மைனருடன் கணிதம். இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் வரிசைப்படுத்துதல், மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய இயற்கை எண்களின் தேற்றங்கள்

"பெரிய" மற்றும் "சிறிய" முழு எண்களின் கோட்பாடுகள்

தேற்றம் 4 ("சிறிய" முழு எண் பற்றி). கீழே இருந்து வரம்பிடப்பட்ட முழு எண்களின் ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத தொகுப்பும் மிகச்சிறிய எண்ணைக் கொண்டுள்ளது. (இங்கு, இயற்கை எண்களைப் போலவே, "துணைக்குழு" E என்ற வார்த்தைக்குப் பதிலாக "தொகுப்பு" என்ற வார்த்தை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஆதாரம். O A C Z மற்றும் A ஆகியவை கீழே வரம்பில் இருக்கட்டும், அதாவது. 36? ZVa? ஏ(பி< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

இப்போது பி ஏ.

பிறகு Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >பற்றி).

a - b படிவத்தின் அனைத்து எண்களின் M தொகுப்பை உருவாக்குவோம், இதில் A செட் A வழியாக இயங்குகிறது, அதாவது. M = (c [ c = a - b, a E A)

வெளிப்படையாக, A 74 0 என்பதால் M தொகுப்பு காலியாக இல்லை

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எம்.சி.என். இதன் விளைவாக, இயற்கை எண்களின் தேற்றத்தின்படி (54, Ch.III) M இல் உள்ள சிறிய இயற்கை எண் m = a1 - b சில எண்ணுக்கு உள்ளது. A, மற்றும் M இல் m சிறியது என்பதால், Ua? ஏ(டி< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

தேற்றம் 5 ("பெரிய" முழு எண் பற்றி). ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத, வரையறுக்கப்பட்ட முழு எண்களும் மிகப்பெரிய எண்ணிக்கையைக் கொண்டிருக்கும்.

ஆதாரம். O 74 A C Z மற்றும் A ஆகியவை மேலே இருந்து b என்ற எண்ணால் வரம்பிடப்பட வேண்டும், அதாவது. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b அனைத்து எண்களுக்கும் a? ஏ.

இதன் விளைவாக, M (r = -a, a? A உடன்) தொகுப்பு காலியாக இல்லை மற்றும் கீழே உள்ள எண்ணால் (-6) வரம்பிடப்பட்டுள்ளது. எனவே, முந்தைய தேற்றத்தின்படி, சிறிய எண் M தொகுப்பில் நிகழ்கிறது, அதாவது. சீட்டு? MUs? செல்வி< с).

இதன் பொருள் வா? ஏ(சி)< -а), откуда Уа? А(-с >A)

Z. பல்வேறு வடிவங்கள்முழு எண்களுக்கான கணித தூண்டல் முறை. மீதியுடன் வகுத்தல் தேற்றம்

தேற்றம் 1 (கணித தூண்டல் முறையின் முதல் வடிவம்). P(c) என்பது Z முழு எண்களின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு இட முன்னறிவிப்பாக இருக்கட்டும், 4. சில NUMBER a Z க்கு P(o) மற்றும் தன்னிச்சையான முழு எண் K > a க்கு P(K) க்கு P(K -4- 1) ஐப் பின்தொடர்ந்தால், P(r) முன்மொழிவு அனைவருக்கும் செல்லுபடியாகும். முழு எண்கள், t எண்கள் c > a (அதாவது, பின்வரும் கணிப்பு கால்குலஸ் சூத்திரம் Z தொகுப்பில் சரியானது:

Р(а) வில் > + 1)) உஸ் > аР(с)

எந்த நிலையான முழு எண்ணுக்கும் a

ஆதாரம். தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளில் கூறப்பட்ட அனைத்தும் P (c) என்ற வாக்கியத்திற்கு உண்மையாக இருக்கட்டும், அதாவது.

1) பி(அ) - உண்மை;

2) UK Shch k + என்பதும் உண்மை.

எதிர் இருந்து. அப்படி ஒரு எண் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்

b > a, அந்த RF) தவறானது. வெளிப்படையாக b a, P(a) உண்மை என்பதால். M = (z ? > a, P(z) தவறானது) என்ற தொகுப்பை உருவாக்குவோம்.

பின்னர் செட் M 0, இருந்து b? M மற்றும் M- கீழே இருந்து a என்ற எண்ணால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, குறைந்த முழு எண் எண்ணில் உள்ள தேற்றத்தின் மூலம் (தேற்றம் 4, 2), M தொகுப்பில் குறைந்தபட்ச முழு எண் c உள்ளது. எனவே c > a, இது c - 1 > a என்பதைக் குறிக்கிறது.

P(c-1) உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம். c-1 = a எனில், நிபந்தனையின் அடிப்படையில் P (c-1) உண்மையாகும்.

c- 1 > a ஐ விடுங்கள். பின்னர் P(c-1) தவறானது என்ற அனுமானம் 1ஐச் சேர்ந்ததா? M, இது நடக்காது, ஏனெனில் சி எண் M தொகுப்பில் சிறியது.

எனவே, c - 1 > a மற்றும் P(c - 1) உண்மை.

எனவே, இந்த தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில், P((c- 1) + 1) வாக்கியம் உண்மை, அதாவது. ஆர்(கள்) - உண்மை. இது c என்ற எண்ணின் தேர்வுக்கு முரணானது, ஏனெனில் c? எம் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இந்த தேற்றம் பீனோவின் கோட்பாடுகளின் இணை 1 ஐ பொதுமைப்படுத்துகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.

தேற்றம் 2 (முழு எண்களுக்கான கணித தூண்டல் முறையின் இரண்டாவது வடிவம்). P(c) என்பது முழு எண்களின் Z தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட சில ஒரு இட முன்னறிவிப்பாக இருக்கட்டும். சில முழு எண் K க்கும், P(c) முன்மொழிவின் செல்லுபடியாகும் ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண் s K க்கும் P(c) என்பது செல்லுபடியாகும் எனில், சமத்துவமின்மை K ஐ திருப்திப்படுத்தும் அனைத்து முழு எண்களுக்கும் P(c)< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >TO.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம் இயற்கை எண்களுக்கான ஒத்த தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை மீண்டும் மீண்டும் செய்கிறது (தேற்றம் 1, 55, அத்தியாயம் III).

தேற்றம் 3 (கணித தூண்டல் முறையின் மூன்றாவது வடிவம்). P(c) என்பது முழு எண்களின் Z தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு இடக் கணிப்பாக இருக்கட்டும். இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் சில எல்லையற்ற துணைக்குழு M இன் அனைத்து எண்களுக்கும் P(c) உண்மையாக இருந்தால் மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண் a க்கு, P(a) இன் உண்மை P(a - 1) இன் உண்மையைக் குறிக்கிறது, பின்னர் முன்மொழிவு அனைத்து முழு எண்களுக்கும் P(c) செல்லுபடியாகும்.

ஆதாரம் இயற்கை எண்களுக்கான தொடர்புடைய தேற்றத்தின் சான்றைப் போன்றது.

நாங்கள் அதை ஒரு சுவாரஸ்யமான பயிற்சியாக வழங்குகிறோம்.

நடைமுறையில், கணிதத் தூண்டலின் மூன்றாவது வடிவம் மற்றவர்களை விட குறைவாகவே உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. இதைப் பயன்படுத்துவதற்கு, தேற்றத்தில் விவாதிக்கப்படும் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் எல்லையற்ற துணைக்குழு M ஐ அறிந்து கொள்வது அவசியம் என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது. அத்தகைய தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பது கடினமான பணியாகும்.

ஆனால் மற்றவற்றை விட மூன்றாவது வடிவத்தின் நன்மை என்னவென்றால், அதன் உதவியுடன் P(c) என்ற முன்மொழிவை அனைத்து முழு எண்களுக்கும் நிரூபிக்க முடியும்.

கீழே நாங்கள் வழங்குகிறோம் சுவாரஸ்யமான உதாரணம்மூன்றாவது படிவத்தின் விண்ணப்பம்." ஆனால் முதலில், ஒரு மிக முக்கியமான கருத்தை வழங்குவோம்.

வரையறை. ஒரு முழு எண் a இன் முழு மதிப்பு என்பது விதியால் தீர்மானிக்கப்படும் எண்ணாகும்

0, ஒரு O என்றால், a > O எனில்

மற்றும் ஒரு என்றால்< 0.

எனவே, 0 என்றால், ? என்.

முழுமையான மதிப்பின் பின்வரும் பண்புகளை நிரூபிக்க, ஒரு பயிற்சியாக, வாசகரை அழைக்கிறோம்:

தேற்றம் (மீதமுள்ள பிரிவு பற்றி). எந்த முழு எண்கள் a மற்றும் b, அங்கு b 0 உள்ளது, மேலும், ஒரே ஒரு ஜோடி எண்கள் q U m அதாவது a r: bq + T L D.

ஆதாரம்.

1. ஜோடியின் இருப்பு (q, m).

a, b? Z மற்றும் 0. ஒரு ஜோடி எண்கள் q இருப்பதையும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதையும் காட்டுவோம்

ஒரு நிலையான எண் b க்கான எண் a இல் மூன்றாவது வடிவத்தில் தூண்டல் மூலம் ஆதாரத்தை செயல்படுத்துகிறோம்.

M = (mlm= n lbl,n? N).

M C என்பது ஒரு மேப்பிங் f: N M என்பது வெளிப்படையானது, எந்த n க்கும் f(n) = nlbl என்ற விதியால் வரையறுக்கப்படுகிறது? என், ஒரு பைஜெக்ஷன். இதன் பொருள் எம் என், அதாவது. எம்- எல்லையற்றது.

ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணுக்கு அதை நிரூபிப்போம் a? ஒரு ஜோடி எண்கள் q மற்றும் m இருப்பதைப் பற்றிய தேற்றத்தின் M (மற்றும் b- நிலையான) அறிக்கை உண்மை.

உண்மையில், ஒரு (- M. பிறகு ஒரு pf! சில n? N? N.

b > 0 எனில், a = n + O. இப்போது q = n மற்றும் m O ஐ அமைத்தால், தேவையான ஜோடி எண்கள் q மற்றும் m ஐப் பெறுகிறோம்< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

இப்போது ஒரு தூண்டல் அனுமானத்தை செய்வோம். ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண் c (மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான நிலையான b 0) க்கு தேற்றத்தின் அறிக்கை உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. ஒரு ஜோடி எண்கள் (q, m) உள்ளது

(1 உடன்) எண்ணுக்கும் இது உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம். c = bq -4- என்ற சமத்துவத்தில் இருந்து அது bq + (m - 1) என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. (1)

வழக்குகள் இருக்கலாம்.

1) m > 0. பிறகு 7" - 1 > 0. இந்த வழக்கில், - m - 1 ஐப் போடுவது, c - 1 - bq + Tl ஐப் பெறுகிறோம், அங்கு ஜோடி (q, 7"1,) வெளிப்படையாக நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்கிறது.

0. பிறகு c - 1 bq1 + 711 , எங்கே q1

0 என்பதை நாம் எளிதாக நிரூபிக்க முடியும்< < Д.

எனவே, இந்த அறிக்கை ஒரு ஜோடி எண்களுக்கு உண்மையாகும்

தேற்றத்தின் முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

P. ஜோடியின் தனித்துவம் q, முதலியன.

a மற்றும் b 0 எண்களுக்கு இரண்டு ஜோடி எண்கள் (q, m) மற்றும் (q1, பின்னர், நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் (*)

அவை ஒத்துப்போகின்றன என்பதை நிரூபிப்போம். எனவே விடுங்கள்

மற்றும் ஒரு bq1 L O< Д.

இது b(q1 -q) m- 7 1 1 என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த சமத்துவத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு

நாம் இப்போது q ql என்று கருதினால், q - q1 0, எங்கிருந்து lq - q1l 1. இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை lbl எண்ணால் காலத்தால் பெருக்கினால், φ ஐப் பெறுகிறோம்! - q11 D. (3)

அதே நேரத்தில், சமத்துவமின்மையிலிருந்து 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

பயிற்சிகள்:

1. தேற்றங்கள் 2 மற்றும் 3 இன் சான்றுகளை 5 1 இலிருந்து முடிக்கவும்.

2. தேற்றம் 3, 1ல் இருந்து முடிவு 2 ஐ நிரூபிக்கவும்.

3. படிவத்தின் அனைத்து எண்களையும் கொண்ட துணைக்குழு H C Z என்பதை நிரூபிக்கவும்< п + 1, 1 >(n? N), கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் கீழ் மூடப்பட்டது.

4. H என்பது உடற்பயிற்சி 3 இல் உள்ள அதே தொகுப்பை குறிக்கும். மேப்பிங் ј : M நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1) ј - பைஜெக்ஷன்;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) மற்றும் j(nm) = ј(n) j(m) எந்த எண்களுக்கும் n, m (அதாவது ј இயற்கணிதங்களின் (N) ஐசோமார்பிஸத்தை மேற்கொள்கிறது , 4, மற்றும் (H, + ,).

5. தேற்றம் 1 இன் 2 இன் ஆதாரத்தை முடிக்கவும்.

6. எந்த முழு எண்களுக்கும் a, b, c பின்வரும் தாக்கங்கள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்கவும்:

7. Z இலிருந்து இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது தேற்றங்களை நிரூபிக்கவும்.

8. முழு எண்களின் வளையம் Z பூஜ்ஜிய வகுப்பிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை நிரூபிக்கவும்.

இலக்கியம்

1. Bourbaki N. தொகுப்பு கோட்பாடு. எம்.: மிர், 1965.

2. Vinogradov I. M. எண் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள். எம்.: நௌகா, 1972. Z. டெமிடோவ் I. T. எண்கணிதத்தின் அடித்தளங்கள். எம்.: உச்பெட்கிஸ், 1963.

4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I குழு கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்.

எம்.: நௌகா, 1972.

5. கோஸ்ட்ரிகின் ஏ.ஐ. எம்.: நௌகா, 1994.

பி. குலிகோவ் எல் யா இயற்கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாடு. எம்.: அதிக. பள்ளி, 1979.

7. குரோஷ் ஏ.ஜி. உயர் இயற்கணிதம் படிப்பு. எம்.: நௌகா, 1971.

8. Lyubetsky V. A. பள்ளிக் கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள். எம்.: கல்வி, 1987.

9. லியாபின் EU. மற்றும் குழு கோட்பாடு பற்றிய பயிற்சிகள். எம்.: நௌகா, 1967.

10. மால்ட்சேவ் ஏ.ஐ. எம்.: நௌகா, 1970.

11. மென்டெல்சன் இ. கணித தர்க்கத்திற்கு அறிமுகம். எம்.: நௌகா, 1971.

12. Nechaev V.I. எண்ணியல் அமைப்புகள். எம்.: கல்வி, 1975.

13. நோவிகோவ் பி.எஸ். கணித தர்க்கத்தின் கூறுகள். எம்.. அறிவியல், 1973.

14. பெட்ரோவா வி.டி. இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் பற்றிய விரிவுரைகள்.: 2 மணி நேரத்தில்.

CHL. எம்.: விளாடோஸ், 1999.

15. நவீன அடிப்படைகள்பள்ளி கணித பாடத்தின் ஆசிரியர். Col.: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhin LA Stolyar A.A. எம்.: கல்வி, 1980.

16. ஸ்கோர்னியாகோவ் எல்.ஏ. இயற்கணிதத்தின் கூறுகள். எம்.: நௌகா, 1980.

17. ஸ்டோம் ஆர்.ஆர். தொகுப்பு, தர்க்கம், அச்சு கோட்பாடுகள். எம்.; அறிவொளி, 1968.

18. ஸ்டோலியார் ஏ. ஏ. கணிதத்திற்கான தர்க்கரீதியான அறிமுகம். மின்ஸ்க்: மிக உயர்ந்தது. பள்ளி, 1971.

19. பிலிப்போவ் வி.பி. இயற்கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாடு. வோல்கோகிராட்: விஜிபிஐ, 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் அடித்தளங்கள். எம்.: மிர், 1966.

21. Fuchs L. பகுதியளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்புகள். எம்.: மிர், 1965.

கல்வி வெளியீடு பதிப்பு

விளாடிமிர் கான்ஸ்டான்டினோவிச் கர்தாஷோவ்

அறிமுக கணித பாடம்

பயிற்சி

ஓ.ஐ. மொலோகனோவாவின் தலையங்கம் தயாரித்தல், அசல் தளவமைப்பு ஏ.பி. போஷ்செங்கோவால் தயாரிக்கப்பட்டது.

“PR 020048 தேதியிட்ட 12/20/96

ஆகஸ்ட் 28, 1999 இல் வெளியிட கையொப்பமிடப்பட்டது. வடிவம் 60x84/16. அலுவலக அச்சிடுதல் ஏற்றம். வகை. M 2. Uel. சூளை எல். 8.2 அகாடமிக் எட். எல். 8.3 சுழற்சி 500 பிரதிகள். ஆணை 2

பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "பெரெமெனா"

சிறப்புத் தேர்வில் மாநிலத் தேர்வுக்கு

1. புலத்தின் மீது நேரியல் (வெக்டார்) இடைவெளி. எடுத்துக்காட்டுகள். துணைவெளிகள், எளிமையான பண்புகள். திசையன்களின் நேரியல் சார்பு மற்றும் சுதந்திரம்.

2. திசையன் இடத்தின் அடிப்படை மற்றும் பரிமாணம். திசையன் அமைப்பின் ஒருங்கிணைப்பு அணி. ஒரு அடிப்படையிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு மாறுதல். திசையன் இடைவெளிகளின் ஐசோமார்பிசம்.

3. கலப்பு எண்களின் புலத்தின் இயற்கணித மூடல்.

4. முழு எண்களின் வளையம். முழு எண்களின் வரிசைப்படுத்துதல். "மிகப்பெரிய" மற்றும் "சிறிய" முழு எண்களின் கோட்பாடுகள்.

5. குழு, குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். குழுக்களின் எளிமையான பண்புகள். துணைக்குழுக்கள். குழுக்களின் ஹோமோமார்பிசம் மற்றும் ஐசோமார்பிசம்.

6. முழு எண்களின் வகுபடுதலின் அடிப்படை பண்புகள். முதன்மை எண்கள். பகா எண்களின் தொகுப்பின் முடிவிலி. ஒரு கூட்டு எண்ணின் நியமனச் சிதைவு மற்றும் அதன் தனித்தன்மை.

7. க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம் (நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான நிலைத்தன்மை அளவுகோல்).

8. ஒப்பீடுகளின் அடிப்படை பண்புகள். மாடுலோ விலக்குகளின் முழுமையான மற்றும் குறைக்கப்பட்ட அமைப்புகள். மாடுலோ எச்ச வகுப்பு வளையம். ஆய்லர் மற்றும் ஃபெர்மட்டின் கோட்பாடுகள்.

9. வகுக்கும் அளவுகோல்களின் வழித்தோன்றலுடன் ஒப்பீடுகளின் கோட்பாட்டின் பயன்பாடு. ஒரு பகுதியை தசமமாக மாற்றி அதன் காலத்தின் நீளத்தை தீர்மானித்தல்.

10. உண்மையான குணகங்களுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவையின் கற்பனை வேர்களின் இணைவு. ஒரு வயல் மீது இரிரெடிசிபிள்ஸ் உண்மையான எண்கள்பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

11. ஒரு மாறியுடன் நேரியல் ஒப்பீடுகள் (தீர்க்கும் அளவுகோல், தீர்வு முறைகள்).

12. நேரியல் சமன்பாடுகளின் சமமான அமைப்புகள். தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்கும் முறை.

13. மோதிரம். மோதிரங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். மோதிரங்களின் எளிமையான பண்புகள். துணை வளையம். மோதிரங்களின் ஹோமோமார்பிஸங்கள் மற்றும் ஐசோமார்பிஸங்கள். களம். புலங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். எளிமையான பண்புகள். பகுத்தறிவு எண்களின் புலத்தின் குறைந்தபட்சம்.

14. இயற்கை எண்கள் (இயற்கை எண்களின் அச்சு கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்). "மிகப்பெரிய" மற்றும் "சிறிய" இயற்கை எண்களின் கோட்பாடுகள்.

15. ஒரு புலத்தின் மீது பல்லுறுப்புக்கோவைகள். மீதியுடன் வகுத்தல் பற்றிய தேற்றம். இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பான், அதன் பண்புகள் மற்றும் கண்டறியும் முறைகள்.

16. பைனரி உறவுகள். சமநிலை உறவு. சமநிலை வகுப்புகள், காரணி தொகுப்பு.

17. இயற்கை மற்றும் முழு எண்களுக்கான கணித தூண்டல்.

18. ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்களின் பண்புகள். முழு எண்களின் குறைவான பொதுவான மடங்கு, அதன் பண்புகள் மற்றும் கண்டறியும் முறைகள்.

19. கலப்பு எண்களின் புலம், எண் புலங்கள். ஒரு கலப்பு எண்ணின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் முக்கோணவியல் வடிவம்.

20. முழு எண்களுக்கான மீதியுடன் வகுத்தல் பற்றிய தேற்றம். முழு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான், அதன் பண்புகள் மற்றும் கண்டறியும் முறைகள்.

21. திசையன் இடத்தின் நேரியல் இயக்கிகள். ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டரின் கர்னல் மற்றும் படம். ஒரு திசையன் இடத்தில் நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் இயற்கணிதம். ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டரின் ஈஜென் மதிப்புகள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்கள்.

22. விமானத்தின் அஃபின் மாற்றங்கள், அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் குறிப்பிடும் முறைகள். விமானம் மற்றும் அதன் துணைக்குழுக்களின் இணைப்பு மாற்றங்களின் குழு.

23. பலகோணங்கள். பலகோணத்தின் பகுதி. இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றம்.

24. சம அளவு மற்றும் பலகோணங்களின் சம கலவை.

25. லோபசெவ்ஸ்கியின் வடிவியல். லோபசெவ்ஸ்கி வடிவவியலின் கோட்பாடுகளின் அமைப்பின் நிலைத்தன்மை.

26. லோபசெவ்ஸ்கி வடிவவியலில் இணையான கருத்து. லோபசெவ்ஸ்கி விமானத்தில் உள்ள கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலை.

27. இயக்க சூத்திரங்கள். விமான இயக்கங்களின் வகைப்பாடு. சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான விண்ணப்பங்கள்.

28. இரண்டு விமானங்களின் ஒப்பீட்டு நிலை, ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானம், விண்வெளியில் இரண்டு நேர் கோடுகள் (பகுப்பாய்வு விளக்கக்காட்சியில்).

29. திட்ட மாற்றங்கள். இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றம். திட்ட மாற்றங்களுக்கான சூத்திரங்கள்.

30. அளவிடுதல், திசையன் மற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்புகள், சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அவற்றின் பயன்பாடு.

31. முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தின் வெயில் கோட்பாடு அமைப்பு மற்றும் அதன் உள்ளடக்க நிலைத்தன்மை.

32. விமானத்தின் இயக்கங்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள். விமான இயக்கங்களின் குழு. இயக்கத்தின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்தின் தேற்றம்.

33. திட்ட விமானம் மற்றும் அதன் மாதிரிகள். திட்ட மாற்றங்கள், அவற்றின் பண்புகள். திட்ட மாற்றங்களின் குழு.

34. விமான ஒற்றுமை மாற்றங்கள், அவற்றின் பண்புகள். விமான ஒற்றுமை மாற்றங்களின் குழு மற்றும் அதன் துணைக்குழுக்கள்.

35. மென்மையான மேற்பரப்புகள். ஒரு மேற்பரப்பின் முதல் இருபடி வடிவம் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள்.

36. இணை வடிவமைப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள். இணையான திட்டத்தில் தட்டையான மற்றும் இடஞ்சார்ந்த உருவங்களின் படம்.

37. மென்மையான கோடுகள். இடஞ்சார்ந்த வளைவின் வளைவு மற்றும் அதன் கணக்கீடு.

38. கூம்புப் பகுதிகளாக நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளையம். நியமன சமன்பாடுகள்.

39. நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளையத்தின் டைரக்டரியல் சொத்து. துருவ சமன்பாடுகள்.

40. ஒரு வரியில் நான்கு புள்ளிகளின் இரட்டை விகிதம், அதன் பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடு. ஜோடி புள்ளிகளின் ஹார்மோனிக் பிரிப்பு. முழு நாற்கரமும் அதன் பண்புகள். கட்டுமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான விண்ணப்பம்.

41. பாஸ்கல் மற்றும் பிரையஞ்சன் கோட்பாடுகள். துருவங்கள் மற்றும் துருவங்கள்.

கணித பகுப்பாய்வு மாதிரி கேள்விகள்

உங்களுக்குத் தெரியும், இயற்கை எண்களின் தொகுப்பை "குறைவான" உறவைப் பயன்படுத்தி ஆர்டர் செய்யலாம். ஆனால் ஒரு அச்சு கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான விதிகள் இந்த உறவை வரையறுக்க வேண்டும் என்பது மட்டுமல்லாமல், இந்த கோட்பாட்டில் ஏற்கனவே வரையறுக்கப்பட்ட கருத்துகளின் அடிப்படையில் செய்யப்பட வேண்டும். கூட்டல் மூலம் "குறைவான" உறவை வரையறுப்பதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம்.

வரையறை. a எண் b எண்ணை விட குறைவாக உள்ளது (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = பி.

இந்த நிலைமைகளின் கீழ் அது எண் என்றும் கூறப்படுகிறது பிமேலும் ஏமற்றும் எழுதவும் b > a.

தேற்றம் 12.எந்த இயற்கை எண்களுக்கும் ஏமற்றும் பிமூன்று உறவுகளில் ஒன்று மட்டுமே உள்ளது: a = b, a > b, ஏ < பி.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நாங்கள் தவிர்க்கிறோம்.. இந்த தேற்றத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு

a¹ b,ஒன்று ஏ< b, அல்லது a > b,அந்த. "குறைவானது" என்ற உறவு இணைக்கப்பட்ட தன்மையைக் கொண்டுள்ளது.

தேற்றம் 13.என்றால் ஏ< b மற்றும் பி< с. அந்த ஏ< с.

ஆதாரம். இந்த தேற்றம் "குறைவான" உறவின் இடைநிலை பண்புகளை வெளிப்படுத்துகிறது.

ஏனெனில் ஏ< b மற்றும் பி< с. பின்னர், "குறைவான" உறவின் வரையறையின்படி, இயற்கை எண்கள் உள்ளன செய்யஅதனால் என்ன b = a + k மற்றும் c = b + I.ஆனால் பின்னர் c = (a + k)+ / மற்றும் கூட்டல் பண்புகளின் அடிப்படையில் நாம் பெறுகிறோம்: c = a + (k +/). ஏனெனில் கே + ஐ -இயற்கை எண், பின்னர், "குறைவான" வரையறையின்படி, ஏ< с.

தேற்றம் 14. என்றால் ஏ< b, அது உண்மையல்ல பி< а. ஆதாரம். இந்த தேற்றம் சொத்தை வெளிப்படுத்துகிறது சமச்சீரற்ற தன்மை"குறைவான" உறவு.

ஒரு இயற்கை எண்ணுக்கு இல்லை என்பதை முதலில் நிரூபிப்போம் ஏநீ அல்ல-!>! ■ )அவளுடைய அணுகுமுறை ஏ< ஏ.இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுவோம், அதாவது. என்ன ஏ< а ஏற்படுகிறது. பின்னர், "குறைவான" உறவின் வரையறையின்படி, ஒரு இயற்கை எண் உள்ளது உடன்,என்ன ஏ+ உடன்= ஏ,மேலும் இது தேற்றம் 6க்கு முரணானது.

