Αξιώματα του δαχτυλιδιού. Οι απλούστερες ιδιότητες των δαχτυλιδιών. Ειδικές κατηγορίες δαχτυλιδιών

Σχόλιο: Αυτή η διάλεξη συζητά τις έννοιες των δαχτυλιδιών. Δίνονται οι βασικοί ορισμοί και οι ιδιότητες των στοιχείων δακτυλίου και εξετάζονται οι συνειρμικοί δακτύλιοι. Εξετάζονται ορισμένα χαρακτηριστικά προβλήματα, αποδεικνύονται τα κύρια θεωρήματα και δίνονται προβλήματα για ανεξάρτητη εξέταση

Δαχτυλίδια

Καλείται ένα σύνολο R με δύο δυαδικές πράξεις (πρόσθεση + και πολλαπλασιασμό). συνειρμικό δαχτυλίδι με μονάδα, Εάν:

Εάν η λειτουργία πολλαπλασιασμού είναι αντιμεταθετική, τότε καλείται ο δακτύλιος ανταλλακτικήδαχτυλίδι. Οι ανταλλάξιμοι δακτύλιοι είναι ένα από τα κύρια αντικείμενα μελέτης στην αντιμεταθετική άλγεβρα και την αλγεβρική γεωμετρία.

Σημειώσεις 1.10.1.

Παραδείγματα 1.10.2 (παραδείγματα συνειρμικών δακτυλίων).

Έχουμε ήδη δει ότι η ομάδα των υπολειμμάτων (Z n,+)=(C0,C1,...,Cn-1), C k =k+nZ, modulo n με την πράξη πρόσθεσης, είναι μια μεταθετική ομάδα (βλ. παράδειγμα 1.9.4, 2)).

Ας ορίσουμε την πράξη πολλαπλασιασμού ορίζοντας . Ας ελέγξουμε την ορθότητα αυτής της λειτουργίας. Αν C k =C k" , C l =C l" , τότε k"=k+nu, l"=l+nv, και επομένως Ck"l" =C kl.

Επειδή (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1, (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, τότε είναι ένας συσχετιστικός ανταλλάκτης δακτύλιος με μονάδα C 1 υπολειπόμενου δακτυλίου modulo n).

Ιδιότητες δακτυλίων (R,+,.)

Λήμμα 1.10.3 (διωνυμικό του Νεύτωνα). Έστω R ένας δακτύλιος με 1 , , . Τότε:

Απόδειξη.

Ορισμός 1.10.4. Καλείται ένα υποσύνολο S ενός δακτυλίου R υποβρύχιο, Εάν:

α) Το S είναι μια υποομάδα σε σχέση με την προσθήκη στην ομάδα (R,+).

β) γιατί έχουμε ;

γ) για έναν δακτύλιο R με 1 θεωρείται ότι .

Παραδείγματα 1.10.5 (παραδείγματα υποδακτυλίων).

Πρόβλημα 1.10.6. Περιγράψτε όλους τους υποδακτυλίους στον υπολειμματικό δακτύλιο Zn modulo n.

Σημείωση 1.10.7. Στον δακτύλιο Z 10, στοιχεία που είναι πολλαπλάσια του 5 σχηματίζουν έναν δακτύλιο με το 1, ο οποίος δεν είναι υποδακτύλιος στο Z 10 (αυτοί οι δακτύλιοι έχουν διαφορετικά μοναδιαία στοιχεία).

Ορισμός 1.10.8. Αν το R είναι ένας δακτύλιος και , , ab=0, τότε το στοιχείο a ονομάζεται αριστερός μηδενικός διαιρέτης στο R, το στοιχείο b ονομάζεται δεξιός μηδενικός διαιρέτης στο R.

Σημείωση 1.10.9. Στους εναλλάξιμους δακτυλίους, φυσικά, δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ αριστερών και δεξιών μηδενικών διαιρετών.

Παράδειγμα 1.10.10. Δεν υπάρχουν μηδενικοί διαιρέτες στα Z, Q, R.

Παράδειγμα 1.10.11. Ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων C έχει μηδενικούς διαιρέτες. Πράγματι, αν

τότε , , fg=0 .

Παράδειγμα 1.10.12. Αν n=kl , 1

Λήμμα 1.10.13. Αν δεν υπάρχουν (αριστερά) μηδενικοί διαιρέτες στον δακτύλιο R, τότε από ab=ac , όπου , , έπεται ότι b=c (δηλαδή, η δυνατότητα ακύρωσης από ένα μη μηδενικό στοιχείο στα αριστερά αν δεν υπάρχουν αριστεροί μηδενικοί διαιρέτες και στα δεξιά εάν δεν υπάρχουν δεξιοί μηδενικοί διαιρέτες).

Απόδειξη. Αν ab=ac , τότε a(b-c)=0 . Εφόσον το a δεν είναι αριστερός μηδενικός διαιρέτης, τότε b-c=0, δηλ. b=c.

Ορισμός 1.10.14. Το στοιχείο ονομάζεται μηδενική δύναμη, αν x n =0 για κάποιους . Ο μικρότερος φυσικός αριθμός n ονομάζεται βαθμός μηδενικής ισχύος ενός στοιχείου .

Είναι σαφές ότι ένα μηδενικό στοιχείο είναι μηδενικός διαιρέτης (αν n>1 τότε , ). Η αντίστροφη πρόταση δεν είναι αληθής (δεν υπάρχουν μηδενικά στοιχεία στο Z 6, αλλά τα 2, 3, 4 είναι μη μηδενικοί διαιρέτες του μηδενός).

Άσκηση 1.10.15. Ο δακτύλιος Z n περιέχει μη ισχυρά στοιχεία αν και μόνο αν το n διαιρείται με m 2 , όπου , .

Ορισμός 1.10.16. Ένα στοιχείο x του δακτυλίου R ονομάζεται ανίκανος, αν x 2 =x . Είναι σαφές ότι 0 2 =0, 1 2 =1. Αν x 2 =x και , τότε x(x-1)=x 2 -x=0, και επομένως τα μη τετριμμένα αδύνατα είναι μηδενικά διαιρέτες.

Έστω U(R) το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του συσχετιστικού δακτυλίου R, δηλαδή αυτά για τα οποία υπάρχει αντίστροφο στοιχείο s=r -1 (δηλ. rr -1 =1=r -1 r ).

Ορισμός 4.1.1. Δαχτυλίδι (Κ, +, ) είναι ένα αλγεβρικό σύστημα με μη κενό σύνολο Κκαι δύο δυαδικές αλγεβρικές πράξεις σε αυτό, τις οποίες θα ονομάσουμε πρόσθεσηΚαι πολλαπλασιασμός. Ο δακτύλιος είναι μια Αβελιανή προσθετική ομάδα και ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση σχετίζονται με τους νόμους της κατανομής: ( ένα + σι)  ντο = ένα  ντο + σι  ντοΚαι Με  (ένα + σι) = ντο  ένα + ντο  σιγια αυθαίρετα ένα, σι, ντο  Κ.

Παράδειγμα 4.1.1. Ας δώσουμε παραδείγματα δαχτυλιδιών.

1. (Ζ, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (ντο, +, ) – αντίστοιχα, δακτύλιοι ακεραίων, ρητών, πραγματικών και μιγαδικών αριθμών με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Αυτοί οι δακτύλιοι ονομάζονται αριθμητικός.

2. (Ζ/nΖ, +, ) – δακτύλιος κλάσεων υπολειμμάτων modulo n  Νμε πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

3. Πολοί Μ n (Κ) όλοι οι τετραγωνικοί πίνακες σταθερής τάξης n  Νμε συντελεστές από το δαχτυλίδι ( Κ, +, ) με τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων. Προπαντός, Κμπορεί να είναι ίσο Ζ, Q, R, ντοή Ζ/nΖστο n  Ν.

4. Το σύνολο όλων των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα σταθερό διάστημα ( ένα; σι) πραγματική αριθμητική γραμμή, με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού συναρτήσεων.

5. Σύνολο πολυωνύμων (πολυώνυμα) Κ[x] με συντελεστές από το δαχτυλίδι ( Κ, +, ) από μία μεταβλητή xμε φυσικές πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πολυωνύμων. Συγκεκριμένα, πολυωνυμικοί δακτύλιοι Ζ[x], Q[x], R[x], ντο[x], Ζ/nΖ[x] στο n  Ν.

6. Δακτύλιος διανυσμάτων ( V 3 (R), +, ) με τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού διανυσμάτων.

7. Δακτύλιος ((0), +, ) με πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Ορισμός 4.1.2. Διακρίνω πεπερασμένο και άπειροδαχτυλίδια (ανάλογα με τον αριθμό των στοιχείων του σετ Κ), αλλά η κύρια ταξινόμηση βασίζεται στις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Διακρίνω συνειρμικόςκουδουνίζει όταν η πράξη πολλαπλασιασμού είναι συσχετιστική (σημεία 1–5, 7 του παραδείγματος 4.1.1) και μη συνειρμικήδαχτυλίδια (σημείο 6 του παραδείγματος 4.1.1: εδώ ,). Οι δακτύλιοι σύνδεσης χωρίζονται σε δαχτυλίδια με ένα(υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο σχετικά με τον πολλαπλασιασμό) και χωρίς μονάδα, ανταλλακτική(η πράξη πολλαπλασιασμού είναι ανταλλάξιμη) και μη ανταλλακτική.

Θεώρημα4.1.1. ας ( Κ, +, ) είναι ένας συσχετιστικός δακτύλιος με ένα. Μετά πολλά Κ* αναστρέψιμο σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό των στοιχείων του δακτυλίου Κ– πολλαπλασιαστική ομάδα.

Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση του ορισμού της ομάδας 3.2.1. Αφήνω ένα, σι  Κ*. Ας το δείξουμε ένα  σι  Κ * .  (ένα  σι) –1 = σι –1  ΕΝΑ –1  Κ. Πραγματικά,

(ένα  σι)  (σι –1  ΕΝΑ –1) = ένα  (σι  σι –1)  ΕΝΑ –1 = ένα  1  ΕΝΑ –1 = 1,

(σι –1  ΕΝΑ –1)  (ένα  σι) = σι –1  (ΕΝΑ –1  ένα)  σι = σι –1  1  σι = 1,

Οπου ΕΝΑ –1 , σι –1  Κ– αντίστροφα στοιχεία προς έναΚαι σιαντίστοιχα.

1) Πολλαπλασιασμός σε Κ* συνειρμικά, αφού Κ– συνειρμικό δαχτυλίδι.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  Κ* , 1 – ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό σε Κ * .

3) Για  ένα  Κ * , ΕΝΑ –1  Κ* , γιατί ( ΕΝΑ –1)  ένα = ένα  (ΕΝΑ –1) = 1
(ΕΝΑ –1) –1 = ένα.

Ορισμός 4.1.3. Πολοί Κ* αναστρέψιμο σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό των στοιχείων του δακτυλίου ( Κ, +, ) λέγονται πολλαπλασιαστική ομάδα δαχτυλιδιών.

Παράδειγμα 4.1.2. Ας δώσουμε παραδείγματα πολλαπλασιαστικών ομάδων διαφόρων δακτυλίων.

1. Ζ * = {1, –1}.

2. Μ n (Q) * = G.L. n (Q), Μ n (R) * = G.L. n (R), Μ n (ντο) * = G.L. n (ντο).

3. Ζ/nΖ* – σύνολο αντιστρέψιμων κατηγοριών υπολειμμάτων, Ζ/nΖ * = { | (κ, n) = 1, 0  κ < n), στο n > 1 | Ζ/nΖ * | =  (n), Πού  – Λειτουργία Euler.

4. (0) * = (0), αφού σε σε αυτή την περίπτωση 1 = 0.

Ορισμός 4.1.4. Εάν σε ένα συνειρμικό δαχτυλίδι ( Κ, +, ) με ομάδα μονάδων Κ * = Κ\(0), όπου το 0 είναι ένα ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρόσθεση, τότε ένας τέτοιος δακτύλιος ονομάζεται σώμαή άλγεβρα μεδιαίρεση. Το μεταθετικό σώμα ονομάζεται πεδίο.

Από τον ορισμό αυτό είναι φανερό ότι στο σώμα Κ*   και 1  Κ* σημαίνει 1  0, επομένως το ελάχιστο σώμα, που είναι πεδίο, αποτελείται από δύο στοιχεία: 0 και 1.

Παράδειγμα 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (ντο, +, ) – αντίστοιχα αριθμητικά πεδίαρητικούς, πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς.

2. (Ζ/σελΖ, +, ) – πεπερασμένο πεδίο από σελστοιχεία αν σελ– πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα, ( Ζ/2Ζ, +, ) – το ελάχιστο πεδίο δύο στοιχείων.

3. Ένα μη αντισταθμιστικό σώμα είναι σώμα τεταρτοταγούς– σετ τεταρτοταγείς, δηλαδή εκφράσεις της μορφής η= ένα + δι + cj + dk, Πού ένα, σι, ντο, ρε  R, εγώ 2 = = ι 2 = κ 2 = – 1, εγώ  ι= κ= – ι  εγώ, ι  κ= εγώ= – κ  ι, εγώ  κ= – ι= – κ  εγώ, με τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Τα τεταρτημόρια προστίθενται και πολλαπλασιάζονται ανά όρο, λαμβάνοντας υπόψη τους παραπάνω τύπους. Για όλους η Το 0 αντίστροφο τεταρτοταγές έχει τη μορφή:
.

