия.

Закон за запазване на механичната енергия

дк 1 + E p1= д к 2 + E p2

Всяко физическо тяло, разположено на някаква височина, има потенциална енергия. Но когато падне, започва да губи тази енергия. къде отива тя Оказва се, че тя не изчезва никъде, а се превръща в кинетична енергия на същото тяло.

Да предположим , товарът е неподвижно фиксиран на определена височина. Неговата потенциална енергия в тази точка е равна на максималната му стойност.Ако го пуснем, той ще започне да пада с определена скорост. Следователно, той ще започне да придобива кинетична енергия. Но в същото време неговата потенциална енергия ще започне да намалява. В точката на удара кинетичната енергия на тялото ще достигне максимум, а потенциалната енергия ще намалее до нула.

Потенциалната енергия на хвърлена от високо топка намалява, но кинетичната й енергия се увеличава. Шейна в покой на планински връх има потенциална енергия. Тяхната кинетична енергия в този момент е нула. Но когато започнат да се търкалят надолу, кинетичната енергия ще се увеличи, а потенциалната енергия ще намалее със същото количество. И сумата от техните стойности ще остане непроменена. Потенциалната енергия на ябълка, окачена на дърво, когато падне, се превръща в нейната кинетична енергия.

Тези примери ясно потвърждават закона за запазване на енергията, който гласи това общата енергия на една механична система е постоянна стойност . Общата енергия на системата не се променя, но потенциалната енергия се трансформира в кинетична енергия и обратно.

С колко намалява потенциалната енергия, с толкова се увеличава кинетичната енергия. Размерът им няма да се промени.

За затворена система от физически тела е вярно следното равенство:
E k1 + E p1 = E k2 + E p2,
Къде E k1, E p1 - кинетична и потенциална енергия на системата преди всяко взаимодействие, E k2, E p2 - съответните енергии след него.

Процесът на преобразуване на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно може да се види, като се наблюдава люлеещо се махало.

Кликнете върху снимката

Намирайки се в крайна дясна позиция, махалото сякаш замръзва. В този момент височината му над референтната точка е максимална. Следователно потенциалната енергия също е максимална. А кинетичната стойност е нула, тъй като не се движи. Но в следващия момент махалото започва да се движи надолу. Скоростта му се увеличава и следователно се увеличава кинетичната му енергия. Но с намаляване на височината намалява и потенциалната енергия. В най-ниската точка тя ще стане равна на нула, а кинетичната енергия ще достигне максималната си стойност. Махалото ще прелети покрай тази точка и ще започне да се издига нагоре вляво. Потенциалната му енергия ще започне да нараства, а кинетичната енергия ще намалява. и т.н.

За да демонстрира енергийните трансформации, Исак Нютон измисли механична система, наречена Люлката на Нютон или Топките на Нютон .

Кликнете върху снимката

Ако се отклоните настрани и след това пуснете първата топка, нейната енергия и импулс ще се прехвърлят към последната чрез три междинни топки, които ще останат неподвижни. И последната топка ще се отклони със същата скорост и ще се издигне на същата височина като първата. Тогава последната топка ще прехвърли своята енергия и инерция през междинните топки към първата и т.н.

Топката, преместена настрани, има максимална потенциална енергия. Кинетичната му енергия в този момент е нула. Започвайки да се движи, той губи потенциална енергия и получава кинетична енергия, която в момента на сблъсък с втората топка достига максимум и потенциалната енергия става равна на нула. След това кинетичната енергия се прехвърля към втората, след това към третата, четвъртата и петата топка. Последният, след като получи кинетична енергия, започва да се движи и се издига на същата височина, на която първата топка е била в началото на движението си. Кинетичната му енергия в този момент е нула, а потенциалната му енергия е равна на максималната му стойност. След това започва да пада и предава енергия на топките по същия начин в обратен ред.

Това продължава доста дълго време и би могло да продължи безкрайно, ако не съществуваха неконсервативни сили. Но в действителност в системата действат дисипативни сили, под въздействието на които топките губят своята енергия. Скоростта и амплитудата им постепенно намаляват. И в крайна сметка спират. Това потвърждава, че законът за запазване на енергията е изпълнен само при липса на неконсервативни сили.

Енергията е скаларна величина. Единицата за енергия в SI е джаул.

Кинетична и потенциална енергия

Има два вида енергия - кинетична и потенциална.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинетична енергия- това е енергията, която тялото притежава поради движението си:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Потенциална енергияе енергия, която се определя от взаимното разположение на телата, както и естеството на силите на взаимодействие между тези тела.

Потенциалната енергия в гравитационното поле на Земята е енергията, дължаща се на гравитационното взаимодействие на тялото със Земята. Определя се от положението на тялото спрямо Земята и е равна на работата по преместването на тялото от тази разпоредбадо нулево ниво:

Потенциалната енергия е енергията, причинена от взаимодействието на частите на тялото една с друга. Тя е равна на работата на външните сили при опън (компресия) на недеформирана пружина по размер:

Едно тяло може едновременно да притежава както кинетична, така и потенциална енергия.