என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம் ஏ< பி, அப்படியானால் அது உண்மையல்ல பி < ஏ.இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுவோம், அதாவது. என்றால் என்ன ஏ< b , அந்த பி< а நிகழ்த்தப்பட்டது. ஆனால் இந்த சமத்துவங்களிலிருந்து, தேற்றம் 12 மூலம் நாம் பெற்றுள்ளோம் ஏ< а, சாத்தியமற்றது.

எங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட "குறைவானது" என்பது சமச்சீரற்ற மற்றும் இடைநிலை மற்றும் இணைக்கும் பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதால், அது ஒரு உறவாகும். நேரியல் வரிசை, மற்றும் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு.

"குறைவானது" மற்றும் அதன் பண்புகளின் வரையறையிலிருந்து, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் அறியப்பட்ட பண்புகளை நாம் கழிக்கலாம்.

தேற்றம் 15.அனைத்து இயற்கை எண்களிலும், ஒன்று சிறிய எண், அதாவது. நான்< а для любого натурального числа a¹1.

ஆதாரம். விடுங்கள் A -எந்த இயற்கை எண். பின்னர் இரண்டு வழக்குகள் சாத்தியமாகும்: a = 1 மற்றும் a¹ 1. என்றால் a = 1, பின்னர் ஒரு இயற்கை எண் உள்ளது b,தொடர்ந்து a: a = b " = b + I = 1 + b,அதாவது, "குறைவான" உறவின் வரையறையின்படி, 1< ஏ.எனவே, எந்தவொரு இயற்கை எண்ணும் 1 க்கு சமம் அல்லது 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும். அல்லது, ஒன்று மிகச்சிறிய இயற்கை எண்.

"குறைவானது" என்பது மோனோடோனிசிட்டியின் பண்புகளால் எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.

தேற்றம் 16.

a = b => a + c = b + c மற்றும் a c = b c;

ஏ< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c மற்றும் ac > bc.

ஆதாரம். 1) கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் தனித்தன்மையிலிருந்து இந்த அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும்.

2) என்றால் ஏ< b, அப்படியான ஒரு இயற்கை எண் உள்ளது கே,என்ன ஏ + கே = பி.
பிறகு பி+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ வரை)= (a + c) + k.சமத்துவம் பி+ c = (a + c) + kஎன்று அர்த்தம் a + c< b + உடன்.

அவ்வாறே அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது ஏ< b =>ஏசி< bс.

3) ஆதாரம் ஒத்ததாகும்.

தேற்றம் 17(தேற்றம் 16ன் உரையாடல்).

1) ஏ+ c = b + cஅல்லது ஏசி ~ பிசி-Þ a = b

2) a + c< Ь + с அல்லது ஏசி< கி.முÞ ஏ< Ь:

3) a + c > b+ உடன் அல்லது ac > bcÞ a > b.

ஆதாரம். எடுத்துக்காட்டாக, அதை நிரூபிப்போம் ஏசி< bс வேண்டும் ஏ< b இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுவோம், அதாவது. தேற்றத்தின் முடிவு நிலைக்காது. அப்புறம் அப்படி இருக்க முடியாது a = b.அப்போதிருந்து சமத்துவம் திருப்தி அடையும் ac = bс(தேற்றம் 16); அது இருக்க முடியாது ஏ> b,ஏனெனில் அது அப்போது இருக்கும் ac > bс(தேற்றம்!6). எனவே, தேற்றம் 12ன் படி, ஏ< b.

தேற்றங்கள் 16 மற்றும் 17 இல் இருந்து கால-படி-கால கூட்டல் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பெருக்கத்திற்கான நன்கு அறியப்பட்ட விதிகளைப் பெறலாம். நாங்கள் அவர்களை விட்டு விடுகிறோம்.

தேற்றம் 18. எந்த இயற்கை எண்களுக்கும் ஏமற்றும் பி; அத்தகைய ஒரு இயற்கை எண் உள்ளது p b> a.

ஆதாரம். யாருக்கும் ஏஅத்தகைய எண் உள்ளது பி, என்ன n > a.இதைச் செய்ய, அதை எடுத்துக் கொண்டால் போதும் n = a + 1. சமத்துவமின்மைகளை காலத்தின் மூலம் பெருக்குதல் பி> ஏமற்றும் பி> 1, நாங்கள் பெறுகிறோம் pb > ஏ.

"குறைவான" உறவின் கருதப்படும் பண்புகளில் இருந்து அது பின்வருமாறு முக்கியமான அம்சங்கள்இயற்கை எண்களின் தொகுப்புகள், நாங்கள் ஆதாரம் இல்லாமல் வழங்குகிறோம்.

1. எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் அல்ல ஏஅத்தகைய இயற்கை எண் இல்லை பி,என்ன ஏ< п < а + 1. இந்த சொத்து அழைக்கப்படுகிறது சொத்து
தனித்தன்மைஇயற்கை எண்கள் மற்றும் எண்களின் தொகுப்புகள் ஏமற்றும் a + 1 அழைக்கப்படுகிறது அண்டை அயலார்.

2. இயற்கை எண்களின் காலியாக இல்லாத எந்த துணைக்குழுவும் உள்ளது
மிகச்சிறிய எண்.

3. என்றால் எம்- இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் வெறுமை அல்லாத துணைக்குழு
மற்றும் அத்தகைய எண் உள்ளது b,எல்லா எண்களுக்கும் x இலிருந்து எம்செயல்படுத்தப்படவில்லை
சமத்துவம் x< b,பின்னர் மிகுதியாக எம்மிகப்பெரிய எண் ஆகும்.

2 மற்றும் 3 பண்புகளை எடுத்துக்காட்டுடன் விளக்குவோம். விடுங்கள் எம்- இரண்டு இலக்க எண்களின் தொகுப்பு. ஏனெனில் எம்இயற்கை எண்களின் துணைக்குழு மற்றும் இதில் உள்ள அனைத்து எண்களுக்கும் சமமின்மை x< 100, то в множестве எம்மிகப்பெரிய எண் 99. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உள்ள மிகச்சிறிய எண் எம், -எண் 10.

எனவே, "குறைவான" உறவு, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் குறிப்பிடத்தக்க எண்ணிக்கையிலான பண்புகளை கருத்தில் கொள்ள (மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் நிரூபிக்க) சாத்தியமாக்கியது. குறிப்பாக, இது நேர்கோட்டில் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, தனித்தனியானது மற்றும் சிறிய எண் 1 ஐக் கொண்டுள்ளது.