Υπάρχουν δακτύλιοι με μηδενικούς διαιρέτες και δακτύλιοι χωρίς μηδενικούς διαιρέτες.

Ορισμός 4.1.5. Εάν ο δακτύλιος περιέχει μη μηδενικά στοιχεία έναΚαι σιτέτοια που ένα  σι= 0, τότε καλούνται μηδενικοί διαιρέτεςκαι το ίδιο το δαχτυλίδι - δαχτυλίδι με μηδενικά διαχωριστικά. ΣΕ αλλιώςτο δαχτυλίδι λέγεται δακτύλιος χωρίς μηδενικούς διαιρέτες.

Παράδειγμα 4.1.4.

1. Δαχτυλίδια ( Ζ, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (ντο, +, ) – δακτύλιοι χωρίς μηδενικούς διαιρέτες.

2. στο ρινγκ ( V 3 (R), +, ) κάθε μη μηδενικό στοιχείο είναι μηδενικός διαιρέτης, αφού
για όλους
V 3 (R).

3. Στον δακτύλιο μήτρας Μ 3 (Ζ) παραδείγματα μηδενικών διαιρετών είναι πίνακες
Και
, γιατί ΕΝΑ  σι = Ο(μηδενικός πίνακας).

4. στο ρινγκ ( Ζ/nΖ, +, ) με σύνθετο n = κ  m, όπου 1< κ, m < n, κατηγορίες υπολειμμάτων Και είναι μηδενικοί διαιρέτες, αφού. 

Παρακάτω παρουσιάζουμε τις κύριες ιδιότητες των δακτυλίων και των πεδίων.

Η έννοια του δαχτυλιδιού, οι απλούστερες ιδιότητες των δαχτυλιδιών.

Άλγεβρα ( Κ, +, ∙) ονομάζεται δακτύλιος εάν ισχύουν τα ακόλουθα αξιώματα:

1. (Κ, +) – ανταλλακτική ομάδα.

2.
ένα (β+γ) = ab+ac (β+γ)ένα = ba+ca;

3. ένα (π.Χ) = (αβ) ντο.

Εάν η λειτουργία του πολλαπλασιασμού σε έναν δακτύλιο είναι ανταλλάξιμη, τότε ο δακτύλιος ονομάζεται ανταλλάξιμος.

Παράδειγμα.Άλγεβρες (Z, +, ∙), ( Q, +, ∙), (R, + ,∙) είναι δαχτυλίδια.

Το δαχτυλίδι έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: υπάρχει

1) ένα + σι = ένα => σι = 0;

2) ένα+β = 0 => β = - ένα;

3) – (- ένα) = ένα;

4) 0∙ένα = ένα∙0 = 0 (0 – κουδούνισμα μηδέν);

5) (-ένα)∙σι = ένα∙(-σι) = -ένα∙σι;

6) (ένα – σι)∙ντο = ένα∙ντο – σι∙ντο, Πού ένα-σι = ένα + (-σι).

Ας αποδείξουμε την ιδιότητα 6. ( α–β)∙ντο = (α+ (-σι))∙ντο = ένα∙ντο+ (-σι)∙ντο = ένα∙ντο +(-σι∙ντο)= =ένα∙γ–β∙ντο.

ας ( Κ ΕΝΑ Κονομάζεται υποδακτύλιος του δαχτυλιδιού ( Κ,+,∙) εάν είναι δακτύλιος σε σχέση με τις λειτουργίες στο δακτύλιο ( Κ, +, ∙).

Θεώρημα.ας ( Κ, +, ∙) – δαχτυλίδι. Μη κενό υποσύνολο ΕΝΑ Κ, είναι ένας δευτερεύων δακτύλιος του δαχτυλιδιού ΝΑτότε και μόνο όταν
ένα- σι, ένα∙σι
.

Παράδειγμα.Ο δακτύλιος (Q, +, ∙) είναι ένας δευτερεύων δακτύλιος του δακτυλίου ( ΕΝΑ, +, ∙), όπου ΕΝΑ = ={ένα+ σι | ένα, σι Q).

Η έννοια του χωραφιού. Οι απλούστερες ιδιότητες των πεδίων.

Ορισμός.Ανταλλαγή δακτυλίου ( R, +, ∙) με ένα, όπου το μηδέν του δακτυλίου δεν συμπίπτει με την ταυτότητα του δακτυλίου, ονομάζεται πεδίο αν
ένα≠0 υπάρχει ένα αντίστροφο στοιχείο ΕΝΑ -1 , ΕΝΑ∙ ΕΝΑ -1 = μι, μι– μονάδα του δαχτυλιδιού.

Όλες οι ιδιότητες των δαχτυλιδιών ισχύουν για πεδία. Για χωράφι ( R,+,∙) ισχύουν επίσης οι ακόλουθες ιδιότητες:

1)
ένα≠0 εξίσωση αχ =σιέχει μια λύση και, επιπλέον, μια μοναδική?

2) αβ = ε |=> ένα≠0 β =ΕΝΑ -1 ;

3)

ντο≠0 ακ = π.χ => α=β;

4)αβ = 0
ένα = 0 σι = 0;

5) αγγελία = π.Χ (σι≠0, ρε≠0);

6)
;

.

Παράδειγμα.Άλγεβρες (Q, +, ∙), ( ΕΝΑ, +, ∙), όπου ΕΝΑ = {ένα+σι | ένα, σιΕ), ( R, +, ∙) – πεδία.

ας ( R,+,∙) – πεδίο. Μη κενό υποσύνολο φά Π, το οποίο είναι ένα πεδίο σε σχέση με τη λειτουργία στο πεδίο ( R,+,∙) ονομάζεται υποπεδίο του πεδίου R.

Παράδειγμα.Το πεδίο (Q,+,∙) είναι ένα υποπεδίο του πεδίου των πραγματικών αριθμών (R,+,∙).

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

1. Δείξτε ότι ένα σύνολο ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού είναι μια ομάδα Αβελιανών.

2. Η λειτουργία ορίζεται στο σύνολο Q\(0) ΕΝΑσι =
. Να αποδείξετε ότι η άλγεβρα (Q\(0),) είναι ομάδα.

3. Στο σύνολο Z, δίνεται μια δυαδική αλγεβρική πράξη, που ορίζεται από τον κανόνα, ΕΝΑσι = α+σι – 2. Βρείτε αν η άλγεβρα (Ζ,) είναι ομάδα.

4. Στο πλατό ΕΝΑ = {(ένα, σι)
) καθορισμένη λειτουργία ( ΕΝΑ,σι) (ντο, ρε) = (ac– βδ, διαφήμιση+ π.Χ). Αποδείξτε ότι η άλγεβρα ( ΕΝΑ,) - ομάδα.

5. Αφήστε Τ– το σύνολο όλων των αντιστοιχίσεων
δίνεται από τον κανόνα
, Πού ΕΝΑ,σιQ, ένα
Αποδείξτε το Τείναι μια ομάδα ως προς τη σύνθεση των χαρτογραφήσεων.

6. Αφήστε ΕΝΑ={1,2,…,n). Χαρτογράφηση ένας προς έναν φά:
που ονομάζεται αντικατάσταση n– ω πτυχίο. Υποκατάσταση n– Ο βαθμός είναι βολικό να γραφτεί με τη μορφή πίνακα
, όπου Προϊόν δύο αντικαταστάσεων
σκηνικά ΕΝΑορίζεται ως η σύνθεση των αντιστοιχίσεων. Εξ ορισμού

Αποδείξτε ότι το σύνολο όλων των αντικαταστάσεων n– ω πτυχίο είναι μια ομάδα υπό το προϊόν των αντικαταστάσεων.

7. Μάθετε εάν ο δακτύλιος σχηματίζεται σε σχέση με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό:

ένα) Ν; σι) το σύνολο όλων των περιττών ακεραίων αριθμών. γ) το σύνολο όλων των ζυγών ακεραίων. ρε) σύνολο αριθμών της φόρμας
Οπου ΕΝΑ,σι

8. Είναι ένα σετ δαχτυλίδι; ΝΑ={ΕΝΑ+σι
) σχετικά με τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

9. Δείξτε ότι το σετ ΕΝΑ={ένα+σι) ως προς τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού υπάρχει ένας δακτύλιος.

10. Στο πλατό Ζορίζονται δύο λειτουργίες: ένασι=ένα+σι+1, αβ= αβ+ ένα+ σι. Αποδείξτε αυτή την άλγεβρα

11. Στο σύνολο των κατηγοριών υπολειμμάτων modulo mδίνονται δύο δυαδικές πράξεις: Να αποδείξετε ότι η άλγεβρα
ανταλλακτική δαχτυλίδι με ταυτότητα.

12. Περιγράψτε όλους τους υποδακτυλίους του δακτυλίου
.

13. Βρείτε ποια από τα παρακάτω σύνολα πραγματικών αριθμών είναι πεδία ως προς τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού:

ένα) ορθολογικοί αριθμοί με περιττούς παρονομαστές.

σι) αριθμούς της φόρμας
με ορθολογικό ΕΝΑ,σι;

ντο) αριθμούς της φόρμας
με ορθολογικό ΕΝΑ, σι;

ρε) αριθμούς της φόρμας
με ορθολογικό ένα, σι, ντο.

§5. Πεδίο μιγαδικών αριθμών. Λειτουργίες σε συγκρότημα

αριθμοί σε αλγεβρική μορφή

Πεδίο μιγαδικών αριθμών.

Ας δοθούν δύο άλγεβρες ( ΕΝΑ,+,∙), (Ā , ,◦). Επίδειξη φά: ΕΝΑ μέσα (σε) >Ā , πληρώντας τις προϋποθέσεις:
φά(ένα+σι) = φά(ένα) φά(σι) φά(ένα◦σι) = φά(ένα) ◦ φά(σι), ονομάζεται ομομορφισμός της άλγεβρας ( ΕΝΑ, +, ∙) σε (on) άλγεβρα ( Ā , , ◦).

Ορισμός.Ομόμορφη χαρτογράφηση φάάλγεβρες ( ΕΝΑ, +, ∙) στην άλγεβρα ( Ā , , ◦) ονομάζεται ισομορφική χαρτογράφηση εάν η αντιστοίχιση φάσκηνικά ΕΝΑεπί Ā ενετικά. Από την άποψη της άλγεβρας, οι ισομορφικές άλγεβρες δεν διακρίνονται, δηλ. έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

Πάνω από το γήπεδο Rεξίσωση της μορφής x 2 Το +1 = 0 δεν έχει λύσεις. Ας δημιουργήσουμε ένα πεδίο που περιέχει ένα υποπεδίο, ισόμορφο στο πεδίο (R,+,∙), και στο οποίο η εξίσωση είναι της μορφής x 2 +1 = 0 έχει λύση.

Στο σύνολο C = R× R = {(ένα, σι) | ένα, σι R) εισάγουμε τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ως εξής: ( ένα, σι) (ντο, ρε) = (ένα+ ντο, σι+ ρε), (ένα, σι) ◦ (ντο, ρε) = (ac-βδ, διαφήμιση+π.Χ). Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε ότι η άλγεβρα (C, ,◦) είναι ένας ανταλλάξιμος δακτύλιος με ταυτότητα. Το ζεύγος (0,0) είναι το μηδέν του δακτυλίου, (1,0) είναι η μονάδα του δακτυλίου. Ας δείξουμε ότι το δαχτυλίδι ( ΜΕ, ,◦) – πεδίο. ας ( ένα, σι) Γ, ( ένα, σι) ≠ (0,0) και ( x,y) Το C είναι ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε ( ένα, σι)◦(x, y) = (1,0). (ένα, σι)◦(x, y) = (1,0) (τσεκούρι– με, αι+ bx) = (1,0)

(1)

Από (1) =>
,
(ένα, σι) -1 =
. Επομένως (C, +, ∙) είναι ένα πεδίο. Σκεφτείτε το σετ R 0 = {(ένα,0) | ένα R). Επειδή ( ένα,0) (σι,0) = (ένα- σι,0)R 0 , (ένα,0)◦(σι,0) = (αβ,0) R 0 ,
(ένα,0) ≠ (0,0) (ένα,0) -1 = (,0) R 0, μετά άλγεβρα ( R 0, ,◦) – πεδίο.

Ας φτιάξουμε μια χαρτογράφηση φά: R
R 0 ορίζεται από συνθήκη φά(ένα)=(ένα,0). Επειδή φά – διευθυντική χαρτογράφηση και φά(ένα+ σι)= (ένα+ σι,0) = =(ένα,0)(σι,0) = φά(ένα)φά(σι), φά(ένα∙σι) = (ένα∙ σι,0) = (ένα,0)◦(σι,0) =φά(ένα)◦φά(σι), Αυτό φά– ισομορφική χαρτογράφηση. Ως εκ τούτου, ( R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – πεδίο πραγματικών αριθμών.

Ας δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής Χ 2 +1 = 0 στο πεδίο (C , , ◦) έχει λύσεις. ( x,y) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – λύσεις στο σύστημα (2).

Το κατασκευασμένο πεδίο (C , ,◦) ονομάζεται πεδίο μιγαδικών αριθμών και τα στοιχεία του είναι μιγαδικοί αριθμοί.

Αλγεβρική μορφή μιγαδικού αριθμού. Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή.

Έστω (C, +, ∙) το πεδίο των μιγαδικών αριθμών,
ΝΤΟ,
=(ένα, σι). Επειδή ( R 0 ,+, ∙) (R, +, ∙), μετά οποιοδήποτε ζεύγος ( ένα,0) ταυτιζόμαστε με πραγματικός αριθμός ένα. Ας υποδηλώσουμε με ί = (0,1). Επειδή ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, τότε ί ονομάζεται η φανταστική μονάδα. Ας φανταστούμε έναν μιγαδικό αριθμό
=(ένα,σι) με τη μορφή: =( ένα,σι)=(ένα,0) +(σι,0) ◦(0,1)=ένα+σι∙ί. Αναπαράσταση μιγαδικού αριθμού με τη μορφή, = ΕΝΑ + σιί ονομάζεται αλγεβρική μορφή γραφής ενός αριθμού. έναονομάζεται πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεται με Re, σιείναι το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεται με Im.

Πρόσθεση μιγαδικών αριθμών:

α = α+bί, β = s+ρεί , α +β = (ΕΝΑ,σι) + (ντο, ρε) = (ένα+ ντο, σι+ ρε) = ένα+ ντο+ (σι+ ρε)ί.

Πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών:

α∙β = (ένα, σι)(ντο, ρε) = (ένα∙ ντο– σι∙ ρε, ένα∙ ρε+ σι∙ ντο) = ένα∙ ντο - σι∙ ρε + (ένα∙ ρε + σι∙ ντο)ί.

Να βρείτε το γινόμενο μιγαδικών αριθμών α+bί Και s+ρεί , πρέπει να πολλαπλασιάσετε α+bίεπί s+ρεί ως δυώνυμο με διώνυμο, δεδομένου ότι ί 2 = -1.

Το πηλίκο της διαίρεσης με β , β ≠ 0 είναι μιγαδικός αριθμός γ τέτοιος ώστε = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1. Επειδή
, τότε = ∙β -1 = =(ένα, σι)∙
Ετσι

Αυτός ο τύπος μπορεί να ληφθεί εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον μιγαδικό αριθμό που συζευγνύεται με τον παρονομαστή, δηλ. επί

με -dί.

Παράδειγμα.Να βρείτε το άθροισμα, το γινόμενο, το πηλίκο των μιγαδικών αριθμών

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Διάλυμα. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Εξαγωγή ριζώνn-η δύναμη μιγαδικού αριθμού σε τριγωνομετρική μορφή

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού.

Σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένας μιγαδικός αριθμός

z = ένα + bίθα το παραστήσουμε ως τελεία ΕΝΑ(ΕΝΑ,σι) ή διάνυσμα ακτίνας
.

Ας αναπαραστήσουμε έναν μιγαδικό αριθμό z = 2 – 3ί .

Ορισμός.Αριθμός
ονομάζεται μέτρο συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού z = ένα + bίκαι συμβολίζεται με | z |.

Η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του άξονα Ο Χκαι διάνυσμα ακτίνας που αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμό z= ένα+ bί, ονομάζεται αριθμητικό όρισμα zκαι ορίζεται Argz.

Argzορίζεται μέχρι τον όρο 2π κ, .

Επιχείρημα μιγαδικού αριθμού z, ικανοποιώντας τη συνθήκη 0≤< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа zκαι ορίζεται αργ z.

Από ΟΑΑ 1 => ένα=
συν ,σι= αμαρτία
. Αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών z= ένα+ bίστη μορφή z= r(συν + ί sin) ονομάζεται η τριγωνομετρική μορφή γραφής ενός αριθμού z (r=). Για να γράψετε έναν μιγαδικό αριθμό z = ένα + bίσε τριγωνομετρική μορφή, πρέπει να γνωρίζετε | z| Και Arg z, τα οποία καθορίζονται από τους τύπους
, συν =
αμαρτία =

Αφήνω z 1 = r 1 (συν φ 1 + ί αμαρτία φ 1), z 2 = r 2 (συν φ 2 + ί αμαρτία φ 2). Τότε z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(συν φ 1 ∙cos φ 2 – αμαρτία φ 1∙αμαρτία φ 2)+εγώ]= r 1∙ r 2 [(συν (φ 1+ φ 2) + εγώαμαρτία( φ 1+ φ 2)]. Από αυτό προκύπτει ότι | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg –Αργ .

Εξαγωγή ριζώνn-η δύναμη μιγαδικού αριθμού σε τριγωνομετρική μορφή.

Αφήνω zντο, nΝ. n – η δύναμη ενός μιγαδικού αριθμού z το έργο λέγεται
ορίζεται z n. Αφήνω m=- n. Εξ ορισμού υποθέτουμε ότι
z≠0, z 0 = 1, z m = . Αν z =r(συν φ + ί αμαρτία φ ), Αυτό z n =

= r n(συν nφ + ί αμαρτία nφ). Στο r = 1 έχουμε z n = συν nφ + ί αμαρτία nφ - Η φόρμουλα του Moivre. Η φόρμουλα του Moivre ισχύει
.

Ρίζα n zένας τέτοιος μιγαδικός αριθμός ονομάζεται ω , Τι ω n = z. Αυτή είναι μια δίκαιη δήλωση.

Θεώρημα.Υπάρχει nδιαφορετικές έννοιες της ρίζας n-η δύναμη μιγαδικού αριθμού z = r(συν φ + ί αμαρτία φ ) . Όλα αυτά λαμβάνονται από τον τύπο με κ = 0, 1, … , n-1. Σε αυτή τη φόρμουλα
– αριθμητική ρίζα.

Ας χαρακτηρίσουμε με το, ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 – τιμές ρίζας nο βαθμός του z, τα οποία λαμβάνονται με κ = 0, 1, ... , n-1. Από | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

αργ ω 0 = , ω 1 = αργ ω 0 +
, … , αργ ω n -1 = αργ ω n - 2 + και μετά μιγαδικοί αριθμοί ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 στο επίπεδο αντιπροσωπεύονται από σημεία ενός κύκλου με ακτίνα ίση με
και χωρίστε αυτόν τον κύκλο σε nίσα μέρη.

Σχετικά με την προσθήκη?

$\backslash \gamma \iota \alpha \; ό\lambda \alpha \; έ\nu \alpha \; \backslash \sigma \epsilon \; R\backslash ;\; \backslash \upsilon \pi ά\rho \chi \epsilon \iota \; b\; \backslash in\; R\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά(a\; +\; b\; =\; b\; +\; a\; =\; 0\backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$- η ύπαρξη ενός αντίθετου στοιχείου σε σχέση με την προσθήκη.

$(\alpha \; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; \beta )\; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; c=a\; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; (\beta \; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; \gamma )$- συσχετισμός πολλαπλασιασμού.

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; a\; \backslash times\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; \backslash times\; b)\; +\; (a\; \backslash times\; c)\; \backslash \backslash \; (b\; +\; c)\; \backslash times\; a\; =\; (b\; \backslash times\; a)\; +\; (\; c\; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; \alpha )\; \backslash end(\mu ή\tau \rho \alpha )\backslash \delta \epsilon \xi \iota ά.$- διανομή.

Αντί για σύμβολο $\backslash \phi o\rho έ\varsigma$Το σύμβολο χρησιμοποιείται συχνά $\backslash cdot$, ή να το παραλείψετε εντελώς.

Οι απλούστερες ιδιότητες

Οι ακόλουθες ιδιότητες μπορούν να προκύψουν απευθείας από τα αξιώματα του δακτυλίου:

Βασικές Έννοιες

Τύποι στοιχείων δακτυλίου

Αφήστε το δαχτυλίδι να έχει μη μηδενικά στοιχεία (ο δακτύλιος δεν είναι ασήμαντο). Τότε ο αριστερός μηδενικός διαιρέτης είναι ένα μη μηδενικό στοιχείο $έ\nu \alpha$δαχτυλίδια $R,$για το οποίο υπάρχει μη μηδενικό στοιχείο $\sigma \iota$δαχτυλίδια $R,$τέτοια που $ab=0.$Ομοίως προσδιορίζεται και ο δεξιός μηδενικός διαιρέτης. Στους ανταλλάξιμους δακτυλίους αυτές οι έννοιες συμπίπτουν. Παράδειγμα: θεωρήστε έναν δακτύλιο συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα $(-1,\; 1).$Ας βάλουμε $f(x)=\backslash max(0,\; x),$ $g(x)=\backslash max(0,\; -x).$Τότε $f\backslash ne0,\; g\backslash ne0,\; fg=0,$ήτοι $\sigma \tau ,\; \zeta$είναι μηδενικοί διαιρέτες. Εδώ είναι η συνθήκη $f\backslash ne0$σημαίνει ότι $\phi ά$είναι μια μη μηδενική συνάρτηση, αλλά δεν σημαίνει ότι $\phi ά$δεν έχει σημασία πουθενά $0.$

Αν $έ\nu \alpha$– ένα αυθαίρετο στοιχείο του δαχτυλιδιού με ενότητα $R,$τότε το αριστερό αντίστροφο στοιχείο προς $έ\nu \alpha$κάλεσε $a^(-1)\_(l)$τέτοια που $a^(-1)\_(l)a=1.$Το δεξιό αντίστροφο στοιχείο ορίζεται παρόμοια. Αν το στοιχείο $έ\nu \alpha$υπάρχουν και αριστερές και δεξιές αντίστροφες, τότε οι τελευταίες συμπίπτουν και το λέμε $έ\nu \alpha$έχει ένα αντίστροφο στοιχείο, το οποίο προσδιορίζεται και συμβολίζεται μοναδικά $\alpha ^(-1).$Το ίδιο το στοιχείο ονομάζεται αντιστρέψιμο στοιχείο.

Subring

Υποσύνολο $A\backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; R$κάλεσε υποβρύχιο $R,$Αν ${\rm E}{\rm N}{\rm A}$είναι ο ίδιος ένας δακτύλιος σε σχέση με τις λειτουργίες που ορίζονται στο $R.$Την ίδια στιγμή λένε ότι $R$– επέκταση δακτυλίου ${\rm E}{\rm N}{\rm A}.$Με άλλα λόγια, ένα μη κενό υποσύνολο $A\backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; R$είναι ένα subring αν

• ${\rm E}{\rm N}{\rm A}$είναι μια προσθετική υποομάδα του δακτυλίου $R,$δηλαδή για οποιαδήποτε $x,\; y\; \backslash \; \sigma \epsilon \; A:\; x+y,\; -x\; \backslash \sigma \epsilon \; A,$
• ${\rm E}{\rm N}{\rm A}$κλείνει στον πολλαπλασιασμό, δηλαδή για οποιοδήποτε $x,\; y\; \backslash \; \sigma \epsilon \; A:\; xy\; \backslash \; \sigma \epsilon \; A.$

Ένας δευτερεύων δακτύλιος κληρονομεί την ιδιότητα της ανταλλαγής.

Μη κενό υποσύνολο $\epsilon \gamma ώ$δαχτυλίδια $R$κάλεσε αριστερό ιδεώδες, Εάν:

• $\epsilon \gamma ώ$είναι μια προσθετική υποομάδα ενός δακτυλίου, δηλαδή το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο στοιχείων από $\epsilon \gamma ώ$ανήκει ${\rm E}\Gamma \Omega ,$και επίσης $a\backslash in\; I\backslash Rightarrow\; -a\backslash in\; I.$

• Το I είναι κλειστό κάτω από τον αριστερό πολλαπλασιασμό με ένα αυθαίρετο στοιχείο του δακτυλίου, δηλαδή για οποιοδήποτε $\alpha \backslash \sigma \epsilon \; \epsilon \gamma ώ,$ $r\backslash \; in\; R$δικαίωμα $ra\backslash in\; I.$

Η πρώτη ιδιότητα υποδηλώνει επίσης ότι το I είναι κλειστό στον πολλαπλασιασμό μέσα στον εαυτό του, έτσι ώστε το I είναι ένας δευτερεύων δακτύλιος.

Ένα δεξιό ιδανικό που είναι κλειστό στον πολλαπλασιασμό με ένα στοιχείο του δακτυλίου στα δεξιά ορίζεται παρόμοια.
Ιδανικό διπλής όψης(ή απλώς ιδανικό) δαχτυλίδια $R$- οποιοδήποτε μη κενό υποσύνολο που είναι ταυτόχρονα αριστερό και δεξιό ιδανικό.

Επίσης ιδανικό δαχτυλίδι $R$μπορεί να οριστεί ως ο πυρήνας κάποιου ομομορφισμού $f:\; R\; \backslash to\; R".$

Αν $x$- στοιχείο δακτυλίου $R,$τότε το σύνολο των στοιχείων της φόρμας $Rx$(αντίστοιχα, $xR$) ονομάζεται το αριστερό (αντίστοιχα, δεξιά) κύριο ιδανικό που δημιουργείται από $x.$Αν το δαχτυλίδι $R$μεταθετικά, αυτοί οι ορισμοί συμπίπτουν και δημιουργείται το κύριο ιδανικό $x,$συμβολίζεται με $(x).$Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των ζυγών αριθμών σχηματίζει ένα ιδανικό στον δακτύλιο των ακεραίων, αυτό το ιδανικό δημιουργείται από το στοιχείο 2. Μπορεί να αποδειχθεί ότι όλα τα ιδανικά στον δακτύλιο των ακεραίων είναι τα κύρια.