Общата механична енергия на тяло или система от тела е равна на сумата от кинетичната и потенциалната енергия на тялото (система от тела):

Закон за запазване на енергията

За затворена система от тела е валиден законът за запазване на енергията:

В случай, че върху тяло (или система от тела) действат външни сили, например, законът за запазване на механичната енергия не е изпълнен. В този случай промяната в общата механична енергия на тялото (системата от тела) е равна на външните сили:

Законът за запазване на енергията ни позволява да установим количествена връзка между различни формидвижение на материята. Също като , то е валидно не само за, но и за всички природни явления. Законът за запазване на енергията казва, че енергията в природата не може да бъде унищожена, както не може да бъде създадена от нищото.

В най-много общ изгледЗаконът за запазване на енергията може да се формулира по следния начин:

• Енергията в природата не изчезва и не се създава отново, а само се трансформира от един вид в друг.

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Закон за запазване на механичната енергия:в система от тела, между които действат само консервативни сили, общата механична енергия се запазва, т.е. не се променя с времето:

Наричат ​​се механични системи, върху чиито тела действат само консервативни сили (вътрешни и външни). консервативни системи.

Закон за запазване на механичната енергияможе да се формулира по следния начин: в консервативните системи общата механична енергия се запазва.

Законът за запазване на механичната енергия е свързан с еднаквостта на времето. Хомогенността на времето се проявява във факта, че физическите закони са инвариантни по отношение на избора на времевата отправна точка.

Има и друг вид система - дисипативни системи, при което механичната енергия постепенно се намалява чрез преобразуване в други (немеханични) форми на енергия. Този процес се нарича разсейване (или разпръскване) на енергия.

В консервативните системи общата механична енергия остава постоянна. Могат да възникнат само трансформации на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно в еквивалентни количества, така че общата енергия да остане непроменена.

Този закон не е просто закон количествензапазване на енергията и законът за запазване и преобразуване на енергията, изразяващ и високо качествострана на взаимното превръщане на различните форми на движение една в друга.

Законът за запазване и трансформация на енергията - основен закон на природата, важи както за системи от макроскопични тела, така и за системи от микроскопични тела.

В система, в която действат и те неконсервативни сили, например сили на триене, обща механична енергия на системата не е запазено. Въпреки това, когато механичната енергия „изчезне“, винаги се появява еквивалентно количество от друг вид енергия.

14. Инерционен момент на твърдо тяло. Момент на импулс. Теорема на Щайнер.

инерционен моментсистема (тяло) спрямо дадена ос е физическа величина, равна на сумата от произведенията на масите на n материални точки от системата по квадратите на тяхното разстояние до въпросната ос:

Сумирането се извършва върху всички елементарни маси m, на които е разделено тялото.

В случай на непрекъснато разпределение на масите тази сума се свежда до интеграл: където интегрирането се извършва по целия обем на тялото.

Стойността r в този случай е функция от позицията на точката с координати x, y, z. Инерционен момент- величина добавка: инерционният момент на тялото спрямо определена ос е равен на сумата от инерционните моменти на части от тялото спрямо същата ос.

Ако е известен инерционният момент на тяло спрямо ос, минаваща през неговия център на масата, тогава се определя инерционният момент спрямо всяка друга успоредна ос Теорема на Щайнер:

Инерционният момент на тяло J спрямо произволна ос е равен на неговия инерционен момент Jс спрямо успоредна ос, минаваща през центъра на масата C на тялото, добавен към произведението на масата на тялото и квадрата на разстоянието a между осите:

Примери за моменти на инерция на някои тела (телата се считат за хомогенни, m е масата на тялото):

импулс (импулс)материална точка A спрямо фиксирана точка O е физическа величина, определена от векторния продукт:

където r е радиус векторът, начертан от точка O до точка A;

p = mv - импулс на материална точка;

L е псевдовектор, посоката му съвпада с посоката на транслационното движение на дясното витло, докато се върти от към.

Модул на вектора на ъгловия момент:

където a е ъгълът между векторите r и p;

l - рамо на вектор p спрямо точка O.

Импулс спрямо неподвижната ос zсе нарича скаларна величина Lz, равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точка O на тази ос. Ъгловият импулс Lz не зависи от позицията на точка O върху оста z.

При въртене абсолютно твърдооколо фиксирана ос z, всяка отделна точка на тялото се движи в окръжност с постоянен радиус r, с определена скорост Vi. Скоростта Vi и импулсът mV са перпендикулярни на този радиус, т.е. радиусът е рамо на вектора. Следователно ъгловият импулс на отделна частица е равен на:

Импулс на твърдо тялоспрямо оста е сумата от ъгловия импулс на отделните частици:

Използвайки формулата, намираме, че ъгловият момент на твърдо тяло спрямо ос е равен на произведението на инерционния момент на тялото спрямо същата ос и ъгловата скорост: