கணிதத்தின் பல்வேறு கிளைகளிலும், தொழில்நுட்பத்தில் கணிதத்தைப் பயன்படுத்துவதிலும், இயற்கணித செயல்பாடுகள் எண்களில் அல்ல, மாறாக வேறுபட்ட இயல்புடைய பொருள்களில் செய்யப்படும் சூழ்நிலை பெரும்பாலும் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, அணி கூட்டல், அணி பெருக்கல், திசையன் கூட்டல், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செயல்பாடுகள், நேரியல் மாற்றங்களின் செயல்பாடுகள் போன்றவை.

வரையறை 1. ஒரு வளையம் என்பது கணிதப் பொருள்களின் தொகுப்பாகும், இதில் இரண்டு செயல்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன - "கூடுதல்" மற்றும் "பெருக்கல்", அவை வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி கூறுகளை அவற்றின் "தொகை" மற்றும் "தயாரிப்பு" உடன் ஒப்பிடுகின்றன, அவை ஒரே தொகுப்பின் கூறுகளாகும். இந்த நடவடிக்கைகள் பின்வரும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கின்றன:

1.a+b=b+a(கூடுதலின் பரிமாற்றம்).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(கூடுதலின் தொடர்பு).

3. பூஜ்ஜிய உறுப்பு 0 உள்ளது அ+0=அ, எதற்கும் அ.

4. யாருக்கும் அஎதிர் உறுப்பு உள்ளது - அஅதுபோல் அ+(−அ)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(இடது விநியோகம்).

5".c(a+b)=ca+cb(சரியான விநியோகம்).

தேவைகள் 2, 3, 4 என்பது கணிதப் பொருள்களின் தொகுப்பு ஒரு குழுவை உருவாக்குகிறது, மேலும் உருப்படி 1 உடன் சேர்ந்து நாம் கூட்டல் தொடர்பாக பரிமாற்ற (Abelian) குழுவைக் கையாளுகிறோம்.

வரையறையில் இருந்து பார்க்க முடியும், பொதுவான வரையறைமோதிரங்கள், கூட்டலுடன் கூடிய விநியோகத்தைத் தவிர, பெருக்கல்களுக்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை. இருப்பினும், பல்வேறு சூழ்நிலைகளில், கூடுதல் தேவைகளுடன் மோதிரங்களைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

6. (ab)c=a(bc)(பெருக்கத்தின் தொடர்பு).

7.ab=ba(பெருக்கத்தின் பரிமாற்றம்).

8. அடையாள உறுப்பு 1 இன் இருப்பு, அதாவது. அத்தகைய அ 1=1 a=a, எந்த உறுப்புக்கும் அ.

9. உறுப்பு எந்த உறுப்புக்கும் அஒரு தலைகீழ் உறுப்பு உள்ளது அ−1 அப்படி aa −1 =அ −1 a= 1.

பல்வேறு வளையங்களில் 6, 7, 8, 9 தனித்தனியாகவும் பல்வேறு சேர்க்கைகளிலும் செய்யப்படலாம்.

நிபந்தனை 6 திருப்தி அடைந்தால் ஒரு மோதிரம் அசோசியேட்டிவ் என்றும், நிபந்தனை 7 திருப்தியாக இருந்தால் பரிமாற்றம் என்றும், நிபந்தனை 6 மற்றும் 7 திருப்தியாக இருந்தால் பரிமாற்றம் என்றும், அசோசியேட்டிவ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

மோதிர எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. சதுர அணிகளின் தொகுப்பு.

உண்மையில். புள்ளிகள் 1-5, 5 "வெளிப்படையானது. பூஜ்ஜிய உறுப்பு பூஜ்ஜிய அணி. கூடுதலாக, புள்ளி 6 (பெருக்கத்தின் தொடர்பு), புள்ளி 8 (அலகு உறுப்பு அடையாள அணி) செய்யப்படுகிறது. புள்ளிகள் 7 மற்றும் 9 பொதுவாக, சதுர மெட்ரிக்ஸின் பெருக்கல் மாற்றத்திற்கு உட்பட்டது அல்ல, மேலும் சதுர அணிக்கு எப்போதும் நேர்மாறாக இருக்காது.

2. அனைத்து கலப்பு எண்களின் தொகுப்பு.

3. அனைத்திலும் பல உண்மையான எண்கள்.

4. அனைத்து பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு.

5. அனைத்து முழு எண்களின் தொகுப்பு.

வரையறை 2. எந்த இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடு மற்றும் பலனைக் கொண்ட எண்களின் அமைப்பு எனப்படும் எண் வளையம்.

எடுத்துக்காட்டுகள் 2-5 எண் வளையங்கள். எண் வளையங்கள் அனைத்தும் இரட்டை எண்கள், அதே போல் அனைத்து முழு எண்களும் சில இயற்கை எண் n ஆல் மீதம் இல்லாமல் வகுபடும். ஒற்றைப்படை எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வளையம் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை இரட்டை எண்.

கணினி நினைவகத்தில் ஒரு முழு எண்ணை வெவ்வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம் என்பது நிரலாக்க பாடத்திலிருந்து அறியப்படுகிறது, குறிப்பாக, இந்த பிரதிநிதித்துவம் அது எவ்வாறு விவரிக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது: வகை முழு எண் , அல்லது உண்மையான , அல்லது சரத்தின் மதிப்பாக . அதே நேரத்தில், பெரும்பாலான நிரலாக்க மொழிகளில், முழு எண்கள் மிகவும் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பில் இருந்து எண்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன: ஒரு பொதுவான வழக்கு -2 15 = -32768 இலிருந்து 2 15 - 1 = 32767 . அமைப்புகள் கணினி இயற்கணிதம்பெரிய முழு எண்களை கையாள்வது, குறிப்பாக, அத்தகைய அமைப்பு 1000 போன்ற எண்களை தசம குறியீட்டில் கணக்கிட்டு காண்பிக்க முடியும்! (ஆயிரத்திற்கும் மேற்பட்ட எழுத்துக்கள்).

இந்த பாடத்திட்டத்தில், குறியீட்டு வடிவத்தில் முழு எண்களின் பிரதிநிதித்துவத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் ஒரு எழுத்தை (பிட், பைட் அல்லது பிற) எழுத எவ்வளவு நினைவகம் ஒதுக்கப்படுகிறது என்பது பற்றிய விவரங்களுக்கு செல்ல மாட்டோம். மிகவும் பொதுவானது முழு எண்களின் பிரதிநிதித்துவம் ஆகும் நிலை எண் அமைப்புகள். அத்தகைய அமைப்பு எண்ணின் அடிப்படை தேர்வு மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, 10. தசம முழு எண்களின் தொகுப்பு பொதுவாக பின்வருமாறு விவரிக்கப்படுகிறது:

