Kata “ketertiban” sering digunakan dalam berbagai macam masalah. Petugas memberi perintah: “Hitung dalam urutan numerik,” operasi aritmatika dilakukan dalam urutan tertentu, atlet diberi peringkat berdasarkan tinggi badan, semua pemain catur terkemuka disusun dalam urutan tertentu sesuai dengan apa yang disebut koefisien Elo (profesor Amerika yang mengembangkan sistem koefisien yang memungkinkan Anda memperhitungkan semua keberhasilan dan kegagalan para pemain), setelah kejuaraan, semua tim sepak bola disusun dalam urutan tertentu, dll. urutan kata dalam sebuah kalimat (coba pahami apa arti kalimat “on he old man” Saya tidak menanam keledai!”
Dengan menyusun unsur-unsur suatu himpunan tertentu satu demi satu, dengan demikian kita mengurutkannya atau menjalin hubungan di antara unsur-unsur tersebut dalam urutan. Contoh paling sederhana adalah orde natural bilangan asli. Kealamiannya terletak pada kenyataan bahwa untuk dua bilangan asli kita mengetahui mana yang mengikuti yang lain atau mana yang lebih besar dari yang lain, sehingga kita dapat menyusun bilangan-bilangan asli tersebut dalam suatu barisan sedemikian rupa sehingga letak bilangan yang lebih besar, misalnya ke sebelah kanan yang lebih kecil: 1, 2, 3, ... . Tentu saja urutan elemen dapat ditulis ke segala arah, tidak hanya dari kiri ke kanan. Konsep bilangan asli sendiri sudah mengandung gagasan tentang keteraturan. Dengan menetapkan beberapa susunan relatif dari elemen-elemen suatu himpunan, dengan demikian kita mendefinisikan beberapa relasi tatanan biner, yang dalam setiap kasus tertentu mungkin memiliki namanya sendiri, misalnya, “menjadi lebih kecil”, “menjadi lebih tua”, “menjadi terkandung dalam ", "ikuti", dst. Sebutan simbolis keteraturan juga bisa bermacam-macam, misalnya Í, dst.
Utama tanda hubungan keteraturan adalah adanya sifat transitivitas. Jadi, jika kita berhadapan dengan rangkaian beberapa objek x 1, x 2, ..., xn,..., diurutkan, misalnya berdasarkan relasi, lalu dari apa yang dilakukan x 1x 2... xn..., hal itu harus diikuti untuk pasangan mana pun x saya, xj elemen urutan ini juga terpenuhi x sayaxj:
Untuk sepasang elemen x sayaJ dalam grafik relasi kita menggambar panah dari titik x saya ke atas xj, yaitu dari elemen yang lebih kecil ke elemen yang lebih besar.
Grafik relasi keteraturan dapat disederhanakan dengan menggunakan apa yang disebut metode diagram Hasse. Diagram Hasse dibangun sebagai berikut. Elemen yang lebih kecil ditempatkan lebih rendah, dan elemen yang lebih besar ditempatkan lebih tinggi. Karena aturan seperti itu saja tidak cukup untuk menggambarkannya, garis-garis digambar untuk menunjukkan elemen mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil dari elemen lainnya. Dalam hal ini, cukup menggambar garis saja untuk elemen-elemen yang saling mengikuti satu sama lain. Contoh diagram Hasse ditunjukkan pada gambar:
Anda tidak harus menyertakan panah dalam diagram Hasse. Diagram Hasse dapat diputar pada suatu bidang, tetapi tidak sembarangan. Saat memutar, perlu untuk mempertahankan posisi relatif (atas - bawah) dari simpul diagram:
Sikap R dalam kelimpahan X ditelepon sikap ketertiban yang ketat, jika bersifat transitif dan asimetris.
Himpunan yang relasi keteraturannya terdefinisi disebut dipesan. Misalnya, himpunan bilangan asli diurutkan berdasarkan relasi “kurang dari”. Tetapi himpunan yang sama ini juga diurutkan oleh relasi lain - "dibagi menjadi" dan "lebih".
Grafik relasi “kurang dari” pada himpunan bilangan asli dapat digambarkan sebagai sinar:
Sikap R V X disebut relasi tatanan tidak ketat (sebagian)., jika bersifat transitif dan antisimetris. Setiap hubungan dengan tatanan yang tidak ketat bersifat refleksif.
Julukan "parsial" mengungkapkan fakta bahwa mungkin tidak semua elemen suatu himpunan dapat dibandingkan dalam suatu hal tertentu.
Contoh umum dari relasi tatanan parsial adalah relasi “tidak lebih besar dari”, “tidak kurang dari”, dan “tidak lebih besar dari”. Partikel “tidak” dalam nama hubungan berfungsi untuk mengekspresikan refleksivitasnya. Relasi “tidak lebih dari” bertepatan dengan relasi “kurang dari atau sama dengan”, dan relasi “tidak kurang” sama dengan “lebih besar dari atau sama”. Dalam hal ini, tatanan parsial disebut juga tidak tegas dalam urutan. Seringkali relasi tatanan parsial (tidak ketat) dilambangkan dengan simbol "".
Relasi penyertaan Í antara himpunan bagian dari himpunan tertentu juga merupakan tatanan parsial. Jelasnya, tidak setiap dua himpunan bagian dapat dibandingkan dalam hal ini. Gambar di bawah menunjukkan urutan penyertaan sebagian pada himpunan semua himpunan bagian (1,2,3). Panah pada grafik yang seharusnya mengarah ke atas tidak ditampilkan.
Himpunan yang urutan parsialnya diberikan disebut dipesan sebagian, atau sederhananya dipesan set.
Elemen X Dan pada himpunan terurut sebagian disebut bandingkan dengan kita Jika Xpada atau padaX. DI DALAM jika tidak mereka tidak sebanding.
Himpunan terurut yang dua elemennya sebanding disebut dipesan secara linear, dan urutannya adalah urutan linier. Tatanan linier disebut juga tatanan sempurna.
Misalnya himpunan semua bilangan real dengan tatanan alam, serta semua himpunan bagiannya, diurutkan secara linier.
Objek dengan sifat paling bervariasi dapat dipesan secara hierarkis. Berikut beberapa contohnya.
Contoh 1: Bagian-bagian buku disusun sedemikian rupa sehingga buku berisi bab, bab berisi bagian, dan bagian berisi subbagian.
Contoh 2. Folder dalam sistem file komputer bertumpuk satu sama lain, membentuk struktur percabangan.
Contoh 3 Hubungan antara orang tua dan anak dapat digambarkan sebagai apa yang disebut pohon keluarga, yang menunjukkan siapa nenek moyang (atau keturunannya).
Biarkan di lokasi syuting A urutan parsial diberikan. Elemen X ditelepon maksimum (minimum) elemen himpunan A, jika dari fakta itu Xpada(padaX), kesetaraan mengikuti X= kamu. Dengan kata lain, elemennya X adalah maksimum (minimum) jika untuk elemen apa pun pada atau tidak benar itu Xpada(padaX), atau dijalankan X=kamu. Jadi, elemen maksimum (minimum) lebih besar (lebih kecil) dari semua elemen yang berbeda dengannya yang ada hubungannya.
Elemen X ditelepon terbesar (terkecil), jika untuk siapa pun padaÎ A dilakukan pada< х (х< у).
Himpunan terurut sebagian dapat mempunyai beberapa elemen minimum dan/atau maksimum, tetapi tidak boleh lebih dari satu elemen minimum dan maksimum. Unsur terkecil (terbesar) juga merupakan unsur minimum (maksimum), namun tidak berlaku sebaliknya. Gambar di sebelah kiri menunjukkan urutan parsial dengan dua elemen minimum dan dua maksimum, dan di sebelah kanan menunjukkan urutan parsial dengan elemen terkecil dan terbesar:
Dalam himpunan terurut sebagian berhingga selalu terdapat elemen minimum dan maksimum.
Himpunan terurut yang mempunyai anggota terbesar dan terkecil disebut terbatas. Gambar tersebut menunjukkan contoh himpunan berbatas tak hingga. Tentu saja, tidak mungkin menggambarkan himpunan tak hingga pada halaman berhingga, tetapi Anda dapat menunjukkan prinsip konstruksinya. Di sini loop di dekat simpul tidak ditampilkan untuk menyederhanakan gambar. Untuk alasan yang sama, busur yang memberikan tampilan properti transitivitas tidak ditampilkan. Dengan kata lain, gambar tersebut menunjukkan diagram Hasse dari relasi keteraturan.
Himpunan tak hingga mungkin tidak mempunyai elemen maksimum atau minimum, atau keduanya. Misalnya, himpunan bilangan asli (1,2, 3, ...) mempunyai elemen terkecil 1, tetapi tidak ada maksimum. Himpunan semua bilangan real berorde natural tidak mempunyai unsur terkecil maupun terbesar. Namun, subsetnya terdiri dari semua angka X< 5, mempunyai unsur terbesar (angka 5), tetapi tidak mempunyai unsur terkecil.
Misalkan R adalah relasi biner pada himpunan A.
DEFINISI. Relasi biner R pada himpunan A disebut relasi keteraturan pada A atau keteraturan pada A jika transitif dan antisimetris.
DEFINISI. Suatu relasi berorde R pada himpunan A disebut tak ketat jika relasi tersebut refleksif pada A, yaitu untuk masing-masing A.
Suatu relasi keteraturan R disebut ketat (pada A) jika relasi tersebut anti-refleksif pada A, yaitu untuk sembarang A. Namun, dari anti-refleksivitas relasi transitif R, maka relasi tersebut antisimetris. Oleh karena itu, definisi setara berikut dapat diberikan.
DEFINISI. Relasi biner R pada himpunan A disebut orde tegas pada A jika relasi tersebut transitif dan antirefleksif pada A.
Contoh. 1. Misalkan himpunan semua himpunan bagian dari himpunan M. Relasi penyertaan pada suatu himpunan adalah relasi orde tidak ketat.
2. Hubungan pada himpunan bilangan real masing-masing merupakan hubungan orde ketat dan tidak ketat.
3. Relasi keterbagian pada himpunan bilangan asli merupakan relasi tak beraturan.
DEFINISI. Relasi biner R pada himpunan A disebut relasi preorder atau preorder pada A jika refleksif dan transitif.
Contoh. 1. Hubungan pembagian pada himpunan bilangan bulat bukan suatu orde. Namun bersifat refleksif dan transitif yang artinya pre-order.
2. Relasi konsekuensi logis merupakan preorder pada himpunan rumus logika proposisional.
Urutan linier. Kasus keteraturan khusus yang penting adalah keteraturan linier.
DEFINISI. Relasi keteraturan pada suatu himpunan disebut relasi keteraturan linier atau keteraturan linier pada jika terhubung pada , yaitu untuk sembarang x, y dari A
Relasi keteraturan yang tidak linier biasa disebut dengan relasi keteraturan parsial atau keteraturan parsial.
Contoh. 1. Relasi “kurang dari” pada himpunan bilangan real merupakan relasi orde linier.
2. Hubungan urutan yang dianut dalam kamus bahasa Rusia disebut leksikografis. Urutan leksikografis pada kumpulan kata dalam bahasa Rusia adalah urutan linier.
Properti hubungan:
1) refleksivitas;
2) simetri;
3)transitivitas.
4) keterhubungan.
Sikap R di satu set X ditelepon reflektif, jika tentang setiap elemen himpunan X kita dapat mengatakan bahwa dia sedang menjalin hubungan R Dengan diriku sendiri: XRx. Jika relasinya refleksif, maka terdapat loop pada setiap titik pada grafik. Sebaliknya, graf yang setiap simpulnya memuat loop merupakan graf relasi refleksif.
Contoh relasi refleksif adalah relasi “kelipatan” pada himpunan bilangan asli (setiap bilangan merupakan kelipatan dirinya sendiri), dan relasi kesebangunan segitiga (setiap segitiga sebangun), dan relasi “persamaan” ( setiap angka sama dengan dirinya sendiri), dst.
Ada relasi yang tidak mempunyai sifat refleksivitas, misalnya relasi tegak lurus ruas: ab, ba(tidak ada satupun ruas yang dapat dikatakan tegak lurus terhadap dirinya sendiri) . Oleh karena itu, tidak ada satu pun loop dalam grafik hubungan ini.
Relasi “lebih panjang” untuk segmen, “lebih banyak 2” untuk bilangan asli, dll. tidak memiliki sifat refleksivitas.
Sikap R di satu set X ditelepon anti-reflektif, jika untuk elemen apa pun dari himpunan X selalu salah XRx: .
Ada hubungan yang tidak refleksif dan tidak anti-refleksif. Contoh hubungan seperti itu adalah hubungan “titik X simetris pada intinya pada relatif lurus aku", didefinisikan pada sekumpulan titik pada bidang. Memang semua titik satu garis lurus aku simetris terhadap dirinya sendiri, dan titik-titik yang tidak terletak pada suatu garis lurus aku, sendiri tidak simetris.
Sikap R di satu set X ditelepon simetris, jika kondisinya terpenuhi: dari fakta bahwa elemen tersebut X berhubungan dengan elemen tersebut kamu, maka elemen tersebut kamu ada hubungannya R dengan elemen X:xRyyRx.
Grafik relasi simetris mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: beserta setiap anak panah yang datang X Ke kamu, grafik berisi panah yang berangkat dari kamu Ke X(Gbr. 35).
Contoh relasi simetris adalah: relasi “paralelisme” ruas-ruas, relasi “tegak lurus” ruas-ruas, relasi “persamaan” ruas-ruas, relasi keserupaan segitiga, relasi “persamaan” ruas-ruas, pecahan, dll.
Ada hubungan yang tidak memiliki sifat simetri.
Memang kalau segmennya X lebih panjang dari segmennya pada, lalu segmennya pada tidak boleh lebih panjang dari segmennya X. Grafik hubungan ini memiliki kekhasan: panah yang menghubungkan simpul-simpul diarahkan hanya ke satu arah.
Sikap R ditelepon antisimetris, jika untuk elemen apa pun X Dan kamu dari kebenaran xRy seharusnya salah tahunRx: : xRyyRx.
Selain relasi “lebih panjang”, terdapat relasi antisimetris lainnya di banyak segmen. Misalnya, relasi "lebih besar dari" untuk bilangan (jika X lagi pada, Itu pada tidak mungkin ada lagi X), sikap “lebih aktif”, dll.
Ada relasi yang tidak memiliki sifat simetri maupun antisimetri.
Relasi R pada suatu himpunan X ditelepon transitif, jika dari elemen itu X ada hubungannya R dengan elemen kamu, dan elemen kamu ada hubungannya R dengan elemen z, maka elemen tersebut X ada hubungannya R dengan elemen z: xRy Dan tahunRzxRz.
Grafik hubungan transitif dengan setiap pasang anak panah yang berasal X Ke kamu dan dari kamu Ke z, berisi panah yang berasal X Ke z.
Relasi “lebih panjang” pada sekumpulan segmen juga mempunyai sifat transitivitas: jika segmen A lebih panjang dari segmennya B, segmen garis B lebih panjang dari segmennya Dengan, lalu segmennya A lebih panjang dari segmennya Dengan. Relasi “kesetaraan” pada sekumpulan segmen juga memiliki sifat transitivitas: (sebuah=b, b=c)(a=c).
Ada hubungan yang tidak memiliki sifat transitivitas. Relasi seperti itu, misalnya, adalah relasi tegak lurus: jika suatu segmen A tegak lurus terhadap segmen tersebut B, dan segmennya B tegak lurus terhadap segmen tersebut Dengan, lalu segmennya A Dan Dengan tidak tegak lurus!
Ada sifat lain dari relasi, yang disebut sifat keterhubungan, dan relasi yang memiliki sifat tersebut disebut terhubung.
Sikap R di satu set X ditelepon terhubung, jika untuk elemen apa pun X Dan kamu dari himpunan ini kondisinya terpenuhi: jika X Dan kamu berbeda, maka keduanya X ada hubungannya R dengan elemen kamu, atau elemen kamu ada hubungannya R dengan elemen X. Dengan menggunakan simbol, hal ini dapat ditulis seperti ini: xyxRy atau tahunRx.
Misalnya, relasi “lebih besar dari” untuk bilangan asli memiliki sifat keterhubungan: untuk setiap bilangan berbeda x dan y, seseorang dapat menyatakan, baik x>y, atau kamu>x.
Pada grafik hubungan terkait setiap dua simpul dihubungkan oleh sebuah panah. Pernyataan sebaliknya juga benar.
Ada hubungan yang tidak memiliki sifat keterhubungan. Relasi seperti itu, misalnya, adalah relasi pembagian pada himpunan bilangan asli: kita dapat menamai bilangan tersebut x dan kamu berapa pun nomornya X bukan merupakan pembagi suatu bilangan kamu, atau nomor kamu bukan merupakan pembagi suatu bilangan X(angka 17 Dan 11 , 3 Dan 10 dll.) .
Mari kita lihat beberapa contoh. Di lokasi syuting X=(1, 2, 4, 8, 12) relasi "angka" diberikan X kelipatan dari nomor tersebut kamu" Mari kita buat grafik hubungan ini dan rumuskan propertinya.
Relasi persamaan pecahan dikatakan relasi ekivalen.
Sikap R di satu set X ditelepon hubungan kesetaraan, jika sekaligus mempunyai sifat refleksivitas, simetri dan transitivitas.
Contoh relasi kesetaraan antara lain: relasi kesetaraan bentuk geometris, hubungan kesejajaran garis (asalkan garis-garis yang berhimpitan dianggap sejajar).
Dalam hubungan “persamaan pecahan” yang dibahas di atas, himpunan X dibagi menjadi tiga himpunan bagian: ( ; ; }, {; } , (). Himpunan bagian ini tidak berpotongan, dan penyatuannya bertepatan dengan himpunan tersebut X, yaitu kami memiliki partisi himpunan ke dalam kelas.
Jadi, jika relasi ekuivalen diberikan pada himpunan X, maka relasi tersebut menghasilkan partisi himpunan ini menjadi himpunan bagian yang saling lepas berpasangan - kelas ekivalensi.
Jadi, kita telah menetapkan bahwa hubungan kesetaraan di himpunan
X=( ;; ; ; ; ) berhubungan dengan pembagian himpunan ini ke dalam kelas-kelas ekivalensi, yang masing-masing terdiri dari pecahan-pecahan yang sama satu sama lain.
Prinsip mempartisi suatu himpunan ke dalam kelas-kelas dengan menggunakan beberapa relasi ekuivalen adalah prinsip penting matematika. Mengapa?
Pertama, setara berarti setara, dapat dipertukarkan. Oleh karena itu, elemen-elemen dari kelas kesetaraan yang sama dapat dipertukarkan. Jadi, pecahan yang berada pada kelas ekuivalen yang sama (; ; ), tidak dapat dibedakan dari sudut pandang hubungan persamaan, dan pecahan bisa diganti dengan yang lain, misalnya . Dan penggantian ini tidak akan mengubah hasil perhitungan.
Kedua, karena kelas kesetaraan mengandung unsur-unsur yang tidak dapat dibedakan dari sudut pandang hubungan tertentu, maka diyakini bahwa kelas kesetaraan ditentukan oleh salah satu perwakilannya, yaitu. elemen sewenang-wenang dari kelas. Jadi, setiap kelas pecahan yang sama dapat ditentukan dengan menentukan pecahan mana pun yang termasuk dalam kelas tersebut. kelas kesetaraan oleh satu perwakilan memungkinkan Anda mempelajari sekumpulan perwakilan dari kelas kesetaraan alih-alih semua elemen himpunan. Misalnya, relasi ekivalensi “memiliki jumlah simpul yang sama”, yang didefinisikan pada suatu himpunan poligon, menghasilkan partisi himpunan ini ke dalam kelas-kelas segitiga, segi empat, segi lima, dll. properti yang melekat pada kelas tertentu dipertimbangkan pada salah satu perwakilannya.
Ketiga, mempartisi suatu himpunan ke dalam kelas-kelas menggunakan relasi ekuivalen digunakan untuk memperkenalkan konsep-konsep baru. Misalnya, konsep “kumpulan garis” dapat didefinisikan sebagai persamaan garis sejajar satu sama lain.
Jenis hubungan penting lainnya adalah hubungan keteraturan. Mari kita pertimbangkan masalahnya X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) relasi “memiliki sisa yang sama jika dibagi 3 " Relasi ini menghasilkan partisi dari himpunan X ke dalam kelas: semua bilangan akan menjadi satu, jika dibagi 3 ternyata sisanya 0 (ini adalah angka 3, 6, 9 ). Yang kedua - angka ketika dibagi 3 sisanya adalah 1 (ini adalah angka 4, 7, 10 ). Yang ketiga akan berisi semua angka itu, jika dibagi 3 sisanya adalah 2 (ini adalah angka 5, 8 ). Memang, himpunan yang dihasilkan tidak berpotongan dan kesatuannya berimpit dengan himpunan tersebut X. Oleh karena itu, relasi “memiliki sisa yang sama jika dibagi 3 ", ditentukan di set X, adalah relasi ekuivalen.
Contoh lain, banyaknya siswa dalam suatu kelas dapat diurutkan berdasarkan tinggi badan atau usia. Perhatikan bahwa hubungan ini memiliki sifat antisimetri dan transitivitas. Atau semua orang mengetahui urutan huruf dalam alfabet. Hal ini diwujudkan dengan sikap “seharusnya”.
Sikap R di satu set X ditelepon hubungan perintah yang ketat, jika sekaligus memiliki sifat antisimetri dan transitivitas. Misalnya, relasi " X< kamu».
Jika relasi tersebut mempunyai sifat refleksivitas, antisimetri, dan transitivitas, maka relasi tersebut akan menjadi seperti itu hubungan yang tidak ketat. Misalnya, relasi " Xkamu».
Contoh relasi keteraturan antara lain: relasi “kurang dari” pada himpunan bilangan asli, relasi “lebih pendek” pada himpunan segmen. Jika suatu relasi keteraturan juga mempunyai sifat keterhubungan, maka dikatakan demikian hubungan urutan linier. Misalnya relasi “kurang dari” pada himpunan bilangan asli.
Sekelompok X ditelepon tertib, jika hubungan pesanan ditentukan di atasnya.
Misalnya saja banyak X={2, 8, 12, 32 ) dapat diurutkan menggunakan relasi “kurang dari” (Gbr. 41), atau dapat dilakukan dengan menggunakan relasi “kelipatan” (Gbr. 42). Namun, sebagai relasi keteraturan, relasi “kurang dari” dan “kelipatan” mengurutkan himpunan bilangan asli dengan cara yang berbeda. Relasi “kurang dari” memungkinkan Anda membandingkan dua angka apa pun dari suatu himpunan X, tetapi relasi “kelipatan” tidak memiliki sifat ini. Oke, beberapa angka. 8 Dan 12 tidak berhubungan dengan relasi “kelipatan”: tidak dapat dikatakan demikian 8 banyak 12 atau 12 banyak 8.
Kita tidak boleh berpikir bahwa semua hubungan terbagi menjadi hubungan kesetaraan dan hubungan keteraturan. Ada sejumlah besar relasi yang bukan merupakan relasi ekivalensi maupun relasi keteraturan.
Tipe penting hubungan biner- hubungan ketertiban. Hubungan ketertiban yang ketat - relasi biner yang anti-refleksif, antisimetris, dan transitif:
penamaan - (A sebelumnya B). Contohnya termasuk
hubungan “lebih”, “kurang”, “lebih tua”, dll. Untuk bilangan, notasi yang biasa digunakan adalah tanda “<", ">".
Hubungan ketertiban yang tidak ketat - hubungan biner refleksif, antisimetris dan transitif. Selain contoh alami dari pertidaksamaan bilangan yang tidak ketat, contohnya adalah hubungan antara titik-titik pada suatu bidang atau ruang “agar lebih dekat dengan titik asal koordinat”. Pertidaksamaan tidak tegas, untuk bilangan bulat dan bilangan real, juga dapat dianggap sebagai disjungsi relasi persamaan dan keteraturan tegas.
Jika turnamen olahraga tidak mengatur pembagian tempat (yaitu, setiap peserta menerima tempat makan/penghargaan tertentu saja), maka ini adalah contoh perintah yang ketat; jika tidak, ini tidak ketat.
Relasi keteraturan terbentuk pada suatu himpunan ketika untuk beberapa atau semua pasangan elemennya terdapat relasi
diutamakan. Tugas - untuk himpunan suatu relasi keteraturan disebut itu "mengatur, dan "himpunan itu sendiri" sebagai hasilnya menjadi dipesan. Relasi keteraturan dapat diperkenalkan dengan berbagai cara. Untuk himpunan berhingga, setiap permutasi elemen-elemennya “menentukan beberapa perintah yang ketat. Suatu himpunan tak terhingga dapat diurutkan dengan cara yang tak terhingga banyaknya. Hanya urutan-urutan yang memiliki arti bermaknalah yang menarik.
Jika untuk hubungan pesanan R di satu set .M dan beberapa elemen berbeda memiliki setidaknya satu relasi
arb atau BH lalu elemennya A Dan B disebut sebanding, jika tidak - tak tertandingi.
Himpunan terurut penuh (atau linier). M -
suatu himpunan yang relasi keteraturannya ditentukan, dan dua elemen himpunan mana pun M sebanding; set yang dipesan sebagian- sama, tetapi pasangan elemen yang tidak dapat dibandingkan diperbolehkan.
Berurutan linier adalah himpunan titik-titik pada suatu garis dengan relasi “lebih ke kanan”, himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real dengan relasi “lebih besar dari”, dan seterusnya.
Contoh himpunan terurut sebagian adalah vektor tiga dimensi, jika urutannya diberikan sebagai berikut, jika
Artinya, jika prioritas dilakukan pada ketiga koordinat, maka vektor (2, 8, 5) dan (6, 9, 10) sebanding, tetapi vektor (2, 8, 5) dan (12, 7, 40) tidak sebanding. Metode pengurutan ini dapat diperluas ke vektor dengan dimensi apa pun: vektor
mendahului vektor jika
Dan selesai
Kita dapat memperhatikan contoh pengurutan himpunan vektor lainnya.
1) urutan sebagian: 
, Jika
Itu. berdasarkan panjang vektor; vektor-vektor yang panjangnya sama tidak dapat dibandingkan.
2) urutan linier: 
, Jika A
Contoh terakhir memperkenalkan konsep urutan abjad.
Alfabet adalah kumpulan karakter berbeda berpasangan yang disebut huruf alfabet. Contohnya adalah alfabet bahasa Eropa apa pun, serta alfabet 10 angka Arab. Di komputer, keyboard dan beberapa alat pendukung menentukan alfabet karakter yang valid.
Kata dalam alfabetA - kumpulan karakter alfabet A. Kata ditulis menurut abjad secara berurutan, dari kiri ke kanan, tanpa spasi Bilangan asli adalah kata dalam alfabet digital Rumusnya tidak selalu berupa kata karena susunan simbolnya tidak linier, adanya simbol superskrip (eksponen) dan subskrip (indeks variabel, basis logaritma), batang pecahan, tanda radikal, dll. ; namun, menurut beberapa konvensi, tanda ini dapat ditulis ke dalam sebuah string, yang digunakan, misalnya, dalam pemrograman komputer (misalnya, tanda eksponensial ditulis sebagai 2 tanda perkalian berturut-turut: 5**3 berarti pangkat ketiga dari nomor 5.
Urutan leksikografis (menurut abjad) - untuk kata-kata yang berbeda dalam alfabet dengan berurutan
simbol mengatur urutan: , jika
kemungkinan perkenalan 
, di mana juga
(subkata boleh kosong), atau - subkata kosong
Dalam definisi ini - awalan (subkata awal) yang sama untuk kedua kata - atau kata pertama di sebelah kiri berbeda
karakter, baik - karakter terakhir dalam kata - ekor
subkata.
Jadi, urutan kata menurut abjad ditentukan oleh simbol pertama di sebelah kiri yang membedakannya (misalnya, kata KONUS mendahului kata COSINE karena huruf ketiganya berbeda terlebih dahulu, dan N mendahului S dalam alfabet Rusia). Karakter spasi juga dianggap mendahului karakter alfabet apa pun - jika salah satu kata merupakan awalan kata lain (misalnya, CON dan CONE)
Latihan. Periksa apakah urutan abjad dari bilangan asli yang memiliki jumlah tempat desimal yang sama bertepatan dengan urutan berdasarkan besarnya.
Membiarkan A - set yang dipesan sebagian. Elemen tersebut disebut maksimum V A, jika tidak ada elemen yang mana A< b. Elemen A ditelepon terbesar V A, jika untuk setiap orang berbeda dari A elemen selesai B<а-
Ditentukan secara simetris minimal dan terkecil elemen. Konsep elemen terbesar dan maksimum (masing-masing, terkecil dan minimal) berbeda - lihat. contoh pada Gambar 14. Himpunan pada Gambar. 14,a memiliki elemen terbesar R, itu juga maksimal, ada dua elemen minimum: s dan t, tidak ada yang terkecil. Sebaliknya, pada Gambar 14b, terdapat himpunan yang mempunyai dua elemen maksimal / dan J, tidak ada yang terbesar, minimal alias terkecil – satu : T.
Secara umum, jika suatu himpunan memiliki elemen terbesar (masing-masing terkecil), maka hanya ada satu (mungkin tidak ada).
Mungkin ada beberapa elemen maksimum dan minimum (mungkin tidak ada sama sekali - dalam himpunan tak terbatas; dalam kasus terakhir - harus ada).
Mari kita lihat dua contoh lagi. - relasi pada suatu himpunan N:
"Y membagi X", atau "X adalah pembagi suatu bilangan kamu"(Misalnya,
) bersifat refleksif dan transitif. Mari kita pertimbangkan pada himpunan pembagi berhingga dari bilangan 30.
Relasi tersebut merupakan relasi tatanan parsial (tidak ketat)
dan diwakili oleh matriks orde 8 berikut, yang berisi 31 karakter
Sirkuit yang bersesuaian dengan 8 simpul harus berisi 31 tautan. . Namun, akan lebih mudah untuk melihatnya jika kita mengecualikan 8
simpul-simpul yang menggambarkan refleksivitas hubungan (elemen diagonal matriks) dan simpul transitif, yaitu ligamen
Jika ada bilangan tengah Z sedemikian rupa sehingga
(misalnya, kata penghubung sejak). Kemudian dalam skema
12 ligamen akan tersisa (Gbr. 15); mata rantai yang hilang tersirat "oleh transitivitas". Angka 1 adalah yang terkecil, dan angka 30
elemen terbesar di . Jika kita mengecualikan dari angka 30 dan
pertimbangkan urutan parsial yang sama di set, lalu
tidak ada elemen maksimal, tetapi ada 3 elemen maksimal: 6, 10, 15
Sekarang mari kita membangun sirkuit yang sama untuk suatu relasi pada Boolean
(himpunan semua himpunan bagian) dari himpunan tiga elemen
Berisi 8 elemen:
Periksa apakah Anda cocok dengan elemennya a,b,c, masing-masing, bilangan 2, 3, 5, dan operasi penggabungan himpunan adalah perkalian dari bilangan-bilangan yang bersesuaian (yaitu, misalnya, himpunan bagian bersesuaian
hasil kali 2 5 = 10), maka matriks relasinya akan persis seperti ini
sama seperti untuk relasi ; diagram dari dua hubungan ini dengan yang dijelaskan
singkatan dari loop dan penghubung transitif bertepatan hingga notasi (lihat Gambar 16). Elemen terkecil adalah
Dan yang terbesar -
Hubungan biner R di satu set A Dan S di satu set DI DALAM disebut isomorfis, jika antara A dan B dimungkinkan untuk membuat korespondensi satu-satu Г, di mana, jika (yaitu.
elemen-elemennya berhubungan R), lalu (gambar
elemen-elemen ini saling berhubungan S).
Jadi, himpunan terurut sebagian bersifat isomorfik.
Contoh yang dipertimbangkan memungkinkan terjadinya generalisasi.
Relasi Boolean merupakan relasi parsial. Jika
Itu. sekelompok E mengandung P elemen, lalu masing-masing
sesuai dengan subset P vektor -dimensi dengan
komponen, dimana fungsi karakteristiknya
atur A/ . Himpunan semua vektor tersebut dapat dianggap sebagai himpunan titik P-ruang aritmatika berdimensi dengan koordinat 0 atau 1, atau dengan kata lain sebagai simpul P-dimensi
kubus satuan, dilambangkan dengan , yaitu. kubus yang rusuknya mempunyai satuan panjang. Untuk n = 1, 2, 3 titik yang ditunjukkan masing-masing mewakili ujung suatu segmen, simpul persegi dan kubus - itulah nama umumnya. Untuk /7=4, representasi grafis dari hubungan ini ada pada Gambar 17. Di dekat setiap titik sudut kubus 4 dimensi terdapat titik yang bersesuaian
bagian dari himpunan 4 elemen dan empat dimensi
sebuah vektor yang mewakili fungsi karakteristik dari himpunan bagian ini. Simpul-simpul yang berkorespondensi dengan himpunan bagian yang berbeda dengan adanya tepat satu elemen dihubungkan satu sama lain.
Pada Gambar 17, sebuah kubus empat dimensi digambarkan sedemikian rupa sehingga pada satu kubus
level, elemen yang tidak dapat dibandingkan ditempatkan berpasangan, berisi jumlah unit yang sama dalam rekaman (dari 0 hingga 4), atau, dengan kata lain, jumlah elemen yang sama dalam himpunan bagian yang diwakili.
Pada Gambar 18a, b - representasi visual lainnya dari kubus 4 dimensi;
pada Gambar 18a sumbu variabel pertama OH diarahkan ke atas (penyimpangan yang disengaja dari vertikal agar tepi kubus yang berbeda tidak menyatu):
dalam hal ini subkubus 3 dimensi yang sesuai dengan X= 0 terletak di bawah, dan untuk X= 1 - lebih tinggi. Pada Gambar. 186 sumbu yang sama OH diarahkan dari dalam kubus ke luar; sesuai dengan subkubus bagian dalam X= Oh, dan yang eksternal adalah X = 1.
DI DALAM 
File bahan menunjukkan gambar kubus satuan 5 dimensi (hlm. 134).
2) relasi pada himpunan X disebut relasi secara ketat dalam urutan, jika antisimetris dan transitif. Hubungan itu disebut antisimetris, jika dari fakta bahwa a berhubungan dengan c di dalamnya tidak berarti bahwa b berhubungan dengan a (a, di ∈ X, dan R di → di R a) R – berada dalam hubungan. Hubungan itu disebut transitif, jika untuk sembarang elemen a, b, c dari fakta bahwa a R in dan in R c → bahwa a R c, a, b, c ∈ X. Contoh: relasi “lebih, kurang”. Himpunan yang relasi keteraturannya didefinisikan disebut dipesan banyak.
3) relasi pada himpunan X disebut relasi tidak dalam urutan yang ketat, jika bersifat refleksif, asimetris dan transitif. Contoh: relasi ≥ ≤. Jika suatu relasi keteraturan mempunyai sifat keterhubungan, maka relasi tersebut dikatakan relasi urutan linier. Hubungan itu disebut terkait pada himpunan X, jika untuk sembarang elemen x dan y kondisi berikut terpenuhi: dari kenyataan bahwa x ≠ y maka x R y atau y R x. Jika suatu relasi keteraturan linier diberikan pada suatu himpunan, maka relasi tersebut mengurutkan himpunan tersebut secara linier.