Ένα ιδανικό ενός δακτυλίου που δεν συμπίπτει με ολόκληρο τον δακτύλιο ονομάζεται απλό αν ο πηλίκος δακτύλιος αυτού του ιδανικού δεν έχει μηδενικούς διαιρέτες.
Ένα ιδανικό ενός δακτυλίου που δεν συμπίπτει με ολόκληρο τον δακτύλιο και δεν περιέχεται σε κανένα μεγαλύτερο ιδανικό που δεν είναι ίσο με το δακτύλιο ονομάζεται μέγιστο.

Ομομορφισμός

Ομομορφισμός δακτυλίου (ομομορφισμός δακτυλίου)είναι μια αντιστοίχιση που διατηρεί τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Δηλαδή, ένας ομομορφισμός από το δαχτυλίδι $R$στο ρινγκ $\mu \iota \kappa \rho ό$είναι μια συνάρτηση $f:\; R\backslash to\; S,$τέτοια που

1. $f(a\; +\; b)\; =\; f(a)\; +\; f(b),$
2. $f(a\; \backslash cdot\; b)\; =\; f(a)\; \backslash cdot\; f(b),\; ~\backslash forall\; a,\; b\; \backslash in\; ~R.$

Στην περίπτωση των δαχτυλιδιών με unity, μερικές φορές απαιτούνται και οι προϋποθέσεις $f(1)\; =\; 1$ .

Ο ομομορφισμός των δακτυλίων ονομάζεται ισομορφισμός, εάν υπάρχει αντίστροφος ομομορφισμός δακτυλίων. Οποιοσδήποτε διπλός ομομορφισμός των δακτυλίων είναι ισομορφισμός. Ένας αυτομορφισμός είναι ένας ομομορφισμός από έναν δακτύλιο στον εαυτό του, ο οποίος είναι ένας ισομορφισμός. Παράδειγμα: η αντιστοίχιση ταυτότητας ενός δακτυλίου στον εαυτό του είναι αυτομορφισμός.

Αν $f:R\backslash to\; S$- ομομορφισμός δακτυλίων, σύνολο στοιχείων $R,$πηγαίνοντας στο μηδέν ονομάζεται πυρήνας $\phi ά$(σημειώνεται $\backslash mathrm(ker)f$). Ο πυρήνας κάθε ομομορφισμού είναι ένα αμφίπλευρο ιδανικό. Από την άλλη η εικόνα $\phi ά$δεν είναι πάντα ιδανικό, αλλά είναι δευτερεύων δακτύλιος $\mu \iota \kappa \rho ό$(σημειώνεται $\backslash mathrm(im)\; f$).

Δαχτυλίδι Factor

Ο ορισμός ενός δακτυλίου πηλίκου από το ιδανικό είναι παρόμοιος με τον ορισμό μιας ομάδας πηλίκων. Πιο συγκεκριμένα, ο παράγοντας δακτύλιος του δαχτυλιδιού $R$σύμφωνα με το αμφίπλευρο ιδανικό $\epsilon \gamma ώ$είναι το σύνολο των συνόλων μιας προσθετικής ομάδας $R$ανά υποομάδα προσθέτων $\epsilon \gamma ώ$με τις ακόλουθες λειτουργίες:

• $(\alpha \; +\; {\rm I})\; +\; (\beta \; +\; {\rm I})\; =\; (\alpha \; +\; \beta )\; +\; {\rm I},$
• $(a\; +\; I)(b\; +\; I)\; =\; (ab)\; +\; I.$

Παρόμοια με την περίπτωση των ομάδων, υπάρχει ένας κανονικός ομομορφισμός $p:\; R\backslash to\; R/I,$δίνεται ως $x\; \backslash mapto\; x\; +\; I.$Ο πυρήνας είναι το ιδανικό ${\rm E}\Gamma \Omega .$

Παρόμοιο με το θεώρημα για τον ομομορφισμό των ομάδων, υπάρχει ένα θεώρημα για τον ομομορφισμό των δακτυλίων: έστω $f:\; R\backslash to\; R",$Τότε $\backslash mathrm(Im)\; f$ισόμορφο ως προς τον πηλίκο δακτύλιο ως προς τον πυρήνα του ομομορφισμού $\backslash mathrm(Im)\; f\; \backslash simeq\; A/\backslash mathrm(Ker)\; f.$

Μερικές ειδικές κατηγορίες δαχτυλιδιών

Παραδείγματα

• $\backslash \{\; 0\backslash \}$- ένα τετριμμένο δαχτυλίδι που αποτελείται από ένα μηδέν. Αυτός είναι ο μόνος δακτύλιος στον οποίο το μηδέν είναι πολλαπλασιαστική μονάδα. Είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε αυτό το τετριμμένο παράδειγμα ως δακτύλιο από τη σκοπιά της θεωρίας κατηγορίας, αφού σε αυτή την περίπτωση προκύπτει ένα τερματικό αντικείμενο στις κατηγορίες των δακτυλίων.
• $\backslash mathbb(Z)$- ακέραιοι αριθμοί (με κανονική πρόσθεση και πολλαπλασιασμό). Αυτό είναι το πιο σημαντικό παράδειγμα δαχτυλιδιού, αφού οποιοσδήποτε δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως άλγεβρα πάνω $\backslash Z$. Αυτό είναι και το αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία Δαχτυλίδιδαχτυλίδια με μονάδα.
• $\backslash mathbb(Z)\_n$- δακτύλιος υπολειμμάτων modulo φυσικός αριθμός n. Αυτά είναι κλασικά παραδείγματα δακτυλίων από τη θεωρία αριθμών. Ο δακτύλιος υπολειμμάτων είναι ένα πεδίο εάν και μόνο εάν ο αριθμός n είναι πρώτος. Τα αντίστοιχα πεδία είναι το σημείο εκκίνησης για την κατασκευή της θεωρίας των πεπερασμένων πεδίων. Οι υπολειμματικοί δακτύλιοι είναι επίσης σημαντικοί για τη μελέτη της δομής των πεπερασμένων ομάδων Abelian, και μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή p-adic αριθμών.
• $\backslash mathbb(Q)$- δακτύλιος ρητών αριθμών, που είναι ένα πεδίο. Αυτό είναι το απλούστερο πεδίο του χαρακτηριστικού 0. Είναι το κύριο αντικείμενο μελέτης στη θεωρία αριθμών. Η συμπλήρωσή του σύμφωνα με διάφορες μη ισοδύναμες νόρμες δίνει τα πεδία των πραγματικών αριθμών $\backslash R$και p-adic αριθμοί $\backslash Q\_p,$όπου p είναι ένας αυθαίρετος πρώτος αριθμός.
• Για ένα αυθαίρετο ανταλλακτική δακτύλιο $R$μπορείτε να κατασκευάσετε έναν δακτύλιο πολυωνύμων σε n μεταβλητές $R$με πιθανότητες μέσα $R.$Προπαντός, $R[x][y]=R.$Ο πολυωνυμικός δακτύλιος με ακέραιους συντελεστές είναι ένας καθολικός πολυωνυμικός δακτύλιος, με την έννοια ότι όλοι οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι εκφράζονται ως προς το γινόμενο του τανυστή: $R\; =\; R\backslash times\backslash left(\backslash Z\backslash right).$
• Δακτύλιος υποσυνόλων ενός συνόλου ${\rm X}$είναι ένας δακτύλιος του οποίου τα στοιχεία είναι υποσύνολα ${\rm X}$. Η πράξη της πρόσθεσης είναι μια συμμετρική διαφορά και ο πολλαπλασιασμός είναι η τομή των συνόλων:

$A\; +\; B\; =\; A\; \backslash Delta\; B\; =\; (A\backslash setminus\; B)\; \backslash cup\; (B\; \backslash setminus\; A),$ $A\backslash cdot\; B\; =\; A\backslash cap\; B.$Τα αξιώματα του δακτυλίου είναι εύκολο να επαληθευτούν. Το μηδενικό στοιχείο είναι το κενό σύνολο, το στοιχείο ταυτότητας είναι το παν. ${\rm X}.$Όλα τα στοιχεία του δακτυλίου είναι αδύναμα, δηλαδή $A\backslash cdot\; A\; =\; A.$Κάθε στοιχείο είναι το αντίστροφό του με πρόσθεση: ${\rm A}+{\rm A}=0.$Ο δακτύλιος των υποσυνόλων είναι σημαντικός στη θεωρία των Boolean Algebras και στη θεωρία μετρήσεων, ιδιαίτερα στην κατασκευή της θεωρίας πιθανοτήτων.

Κατασκευές

Άμεσο προϊόν

Έστω R και S δακτύλιοι. Στη συνέχεια το προϊόν $R\backslash times\; S$μπορεί να εφοδιαστεί με μια φυσική δομή δακτυλίου. Οι πράξεις καθορίζονται ως εξής: για οποιαδήποτε $r\_1,r\_2\backslash \sigma \tau o\; R$, $s\_1,s\_2\backslash \sigma \epsilon \; S:$

• $(r\_1,s\_1)+(r\_2,s\_2)=(r\_1+r\_2,s\_1+s\_2),$
• $(r\_1,s\_1)\backslash cdot\; (r\_2,s\_2)=(r\_1r\_2,s\_1s\_2).$

Παρόμοια κατασκευή υπάρχει για το γινόμενο μιας αυθαίρετης οικογένειας δακτυλίων (η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός καθορίζονται κατά συνιστώσα).

Δαχτυλίδι ενδομορφισμού

Έστω A μια ομάδα Abelian (η λειτουργία της ομάδας γράφεται προσθετικά στα παρακάτω). Τότε το σύνολο των ομομορφισμών αυτής της ομάδας στον εαυτό του (δηλαδή οι ενδομορφισμοί) σχηματίζει έναν δακτύλιο, που συμβολίζεται με End( ΕΝΑ) . Το άθροισμα δύο ομομορφισμών προσδιορίζεται κατά συνιστώσα: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$και το προϊόν είναι σαν μια σύνθεση ομομορφισμών: $(fg)(x)=f(g(x)).$Εάν η Α είναι μια μη-Αβελιανή ομάδα, τότε $f+g,$σε γενικές γραμμές, δεν είναι το ίδιο $g+f,$ενώ η προσθήκη σε ένα δαχτυλίδι πρέπει να είναι ανταλλακτική.

Πεδίο πηλίκων και δακτύλιος πηλίκων

Έστω R ένας αναπόσπαστος δακτύλιος, τότε η ακόλουθη κατασκευή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε το μικρότερο πεδίο που τον περιέχει. Το πεδίο πηλίκου του δακτυλίου R είναι το σύνολο των τάξεων ισοδυναμίας των τυπικών κλασμάτων $p/q,\backslash ;\; p,q\backslash \sigma \tau o\; R$με την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

$(p\_1\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; q\_1)\backslash sim\; (p\_2\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; q\_2)$τότε και μόνο όταν $(p\_1q\_2)=\; (p\_2q\_1),$

με κανονικές λειτουργίες: $\backslash scriptstyle(a\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; b)+(c\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; d)=(ad+bc\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; bd),\backslash quad\; (a\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; b)\backslash cdot\; (c\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; d)=(ac\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; bd).$

Δεν είναι απολύτως προφανές ότι η δεδομένη σχέση είναι πράγματι μια σχέση ισοδυναμίας: για να την αποδείξει κάποιος πρέπει να χρησιμοποιήσει την ακεραιότητα του δακτυλίου. Υπάρχει μια γενίκευση αυτής της κατασκευής σε αυθαίρετους δακτυλίους αντικατάστασης. Δηλαδή, έστω S ένα πολλαπλασιαστικά κλειστό σύστημα σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο R (δηλαδή, ένα υποσύνολο που περιέχει ένα και δεν περιέχει μηδέν· το γινόμενο οποιωνδήποτε δύο στοιχείων από το υποσύνολο ανήκει ξανά σε αυτό). Στη συνέχεια ο δακτύλιος των πηλίκων $S^(-1)R$είναι το σύνολο των τάξεων ισοδυναμίας των τυπικών κλασμάτων $r/s,\backslash ;\; r\backslash in\; R,\; s\backslash in\; S$με σχέση ισοδυναμίας:

$(r\_1\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; s\_1)\backslash sim\; (r\_2\; \backslash \pi ά\nu \omega \; \alpha \pi ό\; s\_2)$αν και μόνο αν υπάρχει $s"\backslash \sigma \tau o\; S$, τέτοιο που $s"(r\_1s\_2-r\_2s\_1)=\; 0.$

Αυτό το σχέδιο ονομάζεται επίσης εντοπισμός του δακτυλίου(καθώς στην αλγεβρική γεωμετρία επιτρέπει σε κάποιον να μελετήσει τις τοπικές ιδιότητες μιας ποικιλίας στο μεμονωμένο σημείο της). Παράδειγμα: ο δακτύλιος των δεκαδικών κλασμάτων είναι ο εντοπισμός του δακτυλίου των ακεραίων σύμφωνα με το πολλαπλασιαστικό σύστημα $S=\backslash (10^n|n\backslash geqslant\; 0\backslash ).$

Υπάρχει μια φυσική χαρτογράφηση $R\; \backslash \sigma \epsilon \; S^(-1)R,\; \backslash ,\; r\; \backslash mapstor\; /\; 1.$Ο πυρήνας του αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία r, για το οποίο υπάρχει μικρό ∈ μικρό, τέτοιο που $rs\; =\; 0.$Ειδικότερα για ολόκληρο δαχτυλίδιαυτή η χαρτογράφηση είναι ενέσιμη.