முழு எண்களின் எழுதப்பட்ட வரையறை அத்தகைய ஒவ்வொரு எண்ணின் பிரதிநிதித்துவத்தின் தனித்துவத்தை அளிக்கிறது, மேலும் பெரும்பாலான அமைப்புகளில் இதே போன்ற வரையறை (ஒருவேளை வேறு அடிப்படையில் மட்டுமே) பயன்படுத்தப்படுகிறது. கணினி இயற்கணிதம். இந்த பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்தி, முழு எண்களில் எண்கணித செயல்பாடுகளைச் செயல்படுத்துவது வசதியானது. அதே நேரத்தில், கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவை ஒப்பீட்டளவில் "மலிவான" செயல்பாடுகளாகும், அதே நேரத்தில் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் "விலையுயர்ந்தவை". எண்கணித செயல்பாடுகளின் சிக்கலான தன்மையை மதிப்பிடும் போது, ​​ஒரு அடிப்படை செயல்பாட்டின் விலை (ஒரு பிட்) மற்றும் பல-இலக்க எண்களில் எந்தவொரு செயலையும் செய்ய ஒரு பிட் செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை இரண்டையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சிக்கலானது, முதலில், ஒரு எண்ணின் நீளத்தின் அதிகரிப்புடன் (எந்த எண் அமைப்பிலும் அதன் குறியீடானது), அடிப்படை செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை இருபடிச் சட்டத்தின்படி அதிகரிக்கிறது, மாறாக கூட்டல் மற்றும் கழிப்பிற்கான நேரியல் ஒன்று. கூடுதலாக, நாம் வழக்கமாக பல இலக்கப் பிரிவு அல்காரிதம் என்று அழைப்பது உண்மையில் அடுத்த இலக்கத்தின் சாத்தியமான எண்ணிக்கையின் (பெரும்பாலும் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கது) அடிப்படையிலானது, மேலும் ஒற்றை இலக்க எண்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தினால் மட்டும் போதாது. எண் அமைப்பின் பெரிய அடித்தளத்துடன் (பெரும்பாலும் இது 2 30 வரிசையாக இருக்கலாம்), இந்த முறை பயனற்றது.

ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கட்டும் (தசம அமைப்பில் எழுதப்பட்டது). அவரது சாதனையைப் பெற in -ary எண் அமைப்பில், நீங்கள் பின்வரும் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம் (எண்ணின் முழு எண் பகுதியைக் குறிக்கிறது):

கொடுக்கப்பட்டவை: தசமக் குறியீட்டில் உள்ள A-இயற்கை எண் k > 1-இயற்கை எண் தேவை: கே-தசமக் குறிப்பில் A-எண் பதிவேடு ஐ:= 0 சுழற்சியைத் தொடங்கவும் அதே நேரத்தில் A > 0 பை:= A (mod k) A:= i := i + 1 சுழற்சியின் முடிவு dA:= i - 1 முடிவு

ஒரு தசம எண்ணை அதன் k-ary குறியீட்டின் வரிசையிலிருந்து மீட்டெடுக்க பின்வரும் வழிமுறை பயன்படுத்தப்படுகிறது:

கொடுக்கப்பட்டவை: k > 1-இயற்கை எண் எண்களின் k-ary அமைப்பில் A எண்ணைக் குறிக்கும் வரிசை தேவை: A எண்ணின் A-பதிவு தசமக் குறியீட்டில் A-பதிவு A:= 0 வரிசையின் இறுதி வரை b:= அடுத்த உறுப்பு A வரிசையின் A:= A * k + b end loop End

1.2 ஒரு உடற்பயிற்சி. ஒரு எண்ணை தசம அமைப்பிலிருந்து k-எண்ணாக மாற்ற வகுத்தல் ஏன் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை விளக்குக, மேலும் k-எண்ணிலிருந்து தசமமாக மாற்ற பெருக்கல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தசம எண் அமைப்பில் இரண்டு இரண்டு இலக்க எண்களை "நெடுவரிசை" மூலம் பெருக்குவதன் மூலம், பின்வரும் செயல்பாடுகளைச் செய்கிறோம்:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

அதாவது, ஒரு இலக்க எண்களின் பெருக்கத்தின் 4 செயல்பாடுகள், 3 கூட்டல் செயல்பாடுகள் மற்றும் எண் அடிப்படையின் சக்தியால் பெருக்குவதற்கான 2 செயல்பாடுகள், அவை மாற்றமாக குறைக்கப்படுகின்றன. சிக்கலான தன்மையை மதிப்பிடும்போது, ​​எடைகளால் பிரிக்காமல் அனைத்து அடிப்படை செயல்பாடுகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம் (இந்த எடுத்துக்காட்டில், எங்களிடம் 9 அடிப்படை செயல்பாடுகள் உள்ளன). அடிப்படை செயல்பாடுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதற்கான இந்த அணுகுமுறையில் அல்காரிதத்தை மேம்படுத்தும் பணி குறைக்கப்படுகிறது. எவ்வாறாயினும், கூட்டலை விட பெருக்கல் மிகவும் "விலையுயர்ந்த" செயல் என்று ஒருவர் கருதலாம், இது மாற்றத்தை விட "அதிக விலையானது". மிகவும் விலையுயர்ந்த செயல்பாடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொண்டு, நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம் பெருக்கல்இரண்டு இலக்க எண்களை ஒரு "நெடுவரிசை" மூலம் பெருக்கும் சிக்கலானது 4 ஆகும்.

பிரிவு 5, மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகளைக் கருதுகிறது மற்றும் அவற்றின் சிக்கலான தன்மையை மதிப்பிடுகிறது.

கருதப்பட்ட பிரதிநிதித்துவம் முழு எண்களின் ஒரே நியதி பிரதிநிதித்துவம் அல்ல. ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு நியமன பிரதிநிதித்துவத்தை தேர்வு செய்ய, ஒரு இயற்கை எண்ணின் காரணியாக்கத்தின் தனித்துவத்தை முதன்மை காரணிகளாகப் பயன்படுத்தலாம். பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்பாடுகள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படும் சிக்கல்களில் ஒரு முழு எண்ணின் அத்தகைய பிரதிநிதித்துவம் பயன்படுத்தப்படலாம், ஏனெனில் அவை மிகவும் "மலிவாக" மாறும், இருப்பினும், கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளின் விலை விகிதாசாரமாக அதிகரிக்கிறது, இது அத்தகைய பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்துவதைத் தடுக்கிறது. சில சிக்கல்களில், நியமன பிரதிநிதித்துவத்தை நிராகரிப்பது குறிப்பிடத்தக்க செயல்திறன் ஆதாயத்தை அளிக்கிறது, குறிப்பாக, ஒரு எண்ணின் பகுதி காரணியாக்கம் பயன்படுத்தப்படலாம். எண்களுடன் அல்ல, ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் பணிபுரியும் போது இதேபோன்ற முறை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

நிரலின் செயல்பாட்டின் போது கணக்கீடுகளில் எதிர்கொள்ளும் அனைத்து முழு எண்களும் சில குறிப்பிட்ட மாறிலிகளால் முழுமையான மதிப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன என்று தெரிந்தால், அத்தகைய எண்களை அவற்றின் எச்சங்களின் அமைப்பை சில காபிரைம் எண்களின் மாடுலஸில் அமைக்க பயன்படுத்தலாம். குறிப்பிடப்பட்ட மாறிலியை மீறுகிறது. எச்ச வகுப்புகள் கொண்ட கணக்கீடுகள் பொதுவாக பல துல்லியமான எண்கணிதத்தை விட வேகமாக இருக்கும். இந்த அணுகுமுறையுடன், தகவலை உள்ளிடும்போது அல்லது வெளியிடும்போது மட்டுமே பல துல்லியமான எண்கணிதம் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

அமைப்புகளில் நியமன பிரதிநிதித்துவங்களுடன், என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் கணினி இயற்கணிதம்பிற பிரதிநிதித்துவங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்பாக, ஒரு முழு எண்ணுக்கு முன்னால் "+" அடையாளம் இருப்பது அல்லது இல்லாதது கணினியின் உணர்வைப் பாதிக்காது என்பது விரும்பத்தக்கது. எனவே, நேர்மறை எண்களுக்கு, ஒரு தெளிவற்ற பிரதிநிதித்துவம் பெறப்படுகிறது, இருப்பினும் எதிர்மறை எண்களின் வடிவம் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

மற்றொரு தேவை என்னவென்றால், முதல் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்திற்கு முன் பூஜ்ஜியங்கள் இருப்பதால் எண்ணின் கருத்து பாதிக்கப்படக்கூடாது.

1.3 பயிற்சிகள்.

1. m-இலக்க எண்ணை n-இலக்க எண்ணால் ஒரு நெடுவரிசையால் பெருக்கும்போது பயன்படுத்தப்படும் ஒரு இலக்க பெருக்கல்களின் எண்ணிக்கையை மதிப்பிடவும்.
2. இரண்டு இரண்டு இலக்க எண்களை 3 ஒற்றை இலக்கப் பெருக்கல்களைப் பயன்படுத்தி பெருக்க முடியும் என்பதைக் காட்டவும் மற்றும் கூட்டல்களின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்கவும்.
3. எண்ணின் முதல் இலக்கத்தைக் கண்டறிய அதிக எண்ணிக்கை தேவையில்லாத நீண்ட எண்களைப் பிரிப்பதற்கான அல்காரிதத்தைக் கண்டறியவும்.
4. மொழிபெயர்ப்பு அல்காரிதத்தை விவரிக்கவும் இயற்கை எண்கள் m -ary எண் அமைப்பிலிருந்து n -ary ஒன்று வரை.
5. AT ரோமன் எண்எண்களை எழுத பின்வரும் குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: I - ஒன்று, V - ஐந்து, X - பத்து, L - ஐம்பது, C - நூறு, D - ஐநூறு, M - ஆயிரம். ஒரு சின்னத்தின் வலதுபுறத்தில் ஒரு பெரிய எண்ணின் சின்னம் இருந்தால் எதிர்மறையாகவும், இல்லையெனில் நேர்மறையாகவும் கருதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த அமைப்பில் உள்ள எண் 1948 இப்படி எழுதப்படும்: MCMXLVIII. ஒரு எண்ணை ரோமானில் இருந்து தசமமாகவும் அதற்கு நேர்மாறாகவும் மாற்றுவதற்கான அல்காரிதத்தை உருவாக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் வழிமுறையை அல்காரிதம் மொழிகளில் ஒன்றில் செயல்படுத்தவும் (உதாரணமாக, சி ). ஆரம்ப தரவு மீதான கட்டுப்பாடுகள்: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. ஒரு அல்காரிதத்தை உருவாக்கி, ரோமானிய எண்ணில் இயற்கை எண்களைச் சேர்ப்பதற்கான நிரலை எழுதவும்.
7. நாங்கள் ஒரு எண் அமைப்பைக் கையாளுகிறோம் என்று கூறுவோம் கலப்பு அல்லது திசையன் அடிப்படையிலானது, n இயல் எண்களின் திசையன் M = (m 1 , . . . ,m n) (அடிப்படை) மற்றும் K = (k 0 , k 1 , . . , k n) என்ற குறியீடானது எண்ணைக் குறிக்கும். k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). தரவு (வாரத்தின் நாள், மணிநேரம், நிமிடங்கள், வினாடிகள்) கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நிரலை எழுதவும், வாரத்தின் தொடக்கத்திலிருந்து எத்தனை வினாடிகள் கடந்துவிட்டன என்பதை தீர்மானிக்கிறது (திங்கட்கிழமை, 0, 0, 0) = 0, மற்றும் தலைகீழ் மாற்றத்தை செய்கிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

a + b i (\displaystyle a+bi)எங்கே a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)விகிதமுறு எண்கள், i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​i)கற்பனை அலகு ஆகும். இத்தகைய வெளிப்பாடுகள் சிக்கலான எண்களுடன் வழக்கமான செயல்பாட்டு விதிகளின்படி சேர்க்கப்படலாம் மற்றும் பெருக்கலாம், மேலும் ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புக்கும் ஒரு தலைகீழ் உள்ளது, இது சமத்துவத்திலிருந்து பார்க்க முடியும். (a + b i) (a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a - b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.)இதிலிருந்து பகுத்தறிவு காஸியன் எண்கள் ஒரு புலத்தை உருவாக்குகின்றன, இது இரு பரிமாண இடைவெளி (அதாவது ஒரு இருபடி புலம்) ஆகும்.

• மிகவும் பொதுவாக, எந்த சதுரம் இல்லாத முழு எண்ணுக்கும் d (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d))))ஒரு இருபடி புல விரிவாக்கமாக இருக்கும் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Q) ).
• வட்டப் புலம் Q (ζ n) (\ displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n)))சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டது கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Q) )பழமையான வேர் nஒற்றுமை சக்தி. புலம் அதன் அனைத்து சக்திகளையும் கொண்டிருக்க வேண்டும் (அதாவது, அனைத்து வேர்களும் nஒற்றுமையின் சக்தி), அதன் பரிமாணம் முடிந்துவிட்டது கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Q) )ஆய்லர் செயல்பாட்டிற்கு சமம் φ (n) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\varphi (n)).
• உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்கள் பகுத்தறிவு எண்களின் மீது எல்லையற்ற சக்தியைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை எண் புலங்கள் அல்ல. இது கணக்கின்மையிலிருந்து பின்வருமாறு: எந்த எண் புலமும் கணக்கிடத்தக்கது.
• அனைத்து இயற்கணித எண்களின் புலம் A (\displaystyle \mathbb (A) )எண் அல்ல. நீட்டிப்பு என்றாலும் A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) )இயற்கணித ரீதியாக, அது வரையறுக்கப்படவில்லை.

முழு எண்களின் வளையம் எண் புலம்

எண் புலம் புலத்தின் இயற்கணித விரிவாக்கம் என்பதால் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Q) ), அதன் கூறுகள் ஏதேனும் பகுத்தறிவு குணகங்களைக் கொண்ட சில பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும் (அதாவது, இது இயற்கணிதம்). மேலும், ஒவ்வொரு தனிமமும் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும், ஏனெனில் அனைத்து பகுத்தறிவு குணகங்களையும் வகுப்பிகளின் பெருக்கத்தால் பெருக்க முடியும். கொடுக்கப்பட்ட உறுப்பு முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட சில ஒற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், அது முழு எண் உறுப்பு (அல்லது இயற்கணித முழு எண்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு எண் புலத்தின் அனைத்து கூறுகளும் முழு எண்கள் அல்ல: எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண் கூறுகளை மட்டும் காட்டுவது எளிது கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Q) )வழக்கமான முழு எண்கள்.