5. Himpunan bilangan real. Propertinya. Perluasan himpunan bilangan rasional disebabkan oleh kebutuhan untuk mengukur panjang segmen, luas, dll. Dasar dari setiap pengukuran adalah prinsip yang sama: objek yang diukur dibandingkan dengan suatu standar (objek atau fenomena), yang nilainya memiliki nilai numerik sama dengan 1, tetapi segmen satuan tidak selalu tertanam dalam objek yang diukur. Oleh karena itu, ketika mengukur, dibuat dua asumsi, yang dalam matematika didefinisikan sebagai aksioma: 1) Suatu standar tunggal dapat dibagi menjadi sejumlah bagian atau bagian yang sama. 2) Standar yang dipilih dapat digunakan untuk mengukur benda apa pun sebesar yang diinginkan. Untuk segmen, aksioma berikut dirumuskan oleh Archimedes: Tidak peduli seberapa kecil segmen AB dan seberapa besar segmen CD, ada bilangan asli N sehingga N*AB>CD, jika segmen CD yang diukur berisi bilangan yang sama banyaknya ruas AB, maka panjang ruas CD dinyatakan sebagai bilangan asli. Jika pada segmen CD yang diukur segmen AB ditempatkan dengan jumlah yang tidak sama, maka AB dibagi menjadi 10 segmen identik yang disebut sepersepuluh standar. Jika perlu, sepersepuluhnya dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama, dst. Jika sama dengan angka 10, 100, dst. masuk ke dalam segmen CD. pecahan ruas AB, maka panjang ruas CD dinyatakan dengan bilangan rasional. Namun panjang suatu ruas tidak selalu dapat dinyatakan sebagai bilangan asli atau bilangan rasional. Ada segmen yang tidak dapat dibandingkan, yaitu. segmen yang panjangnya tidak dinyatakan dengan bilangan rasional. (teorema lihat pertanyaan 32)
Bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak hingga disebut irasional. Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan real ().
Sifat-sifat himpunan bilangan real. 1). Himpunan titik-titik pada garis bilangan sama dengan himpunan bilangan real.
0 M 1 Ambil sembarang titik M pada ruas dari 0 sampai 1,
D menggambar setengah lingkaran dengan pusat di
Titik tengah segmen ini dan jari-jarinya
K O S sama dengan setengahnya. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari M hingga berpotongan dengan setengah lingkaran. Kita mendapat D. Titik ini unik, karena setengah lingkaran dan garis lurus hanya berpotongan di satu titik. Dari tengah ruas tersebut tarik garis lurus melalui D hingga berpotongan dengan sumbu bilangan. Kita memperoleh K, yang ditentukan dengan cara unik, karena garis-garis tersebut hanya berpotongan di satu titik. Dengan memilih titik sembarang lainnya pada segmen tertentu dan mengulangi seluruh proses, kita memperoleh bahwa setiap titik pada segmen dari 0 hingga 1 berhubungan dengan satu titik pada garis bilangan. Dengan berpikir dalam urutan terbalik, kita dapat menunjukkan bahwa setiap titik pada garis bilangan juga berhubungan dengan satu titik dari 0 sampai 1. Jika suatu titik sembarang E termasuk dalam garis bilangan, maka melalui titik M dan E hanya satu garis yang dapat ditarik. yang memotong setengah lingkaran. Dari setengah lingkaran Anda dapat menurunkan garis tegak lurus ke segmen tertentu. Dengan demikian, pemetaan yang saling identik dibuat antara titik-titik pada segmen dari 0 hingga 1 dan titik-titik pada garis bilangan, yaitu. mereka sama kuatnya.
2) himpunan bilangan real tidak dapat dihitung, yaitu. itu tidak sama dengan himpunan bilangan asli.
3). Himpunan bilangan real merupakan himpunan kontinu. Kontinuitas himpunan bilangan real adalah bahwa di antara dua bilangan real mana pun terdapat himpunan bilangan real yang tak terhingga saja
6. Mempartisi suatu himpunan ke dalam kelas-kelas. Contoh klasifikasi. Hubungan kesetaraan, sifat-sifatnya. Hubungan antara relasi ekuivalen dan pembagian suatu himpunan ke dalam kelas-kelas. Mari kita lihat sebuah contoh. Misalkan diberikan himpunan M (himpunan poligon cembung), kita membentuk semua himpunan bagian dari himpunan ini: A 1 – himpunan segitiga; A2 – himpunan segi empat; A3 – kumpulan segi lima; Ak adalah himpunan k-gon. Himpunan M dianggap terbagi menjadi beberapa kelas jika kondisi berikut terpenuhi:
- setiap subset A tidak kosong
- perpotongan dua himpunan bagian mana pun merupakan himpunan kosong
- gabungan semua himpunan bagian adalah himpunan tertentu M
Mempartisi suatu himpunan ke dalam kelas-kelas disebut klasifikasi.
Sikap di himpunan X disebut setara , jika bersifat refleksif, simetris dan transitif. Hubungan itu disebut reflektif, jika ada elemen dari himpunan X yang mempunyai hubungan dengan dirinya sendiri a ∈ X, dan R a (R ada hubungan). Hubungan itu disebut simetris, jika untuk dua anggota himpunan X (a dan b) dari fakta bahwa a mempunyai hubungan dengan b, maka b mempunyai hubungan dengan a (a, b ∈ X, dan R b → in Ra). Hubungan itu disebut transitif, jika untuk sembarang elemen a, b, c dari fakta bahwa a R in dan in R c → bahwa a R c, a, b, c ∈ X. Pada grafik hubungan ekivalen terdapat loop, panah saling berbanding terbalik dan segitiga panah. Relasi ekivalensi, dan hanya relasi tersebut, dikaitkan dengan pembagian suatu himpunan ke dalam kelas-kelas. Pernyataan ini dapat dirumuskan sebagai teorema: Jika suatu relasi ekivalen ditentukan pada himpunan X, maka relasi tersebut membagi himpunan X menjadi kelas-kelas, dan sebaliknya, jika himpunan X dibagi menjadi kelas-kelas, maka relasi ekivalen terpenuhi pada himpunan tersebut. Misalnya. Biarkan sikap diberikan - untuk tinggal di rumah yang sama. Mari kita tunjukkan bahwa himpunan penghuni rumah tersebut akan dibagi menjadi beberapa kelas. Dan setiap kelas adalah apartemen terpisah. Untuk pembagian ini, semua akan dilakukan kondisi yang diperlukan mempartisi suatu himpunan ke dalam kelas-kelas: a) setiap kelas tidak kosong, karena di setiap apartemen paling sedikit 1 orang terdaftar, b) kelas tidak tumpang tindih (1 orang tidak terdaftar di dua apartemen berbeda), c) penyatuan semua kelas, yaitu. penghuni setiap apartemen, dan merupakan himpunan penghuni rumah.
18 . Pendekatan teori himpunan untuk membangun teori bilangan bulat non-negatif. Hubungan kesetaraan, lebih banyak (lebih sedikit). Dua himpunan A dan B disebut ekuivalen atau sama kuatnya jika dapat dibuat korespondensi satu-satu di antara keduanya, yaitu jika setiap anggota himpunan A berasosiasi dengan satu anggota himpunan B dan sebaliknya. Pangkat atau bilangan pokok adalah sifat yang melekat pada sembarang himpunan B yang ekuivalen dengan himpunan A dan tidak melekat pada himpunan lain yang tidak sama dengan himpunan A. A~B n (A) = a adalah pangkat. Relasi persamaan kekuasaan merupakan relasi ekivalensi, yaitu. sifat refleksivitas, simetri dan transitivitas terpenuhi karenanya. Relasi ekivalensi membagi himpunan semua himpunan ke dalam kelas ekivalensi. Untuk mendefinisikan konsep bilangan asli dan nol, pertimbangkan partisi semua himpunan berhingga.