Κατηγορική περιγραφή

Οι δακτύλιοι, μαζί με τους ομομορφισμούς των δακτυλίων, σχηματίζουν μια κατηγορία, που συνήθως δηλώνεται Δαχτυλίδι(μερικές φορές έτσι υποδηλώνεται η κατηγορία των δαχτυλιδιών με μονάδα και η κατηγορία των συνηθισμένων δακτυλίων Rng). Η κατηγορία των δαχτυλιδιών με ταυτότητα έχει πολλά ευεργετικές ιδιότητες: συγκεκριμένα είναι πλήρης και πλήρης. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα μικρά όρια και τα όρια υπάρχουν σε αυτό (για παράδειγμα, προϊόντα, συμπροϊόντα, πυρήνες και συντρίμμια). Η κατηγορία των δαχτυλιδιών με ένα έχει ένα αρχικό αντικείμενο (δαχτυλίδι $\backslash mathbb\; {\rm Z}$) και ένα τερματικό αντικείμενο (δακτύλιος μηδέν).

Μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο κατηγορηματικό ορισμό ενός δακτυλίου: ένας συνειρμικός δακτύλιος με ταυτότητα είναι ένα μονοειδές στην κατηγορία των ομάδων Abelian (οι ομάδες Abelian σχηματίζουν μια μονοειδική κατηγορία σε σχέση με τη λειτουργία του προϊόντος τανυστήρα). Δράση δακτυλίου Rσε μια ομάδα Abelian (ένας δακτύλιος που θεωρείται μονοειδές υπό πολλαπλασιασμό) μετατρέπει την ομάδα Abelian σε R-μονάδα μέτρησης Η έννοια της ενότητας γενικεύει την έννοια του διανυσματικού χώρου: χονδρικά μιλώντας, μια ενότητα είναι ένας "διανυσματικός χώρος πάνω από έναν δακτύλιο".

Ειδικές κατηγορίες δαχτυλιδιών

Δομές πάνω από τους δακτυλίους

Γράψε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Δαχτυλίδι (μαθηματικά)"

Σημειώσεις

1. , Με. 17-19.
2. Belsky A., Sadovsky L. Quantum Νο. 2, 1974.
3. Έριχ Ρεκ// The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 01-01-2012.
4. , Με. 9.
5. , Με. 18-19.
6. , Με. 273-275.
7. , Με. 51-53.
8. , Με. 11.
9. , Με. 359.
10. , Με. 407.
11. , Με. 110-111.
12. , Με. 21.
13. , Με. 437.
14. , Με. 64.
15. , Με. 153.
16. , Με. 430-431.
17. , Με. 406.
18. , Με. 10.
19. , Με. 388.
20. , Με. 107-108.
21. , Με. 432.
22. , Με. 387-390.
23. , Με. 523.
24. , Με. 152.
25. , Με. 430.
26. , Με. 118.
27. .
28. , Με. 266.
29. , Με. 28-34.
30. , Με. 509-512.
31. , Με. 33.
32. , Με. 173.
33. , Με. 450-452.
34. , Με. 305-311.

Λογοτεχνία

• M. Atiyah, I. McDonald.Εισαγωγή στη μεταθετική άλγεβρα. - Μ.: Μιρ, 1972. - 160 σελ.
• Belsky A., Sadovsky L. Quantum Νο. 2, 1974.
• Van der Waerden B. L.Αλγεβρα. - Μ.: Μιρ, 1975. - 623 σελ.
• Vinberg E. B.Μάθημα Άλγεβρας. - Νέα έκδοση, αναθεωρημένη. και επιπλέον.. - Μ.: MTsNMO, 2011. - 592 σελ.
• Glazer G.I.Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο: τάξεις IX-X. Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικούς - Νέα έκδοση, αναθεωρημένη. και συμπληρωματικά.. - Μ.: Εκπαίδευση, 1983. - 351 σελ.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (επιμ.).Μαθηματικά του 19ου αιώνα. Μαθηματική λογική. Αλγεβρα. Θεωρία αριθμών. Θεωρία πιθανοτήτων. - Μ.: Nauka, 1978. - 255 σελ.
• Kulikov L. Ya.Άλγεβρα και θεωρία αριθμών: Σχολικό βιβλίο. εγχειρίδιο για παιδαγωγικά ιδρύματα. - Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1979. - 559 σελ.
• Kurosh A. G.Πορεία ανώτερης άλγεβρας.. - M.: Nauka, 1968. - 431 p.
• Πρόσωπο Κ.Αλγεβρα. Δαχτυλίδια, ενότητες, κατηγορίες.. - M.: Mir, 1977. - T. 1. - 688 p.
• Πρόσωπο Κ.Αλγεβρα. Δαχτυλίδια, ενότητες, κατηγορίες.. - M.: Mir, 1979. - T. 2. - 464 p.
• Χερστάιν Ι.Μη εναλλάξιμα δαχτυλίδια. - Μ.: Μιρ, 1972. - 190 σελ.

Απόσπασμα που χαρακτηρίζει το δαχτυλίδι (μαθηματικά)

Χ
Μετά την κηδεία του πατέρα της, η πριγκίπισσα Μαρία κλειδώθηκε στο δωμάτιό της και δεν άφησε κανέναν να μπει. Ένα κορίτσι ήρθε στην πόρτα για να πει ότι ο Alpatych είχε έρθει να ζητήσει διαταγές να φύγει. (Αυτό ήταν ακόμη και πριν από τη συνομιλία του Alpatych με τον Dron.) Η πριγκίπισσα Marya σηκώθηκε από τον καναπέ στον οποίο ήταν ξαπλωμένη και είπε από την κλειστή πόρτα ότι δεν θα πήγαινε ποτέ πουθενά και ζήτησε να μείνει μόνη.
Τα παράθυρα του δωματίου στο οποίο βρισκόταν η πριγκίπισσα Μαρία ήταν στραμμένα προς τα δυτικά. Ξάπλωσε στον καναπέ στραμμένο προς τον τοίχο και, πιάνοντας τα κουμπιά στο δερμάτινο μαξιλάρι, είδε μόνο αυτό το μαξιλάρι και οι αόριστες σκέψεις της επικεντρώθηκαν σε ένα πράγμα: σκεφτόταν το μη αναστρέψιμο του θανάτου και εκείνη την πνευματική της αποστροφή, που δεν το ήξερε μέχρι τώρα και το οποίο εμφανίστηκε κατά τη διάρκεια της ασθένειας του πατέρα της. Ήθελε, αλλά δεν τόλμησε να προσευχηθεί, δεν τόλμησε, στην ψυχική κατάσταση στην οποία βρισκόταν, να στραφεί στον Θεό. Ξάπλωσε σε αυτή τη θέση για πολλή ώρα.
Ο ήλιος έδυε στην άλλη πλευρά του σπιτιού και οι λοξές βραδινές ακτίνες μέσα από τα ανοιχτά παράθυρα φώτιζαν το δωμάτιο και μέρος του μαξιλαριού του Μαρόκου που κοιτούσε η πριγκίπισσα Μαρία. Η σειρά των σκέψεών της σταμάτησε ξαφνικά. Ασυνείδητα σηκώθηκε όρθια, ίσιωσε τα μαλλιά της, σηκώθηκε και πήγε στο παράθυρο, εισπνέοντας άθελά της τη δροσιά μιας καθαρής αλλά θυελλώδους βραδιάς.
«Ναι, τώρα είναι βολικό για σας να θαυμάσετε το βράδυ! Έχει ήδη φύγει, και κανείς δεν θα σε ενοχλήσει», είπε στον εαυτό της και, βυθισμένη σε μια καρέκλα, άφησε το κεφάλι της στο περβάζι.
Κάποιος την φώναξε με απαλή και ήσυχη φωνή από την άκρη του κήπου και τη φίλησε στο κεφάλι. Κοίταξε πίσω. Ήταν ο M lle Bourienne, με μαύρο φόρεμα και pleres. Πλησίασε ήσυχα την πριγκίπισσα Μαρία, τη φίλησε με έναν αναστεναγμό και άρχισε αμέσως να κλαίει. Η πριγκίπισσα Μαρία την κοίταξε πίσω. Όλες οι προηγούμενες συγκρούσεις μαζί της, η ζήλια απέναντί ​​της, θυμήθηκαν από την πριγκίπισσα Μαρία. Θυμήθηκα επίσης πώς είχε αλλάξει πρόσφατα προς τον m lle Bourienne, δεν μπορούσε να τη δει και, ως εκ τούτου, πόσο άδικες ήταν οι μομφές που της έκανε η πριγκίπισσα Μαρία στην ψυχή της. «Και εγώ που ήθελα τον θάνατό του να καταδικάσω κανέναν; - σκέφτηκε.
Η πριγκίπισσα Marya φαντάστηκε έντονα τη θέση του m lle Bourienne, που πρόσφατα ήταν μακριά από την κοινωνία της, αλλά ταυτόχρονα εξαρτιόταν από αυτήν και ζούσε στο σπίτι κάποιου άλλου. Και τη λυπήθηκε. Την κοίταξε με πραότητα ερωτηματικά και άπλωσε το χέρι της. Η M lle Bourienne άρχισε αμέσως να κλαίει, άρχισε να της φιλάει το χέρι και να μιλάει για τη θλίψη που βρήκε την πριγκίπισσα, κάνοντας τον εαυτό της να συμμετέχει σε αυτή τη θλίψη. Είπε ότι η μόνη παρηγοριά στη θλίψη της ήταν ότι η πριγκίπισσα της επέτρεψε να τη μοιραστεί μαζί της. Είπε ότι όλες οι προηγούμενες παρεξηγήσεις έπρεπε να καταστραφούν πριν από μεγάλη θλίψη, ότι ένιωθε αγνή μπροστά σε όλους και ότι από εκεί μπορούσε να δει την αγάπη και την ευγνωμοσύνη της. Η πριγκίπισσα την άκουγε, χωρίς να καταλαβαίνει τα λόγια της, αλλά περιστασιακά την κοιτούσε και ακούγοντας τους ήχους της φωνής της.
«Η κατάστασή σου είναι διπλά τρομερή, αγαπητή πριγκίπισσα», είπε ο M lle Bourienne, μετά από μια παύση. – Καταλαβαίνω ότι δεν μπορούσες και δεν μπορείς να σκεφτείς τον εαυτό σου. αλλά είμαι υποχρεωμένος να το κάνω αυτό με την αγάπη μου για σένα... Ήταν μαζί σου ο Άλπατιχ; Σου μίλησε για την αποχώρηση; – ρώτησε εκείνη.
Η πριγκίπισσα Μαρία δεν απάντησε. Δεν καταλάβαινε πού και ποιος έπρεπε να πάει. «Ήταν δυνατόν να κάνουμε κάτι τώρα, να σκεφτούμε τίποτα; Δεν πειράζει; Εκείνη δεν απάντησε.
«Ξέρεις, σερέ Μαρί», είπε ο μλε Μπουριέν, «ξέρεις ότι κινδυνεύουμε, ότι είμαστε περικυκλωμένοι από τους Γάλλους; Είναι επικίνδυνο να ταξιδεύεις τώρα. Αν πάμε, είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα μας αιχμαλωτίσουν, και ένας Θεός ξέρει...
Η πριγκίπισσα Μαρία κοίταξε τη φίλη της, χωρίς να καταλαβαίνει τι έλεγε.
«Αχ, να ήξερε κάποιος πόσο δεν με νοιάζει τώρα», είπε. - Φυσικά, δεν θα ήθελα ποτέ να τον αφήσω... Ο Άλπατιχ μου είπε κάτι για να φύγω... Μίλα του, δεν μπορώ να κάνω τίποτα, δεν θέλω τίποτα...
– Του μίλησα. Ελπίζει ότι θα έχουμε χρόνο να φύγουμε αύριο. αλλά νομίζω ότι τώρα θα ήταν καλύτερα να μείνω εδώ», είπε ο μ λε Μπουριέν. -Επειδή, βλέπεις, τσέρε Μαρί, το να πέσεις στα χέρια στρατιωτών ή ταραχοποιών στο δρόμο θα ήταν τρομερό. - Η M lle Bourienne έβγαλε από το δίκτυό της μια ανακοίνωση σε ένα μη ρωσικό έκτακτο χαρτί από τον Γάλλο Στρατηγό Rameau ότι οι κάτοικοι δεν πρέπει να εγκαταλείπουν τα σπίτια τους, ότι θα τους παρέχεται η δέουσα προστασία από τις γαλλικές αρχές, και την παρέδωσε στην πριγκίπισσα.
«Πιστεύω ότι είναι καλύτερο να επικοινωνήσετε με αυτόν τον στρατηγό», είπε ο μολ Μπουριέν, «και είμαι βέβαιος ότι θα λάβετε τον δέοντα σεβασμό».
Η πριγκίπισσα Μαρία διάβασε το χαρτί και ξεροί λυγμοί τίναξαν το πρόσωπό της.
- Από ποιον το πέρασες; - είπε εκείνη.
«Μάλλον ανακάλυψαν ότι είμαι Γάλλος με το όνομά μου», είπε η m lle Bourienne κοκκινίζοντας.
Η πριγκίπισσα Μαρία, με ένα χαρτί στο χέρι, σηκώθηκε από το παράθυρο και χλωμό πρόσωποΈφυγε από το δωμάτιο και πήγε στο πρώην γραφείο του πρίγκιπα Αντρέι.
«Dunyasha, φώναξε τον Alpatych, Dronushka, κάποιον σε μένα», είπε η πριγκίπισσα Marya, «και πες στην Amalya Karlovna να μην έρθει σε μένα», πρόσθεσε, ακούγοντας τη φωνή του m lle Bourienne. - Βιάσου και φύγε! Πήγαινε γρήγορα! - είπε η πριγκίπισσα Μαρία, τρομοκρατημένη από τη σκέψη ότι θα μπορούσε να παραμείνει στην εξουσία των Γάλλων.
«Έτσι για να ξέρει ο πρίγκιπας Αντρέι ότι είναι στην εξουσία των Γάλλων! Ώστε αυτή, η κόρη του πρίγκιπα Νικολάι Αντρέιχ Μπολκόνσκι, ζητά από τον κ. Στρατηγό Ραμώ να της παρέχει προστασία και να απολαμβάνει τα οφέλη του! «Αυτή η σκέψη την τρομοκρατούσε, την έκανε να ανατριχιάσει, να κοκκινίσει και να νιώσει κρίσεις θυμού και υπερηφάνειας που δεν είχε ακόμη βιώσει. Ό,τι ήταν δύσκολο και, κυρίως, προσβλητικό στη θέση της, της το φανταζόταν έντονα. «Αυτοί, οι Γάλλοι, θα εγκατασταθούν σε αυτό το σπίτι. Ο κ. Στρατηγός Rameau θα καταλάβει το γραφείο του πρίγκιπα Αντρέι. Θα είναι διασκεδαστικό να ταξινομήσετε και να διαβάσετε τις επιστολές και τα χαρτιά του. M lle Bourienne lui fera les honneurs de Bogucharovo. [Η Mademoiselle Bourien θα τον δεχτεί με τιμές στο Bogucharovo.] Θα μου δώσουν ένα δωμάτιο από έλεος. Οι στρατιώτες θα καταστρέψουν τον φρέσκο ​​τάφο του πατέρα τους για να του αφαιρέσουν σταυρούς και αστέρια. θα μου πουν για νίκες επί των Ρώσων, θα προσποιηθούν τη συμπάθεια για τη θλίψη μου... - Η πριγκίπισσα Μαρία δεν σκέφτηκε με τις δικές της σκέψεις, αλλά ένιωθε υποχρεωμένη να σκεφτεί μόνη της με τις σκέψεις του πατέρα και του αδελφού της. Για αυτήν προσωπικά, δεν είχε σημασία πού έμενε και ό,τι κι αν της συνέβαινε. αλλά ταυτόχρονα ένιωθε εκπρόσωπος του αείμνηστου πατέρα της και του πρίγκιπα Αντρέι. Σκέφτηκε άθελά της με τις σκέψεις τους και τις ένιωσε με τα συναισθήματά τους. Ό,τι και να έλεγαν, ό,τι και να έκαναν τώρα, αυτό ένιωθε απαραίτητο να κάνει. Πήγε στο γραφείο του πρίγκιπα Αντρέι και, προσπαθώντας να διεισδύσει στις σκέψεις του, συλλογίστηκε την κατάστασή της.
Οι απαιτήσεις της ζωής, τις οποίες θεωρούσε κατεστραμμένες με το θάνατο του πατέρα της, προέκυψαν ξαφνικά με μια νέα, άγνωστη ακόμα δύναμη μπροστά στην πριγκίπισσα Μαρία και την κατέκλυσαν. Ενθουσιασμένη, κατακόκκινη, περπάτησε στο δωμάτιο, απαιτώντας πρώτα τον Alpatych, μετά τον Mikhail Ivanovich, μετά τον Tikhon και μετά τον Dron. Η Ντουνιάσα, η νταντά και όλα τα κορίτσια δεν μπορούσαν να πουν τίποτα για το πόσο δίκαιο ήταν αυτό που ανακοίνωσε ο Μ λε Μπουριέν. Ο Άλπατιχ δεν ήταν στο σπίτι: είχε πάει να δει τους ανωτέρους του. Ο κληθείς Μιχαήλ Ιβάνοβιτς, ο αρχιτέκτονας, που ήρθε στην πριγκίπισσα Μαρία με νυσταγμένα μάτια, δεν μπορούσε να της πει τίποτα. Με το ίδιο ακριβώς χαμόγελο συμφωνίας με το οποίο είχε συνηθίσει επί δεκαπέντε χρόνια να απαντά, χωρίς να εκφράζει τη γνώμη του, στις εκκλήσεις του γέρου πρίγκιπα, απάντησε στις ερωτήσεις της πριγκίπισσας Μαρίας, έτσι ώστε να μην συνάγεται τίποτα συγκεκριμένο από τις απαντήσεις του. Ο καλεσμένος γέρος παρκαδόρος Tikhon, με ένα βυθισμένο και απογοητευμένο πρόσωπο, που φέρει το αποτύπωμα της αθεράπευτης θλίψης, απάντησε "Ακούω με" σε όλες τις ερωτήσεις της πριγκίπισσας Marya και μετά βίας συγκρατήθηκε να μην κλαίει, κοιτάζοντάς την.
Τελικά, ο πρεσβύτερος Ντρον μπήκε στο δωμάτιο και, υποκλίνοντας χαμηλά στην πριγκίπισσα, σταμάτησε στο υπέρθυρο.
Η πριγκίπισσα Μαρία περπάτησε στο δωμάτιο και σταμάτησε απέναντί ​​του.
«Dronushka», είπε η πριγκίπισσα Marya, που είδε μέσα του έναν αναμφισβήτητο φίλο, τον ίδιο Dronushka που, από το ετήσιο ταξίδι του στην έκθεση στο Vyazma, της έφερνε κάθε φορά το ιδιαίτερο μελόψωμο του και τη σέρβιρε με χαμόγελο. «Dronushka, τώρα, μετά την ατυχία μας», άρχισε και σώπασε, μη μπορώντας να μιλήσει περαιτέρω.
«Όλοι περπατάμε κάτω από τον Θεό», είπε αναστενάζοντας. Ήταν σιωπηλοί.
- Dronushka, ο Alpatych έχει πάει κάπου, δεν έχω κανέναν να απευθυνθώ. Είναι αλήθεια ότι μου λένε ότι δεν μπορώ να φύγω;
«Γιατί δεν πας, Εξοχότατε, μπορείς να πας», είπε ο Ντρον.
«Μου είπαν ότι ήταν επικίνδυνο από τον εχθρό». Αγαπητέ, δεν μπορώ να κάνω τίποτα, δεν καταλαβαίνω τίποτα, δεν υπάρχει κανένας μαζί μου. Σίγουρα θέλω να πάω το βράδυ ή νωρίς αύριο το πρωί. – Το drone ήταν σιωπηλό. Έριξε μια ματιά στην πριγκίπισσα Μαρία κάτω από τα φρύδια του.
«Δεν υπάρχουν άλογα», είπε, «είπα και στον Γιακόβ Αλπάτιχ».
- Γιατί όχι; - είπε η πριγκίπισσα.
«Όλα είναι από την τιμωρία του Θεού», είπε ο Ντρον. «Ποια άλογα υπήρχαν διαλύθηκαν για χρήση από τα στρατεύματα και ποια πέθαναν, ποια χρονιά είναι σήμερα». Δεν είναι σαν να ταΐζουμε τα άλογα, αλλά να φροντίζουμε να μην πεθάνουμε από την πείνα! Και κάθονται έτσι τρεις μέρες χωρίς να φάνε. Δεν υπάρχει τίποτα, έχουν καταστραφεί εντελώς.
Η πριγκίπισσα Μαρία άκουσε προσεκτικά τι της είπε.
- Οι άντρες έχουν καταστραφεί; Δεν έχουν ψωμί; – ρώτησε εκείνη.
«Πεθαίνουν από την πείνα», είπε ο Ντρον, «όχι σαν τα κάρα…»
- Γιατί δεν μου το είπες, Ντρονούσκα; Δεν μπορείτε να βοηθήσετε; Θα κάνω ό,τι μπορώ... - Ήταν περίεργο για την πριγκίπισσα Μαρία να σκέφτεται ότι τώρα, μια τέτοια στιγμή, που τέτοια θλίψη γέμιζε την ψυχή της, θα μπορούσαν να υπάρχουν πλούσιοι και φτωχοί και ότι οι πλούσιοι δεν μπορούσαν να βοηθήσουν τους φτωχούς. Ήξερε αόριστα και άκουσε ότι υπήρχε ψωμί του κυρίου και ότι το έδιναν στους χωρικούς. Ήξερε επίσης ότι ούτε ο αδερφός της ούτε ο πατέρας της θα αρνούνταν τις ανάγκες των αγροτών. Φοβόταν μόνο μήπως κάνει κάποιο λάθος στα λόγια της για αυτή τη διανομή ψωμιού στους χωρικούς, που ήθελε να πετάξει. Χάρηκε που της παρουσιάστηκε ένα πρόσχημα φροντίδας, για το οποίο δεν ντρεπόταν να ξεχάσει τη θλίψη της. Άρχισε να ζητά λεπτομέρειες για τις ανάγκες των ανδρών και για το τι ήταν άρχοντας στο Μπογκουτσάροβο.
– Τελικά, έχουμε το ψωμί του αφέντη, αδερφέ; – ρώτησε εκείνη.
«Το ψωμί του Κυρίου είναι όλο άθικτο», είπε ο Ντρον περήφανα, «ο πρίγκιπας μας δεν διέταξε να πουληθεί».
«Δώσε τον στους αγρότες, δώσε του όλα όσα χρειάζονται: σου δίνω την άδεια στο όνομα του αδελφού μου», είπε η πριγκίπισσα Μαρία.
Το drone δεν είπε τίποτα και πήρε μια βαθιά ανάσα.
«Τους δίνετε αυτό το ψωμί αν τους φτάνει». Δώσε τα πάντα. Σας προστάζω στο όνομα του αδελφού μου και τους λέω: ό,τι είναι δικό μας είναι και δικό τους. Δεν θα φυλάξουμε τίποτα για αυτούς. Πες μου λοιπόν.
Το drone κοίταξε με προσοχή την πριγκίπισσα ενώ μιλούσε.
«Απέλυσέ με, μητέρα, για όνομα του Θεού, πες μου να δεχτώ τα κλειδιά», είπε. «Υπηρέτησα για είκοσι τρία χρόνια, δεν έκανα τίποτα κακό. άσε με ήσυχο, για όνομα του Θεού.
Η πριγκίπισσα Μαρία δεν κατάλαβε τι ήθελε από αυτήν και γιατί ζήτησε να απολυθεί. Εκείνη του απάντησε ότι ποτέ δεν αμφέβαλλε για την αφοσίωσή του και ότι ήταν έτοιμη να κάνει τα πάντα για εκείνον και για τους άντρες.