இரண்டு இயற்கணித முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பெருக்கல் மீண்டும் ஒரு இயற்கணித முழு எண் என்பதை நிரூபிக்க முடியும், எனவே முழு எண் கூறுகள் எண் புலத்தின் துணையை உருவாக்குகின்றன. கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)அழைக்கப்பட்டது முழு வளையம்வயல்வெளிகள் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)மற்றும் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. புலத்தில் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லை, மேலும் இந்த சொத்து ஒரு சப்ரிங்க்கு செல்லும் போது பெறப்படுகிறது, எனவே முழு எண்களின் வளையம் ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும்; தனிப்பட்ட மோதிர பெட்டி O K (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\mathcal (O))_(K))களம் தானே கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே). எந்த எண் புலத்தின் முழு எண்களின் வளையம் பின்வரும் மூன்று பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது: இது ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட, நோதெரியன் மற்றும் ஒரு பரிமாணமானது. ரிச்சர்ட் டெட்கைண்டிற்குப் பிறகு, இந்த பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு பரிமாற்ற வளையம் டெட்கைண்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முதன்மைகள் மற்றும் வகுப்புகளின் குழுவாக சிதைவு

ஒரு தன்னிச்சையான Dedekind வளையத்தில், பூஜ்ஜியம் அல்லாத இலட்சியங்களின் தனித்துவமான சிதைவு எளிமையானவற்றின் தயாரிப்பாக உள்ளது. எவ்வாறாயினும், முழு எண்களின் ஒவ்வொரு வளையமும் காரணிசார் சொத்தை திருப்திப்படுத்துவதில்லை: ஏற்கனவே முழு எண்களின் வளையத்திற்கு, ஒரு இருபடி புலம் O Q (− 5) = Z [ - 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5)))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))])சிதைவு தனித்துவமானது அல்ல:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + - 5) (1 - - 5) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

இந்த வளையத்தில் ஒரு விதிமுறையை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், இந்த விரிவாக்கங்கள் உண்மையில் வேறுபட்டவை என்பதைக் காட்டலாம், அதாவது, தலைகீழான உறுப்பு மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் ஒன்றை மற்றொன்றிலிருந்து பெற முடியாது.

காரணிச் சொத்தின் மீறலின் அளவு சிறந்த வர்க்கக் குழுவைப் பயன்படுத்தி அளவிடப்படுகிறது, முழு எண்களின் வளையத்திற்கான இந்த குழு எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் அதன் வரிசை வகுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எண் புல அடிப்படைகள்

முழு அடிப்படையில்

முழு அடிப்படையில்எண் புலம் எஃப்பட்டம் n- இது ஒரு தொகுப்பு

பி = {பி 1 , …, b n}

இருந்து nமுழு எண் புலங்களின் வளையத்தின் கூறுகள் எஃப், முழு எண்களின் வளையத்தின் எந்த உறுப்பு ஓ எஃப்வயல்வெளிகள் எஃப்என மட்டுமே எழுத முடியும் Zஉறுப்புகளின் நேரியல் கலவை பி; அதாவது, எதற்கும் எக்ஸ்இருந்து ஓ எஃப்ஒரு தனித்துவமான சிதைவு உள்ளது

எக்ஸ் = மீ 1 பி 1 + … + m n b n,

எங்கே m iவழக்கமான முழு எண்கள். இந்த வழக்கில், எந்த உறுப்பு எஃப்என எழுதலாம்

மீ 1 பி 1 + … + m n b n,

எங்கே m iபகுத்தறிவு எண்கள். இதற்குப் பிறகு முழு உறுப்புகள் எஃப்இவை அனைத்தும் சரியாக அந்த கூறுகள் என்று சொத்து மூலம் வேறுபடுகின்றன m iமுழுவதும்.

உள்ளூர்மயமாக்கல் மற்றும் ஃப்ரோபீனியஸ் எண்டோமார்பிசம் போன்ற கருவிகளைப் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு எண் புலத்திற்கும் அத்தகைய அடிப்படையை ஒருவர் உருவாக்கலாம். அதன் கட்டுமானமானது பல கணினி இயற்கணித அமைப்புகளில் உள்ளமைக்கப்பட்ட அம்சமாகும்.

சக்தி அடிப்படை

விடுங்கள் எஃப்- எண் பட்டம் புலம் n. சாத்தியமான அனைத்து அடிப்படைகளிலும் எஃப்(எப்படி கே-வெக்டார் ஸ்பேஸ்), சக்தி தளங்கள் உள்ளன, அதாவது வடிவத்தின் அடிப்படைகள்

பி எக்ஸ் = {1, எக்ஸ், எக்ஸ் 2 , …, எக்ஸ் n−1 }

சிலருக்கு எக்ஸ் ∈ எஃப். பழமையான உறுப்பு தேற்றத்தின் படி, அத்தகைய எக்ஸ்எப்போதும் உள்ளது, அது அழைக்கப்படுகிறது பழமையான உறுப்புஇந்த நீட்டிப்பு.

விதிமுறை மற்றும் சுவடு

இயற்கணித எண் புலம் என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வெக்டார் இடமாகும் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Q) )(அதன் பரிமாணத்தை இவ்வாறு குறிப்பிடுகிறோம் n (\displaystyle n)), மற்றும் புலத்தின் தன்னிச்சையான உறுப்பு மூலம் பெருக்குவது இந்த இடத்தின் நேரியல் மாற்றமாகும். விடுங்கள் e 1 , e 2 , … e n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- எந்த அடிப்படையில் எஃப், பின்னர் மாற்றம் x ↦ α x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x\mapsto \alpha x)அணிக்கு ஒத்துள்ளது A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), நிபந்தனையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j, a i j ∈ Q. (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

இந்த மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் அடிப்படையின் தேர்வைப் பொறுத்தது, இருப்பினும், நிர்ணயம் மற்றும் சுவடு போன்ற அனைத்து மேட்ரிக்ஸ் மாறுபாடுகளும் அதைச் சார்ந்து இல்லை. இயற்கணித நீட்டிப்புகளின் பின்னணியில், ஒரு தனிம பெருக்கல் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்படுகிறது விதிமுறைஇந்த உறுப்பு (குறிப்பிடப்படுகிறது N (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​N(x))); அணி சுவடு - சுவடு உறுப்பு(குறிப்பிடப்படுகிறது Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

ஒரு தனிமத்தின் சுவடு என்பது ஒரு நேரியல் செயல்பாடு ஆகும் எஃப்:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr)(x)+(\text(Tr)) (y))மற்றும் Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (கே).

விதிமுறை ஒரு பெருக்கல் மற்றும் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y))மற்றும் N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

ஆரம்ப அடிப்படையாக, நீங்கள் ஒரு முழு எண் அடிப்படையை தேர்வு செய்யலாம், இந்த அடிப்படையில் ஒரு முழு எண் இயற்கணித எண்ணால் (அதாவது, முழு எண்களின் வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு மூலம்) பெருக்கல் முழு எண் கூறுகள் கொண்ட அணிக்கு ஒத்திருக்கும். எனவே, முழு எண்களின் வளையத்தின் எந்த தனிமத்தின் சுவடு மற்றும் விதிமுறை முழு எண்களாகும்.