Misalkan M adalah himpunan semua himpunan berhingga. M = K 0 Ka Kv, dimana Ko adalah golongan himpunan kosong, Ka adalah himpunan yang berisi himpunan-himpunan yang sama a 1, a 2, a 3, dst., Kv adalah himpunan. Berisi himpunan dengan kardinalitas yang sama pada 1, pada 2, pada 3, dst. Himpunan M juga dapat memuat himpunan bagian K lain yang sifatnya berbeda, yang terdiri dari himpunan-himpunan yang pangkatnya sama. Setiap kelas ekivalensi K memiliki kesamaan yaitu terdiri dari jumlah elemen yang sama; tidak ada sifat umum lainnya. Bilangan bulat non-negatif, dari sudut pandang teori himpunan, adalah properti umum dari kelas himpunan berhingga dengan pangkat yang sama. Bilangan asli adalah properti umum dari kelas himpunan berhingga tak kosong yang berkardinalitas sama. Setiap kelas diberi nomor pokok (kardinalitas). Kelas himpunan kosong diberi nomor koordinat 0. Kelas yang terdiri dari himpunan yang memiliki 1 elemen diberi nomor 1. Kelas yang terdiri dari himpunan dengan 2 elemen diberi nomor 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Hubungan kesetaraan. Bilangan bulat non-negatif a dan b dikatakan sama jika himpunan A dan B yang bilangannya dinyatakan sama (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( SEBUAH)=n(B) a=c).
Dalil: relasi persamaan pada himpunan bilangan bulat tak negatif merupakan relasi ekivalen. Bukti. Mari kita buktikan bahwa relasi kesetaraan mempunyai sifat simetri, transitivitas, dan refleksivitas.
Karena sifat refleksivitas, simetri, dan transitivitas terpenuhi, maka relasi kesetaraan tersebut merupakan relasi ekivalensi.
Rasionya lebih kecil. Bilangan bulat non-negatif a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Teorema: relasi yang lebih kecil dari himpunan bilangan bulat non-negatif adalah relasi tertata ketat. Bukti: Mari kita buktikan bahwa relasi less mempunyai sifat antisimetri dan transitivitas. C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Penjumlahan dan pengurangan dalam teori kuantitatif bilangan bulat non-negatif. Properti mereka. Jumlah dua bilangan bulat non-negatif a dan b disebut bilangan bulat non-negatif c, yang merupakan kardinalitas gabungan dua himpunan lepas A dan B, yang kardinalitasnya masing-masing sama dengan a dan b. a+b=c, n(C)=n(АУВ), n(АУВ)=n(А)+n(В). Sifat-sifat penjumlahan. 1. Penjumlahan pada himpunan bilangan bulat non-negatif selalu ada dan didefinisikan secara unik. Mari kita buktikan bahwa jumlahnya selalu ada. Misalkan A dan B sedemikian rupa sehingga perpotongan keduanya merupakan himpunan kosong dan banyaknya anggota A adalah a, serta kardinalitas B adalah b. mari kita cari gabungan A dan B. Karena gabungan dua himpunan yang lepas selalu ada, berarti penjumlahannya juga ada, dan dari definisi penjumlahan maka penjumlahan selalu ada. Mari kita buktikan bahwa jumlah tersebut ditentukan dengan cara yang unik. Ada C 1 dan C 2 – bilangan bulat non-negatif. C 1 = a + b dan C 2 = a + b. Jumlah bilangan a dan b tidak bergantung pada himpunan A dan B mana yang kita pilih dari kelas himpunan berpangkat sama, oleh karena itu gabungan A dan B yang diambil dari kelas himpunan berpangkat sama tidak bergantung pada pilihan himpunan himpunan A dan B, karena pangkat masing-masing kelas sama, maka C 1 = C 2. 2. Penjumlahan komutatif. Untuk bilangan bulat non-negatif a dan b, properti a+b=b+a berlaku. Dari teori himpunan kita mengetahui bahwa untuk АУВ = ВУА. Jika himpunan sama, nilai numeriknya juga sama. n(АУВ)=n(ВУА). Dari teori himpunan kita mengetahui bahwa kekuatan suatu kesatuan sama dengan jumlah kekuatan. Tidak(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Sifat asosiatif. Untuk bilangan apa pun a, b, c, properti berikut berlaku: a+(b+c)=(a+b)+c. Dari teori himpunan diketahui bahwa untuk menyatukan himpunan sifat asosiatif terpenuhi: АU(ВУС)=(АУВ)UC, jika himpunan sama, maka nilai numeriknya sama, n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC). Dari teori himpunan diketahui bahwa pangkat suatu gabungan sama dengan jumlah pangkat dari himpunan-himpunan tersebut, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. Berdasarkan perbedaan bilangan bulat tak negatif a dan b disebut bilangan bulat tak negatif c, yaitu pangkat komplemen himpunan B terhadap himpunan A, sehingga B menjadi milik A, n(A)=a, n(B) =b. Perbedaan Properti. 1. Agar selisih bilangan bulat non-negatif ada, a harus lebih besar atau sama dengan b. Mari kita buktikan: 1) syarat cukup adanya perbedaan. Diketahui: a - b = c, buktikan: a c. Berdasarkan definisi perbedaan maka terdapat komplemen dari himpunan B ke himpunan A, dan komplemen tersebut mempunyai kekuatan, yang dapat diperoleh dari persamaan yang diketahui dari teori himpunan. n() = n(A)-n(B). Dari kenyataan bahwa B adalah himpunan bagian dari A, maka jumlah anggota di B lebih sedikit daripada jumlah anggota A. n (B) 2). Kondisi yang diperlukan. Diberikan c. buktikan adanya selisih (a-c). Jika a>b, menurut definisi relasi “kurang dari”, terdapat himpunan A 1 sehingga A 1 termasuk dalam A dan A 1 ~B. Mari kita bedakan antara A dan A 1. Perbedaan ini selalu ada (A - A 1 = C), dan oleh karena itu terdapat C, yaitu perbedaan tersebut. Dari kondisi tersebut maka C adalah komplemen A 1 terhadap A. C = 1A Pangkat C adalah pangkat komplemen A 1 terhadap A. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1), karena A 1 ~ B, maka n(A 1)=n(B), maka n(C)=n(A)-n(B), maka c=a-b. 2. Selisih bilangan bulat non-negatif dicari dengan cara unik, karena selisihnya adalah pangkat komplemen dari himpunan bagian suatu himpunan, dan komplemen ditentukan dengan cara unik, maka selisih bilangan bulat non-negatif adalah ditentukan dengan cara yang unik. 3. Sifat komutatifitas dan asosiatif tidak dipenuhi untuk pengurangan. 4. Mengurangi suatu jumlah dari suatu bilangan. a-(b+c)=(a-c)-c. Dari teori himpunan diketahui A\(BUC)=(A\B)\C, dan B Ì A; SÌA; BUSCA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Mengurangkan suatu bilangan dari selisih (a-c)-c=(a-c)-c. Pembuktiannya berdasarkan sifat selisih himpunan (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Mengurangi suatu bilangan dari jumlah (a+b)-c=(a-c)+c. Pembuktiannya didasarkan pada sifat himpunan (АУВ)\С=(А\С) УВ. Bahkan tidak Dalam prakteknya, kita sering menjumpai fungsi yang tidak genap maupun ganjil. 4. Fungsi dapat bersifat periodik. Suatu fungsi disebut periodik jika terdapat bilangan T sehingga kondisi f(x+T)=f(x) terpenuhi. Semua fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen) bersifat periodik. 5. fungsi dapat mempunyai titik tunggal. Ini adalah titik potong dengan sumbu koordinat dan titik ekstrim, yaitu. poin minimum dan maksimum. Titik x0 disebut titik minimum fungsi jika untuk semua X dari lingkungan x0 kondisi f(x) > f(x0) terpenuhi. Suatu titik x0 disebut titik maksimum suatu fungsi jika untuk semua x di sekitar x0 f(x)< f (x0). 6. fungsi dapat memiliki interval tanda keteguhan, mis. Ini adalah himpunan bagian, domain definisi, yang elemen-elemennya mengubah fungsi menjadi positif atau negatif saja. 7. suatu fungsi mungkin memiliki breakpoint, mis. nilai-nilai variabel x yang tidak ada y (fungsi proporsionalitas terbalik). kamu = , jika x = 0 Cari di situs: Nonaktifkan adBlock!