Μια ώρα μετά από αυτό, ο Dunyasha ήρθε στην πριγκίπισσα με τα νέα ότι ο Dron είχε φτάσει και όλοι οι άντρες, με εντολή της πριγκίπισσας, συγκεντρώθηκαν στον αχυρώνα, θέλοντας να μιλήσουν με την ερωμένη.
«Ναι, δεν τους τηλεφώνησα ποτέ», είπε η πριγκίπισσα Μαρία, «είπα μόνο στον Ντρονούσκα να τους δώσει ψωμί».
«Μόνο για όνομα του Θεού, πριγκίπισσα μητέρα, διέταξε τους να φύγουν και μην τους πας». Όλα είναι απλά ένα ψέμα», είπε ο Ντουνιάσα, «και ο Γιάκοβ Αλπάτιχ θα έρθει και θα φύγουμε... και αν σας παρακαλώ...
- Τι είδους εξαπάτηση; – ρώτησε έκπληκτη η πριγκίπισσα
- Ναι, ξέρω, άκουσέ με, για όνομα του Θεού. Απλά ρωτήστε την νταντά. Λένε ότι δεν συμφωνούν να φύγουν κατόπιν εντολής σου.
-Κάτι λάθος λες. Ναι, δεν διέταξα ποτέ να φύγω... - είπε η πριγκίπισσα Μαρία. - Κάλεσε τη Ντρονούσκα.
Ο Ντρον που έφτασε επιβεβαίωσε τα λόγια του Ντουνιάσα: οι άντρες ήρθαν κατόπιν εντολής της πριγκίπισσας.
«Ναι, δεν τους τηλεφώνησα ποτέ», είπε η πριγκίπισσα. «Μάλλον δεν τους το μεταφέρατε σωστά». Σου είπα απλώς να τους δώσεις το ψωμί.
Το drone αναστέναξε χωρίς να απαντήσει.
«Αν παραγγείλεις, θα φύγουν», είπε.
«Όχι, όχι, θα πάω σε αυτούς», είπε η πριγκίπισσα Μαρία
Παρά την αποτροπή της Ντουνιάσα και της νταντάς, η πριγκίπισσα Μαρία βγήκε στη βεράντα. Ο Ντρον, η Ντουνιάσα, η νταντά και ο Μιχαήλ Ιβάνοβιτς την ακολούθησαν. «Πιθανότατα νομίζουν ότι τους προσφέρω ψωμί για να μείνουν στις θέσεις τους και εγώ ο ίδιος θα φύγω, αφήνοντάς τους στο έλεος των Γάλλων», σκέφτηκε η πριγκίπισσα Μαρία. – Θα τους υποσχεθώ ένα μήνα σε ένα διαμέρισμα κοντά στη Μόσχα. Είμαι σίγουρη ότι ο Αντρέ θα έκανε ακόμα περισσότερα στη θέση μου», σκέφτηκε, πλησιάζοντας το πλήθος που στεκόταν στο λιβάδι κοντά στον αχυρώνα στο λυκόφως.
Το πλήθος, κατάμεστο, άρχισε να ανακατεύεται και τα καπέλα τους βγήκαν γρήγορα. Η πριγκίπισσα Μαρία, με τα μάτια σκυμμένα και τα πόδια της να μπλέκονται στο φόρεμά της, πλησίασε κοντά τους. Τόσα διαφορετικά μάτια, γέροι και νέοι, καρφώθηκαν πάνω της και ήταν τόσα πολλά διαφορετικά πρόσωπαότι η πριγκίπισσα Μαρία δεν είχε δει ούτε ένα πρόσωπο και, νιώθοντας την ανάγκη να μιλήσει ξαφνικά σε όλους, δεν ήξερε τι να κάνει. Και πάλι όμως η συνείδηση ​​ότι ήταν εκπρόσωπος του πατέρα και του αδερφού της έδωσε δύναμη και άρχισε με τόλμη την ομιλία της.
«Χαίρομαι πολύ που ήρθατε», άρχισε η πριγκίπισσα Μαρία, χωρίς να σηκώσει τα μάτια της και να νιώσει πόσο γρήγορα και δυνατά χτυπούσε η καρδιά της. «Η Ντρονούσκα μου είπε ότι καταστράφηκες από τον πόλεμο». Αυτή είναι η κοινή μας θλίψη και δεν θα φεισθώ με τίποτα για να σας βοηθήσω. Πάω μόνος μου, γιατί είναι ήδη επικίνδυνο εδώ και ο εχθρός είναι κοντά... γιατί... σας τα δίνω όλα φίλοι μου και σας ζητώ να τα πάρετε όλα, όλο το ψωμί μας, για να μην έχετε. οποιαδήποτε ανάγκη. Και αν σου είπαν ότι σου δίνω ψωμί για να μείνεις εδώ, τότε αυτό δεν είναι αλήθεια. Αντίθετα, σας ζητώ να φύγετε με όλη σας την περιουσία στην περιοχή της Μόσχας μας και εκεί το αναλαμβάνω και σας υπόσχομαι ότι δεν θα έχετε ανάγκη. Θα σου δώσουν σπίτια και ψωμί. - Η πριγκίπισσα σταμάτησε. Μόνο αναστεναγμοί ακούστηκαν μέσα στο πλήθος.
«Δεν το κάνω αυτό μόνη μου», συνέχισε η πριγκίπισσα, «το κάνω στο όνομα του αείμνηστου πατέρα μου, που ήταν καλός δάσκαλος για σένα, και για τον αδελφό μου και τον γιο του».
Σταμάτησε πάλι. Κανείς δεν διέκοψε τη σιωπή της.
- Η θλίψη μας είναι κοινή, και θα τα χωρίσουμε όλα στη μέση. «Ό,τι είναι δικό μου είναι δικό σου», είπε κοιτάζοντας γύρω της τα πρόσωπα που στέκονταν μπροστά της.
Όλα τα μάτια την κοιτούσαν με την ίδια έκφραση, το νόημα της οποίας δεν μπορούσε να καταλάβει. Είτε ήταν περιέργεια, αφοσίωση, ευγνωμοσύνη, είτε φόβος και δυσπιστία, η έκφραση σε όλα τα πρόσωπα ήταν η ίδια.
«Πολλοί είναι ευχαριστημένοι με το έλεός σου, αλλά δεν χρειάζεται να πάρουμε το ψωμί του κυρίου», είπε μια φωνή από πίσω.
- Γιατί όχι; - είπε η πριγκίπισσα.
Κανείς δεν απάντησε και η πριγκίπισσα Μαρία, κοιτάζοντας γύρω από το πλήθος, παρατήρησε ότι τώρα όλα τα μάτια που συνάντησε έπεσαν αμέσως.
- Γιατί δεν θέλεις; – ξαναρώτησε εκείνη.
Κανείς δεν απάντησε.
Η πριγκίπισσα Μαρία ένιωσε βαριά από αυτή τη σιωπή. προσπάθησε να τραβήξει το βλέμμα κάποιου.
- Γιατί δεν μιλάς; - στράφηκε η πριγκίπισσα στον γέρο, που στηριζόμενος σε ένα ραβδί, στάθηκε μπροστά της. - Πες μου αν πιστεύεις ότι χρειάζεται κάτι άλλο. «Θα κάνω τα πάντα», είπε, τραβώντας το βλέμμα του. Αλλά εκείνος, σαν να ήταν θυμωμένος με αυτό, κατέβασε τελείως το κεφάλι του και είπε:
- Γιατί συμφωνείτε, δεν χρειαζόμαστε ψωμί.
- Λοιπόν, να τα παρατήσουμε όλα; Δεν συμφωνούμε. Δεν συμφωνούμε... Δεν συμφωνούμε. Σε λυπόμαστε, αλλά δεν συμφωνούμε. Πήγαινε μόνος σου, μόνος...» ακούστηκε στο πλήθος με διαφορετικές πλευρές. Και πάλι η ίδια έκφραση εμφανίστηκε σε όλα τα πρόσωπα αυτού του πλήθους, και τώρα μάλλον δεν ήταν πια μια έκφραση περιέργειας και ευγνωμοσύνης, αλλά μια έκφραση πικραμένης αποφασιστικότητας.
«Δεν καταλάβατε, σωστά», είπε η πριγκίπισσα Μαρία με ένα θλιμμένο χαμόγελο. - Γιατί δεν θέλεις να πας; Υπόσχομαι να σε φιλοξενήσω και να σε ταΐσω. Και εδώ ο εχθρός θα σε καταστρέψει...
Όμως η φωνή της πνίγηκε από τις φωνές του πλήθους.
«Δεν έχουμε τη συγκατάθεσή μας, ας το καταστρέψει!» Δεν παίρνουμε το ψωμί σας, δεν έχουμε τη συγκατάθεσή μας!
Η πριγκίπισσα Μαρία προσπάθησε ξανά να τραβήξει το βλέμμα κάποιου από το πλήθος, αλλά ούτε μια ματιά δεν στράφηκε πάνω της. τα μάτια προφανώς την απέφευγαν. Ένιωθε περίεργα και άβολα.
- Κοίτα, με έμαθε έξυπνα, ακολούθησέ την στο φρούριο! Κατέστρεψε το σπίτι σου και μπες στη δουλεία και φύγε. Γιατί! Θα σου δώσω το ψωμί, λένε! – ακούστηκαν φωνές μέσα στο πλήθος.
Η πριγκίπισσα Μαρία, χαμηλώνοντας το κεφάλι, άφησε τον κύκλο και μπήκε στο σπίτι. Έχοντας επαναλάβει την εντολή στον Δρόνα να υπάρχουν άλογα για αναχώρηση αύριο, πήγε στο δωμάτιό της και έμεινε μόνη με τις σκέψεις της.

Για πολλή ώρα εκείνο το βράδυ η πριγκίπισσα Μαρία καθόταν ανοιχτό παράθυροστο δωμάτιό της, ακούγοντας τους ήχους ανδρών που μιλούσαν από το χωριό, αλλά δεν τους σκεφτόταν. Ένιωθε ότι όσο κι αν τα σκεφτόταν, δεν μπορούσε να τα καταλάβει. Συνέχιζε να σκέφτεται ένα πράγμα - τη θλίψη της, που τώρα, μετά το διάλειμμα που της προκάλεσαν οι ανησυχίες για το παρόν, είχε ήδη γίνει παρελθόν για εκείνη. Μπορούσε τώρα να θυμηθεί, μπορούσε να κλάψει και μπορούσε να προσευχηθεί. Καθώς ο ήλιος έδυε, ο άνεμος έπεσε. Η νύχτα ήταν ήσυχη και φρέσκια. Στις δώδεκα οι φωνές άρχισαν να σβήνουν, ο πετεινός λάλησε, το ολόγιομο φεγγάρι άρχισε να αναδύεται πίσω από τις φλαμουριές, μια φρέσκια, λευκή ομίχλη δροσιάς τριαντάφυλλο, και η σιωπή βασίλευε στο χωριό και στο σπίτι.
Η μία μετά την άλλη, της εμφανίστηκαν εικόνες από το κοντινό παρελθόν - η ασθένεια και τα τελευταία λεπτά του πατέρα της. Και με λυπημένη χαρά έμεινε τώρα σε αυτές τις εικόνες, διώχνοντας με τρόμο από τον εαυτό της μόνο μια τελευταία εικόνα του θανάτου του, την οποία - ένιωθε - δεν μπορούσε να συλλογιστεί ούτε στη φαντασία της αυτή την ήσυχη και μυστηριώδη ώρα της νύχτας. Και αυτές οι εικόνες της φάνηκαν με τόση σαφήνεια και με τόση λεπτομέρεια που της φάνηκαν τώρα σαν πραγματικότητα, τώρα παρελθόν, τώρα μέλλον.
Τότε φαντάστηκε ζωηρά εκείνη τη στιγμή που έπαθε εγκεφαλικό και τον έσυραν έξω από τον κήπο στα Φαλακρα Βουνά από τα χέρια και μουρμούρισε κάτι με μια ανίκανη γλώσσα, έσφιξε τα γκρίζα φρύδια του και την κοίταξε ανήσυχα και δειλά.
«Ακόμα και τότε ήθελε να μου πει τι μου είπε την ημέρα του θανάτου του», σκέφτηκε. «Πάντα εννοούσε αυτό που μου έλεγε». Και έτσι θυμήθηκε με όλες της τις λεπτομέρειες εκείνο το βράδυ στο Φαλακρό Βουνό, την παραμονή του χτυπήματος που του συνέβη, όταν η πριγκίπισσα Μαρία, διαισθανόμενη προβλήματα, παρέμεινε μαζί του παρά τη θέλησή του. Δεν κοιμήθηκε και το βράδυ κατέβηκε στις μύτες των ποδιών και, ανεβαίνοντας στην πόρτα του ανθοπωλείου όπου πέρασε τη νύχτα ο πατέρας της εκείνο το βράδυ, άκουσε τη φωνή του. Είπε κάτι στον Τίχον με εξαντλημένη, κουρασμένη φωνή. Προφανώς ήθελε να μιλήσει. «Και γιατί δεν με πήρε τηλέφωνο; Γιατί δεν μου επέτρεψε να είμαι εδώ στη θέση του Tikhon; - Η πριγκίπισσα Μαρία σκέφτηκε τότε και τώρα. «Δεν θα πει ποτέ σε κανέναν τώρα όλα όσα ήταν στην ψυχή του». Αυτή η στιγμή δεν θα επιστρέψει ποτέ για εκείνον και για μένα, που θα έλεγε όλα όσα ήθελε να πει, και θα τον άκουγα και θα τον καταλάβαινα εγώ και όχι ο Τιχόν. Γιατί δεν μπήκα στο δωμάτιο τότε; - σκέφτηκε. «Ίσως να μου έλεγε τότε τι είπε την ημέρα του θανάτου του». Ακόμα και τότε, σε μια συνομιλία με τον Tikhon, με ρώτησε δύο φορές. Ήθελε να με δει, αλλά στάθηκα εδώ, έξω από την πόρτα. Ήταν λυπημένος, ήταν δύσκολο να μιλήσει με τον Tikhon, ο οποίος δεν τον καταλάβαινε. Θυμάμαι πώς του μίλησε για τη Λίζα, σαν να ήταν ζωντανή - ξέχασε ότι πέθανε και ο Τίχον του υπενθύμισε ότι δεν ήταν πια εκεί και φώναξε: «Ανόητο». Ήταν δύσκολο για αυτόν. Άκουσα από πίσω από την πόρτα πώς ξάπλωσε στο κρεβάτι, στενάζοντας, και φώναξε δυνατά: «Θεέ μου γιατί δεν σηκώθηκα;» Τι θα μου έκανε; Τι θα είχα να χάσω; Και ίσως τότε να είχε παρηγορηθεί, να μου έλεγε αυτή τη λέξη». Και η πριγκίπισσα Μαρία είπε δυνατά γλυκό Τίποτα, που της είπε την ημέρα του θανάτου του. "Ωραιότατος! - Η πριγκίπισσα Μαρία επανέλαβε αυτή τη λέξη και άρχισε να κλαίει με δάκρυα που ανακούφισαν την ψυχή της. Έβλεπε τώρα το πρόσωπό του μπροστά της. Και όχι το πρόσωπο που ήξερε από τότε που θυμόταν και που πάντα έβλεπε από μακριά. και εκείνο το πρόσωπο είναι συνεσταλμένο και αδύναμο, που την τελευταία μέρα, σκύβοντας στο στόμα του να ακούσει τι είπε, το εξέτασε από κοντά για πρώτη φορά με όλες τις ρυτίδες και τις λεπτομέρειες.
«Αγάπη μου», επανέλαβε εκείνη.
«Τι σκεφτόταν όταν είπε αυτή τη λέξη; Τι σκέφτεται τώρα; - ξαφνικά της ήρθε μια ερώτηση, και ως απάντηση σε αυτό τον είδε μπροστά της με την ίδια έκφραση στο πρόσωπό του που είχε στο φέρετρο, στο πρόσωπό του δεμένο με ένα λευκό μαντήλι. Και η φρίκη που την έπιασε όταν τον άγγιξε και πείστηκε ότι όχι μόνο δεν ήταν αυτός, αλλά κάτι μυστήριο και αποκρουστικό, την έπιασε τώρα. Ήθελε να σκεφτεί άλλα πράγματα, ήθελε να προσευχηθεί, αλλά δεν μπορούσε να κάνει τίποτα. Είναι μεγάλη με ανοιχτά μάτιακοίταξε το φως του φεγγαριού και τις σκιές, περιμένοντας κάθε δευτερόλεπτο να τον δει νεκρό πρόσωποκαι ένιωθε ότι η σιωπή που στεκόταν πάνω από το σπίτι και μέσα στο σπίτι την αλυσόδεε.
- Ντουνιάσα! – ψιθύρισε εκείνη. - Ντουνιάσα! – ούρλιαξε με άγρια ​​φωνή και, ξεσπώντας από τη σιωπή, έτρεξε στο δωμάτιο των κοριτσιών, προς τη νταντά και τα κορίτσια να τρέχουν προς το μέρος της.