ஒரு விதிமுறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

விடுங்கள் d (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​d)- - ஒரு முழு எண் உறுப்பு, ஏனெனில் இது குறைக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் x 2 - d (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(2)-d)) இந்த அடிப்படையில், பெருக்கல் a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d)))அணிக்கு ஒத்துள்ளது

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

இதன் விளைவாக, N (a + b d) = a 2 - d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). வளையத்தின் உறுப்புகளில், இந்த விதிமுறை முழு எண் மதிப்புகளை எடுக்கும். நெறிமுறை என்பது பெருக்கல் குழுவின் ஓரினச்சேர்க்கை ஆகும் Z [d ] (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbb (Z) [(\sqrt (d))])ஒரு பெருக்கல் குழுவிற்கு Z (\displaystyle \mathbb (Z) ), எனவே ஒரு வளையத்தின் தலைகீழான உறுப்புகளின் விதிமுறை சமமாக மட்டுமே இருக்கும் 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​1)அல்லது − 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​-1). பெல்லின் சமன்பாட்டை தீர்க்க a 2 - d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1), முழு எண்களின் வளையத்தின் அனைத்து தலைகீழான கூறுகளையும் கண்டறிவது போதுமானது (மேலும் அழைக்கப்படுகிறது வளைய அலகுகள்) மற்றும் அவர்களில் விதிமுறை உள்ளவர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​1). டிரிச்லெட்டின் அலகு தேற்றத்தின்படி, கொடுக்கப்பட்ட வளையத்தின் அனைத்து தலைகீழான கூறுகளும் ஒரு தனிமத்தின் சக்திகள் (இதன் மூலம் பெருக்கல் வரை − 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​-1)), எனவே, பெல் சமன்பாட்டின் அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிக்க, ஒரு அடிப்படை தீர்வைக் கண்டறிவது போதுமானது.

மேலும் பார்க்கவும்

இலக்கியம்

• எச். கோச்.இயற்கணித எண் கோட்பாடு. - எம்.: வினிடி, 1990. - டி. 62. - 301 பக். - (அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் முடிவுகள். தொடர் "கணிதத்தின் நவீன சிக்கல்கள். அடிப்படை திசைகள்".).
• செபோடரேவ் என்.ஜி.கலோயிஸ் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள். பகுதி 2. - எம்.: தலையங்கம் URSS, 2004.
• வெயில் ஜி.இயற்கணித எண் கோட்பாடு. பெர். ஆங்கிலத்திலிருந்து - எம். : தலையங்கம் URSS, 2011.
• செர்ஜ் லாங், இயற்கணித எண் கோட்பாடு, இரண்டாம் பதிப்பு, ஸ்பிரிங்கர், 2000

"பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்" என்ற உறவு அறிமுகப்படுத்தப்படும் வளையம் (ஒரு > 0 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது) அழைக்கப்படுகிறது அமைந்துள்ள வளையம், இந்த வளையத்தின் ஏதேனும் உறுப்புகளுக்கு இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

1) நிபந்தனைகளில் ஒன்று மட்டுமே உண்மை

a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை உறவு அறிமுகப்படுத்தப்படும் ஒரு தொகுப்பு - கண்டிப்பானது அல்லாத (நிர்பந்தமான, சமச்சீரற்ற மற்றும் இடைநிலை) அல்லது கண்டிப்பான (எதிர்ப்பு பிரதிபலிப்பு மற்றும் இடைநிலை) ஒழுங்கான. முக்கோணவியல் விதி திருப்தி அடைந்தால், தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது நேரியல்ஒழுங்கான. நாம் ஒரு தன்னிச்சையான தொகுப்பை அல்ல, ஆனால் சில இயற்கணித அமைப்பைக் கருத்தில் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளையம் அல்லது புலம், அத்தகைய அமைப்பை வரிசைப்படுத்துவதற்கு, இந்த அமைப்பில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் (இயற்கணித அமைப்பு) தொடர்பாக மோனோடோனிசிட்டி தேவைகளும் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. அதனால் ஆர்டர் செய்யப்பட்ட மோதிரம் / புலம்பூஜ்ஜியமற்ற வளையம்/புலம், இதில் இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் நேரியல் வரிசை உறவு (a > b) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => a c > b c;

தேற்றம் 1.அமைந்துள்ள எந்த வளையமும் ஆர்டர் செய்யப்பட்ட அமைப்பு (மோதிரம்).

உண்மையில், "0க்கு அதிகமாக இருக்க வேண்டும்" என்ற உறவு வளையத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டால், இரண்டு தன்னிச்சையான கூறுகளை விட அதிகமான உறவை அறிமுகப்படுத்துவதும் சாத்தியமாகும்.

a > b  a - b > 0.

இந்த மனப்பான்மை ஒரு கண்டிப்பான அணுகுமுறை நேரியல் வரிசை.

இந்த "அதிகமான" உறவு எதிர்-நிர்பந்தமானது, ஏனெனில் a > a நிபந்தனை a - a > 0 க்கு சமமானது, பிந்தையது a - a = 0 (இருந்த வளையத்தின் முதல் நிபந்தனையின்படி, ஒரு உறுப்பு 0 ஐ விட அதிகமாகவும் 0 க்கு சமமாகவும் இருக்கக்கூடாது) . எனவே, a > a என்ற கூற்று எந்த உறுப்பு a க்கும் தவறானது, எனவே உறவு எதிர் பிரதிபலிப்பு ஆகும்.

மாற்றத்தை நிரூபிப்போம்: a > b மற்றும் b > c எனில், a > c. வரையறையின்படி, a - b > 0 மற்றும் b - c > 0 என்று தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளைப் பின்பற்றுகிறது. பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான இந்த இரண்டு கூறுகளைச் சேர்த்தால், மீண்டும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான உறுப்பைப் பெறுகிறோம் (இருந்த வளையத்தின் இரண்டாவது நிபந்தனையின் படி ):

a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.

பிந்தையது என்பது a > c. எனவே, அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட உறவு கடுமையான ஒழுங்குமுறையின் உறவு. மேலும், இந்த உறவு நேரியல் வரிசையின் உறவு, அதாவது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பிற்கு, டிரிகோடோமி தேற்றம்:

எந்த இரண்டு இயற்கை எண்களுக்கும், பின்வரும் மூன்று கூற்றுகளில் ஒன்று மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்:

உண்மையில் (அமைந்த வளையத்தின் முதல் நிபந்தனையின் காரணமாக) a - b ஒன் எண்ணுக்கு மற்றும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று மட்டுமே உண்மை:

1) a - b > 0 => a > b

2) - (a - b) = b - a > 0 => b > a

3) a - b = 0 => a = b.

எந்த ஒரு வளையத்திற்கும் மோனோடோனிசிட்டி பண்புகள் உள்ளன. உண்மையில்

1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;

2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (அமைந்த வளையத்தின் இரண்டாவது நிபந்தனையின்படி) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .

இவ்வாறு, அமைந்துள்ள எந்த வளையமும் ஒரு ஆர்டர் செய்யப்பட்ட வளையம் (ஒரு ஆர்டர் அமைப்பு) என்பதை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.

அமைந்துள்ள எந்த வளையத்திற்கும், பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:

a) a + c > b + c => a > b;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

c) a > b / \ c< 0=>ac< bc;

அதே பண்புகள் மற்ற அறிகுறிகளுக்கும் உள்ளன.<, , .

உதாரணமாக, சொத்தை (c) நிரூபிப்போம். வரையறையின்படி, a > b என்ற நிபந்தனையிலிருந்து a - b > 0, மற்றும் c இலிருந்து< 0 (0 >c) இது 0 - c > 0, எனவே எண் - c > 0, நாம் இரண்டு நேர்மறை எண்களை (a - b)  (-c) பெருக்குகிறோம். இதன் விளைவாக அமைந்துள்ள வளையத்தின் இரண்டாவது நிபந்தனையால் நேர்மறையானதாக இருக்கும், அதாவது.

(a - b)  (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

கே.இ.டி.