ஆரம்பப் பள்ளிக் குழந்தைகள் தங்கள் கல்வியின் தொடக்கத்திலேயே இயற்கை எண்களுக்கான "குறைவான" ("அதிகமான") உறவை நன்கு அறிந்திருக்கிறார்கள். பெரும்பாலும், அதன் தொகுப்பு-கோட்பாட்டு விளக்கத்துடன், அச்சு கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பிற்குள் நாம் வழங்கிய வரையறை மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மாணவர்கள் 9 > 7 என்று விளக்கலாம், ஏனெனில் 9 என்பது 7+2. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் மோனோடோனிசிட்டி பண்புகளின் மறைமுகமான பயன்பாடும் பொதுவானது. உதாரணமாக, "6 + 2" என்று குழந்தைகள் விளக்குகிறார்கள்< 6 + 3, так как 2 < 3».

பயிற்சிகள்

1. "உடனடியாகப் பின்தொடர" உறவைப் பயன்படுத்தி ஏன் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பை வரிசைப்படுத்த முடியாது?

அணுகுமுறையை வரையறுக்கவும் a > bமேலும் இது இடைநிலை மற்றும் சமச்சீரற்ற தன்மை கொண்டது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

3. இருந்தால் நிரூபிக்கவும் a, b, cஇயற்கை எண்கள், பின்னர்:

A) ஏ< b Þ ас < bс;

b) ஏ+ உடன்< b + сÞ> ஏ< Ь.

4. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் மோனோடோனிசிட்டி பற்றிய கோட்பாடுகள் என்ன
"கணக்கீடு செய்யாமல் ஒப்பிடு" பணியை முடிக்கும்போது இளைய பள்ளி மாணவர்களால் பயன்படுத்தவும்:

a) 27 + 8 ... 27 + 18;

b) 27-8 ... 27 -18.

5. பின்வரும் பணிகளைச் செய்யும்போது ஆரம்பப் பள்ளி மாணவர்களால் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் என்ன பண்புகள் மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

A) 65க்கு அதிகமான மற்றும் 75க்கு குறைவான எண்களை எழுதவும்.

B) 300 (800,609,999) எண்ணுடன் தொடர்புடைய முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த எண்களைக் குறிப்பிடவும்.

சி) சிறிய மற்றும் பெரிய மூன்று இலக்க எண்ணுக்கு பெயரிடவும்.

கழித்தல்

இயற்கை எண்களின் கோட்பாட்டின் அச்சு கட்டமைப்பில், கழித்தல் பொதுவாக கூட்டலின் தலைகீழ் செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

வரையறை. இயற்கை எண்கள் a மற்றும் b இன் கழித்தல் என்பது நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு செயல்பாடாகும்: a - b = c என்றால் மற்றும் b + c = a எனில் மட்டுமே.

எண் a - bஎண்கள் a மற்றும் இடையே உள்ள வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது b,எண் ஏ- minuendable, எண் b-கழிக்கக்கூடியது.

தேற்றம் 19.இயற்கை எண்களின் வேறுபாடு ஏ- பிஇருந்தால் மட்டுமே உள்ளது பி< а.

ஆதாரம். வித்தியாசம் இருக்கட்டும் ஏ- பிஉள்ளது. பின்னர், வேறுபாட்டின் வரையறையின்படி, ஒரு இயற்கை எண் உள்ளது உடன்,என்ன b + c = a,அதற்கு பொருள் என்னவென்றால் பி< а.

என்றால் பி< а, பின்னர், "குறைவானது" என்ற உறவின் வரையறையின்படி, ஒரு இயற்கை எண் c உள்ளது b + c = a.பின்னர், வேறுபாட்டின் வரையறையின்படி, c = a - b,அந்த. வேறுபாடு a - bஉள்ளது.

தேற்றம் 20. இயற்கை எண்களின் வேறுபாடு என்றால் ஏமற்றும் பிஉள்ளது, பின்னர் அது தனித்துவமானது.

ஆதாரம். எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் ஏமற்றும் பி;: a – b= s₁மற்றும் a - b= s₂, மற்றும் с₁ ¹ с₂.பின்னர், வேறுபாட்டின் வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது: a = b + c₁,மற்றும் a = b + c₂ : .அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது பி+ c₁ = b + c₂:மற்றும் தேற்றம் 17ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டு நாம் முடிக்கிறோம், с₁ = с₂..நாம் அனுமானத்துடன் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்தோம், அதாவது அது தவறானது, ஆனால் இந்த தேற்றம் சரியானது.

இயற்கை எண்களின் வேறுபாடு மற்றும் அதன் இருப்புக்கான நிபந்தனைகளின் வரையறையின் அடிப்படையில், ஒரு தொகையிலிருந்து ஒரு எண்ணையும் ஒரு எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையையும் கழிப்பதற்கான நன்கு அறியப்பட்ட விதிகளை நியாயப்படுத்த முடியும்.

தேற்றம் 21. விடுங்கள் ஏ. பிமற்றும் உடன்- முழு எண்கள்.

மற்றும் என்றால் a > c, பின்னர் (a + b) - c = (a - c) + b.

b) என்றால் b > c. பின்னர் (a + b) - c - a + (b - c).

c) என்றால் a > c மற்றும் b > c.நீங்கள் இந்த சூத்திரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம்.
ஆதாரம். வழக்கில் a) எண்களின் வேறுபாடு ஏமற்றும் cஏனெனில் உள்ளது a > s.என்பதன் மூலம் குறிப்போம் x: a - c = x.எங்கே a = c + x. என்றால் (ஏ+ b) - c = y.பின்னர், வேறுபாட்டின் வரையறையின்படி, ஏ+ பி = உடன்+ மணிக்கு. அதற்கு பதிலாக இந்த சமத்துவத்தை மாற்றுவோம் ஏவெளிப்பாடு c + x:(c + x) + b = c + y.கூட்டல் என்ற கூட்டுப் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம்: c + (x + b) = c+ மணிக்கு. கூட்டல் மற்றும் பெறுதல் என்ற மோனோடோனிசிட்டியின் சொத்தின் அடிப்படையில் இந்த சமத்துவத்தை மாற்றுவோம்:

x + b = u..இந்த சமத்துவத்தில் x ஐ வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றுதல் a - c,கொண்டிருக்கும் (எ -ஜி) + ஆ = ஒய்.இவ்வாறு, நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம் என்றால் a > c, பின்னர் (a + b) - c = (a - c) + b

ஆதாரம் பி) வழக்கில் இதேபோல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தை நினைவில் கொள்ள வசதியான ஒரு விதியின் வடிவத்தில் உருவாக்கலாம்: ஒரு தொகையிலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கழிக்க, இந்த எண்ணை ஒரு தொகையிலிருந்து கழித்து, அதன் விளைவாக வரும் முடிவில் மற்றொரு சொல்லைச் சேர்த்தால் போதும்.

தேற்றம் 22.விடுங்கள் a, b மற்றும் c -முழு எண்கள். என்றால் a > b+ கள், பிறகு ஏ- (b + c) = (a - b) - cஅல்லது a - (b + c) = (a - c) - b.

இந்த கோட்பாட்டின் ஆதாரம் தேற்றம் 21 இன் சான்றுக்கு ஒத்ததாகும்.