7. Konsep tupel pasangan terurut. Produk Cartesius dari himpunan dan sifat-sifatnya. Banyaknya elemen dalam hasil kali dekrit himpunan. Untuk memperkenalkan konsep perkalian Cartesian, perhatikan konsepnya iring-iringan mobil. Konsep ini, seperti konsep himpunan, merupakan konsep dasar tak tentu. Untuk sebuah tuple, urutan elemen itu penting. Elemen dalam tupel dapat diulang. Jumlah elemen dalam tupel tertentu disebut panjangnya. Tuple dengan panjang 2 disebut pasangan terurut. Kartu tersebut dilambangkan dengan () atau< >. × adalah sebutan untuk produk himpunan Cartesian. (a,b,a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Produk Cartesius dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua pasangan terurut yang komponen pertama merupakan anggota himpunan pertama dan komponen kedua merupakan anggota himpunan kedua. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) Properti produk himpunan Cartesian (DPM). DPM tidak memiliki sifat komutatifitas dan asosiatif: A×B≠B×A. Sifat-sifat distributif DPM terpenuhi: 1) terhadap gabungan himpunan A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) mengenai perpotongan himpunan A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). Untuk mencari jumlah elemen dalam DP dalam dua himpunan atau lebih, Anda perlu mengetahui jumlah elemen dalam setiap himpunan. Jika banyaknya elemen adalah n. Jika n(A)=n, dan n(B)=m, maka n(A×B)=n*m. Misalkan A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Mari kita buat DPM A dan B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) Di setiap baris terdapat em-pairs, seperti garis en, berarti banyaknya item yang terdaftar adalah em pada en pair, oleh karena itu banyaknya anggota pada DPM A dan B sama dengan hasil kali banyaknya anggota pada himpunan A dan banyaknya elemen pada himpunan B. 8. Konsep korespondensi antar himpunan. Metode untuk menentukan kepatuhan. Jenis korespondensi. Korespondensi ef antara unsur-unsur himpunan X dan Y disebut tripel himpunan (X;U; G f (ji dari ef), ji dari ef merupakan himpunan bagian dari DP (hasil perkalian Kartesius). Himpunan X disebut daerah keberangkatan, himpunan Y disebut daerah kedatangan ji dari ef - disebut grafik korespondensi ini. Daerah asal korespondensi ef adalah himpunan elemen-elemen dari himpunan pertama (yaitu daerah keberangkatan) ke. yang sesuai dengan elemen-elemen dari himpunan kedua (yaitu, himpunan dengan nilai korespondensi ef adalah himpunan elemen-elemen dari area kedatangan, yang ditugaskan sesuai dengan beberapa elemen dari area keberangkatan). Metode untuk menentukan korespondensi: mendaftar unsur-unsurnya, menggunakan grafik, menggunakan grafik, menggunakan tabel, secara verbal, aljabar, yaitu. persamaan, pertidaksamaan. Jenis korespondensi. Korespondensi disebut di mana-mana ditentukan, jika area pengirim bertepatan dengan area definisi. Dalam grafik korespondensi seperti itu, setidaknya satu panah berangkat dari setiap elemen himpunan pertama. Kepatuhan disebut dugaan, jika kumpulan nilainya bertepatan dengan wilayah kedatangan. Dalam grafik korespondensi tersebut, paling sedikit 1 anak panah cocok dengan setiap elemen himpunan ke-2. Kepatuhan disebut injeksi, jika tidak ada elemen berbeda pada himpunan pertama yang bersesuaian dengan elemen yang sama pada himpunan kedua. Dalam graf korespondensi tersebut, tidak ada elemen himpunan ke-2 yang cocok dengan lebih dari 1 anak panah. Kepatuhan disebut fungsional, jika setiap elemen himpunan pertama berhubungan dengan tidak lebih dari 1 elemen himpunan kedua. Pada grafik korespondensi seperti itu, jika hanya ada 1 panah yang berangkat dari setiap elemen himpunan pertama. Korespondensi fungsional disebut fungsi. Di antara semua korespondensi fungsional, ada korespondensi yang menentukan secara universal, yang disebut menampilkan. Kepatuhan disebut satu lawan satu, jika kondisi berikut terpenuhi: 1) dua anggota himpunan X yang berbeda bersesuaian dengan anggota himpunan Y yang berbeda, 2) setiap anggota himpunan Y berkorespondensi dengan paling sedikit satu anggota himpunan X. Dua korespondensi antara himpunan X dan Y disebut di depan, jika grafiknya saling melengkapi hasil kali Kartesius dari X dan Y. Korespondensi disebut balik pada korespondensi tertentu jika korespondensi tertentu berlaku jika dan hanya jika kebalikannya berlaku. Jika suatu korespondensi tertentu merupakan himpunan bagian hasil kali kartesius himpunan X dan Y, maka korespondensi inversnya adalah himpunan bagian hasil kali kartesius himpunan X dan Y. Untuk memperoleh korespondensi invers dengan himpunan tersebut. Pada grafiknya perlu untuk mengubah arah panah.
9. Kepatuhan fungsional. Sifat-sifat fungsi numerik. Kepatuhan disebut fungsional, jika setiap elemen himpunan pertama berhubungan dengan tidak lebih dari 1 elemen himpunan kedua. Pada grafik korespondensi seperti itu, jika hanya ada 1 panah yang berangkat dari setiap elemen himpunan pertama. Korespondensi fungsional yang didefinisikan pada himpunan numerik disebut numerik disebut fungsi. Sifat-sifat fungsi numerik. 1. Setiap fungsi memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai. 2. Fungsinya bisa bertambah atau berkurang. Suatu fungsi dikatakan meningkat pada interval a b jika untuk sembarang x1 dan x2 x1 > x2 mengikuti f (x1) > f (x2). Suatu fungsi disebut menurun pada interval a b jika untuk sembarang x1 dan x2 dari interval ini, dari fakta bahwa x1 > x2 maka f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
Situs web 2015-2020 - Kontak - Tambahan terbaru
sangat penting