ஈ) aa = a 2  0;

ஆதாரம்: அமைந்துள்ள வளையத்தின் முதல் நிபந்தனையின்படி, a > 0, அல்லது –a > 0, அல்லது a = 0. இந்த நிகழ்வுகளைத் தனித்தனியாகக் கருதுங்கள்:

1) a > 0 => aa > 0 (இருந்த வளையத்தின் இரண்டாவது நிபந்தனையின்படி) => a 2 > 0.

2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, ஆனால் வளையத்தின் பண்புகளால் (–a)(–a) = aa = a 2 > 0.

3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0.

எனவே, மூன்று நிகழ்வுகளிலும், 2 என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது 0க்கு சமமாகவோ உள்ளது, அதாவது 2 ≥ 0 மற்றும் சொத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது (நாங்களும் அதை நிரூபித்துள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க அமைந்துள்ள வளையத்தின் ஒரு தனிமத்தின் சதுரம் 0 என்றால், அந்த உறுப்பு 0 ஆக இருந்தால் மட்டுமே).

e) ab = 0  a = 0 \/ b = 0.

ஆதாரம்: இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுங்கள் (ab =0, ஆனால் a அல்லது b இரண்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானவை அல்ல). பின்னர் a > 0 அல்லது – a > 0 க்கு இரண்டு விருப்பங்கள் மட்டுமே சாத்தியமாகும் (எங்கள் அனுமானத்தால் a = 0 என்ற விருப்பம் விலக்கப்பட்டுள்ளது). இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளும் b ஐப் பொறுத்து மேலும் இரண்டு நிகழ்வுகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன (ஒன்று b > 0 அல்லது – b > 0). பின்னர் 4 விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a > 0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 – b > 0 => ab > 0.

நாம் பார்ப்பது போல், இந்த வழக்குகள் ஒவ்வொன்றும் ab = 0 நிபந்தனைக்கு முரணானது. சொத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கடைசி சொத்து என்பது அமைந்துள்ள வளையம் ஒருமைப்பாட்டின் ஒரு பகுதியாகும், இது ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட அமைப்புகளின் கட்டாய சொத்து ஆகும்.

தேற்றம் 1 எந்த அமைந்துள்ள வளையம் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு என்பதைக் காட்டுகிறது. உரையாடலும் உண்மை - எந்த ஆர்டர் செய்யப்பட்ட வளையமும் அமைந்துள்ளது. உண்மையில், வளையத்தில் a > b தொடர்பு இருந்தால் மற்றும் மோதிரத்தின் ஏதேனும் இரண்டு கூறுகள் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒப்பிடக்கூடியதாக இருந்தால், 0 என்பது எந்த உறுப்பு a உடன் ஒப்பிடத்தக்கது, அதாவது a > 0 அல்லது a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. பிந்தையதை நிரூபிக்க, ஆர்டர் செய்யப்பட்ட அமைப்புகளின் மோனோடோனிசிட்டி சொத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்: சமத்துவமின்மையின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களுக்கு a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

அமைந்துள்ள வளையத்தின் இரண்டாவது நிபந்தனை மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் டிரான்சிட்டிவிட்டியின் பண்புகளிலிருந்து பின்வருமாறு:

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.

தேற்றம் 2.முழு எண்களின் வளையம் ஒரு ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வளையம் (ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு).

ஆதாரம்:முழு எண்களின் வளையத்தின் வரையறை 2 ஐப் பயன்படுத்துவோம் (பார்க்க 2.1). இந்த வரையறையின்படி, எந்தவொரு முழு எண்ணும் ஒரு இயற்கை எண்ணாகும் (எண் n என்பது [ ], அல்லது இயற்கைக்கு எதிரானது (– n என்பது வகுப்பிற்கு ஒத்துள்ளது [<1, n / >], அல்லது 0 (வகுப்பு [<1, 1>]). விதியின்படி முழு எண்களுக்கு "பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியதாக இருங்கள்" என்ற வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

a > 0  a  N

பின்னர் அமைந்துள்ள வளையத்தின் முதல் நிபந்தனை தானாகவே முழு எண்களுக்கு திருப்தி அளிக்கிறது: a இயற்கையானது என்றால், அது 0 ஐ விட அதிகமாகும், a இயற்கைக்கு எதிர்மாறாக இருந்தால், -a இயற்கையானது, அதாவது 0 ஐ விட அதிகமாகும், a = 0 என்ற மாறுபாடும் சாத்தியமாகும், இது அமைந்துள்ள வளையத்தின் முதல் நிலையில் உண்மையான விலகலையும் செய்கிறது. அமைந்துள்ள வளையத்தின் இரண்டாவது நிபந்தனையின் செல்லுபடியானது இரண்டு இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பெருக்கல் (பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான முழு எண்கள்) மீண்டும் ஒரு இயற்கை எண்ணாகும், எனவே பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகும்.

இவ்வாறு, ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வளையங்களின் அனைத்து பண்புகளும் தானாகவே அனைத்து முழு எண்களுக்கும் மாற்றப்படும். கூடுதலாக, முழு எண்களுக்கு (ஆனால் தன்னிச்சையான ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வளையங்களுக்கு அல்ல), தனித்தன்மை தேற்றம் உள்ளது:

தனித்தன்மை தேற்றம்.இரண்டு அடுத்தடுத்த முழு எண்களுக்கு இடையில் எந்த முழு எண்ணையும் செருக முடியாது:

( a, x  Z) .

ஆதாரம்: a க்கு சாத்தியமான எல்லா நிகழ்வுகளையும் கருத்தில் கொண்டு, அதற்கு நேர்மாறாக, அதாவது x உள்ளது என்று கருதுங்கள்

அ< x < a +1.

1) a என்பது இயற்கை எண்ணாக இருந்தால், a + 1 என்பதும் இயற்கை எண்ணாகும். பின்னர், இயற்கை எண்களுக்கான தனித்தன்மை தேற்றத்தின் மூலம், a மற்றும் a / = a + 1 க்கு இடையில் எந்த இயற்கை எண் x ஐ செருக முடியாது, அதாவது x, எந்த வகையிலும் இயற்கையாக இருக்க முடியாது. x = 0 என்று வைத்துக் கொண்டால், அதுதான் நமது அனுமானம்

அ< x < a +1

a என்ற நிலைக்கு நம்மை இட்டுச் செல்லும்< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. பிறகு a + 1 = 1. நிபந்தனை a என்றால்< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a என்பது எதிர்மறை (–a > 0), பிறகு a + 1  0. a + 1 எனில்< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

அதாவது, முதல் வழக்கில் (-a-1 மற்றும் -a இரண்டும் இயற்கையானவை என்பதால்) கருதப்படும் சூழ்நிலைக்கு வருகிறோம், எங்கிருந்து - x ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க முடியாது, எனவே x ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க முடியாது. a + 1 = 0 என்பது ஒரு = -1, அதாவது.

–1 < x < 0.

இந்த சமத்துவமின்மையை (–1) ஆல் பெருக்கினால், நாம் வழக்கு 2 க்கு வருகிறோம். எனவே, தேற்றம் எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் செல்லுபடியாகும்.

ஆர்க்கிமிடிஸ் கால.எந்த முழு எண் a மற்றும் முழு எண் b > 0 க்கும், ஒரு நேர்மறை முழு எண் உள்ளது n< bn.