தேற்றம் 22 ஐ ஒரு விதியாக உருவாக்கலாம்: ஒரு எண்ணிலிருந்து எண்களின் தொகையைக் கழிக்க, இந்த எண்ணிலிருந்து ஒவ்வொரு சொல்லையும் ஒவ்வொன்றாகக் கழித்தால் போதும்.

IN முதல்நிலை கல்விகழித்தல் என்பது கூட்டலின் தலைகீழ் என கணித விளக்கம் பொதுவான பார்வை, ஒரு விதியாக, கொடுக்கப்படவில்லை, ஆனால் அது தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஒற்றை இலக்க எண்களில் செயல்பாடுகளைச் செய்வதிலிருந்து தொடங்குகிறது. கழித்தல் கூட்டுதலுடன் தொடர்புடையது என்பதை மாணவர்கள் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டு கணக்கீடுகளில் இந்த உறவைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 40 என்ற எண்ணிலிருந்து 16 என்ற எண்ணைக் கழித்தால், மாணவர்கள் இப்படிக் காரணம் கூறுகின்றனர்: “16 என்ற எண்ணை 40ல் இருந்து கழிப்பது என்பது, 16 என்ற எண்ணுடன் சேர்க்கப்படும்போது, ​​அதன் முடிவு 40 ஆகும்; இந்த எண் 24 ஆக இருக்கும், ஏனெனில் 24 + 16 = 40. எனவே. 40 - 16 = 24."

அடிப்படைக் கணிதப் பாடத்தில் ஒரு தொகையிலிருந்து ஒரு எண்ணையும், எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையையும் கழிப்பதற்கான விதிகள் கோட்பாட்டு அடிப்படைபல்வேறு கணக்கீட்டு முறைகள். எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை (40 + 16) - 10 அடைப்புக்குறிக்குள் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட்டு, அதிலிருந்து 10 எண்ணைக் கழிப்பதன் மூலம் மட்டுமல்லாமல், இந்த வழியிலும் காணலாம்;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

பயிற்சிகள்

1. ஒவ்வொரு இயல் எண்ணும் ஒன்றைக் கழிப்பதன் மூலம் உடனடியாக அடுத்த எண்ணிலிருந்து பெறப்படுகிறது என்பது உண்மையா?

2. தேற்றம் 19ன் தருக்கக் கட்டமைப்பின் சிறப்பு என்ன? "அவசியம் மற்றும் போதுமானது" என்ற சொற்களைப் பயன்படுத்தி அதை உருவாக்க முடியுமா?

3. அதை நிரூபிக்கவும்:

மற்றும் என்றால் b > c,அந்த (a + b) - c = a + (b - c);

b) என்றால் a > b + c, அந்த a - (b+ c) = (a - b) - c.

4. கணக்கீடுகளைச் செய்யாமல், எந்த வெளிப்பாடுகள் ஒரே மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் என்று சொல்ல முடியுமா:

a) (50 + 16)- 14; ஈ) 50 + (16 -14 ),

b) (50 - 14) + 16; இ) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.

a) 50 - (16 + 14); ஈ) (50 - 14) + 16;

b) (50 - 16) + 14; இ) (50 - 14) - 16;

c) (50 - 16) - 14; இ) 50 - 16-14.

5. ஆரம்ப கணிதப் பாடத்தில் படிக்கப்பட்ட பின்வரும் கணக்கீட்டு நுட்பங்களுக்கான கோட்பாட்டு அடிப்படையிலான கழித்தல் பண்புகள் என்ன:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 = 16-6 - பி;

c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

ஈ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. விவரிக்கவும் சாத்தியமான வழிகள்படிவத்தின் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறது. a - b- உடன்மற்றும் குறிப்பிட்ட உதாரணங்களுடன் அவற்றை விளக்கவும்.

7. எப்போது என்பதை நிரூபிக்கவும் பி< а மற்றும் எந்த இயற்கை சி சமத்துவம் உண்மை (a – b) c = ac - bc.

குறிப்பு. ஆதாரம் கோட்பாடு 4 ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது.

8. எழுதப்பட்ட கணக்கீடுகளைச் செய்யாமல் ஒரு வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்கவும். உங்கள் பதில்களை நியாயப்படுத்துங்கள்.

a) 7865 × 6 – 7865 × 5: b) 957 × 11 – 957; c) 12 × 36 – 7 × 36.

பிரிவு

இயற்கை எண்களின் கோட்பாட்டின் அச்சு கட்டமைப்பில், வகுத்தல் பொதுவாக பெருக்கத்தின் தலைகீழ் செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

வரையறை. இயற்கை எண்கள் a மற்றும் b பிரித்தல் என்பது நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு செயல்பாடாகும்: a: b = c என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டும்செய்ய எப்போது பி× c = a.

எண் a:bஅழைக்கப்பட்டது தனிப்பட்டஎண்கள் ஏமற்றும் b,எண் ஏவகுபடக்கூடிய, எண் பி- பிரிப்பான்.

அறியப்பட்டபடி, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் வகுத்தல் எப்போதும் இல்லை, மேலும் ஒரு வித்தியாசத்திற்கு இருப்பது போன்ற ஒரு பங்கு இருப்பதற்கான வசதியான அறிகுறி எதுவும் இல்லை. அங்கே ஒரே தேவையான நிபந்தனைதனிப்பட்ட இருப்பு.

தேற்றம் 23.இரண்டு இயல் எண்களின் ஒரு பகுதி இருக்க வேண்டும் என்பதற்காக ஏமற்றும் பி, அது அவசியம் பி< а.

ஆதாரம். இயல் எண்களின் விகுதியை விடுங்கள் ஏமற்றும் பிஉள்ளது, அதாவது. இது போன்ற ஒரு இயற்கை எண் c உள்ளது bc = a.எந்த இயற்கை எண் 1 க்கும் ஏற்றத்தாழ்வு 1 £ உடன்,பின்னர், அதன் இரு பகுதிகளையும் ஒரு இயற்கை எண்ணால் பெருக்குகிறது பி, நாம் பெறுகிறோம் பி£ கி.மு.ஆனாலும் bc = a,எனவே, பி£ ஏ.

தேற்றம் 24.இயற்கை எண்களின் பங்கு என்றால் ஏமற்றும் பிஉள்ளது, பின்னர் அது தனித்துவமானது.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம் இயற்கை எண்களின் வேறுபாட்டின் தனித்துவம் குறித்த தேற்றத்தின் நிரூபணத்தைப் போன்றது.

இயற்கை எண்களின் விகிதத்தின் வரையறை மற்றும் அதன் இருப்புக்கான நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில், ஒரு தொகையை (வேறுபாடு, தயாரிப்பு) ஒரு எண்ணால் வகுக்க நன்கு அறியப்பட்ட விதிகளை நியாயப்படுத்த முடியும்.

தேற்றம் 25.எண்கள் என்றால் ஏமற்றும் பிஒரு எண்ணால் வகுபடும் உடன்,பின்னர் அவர்களின் தொகை a + b c ஆல் வகுக்கப்படும், மற்றும் கூட்டுத்தொகையைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பங்கு ஏ+ பிஒரு எண்ணுக்கு உடன்,பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் ஏஅன்று உடன்மற்றும் பிஅன்று உடன், அதாவது (a + b):c = a:c + b:உடன்.