Στις 17 Αυγούστου, ο Ροστόφ και ο Ιλίν, συνοδευόμενοι από τον Λαβρούσκα, που μόλις είχε επιστρέψει από την αιχμαλωσία, και τον αγγελιοφόρο ουσάρ, από το στρατόπεδό τους στο Γιάνκοβο, δεκαπέντε μίλια από το Μπογκουτσάροβο, πήγαν ιππασία - για να δοκιμάσουν ένα νέο άλογο, που αγόρασε ο Ιλίν, και να μάθουμε αν στα χωριά υπήρχε σανό.
Το Bogucharovo είχε εντοπιστεί τις τελευταίες τρεις ημέρες ανάμεσα σε δύο εχθρικούς στρατούς, έτσι ώστε η ρωσική οπισθοφυλακή μπορούσε να εισέλθει εκεί εξίσου εύκολα με τη γαλλική εμπροσθοφυλακή, και ως εκ τούτου ο Ροστόφ, ως φροντιστής διοικητής μοίρας, ήθελε να εκμεταλλευτεί τις διατάξεις που είχαν απομείνει. στο Μπογκουτσάροβο πριν από τους Γάλλους.
Ο Ροστόφ και ο Ιλίν είχαν την πιο εύθυμη διάθεση. Στο δρόμο για το Μπογκουτσάροβο, στο πριγκιπικό κτήμα με ένα κτήμα, όπου ήλπιζαν να βρουν μεγάλους υπηρέτες και όμορφα κορίτσια, είτε ρώτησαν τον Λαβρούσκα για τον Ναπολέοντα και γελούσαν με τις ιστορίες του, είτε οδήγησαν τριγύρω, δοκιμάζοντας το άλογο του Ιλίν.
Ο Ροστόφ ούτε γνώριζε ούτε πίστευε ότι αυτό το χωριό στο οποίο ταξίδευε ήταν το κτήμα του ίδιου Μπολκόνσκι, που ήταν ο αρραβωνιαστικός της αδερφής του.
Ο Ροστόφ και ο Ιλίν άφησαν τα άλογα να βγουν για τελευταία φορά για να οδηγήσουν τα άλογα στο σέρβις μπροστά από τον Μπογκουτσάροφ, και ο Ροστόφ, έχοντας προσπεράσει τον Ιλίν, ήταν ο πρώτος που κάλπασε στο δρόμο του χωριού Μπογκουτσάροφ.
«Πήρατε το προβάδισμα», είπε ο κοκκινισμένος Ilyin.
«Ναι, όλα είναι μπροστά, και προς τα εμπρός στο λιβάδι, και εδώ», απάντησε ο Ροστόφ, χαϊδεύοντας με το χέρι του τον ανεβασμένο πυθμένα του.
«Και στα γαλλικά, εξοχότατε», είπε ο Λαβρούσκα από πίσω, φωνάζοντας την γκρίνια του έλκηθρου Γαλλική, «θα είχα προσπεράσει, αλλά απλώς δεν ήθελα να τον φέρω σε δύσκολη θέση».
Περπάτησαν μέχρι τον αχυρώνα, κοντά στον οποίο βρισκόταν ένα μεγάλο πλήθος ανδρών.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΜΑΔΑΣ.

Odr1.Έστω G ένα μη κενό σύνολο στοιχείων αυθαίρετης φύσης. G λέγεται ομάδα

1) Το Bao ° δίνεται στο σετ G.

2) το bao ° είναι συνειρμικό.

3) Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο nÎG.

4) Για οποιοδήποτε στοιχείο του G, ένα στοιχείο συμμετρικό προς αυτό υπάρχει πάντα και ανήκει επίσης στο G.

Παράδειγμα.Το σύνολο των Z – αριθμών με την πράξη +.

Odr2.Η ομάδα καλείται Αβελιανός, εάν είναι ανταλλάξιμος ως προς ένα δεδομένο bao°.

Παραδείγματα ομάδων:

1) Z,R,Q "+" (Z+)

Οι απλούστερες ιδιότητες των ομάδων

Υπάρχει μόνο ένα ουδέτερο στοιχείο στην ομάδα

Σε μια ομάδα, για κάθε στοιχείο υπάρχει ένα μόνο στοιχείο συμμετρικό με αυτό

Έστω G μια ομάδα με bao ° και μετά εξισώσεις της μορφής:

Τα a°x=b και x°a=b (1) είναι επιλύσιμα και έχουν μοναδική λύση.

Απόδειξη. Ας εξετάσουμε τις εξισώσεις (1) για το x. Προφανώς, για ένα $! a". Εφόσον η πράξη ° είναι συνειρμική, τότε προφανώς η x=b°a" είναι η μόνη λύση.

34. ΙΣΟΤΗΤΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ*

Ορισμός 1. Η αντικατάσταση ονομάζεται ακόμη και, εάν αποσυντίθεται σε γινόμενο ζυγού αριθμού μεταθέσεων, και περιττό διαφορετικά.

Πρόταση 1.Υποκατάσταση

Είναι άρτιος<=>- ακόμη και μετάθεση. Επομένως, ο αριθμός των ζυγών αντικαταστάσεων

των n αριθμών ισούται με n!\2.

Πρόταση 2. Οι αντικαταστάσεις f και f - 1 έχουν τον ίδιο χαρακτήρα ισοτιμίας.

> Αρκεί να ελέγξουμε ότι αν είναι γινόμενο μεταθέσεων, τότε<

Παράδειγμα:

ΥΠΟΟΜΑΔΑ. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΥΠΟΟΜΑΔΑΣ.

Def.Έστω G μια ομάδα με bao° και ένα μη κενό υποσύνολο του HÌG, τότε το H ονομάζεται υποομάδα του G αν το H είναι μια υποομάδα σε σχέση με το bao° (δηλαδή το ° είναι ένα bao στο H. Και το H με αυτήν την πράξη είναι μια ομάδα).

Θεώρημα (κριτήριο υποομάδας).Έστω G μια ομάδα ως προς την πράξη°, ƹHÎG. Το H είναι μια υποομάδα<=>"h 1 ,h 2 ОH η συνθήκη h 1 °h 2 "ΟH ικανοποιείται (όπου το h 2 " είναι ένα συμμετρικό στοιχείο του h 2).

Έγγρ. =>:Έστω H μια υποομάδα (πρέπει να αποδείξετε ότι h 1 °h 2 "OH). Πάρτε h 1 ,h 2 OH, μετά h 2 "ΟH και h 1 °h" 2 ОH (καθώς το h" 2 είναι συμμετρικό στοιχείο έως h 2).

<=: (πρέπει να αποδείξετε ότι το H είναι υποομάδα).

Από το H¹Æ , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο εκεί. Ας πάρουμε hÎH, n=h°h"ОH, δηλαδή το ουδέτερο στοιχείο nОH. Για h 1 παίρνουμε n, και για h 2 λαμβάνουμε h, τότε h"ОH Þ " hОH το συμμετρικό στοιχείο του h ανήκει επίσης στο H.

Ας αποδείξουμε ότι η σύνθεση οποιωνδήποτε στοιχείων από το H ανήκει στο H.

Ας πάρουμε το h 1 και ως h 2 παίρνουμε το h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

Παράδειγμα. G=S n , n>2, α - κάποιο στοιχείο από το X=(1,…,n). Ως H παίρνουμε το μη κενό σύνολο H= S α n =(fО S n ,f(α)=α), κάτω από τη δράση της αντιστοίχισης από το S α n α παραμένει στη θέση του. Ελέγχουμε σύμφωνα με τα κριτήρια. Ας πάρουμε οποιοδήποτε h 1 ,h 2 OH. Προϊόν h 1. h 2 "ΟH, δηλαδή το H είναι μια υποομάδα, η οποία ονομάζεται ακίνητη υποομάδα του στοιχείου α.

ΔΑΧΤΥΛΙΔΙ, ΠΕΔΙΟ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Def.Αφήνω ΝΑμη κενό σύνολο με δύο αλγεβρικές πράξεις: πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. ΝΑκάλεσε δαχτυλίδι, εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) ΝΑ - Αβελιανή ομάδα (ανταλλαγή ως προς ένα δεδομένο bao °) ως προς την πρόσθεση.

2) Ο πολλαπλασιασμός είναι συνειρμικός.

3) Ο πολλαπλασιασμός είναι κατανεμητικός σε σχέση με την πρόσθεση().

Αν ο πολλαπλασιασμός είναι ανταλλάξιμος, τότε ΝΑκάλεσε ανταλλάξιμος δακτύλιος. Αν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό, τότε ΝΑκάλεσε δαχτυλίδι με ένα.

Παραδείγματα.

1) Το σύνολο Z των ακεραίων σχηματίζει έναν δακτύλιο ως προς τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Αυτό το δαχτυλίδι είναι ανταλλακτική, συνειρμική και έχει ταυτότητα.

2) Τα σύνολα Q των ρητών αριθμών και R των πραγματικών αριθμών είναι πεδία

σε σχέση με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού αριθμών.

Οι απλούστερες ιδιότητες των δαχτυλιδιών.

1. Αφού ΝΑείναι μια ομάδα Abelian υπό προσθήκη, λοιπόν ΝΑμεταφέρονται οι απλούστερες ιδιότητες των ομάδων.

2. Ο πολλαπλασιασμός είναι κατανεμητικός ως προς τη διαφορά: a(b-c)=ab-ac.

Απόδειξη. Επειδή ab-ac+ac=ab και a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, μετά a(b-c)=ab-ac.

3. Ο δακτύλιος μπορεί να έχει μηδενικούς διαιρέτες, δηλ. ab=0, αλλά από αυτό δεν προκύπτει ότι a=0 b=0.

Για παράδειγμα, σε έναν δακτύλιο πινάκων μεγέθους 2´2, υπάρχουν στοιχεία που δεν είναι ίσα με μηδέν έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι μηδέν: , όπου - παίζει το ρόλο του μηδενικού στοιχείου.

4. α·0=0·α=0.

Απόδειξη. Έστω 0=b-b. Τότε a(b-b)=ab-ab=0. Ομοίως 0·a=0.

5. α(-β)=(-α) β=-αβ.

Απόδειξη: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Αν στο ρινγκ ΝΑυπάρχει μια μονάδα και αποτελείται από περισσότερα από ένα στοιχεία, τότε η μονάδα δεν είναι ίση με το μηδέν, όπου το 1─ είναι ένα ουδέτερο στοιχείο κατά τον πολλαπλασιασμό. 0 ─ ουδέτερο στοιχείο όταν προστίθεται.

7. Αφήστε ΝΑδακτύλιος με ταυτότητα, τότε το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου σχηματίζει μια ομάδα ως προς τον πολλαπλασιασμό, η οποία ονομάζεται πολλαπλασιαστική ομάδα του δακτυλίου Κκαι δηλώνουν Κ*.

Def.Ένας ανταλλάξιμος δακτύλιος με ταυτότητα, που περιέχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, στον οποίο οποιοδήποτε μη μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο, ονομάζεται πεδίο.

Οι απλούστερες ιδιότητες ενός πεδίου

1. Επειδή Το πεδίο είναι ένας δακτύλιος, τότε όλες οι ιδιότητες των δακτυλίων μεταφέρονται στο πεδίο.

2. Δεν υπάρχουν μηδενικοί διαιρέτες στο πεδίο, δηλ. αν ab=0, τότε a=0 ή b=0.

Απόδειξη.

Εάν a¹0, τότε $ a -1. Θεωρήστε a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 , και αν a¹0 , τότε b=0, ομοίως εάν b¹0

3. Μια εξίσωση της μορφής a´x=b, a¹0, b – οποιαδήποτε, στο πεδίο έχει μοναδική λύση x= a -1 b, ή x=b/a.

Η λύση αυτής της εξίσωσης ονομάζεται μερική λύση.

Παραδείγματα. 1)PÌC, P - αριθμητικό πεδίο. 2)Ρ=(0;1);