இயற்கை a க்கு, தேற்றம் ஏற்கனவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் நிபந்தனை b > 0 என்பது எண் b என்பது இயற்கையானது. ஒரு  0 க்கு, தேற்றமும் தெளிவாக உள்ளது, ஏனெனில் bn இன் வலது பக்கம் ஒரு இயற்கை எண், அதாவது பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது.

முழு எண்களின் வளையத்தில் (எந்தவொரு அமைந்துள்ள வளையத்திலும்), நாம் ஒரு தொகுதியின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்தலாம்:

|அ| = .

செல்லுபடியாகும் தொகுதி பண்புகள்:

1) |a + b|  |அ| + |b|;

2) |a – b|  |a| – |b|;

3) |a  b| = |அ|  |b|.

ஆதாரம்: 1) இது |a| என்ற வரையறையிலிருந்து தெளிவாகத் தெரிகிறது எப்போதும் எதிர்மறையாக இல்லாத மதிப்பு (முதல் வழக்கில் |a| = a ≥0, இரண்டாவது வழக்கில் |a| = –a, ஆனால் a< 0, откуда –а >0) ஏற்றத்தாழ்வுகள் |அ| ≥ a, |a| ≥ –a (மாடுலஸ் எதிர்மறையாக இருந்தால் தொடர்புடைய வெளிப்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் எதிர்மறையாக இருந்தால் அதை விட அதிகமாக இருக்கும்). இதே போன்ற ஏற்றத்தாழ்வுகள் b: |b| ≥ b, |b| ≥ -பி. தொடர்புடைய ஏற்றத்தாழ்வுகளைச் சேர்த்து, ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வளையங்களின் சொத்தை (b) பயன்படுத்தினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

|அ| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

தொகுதி வரையறையின் படி

|a+b| =
,

ஆனால் மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு வெளிப்பாடுகளும் |a|க்கு மேல் இல்லை + |b|, இது தொகுதிகளின் முதல் பண்புகளை நிரூபிக்கிறது.

2) முதல் சொத்தில் a ஐ a - b உடன் மாற்றுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|அ| ≤ |a – b| + |b|

நகர்த்து |b| எதிர் அடையாளத்துடன் வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறம்

|அ| – | b| ≤ |a – b| =>|a-b|  |a| – |b|.

சொத்து 3 இன் சான்று வாசகரிடம் விடப்படுகிறது.

ஒரு பணி:சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 5.

தீர்வு: இடது பக்க காரணியாக்கு. இதைச் செய்ய, 3xy = – xy + 4xy என்ற சொல்லைக் குறிக்கிறோம்

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2y \u003d

Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x).

எனவே, நமது சமன்பாட்டை இவ்வாறு மாற்றி எழுதலாம்

(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.

நாம் அதை முழு எண்களில் தீர்க்க வேண்டும் என்பதால், x மற்றும் y ஆகியவை முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும், அதாவது நமது சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள காரணிகளும் முழு எண்களாகும். எங்கள் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள எண் 5 ஐ முழு எண் காரணிகளின் விளைபொருளாக 4 வழிகளில் குறிப்பிடலாம்:

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). எனவே, பின்வரும் விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

1)
2)
3)
4)

பட்டியலிடப்பட்ட அமைப்புகளில், (4) மட்டுமே முழு எண் தீர்வு உள்ளது:

x = 1, y = -2.

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்

எண் 2.4. தன்னிச்சையாக அமைந்துள்ள வளையத்தின் a, b, c, d ஆகிய உறுப்புகளுக்கு, பண்புகளை நிரூபிக்கவும்:

a) a + c > b + c => a > b; b) a > b / \ c > d => a + c > b + d.

எண் 2.5. சமன்பாடுகளை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்:

a) y 2 - 2xy - 2x = 6; b) 2x 2 - 11xy + 12y 2 = 17; c) 35xy + 5x - 7y = 1; ஈ) x 2 - 3xy + 2y 2 = 3; இ) ;

f) xy + 3x - 5y + 3 = 0; g) 2xy - 3y 2 - 4y + 2x \u003d 2; h) xy 2 + x = 48; i) 1! +2! + 3! +… + என்! = y 2 ; j) x 3 - 2y 3 - 4z 3 \u003d 0

எண் 2.6. நான்கு இலக்க எண்ணைக் கண்டறியவும், அது ஒரு சரியான சதுரம் மற்றும் அதன் முதல் இரண்டு இலக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாகவும், கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாகவும் இருக்கும்.

எண் 2.7. இரண்டு இலக்க எண்ணை அதன் பத்துகளின் கூட்டுத்தொகைக்கும் அதன் வர்க்கத்தின் வர்க்கத்திற்கும் சமமான எண்ணைக் கண்டறியவும்.

எண் 2.8. இரண்டு இலக்க எண்ணை அதன் இலக்கங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்குக்கு சமமான எண்ணைக் கண்டறியவும்.

எண் 2.9. மூன்று இலக்க எண்ணுக்கும் அதே இலக்கங்களில் தலைகீழ் வரிசையில் எழுதப்பட்ட எண்ணுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் இயற்கை எண்ணின் வர்க்கமாக இருக்க முடியாது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

எண் 2.10. 91 இல் முடிவடையும் அனைத்து இயற்கை எண்களையும் கண்டறியவும், இந்த இலக்கங்களை நீக்கிய பிறகு, ஒரு முழு எண் முறை குறையும்.

எண் 2.11. அதன் அலகுகளின் சதுரத்திற்கும் அதன் பத்துகளின் கனசதுரத்திற்கும் சமமான இரண்டு இலக்க எண்ணைக் கண்டறியவும்.

எண் 2.12. எண் 2 இல் தொடங்கும் ஆறு இலக்க எண்ணைக் கண்டறியவும், இந்த எண்ணை எண்ணின் முடிவில் மறுசீரமைப்பதன் மூலம் 3 மடங்கு அதிகரிக்கிறது.

எண் 2.13. பலகையில் 40க்கு மேல் ஆனால் 48க்கும் குறைவான முழு எண்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன. இந்த அனைத்து எண்களின் எண்கணித சராசரி 3, நேர்மறை எண்களின் எண்கணித சராசரி 4, எதிர்மறை எண்களின் எண்கணித சராசரி 8. கரும்பலகையில் எத்தனை எண்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன? எந்த எண் பெரியது, நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை? நேர்மறை எண்களின் அதிகபட்ச சாத்தியமான எண்ணிக்கை என்ன?

எண் 2.14. மூன்று இலக்க எண்ணின் எண்ணிக்கை மற்றும் அதன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 89 ஆக இருக்க முடியுமா? இந்த எண்ணிக்கை 86க்கு சமமாக இருக்க முடியுமா? இந்த பங்கீட்டின் அதிகபட்ச சாத்தியமான மதிப்பு என்ன?

கல்விக்கான ஃபெடரல் ஏஜென்சி

நிலை கல்வி நிறுவனம்உயர் தொழில்முறை கல்வி

மனிதநேயத்திற்கான வியாட்கா மாநில பல்கலைக்கழகம்

கணித பீடம்

கணிதப் பகுப்பாய்வு மற்றும் முறைகள் துறை
கணிதம் கற்பித்தல்

இறுதி தகுதி வேலை

தலைப்பில்: முழு எண்களின் காஸ் வளையம்.