ஆதாரம். எண் இருந்து ஏவகுக்க உடன்,பின்னர் ஒரு இயற்கை எண் x = உள்ளது ஏ;என்று a = cx.இதேபோல், அத்தகைய இயற்கை எண் உள்ளது y = b:உடன்,என்ன

பி= சு.ஆனால் பின்னர் a + b = cx+ cy = - c(x + y).என்று அர்த்தம் a + b c ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, மேலும் கூட்டுத்தொகையைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதி ஏ+ பிசி எண்ணால், x + க்கு சமம் ஒய்,அந்த. கோடாரி + b: c.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றம் ஒரு தொகையை ஒரு எண்ணால் வகுக்க ஒரு விதியாக உருவாக்கப்படலாம்: தொகையை ஒரு எண்ணால் வகுக்க, ஒவ்வொரு சொல்லையும் இந்த எண்ணால் வகுத்து அதன் விளைவாக வரும் முடிவுகளைச் சேர்த்தால் போதும்.

தேற்றம் 26.இயற்கை எண்கள் என்றால் ஏமற்றும் பிஒரு எண்ணால் வகுபடும் உடன்மற்றும் a > b,பின்னர் வேறுபாடு a - b c ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, மேலும் c என்ற எண்ணால் வேறுபாட்டைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதியானது வகுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட விகுதிகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம் ஏஅன்று உடன்மற்றும் பி c இல், அதாவது. (a - b):c = a:c - b:c.

இந்தத் தேற்றத்தின் ஆதாரம் முந்தைய தேற்றத்தின் நிரூபணத்தைப் போன்றது.

இந்த தேற்றத்தை ஒரு எண்ணால் வேறுபாட்டை வகுக்க ஒரு விதியாக உருவாக்கலாம்: க்குவித்தியாசத்தை ஒரு எண்ணால் வகுக்க, மினுஎண்ட் மற்றும் சப்ட்ராஹெண்டை இந்த எண்ணால் வகுத்து, முதல் விகுதியிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழித்தால் போதும்.

தேற்றம் 27.இயற்கை எண் என்றால் ஏஒரு இயல் எண்ணால் வகுபடும் c, பின்னர் எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் பிவேலை abகளால் வகுக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பொருளைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட அளவு abஎண்களுக்கு s , பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதியின் பெருக்கத்திற்கு சமம் ஏஅன்று உடன்,மற்றும் எண்கள் b: (a × b):c - (a:c) × b.

ஆதாரம். ஏனெனில் ஏவகுக்க உடன்,பின்னர் ஒரு இயற்கை எண் x உள்ளது a:c= x, எங்கே a = cx.சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குதல் b,நாம் பெறுகிறோம் ab = (cx)b.பெருக்கல் துணை என்பதால், பிறகு (cx) b = c(x b).இங்கிருந்து (a b):c = x b= (a:c) b.ஒரு தயாரிப்பை எண்ணால் வகுக்க ஒரு விதியாக தேற்றத்தை உருவாக்கலாம்: ஒரு பொருளை எண்ணால் வகுக்க, காரணிகளில் ஒன்றை இந்த எண்ணால் வகுத்து, அதன் விளைவாக வரும் முடிவை இரண்டாவது காரணியால் பெருக்க போதுமானது.

தொடக்கக் கணிதக் கல்வியில், பெருக்கத்தின் தலைகீழ் செயல்பாடாக வகுத்தல் வரையறையானது, ஒரு விதியாக, பொது வடிவத்தில் கொடுக்கப்படவில்லை, ஆனால் அது தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்படுகிறது, வகுத்தல் பற்றிய அறிமுகத்தின் முதல் பாடங்களில் இருந்து தொடங்குகிறது. வகுத்தல் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது என்பதை மாணவர்கள் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டு கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது இந்த உறவைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 48 ஐ 16 ஆல் வகுக்கும் போது, ​​மாணவர்கள் இவ்வாறு வாதிடுகின்றனர்: “48 ஐ 16 ஆல் வகுத்தல் என்பது, 16 ஆல் பெருக்கினால், 48 இல் விளையும் எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்; 16×3 = 48 என்பதால் அத்தகைய எண் 3 ஆக இருக்கும். எனவே, 48: 16 = 3.

பயிற்சிகள்

1. அதை நிரூபிக்கவும்:

a) இயற்கை எண்களின் பங்கு என்றால் a மற்றும் bஉள்ளது, பின்னர் அது தனித்துவமானது;

b) எண்கள் என்றால் a மற்றும் bஎன பிரிக்கப்படுகின்றன உடன்மற்றும் a > b,அந்த (a - b): c = a: c - b: c.
2. இந்த சமத்துவங்கள் அனைத்தும் உண்மை என்று கூற முடியுமா:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

c) 850:170 =850:10:17.

இந்த வழக்குகளை எந்த விதி பொதுமைப்படுத்துகிறது? அதை வடிவமைத்து நிரூபிக்கவும்.

3. பிரிவின் என்ன பண்புகள் கோட்பாட்டு அடிப்படையாகும்
பள்ளி மாணவர்களுக்கு வழங்கப்படும் பின்வரும் பணிகளை முடித்தல் முதன்மை வகுப்புகள்:

பிரிவைச் செய்யாமல், எந்த வெளிப்பாடுகளுக்கு ஒரே அர்த்தம் இருக்கும் என்று சொல்ல முடியுமா:

a) (40+ 8):2; c) 48:3; இ) (20+ 28):2;

b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;

சமத்துவங்கள் உண்மையா:

a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);

c) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சாத்தியமான வழிகளை விவரிக்கவும்
வகை:

A) (ஏ+ b): c; b) ஏ:பி: உடன்; வி) ( a × b): உடன் .

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் முன்மொழியப்பட்ட முறைகளை விளக்கவும்.

5. பகுத்தறிவு வழியில் வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்; அவர்களது
உங்கள் செயல்களை நியாயப்படுத்துங்கள்:

அ) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);

b) (3 × 4× 5): 15; ஈ) (12 × 21): 14.

6. இரண்டு இலக்க எண்ணால் வகுக்கும் பின்வரும் முறைகளை நியாயப்படுத்தவும்:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

ஈ) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

7. ஒரு மூலையுடன் பிரிக்காமல், மிகவும் பகுத்தறிவைக் கண்டறியவும்
ஒரு பங்கு வழியில்; தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முறையை நியாயப்படுத்தவும்:

a) 495:15; c) 455:7; இ) 275:55;

6) 425:85; ஈ) 225:9; இ) 455:65.

விரிவுரை 34. எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் தொகுப்பின் பண்புகள்

1. எதிர்மில்லாத முழு எண்களின் தொகுப்பு. எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் தொகுப்பின் பண்புகள்.

2. இயற்கையான எண்களின் ஒரு பிரிவின் கருத்து மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் எண்ணும் கூறுகள். ஆர்டினல் மற்றும் கார்டினல் இயற்கை எண்கள்.