நிறைவு:

5ஆம் ஆண்டு மாணவர்

கணித பீடம்

குனுசோவ் வி.வி.

___________________________

அறிவியல் ஆலோசகர்:

துறையின் மூத்த விரிவுரையாளர்

இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியல்

செமனோவ் ஏ.என்.

___________________________

விமர்சகர்:

இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தின் வேட்பாளர் அறிவியல், இணைப் பேராசிரியர்

இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் துறை

Kovyazina இ.எம்.

___________________________

SAC இல் பாதுகாப்பிற்கு ஒப்புக்கொண்டார்

தலை துறை _______________ Vechtomov ஈ.எம்.

« »________________

பீடத்தின் டீன் _____________________ வரங்கினா வி.ஐ.

அறிமுகம்.

முழு எண் கலப்பு எண்களின் வளையம்

கார்ல் காஸ் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு அவருக்கு காஸியன் என்று பெயரிடப்பட்டது.

கே. காஸ் இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒப்பீடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைத் தேடுவது தொடர்பாக ஒரு முழு எண்ணின் கருத்தை விரிவுபடுத்துவதற்கான சாத்தியம் மற்றும் அவசியம் பற்றிய யோசனைக்கு வந்தார். அவர் ஒரு முழு எண்ணின் கருத்தை வடிவத்தின் எண்களுக்கு மாற்றினார்

, தன்னிச்சையான முழு எண்கள் எங்கே, மற்றும் சமன்பாட்டின் வேர் இந்த தொகுப்பில், முழு எண்களின் வகுபடும் கோட்பாட்டைப் போலவே, வகுக்கும் கோட்பாட்டை முதன்முதலில் கட்டமைத்தவர் கே. காஸ். அவர் வகுபடுதலின் அடிப்படை பண்புகளின் செல்லுபடியை உறுதிப்படுத்தினார்; கலப்பு எண்களின் வளையத்தில் நான்கு தலைகீழான கூறுகள் மட்டுமே உள்ளன என்பதைக் காட்டியது: ; மீதியுடன் வகுத்தல் குறித்த தேற்றத்தின் செல்லுபடியை நிரூபித்தது, பிரதான காரணிகளாக சிதைவின் தனித்துவம் குறித்த தேற்றம்; வளையத்தில் எந்த முதன்மை இயற்கை எண்கள் முதன்மையாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டியது; எளிய முழு எண் கலப்பு எண்களின் தன்மையைக் கண்டுபிடித்தார்.

கே. காஸ் உருவாக்கிய கோட்பாடு, அவரது படைப்பான "எண்கணித ஆய்வுகள்" இல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, இது எண் கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணிதத்திற்கான அடிப்படை கண்டுபிடிப்பு ஆகும்.

ஆய்வறிக்கைக்கு பின்வரும் இலக்குகள் அமைக்கப்பட்டன:

1. காஸ் எண்களின் வளையத்தில் வகுக்கும் கோட்பாட்டை உருவாக்கவும்.

2. எளிய காஸியன் எண்களின் தன்மையைக் கண்டறியவும்.

3. சாதாரண Diophantine பிரச்சனைகளை தீர்ப்பதில் காஸியன் எண்களின் பயன்பாட்டைக் காட்டுங்கள்.

அத்தியாயம் 1. காஸ் எண்களின் வளையத்தில் பிரித்தல்.

சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பைக் கவனியுங்கள். உண்மையான எண்களின் தொகுப்புடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், முழு எண்களின் துணைக்குழுவை அதில் வேறுபடுத்தி அறியலாம். படிவத்தின் எண்களின் தொகுப்பு

, எங்கே சிக்கலான முழு எண்கள் அல்லது காசியன் எண்கள் என்று அழைக்கப்படும். இந்த தொகுப்பில் வளையத்தின் கோட்பாடுகள் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது. எனவே, இந்த சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வளையம் மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது காஸியன் முழு எண்களின் வளையம் . உறுப்பு: .

காஸியன் எண்களின் வளையமானது கலப்பு எண்களின் துணைக்குழுவாக இருப்பதால், கலப்பு எண்களின் சில வரையறைகளும் பண்புகளும் அதற்குச் செல்லுபடியாகும். உதாரணமாக, ஒவ்வொரு காஸியன் எண்ணுக்கும்

புள்ளியில் தொடங்கி இல் முடிவடையும் ஒரு திசையன் ஒத்துள்ளது. இதன் விளைவாக, தொகுதி காஸியன் எண்கள். பரிசீலனையில் உள்ள தொகுப்பில், துணைத் தொகுதி வெளிப்பாடு எப்போதும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணாக இருக்கும். எனவே, சில சந்தர்ப்பங்களில் அதைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது விதிமுறை , அதாவது, மாடுலஸின் சதுரம். இந்த வழியில். விதிமுறையின் பின்வரும் பண்புகளை நாம் வேறுபடுத்தி அறியலாம். எந்த காஸியன் எண்களுக்கும், பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: (1) (2) (3) (4) (5) - இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு, அதாவது நேர்மறை முழு எண்கள்.

இந்த பண்புகளின் செல்லுபடியாக்கம் தொகுதியைப் பயன்படுத்தி அற்பமாக சரிபார்க்கப்படுகிறது. கடந்து செல்லும்போது, ​​(2), (3), (5) எந்த கலப்பு எண்களுக்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

காஸியன் எண்களின் வளையம் என்பது வகுப்பிகள் 0 இல்லாத ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும், ஏனெனில் இது கலப்பு எண்களின் புலத்தின் துணை ஆகும். இது வளையத்தின் பெருக்கல் சுருக்கத்தை குறிக்கிறது

, அதாவது (6)

1.1 தலைகீழ் மற்றும் அலாய் கூறுகள்.

எந்த காஸியன் எண்கள் மீளக்கூடியதாக இருக்கும் என்று பார்ப்போம். பெருக்கல் நடுநிலையானது

. காஸியன் எண் என்றால் மீளக்கூடியது , பின்னர், வரையறையின்படி, அது உள்ளது. விதிமுறைகளை கடந்து, சொத்து 3 இன் படி, நாங்கள் பெறுகிறோம். ஆனால் இந்த விதிமுறைகள் இயற்கையானவை, எனவே. எனவே, சொத்து 4, . மாறாக, இந்த தொகுப்பின் அனைத்து கூறுகளும் தலைகீழாக உள்ளன, ஏனெனில் . எனவே, ஒன்றுக்கு சமமான விதிமுறை கொண்ட எண்கள் மீளக்கூடியதாக இருக்கும், அதாவது, , .

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அனைத்து காஸியன் எண்களும் மீளக்கூடியதாக இருக்காது. எனவே, பிரித்தல் பிரச்சினையை கருத்தில் கொள்வது சுவாரஸ்யமானது. வழக்கம் போல் நாங்கள் சொல்கிறோம்

பிரிக்கப்பட்டுள்ளது ஏதேனும் காஸியன் எண்கள் மற்றும் தலைகீழாக இருந்தால், பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும். (7) (8) (9) (10) , எங்கே (11) (12)

(8), (9), (11), (12) எளிதாக சரிபார்க்கப்படுகின்றன. செல்லுபடியாகும் (7) (2) இலிருந்து பின்தொடர்கிறது, மற்றும் (10) (6) இலிருந்து பின்தொடர்கிறது. சொத்து (9) காரணமாக, தொகுப்பின் கூறுகள்